Уравнение на права линия през 2 точки онлайн. Уравнение на права линия, минаваща през две дадени точки

Дадени са две точки M 1 (x 1, y 1)и M 2 (x 2, y 2)... Записваме уравнението на правата във вида (5), където квсе още неизвестен коефициент:

От точката М 2принадлежи на дадена права линия, то координатите й удовлетворяват уравнение (5):. Изразявайки от това и го замествайки в уравнение (5), получаваме изискваното уравнение:

Ако това уравнение може да бъде пренаписано във вид, по-удобен за запомняне:

(6)

Пример.Запишете уравнението на правата линия, минаваща през точките M 1 (1.2) и M 2 (-2.3)

Решение. ... Използвайки свойството на пропорция и извършвайки необходимите трансформации, получаваме общото уравнение на правата линия:

Ъгъл между две прави линии

Помислете за два реда л 1и л 2:

л 1: , , и

л 2: , ,

φ е ъгълът между тях (). Фигура 4 показва:.

Оттук , или

С помощта на формула (7) може да се определи един от ъглите между правите. Вторият ъгъл е.

Пример... Две прави линии са дадени от уравненията y = 2x + 3 и y = -3x + 2. намерете ъгъла между тези прави.

Решение... От уравненията се вижда, че k 1 = 2 и k 2 = -3. замествайки тези стойности във формула (7), намираме

... Следователно ъгълът между тези линии е равен.

Условия за успоредност и перпендикулярност на две прави

Ако прави л 1и л 2тогава са успоредни φ=0 и tgφ = 0... от формула (7) следва, че откъдето k 2 = k 1... По този начин условието за успоредност на две прави прави е равенството на техните наклони.

Ако прави л 1и л 2тогава са перпендикулярни φ = π / 2, α 2 = π / 2 + α 1. ... По този начин, условието за перпендикулярност на две прави линии е техните наклони да са реципрочни по големина и противоположни по знак.

Разстояние от точка до линия

Теорема. Ако е дадена точка M (x 0, y 0), тогава разстоянието до правата линия Ax + Vy + C = 0 се определя като

Доказателство. Нека точка M 1 (x 1, y 1) е основата на перпендикуляра, спуснат от точка M върху дадена права линия. Тогава разстоянието между точките M и M 1:

Координатите x 1 и y 1 могат да бъдат намерени като решение на системата от уравнения:

Второто уравнение на системата е уравнението на правата линия, минаваща през тази точка M 0 перпендикулярно на дадена права линия.

Ако трансформираме първото уравнение на системата във вида:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

тогава, решавайки, получаваме:

Замествайки тези изрази в уравнение (1), намираме:

Теоремата е доказана.

Пример.Определете ъгъла между правите: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k1 = -3; k 2 = 2 tgj =; j = p / 4.

Пример.Покажете, че правите 3x - 5y + 7 = 0 и 10x + 6y - 3 = 0 са перпендикулярни.

Откриваме: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, следователно правите линии са перпендикулярни.

Пример.Дадени са върховете на триъгълника A (0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Намерете уравнението за височината, изтеглена от връх C.

Намираме уравнението на страната AB:; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

Необходимото уравнение за височина е: Ax + By + C = 0 или y = kx + b.

k =. Тогава y =. Защото височина минава през точка C, тогава нейните координати удовлетворяват това уравнение: откъдето b = 17. Общо:.

Отговор: 3x + 2y - 34 = 0.

Разстоянието от точка до права линия се определя от дължината на перпендикуляра, спуснат от точка до права линия.

Ако правата е успоредна на проекционната равнина (h | | P 1), след това, за да се определи разстоянието от точката Адо прав знеобходимо е да спуснете перпендикуляра от точката Ана хоризонтала з.

Помислете за повече сложен примеркогато правата линия е в общо положение. Нека е необходимо да се определи разстоянието от точката Мдо прав аобща позиция.

Задачата за определяне разстояние между успоредни линиирешен подобно на предишния. На една права линия се взема точка, от нея се спуска перпендикуляр на друга права линия. Дължината на перпендикуляра е равна на разстоянието между успоредните прави.

Крива от втори редсе нарича права, определена от уравнение от втора степен спрямо текущите декартови координати. Като цяло Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0,

където A, B, C, D, E, F са реални числа и поне едно от числата A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0.

