Комплексните числа намират всички стойности. Комплексни числа
ФЕДЕРАЛНА АГЕНЦИЯ ЗА ОБРАЗОВАНИЕ
ДЪРЖАВНА УЧЕБНА ИНСТИТУЦИЯ
ВИСШЕ ПРОФЕСИОНАЛНО ОБРАЗОВАНИЕ
"ВОРОНЕЖКИ ДЪРЖАВЕН ПЕДАГОГИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ"
КАФЕДРА ПО АГЛЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ
Комплексни числа
ЗАКЛЮЧИТЕЛНА КВАЛИФИКАЦИОННА РАБОТА
специалност 050201.65 математика
(с допълнителна специалност 050202.65 информатика)
Изпълнено от: студент 5 курс
физически и математически
факултет
ВОРОНЕЖ - 2008г
1. Въведение……………………………………………………...…………..…
2. Комплексни числа (избрани задачи)
2.1. Комплексни числа в алгебрична форма…………………….….
2.2. Геометрична интерпретация на комплексни числа…………..…
2.3. тригонометрична формакомплексни числа
2.4. Прилагане на теорията на комплексните числа към решението на уравнения от 3-та и 4-та степен……………..……………………………………………………………………
2.5. Комплексни числа и параметри…………………………………….
3. Заключение………………………………………………………………………………
4. Списък на литературата………………………………………………………………………………
1. Въведение
В програмата по математика на училищния курс теорията на числата се въвежда с помощта на примери за множества естествени числа, цялостен, рационален, ирационален, т.е. върху множеството от реални числа, чиито изображения запълват цялата числова права. Но вече в 8 клас няма достатъчно запас от реални числа, решаване на квадратни уравнения с отрицателен дискриминант. Следователно беше необходимо да се попълни запасът от реални числа с комплексни числа, за които е квадратен корен от отрицателно числоима смисъл.
Изборът на темата "Комплексни числа", като тема на моята финална квалификационна работа, е, че понятието комплексно число разширява знанията на учениците за бройните системи, за решаването на широк клас задачи както с алгебрично, така и с геометрично съдържание, за решаване на алгебрични уравнения от всякаква степен и за решаване на задачи с параметри.
В тази дипломна работа е разгледано решението на 82 задачи.
Първата част на основния раздел "Комплексни числа" съдържа решения на задачи с комплексни числав алгебрична форма се дефинират операциите събиране, изваждане, умножение, деление, операцията за конюгиране за комплексни числа в алгебрична форма, степента на въображаемата единица, модулът на комплексното число, както и се посочва правилото за извличане корен квадратенот комплексно число.
Във втората част се решават задачи за геометрична интерпретация на комплексни числа под формата на точки или вектори от комплексната равнина.
Третата част се занимава с операции с комплексни числа в тригонометрична форма. Използват се формули: De Moivre и извличане на корен от комплексно число.
Четвъртата част е посветена на решаването на уравнения от 3-та и 4-та степен.
При решаване на задачи от последната част "Комплексни числа и параметри" се използва и консолидира информацията, дадена в предходните части. Поредица от проблеми в тази глава е посветена на определянето на семейства от прави в комплексната равнина, дадени от уравнения (неравенства) с параметър. В част от упражненията трябва да решите уравнения с параметър (над полето C). Има задачи, при които сложна променлива едновременно удовлетворява редица условия. Характеристика на решаването на задачите от този раздел е свеждането на много от тях до решението на уравнения (неравенства, системи) от втора степен, ирационални, тригонометрични с параметър.
Характеристика на представянето на материала на всяка част е първоначалният вход теоретични основи, а по-късно и практическото им приложение при решаване на задачи.
В края тезае представен списък на използваната литература. Повечето от тях са доста подробни и достъпни. теоретичен материал, разглеждат се решения на някои задачи и практически задачиза независимо решение. Бих искал да обърна специално внимание на такива източници като:
1. Гордиенко Н.А., Беляева Е.С., Фирстов В.Е., Серебрякова И.В. Комплексни числа и тяхното приложение: Учеб. . Материал учебно ръководствопредставени под формата на лекции и практически упражнения.
