Gráfica de s versus t. Movimiento uniformemente acelerado: fórmulas, ejemplos.

Figura 1. Gráficas de movimiento uniforme. Avtor24 - intercambio en línea de trabajos de estudiantes

El tipo de movimiento más simple es el movimiento uniforme. Se puede fijar cuando la aceleración del cuerpo en cualquier momento es igual a cero. En otras palabras, el movimiento uniforme se representa como una determinada posición ideal del cuerpo, cuando su velocidad será la misma en un momento dado. Cuando un cuerpo recorre distancias iguales en períodos de tiempo iguales, el movimiento adquiere las características de un movimiento rectilíneo uniforme. En la vida real, estas características prácticamente nunca se dan.

Definición 1

La trayectoria es la longitud de la trayectoria a lo largo de la cual se movió un cuerpo específico durante un cierto período de tiempo.

Definición 2

El desplazamiento es la distancia entre los puntos inicial y final de la trayectoria de un cuerpo.

La trayectoria y el desplazamiento son conceptos diferentes, ya que la trayectoria es una cantidad escalar y el desplazamiento es una cantidad vectorial. En este caso, el valor del vector de desplazamiento es igual al segmento que conecta los puntos inicial y final de la trayectoria del cuerpo.

Velocidad uniforme

Definición 3

La velocidad del movimiento uniforme se llama magnitud del vector, que se calcula mediante una fórmula determinada. Afirma que el vector será igual a la relación entre el camino recorrido por el cuerpo y el tiempo empleado en su paso.

Con movimiento uniforme, la dirección del vector velocidad coincide con la dirección del movimiento. Esta regla debe tenerse en cuenta al construir una gráfica de movimiento uniforme. El desplazamiento y la trayectoria de tal movimiento tendrán los mismos valores.

El movimiento uniforme también incluye un estado de reposo. En este caso, el cuerpo recorre distancias iguales en intervalos de tiempo iguales. En reposo, todos los valores serán cero. Con movimiento uniforme, la distancia recorrida consta de los siguientes indicadores compuestos:

coordenada inicial;
Producto de la velocidad de un cuerpo por el tiempo de su movimiento.

Gráficos de movimiento uniforme

Al construir una gráfica de movimiento uniforme con un cambio en la velocidad a lo largo del tiempo, obtendrá una línea recta que será paralela a la línea del eje x. El área del rectángulo resultante es igual a la longitud del camino recorrido por el cuerpo en un tiempo específico. Es decir, el área del rectángulo será igual al producto de todos sus lados.

Después de trazar la dependencia de la distancia recorrida con el tiempo, se calcula la velocidad a la que se movió el cuerpo. En este caso, la gráfica tiene una línea recta trazada desde el origen. El valor requerido del módulo del vector de velocidad será la tangente del ángulo de inclinación de la línea recta con respecto al eje de abscisas. Al graficar el movimiento uniforme, el eje x es el eje del tiempo. Una fuerte pendiente del gráfico indica que la velocidad del cuerpo es alta.

En física, se utilizan las siguientes notaciones para el movimiento uniforme:

Muestra la invariancia de la velocidad, que se expresa como una constante.

El movimiento uniforme pasa:

trayectoria curvilínea;
trayectoria rectilínea.

El movimiento uniforme se describe mediante la fórmula:

En esta fórmula, $s$ es el camino que ha recorrido el cuerpo desde el punto de referencia inicial, $t$ es el tiempo que recorre el cuerpo y $s_0$ es el valor del camino en el tiempo inicial.

Movimiento en línea recta

Nota 1

El movimiento se llama rectilíneo si se produce en línea recta.

La trayectoria del movimiento rectilíneo es una línea recta. Con la velocidad del movimiento uniforme no hay dependencia del tiempo, ya que en cualquier punto de la trayectoria se dirige de la misma manera que el movimiento del cuerpo. En otras palabras, el vector de desplazamiento coincide en dirección con el vector de velocidad. La velocidad promedio en cualquier período de tiempo es igual a la velocidad instantánea.

La velocidad del movimiento rectilíneo uniforme muestra el valor del movimiento de un punto material por unidad de tiempo.

Con tal movimiento, la aceleración total se expresa mediante la fórmula:

En el sistema internacional de medidas, la unidad de aceleración es la aceleración a la que la velocidad de un cuerpo cambia 1 metro por segundo.

Movimiento igualmente alternativo

Un caso especial de movimiento desigual de un cuerpo es el movimiento rectilíneo uniforme.

El movimiento uniformemente variable es un movimiento cuando la velocidad de un punto material cambia igualmente en intervalos de tiempo iguales. La aceleración de un cuerpo durante el movimiento uniforme permanece sin cambios en dirección y magnitud.

Hay dos tipos de movimiento uniformemente alterno: uniformemente acelerado y uniformemente desacelerado.

El movimiento de un cuerpo o punto material con aceleración positiva se considera uniformemente acelerado. Con este método de movimiento, puede acelerar con aceleración a un nivel constante.

El movimiento de un cuerpo con aceleración negativa se llama uniformemente lento. Con este tipo de movimiento, el cuerpo se ralentiza a un nivel uniforme.

La velocidad promedio del movimiento alterno se puede determinar dividiendo el movimiento del cuerpo por el tiempo durante el cual ocurrió este movimiento. La unidad de velocidad media es m/s.

Velocidad y aceleración instantáneas.

La velocidad de un cuerpo o de un punto material se llama instantánea si existe en un momento determinado en el tiempo o en un punto determinado de la trayectoria del movimiento. Este valor se denomina valor límite, ya que la velocidad media de un cuerpo tiende a él a medida que el período de tiempo disminuye infinitamente. Se denota por $Δt$.

La velocidad instantánea se expresa mediante la siguiente fórmula:

La cantidad que determina los cambios en la velocidad de un cuerpo se llama aceleración. Estos son los valores límite de la cantidad y el cambio de velocidad tiende a ello con una disminución infinita en el intervalo de tiempo $Δt$.

El desplazamiento durante el movimiento lineal uniforme se calcula mediante la fórmula:

El valor $υx$ es la proyección de la velocidad sobre el eje X.

De ello se deduce que la ley del movimiento rectilíneo uniforme tiene la siguiente forma:

En el momento inicial $xo = 0$, los valores restantes toman la forma.

3. Considere la Figura 4.6.
a) ¿En qué puntos de la gráfica es mayor el ángulo de inclinación de la tangente?

Velocidad instantánea y media

¿el menos?

2. Velocidad media

vav = l/t. (1)

5. Encuentra:

c) La velocidad promedio de Sasha.

6. Encuentra:

b) La velocidad promedio de Sasha.

Análisis de la prueba de formación para la Olimpiada de Física de Internet 2008/2009

Grado 11. Cinemática

Pregunta número 1

Utilizando el gráfico presentado en la figura, determine la velocidad del ciclista tres segundos después del inicio del movimiento.

Solución.

La figura muestra una gráfica del camino versus el tiempo. La gráfica es una línea recta, lo que significa que el ciclista se movió uniformemente. Determinemos a partir del gráfico la distancia recorrida por el ciclista en un período de tiempo fijo. Por ejemplo, en 3 s un ciclista recorrió 9 m. La velocidad del ciclista es V = L / t = 9/3 = 3 m/s.