кръг

Център на кръга- това е мястото на точките в равнината, еднакво отдалечена от точката на равнината C (a, b).

Кръгът се дава от следното уравнение:

Където x, y са координатите на произволна точка от окръжността, R е радиусът на окръжността.

Уравнение на обиколката

1. Няма член с x, y

2. Равни коефициенти при x 2 и y 2

Елипса

Елипсасе нарича място на точките в равнина, сумата от разстоянията на всяка от които от две дадени точки от тази равнина се нарича фокуси (постоянна стойност).

Канонично уравнение на елипса:

X и y принадлежат на елипса.

а - голяма полуос на елипсата

b - малка полуос на елипсата

Елипсата има 2 оси на симетрия OX и OY. Осите на симетрия на елипсата са нейните оси, точката на тяхното пресичане е центърът на елипсата. Оста, върху която са разположени фокусите, се нарича фокална ос... Точката на пресичане на елипсата с осите е върхът на елипсата.

Коефициент на компресия (разтягане): ε = s / a- ексцентриситет (характеризира формата на елипсата), колкото по-малка е тя, толкова по-малко ще се разтяга елипсата по фокалната ос.

Ако центровете на елипсата не са в центъра на C (α, β)

Хипербола

Хиперболасе нарича местоположение на точките в равнината, абсолютната стойност на разликата в разстоянията, всяка от които от две дадени точки от тази равнина, наречени фокуси, е постоянна стойност, различна от нула.

Канонично уравнение на хипербола

Хиперболата има 2 оси на симетрия:

a е реалната полуос на симетрия

b - въображаема полуос на симетрия

Асимптоти на хипербола:

парабола

параболасе нарича местоположението на точките в равнината, еднакво отдалечени от дадена точка F, наречена фокус и дадена права линия, наречена директриса.

Канонично параболно уравнение:

Y 2 = 2px, където p е разстоянието от фокуса до директрисата (параболен параметър)

Ако върхът на параболата C (α, β), тогава уравнението на параболата (y-β) 2 = 2p (x-α)

Ако фокалната ос се вземе като ординатна ос, тогава уравнението на параболата ще приеме вида: x 2 = 2qу

Нека правата минава през точките M 1 (x 1; y 1) и M 2 (x 2; y 2). Уравнението на правата линия, минаваща през точката M 1, има вида y-y 1 = к (x - x 1), (10.6)

където к - все още неизвестен коефициент.

Тъй като правата линия минава през точка M 2 (x 2 y 2), координатите на тази точка трябва да отговарят на уравнението (10.6): y 2 -y 1 = к (x 2 -x 1).

От тук намираме Заместване на намерената стойност к в уравнение (10.6), получаваме уравнението на права линия, минаваща през точки M 1 и M 2:

Приема се, че в това уравнение x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Ако x 1 = x 2, тогава правата линия, минаваща през точките M 1 (x 1, y I) и M 2 (x 2, y 2), е успоредна на оста на ординатите. Неговото уравнение има формата х = х 1 .

Ако y 2 = y I, тогава уравнението на правата линия може да бъде записано като y = y 1, правата линия M 1 M 2 е успоредна на оста на абсцисата.

Уравнение на права линия в сегменти

Нека правата пресича оста Ox в точка M 1 (a; 0), а оста Oy - в точка M 2 (0; b). Уравнението ще приеме формата:
тези.
... Това уравнение се нарича уравнението на права линия в сегменти, тъй като числата a и b показват кои отсечки са отрязани с права линия по координатните оси.

Уравнение на права линия, минаваща през дадена точка, перпендикулярна на даден вектор

Нека намерим уравнението на права линия, минаваща през дадена точка Mo (x O; y o), перпендикулярна на даден ненулев вектор n = (A; B).

Вземете произволна точка M (x; y) на права линия и разгледайте вектора M 0 M (x - x 0; y - y o) (виж фиг. 1). Тъй като векторите n и M o M са перпендикулярни, тяхното скаларно произведение е нула: т.е.

A (x - xo) + B (y - yo) = 0. (10.8)

Уравнение (10.8) се нарича уравнението на права линия, минаваща през дадена точка, перпендикулярна на даден вектор .

