Метод за вариация на произволни константи. Методът за вариация на произволни константи за конструиране на решение на линейно нехомогенно диференциално уравнение

Методът на вариация на произволни константи се използва за решаване на нехомогенни диференциални уравнения. Този урокпредназначени за онези студенти, които вече са повече или по-малко добре запознати с темата. Ако тепърва започвате да се запознавате с DU, т.е. Ако сте чайник, препоръчвам да започнете с първия урок: Диференциални уравнения от първи ред. Примери за решения... И ако вече приключвате, моля, отхвърлете евентуалното предубеждение, че методът е труден. Защото е просто.

В какви случаи се прилага методът на вариация на произволни константи?

1) Методът на вариация на произволна константа може да се използва за решаване линейна неравномерна DE от 1-ви ред... Тъй като уравнението е от първи ред, тогава константата (константата) също е една.

2) Методът на вариация на произволни константи се използва за решаване на някои линейни нехомогенни уравнения от втори ред... Тук се различават две константи.

Логично е да предположим, че урокът ще се състои от два параграфа... Написах това изречение и в продължение на 10 минути с болка си мислех какви други умни глупости мога да добавя за плавен преход към практически примери... Но по някаква причина няма никакви мисли след празниците, въпреки че изглежда не злоупотребява с нищо. Затова нека преминем направо към първия параграф.

Метод на вариация на произволна константа
за линейно нехомогенно уравнение от първи ред

Преди да разгледаме метода за промяна на произволна константа, препоръчително е да се запознаете със статията Линейни диференциални уравнения от първи ред... В този урок тренирахме първо решениенееднородна DE от 1-ви ред. Нека ви напомня, че това първо решение се нарича метод на подмянаили метод на Бернули(да не се бърка с уравнение на Бернули!!!)

Сега ще разгледаме второ решение- метод за вариация на произволна константа. Ще дам само три примера и ще ги взема от горния урок. Защо толкова малко? Защото всъщност решението по втория начин ще бъде много подобно на решението по първия начин. Освен това, според моите наблюдения, методът на вариация на произволни константи се използва по-рядко от метода на заместване.

Пример 1

(Diffur от Пример № 2 от урока Линейно нехомогенно DE от 1-ви ред)

Решение:Това уравнение е линейно нехомогенно и има позната форма:

Първата стъпка е да решите по-просто уравнение:
Тоест, ние глупаво нулираме дясната страна - вместо да пишем нула.
Уравнението ще се обадя спомагателно уравнение.

V този примертрябва да решите следното помощно уравнение:

Пред нас отделимо уравнение, чието решение (надявам се) вече не е трудно за вас:

По този начин:
– общо решениеспомагателно уравнение.

Във втората стъпка замениконстанта на някои ощенеизвестна функция, която зависи от "x":

Оттук и името на метода – ние променяме константата. Като алтернатива, константата може да бъде някаква функция, която трябва да намерим сега.

V оригиналеннехомогенно уравнение ще заменим:

Заместител и в уравнението :

Контролен момент - двата члена вляво се отменят... Ако това не се случи, трябва да потърсите грешката по-горе.

В резултат на замяната се получава уравнение с отделими променливи. Отделете променливите и интегрирайте.

Каква благословия, изложителите също намаляват:

Добавете "нормалната" константа към намерената функция:

На последния етапспомняйки си нашата замяна:

Функцията току-що намерена!

Така че общото решение е:

Отговор:общо решение:

Ако отпечатате две решения, лесно ще забележите, че и в двата случая сме намерили едни и същи интеграли. Единствената разлика е в алгоритъма на решението.

