Propiedades de logaritmación. Que es logarithm

Área de valores permisibles (ODB) Logaritmo

Ahora hablemos de restricciones (OTZ - Área valores permisibles variables).

Recordamos que, por ejemplo, raíz cuadrada Es imposible extraer de números negativos; O si tenemos fracción, el denominador no puede ser cero. Hay restricciones similares de logaritmos:

Es decir, el argumento, y la base debe ser mayor que cero, y la base no puede ser igual.

¿Porqué es eso?

Vamos a empezar con sencillo: digamos eso. Luego, por ejemplo, el número no existe, ya que en el que el grado que no construimos, siempre resulta. Además, no existe para ninguno. Pero al mismo tiempo puede ser igual a cualquier cosa (por la misma razón, es para un grado). Por lo tanto, el objeto no representa ningún interés, y fue simplemente expulsado de las matemáticas.

Tenemos un problema similar en el caso: en cualquier grado positivo, es, y en negativo no se puede erigir en absoluto, ya que se dividirá en cero (recordamos eso).

Cuando enfrentamos el problema de la construcción de un grado fraccional (que se presenta en forma de una raíz :. Por ejemplo, (es decir), pero no hay.

Por lo tanto, las razones negativas son más fáciles de tirar que el desastre con ellos.

Bueno, dado que la base es sólo una base positiva, en la que el grado en el que lo erigimos, siempre conseguimos el número estrictamente positivo. Así que el argumento debe ser positivo. Por ejemplo, no existe, ya que en ningún grado no será un número negativo (e incluso cero, por lo tanto, no existe también).

En las tareas con logaritmos, lo primero que necesita para escribir el OTZ. Le daré un ejemplo:

Resolvemos la ecuación.

Recordemos la definición: logarithm es un título en el que se debe emitir la base para obtener un argumento. Y bajo la condición, este grado es igual a :.

Nos ponemos ordinarios ecuación cuadrática:. Lo resuelvo con la ayuda del teorema de Vieta: la cantidad de las raíces es igual y el trabajo. Fácil de recoger, estos son números y.

Pero si toma y registra inmediatamente estos dos números en respuesta, puede obtener 0 puntos para la tarea. ¿Por qué? ¿Pensemos que será si sustituimos estas raíces en la ecuación inicial?

Esto es claramente incorrecto, ya que la base no puede ser negativa, es decir, la raíz es "tercero".

Para evitar tales privadas desagradables, es necesario escribir OTZ incluso antes de que la solución comenzara a resolver la ecuación:

Luego, después de haber recibido las raíces y, inmediatamente tirar la raíz, y escribir la respuesta correcta.

Ejemplo 1. (Trate de resolverse) :

Encuentra la raíz de la ecuación. Si las raíces están un poco, en la respuesta, especifique una más pequeña.

Decisión:

Primero, escribe ...

Ahora recuerdo lo que es logaritmo: ¿En qué medida necesitas construir una razón para obtener un argumento? En el segundo. Es decir:

Parecería que la raíz más pequeña es igual. Pero esto no es así: de acuerdo con la raíz OST - tercero, es decir, no es la raíz en absoluto de esta ecuación. Por lo tanto, la ecuación tiene solo una raíz :.

Respuesta: .

Identidad logarítmica básica

Recordemos la definición de logaritmo en forma general:

Sustituya a la segunda igualdad en lugar de logaritmo:

Esta igualdad se llama la principal identidad logarítmica.. Aunque en esencia es la igualdad, se registra de manera diferente. definición de logaritmo:

Este es el grado en que necesitas construir para obtener.

Por ejemplo:

Compartir más ejemplos siguientes:

Ejemplo 2.

Encuentra el valor de la expresión.

Decisión:

Recuerde la regla de la sección:, es decir, si el grado se eleva en el grado, los indicadores se multiplican. Apliquelo:

Ejemplo 3.

Pruebalo.

