Qué característica es un rasgo característico de la serie Variatal. Varios y sus características.
Varios valores selectivos llamamos opciones Un número de valores y denota: h. 1 , h. 2, .... En primer lugar, trabajamos. vistoso Opciones, es decir,. El arreglo de ellos en orden creciente o descendente. Para cada opción, se indica el peso, es decir, El número que caracteriza la contribución de esta opción al agregado general. Frecuencia o frecuencia sobresale como pesos.
Frecuencia n I. opción x I. El número indica cuántas veces se encuentra esta opción en el agregado selectivo considerado.
Frecuencia o frecuencia relativa. w I. opción x I. Se llama al número igual a la relación de la frecuencia de la opción a la suma de las frecuencias de todas las opciones. Frecuencia muestra qué parte de las unidades del agregado selectivo tiene esta opción.
La secuencia de opciones con los pesos correspondientes (frecuencias o frecuencias internas) registradas en orden ascendente (o descendente) se llama variación cerca.
Las filas de variación son discretas y intervalo.
Para las filas de variación discretas, los valores de puntos se establecen, para el intervalo: los valores de carácter se establecen como intervalos. Las filas de variación pueden mostrar la distribución de frecuencia o las frecuencias relativas (frecuencias), dependiendo de qué valor se indique para cada opción: frecuencia o frecuencia.
Variación de la distribución de frecuencia discreta Tiene la forma:
Los frecuentes están en la fórmula, i \u003d 1, 2, ..., mETRO..
w. 1 + W. 2 + … + w. M \u003d 1.
Ejemplo 4.1. Para este conjunto de números.
4, 6, 6, 3, 4, 9, 6, 4, 6, 6
construir rangos de variación discreta de frecuencia y distribución de frecuencia.
Decisión . El volumen de la totalidad es igual. nORTE. \u003d 10. El rango discreto de distribución de frecuencia tiene el formulario
Las filas de intervalo son similares.
Variación de la distribución de frecuencia de intervalo Grabado en el formulario:
La suma de todas las frecuencias es igual al número total de observaciones, es decir. Volumen de agregado: nORTE. = nORTE. 1 + NORTE. 2 + … + nORTE. metro.
Intervalo variación de distribución de frecuencia relativa (frecuencias)tiene la forma:
La frecuencia es por fórmula, i \u003d 1, 2, ..., mETRO..
La suma de todas las frecuencias es igual a una: w. 1 + W. 2 + … + w. M \u003d 1.
Los más a menudo en la práctica se aplican los rangos de intervalo. Si los datos selectivos estadísticos son muchos y sus valores difieren entre sí a un valor arbitrariamente pequeño, entonces la fila discreta para estos datos será lo suficientemente voluminosa e inconveniente para una mayor investigación. En este caso, se utiliza la agrupación de datos, es decir, La brecha que contiene todos los valores de signo se divide en varios intervalos parciales y, calculando la frecuencia para cada intervalo, se obtiene el rango de intervalo. Escribimos con más detalle el esquema para la construcción de la serie de intervalos, asumiendo que la longitud de los intervalos parciales será la misma.
2.2 Construcción de la fila de intervalo.
Para construir un número de intervalo:
Determinar el número de intervalos;
Determinar la longitud de los intervalos;
Determine la ubicación de los intervalos en el eje.
Para determinar intervalos de números k. Hay una fórmula en estur en los que
,
dónde nORTE. - El volumen de toda la población.
Por ejemplo, si hay 100 valores de la función (opción), se recomienda construir la fila de intervalo para tomar el número de intervalos a intervalos iguales.
Sin embargo, muy a menudo en la práctica, el número de intervalos elige al investigador mismo, dado que este número no debe ser muy grande para que la fila no sea voluminosa, pero no es muy pequeña para no perder algunas propiedades de distribución.
Intervalo de longitud h. Determinado por la siguiente fórmula:
,
dónde x. Max I. x. MIN es, respectivamente, la más grande y las opciones más pequeñas.
Magnitud 
Llamada rueda fila.
Porque la construcción de los intervalos propios vienen de diferentes maneras. Una de las maneras más fáciles es la siguiente. Al comienzo del primer intervalo toma la magnitud. 
. Luego, los límites restantes de los intervalos están en la fórmula. Obviamente, el final del último intervalo. uNA. M + 1 debe satisfacer la condición
Después de que se encuentran todos los límites de los intervalos, determine las frecuencias (o frecuencia) de estos intervalos. Para resolver este problema, usted ve todas las variantes y determine el número de la opción en uno u otro intervalo. Intervalo de construcción completo Considere en el ejemplo.
Ejemplo 4.2. Para los siguientes datos estadísticos registrados en orden ascendente, para construir un rango de intervalo con el número de intervalos iguales a 5:
11, 12, 12, 14, 14, 15, 21, 21, 22, 23, 25, 38, 38, 39, 42, 42, 44, 45, 50, 50, 55, 56, 58, 60, 62, 63, 65, 68, 68, 68, 70, 75, 78, 78, 78, 78, 80, 80, 86, 88, 90, 91, 91, 91, 91, 91, 93, 93, 95, 96.
Decisión. Total nORTE.\u003d 50 opciones de opciones.
El número de intervalos se define en la condición del problema, es decir, k.=5.
La longitud de los intervalos es igual. 
.
Definimos los límites de los intervalos:
uNA. 1 = 11 − 8,5 = 2,5; uNA. 2 = 2,5 + 17 = 19,5; uNA. 3 = 19,5 + 17 = 36,5;
uNA. 4 = 36,5 + 17 = 53,5; uNA. 5 = 53,5 + 17 = 70,5; uNA. 6 = 70,5 + 17 = 87,5;
uNA. 7 = 87,5 +17 = 104,5.
Para determinar la frecuencia de los intervalos, contamos el número de opciones en este intervalo. Por ejemplo, en el primer intervalo de 2.5 a 19.5, las opciones 11, 12, 12, 14, 14, 15 están cayendo. Su número es 6, por lo tanto, la primera frecuencia de intervalo es igual a nORTE. 1 \u003d 6. La frecuencia del primer intervalo es igual. 
. En el segundo intervalo de 19.5 a 36.5, las opciones 21, 21, 22, 23, 25 están cayendo, el número de cual es 5. En consecuencia, la frecuencia del segundo intervalo es igual a nORTE. 2 \u003d 5, y frecuencia 
. Encontrar la frecuencia y la frecuencia de igualdad para todos los intervalos, obtenemos las siguientes filas de intervalo.