Векторът n = (A; B), перпендикулярен на правата линия, се нарича нормален нормален вектор на тази права .

Уравнение (10.8) може да се пренапише като Ax + Wu + C = 0 , (10.9)

където A и B са координатите на нормалния вектор, C = -Aх о - Ву о - свободен член. Уравнение (10.9) е общото уравнение на правата линия(виж фиг. 2).

Фиг. 1 Фиг. 2

Канонични уравнения на правата линия

,

Където
- координати на точката, през която минава правата линия, и
е векторът на посоката.

Криви от втори ред кръг

Кръгът е множеството от всички точки на равнината, еднакво отдалечени от дадена точка, която се нарича център.

Каноничното уравнение на окръжност с радиус Р центрирано в точката
:

По-специално, ако центърът на залога съвпада с началото, тогава уравнението ще изглежда така:

Елипса

Елипса е набор от точки в равнина, сумата от разстоянията от всяка от които до две дадени точки и , които се наричат ​​фокуси, имат константа
по-голямо от разстоянието между фокусите
.

Каноничното уравнение на елипса, чиито фокуси лежат върху оста Ox, а началото на координатите в средата между фокусите има формата
г деа дължината на голямата полуос;б - дължината на малката полуос (фиг. 2).

Връзка между параметрите на елипсата
и изразено чрез съотношението:

(4)

Елипса на ексцентриситетанаречено съотношение на междуфокалното разстояние2вкъм главната ос2а:

Директорки елипси се наричат ​​прави линии, успоредни на оста Oy, които са на разстояние от тази ос. Директрисни уравнения:
.

Ако в уравнението на елипсата
, то фокусите на елипсата са на оста Oy.

Така,

Свойства на права линия в евклидовата геометрия.

Можете да начертаете безкрайно много прави линии през всяка точка.

Една права линия може да бъде начертана през всякакви две несъвпадащи точки.

Две несъответстващи прави линии на равнина или се пресичат в една точка, или са

успоредна (следва от предишната).

В триизмерното пространство има три варианта взаимно разположениедве прави линии:

• прави линии се пресичат;

• правите линии са успоредни;

• прави линии се пресичат.

Направо линия- алгебрична крива от първи ред: в декартова координатна система права линия

се дава на равнината от уравнение от първа степен (линейно уравнение).

Общо уравнениеправ.

Определение... Всяка права линия на равнина може да бъде дадена с уравнение от първи ред

Ax + Wu + C = 0,

с константа А, Бне са равни на нула едновременно. Това уравнение от първи ред се нарича често срещани

уравнение на права линия.В зависимост от стойностите на константите А, Би Свъзможни са следните специални случаи:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- правата минава през началото

. A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C = 0)- права линия, успоредна на оста ох

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- права линия, успоредна на оста OU

. B = C = 0, A ≠ 0- правата линия съвпада с оста OU

. A = C = 0, B ≠ 0- правата линия съвпада с оста ох

Правото уравнение може да бъде представено в различни формив зависимост от всяко дадено

начални условия.

Уравнение на права линия по протежение на точка и нормален вектор.

Определение... В декартова правоъгълна координатна система, вектор с компоненти (A, B)

перпендикулярно на правата, дадена от уравнението

Ax + Wu + C = 0.

Пример... Намерете уравнението на права линия, минаваща през точка А (1, 2)перпендикулярно на вектора (3, -1).

Решение... При A = 3 и B = -1 съставяме уравнението на правата линия: 3x - y + C = 0. За да намерим коефициента C

заместваме координатите на дадена точка A в получения израз. Получаваме: 3 - 2 + C = 0, следователно

C = -1. Общо: необходимото уравнение: 3x - y - 1 = 0.

Уравнение на права линия, минаваща през две точки.

Нека в пространството са дадени две точки M 1 (x 1, y 1, z 1)и M2 (x 2, y 2, z 2),тогава уравнение на права линия,

преминавайки през тези точки:

Ако някой от знаменателите е нула, съответният числител трябва да бъде равен на нула. На

равнина, уравнението на правата линия, написана по-горе, е опростено:

ако x 1 ≠ x 2и х = х 1, ако х 1 = х 2 .

Фракция = kНаречен наклон прав.