Decisión:

Propiedades del logaritmo

Desafortunadamente, las tareas no siempre son tan simples: a menudo es necesario simplificar la expresión, guárdela a la mente habitual, y solo entonces será posible calcular el valor. Es más fácil hacer, saber propiedades del logaritmo. Así que aprendamos las propiedades básicas de logaritmos. Cada uno de ellos probaré, porque cualquier regla es más fácil de recordar si sabes de dónde se toma.

Todas estas propiedades deben recordarse, sin que la mayoría de las tareas con logaritmos no se resolverán.

Y ahora sobre todas las propiedades de logaritmos con más detalle.

Propiedad 1:

Evidencia:

Dejar, entonces.

Tenemos:, ppm

Propiedad 2: Logaritmo

La cantidad de logaritmos con las mismas bases es igual al logaritmo del trabajo: .

Evidencia:

Dejar, entonces. Dejar, entonces.

Ejemplo:Encuentra el valor de la expresión :.

Decisión: .

La fórmula recién aprendida ayuda a simplificar la cantidad de logaritmos, no la diferencia, de modo que estos logaritmos no se combinen de inmediato. Pero puede hacerlo por el contrario, para "aplastar" el primer logaritmo para dos: pero la simplificación prometida:
.
¿Por qué lo necesitas? Bueno, por ejemplo: ¿Qué es igual?

Ahora es obvio que.

Ahora simplificarse a sí mismo:

Tareas:

Respuestas:

Propiedad 3: Logaritmo Diferencia:

Evidencia:

Todo es exactamente lo mismo que en el párrafo 2:

Dejar, entonces.

Dejar, entonces. Tenemos:

Un ejemplo del artículo pasado se está volviendo aún más fácil:

Un ejemplo es más complicado :. Adivina a ti mismo cómo resolver?

Cabe señalar aquí que no tenemos fórmula sobre el logaritmo en la plaza. Esto es algo similar a la expresión: no es fácil simplificar.

Por lo tanto, distribuimos de la fórmula sobre el logaritmo, y piensamos en qué tipo de fórmulas utilizamos en matemáticas con mayor frecuencia? ¡Todavía desde el grado 7!

Eso - . ¡Necesitas acostumbrarse al hecho de que están en todas partes! Y en el demostrativo, y en trigonométrico, y en tareas irracionales que cumplen. Por lo tanto, deben ser recordados.

Si miras los dos primeros términos, se queda claro que esto diferencia cuadrada:

Responder a la verificación:

Simplificación en sí.

Ejemplos

Respuestas.

Propiedad 4: Grado ejecutivo del argumento del logaritmo:

Evidencia:Y aquí, también, usamos la definición de logaritmo: Deje, entonces. Tenemos:, ppm

Puedes entender esta regla como esta:

Es decir, el grado de argumento se realiza logarithm como un coeficiente.

Ejemplo:Encuentra el valor de la expresión.

Decisión: .

Comparte yo mismo:

Ejemplos:

Respuestas:

Propiedad 5: Grado ejecutivo de la base del logaritmo:

Evidencia:Dejar, entonces.

Tenemos:, ppm
Recuerda: fuera base El grado está hecho inverso Número, en contraste con el caso anterior!

Propiedad 6: Grado Ejecutivo de la base y argumento del logaritmo:

O si la extensión es la misma :.

Propiedad 7: Transición a una nueva base:

Evidencia:Dejar, entonces.

Tenemos:, ppm

Propiedad 8: Reemplazo de lugares de base y argumento de logaritmo:

Evidencia:Este es un caso especial de Fórmula 7: Si sustituimos, obtenemos:, BT.D.

Considera algunos ejemplos más.

Ejemplo 4.

Encuentra el valor de la expresión.

Utilizamos la propiedad de logarithms No. 2: la suma de logaritmos con la misma base es igual al logaritmo del trabajo:

Ejemplo 5.

Encuentra el valor de la expresión.

Decisión:

Utilizamos la propiedad de logarithms No. 3 y No. 4:

Ejemplo 6.

Encuentra el valor de la expresión.

