Сфера, вписана в правилна триъгълна призма. Полиедъри, описани около сфера Многогранникът се нарича описан около сфера, ако равнините на всичките му лица докосват сферата

Темата „Различни задачи за многогранници, цилиндър, конус и топка” е една от най-трудните в курса по геометрия за 11. клас. Преди да решат геометрични задачи, те обикновено изучават съответните раздели от теорията, които се позовават при решаването на задачи. В учебника на С. Атанасян и др. По тази тема (стр. 138) могат да се намерят само дефиниции на полиедър, описан около сфера, полиедър, вписан в сфера, сфера, вписана в полиедър, и описана сфера близо до полиедър. V насокикъм този учебник (виж книгата „Изучаване на геометрия в 10-11 клас” от С.М.Сахакян и В.Ф.Бутузов, стр. 159) се казва кои комбинации от тела се вземат предвид при решаване на задачи № 629-646 и се обръща внимание на фактът, че „при решаване на конкретен проблем, на първо място, е необходимо да се гарантира, че учениците имат добра представа за относителното положение на телата, посочени в условието“. Следва решението на задачи № 638 (а) и № 640.

Като се има предвид всичко по-горе и факта, че най-трудните задачи за учениците са проблемите на комбинирането на топка с други тела, е необходимо да се систематизират съответните теоретични положения и да се съобщят на учениците.

Определения.

1. Топка се нарича вписана в полиедър, а полиедърът се нарича описан около топка, ако повърхността на топката докосва всички страни на многогранника.

2. Топка се нарича описана около полиедър, а полиедърът се нарича вписан в топка, ако повърхността на топката минава през всички върхове на полиедъра.

3. Топка се нарича вписана в цилиндър, пресечен конус (конус), а цилиндър, пресечен конус (конус), се описва близо до топката, ако повърхността на топката докосва основите (основата) и всички образуващи на цилиндърът, пресечен конус (конус).

(От това определение следва, че големият кръг на топката може да бъде вписан във всяко аксиално сечение на тези тела).

4. Топка се нарича описана около цилиндър, пресечен конус (конус), ако основните кръгове (основен кръг и връх) принадлежат на повърхността на топката.

(От това определение следва, че около всяко аксиално сечение на тези тела може да се опише обиколката на по-голям кръг на топката).

Общи забележки относно позицията на центъра на топката.

1. Центърът на топка, вписана в многогранник, лежи в пресечната точка на ъглови равнините на всички двугранни ъгли на полиедъра. Намира се само вътре в полиедъра.

2. Центърът на топката, описана около полиедъра, лежи в пресечната точка на равнините, перпендикулярни на всички ръбове на полиедъра и минаващи през техните средни точки. Той може да бъде разположен вътре, на повърхността и извън полиедъра.

Комбинация от топка с призма.

1. Топка, вписана в права призма.

Теорема 1. Топка може да бъде вписана в права призма, ако и само ако в основата на призмата може да бъде вписана окръжност и височината на призмата е равна на диаметъра на тази окръжност.

Следствие 1.Центърът на топката, вписана в права призма, лежи в средата на височината на призмата, минаваща през центъра на окръжността, вписана в основата.

Следствие 2.По-специално топката може да бъде вписана в прави линии: триъгълна, правилна, четириъгълна (при която сумите на противоположните страни на основата са равни една на друга), при условие че H = 2r, където H е височината на призмата , r е радиусът на окръжността, вписана в основата.

2. Топка, описана около призма.

Теорема 2. Топка може да бъде описана близо до призма, ако и само ако призмата е права и кръг може да бъде описан близо до нейната основа.

Следствие 1... Центърът на топката, описана около права призма, лежи в средата на височината на призмата, изтеглена през центъра на окръжността, описана около основата.

Следствие 2.Сферата, по-специално, може да бъде описана: близо до права триъгълна призма, близо до правилна призма, близо до правоъгълен паралелепипед, близо до права четириъгълна призма, в която сумата от противоположните ъгли на основата е 180 градуса.

От учебника на Л. С. Атанасян за комбинацията на топка с призма може да се предложат задачи № 632, 633, 634, 637 (а), 639 (а, б).

Комбинация от топка с пирамида.

1. Топка, описана около пирамида.

Теорема 3. Топка може да бъде описана около пирамида, ако и само ако може да се опише кръг близо до основата й.

