La solución es el método de variación de las constantes arbitrarias. Ejemplos para el método de variación de constante arbitraria.
Considere ahora la ecuación inhomogénea lineal.
. (2)
Seamos y 1, y 2, .., y N: el sistema fundamental de soluciones, y es la solución general de la ecuación homogénea correspondiente L (y) \u003d 0. Similar al caso de las ecuaciones de primer pedido, buscaremos la solución de la ecuación (2) como
. (3)
Asegúrese de que exista la solución en este formulario. Para hacer esto, sustituiremos la función a la ecuación. Para sustituir esta función a la ecuación encontrará sus derivados. El primer derivado es igual. 
. (4)
Al calcular la segunda derivada en el lado derecho (4), habrá cuatro términos, al calcular el tercer derivado: ocho términos, etc. Por lo tanto, para la conveniencia de una cuenta adicional, se supone que el primer término en (4) es cero. Teniendo en cuenta esto, la segunda derivada es igual 
. (5)
De acuerdo con los mismos, consideraciones, en (5), también creemos que el primer término igual a cero. Finalmente, el nth derivado es igual. 
. (6)
Sustituyendo los valores obtenidos de derivados en la ecuación inicial, tenemos 
. (7)
El segundo término en (7) es cero, ya que las funciones y J, J \u003d 1,2, .., n son soluciones de la ecuación homogénea correspondiente L (y) \u003d 0. Combinando con el anterior, obtenemos un sistema de ecuaciones algebraicas para encontrar funciones C "J (X) 
(8)
El determinante de este sistema es el determinante del sistema fundamental de Bronsky de soluciones y 1, y 2, .., y N de la ecuación homogénea correspondiente L (y) \u003d 0 y, por lo tanto, no es cero. En consecuencia, existe la única solución del sistema (8). Habiéndolo encontrado, obtenemos la función C "J (X), J \u003d 1,2, ..., n, y, por lo tanto, c j (x), j \u003d 1,2, ..., n sustituyendo estos Valores en (3), obtenemos una solución de una ecuación inhomogénea lineal.
El método descrito se denomina método de variación mediante un método constante o lagrange arbitraria.
Ejemplo número 1. Encuentre una solución general de la ecuación de Y "+ 4Y" + 3y \u003d 9e -3 x. Considere la ecuación homogénea correspondiente y "+ 4y + 3y \u003d 0. Las raíces de su ecuación característica R 2 + 4R + 3 \u003d 0 son -1 y - 3. Por lo tanto, el sistema fundamental de soluciones de una ecuación homogénea consiste en funciones y 1 \u003d E - X e y 2 \u003d E -3 X. La solución de la ecuación inhomogénica se ve como en la forma y \u003d C1 (X) E - X + C 2 (x) e -3 x. Para encontrar derivados C "1, C" 2 Hacemos un sistema de ecuaciones (8)
C '1 · e -x + c' 2 · e -3x \u003d 0
-C '1 · e -x -3c' 2 · e -3x \u003d 9e -3x
resolviendo que, encontramos, integrando las funciones obtenidas, tenemos 
Finalmente conseguir
Ejemplo número 2. Resolver ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes constantes por la variación de la posición arbitraria: 
y (0) \u003d 1 + 3ln3
y '(0) \u003d 10ln3
Decisión:
Esta ecuación diferencial se refiere a ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes.
La solución de la ecuación se firmará como y \u003d e rx. Para hacer esto, compilamos una ecuación característica de una ecuación diferencial homogénea lineal con coeficientes constantes:
r 2 -6 R + 8 \u003d 0
D \u003d (-6) 2 - 4 · 1 · 8 \u003d 4
Las raíces de la ecuación característica: R 1 \u003d 4, R 2 \u003d 2
Por lo tanto, el sistema fundamental de soluciones son las funciones: y 1 \u003d E 4x, Y 2 \u003d E 2x
La solución general de una ecuación homogénea tiene la forma: y \u003d C1 · E 4x + C 2 · E 2x
Búsqueda de una solución privada por variación por constante arbitraria.