Decisión:

Utilizamos la propiedad número 7: nos dirigimos a la base 2:

Ejemplo 7.

Encuentra el valor de la expresión.

Decisión:

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¡Y es genial!

Ahora dinos cómo hacerte un artículo?

¿Has aprendido a resolver los logaritmos? Si no, entonces, ¿cuál es el problema?

Escríbanos en los comentarios a continuación.

Y, sí, buena suerte en los exámenes.

En el examen y OGE y en general en la vida.

(Desde el griego λόγος - "Palabra", "Actitud" y ἀριθμός - "Número") del número b. Residencia en uNA. (Registro α. b.) Llamado así un número c., I. b.= a C.es decir, entradas de registro α b.=c. y b \u003d A. C. Equivalente. Logaritmo tiene sentido si A\u003e 0, A ≠ 1, B\u003e \u200b\u200b0.

Hablando en otras palabras logaritmo números b. Residencia en perose formula como un indicador del grado en que se debe emitir el número uNA.Para obtener un número b.(Logaritmo existe solo en números positivos).

De esta formulación se deduce que el cálculo x \u003d log α b.equivalente a resolver la ecuación a x \u003d b.

Por ejemplo:

log 2 8 \u003d 3 porque 8 \u003d 2 3.

Destacamos que la formulación de logaritmo especificado hace posible determinar de inmediato el valor del logaritmoCuando el número bajo el signo del logaritmo es cierto grado de fundación. Y en la verdad, la formulación del logaritmo hace posible justificar que si b \u003d a conLuego números de logaritmo b. Residencia en uNA. Cuervo de. También está claro que el tema de logaritmación está estrechamente interconectado con el tema el grado de número.

El cálculo del logaritmo se llama logaritio. Logaritemation es un funcionamiento matemático de tomar logaritmo. Cuando logration, las obras de los factores se transforman en la cantidad de miembros.

Potencia - Esta es una operación matemática inversa logarition. En la potenciación, la base especificada se construye en el grado de expresión en el que se realiza la potenciación. Al mismo tiempo, las cantidades de miembros se transforman en el trabajo de los factores.

Logaritmos reales de uso frecuente con bases 2 (binarios), Eilera número E ≈ 2.718 (logaritmo natural) y 10 (decimal).

En esta etapa es recomendable considerar. muestras de logaritmoregistro 7 2. , ln. √ 5, Lg0.0001.

Y los registros de LG (-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 no tienen sentido, porque en el primero de ellos, se coloca un número negativo debajo del signo logarith, en el segundo - un número negativo Basado en, y en el tercer y un número negativo bajo el signo del logaritmo y uno en la base.

Las condiciones para determinar el logaritmo.

Vale la pena considerar las condiciones A\u003e 0, A ≠ 1, B\u003e \u200b\u200b0, que se dan definición de logaritmo. Considera por qué se toman estas restricciones. Igualdad de la forma X \u003d Log α nos ayudará b. , llamado la identidad logarítmica básica, que se desprende directamente de la definición anterior del logaritmo.

Tomar la condición a ≠ 1.. Dado que la unidad es igual a una, entonces la igualdad x \u003d log α b. Puede existir solo cuando b \u003d 1.Pero al mismo tiempo el registro 1 1 será cualquier número real. Para eliminar esta ambigüedad y toma. a ≠ 1..

Probamos la necesidad de condición. a\u003e 0. Para a \u003d 0 La formulación de logaritmo solo puede existir cuando b \u003d 0.. Y, en consecuencia, entonces registro 0 0.puede ser cualquier número diferente de cero, ya que cero en cualquier grado distinto de cero es cero. Eliminar esta ambigüedad da una condición. a ≠ 0.. Y para uNA.<0 Tendríamos que rechazar el análisis de los valores racionales e irracionales del logaritmo, ya que el grado con un indicador racional e irracional se determina solo por motivos no negativos. Es por esta razón esa condición acordada. a\u003e 0.