El rango de intervalo de distribución de frecuencia es:
La cantidad de frecuencias es igual a 6 + 5 + 9 + 11 + 8 + 11 \u003d 50.
El rango de intervalo de distribución de frecuencia es:
La cantidad de frecuencias es 0.12 + 0.1 + 0.18 + 0.22 + 0.16 + 0.22 \u003d 1. ■.
Al construir la serie de intervalos, dependiendo de las condiciones específicas del problema en consideración, se pueden aplicar otras reglas, a saber, a saber
1. Las series variacionales de intervalo pueden consistir en intervalos parciales de diferentes longitudes. Las longitudes desiguales de los intervalos le permiten resaltar las propiedades de un conjunto estadístico con una distribución desigual de la característica. Por ejemplo, si los límites de los intervalos determinan el número de residentes en las ciudades, es recomendable en este problema utilizar intervalos desiguales a lo largo de la longitud. Obviamente, para las ciudades pequeñas, una pequeña diferencia se encuentra entre los habitantes, y para las grandes ciudades, la diferencia en decenas y cientos de residentes no importan. Las filas de intervalo con longitudes desiguales de intervalos parciales se investigan, principalmente en la teoría general de las estadísticas y su consideración va más allá del alcance de este manual.
2. En estadísticas matemáticas, a veces se consideran las filas de intervalo, para las cuales se supone que el borde izquierdo del primer intervalo es, y el límite correcto del último intervalo + ∞. Esto se hace para llevar la distribución estadística a teórica.
3. Al construir la serie de intervalos, puede ser que el valor de una variante coincida con la precisión con el límite del intervalo. Es mejor hacerlo en este caso de la siguiente manera. Si tal coincidencia es solo una cosa, entonces se cree que la opción en cuestión con su frecuencia golpeó el intervalo, que está más cerca de la mitad de la serie de intervalos, si hay varias opciones, ya sea que todos ellos atribuyan a El derecho de estos intervalos o todo a la izquierda.
4. Después de determinar el número de intervalos y su longitud, la ubicación de los intervalos se puede hacer de otra manera. Encuentra el promedio aritmético de todas las opciones en consideración. h. cf. y construir el primer intervalo de tal manera que este selectivo promedio estaría dentro de algún intervalo. Por lo tanto, obtenemos el intervalo de h. cf. - 0.5 h.antes de h. cf. + 0.5 h.. Luego, izquierda y derecha, agregando la longitud del intervalo, construimos los intervalos restantes hasta x. min yo. x. Max no caerá en consecuencia en los primeros y últimos intervalos.
5. Las filas de intervalo con una gran cantidad de intervalos se registran de manera conveniente verticalmente, es decir, Los intervalos no se registran en la primera línea, sino en la primera columna, y la frecuencia (o la frecuencia) en la segunda columna.
Los datos selectivos pueden considerarse como un valor de alguna variable aleatoria. H.. El valor aleatorio tiene su propia distribución de la ley. De la teoría de las probabilidades, se sabe que la ley de distribución de la variable aleatoria discreta se puede establecer como una serie de distribución y continua, utilizando la función de densidad de distribución. Sin embargo, existe una ley de distribución universal, que se lleva a cabo para variables aleatorias discretas y continuas. Esta ley de distribución se establece en forma de una función de distribución. F.(x.) = pag.(X.<x.). Para obtener datos selectivos, puede especificar un análogo de la función de distribución: la función de distribución empírica.
Distribución estadística - Esta es una distribución ordenada de unidades de agregado en el grupo en una característica de variación particular.Dependiendo de la base, se distingue la base de la formación de una serie de distribución. atributo y rangos variativos de distribución..
La existencia de una característica general es la base para la formación de un agregado estadístico, que representa los resultados de una descripción o medición de signos generales de objetos de investigación.
El tema de estudio en estadísticas está cambiando (variando) características o signos estadísticos.
Tipos de signos estadísticos.
Atributos Llamar filas de distribución.Construido por características de calidad. Atributivo - Este es un signo que tiene un nombre, (por ejemplo, profesión: costurera, maestro, etc.).
El número de distribución se realiza en forma de tablas. En la pestaña. 2.8 Muestra un número de atributos de distribución.
Tabla 2.8 - Distribución de tipos de asistencia legal proporcionada a los abogados a los ciudadanos de una de las regiones de la Federación de Rusia.
Serie Variatryal Llamar filas de distribuciónConstruido sobre una base cuantitativa. Cualquier serie Variatal consta de dos elementos: opciones y frecuencias.
Las opciones se consideran valores separados de la característica que toma en la fila de variación.
Las frecuencias son los números de variantes individuales o cada grupo de series de variación, es decir, Estos son números que muestran la frecuencia con la que se encuentran algunas opciones en una serie de distribución. La suma de todas las frecuencias determina el número de toda la totalidad, su volumen.
Las partes se llaman frecuencias expresadas en las fracciones de una unidad o en porcentaje al resultado. En consecuencia, la cantidad de frecuencias es igual a 1 o 100%. El rango de variación permite que los datos reales evalúen la forma de la ley de distribución.
Dependiendo de la naturaleza de la variación de la característica distingue. serie variacionalmente discreta y intervalo..
Un ejemplo de una serie de variación discreta se da en la tabla. 2.9.
Tabla 2.9 - Distribución de familias en el número de habitaciones ocupadas en apartamentos separados en 1989 en la Federación de Rusia.
Serie Variatal
En la población general, se investiga cierto signo cuantitativo. Elimina al azar la muestra de volumen. nORTE., es decir, el número de elementos de muestreo es igual nORTE.. En la primera etapa del procesamiento estadístico producido. vistoso Muestras, es decir,. Números de pedido x 1, x 2, ..., x n Ascendente Cada valor observado x I.llamada opción. Frecuencia m I. - Este es el número de observaciones del valor. x I. En la muestra. Frecuencia relativa (frecuencia) w I.- Esta es la relación de frecuencia. m I.al volumen de la muestra nORTE.: .Al estudiar la serie Variatal también usa los conceptos de frecuencia acumulada y frecuencia acumulada. Permitir x. Algún número Entonces el número de opciones , Los valores de los cuales son menos. x.se llama la frecuencia acumulada: para x i
La función se llama variada discretamente si sus valores individuales (opciones) difieren entre sí a algún valor finito (generalmente un entero). La serie Variatal de tal señal se llama variación discreta.