Сега за нещо по-сложно ще коментирам втория пример:

Пример 2

Намерете общото решение на диференциалното уравнение
(Diffur от Пример № 8 от урока Линейно нехомогенно DE от 1-ви ред)

Решение:Нека приведем уравнението във формата :

Нека да нулираме дясната страна и да решим допълнителното уравнение:

Общо решение на допълнителното уравнение:

В нехомогенното уравнение правим замяната:

Според правилото за продуктова диференциация:

Заместител и в оригиналното нехомогенно уравнение:

Двата термина от лявата страна се анулират, което означава, че сме на прав път:

Интегрираме по части. Една вкусна буква от формулата за интегриране по части вече е използвана в решението, така че използваме, например, буквите "a" и "be":

Сега си припомняме извършената подмяна:

Отговор:общо решение:

И един пример за независимо решение:

Пример 3

Намерете конкретно решение на диференциалното уравнение, съответстващо на дадено начално условие.

,
(Diffur от Пример № 4 от урока Линейно нехомогенно DE от 1-ви ред)
Решение:
Това DE е линейно нехомогенно. Използваме метода на вариация на произволни константи. Нека решим допълнителното уравнение:

Отделете променливите и интегрирайте:

Общо решение:
В нехомогенното уравнение ще заменим:

Нека извършим заместването:

Така че общото решение е:

Нека намерим конкретно решение, съответстващо на даденото начално условие:

Отговор:частно решение:

Решението в края на урока може да послужи като груб пример за завършване на задачата.

Метод на вариация на произволни константи
за линейно нехомогенно уравнение от втори ред
с постоянни коефициенти

Често чухме мнението, че методът за вариация на произволни константи за уравнение от втори ред не е лесно нещо. Но моето предположение е следното: най-вероятно методът изглежда труден за мнозина, тъй като не е толкова често срещан. Но в действителност няма особени трудности - ходът на решението е ясен, прозрачен, разбираем. И красив.

За овладяване на метода е желателно да можете да решавате нехомогенни уравнения от втори ред, като изберете конкретно решение под формата на дясната страна. Този метод е разгледан подробно в статията. Нехомогенна DE от 2-ри ред... Припомнете си, че линейно нехомогенно уравнение от втори ред с постоянни коефициенти има формата:

Методът за подбор, който беше разгледан в горния урок, работи само в ограничен бройслучаи, когато дясната страна съдържа полиноми, експоненти, синуси, косинуси. Но какво да направите, когато отдясно, например, дроб, логаритъм, допирателна? В такава ситуация на помощ идва методът на вариация на константите.

Пример 4

Намерете общото решение на диференциалното уравнение от втори ред

Решение:От дясната страна това уравнениеима част, така че веднага можем да кажем, че методът за избор на конкретно решение не работи. Използваме метода на вариация на произволни константи.

Нищо не предвещава гръмотевична буря, началото на решението е напълно обикновено:

намирам общо решениесъответстващ хомогеннауравнения:

Нека съставим и решим характеристичното уравнение:


- получен конюгат сложни коренитака че общото решение е:

Обърнете внимание на записа на общото решение - ако има скоби, тогава ги разширяваме.

Сега правим практически същия трик като за уравнението от първи ред: променяме константите, замествайки ги с неизвестни функции. Това е, общо решение на хетерогеннище търсим уравнения във вида:

Където - ощенеизвестни функции.

Прилича на сметище битови отпадъци, но сега ще сортираме всичко.

Производните на функциите действат като неизвестни. Нашата цел е да намерим производни, като намерените производни трябва да удовлетворяват както първото, така и второто уравнение на системата.

Откъде идват "игрите"? Щъркелът ги носи. Разглеждаме общото решение, получено по-рано, и записваме:

Нека намерим производните:

С подредени левите части. Какво има вдясно?

В този случай е дясната страна на оригиналното уравнение:

Коефициентът е коефициентът при втората производна:

На практика почти винаги и нашият пример не е изключение.

Всичко се изчисти, сега можете да създадете система:

Системата обикновено се решава по формулите на Крамеризползвайки стандартен алгоритъм. Единствената разлика е, че вместо числа имаме функции.