Следствие 1.Центърът на топката, описана около пирамидата, лежи в пресечната точка на права линия, перпендикулярна на основата на пирамидата, минаваща през центъра на окръжността, описана около тази основа, и равнина, перпендикулярна на всеки страничен ръб, проведен през средата на този ръб.

Следствие 2.Ако страничните ръбове на пирамидата са равни помежду си (или еднакво наклонени към равнината на основата), тогава в близост до такава пирамида може да се опише топка. Центърът на тази топка в този случай лежи в пресечната точка на височината на пирамидата (или нейното продължение) с оста на симетрия на страничния ръб, лежаща в равнината странично ребро и височина.

Следствие 3.По-специално топката може да бъде описана: близо до триъгълна пирамида, близо до правилна пирамида, близо до четириъгълна пирамида, в която сумата от противоположните ъгли е 180 градуса.

2. Топка, вписана в пирамида.

Теорема 4. Ако страничните лица на пирамидата са еднакво наклонени към основата, тогава в такава пирамида може да бъде вписана топка.

Следствие 1.Центърът на топка, вписана в пирамида, чиито странични лица са еднакво наклонени към основата, лежи в точката на пресичане на височината на пирамидата с бисектрисата на линейния ъгъл на всеки двустранен ъгъл в основата на пирамидата, страната от които е височината на страничната повърхност, изтеглена от върха на пирамидата.

Следствие 2.Можете да впишете топка в правилната пирамида.

От учебника на Л. С. Атанасян за съчетаването на топка с пирамида може да се предложат задачи No 635, 637 (б), 638, 639 (в), 640, 641.

Комбинация от топка със пресечена пирамида.

1. Топка, описана около правилна пресечена пирамида.

Теорема 5. Топка може да бъде описана около всяка правилна пресечена пирамида. (Това условие е достатъчно, но не е необходимо)

2. Топка, вписана в правилна пресечена пирамида.

Теорема 6. Топка може да бъде вписана в правилна пресечена пирамида, ако и само ако апотемът на пирамидата е равен на сбора от апотемите на основите.

За съчетаването на топка със пресечена пирамида има само един проблем в учебника на Л. С. Атанасян (№ 636).

Комбинация от топка с кръгли тела.

Теорема 7. Топка може да се опише около цилиндър, пресечен конус (прав кръгъл) или конус.

Теорема 8. Топка може да бъде вписана в цилиндър (прав кръгъл), ако и само ако цилиндърът е равностранен.

Теорема 9. Топка може да бъде вписана във всеки конус (прав кръгъл).

Теорема 10. Топка може да бъде вписана в пресечен конус (прав кръгъл), ако и само ако нейният генератор е равен на сумата от радиусите на основите.

От учебника на Л. С. Атанасян могат да се предложат задачи № 642, 643, 644, 645, 646 за комбинацията на топка с кръгли тела.

За по-успешно изучаване на материала по тази тема е необходимо да се включат устни задачи в хода на уроците:

1. Ръбът на куба е равен на a. Намерете радиусите на топките: вписани в куба и описани около него. (r = a / 2, R = a3).

2. Възможно ли е да се опише сфера (топка) около: а) куб; б) правоъгълен паралелепипед; в) наклонен паралелепипед, в основата на който лежи правоъгълник; ж) десен паралелепипед; д) наклонен паралелепипед? (а) да; б) да; в) не; г) не; д) не)

3. Вярно ли е, че една сфера може да бъде описана около всяка триъгълна пирамида? (да)

4. Възможно ли е да се опише сфера около която и да е четириъгълна пирамида? (Не, не около каквато и да е четириъгълна пирамида)

5. Какви свойства трябва да притежава пирамидата, за да опише сфера около нея? (В основата му трябва да има многоъгълник, около който може да се опише кръг)

6. В сферата е вписана пирамида, чийто страничен ръб е перпендикулярен на основата. Как да намеря центъра на сфера? (Центърът на сферата е пресечната точка на две геометрични местаточки в пространството. Първият е перпендикуляр, начертан на равнината на основата на пирамидата през центъра на окръжността, описана около нея. Втората е равнина, перпендикулярна на този страничен ръб и изтеглена през средата му)

7. При какви условия можете да опишете сфера в близост до призма, в основата на която е трапец? (Първо, призмата трябва да е права, и второ, трапецът трябва да е равнобедрен, за да може да се опише кръг около него)