Tabla 1. Vista general del rango de frecuencia de variación discreta
| Valores de signo | x I. | x 1 | x 2 | … | x N. |
| Frecuencia | m I. | m 1. | m 2. | … | m N. |
El signo se denomina continuamente variante si sus valores difieren entre sí a un valor arbitrariamente pequeño, es decir, El letrero puede tomar cualquier valor en algún intervalo. La serie de variación continua para tal característica se llama intervalo.
TABLA 2. VISTA GENERAL DEL CAMBIO DE FRECUENCIA VARIACIÓN INTERVAMENTE
Tabla 3. Imágenes gráficas de la serie Variatal.
| Fila | Polígono o histograma | Función empírica de distribución | |
| Discreto |  |  |  |
| Intervalo |  |  |  |
Para la imagen gráfica de la serie de variación, el polígono, el histograma, la curva acumulativa y la función de distribución empírica son las más comunes.
En la pestaña. 2.3 (la agrupación de la población rusa en términos de ingresos promedio per cápita en abril de 1994) se presenta serie variacional intervalo.
Filas de distribución convenientes para analizar con una imagen gráfica que le permite juzgar y sobre la forma de distribución. Se da una idea visual de la naturaleza del cambio en el rango de variación de frecuencia. polígono e histograma.
El polígono se utiliza en la imagen de la serie de variación discreta..
Muestra, por ejemplo, distribuyendo gráficamente fondos residenciales por tipo de apartamentos (Tabla 2.10).
Tabla 2.10 - Distribución de la base residencial del área urbana por tipo de apartamentos (figuras condicionales).
Higo. Distribución de polígonos de stock residencial.
En los ejes de la ordenada, no solo los valores de frecuencia, sino que también se pueden aplicar frecuencias de la serie de variación.
Se acepta histograma para una imagen de la serie Variatal Interval.. Al construir un histograma en el eje Abscissa, se deposita el tamaño de los intervalos y las frecuencias se representan mediante rectángulos construidos en los intervalos correspondientes. La altura de las columnas en el caso de intervalos iguales debe ser proporcional a las frecuencias. El histograma es un gráfico en el que la fila se muestra en forma de contaminada entre sí.
Mostraré un rango de distribución de intervalo gráficamente dado en la tabla. 2.11.
Tabla 2.11 - Distribución de familias en tamaño de un espacio vital por persona (números condicionales).
| N p / n | Grupos de familias en el tamaño del espacio vital por persona. | Número de familias con una sala de estar determinada. | Número acumulado de familias |
| 1 | 3 – 5 | 10 | 10 |
| 2 | 5 – 7 | 20 | 30 |
| 3 | 7 – 9 | 40 | 70 |
| 4 | 9 – 11 | 30 | 100 |
| 5 | 11 – 13 | 15 | 115 |
| TOTAL | 115 | ---- | |
Higo. 2.2. Distribución de histograma de las familias en el tamaño del espacio vital por persona.
Usando los datos de la serie acumulada (Tabla 2.11), Build acumulación de la distribución.
Higo. 2.3. Acumulando la distribución de las familias en el tamaño del espacio vital por persona.
La imagen de la fila variativa en forma de acumulados es especialmente efectiva para las series variacionales, cuyas frecuencias se expresan en fracciones o porcentajes a la suma de la frecuencia de la fila.
Si con una imagen gráfica de la serie Variatal, en forma de acumulados para cambiar el eje, entonces obtendremos ogiva. En la Fig. 2.4 muestra un pícaro basado en la tabla de datos. 2.11.
El histograma se puede convertir en el polígono de distribución si encuentra el medio de los lados de los rectángulos y luego conecte estos puntos con líneas rectas. El polígono de distribución resultante se muestra en la FIG. 2.2 Línea de puntos.
Al construir un histograma de la distribución del rango de variación con intervalos desiguales a lo largo del eje de la ordenada, no se aplican frecuencias, sino la densidad de distribución de la característica en los intervalos correspondientes.
La densidad de distribución es la frecuencia calculada por unidad de ancho del intervalo, es decir, Cuántas unidades en cada grupo representó una unidad del tamaño del intervalo. Un ejemplo de calcular la densidad de distribución se presenta en la tabla. 2.12.
Tabla 2.12 - Distribución de empresas por el número de empleados (figuras condicionales)
| N p / n | Grupos de empresas en el número de empleados, personas. | Número de empresas | La magnitud del intervalo, las personas. | Densidad de distribución |
| PERO | 1 | 2 | 3=1/2 | |
| 1 | Hasta 20. | 15 | 20 | 0,75 |
| 2 | 20 – 80 | 27 | 60 | 0,25 |
| 3 | 80 – 150 | 35 | 70 | 0,5 |
| 4 | 150 – 300 | 60 | 150 | 0,4 |
| 5 | 300 – 500 | 10 | 200 | 0,05 |
| TOTAL | 147 | ---- | ---- |
También se puede utilizar la imagen gráfica de la serie Variatal. curva acumulada. Con la ayuda de acumulados (sumas de curva), se representan varias frecuencias acumuladas. Las frecuencias acumuladas están determinadas por la suma constante de las frecuencias en grupos y muestran cuántas unidades del conjunto tienen los valores del atributo no más que el valor en consideración.
Higo. 2.4. Distribución deshonesta de las familias en el tamaño de un espacio habitable por persona.
Al construir los acumulados de la serie de variación del intervalo a lo largo del eje de abscisa, las variantes de la fila se posponen, y las frecuencias acumuladas se acumulan a lo largo del eje.
Serie Variatal continua
Serie Variatal continua: una serie construida sobre la base de una característica estadística cuantitativa. Ejemplo. La duración promedio de las enfermedades de los convictos (días por persona) en el período de otoño-invierno en el año en curso ascendió a:| 7,0 | 6,0 | 5,9 | 9,4 | 6,5 | 7,3 | 7,6 | 9,3 | 5,8 | 7,2 |
| 7,1 | 8,3 | 7,5 | 6,8 | 7,1 | 9,2 | 6,1 | 8,5 | 7,4 | 7,8 |
| 10,2 | 9,4 | 8,8 | 8,3 | 7,9 | 9,2 | 8,9 | 9,0 | 8,7 | 8,5 |
Academia Rusa de Economía Nacional y Servicio Público bajo el Presidente de la Federación Rusa.