Нека намерим основния детерминант на системата:

Ако сте забравили как се разкрива детерминантата "две по две", вижте урока Как да изчислим детерминанта?Връзката води до дъската на срама =)

И така: това означава, че системата има уникално решение.

Намерете производната:

Но това не е всичко, досега открихме само производната.
Самата функция се възстановява чрез интегриране:

Нека се занимаваме с втората функция:

Тук добавяме "нормална" константа

На последния етап от решението си припомняме в каква форма търсихме общото решение на нехомогенното уравнение? По такъв:

Функциите, които търсите, току-що са намерени!

Остава да извършите заместването и да запишете отговора:

Отговор:общо решение:

По принцип скобите могат да бъдат разширени в отговора.

Пълната проверка на отговора се извършва по стандартната схема, която беше обсъдена в урока Нехомогенна DE от 2-ри ред... Но проверката няма да бъде лесна, тъй като е необходимо да се намерят доста тежки производни и да се извърши тромава замяна. Това е неприятна характеристика, когато се занимавате с подобна дифузия.

Пример 5

Решете диференциално уравнение чрез промяна на произволни константи

Това е пример за решение "направи си сам". Всъщност дясната страна също е дроб. Спомняйки си тригонометрична формула, между другото, ще трябва да се приложи в хода на решението.

Методът за вариация на произволни константи е най-универсалният метод. Те могат да решат всяко решено уравнение по метода на избор на конкретно решение от изгледа от дясната страна... Възниква въпросът, защо и там да не се използва методът на вариация на произволни константи? Отговорът е очевиден: изборът на частно решение, което беше разгледано в урока Нехомогенни уравнения от втори ред, значително ускорява решението и съкращава изписването - без прецакане с определители и интеграли.

Помислете за два примера с проблемът на Коши.

Пример 6

Намерете конкретно решение на диференциалното уравнение, съответстващо на дадените начални условия

,

Решение:Отново дроб и степен в интересно място.
Използваме метода на вариация на произволни константи.

намирам общо решениесъответстващ хомогеннауравнения:



- получават се различни реални корени, така че общото решение е:

Общо решение за хетерогеннитърсим уравнения във формата:, където - ощенеизвестни функции.

Нека съставим системата:

В такъв случай:
,
Намерете производни:
,

По този начин:

Решаваме системата с помощта на формулите на Крамер:
, което означава, че системата има уникално решение.

Възстановяваме функцията, като интегрираме:

Използва се тук метод за привеждане на функция под диференциалния знак.

Възстановяваме втората функция, като интегрираме:

Такъв интеграл е решен метод на променлива замяна:

От самата подмяна изразяваме:

По този начин:

Този интеграл може да бъде намерен по метода на избор на пълен квадрат, но в примерите с differs предпочитам да разширя дроба метод неопределени коефициенти :

И двете функции се намират:

В резултат на това общото решение на нехомогенното уравнение е:

Нека намерим конкретно решение, отговарящо на началните условия .

Технически търсенето на решение се извършва по стандартния начин, който беше разгледан в статията Нехомогенни диференциални уравнения от втори ред.

Чакайте, сега ще намерим производната на намереното общо решение:

Ето такъв позор. Не е необходимо да се опростява, по-лесно е веднага да се състави система от уравнения. Според първоначалните условия :

Заместете намерените стойности на константите в общо решение:

В отговора логаритмите могат да се опаковат малко.

Отговор:частно решение:

Както можете да видите, трудности могат да възникнат в интегралите и производните, но не и в самия алгоритъм на метода за вариация на произволни константи. Не аз ви уплаших, това е цялата колекция на Кузнецов!

За релаксация, последен, по-прост пример за решение „направи си сам“:

Пример 7

Решете проблема на Коши

,

Примерът е прост, но креативен, когато правите система, разгледайте я внимателно, преди да решите ;-),




В резултат на това общото решение е:

Нека намерим конкретно решение, отговарящо на началните условия .