Pregunta número 2

El peatón y el ciclista comenzaron a avanzar uno hacia el otro al mismo tiempo. Sus velocidades son iguales a V1 = y V2 = , respectivamente. Determine el tiempo de movimiento hasta el encuentro si la distancia inicial entre ellos es L = .

Solución.

Determinemos la velocidad del ciclista en el marco de referencia del peatón V12 = V1 + V2 = 6 + 30 = 36 km/h = 10 m/s. Entonces, un peatón y un ciclista se acercan a una velocidad de 10 m/s, entonces su tiempo de viaje hasta que se encuentran es t = L / V12 = 700/10 = 70 s.

Pregunta número 3

El auto se movía a una velocidad de 15 m/s durante 5 s. ¿Qué distancia viajó durante este tiempo?

Solución.

El automóvil se movió uniformemente, por lo que la distancia recorrida es L = Vt = 155 = 75 m.

Pregunta número 4

Una pelota lanzada verticalmente hacia arriba regresa a su posición original. La figura muestra una gráfica de su velocidad versus tiempo. ¿En qué momento la pelota alcanzó su altura máxima?

Solución.

En el momento en que la pelota alcanza su altura máxima, su velocidad es cero. Según la gráfica que se presenta en la figura, determinamos que la velocidad de la pelota es cero en el tiempo t = 2 s.

Pregunta número 5

¿Cuáles de las cantidades anteriores son cantidades vectoriales?

(Marque todas las cantidades vectoriales)

Solución.

De las cantidades enumeradas, la velocidad, la aceleración y el desplazamiento son cantidades vectoriales. La ruta es una cantidad escalar.

Pregunta número 6

El atleta corrió una distancia de 400 m por la pista del estadio y regresó al punto de partida. Determine el camino L recorrido por el atleta y el módulo de su movimiento S.

Solución.

La distancia recorrida por el atleta es L = 400 m El módulo de desplazamiento es S = 0, ya que el atleta regresó al punto desde donde comenzó a moverse.

Pregunta número 7

La velocidad de un cuerpo que se mueve de forma rectilínea y uniformemente acelerado cambia cuando se mueve del punto 1 al punto 2, como se muestra en la figura. ¿Qué dirección tiene el vector aceleración en este tramo del camino?

Solución.

En la figura se puede ver que el módulo de velocidad del cuerpo disminuye a medida que se mueve, lo que significa que el vector de aceleración se dirige hacia el movimiento, es decir, hacia la izquierda.

Pregunta número 8

Usando la gráfica del módulo de velocidad en función del tiempo, determine la aceleración de un cuerpo que se mueve rectilíneamente en el tiempo t = 2 s.

Solución.

Usando la gráfica, determinamos el cambio en la velocidad de un cuerpo en un momento fijo en el tiempo. Por ejemplo, en los primeros dos segundos la velocidad del cuerpo cambió en 6 m/s (de V0 = 3 m/s a Vt = 9 m/s). Aceleración a = (Vt – V0) / t = 6/2 = 3 m/s2.

Pregunta número 9

Cuando un automóvil se mueve con aceleración uniforme durante cinco segundos, su rapidez aumenta de 10 a 15 m/s. ¿Cuál es el módulo de aceleración del coche?

Solución.

Aceleración del auto a = (Vt – V0) / t= (15 – 10)/5 = 5/5 = 1 m/s2.

Pregunta número 10

El auto parte del reposo con aceleración constante a = 1 m/s2. ¿Qué distancia recorre el auto en los primeros diez segundos de movimiento?

Solución.

El automóvil se mueve uniformemente acelerado sin una velocidad inicial: la distancia recorrida es L = at2/2 = 1102/2 = 50 m.

Pregunta número 11

Una balsa flota uniformemente río abajo a una velocidad de 3 km/h. La viga se mueve a través de la balsa a una velocidad de 4 km/h. ¿Cuál es la velocidad de la viga en el sistema de referencia asociado con la orilla?

Solución.

La velocidad de la viga en el marco de referencia asociado con la orilla.

Pregunta número 12

El helicóptero se eleva verticalmente a velocidad constante. ¿Cuál es la trayectoria de un punto al final de la pala del rotor de un helicóptero en el sistema de referencia asociado con el cuerpo del helicóptero?

Solución.

Imagina que estás en la cabina de un helicóptero, es decir, estás inmóvil con respecto al cuerpo del helicóptero. En este caso, puedes ver que cualquier punto del rotor del helicóptero describe un círculo.

Pregunta número 13

El cuerpo se mueve a lo largo del eje X según la ley presentada en la figura, donde x es la coordenada en metros, t es el tiempo en segundos. Determine el módulo de aceleración del cuerpo.

Solución.

La ecuación para la dependencia de las coordenadas con el tiempo para un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado en general tiene la forma X(t) = X0 + V0хt + akht2/2, donde X0 es la coordenada inicial y V0х y akh son las proyecciones de la inicial. velocidad y aceleración sobre el eje X.

Al igualar los términos que incluyen t2, obtenemos akht2/2 = –4,5t2. ¿De dónde proviene la proyección de la aceleración aх = –9 m/s2 y el módulo de aceleración a= 9 m/s2?

Pregunta número 14

La figura muestra gráficas del módulo de velocidad versus el tiempo para cuatro cuerpos. ¿Cuál de estos cuerpos (o cuáles cuerpos) ha viajado más lejos?

Solución.

La figura muestra gráficas de la velocidad de los cuerpos en movimiento versus el tiempo. Como se sabe, la trayectoria recorrida por un cuerpo es el área que se encuentra bajo la gráfica de velocidad. De la figura se desprende claramente que la cifra del área máxima se encuentra debajo del gráfico para el cuerpo 4. Esto significa que durante el período de tiempo de 0 a t0 el cuerpo 4 ha recorrido la distancia más larga.

Pregunta número 15

El cuerpo se mueve en línea recta. La figura muestra una gráfica de la velocidad del cuerpo versus el tiempo. ¿En qué intervalo(s) de tiempo la proyección de aceleración es negativa?

Solución.

Analicemos el gráfico:

1. durante el intervalo de tiempo de 0 a 1 s, la velocidad del cuerpo es constante, por lo tanto ax = 0;

2. durante un período de tiempo de 1 s a 2 s, la velocidad del cuerpo disminuye, por lo que la proyección de la aceleración es ah< 0;

3. en el intervalo de tiempo de 2s a 3s el cuerpo está en reposo, por lo tanto ax = 0;

4. en el intervalo de tiempo de 3s a 4s, la velocidad del cuerpo aumenta, por lo que la proyección de aceleración ax > 0.

Entonces, la proyección de aceleración es negativa en el intervalo de tiempo de 1s a 2s.

Pregunta número 16

Un automóvil que se mueve con una rapidez inicial de 20 m/s acelera con una aceleración constante a = 2 m/s2 durante 5 s. ¿Qué distancia viajó durante este tiempo?

Solución.

Para calcular el camino, puedes usar la fórmula L = V0t + at2/2 = 205 + 252/2 = .

Cómo encontrar la velocidad promedio a partir de un gráfico

1. Velocidad instantánea

En esta sección consideraremos el movimiento desigual. Sin embargo, en este caso necesitaremos lo que sabemos sobre el movimiento uniforme rectilíneo.

La figura 4.1 muestra las posiciones de un automóvil que acelera en una carretera recta con un intervalo de tiempo de 1 s. La flecha apunta al espejo retrovisor, cuya posición consideraremos con más detalle.