Rama de oryol
departamento de Matemáticas y Métodos Matemáticos en Gestión.
Trabajo independiente
Matemáticas
en el tema "Serie Variatal y sus características".
para los estudiantes del departamento de tiempo completo de la Facultad "Economía y gestión".
direcciones de entrenamiento "Gestión de personal".
Propósito del trabajo:Masterización de los conceptos de estadísticas matemáticas y recepciones del procesamiento de datos primarios.
Un ejemplo de resolución de tareas típicas.
Tarea 1.
En la encuesta, se obtuvieron los siguientes datos ():
1 2 3 2 2 4 3 3 5 1 0 2 4 3 2 2 3 3 1 3 2 4 2 4 3 3 3 2 0 6
3 3 1 1 2 3 1 4 3 1 7 4 3 4 2 3 2 3 3 1 4 3 1 4 5 3 4 2 4 5
3 6 4 1 3 2 4 1 3 1 0 0 4 6 4 7 4 1 3 5
Necesitar:
1) Realice una serie Variatal (distribución estadística de la muestra), envíe previamente un número discreto clasificado de opciones.
2) Construye un polígono y un acumulado.
3) Crear una serie de distribución de frecuencias relativas (frecuencias).
4) Encuentre las principales características numéricas de la serie Variatal (use fórmulas simplificadas para su estadía): a) la media aritmética, b) mediana Me. y moda mes, c) dispersión s 2., d) desviación cuadrática secundaria S., e) coeficiente de variación V..
5) Aclarar el significado de los resultados obtenidos.
Decisión.
1) Para la compilación número discreto clasificado de opciones Ordene los datos de sondeo en tamaño y colóquelos en orden ascendente.
0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
5 5 5 5 6 6 6 7 7.
Haremos una serie variacional, escribiendo en la primera línea de los valores observados (opciones), y en la segunda frecuencia correspondiente a ellos (Tabla 1)
Tabla 1.
2) El polígono de frecuencia es un punto roto que se conecta ( x I.; n I.), i.=1, 2,…, mETRO.dónde mETRO. X..
Representaré un polígono de las frecuencias de la serie Variatal (Fig. 1).
Figura 1. Frecuencia de polígono
Curva acumulada (acumulat) para un rango de variación discreto representa un punto de conexión roto ( x I.; nIH), i.=1, 2,…, mETRO..
Encontrar frecuencias acumuladas nIH (Frecuencia acumulada muestra cuántas opciones se observaron con un signo de un signo de menor h.). Los valores encontrados en la tercera línea de la Tabla 1.
Construimos acumulador (Fig. 2).
Figura 2. Acumulado
3) Encontramos frecuencias relativas (frecuencias), donde, dónde mETRO. - El número de signos diferentes de la característica. X.Lo que vamos a calcular con la misma precisión.
Escribimos una serie de distribución de frecuencias relativas (frecuencias) en forma de Tabla 2
Tabla 2
4) Encontramos las principales características numéricas de la serie Variatal:
a) Aritmética media encontrada utilizando una fórmula simplificada:
,
donde - opciones condicionales
Poner de\u003d 3 (uno de los valores promedio observados), k.\u003d 1 (la diferencia entre dos opciones adyacentes) y realice una tabla calculada (Tabla 3).
Tabla 3.
| x I. | nORTE. I. | u I. | u i n i i | u 2 n i i |
| -3 | -12 | |||
| -2 | -26 | |||
| -1 | -14 | |||
| Suma | -11 |
Entonces la aritmética media
b) mediana Me. La serie de variación se llama el valor del atributo que llega a la mitad de la fila clasificada de observaciones. Este rango de variación discreto contiene un número par de miembros ( nORTE.\u003d 80), significa que la mediana es igual a la mitad de la mitad de las dos opciones medias.
Mozo mes El rango de variación se llama la opción a la que corresponde la frecuencia más alta. Para esta serie Variational, la frecuencia más alta. NORTE. Max \u003d 24 cumple la opción h. \u003d 3, entonces moda mes=3.
c) dispersión s 2.que es una medida de dispersión de posibles valores del indicador X. Alrededor de su promedio, encontraremos utilizando la fórmula simplificada:
dónde u I. - Opciones condicionales
Los cálculos intermedios también traen a la Tabla 3.
Entonces dispersión
d) desviación cuadrática secundaria s. Buscar por la fórmula:
.
e) Coeficiente de variación V.: (),
El coeficiente de variación es un valor inconmensurable, por lo que es adecuado para comparar la dispersión de la serie Variatal, de las cuales tienen diferentes dimensiones.
El coeficiente de variación
.
5) El significado de los resultados obtenidos es que el valor caracteriza el signo promedio. X. Dentro de la muestra en consideración, es decir, el valor promedio fue 2.86. Desviación cuadrática media s. Describe la dispersión absoluta de los valores del indicador. X. Y en este caso asciende a s. ≈ 1.55. El coeficiente de variación V. Caracteriza la variabilidad relativa del indicador. X., es decir, la dispersión relativa alrededor de su valor promedio, y en este caso es.
Respuesta: ; ; ; .
Tarea 2.
Hay los siguientes datos sobre su propio capital de 40 bancos más grandes de Rusia Central:
| 12,0 | 49,4 | 22,4 | 39,3 | 90,5 | 15,2 | 75,0 | 73,0 | 62,3 | 25,2 |
| 70,4 | 50,3 | 72,0 | 71,6 | 43,7 | 68,3 | 28,3 | 44,9 | 86,6 | 61,0 |
| 41,0 | 70,9 | 27,3 | 22,9 | 88,6 | 42,5 | 41,9 | 55,0 | 56,9 | 68,1 |
| 120,8 | 52,4 | 42,0 | 119,3 | 49,6 | 110,6 | 54,5 | 99,3 | 111,5 | 26,1 |
Necesitar:
1) Construir los variativos intervalo.
2) Calcule la dispersión selectiva y selectiva central.
3) Encuentre la desviación cuadrática promedio, y el coeficiente de variación.
4) Construir un histograma de frecuencia de distribución.
Decisión.
1) Elija un número arbitrario de intervalos, por ejemplo, 8. Luego, luego el ancho del intervalo:
.
