f x е четно. Как се определят четни и нечетни функции

Назад напред

внимание! Визуализацията на слайда е само за информационни цели и може да не представя пълния обем на презентацията. Ако се интересувате от тази работа, моля, изтеглете пълната версия.

Цели:

• да формира концепцията за четни и нечетни функции, да научи способността да определя и използва тези свойства при изучаването на функции, чертане;
• да развива творческата активност на учениците, логическото мислене, способността за сравняване, обобщаване;
• да се култивира усърдие, математическа култура; развийте комуникативни умения .

Оборудване:мултимедийна инсталация, интерактивна дъска, раздавателни материали.

Форми на работа:фронтална и групова с елементи на търсеща и изследователска дейност.

Източници на информация:

1. Алгебра клас 9 А. Г. Мордкович. Учебник.
2. Алгебра 9 клас А. Г. Мордкович. Задачна книга.
3. Алгебра 9 клас. Задачи за обучение и развитие на учениците. Беленкова Е.Ю. Лебединцева Е.А.

ПО ВРЕМЕ НА ЗАНЯТИЯТА

1. Организационен момент

Поставяне на цели и задачи на урока.

2. Проверка на домашните

№ 10.17 (Проблемна книга 9 клас А.Г. Мордкович).

а) при = f(х), f(х) =

б) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

в) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(х) = 0 за х ~ 0,4
4. f(х) >0 при х > 0,4 ; f(х) < 0 при – 2 < х < 0,4.
5. Функцията се увеличава с х € [– 2; + ∞)
6. Функцията е ограничена отдолу.
7. принаем = - 3, принаиб не съществува
8. Функцията е непрекъсната.

(Използвахте ли алгоритъма за изследване на функции?) Пързалка.

2. Нека проверим таблицата, която ви беше зададена на слайда.

Попълнете таблицата
	Домейн	Функционални нули	Интервали на постоянство		Координати на точките на пресичане на графиката с Oy
		x = -5, х = 2	х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Актуализация на знанията

– Дадени са функции.
– Посочете домейна на дефиниция за всяка функция.
– Сравнете стойността на всяка функция за всяка двойка стойности на аргументи: 1 и – 1; 2 и - 2.
– За кои от дадените функции в областта на дефиниция са равенствата f(– х) = f(х), f(– х) = – f(х)? (поставете данните в таблицата) пързалка

		f(1) и f(– 1)	f(2) и f(– 2)	диаграми	f(– х) = –f(х)	f(– х) = f(х)
1. f(х) =
2. f(х) = х 3
3. f(х) = | х |
4.f(х) = 2х – 3
5. f(х) =	х ≠ 0
6. f(х)=	х > –1		и не е дефиниран.

4. Нов материал

- Докато вършим тази работа, момчета, разкрихме още едно свойство на функцията, непознато за вас, но не по-малко важно от останалите - това е четността и нечетността на функцията. Запишете темата на урока: „Четни и нечетни функции“, нашата задача е да се научим как да определяме четните и нечетните функции, да разберем значението на това свойство при изучаването на функциите и чертането.
И така, нека намерим определенията в учебника и прочетем (стр. 110) . пързалка

Деф. 1функция при = f (х), дефинирана върху множеството X, се нарича дори, ако за някаква стойност хЄ X в ход равенство f (–x) = f (x). Дай примери.

Деф. 2функция y = f(x), дефинирана върху множеството X се нарича странно, ако за някаква стойност хЄ X е изпълнено равенството f(–х)= –f(х). Дай примери.

Къде срещнахме термините "четно" и "нечетно"?
Коя от тези функции ще бъде четна, според вас? Защо? Кои са странни? Защо?
За всяка функция на формата при= x n, Където не цяло число, може да се твърди, че функцията е нечетна за не нечетно и функцията е четно за н- дори.
– Преглед на функции при= и при = 2х– 3 не е нито четно, нито нечетно, т.к равенствата не са спазени f(– х) = – f(х), f(– х) = f(х)

Изследването на въпроса дали една функция е четна или нечетна се нарича изследване на функция за паритет.пързалка

Дефиниции 1 и 2 се занимават със стойностите на функцията при x и - x, като по този начин се приема, че функцията също е дефинирана при стойността х, и при - х.