Vemos que en intervalos de tiempo iguales el coche recorre caminos diferentes, es decir, se mueve de manera desigual.

Reduzcamos ahora los intervalos de tiempo sucesivos 20 veces, a 0,05 s, y controlemos el cambio en la posición del automóvil durante medio segundo (esto no es difícil de hacer, por ejemplo, mediante grabación de video).

Para no saturar la figura 4.2, muestra sólo dos posiciones del automóvil con un intervalo de tiempo de 0,5 s. Las posiciones sucesivas del vehículo a intervalos de 0,05 s están marcadas por la posición de su espejo retrovisor (que se muestra en rojo).

Vemos que cuando intervalos de tiempo sucesivos iguales son lo suficientemente pequeños, entonces las distancias recorridas por el automóvil durante estos intervalos de tiempo son prácticamente las mismas. Esto significa que el movimiento del automóvil durante períodos de tiempo tan cortos puede considerarse rectilíneo y uniforme con buena precisión.

Resulta que cualquier movimiento (incluso curvilíneo) tiene esta notable propiedad: si lo consideramos durante un período de tiempo suficientemente corto Δt, ¡es muy similar al movimiento rectilíneo uniforme! Además, cuanto más corto sea el período de tiempo, mayor será la similitud.

La velocidad de un cuerpo durante un período de tiempo suficientemente corto se llama velocidad en un momento dado t si este momento está en el intervalo Δt. Y su nombre más exacto es velocidad instantánea.

Qué tan corto debe ser el intervalo de tiempo Δt para que durante este intervalo el movimiento del cuerpo pueda considerarse rectilíneo y uniforme, depende de la naturaleza del movimiento del cuerpo.

En el caso de la aceleración de un coche, esto es una fracción de segundo. Y, por ejemplo, el movimiento de la Tierra alrededor del Sol puede considerarse con buena precisión rectilíneo y uniforme incluso durante el día, ¡aunque la Tierra recorre más de dos millones y medio de kilómetros en el espacio durante este tiempo!

1. Usando la Figura 4.2, determine la velocidad instantánea del automóvil. Considere que la longitud del automóvil es de 5 m.

El valor de la velocidad instantánea del automóvil lo muestra el velocímetro (Fig. 4.3).

Cómo encontrar la velocidad instantánea a partir de una gráfica de coordenadas versus tiempo

La figura 4.4 muestra una gráfica de coordenadas versus tiempo para un automóvil que se mueve a lo largo de una carretera recta.

Vemos que se mueve de manera desigual, porque la gráfica de sus coordenadas versus el tiempo es una curva, no un segmento de línea recta.

Muestremos cómo determinar a partir de este gráfico la velocidad instantánea de un automóvil en cualquier momento, digamos, en t = 3 s (punto del gráfico).

Para ello, consideremos el movimiento de un automóvil durante un período de tiempo tan corto durante el cual su movimiento puede considerarse lineal y uniforme.

La figura 4.5 muestra la sección del gráfico que nos interesa multiplicada por diez (ver, por ejemplo, la escala de tiempo).

Vemos que esta sección del gráfico es prácticamente indistinguible de un segmento de recta (segmento rojo). En sucesivos intervalos de tiempo iguales de 0,1 s, el automóvil recorre distancias casi idénticas: 1 m cada una.

2. ¿Cuál es la rapidez instantánea del automóvil en el momento t = 3 s?

Volviendo a la escala anterior del dibujo, veremos que la recta roja, con la que prácticamente coincidió un pequeño tramo de la gráfica, es tangente a la gráfica de la dependencia de la coordenada con el tiempo en un momento dado (Fig. 4.6).

Entonces, la velocidad instantánea de un cuerpo se puede juzgar por el coeficiente angular de la tangente a la gráfica de la coordenada versus el tiempo: cuanto mayor es el coeficiente angular de la tangente, mayor es la velocidad del cuerpo. (El método descrito para determinar la velocidad instantánea utilizando la tangente a la gráfica de la dependencia de la coordenada con el tiempo está asociado con el concepto de derivada de una función. Estudiarás este concepto en el curso “Álgebra y los inicios de aialis. ”) Y en aquellos puntos de la gráfica donde el ángulo de inclinación de la tangente es cero, entonces hay una tangente paralela al eje del tiempo t, la velocidad instantánea del cuerpo es cero.

3. Considere la Figura 4.6.
b) Encuentre la velocidad instantánea máxima y mínima del automóvil durante los primeros 6 segundos de su movimiento.

2. Velocidad media

Muchos problemas utilizan la velocidad promedio asociada con la distancia recorrida:

vav = l/t. (1)

La velocidad media definida de esta manera es una cantidad escalar, ya que el camino es una cantidad escalar. (A veces, para evitar confusiones, se le llama velocidad de avance promedio).

Por ejemplo, si un coche recorre 120 km por la ciudad durante tres horas (al mismo tiempo puede acelerar, frenar y detenerse en las intersecciones), entonces su velocidad media es de 40 km/h.

4. ¿Cuánto disminuirá la velocidad promedio del automóvil que acabamos de mencionar si el tiempo total de conducción aumenta en 1 hora debido a las paradas de tráfico?

Velocidad media en dos tramos de tráfico.

En muchos problemas, el movimiento de un cuerpo se considera en dos áreas, en cada una de las cuales el movimiento puede considerarse uniforme. En este caso, según la definición de velocidad media (1), podemos escribir:

vav = (l1 + l2)/(t1 + t2), (2)

donde l1 y t1 son el recorrido y el tiempo para el primer tramo, y l2 y t2 para el segundo. Veamos ejemplos.
Sasha salió del pueblo en bicicleta a una velocidad de 15 km/h y viajó durante una hora. Y entonces la bicicleta se estropeó y Sasha caminó durante otra hora a una velocidad de 5 km/h.

5. Encuentra:
a) el camino recorrido por Sasha durante todo el movimiento;
b) el tiempo total del movimiento de Sasha;
c) La velocidad promedio de Sasha.

En el caso considerado, la velocidad promedio resultó ser igual a la media aritmética de las velocidades a las que Sasha cabalgaba y caminaba. ¿Es esto siempre justo? Considere el siguiente ejemplo.
Deje que Sasha ande en bicicleta durante una hora a una velocidad de 15 km/h y luego camine la misma distancia a pie a una velocidad de 5 km/h.

6. Encuentra:
a) el camino que Sasha recorrió a pie;
b) el camino recorrido por Sasha durante todo el movimiento;
c) el tiempo total del movimiento de Sasha;
b) La velocidad promedio de Sasha.

Al observar este caso, verá que esta vez la velocidad promedio no es igual al promedio aritmético de las velocidades de conducción y de caminata. Y si miras aún más de cerca, notarás que en el segundo caso la velocidad media es menor que en el primero. ¿Por qué?

7. Compare los períodos de tiempo durante los cuales Sasha condujo y caminó en el primer y segundo caso.

Resumamos las situaciones discutidas anteriormente.

Consideremos primero el caso en el que el cuerpo se movía a diferentes velocidades durante períodos de tiempo iguales.

Deje que el cuerpo se mueva a la velocidad v1 durante la primera mitad de todo el tiempo de movimiento y durante la segunda mitad a la velocidad v2. ¿Es posible encontrar la velocidad promedio de movimiento en todo el tramo si no se conoce ni el tiempo total de movimiento ni la distancia recorrida por el cuerpo durante todo el movimiento?