Y última condición b\u003e 0. Sigue de la desigualdad. a\u003e 0porque x \u003d log α b., y el valor del grado con una base positiva. uNA. siempre positivamente

Características de logaritmos.

Logaritmia Caracterizado por distintivo característicaslo que causó su uso generalizado para un alivio significativo de los cálculos minuciosos. Al mover "al mundo de logaritmos", la multiplicación se transforma en una adición significativamente más fácil, la división, la división, y la construcción de la raíz se transforma en multiplicación y división en un indicador del grado.

La redacción de logaritmos y la tabla de sus valores (para funciones trigonométricas) se publicó por primera vez en 1614 por el matemático de Scottish John. Las tablas logarítmicas, ampliadas y detalladas por otros científicos, fueron ampliamente utilizados en la implementación de la computación científica y de la ingeniería, y se mantuvieron relevantes, pero las calculadoras y las computadoras.

Entonces, antes de que Estados Unidos deduce. Si toma un número desde la línea de fondo, puede encontrar fácilmente un título en el que se deberá tomar el Deuce para obtener este número. Por ejemplo, para obtener 16, necesita dos para construir un cuarto grado. Y para obtener 64, necesita dos para construir en el sexto grado. Esto se ve desde la tabla.

Y ahora, en realidad, la definición de logaritmo:

El logaritmo en la base A del argumento X es el grado en que se debe tomar el número A para obtener el número X.

Designación: Registro A X \u003d B, donde A es la base, X es un argumento, B, en realidad, lo que es igual al logaritmo.

Por ejemplo, 2 3 \u003d 8 ⇒ Registro 2 8 \u003d 3 (El logaritmo para la base 2 del número 8 es tres, ya que 2 3 \u003d 8). Con el mismo registro de éxito 2 64 \u003d 6, ya que 2 6 \u003d 64.

El funcionamiento de encontrar el logaritmo del número para una base dada se llama logarition. Entonces, complementa nuestra mesa con una nueva cadena:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
registro 2 2 \u003d 1	log 2 4 \u003d 2	registro 2 8 \u003d 3	registro 2 16 \u003d 4	registro 2 32 \u003d 5	registro 2 64 \u003d 6

Desafortunadamente, no todos los logaritmos se consideran tan fáciles. Por ejemplo, intente encontrar el registro 2 5. Números 5 No en la tabla, pero la lógica sugiere que el logaritmo se quedará en algún lugar del segmento. Porque 2 2< 5 < 2 3 , а чем más grado Twos, cuanto más saldrá el número.

Dichos números se llaman irracionales: los números después de que la coma se pueda escribir hasta el infinito, y nunca se repiten. Si el logaritmo se obtiene de forma irracional, es mejor dejarlo: registro 2 5, registro 3 8, registro 5 100.

Es importante entender que el logaritmo es una expresión con dos variables (base y argumento). Muchos al principio confunden dónde se encuentra la base, y dónde está el argumento. Para evitar molesto malentendidosSolo eche un vistazo a la imagen:

Antes de que nosotros no fuera más que la definición de logaritmo. Recuerda: logaritmo es un gradoEn el que se debe tomar la base para obtener un argumento. Es la base la que se está construyendo en un grado, en la imagen, se resalta en rojo. Resulta que la base está siempre en la planta baja! Esta maravillosa regla, le digo a mis alumnos en la primera lección, y no surge ninguna confusión.

Nos ocupamos de la definición: queda por aprender a considerar logaritmos, es decir. Deshágase de la señal "Registro". Para empezar, notamos que se siguen dos hechos importantes desde la definición:

1. El argumento y la base siempre deben ser mayores que cero. Esto sigue de determinar el grado de indicador racional al que se reduce la definición de logaritmo.
2. La base debe ser diferente de la unidad, ya que la unidad a cualquier grado sigue siendo la unidad. Debido a esto, la pregunta "cuánto debe ser erigida la unidad para obtener una deuce" privada de significado. ¡No hay tal grado!