Hagamos una tabla de cálculo:
| Opción de intervalo x k -x k +1 | Frecuencia, n I. | Intervalo medio x I. | Opción condicional y yo. | y yo n i | y yo. 2 n I. | (y yo +.1) 2 N I. |
| 10 – 25 | 17,5 | – 3 | – 12 | |||
| 25 – 40 | 32,5 | – 2 | – 10 | |||
| 40 – 55 | 47,5 | – 1 | – 11 | |||
| 55 – 70 | 62,5 | |||||
| 70 – 85 | 77,5 | |||||
| 85 – 100 | 92,5 | |||||
| 100 – 115 | 107,5 | |||||
| 115 – 130 | 122,5 | |||||
| Suma | – 5 |
Como falso cero, se elige el valor. c \u003d.62.5 (esta opción se encuentra aproximadamente en el centro de la serie Variatal) .
Las opciones condicionales están determinadas por la fórmula.
Un ejemplo de resolución de trabajo de prueba en estadísticas matemáticas.
Tarea 1.
Datos iniciales : Los estudiantes de un determinado grupo que consta de 30 personas pasaron el examen en el curso informático. Las estimaciones obtenidas por los estudiantes forman el siguiente número de números:
I. Hacer una serie variacional.
|
mETRO. x. |
w. x. |
mETRO. x. nack |
w. x. nack |
|
|
TOTAL: |
II. Representación gráfica de información estadística.
III. Características numéricas de la muestra.
1. aritmética media
2. Geométrico promedio
3. Moda 
4. mediana
222222333333333 | 3 34444444445555
5. Dispersión selectiva
7. Cleal de variación
8. Asmetría
9. El coeficiente de asimetría.
10. Exceso
11. El coeficiente de exceso.
Tarea 2.
Datos iniciales : Los estudiantes de algún grupo escribieron un trabajo de prueba de graduación. El grupo consta de 30 personas. Los estudiantes anotaron las puntuaciones forman el siguiente número de números
Decisión
I. Dado que el letrero acepta muchos valores diferentes, entonces, para ello construiremos una serie Variatal de intervalo. Para hacer esto, primero establece el tamaño del intervalo. h.. Utilizamos el pastuario de fórmulas.
Hagamos una escala de intervalos. Al mismo tiempo, para el límite superior del primer intervalo, la cantidad determinada por la fórmula:
Los límites superiores de intervalos subsiguientes determinan la siguiente fórmula recurrente:
, luego
La construcción de la escala de intervalos acaban, ya que el límite superior del siguiente intervalo se ha vuelto mayor o igual al valor de muestreo máximo 
.
|
|
|
|
|
|
II. Visualización gráfica de la serie Variatryal de intervalo.
III. Características numéricas de la muestra.
Para determinar las características numéricas de la muestra, será la tabla auxiliar.
|
|
|
|
|
|
|
|
Suma: |
1. aritmética media
2. Geométrico promedio
3. Moda 
4. mediana
10 11 12 12 13 13 13 13 14 14 14 14 15 15 15 |15 15 15 16 16 16 16 16 17 17 18 19 19 20 20
5. Dispersión selectiva
6. Desviación estándar selectiva
7. Cleal de variación
8. Asmetría
9. El coeficiente de asimetría.
10. Exceso
11. El coeficiente de exceso.
Tarea 3.
Condición : El precio de la división de la escala de ammeter es 0.1 A. Las lecturas se redondean a la división completa más cercana. Encuentre la posibilidad de que un error exceda 0.02 A.
Decisión.
Error al redondear la cuenta regresiva puede considerarse como una variable aleatoria H.que se distribuye uniformemente en el intervalo entre dos divisiones enteras vecinas. Densidad de distribución uniforme.
,
dónde 
- la longitud del intervalo en la que se concluyen posibles valores H.; Fuera de este intervalo 
En este problema, la longitud del intervalo en la que se concluyen posibles valores. H.es 0.1, por lo que
El error de referencia excede 0.02 si está en el intervalo (0.02; 0.08). Luego
Respuesta: r=0,6
Tarea 4.
Datos iniciales: Expectativa matemática y desviación estándar de una característica normalmente distribuida H. Respectivamente 10 y 2. Encuentra la probabilidad del resultado de la prueba. H. Tomará un valor concluido en el intervalo (12, 14).
Decisión.
Usamos la fórmula
Y frecuencias teóricas 
Para x de su expectativa matemática m (x) y dispersión D (x). Decisión. Encuentre la función de la distribución F (x) de una variable aleatoria ... Error de muestreo). Inventar variación fila Ancho de intervalo estarán: Por cada valor fila Calcular cuanto ...
Solución: Ecuación con las variables de separación.
DecisiónEn el formulario para encontrar privado. soluciones ecuación inhomogénica inventar El sistema resuelve el sistema resultante ...; +47; +61; +10; -ocho. Intervalo de construcción variación fila. Dar estimaciones estadísticas del valor promedio ...
Solución: calcular la cadena y las ganancias absolutas básicas, las tasas de crecimiento, las tasas de crecimiento. Los valores obtenidos se reducirán a la Tabla 1.
DecisiónVolumen de producción. Decisión: Intervalo de aritmética medio variación fila Se calcula de la siguiente manera: para ... un error de límite de selección con una probabilidad de 0.954 (t \u003d 2) estarán: Δ w \u003d t * μ \u003d 2 * 0,0146 \u003d 0.02927 Determine los límites ...
Decisión. Firmar
DecisiónSobre la experiencia laboral de la cual y arreglado muestra. Medio en la experiencia de la muestra ... del día laborable de estos empleados y arreglado muestra. La duración media de la muestra ... 1,16, el nivel de significación α \u003d 0.05. Decisión. Variación fila Esta muestra tiene la forma: 0.71 ...
Currículo de trabajo sobre biología para las clases 10-11 Compilador: Polycarpova S. en
Currículo de trabajoEsquemas de cruce más simples »5 L.R. " Decisión Tareas genéticas elementales »6 L.R. " Decisión Tareas genéticas elementales »7 l.R. "..., 110, 115, 112, 110. Inventar variación fila, dibujar variación Curva, encuentra el tamaño promedio del signo ...
Un lugar especial en el análisis estadístico pertenece a la definición del nivel medio del signo estudiado o fenómeno. El nivel característico promedio se mide por valores promedio.
El valor promedio caracteriza el nivel cuantitativo general del rasgo en estudio y es una propiedad grupal de un agregado estadístico. Los niveles de TI, debilitan las desviaciones aleatorias de las observaciones individuales de una forma u otra y destacan la propiedad principal y típica del signo estudiado.