2. Шклярски Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом И.М. Избрани задачи и теореми на елементарната математика. Аритметика и алгебра. Книгата съдържа 320 задачи, свързани с алгебра, аритметика и теория на числата. По своето естество тези задачи се различават значително от стандартните училищни задачи.
2. Комплексни числа (избрани задачи)
2.1. Комплексни числа в алгебрична форма
Решаването на много задачи по математика и физика се свежда до решаване на алгебрични уравнения, т.е. уравнения на формата
,където a0 , a1 , …, an са реални числа. Следователно изучаването на алгебричните уравнения е едно от критични проблемипо математика. Например, квадратно уравнение с отрицателен дискриминант няма реални корени. Най-простото такова уравнение е уравнението
.За да има решение това уравнение, е необходимо да се разшири множеството от реални числа, като към него се добави коренът на уравнението
.Нека обозначим този корен като
. По този начин, по дефиниция, , или ,следователно,
. се нарича въображаема единица. С негова помощ и с помощта на двойка реални числа се образува израз на формата.Полученият израз се нарича комплексни числа, тъй като съдържа както реални, така и въображаеми части.
И така, комплексните числа се наричат изрази на формата
, и са реални числа и е някакъв символ, който удовлетворява условието . Числото се нарича реална част от комплексното число, а числото се нарича неговата имагинерна част. Символите се използват за обозначаването им.Комплексни числа на формата
са реални числа и следователно наборът от комплексни числа съдържа множеството от реални числа.Комплексни числа на формата
се наричат чисто въображаеми. Две комплексни числа от вида и се наричат равни, ако техните реални и въображаеми части са равни, т.е. ако равенствата , .Алгебричното записване на комплексните числа дава възможност да се извършват операции с тях според обичайните правила на алгебрата.
Сборът от две комплексни числа
и се нарича комплексно число от формата .Произведение на две комплексни числа
§ 1. Комплексни числа: определения, геометрична интерпретация, операции в алгебрични, тригонометрични и експоненциални форми
Определение на комплексно число
Комплексни равенства
Геометрично представяне на комплексни числа
Модул и аргумент на комплексно число
Алгебрични и тригонометрични форми на комплексно число
Експоненциалната форма на комплексно число
Формули на Ойлер
§ 2. Цели функции (полиноми) и техните основни свойства. Решение на алгебрични уравнения върху множеството от комплексни числа
Дефиниция на алгебрично уравнение от та степен
Основни свойства на полиномите
Примери за решаване на алгебрични уравнения върху множеството от комплексни числа
Въпроси за самоизследване
Терминологичен речник
§ 1. Комплексни числа: определения, геометрична интерпретация, операции в алгебрични, тригонометрични и експоненциални форми
Определение на комплексно число ( Формулирайте дефиницията на комплексно число)
Комплексното число z е израз от следната форма:
Комплексно число в алгебрична форма,(1)
където х, г Î;
- комплексен конюгат номер z ;
- противоположно число номер z ;
- комплексна нула ;
- това е множеството от комплексни числа.
1)z = 1 + иÞ Re z= 1, Im z = 1, = 1 – аз, = –1 – и ;
2)z = –1 + иÞ Re z= –1, Im z = , = –1 – аз, = –1 –и ;
3)z = 5 + 0и= 5 Þ Re z= 5, Im z = 0, = 5 – 0и = 5, = –5 – 0и = –5
Þ ако съм z= 0, тогава z = х- реално число;
4)z = 0 + 3и = 3иÞ Re z= 0, Im z = 3, = 0 – 3и = –3и , = –0 – 3и = – 3и
Þ ако Re z= 0, тогава z = iy - чисто въображаемо число.
Комплексни равенства (Формулирайте значението на комплексното равенство)
1) 
;
2)
.
Едно комплексно равенство е еквивалентно на система от две реални равенства. Тези реални равенства се получават от комплексното равенство чрез разделяне на реалната и въображаемата част.
1) 
;
2) 
.
Геометрично представяне на комплексни числа ( Какво е геометричното представяне на комплексните числа?)
Комплексно число zпредставено с точка ( х , г) на комплексната равнина или радиус вектора на тази точка.
Знак zвъв втория квадрант означава, че декартовата координатна система ще бъде използвана като комплексна равнина.
Модул и аргумент на комплексно число ( Какъв е модулът и аргументът на комплексното число?)