Tales restricciones se llaman el área de valores permisibles. (OTZ). Resulta que el logaritmo impar se ve así: log a x \u003d b ⇒ x\u003e 0, a\u003e 0, a ≠ 1.

Tenga en cuenta que no se superpone ninguna restricción al número B (el valor del logaritmo). Por ejemplo, el logaritmo puede ser negativo: log 2 0.5 \u003d -1, porque 0.5 \u003d 2 -1.

Sin embargo, ahora estamos considerando solo expresiones numéricas, donde no se requiere el logaritmo OTZ. Todas las restricciones ya son tomadas en cuenta por los compiladores de tareas. Pero cuando van las ecuaciones logarítmicas y las desigualdades, los requisitos de OTZ se volverán obligatorios. De hecho, en la base y el argumento, las estructuras muy irrazonables pueden estar de pie, que necesariamente cumplen con las limitaciones anteriores.

Ahora considerar esquema general Cálculos de logaritmos. Consta de tres pasos:

1. Envíe la base A y ARGUMENTO X en forma de grado con la base mínima posible, una unidad grande. En el camino, es mejor deshacerse de las fracciones decimales;
2. Resuelve en relación con la ecuación de la variable B: x \u003d a b;
3. El número resultante B será la respuesta.

¡Eso es todo! Si el logaritmo es irracional, será visible en el primer paso. El requisito de que la base estuviera más unida es muy importante: reduce la probabilidad de error y simplifica en gran medida los cálculos. Similar a S. fracciones decimales: Si los transfieres inmediatamente a los errores, los errores serán a veces menos.

Veamos cómo funciona este esquema en ejemplos específicos:

Una tarea. Calcular logaritmo: Log 5 25

1. Presente la base y el argumento como el grado de cinco: 5 \u003d 5 1; 25 \u003d 5 2;
2. Permítanos y resolver la ecuación:
   registro 5 25 \u003d B ⇒ (5 1) B \u003d 5 2 ⇒ 5 B \u003d 5 2 ⇒ B \u003d 2;
3. Recibió la respuesta: 2.

Una tarea. Calcular logarithm:

Una tarea. Calcular logaritmo: registro 4 64

1. Imagine la base y el argumento como un grado de dos: 4 \u003d 2 2; 64 \u003d 2 6;
2. Permítanos y resolver la ecuación:
   registro 4 64 \u003d B ⇒ (2 2) B \u003d 2 6 ⇒ 2 2b \u003d 2 6 ⇒ 2b \u003d 6 ⇒ B \u003d 3;
3. Recibió la respuesta: 3.

Una tarea. Calcular logaritmo: registro 16 1

1. Imagine la base y el argumento como un grado de dos: 16 \u003d 2 4; 1 \u003d 2 0;
2. Permítanos y resolver la ecuación:
   registro 16 1 \u003d B ⇒ (2 4) B \u003d 2 0 ⇒ 2 4b \u003d 2 0 ⇒ 4b \u003d 0 ⇒ B \u003d 0;
3. Recibió la respuesta: 0.

Una tarea. Calcular logaritmo: registro 7 14

1. Presente la base y el argumento como un grado de siete: 7 \u003d 7 1; 14 En la forma del grado de siete, no parece, ya que 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Desde el punto anterior se deduce que el logaritmo no se considera;
3. La respuesta no es ningún cambio: Log 7 14.

Poco comentario al último ejemplo. ¿Cómo asegurarse de que el número no es el grado exacto de otro número? Muy simple, suficiente para descomponerlo en factores simples. Y si tales multiplicadores no se pueden ensamblar en la medida con los mismos indicadores, el número inicial no es un grado preciso.

Una tarea. Averigüe si los grados exactos del número: 8; 48; 81; 35; catorce.