Las variables promedio son ampliamente utilizadas:
1. Evaluar el estado de salud de la población: características del desarrollo físico (crecimiento, peso, circunferencia del tórax, etc.), detectando la prevalencia y la duración de diversas enfermedades, análisis de indicadores demográficos (movimiento natural de la población, el promedio Duración de la próxima vida, reproducción de la población, población promedio y etc.).
2. Para estudiar las actividades de las instituciones médicas y profilácticas, el personal médico y evaluar la calidad de su trabajo, planificar y determinar las necesidades de la población en varios tipos de atención médica (el número promedio de apelaciones o visitas por residente por año, el Duración media de la estancia del paciente en el hospital, la duración promedio de la encuesta al paciente, la seguridad promedio de los médicos, los arcos, etc.).
3. Caracterizar la condición sanitaria y epidemiológica (el polvo promedio del aire en el taller, el área promedio por persona, las normas promedio del consumo de proteínas, las grasas y los carbohidratos, etc.).
4. Determinar los indicadores médicos y fisiológicos, normalmente y patología, durante el procesamiento de datos de laboratorio, para establecer la confiabilidad de los resultados del estudio de muestra en estudios socio-higiénicos, clínicos y experimentales.
El cálculo de los valores promedio se basa en la serie Variatal. Serie Variatal - Este es un conjunto estadístico homogéneo en una relación cualitativa, algunas unidades de las cuales caracterizan las diferencias cuantitativas en el atributo estudiado o el fenómeno.
La variación cuantitativa puede ser dos tipos: una terminada (discreta) y continua.
Una característica discontinua (discreta) se expresa solo por un entero y no puede tener valores intermedios (por ejemplo, el número de visitas, la población de población, el número de niños en la familia, la gravedad de la enfermedad en puntos, etc. .).
Un signo continuo puede tomar cualquier valor dentro de ciertos límites, incluido el fraccional, y se expresa solo (por ejemplo, el peso, para adultos puede limitarse a kilogramos, y para los recién nacidos, los gramos; crecimiento, presión arterial, tiempo empleado en el La recepción del paciente, etc.).
El valor digital de cada característica individual o fenómeno incluida en el rango de variación se llama la opción y se indica mediante la letra V. . En la literatura matemática hay otras designaciones, por ejemplo. x. o y
Un rango de variación, donde cada opción se especifica una vez, se llama simple. Dichas filas se utilizan en la mayoría de las tareas estadísticas en el caso del procesamiento de datos informáticos.
Con un aumento en el número de observaciones, como regla general, hay valores repetitivos. En este caso se crea. varios variativos agrupadosdonde se indica el número de repeticiones (la frecuencia está indicada por la letra " r »).
Variativos reintores Consiste en una opción organizada en orden ascendente o descendente. Las filas simples y agrupadas pueden ser compiladas con ranking.
Serie variacional intervalo Manejar para simplificar los cálculos posteriores realizados sin el uso de una computadora, con un número muy grande de unidades de observación (más de 1000).
Serie Variatal continua Incluye los valores de la opción que se pueden expresar por cualquier valor.
Si en la serie Variatal, los valores del atributo (Opciones) se dan en forma de números específicos individuales, entonces un número llamado discreto.
Las características totales de los signos que se reflejan en la serie Variatal son los valores promedio. Entre ellos se encuentran los más utilizados: el valor aritmético promedio. METRO,moda mesy mediana Me.Cada una de estas características es originalmente. No pueden reemplazarse mutuamente y solo en el agregado de manera bastante completa y en forma comprimida son las características de la serie Variatal.
Mozo (MES) llame al valor de las opciones más comunes.
Mediana (Me) - Este es el valor de las opciones que dividen los variativos clasificados a la mitad (a cada lado de la mediana es la mitad de la opción). En casos raros, cuando hay una serie de variación simétrica, un mod y la mediana son iguales entre sí y coinciden con el valor de la aritmética promedio.
La característica más típica de los valores es la opción. aritmética media cantidad ( METRO. ). En la literatura matemática, está indicado. .
Valor aritmético medio (METRO, ) - Esta es la característica cuantitativa total de un cierto signo de fenómenos estudiados que constituyen un agregado estadístico homogéneo cualitativamente. Distinguir entre la aritmética media simple y ponderada. La aritmética promedio es simple se calcula para una serie Variatal simple al resumir toda la variante y dividir esta cantidad para el número total de opciones incluidas en este rango de variación. Los cálculos son realizados por la fórmula:
dónde: METRO. - Promedio de aritmética simple;
Σ V. - opción cantidad;
nORTE. - El número de observaciones.
En una serie de variación agrupada, se determina una aritmética promedio ponderada. La fórmula de su cálculo:
dónde: METRO. - Ponderado aritmético promedio;
Σ Vicepresidente - Cantidad de productos de productos a su frecuencia;
nORTE. - El número de observaciones.
Con una gran cantidad de observaciones en el caso de los cálculos manuales, se puede aplicar el método de los momentos.
La aritmética promedio tiene las siguientes propiedades:
· Cantidad de la opción de desviación desde el promedio ( Σ d. ) igual a cero (ver Tabla 15);
· Al multiplicar (división) de toda la opción en el mismo factor (divisor), la aritmética promedio se multiplica (dividida) al mismo factor (divisor);
· Si agrega (reste) a todas las variantes, el mismo número, la aritmética promedio aumenta (disminuye) al mismo número.
Los valores de aritmética promedio, tomados por sí mismos, sin tener en cuenta la variabilidad de la serie, de los cuales se calculan, pueden reflejar completamente las propiedades de la serie Variatal, especialmente cuando se necesita comparación con otros medios. El medio correcto se puede obtener desde una fila con diferentes grados de dispersión. Cuanto más se acerca entre sí algunas opciones en su característica cuantitativa, menos dispersión (variabilidad, variabilidad) Un número, cuanto más típico de su promedio.
Los principales parámetros que permiten evaluar la variabilidad de la función son:
· Alcance;
· Amplitud;
· Desviación cuadrática media;
· El coeficiente de variación.
Aproximadamente sobre las secciones del signo puede ser juzgado por el alcance y la amplitud de la serie Variatal. El alcance indica el máximo (V MAX) y las opciones mínimas (v min) en la fila. La amplitud (A M) es la diferencia de estas opciones: A M \u003d V MAX - V MIN.