Модулът на комплексно число е неотрицателно реално число
.(2)
Геометрично, модулът на комплексно число е дължината на вектора, представляващ числото zили полярният радиус на точка ( х , г).
Начертайте следните числа върху комплексната равнина и ги запишете в тригонометричен вид.
1)z = 1 + и Þ
,
Þ 
Þ 
;
,
Þ 
Þ 
;
,
5)
,
тоест за z = 0 ще бъде
, jнеопределен.
Аритметични операции върху комплексни числа (Дайте определения и избройте основните свойства на аритметичните операции върху комплексни числа.)
Събиране (изваждане) на комплексни числа
z 1 ± z 2 = (х 1 + iy 1)±( х 2 + iy 2) = (х 1 ± х 2) + и (г 1 ± г 2),(5)
тоест при събиране (изваждане) комплексни числа се събират (изваждат) техните реални и въображаеми части.
1)(1 + и) + (2 – 3и) = 1 + и + 2 –3и = 3 – 2и ;
2)(1 + 2и) – (2 – 5и) = 1 + 2и – 2 + 5и = –1 + 7и .
Основни свойства на добавянето
1)z 1 + z 2 = z 2 + z 1;
2)z 1 + z 2 + z 3 = (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3);
3)z 1 – z 2 = z 1 + (– z 2);
4)z + (–z) = 0;
Умножение на комплексни числа в алгебрична форма
z 1∙z 2 = (х 1 + iy 1)∙(х 2 + iy 2) = х 1х 2 + х 1iy 2 + iy 1х 2 + и 2г 1г 2 = (6)
= (х 1х 2 – г 1г 2) + и (х 1г 2 + г 1х 2),
тоест умножението на комплексни числа в алгебрична форма се извършва по правилото алгебрично умножениебином към бином, последвано от замяна и редукция на подобни термини в реални и въображаеми термини.
1)(1 + и)∙(2 – 3и) = 2 – 3и + 2и – 3и 2 = 2 – 3и + 2и + 3 = 5 – и ;
2)(1 + 4и)∙(1 – 4и) = 1 – 42 и 2 = 1 + 16 = 17;
3)(2 + и)2 = 22 + 4и + и 2 = 3 + 4и .
Тригонометрична форма за умножение на комплексни числа
z 1∙z 2 = r 1 (кос j 1 + игрях j 1)× r 2 (кос j 2 + игрях j 2) =
= r 1r 2 (кос j 1cos j 2 + и cos j 1sin j 2 + игрях j 1cos j 2 + и 2 грях j 1sin j 2) =
= r 1r 2((кос j 1cos j 2-грях j 1sin j 2) + и(кос j 1sin j 2+ грях j 1cos j 2))
Продуктът на комплексните числа в тригонометрична форма, тоест когато комплексните числа се умножават в тригонометрична форма, техните модули се умножават и аргументите се добавят.
Основни свойства на умножението
1)z 1× z 2 = z 2× z 1 - комутативност;
2)z 1× z 2× z 3 = (z 1× z 2)× z 3 = z 1×( z 2× z 3) - асоциативност;
3)z 1×( z 2 + z 3) = z 1× z 2 + z 1× z 3 - дистрибутивност по отношение на събирането;
4)z×0 = 0; z×1 = z ;
Деление на комплексни числа
Делението е обратното на умножението, така че
ако z × z 2 = z 1 и z 2 ¹ 0, след това .
При извършване на деление в алгебрична форма, числителят и знаменателят на дроб се умножават по комплексно спрегнато на знаменателя:
Деление на комплексни числа в алгебрична форма.(7)
При извършване на деление в тригонометричен вид модулите се разделят и аргументите се изваждат:
Деление на комплексни числа в тригонометрична форма.(8)
2)
.
Повишаване на комплексно число в естествена степен
Повишаването до естествена мощност е по-удобно да се извърши в тригонометрична форма:
формула Moivre,(9)
т.е., когато комплексно число се повдига до естествена степен, неговият модул се повишава до тази степен и аргументът се умножава по степента.
Изчислете (1 + и)10.
Забележки
1. При извършване на операции на умножение и повишаване на естествена степен в тригонометрична форма, стойностите на ъглите могат да се получат извън един пълен оборот. Но те винаги могат да бъдат намалени до ъгли или чрез отпадане на цял брой пълни обороти според свойствата на периодичността на функциите и .