8 \u003d 2 · 2 · 2 \u003d 2 3 - grado preciso, porque El multiplicador es solo uno;
48 \u003d 6 · 8 \u003d 3 · 2 · 2 · 2 · 2 \u003d 3 · 2 4: no es un grado exacto, ya que hay dos factores: 3 y 2;
81 \u003d 9 · 9 \u003d 3 · 3 · 3 · 3 \u003d 3 4 - grado preciso;
35 \u003d 7 · 5 - de nuevo no es un grado preciso;
14 \u003d 7 · 2 - otra vez, no tiene grado exacto;

Tenga en cuenta también que números simples Siempre son los grados exactos de sí mismos.

Logaritmo decimal

Se encuentran algunos logaritmos con la frecuencia que tienen un nombre y la designación especial.

El logaritmo decimal del argumento X es un logaritmo basado en 10, es decir,. El grado en que se debe erigir el número 10 para obtener el número X. Designación: LG X.

Por ejemplo, LG 10 \u003d 1; LG 100 \u003d 2; LG 1000 \u003d 3 - etc.

A partir de ahora, cuando el libro de texto encuentra la frase como "Encontrar LG 0.01", saber: No es un error tipográfico. Este es un logaritmo decimal. Sin embargo, si usted es inusual para tal designación, siempre se puede reescribir:
lg x \u003d log 10 x

Todo lo que es cierto para logaritmos ordinarios es cierto para decimal.

Logaritmo natural

Hay otro logaritmo que tiene su propia designación. En cierto sentido, es aún más importante que decimal. Estamos hablando de logaritmo natural.

Logaritmo natural del argumento X es un logaritmo basado en E, es decir. El grado en que se debe erigir el número E para obtener el número X. Designación: LN X.

Muchos preguntarán: ¿Qué más en el número E? eso numero irracionalEs imposible encontrarlo, es imposible encontrarlo. Solo daré sus primeras figuras:
e \u003d 2,718281828459 ...

No profundizaremos que este es el número y por qué lo necesitas. Solo recuerda que E es la base del logaritmo natural:
ln x \u003d log e x

Así, ln E \u003d 1; Ln E 2 \u003d 2; Ln E 16 \u003d 16 - etc. Por otro lado, LN 2 es un número irracional. En general, el logaritmo natural de cualquier número racional es irracional. Además, por supuesto, unidades: Ln 1 \u003d 0.

Para los logaritmos naturales, todas las reglas que son verdaderas para logaritmos ordinarios son válidas.

El logaritmo del número positivo B para la base A (a\u003e 0, A no es igual a 1) Llaman un número de este tipo con ese AC \u003d B: log ab \u003d C ⇔ AC \u003d B (A\u003e 0, A ≠ 1 , b\u003e 0) & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp

Tenga en cuenta: El logaritmo de un número inadecuado no está definido. Además, en la base del logaritmo debe ser un número positivo, no igual a 1. Por ejemplo, si estamos erigidos en un cuadrado, obtenemos el número 4, pero esto no significa que el logaritmo en la base sea. 2 a partir de 4 es 2.

Identidad logarítmica básica

Un registro A B \u003d B (A\u003e 0, A ≠ 1) (2)

Es importante que las áreas de determinar las partes derecha e izquierda de esta fórmula sean diferentes. Parte izquierda Se determina solo en B\u003e 0, A\u003e 0 y A ≠ 1. El lado derecho se define en cualquier b, y no depende de un en absoluto. Por lo tanto, el uso de la principal "identidad" logarítmica en la resolución de ecuaciones y desigualdades puede llevar a un cambio en la OTZ.

Dos consecuencias obvias de la definición de logaritmo.

Registre A A \u003d 1 (A\u003e 0, A ≠ 1) (3)
Registro A 1 \u003d 0 (A\u003e 0, A ≠ 1) (4)

De hecho, cuando se construye el número A en el primer grado, obtendremos el mismo número, y cuando se use en un grado cero.

Logaritmo funciona y logaritmo privado.