Пример... Намерете уравнението на правата линия, минаваща през точките A (1, 2) и B (3, 4).

Решение... Прилагайки горната формула, получаваме:

Уравнение на права линия по точка и наклон.

Ако общото уравнение на правата линия Ax + Wu + C = 0доведе до формата:

и посочете , тогава полученото уравнение се нарича

уравнение на права линия с наклон k.

Уравнение на права линия по протежение на точка и вектор на посоката.

По аналогия с параграфа, който разглежда уравнението на права линия през нормалния вектор, можете да влезете в задачата

права линия през точка и вектор на посоката на права линия.

Определение... Всеки ненулев вектор (α 1, α 2)чиито компоненти отговарят на условието

Аα 1 + Вα 2 = 0Наречен насочващ вектор на права линия.

Ax + Wu + C = 0.

Пример... Намерете уравнението на права линия с вектор на посока (1, -1) и минаваща през точка A (1, 2).

Решение... Уравнението на необходимата права линия ще се търси във вида: Ax + By + C = 0.Според определението,

коефициентите трябва да отговарят на условията:

1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = Б.

Тогава уравнението на правата линия има вида: Ax + Ay + C = 0,или x + y + C / A = 0.

в x = 1, y = 2получаваме C / A = -3, т.е. необходимо уравнение:

x + y - 3 = 0

Уравнение на права линия в сегменти.

Ако в общото уравнение на правата линия Ax + Vy + C = 0 C ≠ 0, тогава, разделяйки на -C, получаваме:

или къде

Геометричен смисълкоефициенти в този коефициент a е координатата на пресечната точка

права с ос о,а б- координатата на пресечната точка на правата с оста OU

Пример... Дадено е общото уравнение на правата линия x - y + 1 = 0.Намерете уравнението на тази права линия на отсечки.

C = 1, a = -1, b = 1.

Нормално уравнение на права линия.

Ако и двете страни на уравнението Ax + Wu + C = 0разделете на число което се нарича

нормализиращ фактор, тогава получаваме

xcosφ + ysinφ - p = 0 -нормално уравнение на правата.

Знакът ± на нормализиращия фактор трябва да бъде избран така, че μ * C< 0.

Р- дължината на перпендикуляра, спуснат от началото до правата линия,

а φ - ъгълът, образуван от този перпендикуляр с положителната посока на оста ох.

Пример... Дадено е общо уравнение на правата линия 12x - 5y - 65 = 0... Изисква се за писане на различни видове уравнения

тази права линия.

Уравнението на тази права в сегменти:

Уравнение на тази права с наклон: (раздели на 5)

Уравнение на права линия:

cos φ = 12/13; sin φ = -5/13; р = 5.

Трябва да се отбележи, че не всяка права линия може да бъде представена с уравнение на сегменти, например прави линии,

успоредни на осите или минаващи през началото.

Ъгълът между правите в равнината.

Определение... Ако са дадени два реда y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, след това остър ъгъл между тези линии

ще се дефинира като

Две прави са успоредни, ако k 1 = k 2... Две прави линии са перпендикулярни,

ако k 1 = -1 / k 2 .

Теорема.

Директен Ax + Wu + C = 0и A 1 x + B 1 y + C 1 = 0са успоредни, когато коефициентите са пропорционални

А 1 = λА, В 1 = λВ... Ако също С 1 = λС, то правите съвпадат. Координати на пресечната точка на две прави

се намират като решение на системата от уравнения на тези прави линии.

Уравнение на права линия, минаваща през дадена точка, перпендикулярна на дадена права линия.

Определение... Линия през точка M 1 (x 1, y 1)и перпендикулярно на линията y = kx + b

се представя от уравнението:

Разстояние от точка до линия.

Теорема... Ако е дадена точка M (x 0, y 0),разстоянието до правата линия Ax + Wu + C = 0дефиниран като:

Доказателство... Нека точката M 1 (x 1, y 1)- основата на перпендикуляра, изпусната от точката Мза даденост

права. След това разстоянието между точките Ми М 1:

(1)

Координати х 1и на 1може да се намери като решение на системата от уравнения:

Второто уравнение на системата е уравнението на права линия, минаваща през дадена точка M 0 перпендикулярно на

дадена права линия. Ако трансформираме първото уравнение на системата във вида:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

тогава, решавайки, получаваме:

Замествайки тези изрази в уравнение (1), намираме:

Теоремата е доказана.