ОПР 3.Ако числово множество заедно с всеки от неговите елементи x съдържа противоположния елемент x, тогава множеството хсе нарича симетрично множество.

Примери:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) са симетрични множества, а , [–5;4] са несиметрични.

- Четните функции имат ли област на дефиниция - симетрично множество? Странните?
- Ако D( f) е асиметрично множество, тогава каква е функцията?
– По този начин, ако функцията при = f(х) е четен или нечетен, тогава неговият домейн на дефиниция е D( f) е симетрично множество. Но вярно ли е обратното, ако областта на дадена функция е симетрично множество, тогава тя е четна или нечетна?
- Така че наличието на симетрично множество от областта на дефиниране е необходимо условие, но не и достатъчно.
– И така, как можем да изследваме функцията за паритет? Нека се опитаме да напишем алгоритъм.

пързалка

Алгоритъм за изследване на функция за паритет

1. Определете дали областта на функцията е симетрична. Ако не, тогава функцията не е нито четна, нито нечетна. Ако да, тогава преминете към стъпка 2 от алгоритъма.

2. Напишете израз за f(–х).

3. Сравнете f(–х).И f(х):

• Ако f(–х).= f(х), тогава функцията е четна;
• Ако f(–х).= – f(х), тогава функцията е нечетна;
• Ако f(–х) ≠ f(х) И f(–х) ≠ –f(х), тогава функцията не е нито четна, нито нечетна.

Примери:

Изследвайте функцията за паритет а) при= x 5 +; б) при= ; V) при= .

Решение.

а) h (x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), симетрично множество.

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e функция h(x)= x 5 + странно.

б) y =,

при = f(х), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), асиметрично множество, така че функцията не е нито четна, нито нечетна.

V) f(х) = , y = f(x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

Вариант 2

1. Даденото множество симетрично ли е: а) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

А); б) y \u003d x (5 - x 2). 2. Проверете функцията за паритет:

а) y \u003d x 2 (2x - x 3), b) y \u003d

3. На фиг. начертан при = f(х), за всички х, отговарящи на условието х? 0.
Начертайте функцията при = f(х), Ако при = f(х) е четна функция.

3. На фиг. начертан при = f(х), за всички x, удовлетворяващи x? 0.
Начертайте функцията при = f(х), Ако при = f(х) е странна функция.

Взаимна проверка включена пързалка.

6. Домашна работа: №11.11, 11.21,11.22;

Доказателство за геометричния смисъл на свойството паритет.

*** (Присвояване на опцията USE).

1. Нечетната функция y \u003d f (x) е дефинирана на цялата реална линия. За всяка неотрицателна стойност на променливата x стойността на тази функция съвпада със стойността на функцията g( х) = х(х + 1)(х + 3)(х– 7). Намерете стойността на функцията h( х) = при х = 3.

7. Обобщаване

дори, ако за всички \(x\) от неговия домейн е вярно: \(f(-x)=f(x)\) .

Графиката на четна функция е симетрична спрямо оста \(y\):

Пример: функцията \(f(x)=x^2+\cos x\) е четна, защото \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\).

\(\blacktriangleright\) Извиква се функцията \(f(x)\). странно, ако за всички \(x\) от неговия домейн е вярно: \(f(-x)=-f(x)\) .

Графиката на нечетна функция е симетрична спрямо началото:

Пример: функцията \(f(x)=x^3+x\) е странна, защото \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\).

\(\blacktriangleright\) Функциите, които не са нито четни, нито нечетни, се наричат ​​общи функции. Такава функция винаги може да бъде уникално представена като сбор от четна и нечетна функция.

Например функцията \(f(x)=x^2-x\) е сумата от четна функция \(f_1=x^2\) и нечетна функция \(f_2=-x\) .

\(\blacktriangleright\) Някои свойства:

1) Произведението и частното на две функции с еднаква четност е четна функция.

2) Произведението и частното на две функции с различна четност е нечетна функция.

3) Сборът и разликата на четните функции е четна функция.

4) Сборът и разликата на нечетните функции е нечетна функция.