La medida principal, generalmente aceptada de las variaciones de rango de variación es dispersión (D. ). Pero el parámetro más utilizado más comúnmente, calculado en función de la dispersión, la desviación cuadrática promedio ( σ ). Tiene en cuenta la magnitud de la desviación ( d. ) Cada variante del rango de variación desde su aritmética media ( d \u003d v - m ).
Dado que la opción de desviaciones del promedio puede ser positiva y negativa, entonces cuando se suman, dan el valor "0" (s d \u003d 0.). Para evitar esto, los valores de desviación ( d.) Temprano en el segundo grado y se promedia. Por lo tanto, la dispersión de la serie de variación es un cuadrado promedio de desviaciones de la opción de la aritmética media y se calcula por la fórmula:
Es la característica más importante de la variabilidad y se utiliza para calcular muchos criterios estadísticos.
Dado que la dispersión se expresa por el cuadrado de las desviaciones, su valor no se puede utilizar en comparación con la aritmética promedio. Para estos fines se aplica desviación cuadrática mediaque está indicado por el signo "Sigma" ( σ ). Caracteriza la desviación promedio de toda la variación de la variación del valor aritmético medio en las mismas unidades que el valor medio en sí, por lo que se pueden usar juntos.
La desviación cuadrática promedio está determinada por la fórmula:
Esta fórmula se aplica con el número de observaciones ( nORTE. ) Más de 30. Con un número más pequeño. nORTE. El valor de desviación cuadrática promedio tendrá un error asociado con el desplazamiento matemático ( nORTE. - uno). En este sentido, se puede obtener un resultado más preciso al tener en cuenta tal desplazamiento en la fórmula para calcular la desviación estándar:
desviación Estándar (s. ) - Esta es una evaluación de la desviación riconducta de una variable aleatoria H. Con respecto a su expectativa matemática basada en una estimación increíble de su dispersión.
A los valores NORTE. \u003e 30 desviación cuadrática media ( σ ) y desviación estándar ( s. ) será lo mismo ( Σ \u003d S. ). Por lo tanto, en la mayoría de los beneficios prácticos, estos criterios se consideran variados. En el programa Excel, el cálculo de desviación estándar se puede realizar por función \u003d StandotClone (rango). Y para calcular la desviación cuadrática promedio, se requiere crear una fórmula apropiada.
La desviación cuadrática o estándar promedio le permite determinar qué tan importantes pueden diferir los valores de los caracteres del valor promedio. Supongamos que hay dos ciudades con la misma temperatura media durante el día en el verano. Una de estas ciudades se encuentra en la costa, y la otra en el continente. Se sabe que en las ciudades ubicadas en la costa, las diferencias en las temperaturas diurnas son más pequeñas que las ciudades ubicadas dentro del continente. Por lo tanto, la desviación quadrática promedio de las temperaturas diurnas en la ciudad costera será menor que la segunda ciudad. En la práctica, esto significa que la temperatura promedio del aire de cada día en particular de la ciudad ubicada en el continente se diferenciará más duro del valor promedio que en la ciudad en la costa. Además, la desviación estándar le permite estimar posibles desviaciones de temperatura del promedio con el nivel de probabilidad requerido.
De acuerdo con la teoría de la probabilidad, en fenómenos presentados a la Ley de Distribución Normal, entre los valores de la reducción promedio de aritmética, la desviación cuadrática media y las opciones que existe una dependencia estricta ( regla tres Sigm). Por ejemplo, el 68.3% de los valores de la función de variación están dentro de M ± 1 σ , 95.5% - Dentro de M ± 2 σ y 99.7% - dentro de m ± 3 σ .
La magnitud de la desviación cuadrática promedio permite juzgar la naturaleza de la homogeneidad de la serie Variatal y el grupo estudiado. Si la magnitud de la desviación cuadrática promedio es pequeña, esto indica una uniformidad suficientemente alta del fenómeno en estudio. La aritmética promedio en este caso debe ser reconocida como bastante característica de esta serie Variatal. Sin embargo, Sigma demasiado pequeño hace pensar en la selección artificial de observaciones. Con un Sigma muy grande, la aritmética promedio en menor medida caracteriza la serie Variatal, que indica una variabilidad significativa del carácter estudiado o el fenómeno o la heterogeneidad del grupo en estudio. Sin embargo, la comparación de la magnitud de la desviación cuadrática promedio es posible solo para signos de la misma dimensión. De hecho, si comparas la variedad de pesos de niños y adultos recién nacidos, siempre obtendramos valores más altos de Sigma en adultos.
La comparación de la variabilidad de los signos de diferentes dimensiones se puede realizar utilizando variación del coeficiente. Expresa una variedad como porcentaje del valor promedio, que permite la comparación de varios signos. El coeficiente de variación en la literatura médica está indicado por el signo " DE ", Y en matemáticas" v."Y calculado por la fórmula:
Los valores del coeficiente de variación de menos del 10% indican una pequeña dispersión, de 10 a 20%, aproximadamente un promedio, más del 20%, aproximadamente sólido dispersando la opción alrededor de la aritmética media.
El valor aritmético promedio generalmente se calcula en función del conjunto selectivo de datos. Con estudios repetidos, bajo la influencia de los fenómenos aleatorios, la aritmética promedio puede cambiar. Esto se debe al hecho de que se examina, por regla general, solo una parte de las posibles unidades de observación, es decir, un agregado selectivo. Se puede obtener información sobre todas las unidades posibles que representan el fenómeno estudiado al estudiar a toda la población general, que no siempre es posible. Al mismo tiempo, con el objetivo de generalizar los datos experimentales, el valor del promedio en la población general es de interés. Por lo tanto, para la formulación de la conclusión general sobre el fenómeno estudiado, los resultados obtenidos sobre la base del agregado selectivo deben transferirse al conjunto general de métodos estadísticos.
Para determinar el grado de coincidencia del estudio de la muestra y la población general, es necesario evaluar la magnitud del error, lo que inevitablemente ocurre cuando la observación selectiva. Este error se llama " Error representativo"O error aritmético medio". En realidad, es una diferencia entre los promedios obtenidos en la observación estadística selectiva, y valores similares que se obtendrían con un estudio continuo del mismo objeto, es decir. Al estudiar la población general. Dado que el promedio selectivo es un valor aleatorio, dicho pronóstico se realiza con una probabilidad aceptable para el investigador. En estudios médicos, es al menos el 95%.