Puedes: para ello, introducimos notaciones para todas las cantidades que necesitemos, sin importar si son conocidas o desconocidas. Esta es una técnica común para resolver muchos problemas.

Denotaremos todo el tiempo de movimiento con t, todo el camino con l y los caminos recorridos durante la primera y segunda mitad del tiempo de movimiento con l1 y l2, respectivamente.

8. Expresar en términos de v1, v2 y t:
a) l1 y l2; b) yo; c) velocidad media.

Habiendo encontrado las respuestas a estas preguntas, descubrirá si la afirmación es cierta en el caso general: si un cuerpo se mueve en dos secciones con diferentes velocidades durante períodos de tiempo iguales, entonces su velocidad promedio a lo largo de todo el camino es igual a la media aritmética de las velocidades en las dos secciones.

Consideremos ahora el caso en el que el cuerpo se movió a diferentes velocidades durante la primera y segunda mitad del camino.

Ahora deje que el cuerpo se mueva durante la primera mitad del recorrido completo a velocidad v1 y durante la segunda mitad a velocidad v2. Denotaremos nuevamente el tiempo total de movimiento con t, la trayectoria completa con l, y los intervalos de tiempo durante los cuales el cuerpo se movió en la primera y segunda sección se indicarán con t1 y t2, respectivamente.

9. Expresar en términos de v1, v2 y l:
a) t1 y t2; b)t; c) velocidad media.

Respondiendo a estas preguntas, descubrirá si la afirmación es cierta en el caso general: si un cuerpo se movió a lo largo de dos secciones de igual longitud con diferentes velocidades, entonces su velocidad promedio a lo largo de todo el camino no es igual a la media aritmética de estas velocidades.

10. Demuestre que la velocidad promedio de un cuerpo que se movió en dos secciones de igual longitud con diferentes velocidades es menor que si se moviera en dos secciones con las mismas velocidades durante períodos de tiempo iguales.
Clave. Para cada uno de los dos casos, exprese la velocidad promedio en términos de las velocidades en la primera y segunda sección y compare las expresiones resultantes.

11. En el primer tramo del camino el cuerpo se movía con velocidad v1, y en el segundo, con velocidad v2. ¿Cuál es la razón entre las longitudes de estas secciones si la velocidad promedio de movimiento resulta ser igual a la media aritmética de v1 y v2?

Preguntas y tareas adicionales

12. Durante un tercio del tiempo total, el tren viajó a velocidad v1 y el tiempo restante a velocidad v2.
a) Exprese la distancia recorrida por el tren en términos de v1, v2 y el tiempo total de viaje t.
b) Exprese la velocidad promedio del tren en términos de v1 y v2.
c) Encuentre el valor numérico de la velocidad promedio en v1 = 60 km/h, v2 = 90 km/h.

13. El automóvil recorrió tres cuartos de la distancia total a velocidad v1 y el resto del viaje a velocidad v2.
a) Expresar el tiempo total de movimiento del automóvil en términos de v1, v2 y la distancia total recorrida l.
b) Exprese la velocidad promedio del automóvil en términos de v1 y v2.
c) Encuentre el valor numérico de la velocidad promedio en v1 = 80 km/h, v2 = 100 km/h.

14. El automóvil condujo durante 2 horas a una velocidad de 60 km/h. ¿Cuánto tiempo después debe conducir a una velocidad de 80 km/h para que su velocidad promedio durante todo el viaje sea igual a 66,7 km/h?

15. Transfiera a su cuaderno (por celdas) la gráfica de la dependencia de las coordenadas del automóvil en el tiempo, que se muestra en la Figura 4.4. Considere que el automóvil se mueve a lo largo del eje x.
a) Determine gráficamente la velocidad promedio durante 6 s.
b) Utilizando la recta tangente, determine en qué instantes aproximadamente de tiempo la rapidez instantánea del automóvil fue igual a su rapidez promedio durante 6 s.

16. Un cuerpo se mueve a lo largo del eje x. La dependencia de las coordenadas del cuerpo con el tiempo se expresa mediante la fórmula x = 0,2 * t2.
a) Elija una escala conveniente y represente x(t) durante los primeros 6 s.
b) Utilizando esta gráfica, encuentre el momento en el que la velocidad instantánea del cuerpo fue igual a la velocidad promedio durante todo el tiempo de movimiento.

§ 12. Gráficas de trayectoria versus tiempo.

Si se conoce la trayectoria del movimiento de un punto, entonces la dependencia de la trayectoria recorrida por el punto con respecto al período de tiempo transcurrido proporciona una descripción completa de este movimiento. Hemos visto que para un movimiento uniforme tal dependencia se puede dar en la forma de la fórmula (9.2). La relación entre y para momentos individuales en el tiempo también se puede especificar en forma de una tabla que contiene los valores correspondientes del período de tiempo y la distancia recorrida. Supongamos que la velocidad de algún movimiento uniforme es de 2 m/s. La fórmula (9.2) en este caso tiene la forma . Hagamos una tabla del recorrido y tiempo de dicho movimiento:

A menudo es conveniente representar la dependencia de una cantidad de otra, no con fórmulas o tablas, sino con gráficos, que muestran más claramente la imagen de los cambios en cantidades variables y pueden facilitar los cálculos. Tracemos la dependencia de la distancia recorrida con el tiempo para el movimiento en cuestión. Para hacer esto, tome dos líneas rectas mutuamente perpendiculares: ejes de coordenadas; A uno de ellos (el eje de abscisas) lo llamaremos eje del tiempo, y al otro (el eje de ordenadas) eje de trayectoria. Elijamos escalas para representar intervalos de tiempo y trayectorias y tomemos el punto de intersección de los ejes como momento inicial y como punto de partida de la trayectoria. Tracemos en los ejes los valores de tiempo y distancia recorrida para el movimiento considerado (Fig. 18). Para "vincular" los valores de la distancia recorrida a momentos en el tiempo, trazamos perpendiculares a los ejes desde los puntos correspondientes en los ejes (por ejemplo, puntos 3 s y 6 m). El punto de intersección de las perpendiculares corresponde simultáneamente a ambas cantidades: trayectoria y momento, y de esta forma se consigue la “unión”. Se puede realizar la misma construcción para cualquier otro punto en el tiempo y las rutas correspondientes, obteniendo para cada par de valores de ruta de tiempo un punto en el gráfico. En la Fig.

Determine a partir de la gráfica la velocidad promedio del cuerpo durante períodos de tiempo.

18 se realiza tal construcción, reemplazando ambas filas de la tabla con una fila de puntos. Si tal construcción se llevara a cabo para todos los puntos en el tiempo, entonces en lugar de puntos individuales se obtendría una línea continua (también como se muestra en la figura). Esta línea se llama gráfico de ruta versus tiempo o, en resumen, gráfico de ruta.

Arroz. 18. Gráfica de la trayectoria del movimiento uniforme a una velocidad de 2 m/s

Arroz. 19. Para el ejercicio 12.1

En nuestro caso, el gráfico de trayectoria resultó ser una línea recta. Se puede demostrar que la gráfica de la trayectoria del movimiento uniforme es siempre una línea recta; y viceversa: si la gráfica del camino versus el tiempo es una línea recta, entonces el movimiento es uniforme.