Тази статия разкрива получаването на уравнението на права линия, минаваща през две дадени точки в правоъгълна координатна система, разположена върху равнина. Нека изведем уравнението на права линия, минаваща през две дадени точки в правоъгълна координатна система. Нагледно ще покажем и решим няколко примера, свързани с обхванатия материал.

Преди да се получи уравнението на права линия, минаваща през две дадени точки, е необходимо да се обърне внимание на някои факти. Има една аксиома, която гласи, че през две несъвпадащи точки на равнината е възможно да се начертае права линия и само една. С други думи, две дадени точки от равнината се определят от права линия, минаваща през тези точки.

Ако равнината е определена от правоъгълна координатна система Oxy, тогава всяка права линия, изобразена в нея, ще съответства на уравнението на права линия в равнината. Съществува и връзка с вектора на посоката на правата линия.Тези данни са достатъчни за генериране на уравнението на права линия, преминаваща през две дадени точки.

Нека разгледаме пример за решаване на подобен проблем. Необходимо е да се състави уравнение на правата линия a, минаваща през две несъвпадащи точки M 1 (x 1, y 1) и M 2 (x 2, y 2), които са в декартовата координатна система.

В каноничното уравнение на права линия върху равнина, която има формата x - x 1 ax = y - y 1 ay, е посочена правоъгълна координатна система O xy с права линия, която се пресича с нея в точка с координати M 1 (x 1, y 1) с направляващ вектор a → = (ax, ay).

Необходимо е да се състави каноничното уравнение на правата линия a, която минава през две точки с координати M 1 (x 1, y 1) и M 2 (x 2, y 2).

Правата a има вектор на посока M 1 M 2 → с координати (x 2 - x 1, y 2 - y 1), тъй като пресича точки M 1 и M 2. Получихме необходимите данни, за да трансформираме каноничното уравнение с координатите на вектора на посоката M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) и координатите на точките M 1 (x 1, y 1) лежащи върху тях и M 2 (x 2, y 2). Получаваме уравнение от вида x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 или x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1.

Помислете за фигурата по-долу.

След изчисленията записваме параметричните уравнения на права линия върху равнина, която минава през две точки с координати M 1 (x 1, y 1) и M 2 (x 2, y 2). Получаваме уравнение от вида x = x 1 + (x 2 - x 1) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ или x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ.

Нека разгледаме по-подробно решението на няколко примера.

Пример 1

Запишете уравнението на права линия, минаваща през 2 дадени точки с координати M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6.

Решение

Каноничното уравнение за права линия, пресичаща се в две точки с координати x 1, y 1 и x 2, y 2, приема формата x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Съгласно условието на задачата имаме, че x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6. Необходимо е да се замени числови стойностив уравнението x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. От тук получаваме, че каноничното уравнение приема формата x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Отговор: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Ако трябва да решите проблем с различен вид уравнение, тогава първо можете да преминете към каноничното, тъй като е по-лесно да стигнете от него до всяко друго.

Пример 2

Начертайте общото уравнение на правата линия, минаваща през точките с координати M 1 (1, 1) и M 2 (4, 2) в координатната система O x y.

Решение

Първо, трябва да запишете каноничното уравнение на дадена права линия, която минава през дадените две точки. Получаваме уравнение от вида x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1.

Нека приведем каноничното уравнение до необходимия вид, тогава получаваме:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Отговор: x - 3 y + 2 = 0.

Примери за такива задачи бяха разгледани в училищните учебници в уроците по алгебра. Училищни задачисе различава по това, че добре познатото уравнение на права линия с наклон, имаща формата y = k x + b. Ако трябва да намерите стойността на наклона k и числото b, за което уравнението y = kx + b дефинира права в системата O xy, която минава през точките M 1 (x 1, y 1) и M 2 ( x 2, y 2) , където x 1 ≠ x 2. Когато x 1 = x 2 , тогава наклонът приема стойността на безкрайност, а правата М 1 М 2 се определя от общо непълно уравнение от вида x - x 1 = 0 .

Защото точките М 1и М 2са на права линия, то техните координати удовлетворяват уравнението y 1 = k x 1 + b и y 2 = k x 2 + b. Необходимо е да се реши системата от уравнения y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b за k и b.