Registro A (B C) \u003d Log A B + Log A C (A\u003e 0, A ≠ 1, B\u003e \u200b\u200b0, C\u003e 0) (5)

Log A B C \u003d Log A B - Log A C (A\u003e 0, A ≠ 1, B\u003e \u200b\u200b0, C\u003e 0) (6)

Me gustaría avisar a los escolares de la aplicación inconsciente de estas fórmulas en la resolución. ecuaciones logarítmicas y desigualdades. Cuando se usa, "De izquierda a derecha" Hay un estrechamiento de OTZ, y en la transición de la cantidad o diferencia de logaritmos al logaritmo del trabajo o privado, la expansión de OTZ.

De hecho, el registro de expresión A (F (x) g (x)) se define en dos casos: cuando ambas funciones son estrictamente positivas o cuando f (x) y g (x) son menos que cero.

Convertir esta expresión en la cantidad de registro A F (x) + Log A G (x), nos vemos obligados a limitar solo por el caso cuando f (x)\u003e 0 y G (x)\u003e 0. Hay un área de estrechamiento de valores permisibles, y esto es categóricamente inaceptable, ya que puede llevar a la pérdida de decisiones. Existe un problema similar para la fórmula (6).

El grado se puede hacer para el signo logarithm.

Registro A B P \u003d P Log A B (A\u003e 0, A ≠ 1, B\u003e \u200b\u200b0) (7)

Y otra vez me gustaría pedir la precisión. Considere el siguiente ejemplo:

Registro A (F (x) 2 \u003d 2 Log A F (X)

La parte izquierda de la igualdad se determina, obviamente, con todos los valores de F (x), excepto cero. Parte correcta - solo en F (x)\u003e 0! Después de obtener un grado del logaritmo, superamos la OTZ. El procedimiento inverso conduce a la expansión del área de valores permisibles. Todos estos comentarios se refieren no solo al grado 2, sino también a ningún grado.

Fórmula de la transición a una nueva base.

Log A B \u003d Log C B LOG C A (A\u003e 0, A ≠ 1, B\u003e \u200b\u200b0, C\u003e 0, C ≠ 1) (8)

El caso raro cuando OTZ no cambia al convertir. Si sabiamente elige la base con (positivo y no igual a 1), la fórmula de transición a una nueva base es absolutamente segura.

Si como una base nueva con elija el número B, obtenemos un importante caso especial de fórmula (8):

Log A B \u003d 1 LOG B A (A\u003e 0, A ≠ 1, B\u003e \u200b\u200b0, B ≠ 1) (9)

Algunos ejemplos simples con logaritmos.

Ejemplo 1. Calcule: LG2 + LG50.
Decisión. LG2 + LG50 \u003d LG100 \u003d 2. Utilizamos la suma de fórmula de logaritmos (5) y la determinación del logaritmo decimal.

Ejemplo 2. Calcular: LG125 / LG5.
Decisión. LG125 / LG5 \u003d LOG 5 125 \u003d 3. Utilizamos la transición a una nueva base (8).

Fórmulas de mesa relacionadas con logaritmos.

Un registro A B \u003d B (A\u003e 0, A ≠ 1)

Registre A A \u003d 1 (A\u003e 0, A ≠ 1)

Registre A 1 \u003d 0 (A\u003e 0, A ≠ 1)

Registro A (B C) \u003d Log A B + Log A C (A\u003e 0, A ≠ 1, B\u003e \u200b\u200b0, C\u003e 0)

Registro A B C \u003d Log A B - Log A C (A\u003e 0, A ≠ 1, B\u003e \u200b\u200b0, C\u003e 0)

Log A B P \u003d P Log A B (A\u003e 0, A ≠ 1, B\u003e \u200b\u200b0)

Log A B \u003d Log C B Log C A (A\u003e 0, A ≠ 1, B\u003e \u200b\u200b0, C\u003e 0, C ≠ 1)

Log A B \u003d 1 LOG B A (A\u003e 0, A ≠ 1, B\u003e \u200b\u200b0, B ≠ 1)

El foco de este artículo - logaritmo. Aquí le daremos la definición de logaritmo, mostraremos la designación adoptiva, damos ejemplos de logaritmos, y digamos sobre logaritmos naturales y decimales. Después de eso, considere la principal identidad logarítmica.