8. На какви условия трябва да отговаря призмата, за да опише сфера около нея? (Призмата трябва да е права, а основата й трябва да е многоъгълник, около който може да се опише кръг)

9. Близо до триъгълна призма е описана сфера, чийто център се намира извън призмата. Кой триъгълник е основата на призмата? (тъп триъгълник)

10. Можете ли да опишете сфера около наклонена призма? (Не)

11. При какво условие центърът на сфера, описана около права триъгълна призма, ще бъде разположен върху една от страничните страни на призмата? (В основата е правоъгълен триъгълник)

12. Основата на пирамидата е равнобедрен трапец.Ортогоналната проекция на върха на пирамидата върху равнината на основата е точка, разположена извън трапеца. Възможно ли е да се опише сфера около такъв трапец? (Да, можете. Фактът, че ортогоналната проекция на върха на пирамидата се намира извън основата й, няма значение. Важно е, че в основата на пирамидата лежи равнобедрен трапец- многоъгълник, около който може да се опише кръг)

13. Близо до дясната пирамида е описана сфера. Как е разположен нейният център спрямо елементите на пирамидата? (Центърът на сферата е върху перпендикуляра, начертан на равнината на основата през центъра му)

14. При какво условие центърът на сфера, описана около права триъгълна призма, лежи: а) вътре в призмата; б) извън призмата? (В основата на призмата: а) триъгълник с остър ъгъл; б) тъп триъгълник)

15. Около правоъгълен паралелепипед е описана сфера, чиито ръбове са равни на 1 dm, 2 dm и 2 dm. Изчислете радиуса на сферата. (1,5 дм)

16. В кой пресечен конус може да бъде вписана сферата? (В пресечен конус, в чието аксиално сечение може да бъде вписана окръжност. Аксиалното сечение на конуса е равнобедрен трапец, сумата от основите му трябва да е равна на сумата от страничните му страни. С други думи, сумата от радиусите на основите на конуса трябва да е равна на образуващата)

17. В пресечен конус е вписана сфера. Под какъв ъгъл се вижда образуващата на конуса от центъра на сферата? (90 градуса)

18. Какво свойство трябва да притежава правата призма, за да може в нея да се впише сфера? (Първо, в основата на права призма трябва да има многоъгълник, в който може да бъде вписан кръг, и второ, височината на призмата трябва да е равна на диаметъра на окръжността, вписана в основата)

19. Дайте пример за пирамида, в която не може да бъде вписана сфера? (Например, четириъгълна пирамида с правоъгълник или паралелограм в основата)

20. В основата на правата призма лежи ромб. Може ли в тази призма да бъде вписана сфера? (Не, не може, тъй като в общия случай е невъзможно да се опише кръг около ромб)

21. При какво условие може да се впише сфера в права триъгълна призма? (Ако височината на призмата е два пъти радиуса на окръжността, вписана в основата)

22. При какво условие може да се впише сфера в правилна четириъгълна пресечена пирамида? (Ако сечението на дадена пирамида от равнина, минаваща през средата на страната на основата, перпендикулярна на нея, е равнобедрен трапец, в който може да бъде вписан кръг)

23. В триъгълна пресечена пирамида е вписана сфера. Коя точка на пирамидата е центърът на сферата? (Центърът на сферата, вписана в тази пирамида, е в пресечната точка на три бисектрални равнини на ъглите, образувани от страничните лица на пирамидата с основата)

24. Възможно ли е да се опише сфера около цилиндър (дясно кръгло)? (Да, можеш)

25. Възможно ли е да се опише сфера около конус, пресечен конус (прав кръгъл)? (Да, можете и в двата случая)

26. Може ли сфера да бъде вписана във всеки цилиндър? Какви свойства трябва да притежава цилиндърът, за да впише сфера в него? (Не, не всеки: аксиалното сечение на цилиндъра трябва да е квадратно)

27. Може ли във всеки конус да бъде вписана сфера? Как да определим позицията на центъра на сфера, вписана в конус? (Да, във всеки. Центърът на вписаната сфера е в пресечната точка на височината на конуса и ъглополовящата на ъгъла на наклона на образуващата спрямо равнината на основата)

Авторът смята, че от трите урока по планиране на тема „Различни задачи за полиедри, цилиндър, конус и топка“ два урока трябва да бъдат посветени на решаване на задачи, включващи комбинация от топка с други тела. Не се препоръчва доказване на посочените по-горе теореми поради недостатъчно време в уроците. Можете да предложите на ученици, които имат достатъчно умения, за да ги докажат, като посочите (по преценка на учителя) курса или плана на доказването.