За да направите това, намерете k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 или k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

При такива стойности на k и b, уравнението на правата линия, преминаваща през дадените две точки, приема следния вид y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 или y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Запомнянето на такъв огромен брой формули наведнъж няма да работи. За да направите това, трябва да увеличите броя на повторенията в решенията на проблеми.

Пример 3

Запишете уравнението на правата линия с наклона, минаваща през точките с координати M 2 (2, 1) и y = k x + b.

Решение

За да решим задачата, използваме формула с наклон, която има формата y = k x + b. Коефициентите k и b трябва да приемат такава стойност, че това уравнение да съответства на права линия, минаваща през две точки с координати M 1 (- 7, - 5) и M 2 (2, 1).

точки М 1и М 2са разположени на права линия, то техните координати трябва да обърнат уравнението y = k x + b вярно равенство. От това получаваме, че - 5 = k (- 7) + b и 1 = k 2 + b. Комбинирайте уравнението в системата - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b и решете.

При замяна намираме това

5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 kk = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Сега стойностите k = 2 3 и b = - 1 3 се заменят в уравнението y = k x + b. Получаваме, че търсеното уравнение, преминаващо през дадените точки, е уравнение от вида y = 2 3 x - 1 3.

Това решение предопределя разходите Голям бройвреме. Има начин, по който задачата се решава буквално в две стъпки.

Записваме каноничното уравнение на правата линия, минаваща през M 2 (2, 1) и M 1 (- 7, - 5), което има формата x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6.

Сега се обръщаме към уравнението в наклона. Получаваме, че: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3.

Отговор: y = 2 3 x - 1 3.

Ако в триизмерното пространство има правоъгълна координатна система O xyz с две определени несъвпадащи точки с координати M 1 (x 1, y 1, z 1) и M 2 (x 2, y 2, z 2), a права линия M 1 M 2, е необходимо да се получи уравнението на тази права линия.

Имаме тези канонични уравнения от вида x - x 1 ax = y - y 1 ay = z - z 1 az и параметрични уравнения от вида x = x 1 + ax λ y = y 1 + ay λ z = z 1 + az λ могат да задават права в координатната система O x y z, минаваща през точките с координати (x 1, y 1, z 1) с вектор на посока a → = (ax, ay, az).

Прави M 1 M 2 има вектор на посоката от вида M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1), където правата минава през точката M 1 (x 1, y 1, z 1) и M 2 (x 2, y 2, z 2), следователно каноничното уравнение може да бъде от вида x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 или x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1, на свой ред параметричен x = x 1 + (x 2 - x 1) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ или x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) Λ z = z 2 + (z 2 - z 1) λ.

Помислете за фигура, която показва 2 дадени точки в пространството и уравнението на права линия.

Пример 4

Напишете уравнението на права линия, дефинирана в правоъгълна координатна система O xyz на триизмерно пространство, минаваща през дадени две точки с координати M 1 (2, - 3, 0) и M 2 (1, - 3, - 5 ).

Решение

Необходимо е да се намери каноничното уравнение. Тъй като говорим за триизмерно пространство, това означава, че когато права линия минава през дадени точки, желаното канонично уравнение ще приеме формата x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 ...

По хипотеза имаме, че x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Оттук следва, че необходими уравненияще бъде написано по следния начин:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Отговор: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

Ако забележите грешка в текста, моля, изберете я и натиснете Ctrl + Enter

Дадени са две точки М(NS 1 ,Имайте 1) и н(NS 2,г 2). Нека намерим уравнението на правата линия, минаваща през тези точки.

Тъй като тази права минава през точката М, то съгласно формула (1.13) уравнението му има вида

Имайте – Й 1 = К(Х - х 1),

Където К- неизвестен наклон.

Стойността на този коефициент се определя от условието, че желаната права линия минава през точката ни следователно координатите му удовлетворяват уравнението (1.13)

Й 2 – Й 1 = К(х 2 – х 1),

От тук можете да намерите наклона на тази права линия:

,

Или след преобразуване

(1.14)

Формула (1.14) определя Уравнение на права линия, минаваща през две точки М(х 1, Й 1) и н(х 2, Й 2).