El error representativo no se puede mezclar con errores de referencia o errores de atención (etc.), que deben reducirse al mínimo mediante técnicas y herramientas adecuadas utilizadas en el experimento.
La magnitud del error de representatividad depende tanto del tamaño de la muestra como de la variabilidad de la pintura. Cuanto mayor sea el número de observaciones, más cerca de la muestra hacia la población general y el menos error. Cuanto más cambie el signo, mayor será el valor del error estadístico.
En la práctica, para determinar el error de representatividad en la serie Variatal utiliza la siguiente fórmula:
dónde: mETRO. - Error representativo;
σ - desviación cuadrática secundaria;
nORTE. - El número de observaciones en la muestra.
Desde la fórmula, se puede ver que el tamaño del error promedio es directamente proporcional a la desviación quadrática promedio, es decir, la variabilidad de la atribución estudiada e inversamente proporcional a la raíz del cuadrado del número de observaciones.
Al realizar un análisis estadístico, en función de calcular los valores relativos, la construcción de un número de variación no es obligatorio. Al mismo tiempo, la definición de un error promedio para indicadores relativos se puede realizar en una fórmula simplificada:
dónde: R- la magnitud del indicador relativo, expresado en porcentaje, ppm, etc.;
p. - la cantidad, P y se expresa como (1-P), (100-P), (1000-P), etc., según la base en la que se calcula el indicador;
nORTE. - El número de observaciones en el agregado selectivo.
Sin embargo, la fórmula especificada para calcular el error de representatividad para valores relativos solo se puede usar en el caso cuando el valor del indicador es menor que su base. En algunos casos, el cálculo de indicadores intensivos no se cumple con tal condición, y el indicador puede expresarse por el número de más del 100% o 1000% de. En tal situación, existe una serie conjunctical y cálculo del error representativo por la fórmula para los valores promedio basados \u200b\u200ben la desviación cuadrática media.
La predicción del valor de la aritmética promedio en la población general se realiza con la indicación de dos valores, el mínimo y el máximo. Estos valores extremos de las posibles desviaciones, dentro del cual el valor promedio deseado de la población general puede fluctuar, se llama " Frustres de Free».
Las traducciones de la teoría de la probabilidad se prueban que en la distribución normal de la característica con una probabilidad de 99.7%, los valores extremos de las desviaciones promedio no serán más que la magnitud del error de representatividad triplicado ( METRO. ± 3. mETRO. ) 95.5%: no más que el valor del error promedio doble del valor promedio ( METRO. ± 2. mETRO. ) 68.3% - No más de la cantidad de un error promedio ( METRO. ± 1. mETRO. ) (Fig. 9).
| PAG% |
Higo. 9. La densidad de probabilidad de distribución normal.
Tenga en cuenta que la declaración anterior es bastante solo para una característica que está sujeta a la ley normal de la distribución de Gauss.
La mayoría de los estudios experimentales, incluso en el campo de la medicina, se asocian con mediciones cuyos resultados pueden tomar casi cualquier valores en un intervalo dado, por lo tanto, como regla general, se describen un modelo de variables aleatorias continuas. En este sentido, en la mayoría de los métodos estadísticos, se consideran distribuciones continuas. Una de estas distribución que tiene un papel fundamental en las estadísticas matemáticas es normal, o gaussian, distribución.
Esto se explica por varias razones.
1. En primer lugar, muchas observaciones experimentales se pueden describir con éxito utilizando una distribución normal. Cabe señalar de inmediato que no hay distribuciones de asignación de datos empíricos que estarían bien con lo normal, ya que un valor aleatorio normalmente distribuido va desde eso, que nunca se encuentra en la práctica. Sin embargo, la distribución normal es muy a menudo adecuada como una aproximación.
Si se llevan a cabo las mediciones del peso, el crecimiento y otros parámetros fisiológicos del cuerpo humano, en todas partes, los resultados tienen un impacto de un número muy grande de factores aleatorios (causas naturales y errores de medición). Además, como regla general, la acción de cada uno de estos factores es insignificante. La experiencia muestra que los resultados en tales casos se distribuirán aproximadamente normales.
2. Muchas distribuciones asociadas con una muestra aleatoria, con un aumento en este último, van a la normalidad.
3. La distribución normal es muy adecuada como una descripción aproximada de otras distribuciones continuas (por ejemplo, asimétricas).
4. La distribución normal tiene una serie de propiedades matemáticas favorables, en muchos aspectos que proporcionan su uso generalizado en las estadísticas.
Al mismo tiempo, se debe tener en cuenta que hay muchas distribuciones experimentales en datos médicos, la descripción del cual es imposible el modelo de distribución normal. Para hacer esto, en las estadísticas desarrollaron métodos que se denominan "no paramétricos".
La elección de un método estadístico que es adecuado para procesar los datos de un experimento específico debe realizarse dependiendo de la pertenencia de los datos a la ley de distribución normal. Verificar la hipótesis sobre la presentación de un signo por la ley de distribución normal se realiza utilizando el histograma de distribución de frecuencia (gráfico), así como una serie de criterios estadísticos. Entre ellos:
Criterio de asimetría ( b. );
Criterio de verificación de exscess ( gRAMO. );
Criteria Shapiro - Wilx ( W. ) .
El análisis de la naturaleza de la distribución de datos (también se llama la validez de la distribución) se realiza para cada parámetro. Para juzgar con confianza el cumplimiento de la distribución del parámetro por la ley normal, se necesitan un número suficientemente grande de unidades de observación (al menos 30 valores).
Para la distribución normal, los criterios de asimetría y excesos toman el valor de 0. Si la distribución se desplaza a la derecha b. \u003e 0 (asimetría positiva), con b. < 0 - график распределения смещен влево (отрицательная асимметрия). Критерий асимметрии проверяет форму кривой распределения. В случае нормального закона gRAMO. \u003d 0. Para gRAMO. \u003e 0 Curva de distribución aguda si gRAMO. < 0 пик более сглаженный, чем функция нормального распределения.
Para verificar la normalidad por el criterio de Shapiro - Wilx, se requiere encontrar el significado de este criterio en las tablas estadísticas con el nivel de importancia requerido y dependiendo del número de unidades de observación (grados de libertad). Anexo 1. La hipótesis de la normalidad se rechaza en pequeños valores de este criterio, como regla general, w. <0,8.
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