5) Ако \(f(x)\) е четна функция, тогава уравнението \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\) ) има уникален корен тогава и само ако, когато \(x =0\) .

6) Ако \(f(x)\) е четна или нечетна функция и уравнението \(f(x)=0\) има корен \(x=b\) , тогава това уравнение задължително ще има второ корен \(x =-b\) .

\(\blacktriangleright\) Функция \(f(x)\) се нарича периодична върху \(X\), ако за някакво число \(T\ne 0\) имаме \(f(x)=f(x+ T) \) , където \(x, x+T\in X\) . Най-малкият \(T\) , за който е в сила това равенство, се нарича главен (базисен) период на функцията.

Периодичната функция има произволно число от формата \(nT\) , където \(n\in \mathbb(Z)\) също ще бъде период.

Пример: всяка тригонометрична функция е периодична;
за функциите \(f(x)=\sin x\) и \(f(x)=\cos x\) главният период е \(2\pi\), за функциите \(f(x)= \mathrm( tg)\,x\) и \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) основният период е \(\pi\) .

За да начертаете периодична функция, можете да начертаете нейната графика върху произволен сегмент с дължина \(T\) (главен период); тогава графиката на цялата функция се допълва чрез изместване на построената част с цял брой периоди надясно и наляво:

\(\blacktriangleright\) Домейнът \(D(f)\) на функцията \(f(x)\) е множеството, състоящо се от всички стойности на аргумента \(x\), за които функцията има смисъл (е дефинирано).

Пример: функцията \(f(x)=\sqrt x+1\) има дефиниционна област: \(x\in

Задача 1 #6364

Ниво на задача: Равно на Единния държавен изпит

За какви стойности на параметъра \(a\) уравнението

има уникално решение?

Имайте предвид, че тъй като \(x^2\) и \(\cos x\) са четни функции, ако уравнението има корен \(x_0\) , то също ще има корен \(-x_0\) .
Наистина, нека \(x_0\) е корен, тоест равенството \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\)точно. Заместете \(-x_0\) : \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a ^2=0\).

Така, ако \(x_0\ne 0\) , тогава уравнението вече ще има поне два корена. Следователно \(x_0=0\) . Тогава:

Имаме две стойности на параметър \(a\). Обърнете внимание, че използвахме факта, че \(x=0\) е точно коренът на оригиналното уравнение. Но никога не сме използвали факта, че той е единственият. Следователно е необходимо да се заменят получените стойности на параметъра \(a\) в оригиналното уравнение и да се провери за кой точно \(a\) коренът \(x=0\) наистина ще бъде уникален.

1) Ако \(a=0\) , тогава уравнението ще приеме формата \(2x^2=0\) . Очевидно това уравнение има само един корен \(x=0\) . Следователно стойността \(a=0\) ни подхожда.

2) Ако \(a=-\mathrm(tg)\,1\) , тогава уравнението приема формата \ Пренаписваме уравнението във формата \ защото \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\), Че \(-\mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\). Следователно стойностите на дясната страна на уравнението (*) принадлежат към сегмента \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\).

Тъй като \(x^2\geqslant 0\) , тогава лявата страна на уравнението (*) е по-голяма или равна на \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .

По този начин равенството (*) може да се запази само когато двете страни на уравнението са равни на \(\mathrm(tg)^2\,1\) . И това означава, че \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\]Следователно стойността \(a=-\mathrm(tg)\,1\) ни подхожда.

Отговор:

\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

Задача 2 #3923

Ниво на задача: Равно на Единния държавен изпит

Намерете всички стойности на параметъра \(a\) , за всяка от които графиката на функцията \

симетрични относно произхода.

Ако графиката на функция е симетрична по отношение на началото, тогава такава функция е нечетна, т.е. \(f(-x)=-f(x)\) е изпълнено за всяко \(x\) от домейн на функцията. Следователно е необходимо да се намерят онези стойности на параметрите, за които \(f(-x)=-f(x).\)

\[\begin(aligned) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(aligned)\]

Последното уравнение трябва да е валидно за всички \(x\) от домейна \(f(x)\), следователно \(\sin(2\pi a)=0 \Дясна стрелка a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).