Нека заменим намерените стойности на константите в общото решение:

Отговор:частно решение:

Разгледайте сега линейното нехомогенно уравнение
. (2)
Нека y 1, y 2, .., y n е основната система от решения и е общото решение на съответното хомогенно уравнение L (y) = 0. Подобно на случая на уравнения от първи ред, ще търсим решение на уравнение (2) във формата
. (3)
Нека се уверим, че решение в тази форма съществува. За да направим това, заместваме функцията в уравнението. За да заместим тази функция в уравнението, намираме нейните производни. Първата производна е
. (4)
При изчисляване на втората производна от дясната страна на (4) ще се появят четири члена, при изчисляване на третата производна ще се появят осем члена и т.н. Следователно, за удобство на по-нататъшните изчисления, първият член в (4) се приема за нула. Имайки предвид това, втората производна е
. (5)
По същите причини както преди, в (5) ние също задаваме първия член равен на нула. И накрая, n-тата производна е
. (6)
Замествайки получените стойности на производните в оригиналното уравнение, имаме
. (7)
Вторият член в (7) е равен на нула, тъй като функциите y j, j = 1,2, .., n са решения на съответното хомогенно уравнение L (y) = 0. Комбинирайки с предишната, получаваме система от алгебрични уравнения за намиране на функциите C "j (x)
(8)
Детерминантата на тази система е детерминантата на Вронски на основната система от решения y 1, y 2, .., y n на съответното хомогенно уравнение L (y) = 0 и следователно не е равна на нула. Следователно има уникално решение на системата (8). След като го намерим, получаваме функциите C "j (x), j = 1,2, ..., n и следователно C j (x), j = 1,2, ..., n Замествайки тези стойности в (3), получаваме решение на линейно нехомогенно уравнение.
Описаният метод се нарича метод на вариация на произволна константа или метод на Лагранж.

Пример №1. Намерете общото решение на уравнението y "" + 4y "+ 3y = 9e -3 x. Разгледайте съответното хомогенно уравнение y" "+ 4y" + 3y = 0. Корените на неговото характеристично уравнение r 2 + 4r + 3 = 0 са равни на -1 и -3. Следователно основната система от решения на хомогенното уравнение се състои от функциите y 1 = e - x и y 2 = e -3 x. Търсим решението на нехомогенното уравнение във вида y = C 1 (x) e - x + C 2 (x) e -3 x. За да намерим производните C "1, C" 2, съставяме системата от уравнения (8)
C ′ 1 e -x + C ′ 2 e -3x = 0
-C ′ 1 e -x -3C ′ 2 e -3x = 9e -3x
решавайки който, намираме, Интегриране на получените функции, имаме
Най-накрая получаваме

Пример №2. Решаване на линейни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти по метода на вариация на произволни константи:

y (0) = 1 + 3ln3
y ’(0) = 10ln3

Решение:
Това диференциално уравнение се отнася до линейни диференциални уравнения с постоянни коефициенти.
Ще търсим решение на уравнението във вида y = e rx. За да направим това, съставяме характеристичното уравнение на линейно хомогенно диференциално уравнение с постоянни коефициенти:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 - 4 1 8 = 4

Корени на характеристичното уравнение: r 1 = 4, r 2 = 2
Следователно основната система от решения се състои от функциите: y 1 = e 4x, y 2 = e 2x
Общото решение на хомогенното уравнение е: y = C 1 e 4x + C 2 e 2x
Търсене на конкретно решение чрез метода на вариация на произволна константа.
За да намерим производните C"i, съставяме система от уравнения:
C ′ 1 e 4x + C ′ 2 e 2x = 0
C ′ 1 (4e 4x) + C ′ 2 (2e 2x) = 4 / (2 + e -2x)
Нека изразим C "1 от първото уравнение:
C "1 = -c 2 e -2x
и заместник във втория. В резултат на това получаваме:
C "1 = 2 / (e 2x + 2e 4x)
C "2 = -2e 2x / (e 2x + 2e 4x)
Интегрираме получените функции C"i:
C 1 = 2ln (e -2x +2) - e -2x + C * 1
C 2 = ln (2e 2x +1) - 2x + C * 2