2. Значение 
се нарича главна стойност на аргумента на комплексно число;
в този случай стойностите на всички възможни ъгли означават ;
очевидно е, че , .
извличане на корен естествена степенот комплексно число
формули на Ойлер (16)
за което тригонометрични функциии реална променлива се изразяват чрез експоненциална функция(показател) с чисто въображаем показател.
§ 2. Цели функции (полиноми) и техните основни свойства. Решение на алгебрични уравнения върху множеството от комплексни числа
Два полинома от една и съща степен нса идентично равни един на друг, ако и само ако техните коефициенти съвпадат при едни и същи степени на променливата х, т.е
Доказателство
w Идентичност (3) важи за "xн (или "xн)"
Þ важи за ; замествайки , получаваме ан = bn .
Нека взаимно унищожим членовете в (3) анИ bnи разделете двете части на х :
Тази идентичност е вярна и за " х, включително кога х = 0
Þ да приемем х= 0, получаваме ан – 1 = bn – 1.
Взаимно унищожаване в (3") термини ан– 1 и а н– 1 и разделете двете части на х, като резултат получаваме
Продължавайки аргумента по подобен начин, получаваме това ан – 2 = bn –2, …, но 0 = б 0.
По този начин се доказва, че от еднаквото равенство на 2-x полиноми следва съвпадението на техните коефициенти при едни и същи степени х .
Обратното твърдение е правилно очевидно, т.е. ако два полинома имат еднакви всички коефициенти, тогава те са едни и същи функции, следователно техните стойности са еднакви за всички стойности на аргумента, което означава тяхното идентично равенство. Свойство 1 е доказано напълно. v
При разделяне на полином PN (х) към разликата ( х – х 0) остатъкът е равен на PN (х 0), тоест
Теорема на Безут, (4)
където Qn – 1(х) - цяла частот деление, е полином от степен ( н – 1).
Доказателство
w Нека напишем формулата за деление с остатък:
PN (х) = (х – х 0)∙Qn – 1(х) + А ,
където Qn – 1(х) - степенен полином ( н – 1),
А- остатъкът, който е число поради добре познатия алгоритъм за разделяне на полином на бином "в колона".
Това равенство е вярно за " х, включително кога х = х 0 Þ
PN (х 0) = (х 0 – х 0)× Qn – 1(х 0) + А Þ
А = PN (х 0), h.t.d. v
Следствие от теоремата на Безут. Относно разделянето на полином на бином без остатък
Ако номер х 0 е нулата на полинома, тогава този полином се дели на разликата ( х – х 0) без остатък, т.е
Þ 
.(5)
1) , тъй като П 3(1) º 0
2), тъй като П 4(–2) º 0
3) защото П 2(–1/2) º 0
Разделяне на полиноми на биноми "в колона":
| _ |  |
_ | ||||||||||||
| _ | _ | |||||||||||||
| _ | ||||||||||||||
Всеки полином от степен n ³ 1 има поне една нула, реална или комплексна
Доказателството на тази теорема е извън обхвата на нашия курс. Следователно приемаме теоремата без доказателство.
Нека поработим върху тази теорема и върху теоремата на Безут с полином PN (х).
След н-кратно приложение на тези теореми, получаваме, че
където а 0 е коефициентът при х нв PN (х).
Следствие от основната теорема на алгебрата. Относно разлагането на полином на линейни фактори
Всеки полином от степен от множеството комплексни числа се разлага на нлинейни фактори, т.е
Разлагане на полином на линейни фактори, (6)
където x1, x2, ... xn са нулите на полинома.
В същото време, ако кчисла от комплекта х 1, х 2, … xnсъвпадат помежду си и с числото a, тогава в произведението (6) факторът ( х– а) к. След това числото х= a се нарича k-кратен нулев полином PN ( х) . Ако к= 1, тогава се извиква нула прост нулев полином PN ( х) .
1)П 4(х) = (х – 2)(х– 4)3 Þ х 1 = 2 - проста нула, х 2 = 4 - тройна нула;
2)П 4(х) = (х – и)4 х = и- нулева кратност 4.