Отговор:

\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)

Задача 3 #3069

Ниво на задача: Равно на Единния държавен изпит

Намерете всички стойности на параметъра \(a\) , за всяка от които уравнението \ има 4 решения, където \(f\) е четна периодична функция с период \(T=\dfrac(16)3\) дефинирана върху цялата реална линия и \(f(x)=ax^2\) за \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

(Задача от абонати)

Задача 4 #3072

Ниво на задача: Равно на Единния държавен изпит

Намерете всички стойности \(a\) , за всяка от които уравнението \

има поне един корен.

(Задача от абонати)

Пренаписваме уравнението във формата \ и разгледайте две функции: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) и \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ) .
Функцията \(g(x)\) е четна, има минимална точка \(x=0\) (и \(g(0)=49\) ).
Функцията \(f(x)\) за \(x>0\) е намаляваща, а за \(x<0\) – возрастающей, следовательно, \(x=0\) – точка максимума.
Наистина, за \(x>0\) вторият модул се разширява положително (\(|x|=x\)), следователно, независимо как се разширява първият модул, \(f(x)\) ще бъде равно на \ ( kx+A\) , където \(A\) е израз от \(a\) , а \(k\) е равно на \(-9\) или \(-3\) . За \(x<0\) наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(3\) , либо \(9\) .
Намерете стойността \(f\) в максималната точка: \

За да има поне едно решение на уравнението, е необходимо графиките на функциите \(f\) и \(g\) да имат поне една пресечна точка. Следователно имате нужда от: \ Решавайки този набор от системи, получаваме отговора: \\]

Отговор:

\(а\в \(-7\)\чаша\)

Задача 5 #3912

Ниво на задача: Равно на Единния държавен изпит

Намерете всички стойности на параметъра \(a\) , за всяка от които уравнението \

има шест различни решения.

Нека направим заместването \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) . Тогава уравнението ще приеме формата \ Постепенно ще напишем условията, при които първоначалното уравнение ще има шест решения.
Обърнете внимание, че квадратното уравнение \((*)\) може да има най-много две решения. Всяко кубично уравнение \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) може да има не повече от три решения. Следователно, ако уравнението \((*)\) има две различни решения (положителни!, тъй като \(t\) трябва да е по-голямо от нула) \(t_1\) и \(t_2\) , тогава, като направим обратното заместване, получаваме: \[\left[\begin(gathered)\begin(aligned) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\end(aligned)\end(gathered)\right.\]Тъй като всяко положително число може да бъде представено като \(\sqrt2\) до известна степен, например, \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), тогава първото уравнение от набора ще бъде пренаписано във формата \ Както вече казахме, всяко кубично уравнение има не повече от три решения, следователно всяко уравнение от набора няма да има повече от три решения. Това означава, че целият набор ще има не повече от шест решения.
Това означава, че за да може оригиналното уравнение да има шест решения, квадратното уравнение \((*)\) трябва да има две различни решения и всяко получено кубично уравнение (от набора) трябва да има три различни решения (и нито едно решението на едно уравнение трябва да съвпада с което - или по решение на второто!)
Очевидно, ако квадратното уравнение \((*)\) има едно решение, тогава няма да получим шест решения за първоначалното уравнение.

Така планът за решение става ясен. Нека напишем условията, които трябва да бъдат изпълнени точка по точка.

1) За да има две различни решения на уравнението \((*)\), неговият дискриминант трябва да е положителен: \

2) Трябва също и двата корена да са положителни (защото \(t>0\)). Ако произведението на два корена е положително и тяхната сума е положителна, тогава самите корени ще бъдат положителни. Следователно имате нужда от: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]

Така вече сме си осигурили два различни положителни корена \(t_1\) и \(t_2\) .