"Сфера на политиката" - Връзката на социалните субекти около държавна власт... Научно-теоретичен. Процесът на взаимодействие на политиката с икономиката. Заедно с държавата. Регулирането на обществените отношения е обусловено от социални интереси. Процесът на взаимодействие на политиката с морала. Сила на държавата, убеждаване, стимулиране.

„Геометрия на призмата“ – Дадена е права четириъгълна призма ABCDA1B1C1D1. Евклид вероятно смяташе, че става дума за практически ръководствавърху геометрията. Права призма - призма със страничен ръб, перпендикулярен на основата. Призма в геометрията. По свойството на 2 тома V = V1 + V2, тоест V = SABD h + SBDC h = (SABD + SBDC) h. Значи триъгълниците A1B1C1 и ABC са равни на трите страни.

"Обем на призмата" - Как да намерим обема на права призма? Обемът на оригиналната призма е равен на произведението S · h. Кои са основните стъпки при доказване на теоремата за директната призма? Основна площ S на оригиналната призма. Изчертаване на височината на триъгълника ABC. Задача. Права призма. Цели на урока. Концепция за призма. Обемът на права призма. Решението на проблема. Призмата може да бъде разделена на прави триъгълни призми с височина h.

"Повърхност на сферата" - Марс. Топката топка ли е? Топка и сфера. Земята. Енциклопедия. Подкрепяме нашия гимназиален бейзболен отбор. Венера. Уран. Има ли топка на снимката? Малко история. Атмосфера. Реших да направя малко проучване..... Сатурн. Готови ли сте да отговорите на въпросите?

Полиедъри, описани около сфера. Многогранникът се нарича описан около сфера, ако равнините на всичките му лица се допират до сферата. Самата сфера се нарича вписана в полиедър. Теорема. Сфера може да бъде вписана в призма, ако и само ако в основата й може да бъде вписан кръг и височината на призмата е равна на диаметъра на тази окръжност. Теорема. Във всяка триъгълна пирамида можете да впишете сфера и освен това само една.

Упражнение 1 Изтрийте квадрата и начертайте два успоредника, представляващи горната и долната повърхност на куба. Свържете върховете им със сегменти. Вземете изображение на сфера, вписана в куб. Начертайте сфера, вписана в куб, както в предишния слайд. За да направите това, нарисувайте елипса, вписана в успоредник, получен чрез компресиране на кръг и квадрат 4 пъти. Маркирайте полюсите на сферата и точките на допир на елипсата и успоредника.

Упражнение 1 Сферата е вписана в права линия четириъгълна призма, в основата на който е ромб със страна 1 и остър ъгъл 60 °. Намерете радиуса на сферата и височината на призмата. Решение. Радиусът на сферата е равен на половината от височината DG на основата, т.е. Височината на призмата е равна на диаметъра на сферата, т.е.

Упражнение 4 Сферата е вписана в права четириъгълна призма, в основата на която има четириъгълник, периметър 4 и площ 2. Намерете радиуса r на вписаната сфера. Решение. Имайте предвид, че радиусът на сферата е равен на радиуса на окръжността, вписана в основата на призмата. Ще използваме факта, че радиусът на окръжност, вписана в многоъгълник, е равен на площта на този многоъгълник, разделена на неговия полупериметър. Получаваме

Упражнение 3 Намерете радиуса на сфера, вписана в правилна триъгълна пирамида, чиято основна страна е 2, а двугранните ъгли в основата са 60 °. Решение. Нека използваме факта, че центърът на вписаната сфера е точката на пресичане на бисектралните равнини на двустранните ъгли в основата на пирамидата. За радиуса на сферата OE важи равенството. Следователно,

Упражнение 4 Намерете радиуса на сфера, вписана в правилна триъгълна пирамида, чиито странични ръбове са равни на 1, а плоските ъгли при върха са равни на 90 °. Отговор: Решение. В тетраедъра SABC имаме: SD = DE = SE = От сходството на триъгълниците SOF и SDE получаваме уравнението, като решим което, намираме