Navegando.

Definición de logaritmo

El concepto de logaritmo ocurre al resolver el problema en un cierto sentido Reverso cuando es necesario encontrar un indicador de cierto valor del grado y una base bien conocida.

Pero suficientes prefacios, es hora de responder a la pregunta "¿Qué es logaritmo? Damos la definición apropiada.

Definición.

Logaritmo número B basado en, donde A\u003e 0, A ≠ 1 y B\u003e 0 es un indicador del grado en que se debe erigir el número A para obtener B.

En esta etapa, notamos que la palabra pronunciada "logarithm" debe llamar inmediatamente la pregunta resultante: "¿Cuál es el número" y "sobre qué base"? En otras palabras, solo un logaritmo como era, y solo hay un logaritmo de números en alguna razón.

Inmediatamente introducir designación de logaritmo: El logaritmo del número B basado en A se toma para denotarse como registro A b. El logaritmo del número B basado en E y el logaritmo basado en la base 10 tiene sus propias designaciones especiales de LNB y LGB, respectivamente, es decir, no el log E B, pero LNB, y no el registro 10 B, y LGB.

Ahora puedes dar :.
Y registros No tiene sentido, ya que en el primero de ellos, bajo el signo del logaritmo, hay un número negativo, en el segundo, un número negativo en la base, y en el tercer número y un número negativo bajo el signo del logaritmo y uno en la base.

Ahora digamos O. reglas de lectura de Logarovmov. La grabación de registro A B se lee como "Logarithm B basado en A". Por ejemplo, el registro 2 3 es un logaritmo de tres en la base 2, y es el logaritmo de dos tercios enteros en la raíz cuadrada de la base de cinco. Logaritmo basado en E llamado logaritmo naturalY la grabación de LNB se lee como "Logaritmo natural B". Por ejemplo, LN7 es un logaritmo natural de siete, y leeremos como un Logaritmo natural PI. Logaritmo basado en la base 10 también tiene un nombre especial. logaritmo decimalY el registro LGB se lee como el "Logarithm B B". Por ejemplo, LG1 es una unidad de logaritmo decimal, y LG2,75 es un logaritmo decimal de dos centésimas enteras de setenta y cinco.

Vale la pena por separado en los términos A\u003e 0, A ≠ 1 y B\u003e 0, bajo el cual se administra la definición de logaritmo. Expliquemos de dónde vienen estas restricciones. Hacer que nos ayude a la igualdad de las especies llamadas, que sigue directamente de la definición anterior del logaritmo.

Vamos a empezar con un ≠ 1. Dado que la unidad es a cualquier grado igual a una, la igualdad puede ser válida solo en B \u003d 1, pero el registro 1 1 puede ser cualquier número válido. Para evitar este multi-rival y se acepta un ≠ 1.

Justifiquemos la conveniencia de la condición A\u003e 0. En a \u003d 0, por definición del logaritmo, tendríamos igualdad que solo es posible en B \u003d 0. Pero luego el registro 0 0 puede ser diferente diferente de cero, ya que cero en cualquier grado distinto de cero es cero. Evitar este multi-rival permite la condición A ≠ 0. Y con A.<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Finalmente, la condición B\u003e 0 sigue de la desigualdad A\u003e 0, ya que, y el valor de un grado con una base positiva A es siempre positiva.

En conclusión de este artículo, digamos que la definición expresada del logaritmo le permite especificar inmediatamente el valor del logaritmo cuando el número bajo el signo de logaritmo es cierto grado de fundación. De hecho, la definición de un logaritmo le permite afirmar que si B \u003d a P, entonces el logaritmo del número B para la base A es igual a p. Es decir, el registro de igualdad A A P \u003d P es válido. Por ejemplo, sabemos que 2 3 \u003d 8, luego el registro 2 8 \u003d 3. Hablaremos de esto con más detalle en el artículo.