3) Нека да разгледаме това уравнение \ За какво \(t\) ще има три различни решения?
Разгледайте функцията \(f(x)=x^3-3x^2+4\) .
Може да се умножи: \ Следователно неговите нули са: \(x=-1;2\) .
Ако намерим производната \(f"(x)=3x^2-6x\) , тогава получаваме две крайни точки \(x_(max)=0, x_(min)=2\) .
Следователно графиката изглежда така:


Виждаме, че всяка хоризонтална линия \(y=k\) , където \(0 \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t\)има три различни решения, необходимо е \(0<\log_ {\sqrt2}t<4\) .
По този начин имате нужда от: \[\begin(cases) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] Нека също да отбележим веднага, че ако числата \(t_1\) и \(t_2\) са различни, тогава числата \(\log_(\sqrt2)t_1\) и \(\log_(\sqrt2)t_2\) ще са различни, така че уравненията \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\)И \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\)ще има различни корени.
Системата \((**)\) може да бъде пренаписана по следния начин: \[\begin(cases) 1

По този начин сме определили, че и двата корена на уравнението \((*)\) трябва да лежат в интервала \((1;4)\) . Как да напиша това условие?
Няма да изписваме изрично корените.
Разгледайте функцията \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) . Неговата графика е парабола с клони нагоре, която има две точки на пресичане с абсцисната ос (написахме това условие в параграф 1)). Как трябва да изглежда неговата графика, така че точките на пресичане с абсцисната ос да са в интервала \((1;4)\) ? Така:


Първо, стойностите \(g(1)\) и \(g(4)\) на функцията в точките \(1\) и \(4\) трябва да са положителни, и второ, върхът на параболата \(t_0\ ) също трябва да бъде в интервала \((1;4)\) . Следователно системата може да се напише: \[\begin(cases) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4

По този начин трябва да пресечем стойностите на параметъра \(a\), намерени в 1-ви, 2-ри и 3-ти параграф, и ще получим отговора: \[\begin(cases) a\in (-\infty;8-2\sqrt3)\cup(8+2\sqrt3;+\infty)\\ a<10\\ 4

Функция се нарича четна (нечетна), ако за всяко и равенството

.

Графиката на четната функция е симетрична спрямо оста
.

Графиката на нечетна функция е симетрична спрямо началото.

Пример 6.2.Проверете за четни или нечетни функции

1)
; 2)
; 3)
.

Решение.

1) Функцията е дефинирана с
. Да намерим
.

Тези.
. Така че тази функция е четна.

2) Функцията е дефинирана за

Тези.
. Следователно тази функция е странна.

3) функцията е дефинирана за , т.е. За

,
. Следователно функцията не е нито четна, нито нечетна. Нека го наречем обща функция.

3. Изследване на функция за монотонност.

функция
се нарича нарастване (намаляване) на някакъв интервал, ако в този интервал всяка по-голяма стойност на аргумента съответства на по-голяма (по-малка) стойност на функцията.

Функциите, нарастващи (намаляващи) на някакъв интервал, се наричат ​​монотонни.

Ако функцията
диференцируеми на интервала
и има положителна (отрицателна) производна
, след това функцията
нараства (намалява) в този интервал.

Пример 6.3. Намерете интервали на монотонност на функциите

1)
; 3)
.

Решение.

1) Тази функция е дефинирана върху цялата числова ос. Нека намерим производната.

Производната е нула, ако
И
. Област на дефиниране - числова ос, разделена на точки
,
за интервали. Нека определим знака на производната във всеки интервал.

В интервала
производната е отрицателна, функцията намалява на този интервал.

В интервала
производната е положителна, следователно функцията нараства на този интервал.

2) Тази функция е дефинирана, ако
или

.

Определяме знака на квадратния трином във всеки интервал.

По този начин обхватът на функцията

Нека намерим производната
,
, Ако
, т.е.
, Но
. Нека определим знака на производната в интервалите
.

В интервала
производната е отрицателна, следователно функцията намалява на интервала
. В интервала
производната е положителна, функцията нараства на интервала
.

4. Изследване на функция за екстремум.

Точка
се нарича точка на максимум (минимум) на функцията
, ако има такава близост на точката че за всички
това съседство удовлетворява неравенството

.

Максималните и минималните точки на функцията се наричат ​​точки на екстремум.

Ако функцията
в точката има екстремум, то производната на функцията в тази точка е равна на нула или не съществува (необходимо условие за съществуване на екстремум).

Точките, в които производната е равна на нула или не съществува, се наричат ​​критични.

5. Достатъчни условия за съществуване на екстремум.