Repitiendo la construcción para una velocidad diferente, encontramos que los puntos del gráfico para velocidades más altas se encuentran más altos que los puntos del gráfico correspondientes para velocidades más bajas (Fig. 20). Por lo tanto, cuanto mayor es la velocidad del movimiento uniforme, más pronunciada es la gráfica de trayectoria rectilínea, es decir, mayor es el ángulo que forma con el eje del tiempo.

Arroz. 20. Gráficas de la trayectoria de movimientos uniformes con velocidades de 2 y 3 m/s.

Arroz. 21. Gráfica del mismo movimiento que en la Fig. 18, dibujado en una escala diferente

La pendiente del gráfico depende, por supuesto, no sólo del valor numérico de la velocidad, sino también de la elección de las escalas de tiempo y longitud. Por ejemplo, el gráfico que se muestra en la Fig. 21 muestra la trayectoria versus el tiempo para el mismo movimiento que el gráfico de la Fig. 18, aunque tiene diferente pendiente. De aquí queda claro que es posible comparar movimientos según la pendiente de las gráficas solo si están dibujadas en la misma escala.

Usando gráficos de ruta, puedes resolver fácilmente varios problemas de movimiento. Por ejemplo en la Fig. 18 líneas discontinuas muestran las construcciones necesarias para resolver los siguientes problemas para un movimiento dado: a) encontrar el camino recorrido en 3,5 s; b) encuentre el tiempo que tarda en recorrer 9 m. En la figura, las respuestas se encuentran gráficamente (líneas discontinuas): a) 7 m; b) 4,5 s.

En los gráficos que describen un movimiento rectilíneo uniforme, la coordenada del punto en movimiento se puede trazar a lo largo del eje de ordenadas en lugar de a lo largo de la trayectoria. Esta descripción abre grandes posibilidades. En particular, permite distinguir la dirección del movimiento con respecto al eje. Además, al tomar el origen del tiempo como cero, es posible mostrar el movimiento del punto en momentos anteriores del tiempo, lo que debe considerarse negativo.

Arroz. 22. Gráficas de movimientos con la misma velocidad, pero en diferentes posiciones iniciales del punto en movimiento.

Arroz. 23. Gráficas de varios movimientos con velocidades negativas.

Por ejemplo, en la Fig. 22 la línea recta I es una gráfica del movimiento que ocurre a una velocidad positiva de 4 m/s (es decir, en la dirección del eje), y en el momento inicial el punto en movimiento estaba en un punto con coordenadas m. A modo de comparación, lo mismo. La figura muestra una gráfica del movimiento que ocurre con la misma velocidad, pero en el cual en el momento inicial el punto en movimiento está en el punto con la coordenada (línea II). Derecho. III corresponde al caso en que en el momento el punto en movimiento se encontraba en un punto con coordenada m. Finalmente, la recta IV describe el movimiento en el caso en que el punto en movimiento tenía una coordenada en el momento c.

Vemos que las pendientes de las cuatro gráficas son iguales: la pendiente depende sólo de la velocidad del punto en movimiento y no de su posición inicial. Al cambiar la posición inicial, todo el gráfico simplemente se mueve paralelo a sí mismo a lo largo del eje hacia arriba o hacia abajo a la distancia adecuada.

En la figura 1 se muestran gráficos de movimientos que ocurren a velocidades negativas (es decir, en dirección opuesta a la dirección del eje). 23. Son rectos, inclinados hacia abajo. Para tales movimientos, la coordenada del punto disminuye con el tiempo.

12.3. La gráfica de trayectoria de un punto que se mueve a gran velocidad corta un segmento en el eje de ordenadas. ¿Cómo depende la distancia desde el punto de partida del tiempo? Escribe la fórmula para esta relación.

12.4. Un punto que se mueve a una velocidad está a una distancia del punto inicial en ese momento.

¿Cómo depende la distancia del tiempo?

12.5. El punto, que se movía uniformemente a lo largo del eje, tenía coordenadas m y m en los momentos de tiempo s y s, respectivamente. Encuentre gráficamente en qué momento el punto pasó por el origen de coordenadas y cuál era la coordenada en el momento inicial. Encuentre la proyección de la velocidad sobre el eje.

12.6. Utilizando un gráfico de trayectoria, encuentre cuándo y a qué distancia del punto A un automóvil que sale del punto A será alcanzado por un segundo automóvil que sale del mismo punto 20 minutos después del primero, si el primer automóvil se mueve a una velocidad de 40 km/h. , y el segundo se mueve a una velocidad de 40 km/h a una velocidad de 60 km/h.

12.7. Utilizando una gráfica, encuentre dónde y cuándo se encontrarán los vehículos que salen al mismo tiempo uno hacia el otro a velocidades de 40 y 60 km/h desde los puntos A y B, ubicados a una distancia de 100 km entre sí.

Los gráficos de trayectoria también se pueden construir para casos en los que un cuerpo se mueve uniformemente durante un cierto período de tiempo, luego se mueve uniformemente pero a una velocidad diferente durante otro período de tiempo, luego cambia de velocidad nuevamente, etc. Por ejemplo, en la Fig. 26 muestra un gráfico de movimiento en el que el cuerpo se movió durante la primera hora a una velocidad de 20 km/h, durante la segunda hora a una velocidad de 40 km/h y durante la tercera hora a una velocidad de 15 km/h.

Ejercicio:12.8. Construya una gráfica de la trayectoria de movimiento en la que, en intervalos sucesivos de una hora, el cuerpo tuviera velocidades de 10, -5, 0, 2, -7 km/h. ¿Cuál es el desplazamiento total del cuerpo?

1. Encontrar un camino usando una gráfica de velocidad versus tiempo

Vamos a mostrar cómo puedes encontrar el camino recorrido por un cuerpo usando una gráfica de velocidad versus tiempo.

Comencemos con el caso más simple: el movimiento uniforme. La figura 6.1 muestra una gráfica de v(t) – velocidad versus tiempo. Representa un segmento de recta paralela a la base del tiempo, ya que con el movimiento uniforme la velocidad es constante.

La figura encerrada debajo de este gráfico es un rectángulo (está sombreado en la figura). Su área es numéricamente igual al producto de la velocidad v y el tiempo de movimiento t. Por otro lado, el producto vt es igual al camino l recorrido por el cuerpo. Entonces, con movimiento uniforme

el camino es numéricamente igual al área de la figura encerrada debajo de la gráfica de velocidad versus tiempo.

Demostremos ahora que el movimiento desigual también tiene esta notable propiedad.

Supongamos, por ejemplo, que la gráfica de velocidad versus tiempo se parezca a la curva que se muestra en la figura 6.2.

Dividamos mentalmente todo el tiempo de movimiento en intervalos tan pequeños que durante cada uno de ellos el movimiento del cuerpo pueda considerarse casi uniforme (esta división se muestra con líneas discontinuas en la Figura 6.2).

Entonces, el camino recorrido durante cada uno de esos intervalos es numéricamente igual al área de la figura debajo del trozo correspondiente del gráfico. Por lo tanto, el camino completo es igual al área de las figuras contenidas debajo del gráfico completo. (La técnica que utilizamos es la base del cálculo integral, cuyos conceptos básicos estudiará en el curso "Inicios del análisis matemático").

2. Trayectoria y desplazamiento durante el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.

Apliquemos ahora el método descrito anteriormente para encontrar el camino hacia el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.

La velocidad inicial del cuerpo es cero.

Dirijamos el eje x en la dirección de la aceleración del cuerpo. Entonces ax = a, vx = v. Por eso,

La figura 6.3 muestra una gráfica de v(t).