Тъй като y = C 1 e 4x + C 2 e 2x, тогава записваме получените изрази във вида:
C 1 = (2ln (e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln (e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln (2e 2x +1) - 2x + C * 2) e 2x = e 2x ln (2e 2x +1) - 2x e 2x + C * 2 e 2x
По този начин общото решение на диференциалното уравнение има вида:
y = 2 e 4x ln (e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln (2e 2x +1) - 2x e 2x + C * 2 e 2x
или
y = 2 e 4x ln (e -2x +2) - e 2x + e 2x ln (2e 2x +1) - 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x

Нека намерим конкретно предоставено решение:
y (0) = 1 + 3ln3
y ’(0) = 10ln3

Замествайки x = 0 в намереното уравнение, получаваме:
y (0) = 2 ln (3) - 1 + ln (3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln (3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
Намерете първата производна на полученото общо решение:
y ’= 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln (e -2x +2) + ln (2e 2x +1) -2)
Замествайки x = 0, получаваме:
y ’(0) = 2 (2C 1 + C 2 +4 ln (3) + ln (3) -2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln (3) -4 = 10ln3

Получаваме система от две уравнения:
3 ln (3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10 ln (3) -4 = 10ln3
или
C * 1 + C * 2 = 2
4C 1 + 2C 2 = 4
или
C * 1 + C * 2 = 2
2C 1 + C 2 = 2
Откъде: C 1 = 0, C * 2 = 2
Частно решение ще бъде написано като:
y = 2e 4x ln (e -2x +2) - e 2x + e 2x ln (2e 2x +1) - 2x e 2x + 2 e 2x

Метод на вариация на произволни константи

Методът за вариация на произволни константи за конструиране на решение на линейно нехомогенно диференциално уравнение

а н (т)z (н) (т) + а н − 1 (т)z (н − 1) (т) + ... + а 1 (т)z"(т) + а 0 (т)z(т) = е(т)

се състои в замяна на произволни константи ° С кобщо решение

z(т) = ° С 1 z 1 (т) + ° С 2 z 2 (т) + ... + ° С н z н (т)

съответното хомогенно уравнение

а н (т)z (н) (т) + а н − 1 (т)z (н − 1) (т) + ... + а 1 (т)z"(т) + а 0 (т)z(т) = 0

към спомагателни функции ° С к (т) чиито производни удовлетворяват линейната алгебрична система

Детерминантата на система (1) е Вронскиан на функциите z 1 ,z 2 ,...,z н , което гарантира неговата уникална разрешимост по отношение на.

Ако са антипроизводни за, взети при фиксирани стойности на интегриращите константи, тогава функцията

е решение на оригиналното линейно нехомогенно диференциално уравнение. Така интегрирането на нехомогенно уравнение в присъствието на общо решение на съответното хомогенно уравнение се свежда до квадратури.

Вариационен метод за произволни константи за конструиране на решения на система от линейни диференциални уравнения във векторна нормална форма

се състои в конструиране на конкретно решение (1) във формата

където З(т) е основа на решения на съответното хомогенно уравнение, записани под формата на матрица, а векторната функция, която заменя вектора на произволните константи, се дефинира от релацията. Желаното конкретно решение (с нулеви начални стойности при т = т 0 има формата

За система с постоянни коефициенти последният израз е опростен:

Матрица З(т)З- 1 (τ)Наречен матрицата на Кошиоператор Л = А(т) .

Лекция 44. Линейни нехомогенни уравнения от втори ред. Метод за вариация на произволни константи. Линейни нехомогенни уравнения от втори ред с постоянни коефициенти. (специална дясна страна).

Социални трансформации. Държава и църква.