Упражнение 1 Намерете радиуса на сфера, вписана в правилна четириъгълна пирамида, чиито ръбове са равни на 1. Нека използваме факта, че за радиуса r на окръжност, вписана в триъгълник, е валидна следната формула: r = S / p, където S е площта, p е полупериметърът на триъгълника ... В нашия случай S = p = Решение. Радиусът на сферата е равен на радиуса на окръжността, вписана в триъгълника SEF, в който SE = SF = EF = 1, SG = Следователно,

Упражнение 2 Намерете радиуса на сфера, вписана в правилна четириъгълна пирамида, чиято основна страна е 1, а страничният ръб е 2. Използваме факта, че за радиуса r на окръжност, вписана в триъгълник, следната формула се извършва: r = S / p, където S - площ, p е полупериметъра на триъгълника. В нашия случай S = p = Решение. Радиусът на сферата е равен на радиуса на окръжността, вписана в триъгълника SEF, в който SE = SF = EF = 1, SG = Следователно,

Упражнение 3 Намерете радиуса на сфера, вписана в правилна четириъгълна пирамида, чиято основна страна е 2, а двугранните ъгли в основата са 60 °. Решение. Нека използваме факта, че центърът на вписаната сфера е точката на пресичане на бисектралните равнини на двустранните ъгли в основата на пирамидата. За радиуса на сферата OG важи равенството. Следователно,

Упражнение 4 Единичната сфера е вписана в правилна четириъгълна пирамида, чиято основна страна е 4. Намерете височината на пирамидата. Ще използваме факта, че за радиуса r на окръжност, вписана в триъгълник, е валидна следната формула: r = S / p, където S е площта, p е полупериметърът на триъгълника. В нашия случай S = 2h, p = Решение. Нека означим височината SG на пирамидата с h. Радиусът на сферата е равен на радиуса на окръжността, вписана в триъгълника SEF, в който SE = SF = EF = 4. Следователно имаме равенството, от което намираме

Упражнение 1 Намерете радиуса на сфера, вписана в правилна шестоъгълна пирамида с основни ръбове, равни на 1 и странични ръбове, равни на 2. Използваме факта, че за радиуса r на окръжност, вписана в триъгълник, се изпълнява следната формула: r = S / p, където S е площта, p е полупериметърът на триъгълника. В нашия случай S = p = Следователно, Решение. Радиусът на сферата е равен на радиуса на окръжността, вписана в триъгълника SPQ, в който SP = SQ = PQ = SH =

Упражнение 2 Намерете радиуса на сфера, вписана в правилна шестоъгълна пирамида с основни ръбове, равни на 1, и двугранни ъгли в основата, равни на 60 градуса. Решение. Нека използваме факта, че центърът на вписаната сфера е точката на пресичане на бисектралните равнини на двустранните ъгли в основата на пирамидата. За радиуса на сферата OH важи равенството. Следователно,
Упражнение Намерете радиуса на сфера, вписана в единичен октаедър. Отговор: Решение. Радиусът на сферата е равен на радиуса на окръжността, вписана в SESF ромба, в който SE = SF = EF = 1, SO = Тогава височината на ромба, изпусната от върха E, ще бъде равна на Необходимият радиус е равно на половината от височината и е равно на O

Упражнение Намерете радиуса на сфера, вписана в единичен икосаедър. Решение. Използваме факта, че радиусът OA на описаната сфера е равен на радиуса AQ на окръжността, описана около равностранен триъгълниксъс страна 1 е равна на По теоремата на Питагор, приложена към правоъгълен триъгълник OAQ, вземете Упражнение Намерете радиуса на сфера, вписана в единичен додекаедър. Решение. Ще използваме факта, че радиусът на описаната сфера е равен на радиуса FQ на окръжността, описана около равностранен петоъгълниксъс страна 1 е равна По теоремата на Питагор, приложена към правоъгълния триъгълник OFQ, получаваме

Упражнение 1 Можете ли да впишете сфера в пресечен тетраедър? Решение. Забележете, че центърът O на сфера, вписана в пресечен тетраедър, трябва да съвпада с центъра на сфера, вписана в тетраедър, който съвпада с центъра на сфера, вписана в пресечен тетраедър. Разстоянията d 1, d 2 от точка O до шестоъгълната и триъгълната повърхност се изчисляват по питагоровата теорема: където R е радиусът на полувписаната сфера, r 1, r 2 са радиусите на окръжностите, вписани в съответно шестоъгълник и триъгълник. Тъй като r 1> r 2, след това d 1 r 2, след това d 1