1. Usando la Figura 6.3, demuestre que en el caso de un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado sin velocidad inicial, la trayectoria l se expresa en términos del módulo de aceleración a y el tiempo de movimiento t mediante la fórmula

Conclusión principal:

En un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado sin velocidad inicial, la distancia recorrida por el cuerpo es proporcional al cuadrado del tiempo de movimiento.

De esta manera, el movimiento uniformemente acelerado difiere significativamente del movimiento uniforme.

La figura 6.4 muestra gráficas de la trayectoria versus el tiempo para dos cuerpos, uno de los cuales se mueve uniformemente y el otro acelera uniformemente sin una velocidad inicial.

2. Mire la Figura 6.4 y responda las preguntas.
a) ¿De qué color es la gráfica de un cuerpo que se mueve con aceleración uniforme?
b) ¿Cuál es la aceleración de este cuerpo?
c) ¿Cuáles son las velocidades de los cuerpos en el momento en que han recorrido el mismo camino?
d) ¿En qué momento son iguales las velocidades de los cuerpos?

3. Después de partir, el automóvil recorrió una distancia de 20 m en los primeros 4 s. Considere que el movimiento del automóvil es rectilíneo y uniformemente acelerado. Sin calcular la aceleración del automóvil, determine qué distancia recorrerá el automóvil:
a) en 8 s? b) en 16 s? c) en 2 s?

Encontremos ahora la dependencia de la proyección del desplazamiento sx con el tiempo. En este caso, la proyección de la aceleración sobre el eje x es positiva, entonces sx = l, ax = a. Así, de la fórmula (2) se deduce:

sx = axt2/2. (3)

Las fórmulas (2) y (3) son muy similares, lo que en ocasiones conduce a errores al resolver problemas sencillos. El hecho es que el valor de la proyección del desplazamiento puede ser negativo. Esto sucederá si el eje x está dirigido en sentido opuesto al desplazamiento: entonces sx< 0. А путь отрицательным быть не может!

4. La figura 6.5 muestra gráficas de tiempo de viaje y proyección de desplazamiento para un determinado cuerpo. ¿De qué color es el gráfico de proyección de desplazamiento?

La velocidad inicial del cuerpo no es cero.

Recordemos que en este caso la dependencia de la proyección de velocidad con el tiempo se expresa mediante la fórmula

vx = v0x + axt, (4)

donde v0x es la proyección de la velocidad inicial sobre el eje x.

Consideraremos más a fondo el caso en el que v0x > 0, ax > 0. En este caso, podemos aprovechar nuevamente el hecho de que la trayectoria es numéricamente igual al área de la figura debajo del gráfico de velocidad versus tiempo. (Considere usted mismo otras combinaciones de signos para la proyección de la velocidad inicial y la aceleración: el resultado será la misma fórmula general (5).

La figura 6.6 muestra una gráfica de vx(t) para v0x > 0, ax > 0.

5. Usando la Figura 6.6, demuestre que en el caso de un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado con una velocidad inicial, la proyección del desplazamiento

sx = v0x + axt2/2.

Esta fórmula le permite encontrar la dependencia de la coordenada x del cuerpo con el tiempo. Recordemos (ver fórmula (6), § 2) que la coordenada x del cuerpo está relacionada con la proyección de su desplazamiento sx por la relación

donde x0 es la coordenada inicial del cuerpo. Por eso,

x = x0 + sx, (6)

De las fórmulas (5), (6) obtenemos:

x = x0 + v0xt + axt2/2. (7)

6. La dependencia de las coordenadas del tiempo para un determinado cuerpo que se mueve a lo largo del eje x se expresa en unidades SI mediante la fórmula x = 6 – 5t + t2.
a) ¿Cuál es la coordenada inicial del cuerpo?
b) ¿Cuál es la proyección de la velocidad inicial sobre el eje x?
c) ¿Cuál es la proyección de la aceleración en el eje x?
d) Dibuja una gráfica de la coordenada x versus el tiempo.
e) Dibuja una gráfica de la velocidad proyectada versus el tiempo.
f) ¿En qué momento la velocidad del cuerpo es igual a cero?
g) ¿Volverá el cuerpo al punto de partida? Si es así, ¿en qué momento(s)?
h) ¿Pasará el cuerpo por el origen? Si es así, ¿en qué momento(s)?
i) Dibuja una gráfica de la proyección del desplazamiento versus el tiempo.
j) Dibuja una gráfica de la distancia versus el tiempo.

3. Relación entre trayectoria y velocidad.

Al resolver problemas, a menudo se utilizan las relaciones entre trayectoria, aceleración y velocidad (v0 inicial, v final o ambas). Derivemos estas relaciones. Empecemos por el movimiento sin velocidad inicial. De la fórmula (1) obtenemos para el tiempo de movimiento:

Sustituyamos esta expresión en la fórmula (2) por la ruta:

l = at2/2 = a/2(v/a)2 = v2/2a. (9)

Conclusión principal:

En un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado sin velocidad inicial, la distancia recorrida por el cuerpo es proporcional al cuadrado de la velocidad final.

7. Después de arrancar, el automóvil adquirió una velocidad de 10 m/s en una distancia de 40 m. Considere que el movimiento del automóvil es lineal y tiene una aceleración uniforme. Sin calcular la aceleración del automóvil, determine qué distancia desde el inicio del movimiento recorrió el automóvil cuando su velocidad era igual a: a) 20 m/s? b) 40m/s? c) 5m/s?

La relación (9) también se puede obtener recordando que la trayectoria es numéricamente igual al área de la figura encerrada debajo de la gráfica de velocidad versus tiempo (figura 6.7).

Esta consideración le ayudará a afrontar fácilmente la siguiente tarea.

8. Usando la Figura 6.8, demuestre que al frenar con aceleración constante, el cuerpo recorre la distancia lт = v02/2a hasta detenerse por completo, donde v0 es la velocidad inicial del cuerpo, a es el módulo de aceleración.

En el caso de frenar un vehículo (coche, tren), la distancia recorrida hasta detenerse por completo se denomina distancia de frenado. Tenga en cuenta: la distancia de frenado a la velocidad inicial v0 y la distancia recorrida durante la aceleración desde parado hasta la velocidad v0 con la misma aceleración a son las mismas.

9. Durante una frenada de emergencia sobre asfalto seco, la aceleración del vehículo es igual en valor absoluto a 5 m/s2. ¿Cuál es la distancia de frenado de un automóvil a velocidad inicial: a) 60 km/h (velocidad máxima permitida en ciudad); b) 120 kilómetros por hora? Encuentre la distancia de frenado a las velocidades indicadas en condiciones de hielo, cuando el módulo de aceleración es de 2 m/s2. Compara las distancias de frenado que encontraste con la longitud del salón de clases.

10. Utilizando la figura 6.9 y la fórmula que expresa el área de un trapezoide a través de su altura y la mitad de la suma de las bases, demuestre que para un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado:
a) l = (v2 – v02)/2a, si la velocidad del cuerpo aumenta;
b) l = (v02 – v2)/2a, si la velocidad del cuerpo disminuye.