Социалната политика на болшевиките до голяма степен беше продиктувана от техния класов подход.С указ от 10 ноември 1917 г. имотната система е унищожена, дореволюционните звания, титли и награди са премахнати. Установена е избираемостта на съдиите; е извършена секуларизация на гражданските държави. Създава се безплатно образование и медицинско обслужване (указ от 31 октомври 1918 г.). Жените получават равни права с мъжете (укази от 16 и 18 декември 1917 г.). Брачният указ въвежда института на гражданския брак.

С указ на Съвета на народните комисари от 20 януари 1918 г. църквата е отделена от държавата и от образователната система. По-голямата част от църковното имущество е конфискувана. Патриарх Московски и цяла Русия Тихон (избран на 5 ноември 1917 г.) на 19 януари 1918 г. анатемосван съветска власти призова за борба срещу болшевиките.

Да разгледаме линейното нехомогенно уравнение от втори ред

Структурата на общото решение на такова уравнение се определя от следната теорема:

Теорема 1.Общото решение на нехомогенното уравнение (1) се представя като сбор от частно решение на това уравнение и общото решение на съответното хомогенно уравнение

Доказателство... Необходимо е да се докаже, че сумата

е общото решение на уравнение (1). Нека първо докажем, че функцията (3) е решение на уравнение (1).

Заместване на сумата в уравнение (1) вместо в, ще има

Тъй като има решение на уравнение (2), изразът в първите скоби е идентично равен на нула. Тъй като има решение на уравнение (1), изразът във вторите скоби е равен на е (х)... Следователно равенството (4) е тъждество. Така първата част от теоремата е доказана.

Нека докажем второто твърдение: израз (3) е общрешение на уравнение (1). Трябва да докажем, че произволните константи, включени в този израз, могат да бъдат избрани така, че първоначалните условия да са удовлетворени:

каквито и да са числата x 0, y 0и (ако само х 0е взета от района, където функционира а 1, а 2и е (х)непрекъснато).

Забелязване на това, което може да бъде представено във формата. Тогава, въз основа на условия (5), ще имаме

Нека да решим тази система и да дефинираме C 1и C 2... Нека пренапишем системата като:

Забележете, че детерминантата на тази система е детерминантата на Вронски за функциите на 1и на 2в точката х = х 0... Тъй като тези функции са линейно независими по хипотеза, детерминантата на Вронски не е равна на нула; следователно, системата (6) има определено решение C 1и C 2, т.е. има такива стойности C 1и C 2, за което формула (3) дефинира решение на уравнение (1), което удовлетворява зададените начални условия. Q.E.D.

Нека се обърнем към общия метод за намиране на частни решения на нехомогенно уравнение.

Нека напишем общото решение на хомогенното уравнение (2)

Ще търсим конкретно решение на нехомогенното уравнение (1) във формата (7), като се има предвид C 1и C 2като някои все още неизвестни функции от Х.

Нека диференцираме равенството (7):

Нека изберем необходимите функции C 1и C 2така че равенството

Имайки предвид това допълнително условие, тогава първата производна приема формата

Разграничавайки този израз сега, откриваме:

Замествайки в уравнение (1), получаваме

Изразите в първите две скоби изчезват, защото y 1и y 2- решения на хомогенно уравнение. Следователно последното равенство приема формата

По този начин функция (7) ще бъде решение на нехомогенното уравнение (1), ако функциите C 1и C 2удовлетворяват уравнения (8) и (9). Нека съставим система от уравнения от уравнения (8) и (9).

Тъй като детерминантата на тази система е детерминантата на Вронски за линейно независими решения y 1и y 2уравнение (2), то не е равно на нула. Следователно, решавайки системата, намираме като определени функции на х:

Решавайки тази система, намираме къде в резултат на интегрирането получаваме. След това заместваме намерените функции във формулата, получаваме общото решение на нехомогенното уравнение, където са произволни константи.