Свойство 4 (относно броя на корените на алгебрично уравнение)
Всяко алгебрично уравнение Pn(x) = 0 от степен n има точно n корена в множеството от комплексни числа, ако всеки корен се брои толкова пъти, колкото е неговата кратност.
1)х 2 – 4х+ 5 = 0 - алгебрично уравнение от втора степен
Þ х 1,2 = 2 ± = 2 ± и- два корена;
2)х 3 + 1 = 0 - алгебрично уравнение от трета степен
Þ х
1,2,3 = 
- три корена;
3)П 3(х) = х 3 + х 2 – х– 1 = 0 х 1 = 1, защото П 3(1) = 0.
Разделете полинома П 3(х) на ( х – 1):
| х 3 | + | х 2 | – | х | – | 1 | х – 1 |
| х 3 | – | х 2 | х 2 + 2х +1 | ||||
| 2х 2 | – | х | |||||
| 2х 2 | – | 2х | |||||
| х | – | 1 | |||||
| х | – | 1 | |||||
| 0 |
Първоначално уравнение
П 3(х) = х 3 + х 2 – х– 1 = 0 Û( х – 1)(х 2 + 2х+ 1) = 0 w( х – 1)(х + 1)2 = 0
Þ х 1 = 1 - прост корен, х 2 \u003d -1 - двоен корен.
1) са сдвоени сложни спрегнати корени;
Всеки полином с реални коефициенти се разлага в произведение на линейни и квадратни функциис реални коефициенти.
Доказателство
w Нека х 0 = а + би- полином нула PN (х). Ако всички коефициенти на този полином са реални числа, тогава е и неговата нула (по свойство 5).
Изчисляваме произведението на биномите 
:
полиномно уравнение с комплексни числа
получено ( х – а)2 + б 2 - квадратен тричлен с реални коефициенти.
По този начин всяка двойка биноми с комплексно спрегнати корени във формула (6) води до квадратен трином с реални коефициенти. v
1)П 3(х) = х 3 + 1 = (х + 1)(х 2 – х + 1);
2)П 4(х) = х 4 – х 3 + 4х 2 – 4х = х (х –1)(х 2 + 4).
Примери за решаване на алгебрични уравнения върху набора от комплексни числа ( Дайте примери за решаване на алгебрични уравнения върху множеството от комплексни числа)
1. Алгебрични уравнения от първа степен:
, е единственият прост корен.
2. Квадратни уравнения:
, 
- винаги има два корена (различни или равни).
1) 
.
3. Двучленни степенни уравнения:
, - винаги има различни корени.
,
Отговор: , 
.
4. Решете кубичното уравнение.
Уравнение от трета степен има три корена (реални или комплексни) и всеки корен трябва да се брои толкова пъти, колкото е неговата кратност. Тъй като всички коефициенти дадено уравнениетогава са реални числа сложни корениуравненията, ако има такива, ще бъдат комплексно спрегнати по двойки.
Чрез подбор намираме първия корен на уравнението , тъй като .
По следствие от теоремата на Безут. Изчисляваме това деление "в колона":
| _ |  |
||||
| _ |  |
||||
| _ | |||||
Представяйки полинома като продукт на линеен и квадратен фактор, получаваме:
.
Намираме други корени като корени на квадратното уравнение: 
Отговор: , 
.
5. Съставете алгебрично уравнение от най-малка степен с реални коефициенти, ако е известно, че числата х 1 = 3 и х 2 = 1 + иса нейните корени и х 1 е двоен корен и х 2 - просто.
Числото е и коренът на уравнението, т.к коефициентите на уравнението трябва да са реални.
Общо желаното уравнение има 4 корена: х 1, х 1,х 2, . Следователно степента му е 4. Съставяме полином от 4-та степен с нули х
11. Какво е комплексна нула?
13. Формулирайте значението на комплексното равенство.
15. Какъв е модулът и аргументът на комплексното число?
17. Какъв е аргументът на комплексното число?
18. Какво е името или значението на формулата?
19. Обяснете значението на нотацията в тази формула:
27. Дайте определения и избройте основните свойства на аритметичните действия върху комплексни числа.
28. Какво е името или значението на формулата?
29. Обяснете значението на нотацията в тази формула:
31. Какво е името или значението на формулата?