11. Demuestre que las proyecciones de desplazamiento, velocidad inicial y final, así como la aceleración están relacionadas por la relación

sx = (vx2 – v0x2)/2ax (10)

12. Un automóvil en un camino de 200 m aceleró desde una velocidad de 10 m/s a 30 m/s.
a) ¿A qué velocidad se movía el auto?
b) ¿Cuánto tiempo le tomó al auto recorrer la distancia indicada?
c) ¿Cuál es la velocidad promedio del auto?

Preguntas y tareas adicionales

13. El último vagón se desacopla de un tren en movimiento, después de lo cual el tren se mueve uniformemente y el vagón se mueve con aceleración constante hasta detenerse por completo.
a) Dibuje en un dibujo gráficas de velocidad versus tiempo para un tren y un vagón.
b) ¿Cuántas veces es menor la distancia recorrida por el vagón hasta la parada que la distancia recorrida por el tren en el mismo tiempo?

14. Al salir de la estación, el tren aceleró uniformemente durante un tiempo, luego durante 1 minuto – uniformemente a una velocidad de 60 km/h, después de lo cual aceleró nuevamente uniformemente hasta detenerse en la siguiente estación. Los módulos de aceleración durante la aceleración y el frenado eran diferentes. El tren cubrió la distancia entre estaciones en 2 minutos.
a) Dibuja una gráfica esquemática de la proyección de la velocidad del tren en función del tiempo.
b) Usando esta gráfica, encuentre la distancia entre las estaciones.
c) ¿Qué distancia recorrería el tren si acelerara en el primer tramo del recorrido y desacelerara en el segundo? ¿Cuál sería su velocidad máxima?

15. Un cuerpo se mueve uniformemente acelerado a lo largo del eje x. En el momento inicial se encontraba en el origen de coordenadas y la proyección de su velocidad era igual a 8 m/s. Después de 2 s, la coordenada del cuerpo pasó a ser 12 m.
a) ¿Cuál es la proyección de la aceleración del cuerpo?
b) Trazar una gráfica de vx(t).
c) Escribe una fórmula que exprese la dependencia x(t) en unidades SI.
d) ¿La velocidad del cuerpo será cero? En caso afirmativo, ¿en qué momento?
e) ¿El cuerpo visitará el punto con coordenadas 12 m por segunda vez? En caso afirmativo, ¿en qué momento?
f) ¿Volverá el cuerpo al punto de partida? Si es así, ¿en qué momento y cuál será la distancia recorrida?

16. Después del empujón, la pelota rueda por un plano inclinado y luego regresa al punto de partida. La pelota estuvo a una distancia b del punto inicial dos veces en los intervalos de tiempo t1 y t2 después del empujón. La pelota se movía hacia arriba y hacia abajo a lo largo del plano inclinado con la misma aceleración.
a) Dirija el eje x hacia arriba a lo largo del plano inclinado, seleccione el origen en la posición inicial de la pelota y escriba una fórmula que exprese la dependencia x(t), que incluye el módulo de velocidad inicial de la pelota v0 y el módulo de la aceleración de la pelota a.
b) Usando esta fórmula y el hecho de que la pelota estaba a una distancia b del punto de partida en los momentos t1 y t2, crea un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas v0 y a.
c) Resuelto este sistema de ecuaciones, expresa v0 y a en términos de b, t1 y t2.
d) Exprese el camino total l recorrido por la pelota en términos de b, t1 y t2.
e) Encuentre los valores numéricos de v0, a y l para b = 30 cm, t1 = 1s, t2 = 2s.
f) Trazar gráficas de vx(t), sx(t), l(t).
g) Usando la gráfica de sx(t), determine el momento en que el módulo de desplazamiento de la pelota fue máximo.

1. Velocidad instantánea

En esta sección consideraremos el movimiento desigual. Sin embargo, en este caso necesitaremos lo que sabemos sobre el movimiento uniforme rectilíneo.

Vemos que en intervalos de tiempo iguales el coche recorre caminos diferentes, es decir, se mueve de manera desigual.

1. Usando la Figura 4.2, determine la velocidad instantánea del automóvil. Considere que la longitud del automóvil es de 5 m.

El valor de la velocidad instantánea del automóvil lo muestra el velocímetro (Fig. 4.3).

Cómo encontrar la velocidad instantánea a partir de una gráfica de coordenadas versus tiempo

La figura 4.4 muestra una gráfica de coordenadas versus tiempo para un automóvil que se mueve a lo largo de una carretera recta.

Vemos que se mueve de manera desigual, porque la gráfica de sus coordenadas versus el tiempo es una curva, no un segmento de línea recta.

Muestremos cómo determinar a partir de este gráfico la velocidad instantánea de un automóvil en cualquier momento, digamos, en t = 3 s (punto del gráfico).

Para ello, consideremos el movimiento de un automóvil durante un período de tiempo tan corto durante el cual su movimiento puede considerarse lineal y uniforme.

La figura 4.5 muestra la sección del gráfico que nos interesa multiplicada por diez (ver, por ejemplo, la escala de tiempo).

2. ¿Cuál es la rapidez instantánea del automóvil en el momento t = 3 s?

3. Considere la Figura 4.6.
a) ¿En qué puntos de la gráfica es mayor el ángulo de inclinación de la tangente? ¿el menos?
b) Encuentre la velocidad instantánea máxima y mínima del automóvil durante los primeros 6 segundos de su movimiento.

2. Velocidad media

Muchos problemas utilizan la velocidad promedio asociada con la distancia recorrida:

vav = l/t. (1)

La velocidad media definida de esta manera es una cantidad escalar, ya que el camino es una cantidad escalar. (A veces, para evitar confusiones, se le llama velocidad de avance promedio).

Por ejemplo, si un coche recorre 120 km por la ciudad durante tres horas (al mismo tiempo puede acelerar, frenar y detenerse en las intersecciones), entonces su velocidad media es de 40 km/h.

4. ¿Cuánto disminuirá la velocidad promedio del automóvil que acabamos de mencionar si el tiempo total de conducción aumenta en 1 hora debido a las paradas de tráfico?

Velocidad media en dos tramos de tráfico.

vav = (l1 + l2)/(t1 + t2), (2)

5. Encuentra:
a) el camino recorrido por Sasha durante todo el movimiento;
b) el tiempo total del movimiento de Sasha;
c) La velocidad promedio de Sasha.

6. Encuentra:
a) el camino que Sasha recorrió a pie;
b) el camino recorrido por Sasha durante todo el movimiento;
c) el tiempo total del movimiento de Sasha;
b) La velocidad promedio de Sasha.

7. Compare los períodos de tiempo durante los cuales Sasha condujo y caminó en el primer y segundo caso.

Resumamos las situaciones discutidas anteriormente.

Consideremos primero el caso en el que el cuerpo se movía a diferentes velocidades durante períodos de tiempo iguales.

Puedes: para ello, introducimos notaciones para todas las cantidades que necesitemos, sin importar si son conocidas o desconocidas. Esta es una técnica común para resolver muchos problemas.

Denotaremos todo el tiempo de movimiento con t, todo el camino con l y los caminos recorridos durante la primera y segunda mitad del tiempo de movimiento con l1 y l2, respectivamente.

8. Expresar en términos de v1, v2 y t:
a) l1 y l2; b) yo; c) velocidad media.

Consideremos ahora el caso en el que el cuerpo se movió a diferentes velocidades durante la primera y segunda mitad del camino.