Правило 1. Ако при прехода (отляво надясно) през критичната точка производна
променя знака от "+" на "-", след това в точката функция
има максимум; ако от "-" до "+", тогава минимумът; Ако
не променя знака, тогава няма екстремум.

Правило 2. Нека в точката
първа производна на функцията
нула
, а втората производна съществува и е различна от нула. Ако
, Че е максималната точка, ако
, Че е минималната точка на функцията.

Пример 6.4 . Разгледайте максималните и минималните функции:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Решение.

1) Функцията е дефинирана и непрекъсната на интервала
.

Нека намерим производната
и реши уравнението
, т.е.
.оттук
са критични точки.

Нека определим знака на производната в интервалите ,
.

При преминаване през точки
И
производната променя знака от "–" на "+", следователно, съгласно правило 1
са минималните точки.

При преминаване през точка
производната променя знака от "+" на "-", така че
е максималната точка.

,
.

2) Функцията е дефинирана и непрекъсната в интервала
. Нека намерим производната
.

Чрез решаване на уравнението
, намирам
И
са критични точки. Ако знаменателят
, т.е.
, тогава производната не съществува. Така,
е третата критична точка. Нека определим знака на производната в интервали.

Следователно функцията има минимум в точката
, максимум в точки
И
.

3) Функцията е дефинирана и непрекъсната, ако
, т.е. при
.

Нека намерим производната

.

Нека намерим критичните точки:

Околности на точките
не принадлежат към областта на дефиницията, така че не са екстремум t. Така че нека проучим критичните точки
И
.

4) Функцията е дефинирана и непрекъсната на интервала
. Използваме правило 2. Намерете производната
.

Нека намерим критичните точки:

Нека намерим втората производна
и определете знака му в точките

По точки
функция има минимум.

По точки
функция има максимум.

. За да направите това, използвайте милиметрова хартия или графичен калкулатор. Изберете произволен брой числови стойности за независимата променлива x (\displaystyle x)и ги включете във функцията за изчисляване на стойностите на зависимата променлива y (\displaystyle y). Поставете намерените координати на точките в координатната равнина и след това свържете тези точки, за да изградите графика на функцията.

• Заменете положителните числови стойности във функцията x (\displaystyle x)и съответните отрицателни числови стойности. Например, дадена функция f (x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1). Заменете следните стойности в него x (\displaystyle x):

Проверете дали графиката на функцията е симетрична спрямо оста y.Симетрията се отнася до огледалния образ на графиката спрямо оста y. Ако частта от графиката отдясно на оста y (положителни стойности на независимата променлива) съвпада с частта от графиката отляво на оста y (отрицателни стойности на независимата променлива), графиката е симетрична спрямо оста y. Ако функцията е симетрична спрямо оста y, функцията е четна.

Проверете дали графиката на функцията е симетрична спрямо началото.Началото е точката с координати (0,0). Симетрия относно произхода означава, че положителна стойност y (\displaystyle y)(с положителна стойност x (\displaystyle x)) съответства на отрицателна стойност y (\displaystyle y)(с отрицателна стойност x (\displaystyle x)), и обратно. Нечетните функции имат симетрия по отношение на произхода.

Проверете дали графиката на функцията има някаква симетрия.Последният тип функция е функция, чиято графика няма симетрия, т.е. няма огледален образ както спрямо оста y, така и спрямо началото. Например, дадена функция.

• Заменете няколко положителни и съответните отрицателни стойности във функцията x (\displaystyle x):
• Според получените резултати няма симетрия. Стойности y (\displaystyle y)за противоположни стойности x (\displaystyle x)не съвпадат и не са противоположни. Следователно функцията не е нито четна, нито нечетна.
• Моля, имайте предвид, че функцията f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1)може да се напише така: f (x) = (x + 1) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)). Записана в тази форма, функцията изглежда четна, защото има четен показател. Но този пример доказва, че формата на функция не може да бъде бързо определена, ако независимата променлива е оградена в скоби. В този случай трябва да отворите скобите и да анализирате получените показатели.