32. Обяснете значението на нотацията в тази формула:
34. Какво е името или значението на формулата?
35. Обяснете значението на нотацията в тази формула:
61. Избройте основните свойства на полиномите.
63. Формулирайте свойство за деление на полином на разлика (x - x0).
65. Какво е името или значението на формулата?
66. Обяснете значението на нотацията в тази формула:
67. ⌂ 
.
69. Формулирайте теоремата теоремата на алгебрата е основна.
70. Какво е името или значението на формулата?
71. Обяснете значението на нотацията в тази формула:
75. Формулирайте свойство за броя на корените на алгебрично уравнение.
78. Формулирайте свойство за разлагането на полином с реални коефициенти на линейни и квадратни множители.
Терминологичен речник
K-кратната нула на полином се нарича... (стр. 18)
алгебричен полином се нарича... (стр. 14)
алгебрични уравнение nстепен се нарича... (стр. 14)
алгебричната форма на комплексното число се нарича... (стр. 5)
аргументът на комплексното число е... (стр. 4)
реалната част от комплексното число z е... (страница 2)
комплексният конюгат е... (страница 2)
комплексна нула е... (страница 2)
комплексно число се нарича... (стр. 2)
корен n от комплексно число се нарича... (стр. 10)
коренът на уравнението се нарича ... (стр. 14)
полиномните коефициенти са... (стр. 14)
въображаемата единица е... (страница 2)
въображаемата част на комплексното число z е... (страница 2)
модулът на комплексното число се нарича... (стр. 4)
нулата на функция се нарича... (стр. 14)
експоненциалната форма на комплексното число се нарича... (стр. 11)
полином се нарича... (стр. 14)
простата нула на полином се нарича... (стр. 18)
противоположното число е... (страница 2)
степента на полинома е... (стр. 14)
тригонометричната форма на комплексното число се нарича... (стр. 5)
Формулата на De Moivre е... (стр. 9)
Формулите на Ойлер са... (стр. 13)
цяла функция се извиква... (стр. 14)
чисто въображаемо число е... (стр. 2)
План на урока.
1. Организационен момент.
2. Представяне на материала.
3. Домашна работа.
4. Обобщаване на урока.
По време на занятията
I. Организационен момент.
II. Представяне на материала.
Мотивация.
Разширяването на множеството от реални числа се състои във факта, че към реалните числа се добавят нови числа (въображаеми). Въвеждането на тези числа е свързано с невъзможността за извличане на корен от отрицателно число в множеството от реални числа.
Въвеждане на понятието комплексно число.
Въображаемите числа, с които допълваме реалните числа, се записват като би, където ие въображаемата единица и i 2 = - 1.
Въз основа на това получаваме следната дефинициякомплексно число.
Определение. Комплексното число е израз на формата a+bi, където аИ бса реални числа. В този случай са изпълнени следните условия:
а) Две комплексни числа a 1 + b 1 iИ a 2 + b 2 iравно, ако и само ако а 1 = а 2, b1=b2.
б) Добавянето на комплексни числа се определя от правилото:
(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.
в) Умножението на комплексни числа се определя от правилото:
(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.
Алгебрична форма на комплексно число.
Записване на комплексно число във формата a+biсе нарича алгебрична форма на комплексно число, където но- истинска част бие въображаемата част и бе реално число.
Комплексно число a+biсе счита за равно на нула, ако неговите реални и въображаеми части са равни на нула: a=b=0
Комплексно число a+biв b = 0се счита за реално число а: a + 0i = a.
Комплексно число a+biв а = 0се нарича чисто въображаемо и се обозначава би: 0 + bi = bi.
Две комплексни числа z = a + biИ = a – bi, които се различават само по знака на имагинерната част, се наричат спрегнати.
Действия върху комплексни числа в алгебрична форма.
Следните операции могат да се извършват върху комплексни числа в алгебрична форма.
1) Добавяне.
Определение. Сборът от комплексни числа z 1 = a 1 + b 1 iИ z 2 = a 2 + b 2 iнаречено комплексно число z, чиято реална част е равна на сбора от реалните части z1И z2, а въображаемата част е сборът от въображаемите части на числата z1И z2, т.е z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2)i.
Числа z1И z2се наричат термини.