В специалния случай, когато точките М(А, 0), н(0, Б), А ¹ 0, Б¹ 0, лежат върху координатните оси, уравнението (1.14) придобива по-опростен вид

Уравнение (1.15)Наречен Чрез уравнението на права линия в сегменти, тук Аи Бобозначават сегментите, отрязани с права линия по осите (Фигура 1.6).

Фигура 1.6

Пример 1.10. Приравнете права линия през точки М(1, 2) и Б(3, –1).

. Съгласно (1.14) уравнението на търсената права има вида

2(Й – 2) = -3(х – 1).

Прехвърляне на всички членове към лява страна, накрая получаваме необходимото уравнение

3х + 2Й – 7 = 0.

Пример 1.11. Приравнете права линия през точка М(2, 1) и точката на пресичане на правите х+ Y - 1 = 0, X - y+ 2 = 0.

. Откриваме координатите на пресечната точка на правите, като заедно решаваме дадените уравнения

Ако съберем тези уравнения член по член, получаваме 2 х+ 1 = 0, откъдето. Замествайки намерената стойност във всяко уравнение, намираме стойността на ординатата Имайте:

Сега пишем уравнението на правата линия, минаваща през точките (2, 1) и:

или .

Следователно, или –5 ( Й – 1) = х – 2.

Накрая получаваме уравнението на желаната права линия във формата NS + 5Й – 7 = 0.

Пример 1.12. Намерете уравнението на правата линия, минаваща през точките М(2,1) и н(2,3).

Използвайки формула (1.14), получаваме уравнението

Няма смисъл, тъй като вторият знаменател е нула. От постановката на задачата се вижда, че абсцисите на двете точки имат еднаква стойност. Следователно търсената права е успоредна на оста OYи нейното уравнение е: х = 2.

Коментирайте . Ако при записване на уравнението на права линия съгласно формула (1.14) един от знаменателите се окаже равен на нула, тогава желаното уравнение може да се получи чрез приравняване на съответния числител към нула.

Помислете за други начини за дефиниране на права линия върху равнина.

1. Нека ненулев вектор е перпендикулярен на дадената права Ли точка М 0(х 0, Й 0) лежи на тази права линия (Фигура 1.7).

Фигура 1.7

Ние означаваме М(х, Й) произволна точка на правата Л... Вектори и Ортогонална. Използвайки условията за ортогоналност за тези вектори, получаваме едно от двете А(х – х 0) + Б(Й – Й 0) = 0.

Получаваме уравнението на права линия, минаваща през точка М 0 перпендикулярно на вектора. Този вектор се нарича Нормалният вектор до прав Л... Полученото уравнение може да се пренапише като

ох + Уау + С= 0, където С = –(Ах 0 + от 0), (1.16),

Където Аи V- координати на нормалния вектор.

Нека получим общото уравнение на правата в параметрична форма.

2. Права линия върху равнина може да бъде определена по следния начин: нека ненулев вектор е успореден на дадена права линия Ли точка М 0(х 0, Й 0) лежи на тази права линия. Да вземем отново произволна точка М(NS, y) по права линия (Фигура 1.8).

Фигура 1.8

Вектори и колинеарна.

Нека запишем условието за колинеарност за тези вектори:, където T- произволно число, наречено параметър. Нека запишем това равенство в координати:

Тези уравнения се наричат Параметрични уравнения Направо... От тези уравнения изключваме параметъра T:

В противен случай тези уравнения могат да бъдат записани във формата

. (1.18)

Полученото уравнение се нарича Каноничното уравнение на правата линия... Векторът се нарича Векторът на посоката на правата линия .

Коментирайте . Лесно е да се види, че ако е нормален вектор към правата Л, то неговият вектор на посоката може да бъде вектор, тъй като, т.е.

Пример 1.13. Напишете уравнението на правата линия, минаваща през точката М 0 (1, 1) успоредно на права линия 3 NS + 2Имайте– 8 = 0.

Решение . Векторът е нормален вектор към дадените и желани прави линии. Ще използваме уравнението на правата линия, минаваща през точката М 0 с даден нормален вектор 3 ( NS –1) + 2(Имайте- 1) = 0 или 3 NS + 2г- 5 = 0. Получава се уравнението на желаната права линия.