функцияе една от най-важните математически концепции. Функция - променлива зависимост приот променлива х, ако всяка стойност хсъответства на една единствена стойност при. променлива хнаречена независима променлива или аргумент. променлива принаречена зависима променлива. Всички стойности на независимата променлива (променлива х) образуват областта на функцията. Всички стойности, които зависимата променлива приема (променлива г), формират диапазона на функцията.

Функционална графиканаричат ​​множеството от всички точки на координатната равнина, чиито абсциси са равни на стойностите на аргумента, а ординатите са равни на съответните стойности на функцията, тоест стойностите на променливите се нанасят по абсцисната ос х, а стойностите на променливата са нанесени по оста y г. За да начертаете функция, трябва да знаете свойствата на функцията. Основните свойства на функцията ще бъдат разгледани по-долу!

За да начертаете графика на функция, препоръчваме да използвате нашата програма - Graphing Functions Online. Ако имате някакви въпроси, докато изучавате материала на тази страница, винаги можете да ги зададете на нашия форум. Също така във форума ще ви помогнат да решите задачи по математика, химия, геометрия, теория на вероятностите и много други теми!

Основни свойства на функциите.

1) Функционален обхват и функционален диапазон.

Обхватът на функцията е наборът от всички валидни валидни стойности на аргумента х(променлива х), за която функцията y = f(x)дефинирани.
Диапазонът на функция е множеството от всички реални стойности гче функцията приема.

В елементарната математика функциите се изучават само върху множеството от реални числа.

2) Функционални нули.

Стойности х, при което y=0, е наречен функционални нули. Това са абсцисите на точките на пресичане на графиката на функцията с оста x.

3) Интервали на знакопостоянство на функция.

Интервалите на знакопостоянство на функция са такива интервали от стойности х, на които стойностите на функцията гнаричат ​​се или само положителни, или само отрицателни интервали на знакопостоянство на функцията.

4) Монотонност на функцията.

Нарастваща функция (в определен интервал) е функция, при която по-голяма стойност на аргумента от този интервал съответства на по-голяма стойност на функцията.

Намаляваща функция (в някакъв интервал) - функция, при която на по-голяма стойност на аргумента от този интервал съответства по-малка стойност на функцията.

5) Четни (нечетни) функции.

Четна функция е функция, чиято област на дефиниция е симетрична по отношение на произхода и за всяко х f(-x) = f(x). Графиката на четната функция е симетрична спрямо оста y.

Нечетна функция е функция, чиято дефиниционна област е симетрична по отношение на произхода и за всеки хот областта на дефиницията равенството f(-x) = - f(x). Графиката на нечетна функция е симетрична спрямо началото.

Равномерна функция
1) Областта на дефиниция е симетрична по отношение на точката (0; 0), т.е. ако точката апринадлежи към домейна на дефиницията, тогава точката -асъщо принадлежи към областта на дефиницията.
2) За произволна стойност х f(-x)=f(x)
3) Графиката на четна функция е симетрична спрямо оста Oy.

странна функцияима следните свойства:
1) Областта на дефиниция е симетрична спрямо точката (0; 0).
2) за произволна стойност х, което принадлежи към областта на дефиницията, равенството f(-x)=-f(x)
3) Графиката на нечетна функция е симетрична спрямо началото (0; 0).

Не всяка функция е четна или нечетна. Функции общ изгледне са нито четни, нито нечетни.

6) Ограничени и неограничени функции.

Една функция се нарича ограничена, ако съществува положително число M, такова че |f(x)| ≤ M за всички стойности на x . Ако няма такова число, тогава функцията е неограничена.

7) Периодичност на функцията.

Функция f(x) е периодична, ако съществува ненулево число T, така че за всяко x от домейна на функцията, f(x+T) = f(x). Това най-малко число се нарича период на функцията. Всички тригонометрични функции са периодични. (Тригонометрични формули).

функция fсе нарича периодичен, ако съществува число, такова че за всяко хот областта на дефиницията равенството f(x)=f(x-T)=f(x+T). Tе периодът на функцията.

Всяка периодична функция има безкраен брой периоди. На практика обикновено се взема предвид най-малкият положителен период.

Стойностите на периодичната функция се повтарят след интервал, равен на периода. Това се използва при изчертаване на графики.