Добавянето на комплексни числа има следните свойства:
1º. комутативност: z1 + z2 = z2 + z1.
2º. асоциативност: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).
3º. Комплексно число -а -бисе нарича обратното на комплексно число z = a + bi. Комплексно число, противоположно на комплексното число z, обозначено -z. Сбор от комплексни числа zИ -zравно на нула: z + (-z) = 0
Пример 1: Добавете (3 - i) + (-1 + 2i).
(3 - i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.
2) Изваждане.
Определение.Извадете от комплексното число z1комплексно число z2 z,Какво z + z 2 = z 1.
Теорема. Разликата на комплексните числа съществува и освен това е уникална.
Пример 2: Изваждане (4 - 2i) - (-3 + 2i).
(4 - 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 - 4i.
3) Умножение.
Определение. Произведение на комплексни числа z1 =a1 +b1 iИ z 2 \u003d a 2 + b 2 iнаречено комплексно число z, дефиниран от равенството: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.
Числа z1И z2се наричат фактори.
Умножението на комплексни числа има следните свойства:
1º. комутативност: z 1 z 2 = z 2 z 1.
2º. асоциативност: (z 1 z 2)z 3 = z 1 (z 2 z 3)
3º. Разпределение на умножението по отношение на събирането:
(z 1 + z 2) z 3 \u003d z 1 z 3 + z 2 z 3.
4º. z = (a + bi) (a - bi) \u003d a 2 + b 2е реално число.
На практика умножението на комплексните числа се извършва по правилото за умножение на сбора по сбора и разделяне на реалната и въображаемата част.
В следващия пример разгледайте умножението на комплексни числа по два начина: по правилото и чрез умножение на сбора по сбора.
Пример 3: Умножете (2 + 3i) (5 – 7i).
1 начин. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15 )i = 31 + i.
2 начин. (2 + 3i) (5 - 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 - 14i + 15i + 21 = 31 + i.
4) Раздел.
Определение. Разделяне на комплексно число z1към комплексно число z2, означава да се намери такова комплексно число z, Какво z z 2 = z 1.
Теорема.Коефициентът на комплексните числа съществува и е уникален, ако z2 ≠ 0 + 0i.
На практика частното на комплексните числа се намира чрез умножаване на числителя и знаменателя по спрегнатото на знаменателя.
Нека бъде z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i, тогава
.
В следващия пример извършваме деление по формулата и правилото за умножение по спрегнатото на знаменателя.
Пример 4. Намерете коефициент 
.
5) Повишаване на положителна степен на цяло число.
а) Сили на въображаемото единство.
Възползвайки се от равенството i 2 = -1, лесно е да се дефинира всяка положителна целочислена степен на въображаемата единица. Ние имаме:
i 3 = i 2 i = -i,
i 4 = i 2 i 2 = 1,
i 5 = i 4 i = i,
i 6 = i 4 i 2 = -1,
i 7 = i 5 i 2 = -i,
i 8 = i 6 i 2 = 1и т.н.
Това показва, че стойностите на степента i n, където н- цяла положително число, периодично се повтаря с увеличаване на индикатора с 4 .
Следователно, за да увеличите броя ина степен на положително число, разделете степента на 4 и изправен ина степента, чийто степен е остатъкът от делението.
Пример 5 Изчислете: (i 36 + i 17) i 23.
i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,
i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 i = i.
i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 i 3 = - i.
(i 36 + i 17) i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1 \u003d 1 - i.
б) Повишаването на комплексно число в положителна степен се извършва съгласно правилото за повдигане на бином на съответната степен, тъй като представлява специален случайумножение на едни и същи комплексни фактори.
Пример 6 Изчислете: (4 + 2i) 3
(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.
Комплексните числа са минимално разширение на познатите ни реални числа. Основната им разлика е, че се появява елемент, който на квадрат дава -1, т.е. i, или .
Всяко комплексно число има две части: реални и въображаеми:
По този начин е ясно, че множеството от реални числа съвпада с множеството комплексни числа с нулева въображаема част.
Най-популярният модел за набора от комплексни числа е обикновената равнина. Първата координата на всяка точка ще бъде нейната реална част, а втората - въображаема. Тогава ролята на самите комплексни числа ще бъдат вектори с начало в точката (0,0).
Операции върху комплексни числа.