9. Expresar en términos de v1, v2 y l:
a) t1 y t2; b)t; c) velocidad media.

Preguntas y tareas adicionales

El automóvil recorrió tres cuartos de la distancia total a velocidad v1 y el resto del viaje a velocidad v2.
a) Expresar el tiempo total de movimiento del automóvil en términos de v1, v2 y la distancia total recorrida l.
b) Exprese la velocidad promedio del automóvil en términos de v1 y v2.
c) Encuentre el valor numérico de la velocidad promedio en v1 = 80 km/h, v2 = 100 km/h.

Representación gráfica del movimiento lineal uniforme.

El movimiento mecánico se representa gráficamente. La dependencia de cantidades físicas se expresa mediante funciones. Designado:

V (t) - cambio de velocidad a lo largo del tiempo

a(t) - cambio en la aceleración con el tiempo

Detrás aceleración versus tiempo. Dado que durante el movimiento uniforme la aceleración es cero, la dependencia a(t) es una línea recta que se encuentra en el eje del tiempo.

Dependencia de la velocidad en el tiempo.. Dado que el cuerpo se mueve de forma rectilínea y uniforme (v = const), es decir la velocidad no cambia con el tiempo, entonces la gráfica con la dependencia de la velocidad del tiempo v(t) es una línea recta paralela al eje del tiempo.

La proyección del movimiento del cuerpo es numéricamente igual al área del rectángulo AOBC debajo del gráfico, ya que la magnitud del vector de movimiento es igual al producto del vector de velocidad por el tiempo durante el cual se realizó el movimiento.

La regla para determinar la ruta usando el gráfico v(t): en el caso de un movimiento uniforme rectilíneo, la magnitud del vector de desplazamiento es igual al área del rectángulo debajo de la gráfica de velocidad.

Dependencia del desplazamiento en el tiempo. Gráfica s(t) - recta inclinada :

La gráfica muestra que la proyección de la velocidad es igual a:

Teniendo en cuenta esta fórmula, podemos decir que cuanto mayor es el ángulo, más rápido se mueve el cuerpo y recorre mayor distancia en menos tiempo.

La regla para determinar la velocidad a partir de la gráfica s(t): La tangente del ángulo de inclinación del gráfico al eje del tiempo es igual a la velocidad de movimiento.

Movimiento recto desigual.

El movimiento uniforme es un movimiento a una velocidad constante. Si la velocidad de un cuerpo cambia, se dice que se mueve de manera desigual.

Un movimiento en el que un cuerpo realiza movimientos desiguales en intervalos de tiempo iguales se llama desigual o movimiento variable.

Para caracterizar el movimiento desigual, se introduce el concepto de velocidad media.

Velocidad media de conducción igual a la relación entre el camino total recorrido por un punto material y el período de tiempo durante el cual se recorrió este camino.

En física, el mayor interés no es el promedio, sino velocidad instantanea , que se define como el límite al que tiende la velocidad media durante un período de tiempo infinitesimal Δ t:

Velocidad instantáneaEl movimiento variable es la velocidad de un cuerpo en un momento dado en el tiempo o en un punto dado de la trayectoria..

La velocidad instantánea de un cuerpo en cualquier punto de una trayectoria curvilínea se dirige tangencialmente a la trayectoria en ese punto.

La diferencia entre velocidades promedio e instantánea se muestra en la figura.

El movimiento de un cuerpo en el que su velocidad cambia igualmente durante períodos de tiempo iguales se llama uniformemente acelerado o movimiento alterno uniformemente.

Aceleración -Esta es una cantidad física vectorial que caracteriza la tasa de cambio de velocidad, numéricamente igual a la relación entre el cambio de velocidad y el período de tiempo durante el cual ocurrió este cambio.

Si la velocidad cambia igualmente durante todo el movimiento, entonces la aceleración se puede calcular mediante la fórmula:

Designaciones:

V x - Velocidad de un cuerpo durante un movimiento uniformemente acelerado en línea recta

V x o - Velocidad inicial del cuerpo.

a x - aceleración del cuerpo

t - tiempo de movimiento del cuerpo

La aceleración muestra qué tan rápido cambia la velocidad de un cuerpo. Si la aceleración es positiva, entonces la velocidad del cuerpo aumenta, el movimiento se acelera. Si la aceleración es negativa, significa que la velocidad está disminuyendo y el movimiento es lento.

La unidad SI de aceleración es [m/s2].

La aceleración se mide acelerómetro

Ecuación de velocidad para movimiento uniformemente acelerado:v x = v xo + a x t

Ecuación del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.(movimiento durante un movimiento uniformemente acelerado):

Designaciones:

S x - Desplazamiento de un cuerpo durante un movimiento uniformemente acelerado en línea recta

V x o - Velocidad inicial del cuerpo.

V x - Velocidad de un cuerpo durante un movimiento uniformemente acelerado en línea recta

a x - aceleración del cuerpo

t - tiempo de movimiento del cuerpo

Más fórmulas para encontrar el desplazamiento durante un movimiento lineal uniformemente acelerado, que se pueden utilizar para resolver problemas:

Si se conocen las velocidades y aceleraciones inicial y final.

Si se conocen las velocidades de movimiento inicial y final y el tiempo de todo el movimiento.

Representación gráfica del movimiento lineal desigual.

El movimiento mecánico se representa gráficamente. La dependencia de cantidades físicas se expresa mediante funciones. Designado:

V(t) - cambio de velocidad con el tiempo

S(t) - cambio en el desplazamiento (trayectoria) a lo largo del tiempo

1) Método analítico.

Consideramos que la carretera es recta. Escribamos la ecuación de movimiento de un ciclista. Como el ciclista se movía uniformemente, su ecuación de movimiento es:

(situamos el origen de coordenadas en el punto inicial, por lo que la coordenada inicial del ciclista es cero).

El motociclista se movía con aceleración uniforme. También comenzó a moverse desde el punto de partida, por lo que su coordenada inicial es cero, la velocidad inicial del motociclista también es cero (el motociclista comenzó a moverse desde un estado de reposo).

Considerando que el motociclista comenzó a moverse más tarde, la ecuación de movimiento del motociclista es:

En este caso, la velocidad del motociclista cambió según la ley:

En el momento en que el motociclista alcanza al ciclista, sus coordenadas son iguales, es decir o:

Resolviendo esta ecuación para , encontramos el tiempo de reunión:

Esta es una ecuación cuadrática. Definimos el discriminante:

Determinando las raíces:

Sustituyamos valores numéricos en las fórmulas y calculemos:

Descartamos la segunda raíz por no corresponder a las condiciones físicas del problema: el motociclista no pudo alcanzar al ciclista 0,37 s después de que el ciclista comenzó a moverse, ya que él mismo abandonó el punto de partida solo 2 s después de que el ciclista comenzó.

Así, el momento en que el motociclista alcanzó al ciclista:

Sustituyamos este valor de tiempo en la fórmula de la ley de cambio de velocidad de un motociclista y encontremos el valor de su velocidad en este momento:

2) Método gráfico.

En el mismo plano de coordenadas construimos gráficos de cambios en el tiempo en las coordenadas del ciclista y del motociclista (el gráfico de las coordenadas del ciclista está en rojo, el del motociclista, en verde). Se puede ver que la dependencia de la coordenada con el tiempo para un ciclista es una función lineal, y la gráfica de esta función es una línea recta (el caso de un movimiento rectilíneo uniforme). El motociclista se movía con aceleración uniforme, por lo que la dependencia de las coordenadas del motociclista con el tiempo es una función cuadrática, cuya gráfica es una parábola.