Всъщност, ако вземем предвид модела на множеството комплексни числа, интуитивно е ясно, че събирането (изваждането) и умножението на две комплексни числа се извършват по същия начин, както съответните операции върху вектори. Освен това имаме предвид кръстосаното произведение на векторите, защото резултатът от тази операция отново е вектор.
1.1 Допълнение.
(Както се вижда, дадена операциясъвпада точно)
1.2 Изваждане, по същия начин, се извършва съгласно следното правило:
2. Умножение.
3. Деление.
Дефинира се просто като обратната операция на умножението.
тригонометрична форма.
Модулът на комплексното число z е следната величина:
,
очевидно е, че това отново е просто модулът (дължината) на вектора (a,b).
Най-често модулът на комплексно число се обозначава като ρ.
Оказва се, че
z = ρ(cosφ+isinφ).
Следното следва директно от тригонометричната форма на записване на комплексно число. формули :
Последната формула се нарича Формула на Де Моавър. Формулата се извлича директно от него. n-ти корен от комплексно число:
по този начин има n-ти корени от комплексното число z.
Припомням си необходимата информацияотносно комплексните числа.
Комплексно числое израз на формата а + би, където а, бса реални числа и и- т.нар въображаема единица, символът, чийто квадрат е -1, т.е. и 2 = -1. номер аНаречен реална част, и числото б - въображаема часткомплексно число z = а + би. Ако б= 0, тогава вместо а + 0ипиши просто а. Може да се види, че реалните числа са частен случай на комплексни числа.
Аритметичните операции върху комплексните числа са същите като над реалните: те могат да се събират, изваждат, умножават и делят един от друг. Събирането и изваждането протичат по правилото ( а + би) ± ( ° С + ди) = (а ± ° С) + (б ± д)и, а умножението - според правилото ( а + би) · ( ° С + ди) = (ac – бд) + (реклама + пр. н. е)и(тук просто се използва това и 2 = -1). Число = а – биНаречен комплексен конюгатда се z = а + би. Равенство z · = а 2 + б 2 ви позволява да разберете как да разделите едно комплексно число на друго (не-нула) комплексно число:
(Например, 
.)
Комплексните числа имат удобно и визуално геометрично представяне: числото z = а + биможе да бъде представен като вектор с координати ( а; б) на декартовата равнина (или, което е почти същото, точка - края на вектора с тези координати). В този случай сборът от две комплексни числа се изобразява като сбор от съответните вектори (които могат да бъдат намерени чрез правилото на паралелограма). По теоремата на Питагор дължината на вектора с координати ( а; б) е равно на . Тази стойност се нарича модулкомплексно число z = а + бии се обозначава с | z|. Ъгълът, който този вектор прави с положителната посока на оста x (отброена обратно на часовниковата стрелка), се нарича аргументкомплексно число zи се означава с Arg z. Аргументът не е еднозначно дефиниран, а само до добавянето на кратно на 2 π
радиани (или 360°, ако се брои в градуси) - все пак е ясно, че завъртането под такъв ъгъл около началото няма да промени вектора. Но ако векторът на дължината rобразува ъгъл φ
с положителната посока на оста x, тогава нейните координати са равни на ( r cos φ
; rгрях φ
). Следователно се оказва тригонометрична нотациякомплексно число: z = |z| (cos(Arg z) + игрях (Arg z)). Често е удобно да се записват комплексни числа в тази форма, тъй като това значително опростява изчисленията. Умножението на комплексни числа в тригонометрична форма изглежда много просто: zедин · z 2 = |z 1 | · | z 2 | (cos(Arg z 1+арг z 2) + игрях (Arg z 1+арг z 2)) (при умножение на две комплексни числа техните модули се умножават и аргументите се събират). От тук следват Формули на Де Моавър: z n = |z|н(cos( н(Арг z)) + игрях( н(Арг z))). С помощта на тези формули е лесно да се научите как да извличате корени от всяка степен от комплексни числа. n-ти корен от zе толкова сложно число w, Какво w n = z. Това е ясно 
, И къде кможе да вземе всяка стойност от набора (0, 1, ..., н- едно). Това означава, че винаги има точно нкорени нстепен от комплексно число (на равнината те са разположени във върховете на редовно н-гон).
Зареждане...