Para encontrar los Derivados de C "i, constituimos un sistema de ecuaciones:
C '1 · E 4X + C' 2 · E 2X \u003d 0
C '1 (4E 4x) + C' 2 (2E 2x) \u003d 4 / (2 + E-2x)
Express c "1 de la primera ecuación:
C "1 \u003d -c 2 e -2x
y nos sustituimos al segundo. Como resultado, obtenemos:
C "1 \u003d 2 / (e 2x + 2e 4x)
C "2 \u003d -2e 2x / (e 2x + 2e 4x)
Integramos las características obtenidas C "i:
C 1 \u003d 2ln (E -2X +2) - E -2X + C * 1
C 2 \u003d LN (2E 2x +1) - 2x + C * 2
Dado que Y \u003d C 1 · E 4x + C 2 · E 2X, luego escriba las expresiones obtenidas en el formulario:
C 1 \u003d (2LN (E -2X +2) - E -2X + C * 1) E 4X \u003d 2 E 4X LN (E -2X +2) - E 2X + C * 1 E 4X
C 2 \u003d (LN (2E 2x +1) - 2x + C * 2) E 2x \u003d E 2x Ln (2E 2x +1) - 2x E 2x + C * 2 E 2X
Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial es:
y \u003d 2 E 4X LN (E -2X +2) - E 2x + C * 1 E 4x + E 2X LN (2E 2x +1) - 2x E 2x + C * 2 E 2X
o
y \u003d 2 E 4X LN (E -2X +2) - E 2x + E 2X LN (2E 2x +1) - 2x E 2x + C * 1 E 4x + C * 2 E 2X
Encontraremos una solución privada proporcionada:
y (0) \u003d 1 + 3ln3
y '(0) \u003d 10ln3
Sustituyendo x \u003d 0, en la ecuación encontrada, obtenemos:
y (0) \u003d 2 LN (3) - 1 + LN (3) + C * 1 + C * 2 \u003d 3 LN (3) - 1 + C * 1 + C * 2 \u003d 1 + 3LN3
Encontramos la primera derivada de la solución general obtenida:
y '\u003d 2e 2x (2c 1 E 2x + C 2 -2x +4 e 2x Ln (E -2X +2) + LN (2E 2x +1) -2)
Sustituyendo x \u003d 0, obtenemos:
y '(0) \u003d 2 (2C 1 + C 2 +4 LN (3) + LN (3) -2) \u003d 4C 1 + 2C 2 +10 Ln (3) -4 \u003d 10ln3
Obtenemos un sistema de dos ecuaciones:
3 LN (3) - 1 + C * 1 + C * 2 \u003d 1 + 3LN3
4C 1 + 2C 2 +10 LN (3) -4 \u003d 10LN3
o
C * 1 + c * 2 \u003d 2
4c 1 + 2c 2 \u003d 4
o
C * 1 + c * 2 \u003d 2
2C 1 + C 2 \u003d 2
Ubicación: C 1 \u003d 0, C * 2 \u003d 2
La decisión privada se registrará como:
y \u003d 2e 4x · LN (E -2X +2) - E 2x + E 2x · LN (2E 2x +1) - 2x · E 2x + 2 · E 2x
El método de variación de las constantes arbitrarias se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales inhomogéneas. Esta lección está diseñada para aquellos estudiantes que ya están más o menos orientados en el tema. Si comienza a familiarizarse con DU, es decir. Eres un hervidor, recomiendo a partir de la primera lección: Ecuaciones diferenciales del primer orden. Ejemplos de soluciones. Y si ya terminas, por favor, suelte la posible opinión sesgada de que el método es complejo. Porque él es simple.
¿En qué casos es el método de variación de las constantes arbitrarias?
1) El método de variación de la constante arbitraria se puede usar al resolver lineal inhomogeneous du 1-th orden. Dado que la ecuación de primer orden es pronto, la constante (constante) también está sola.
2) El método de variación de las constantes arbitrarias se utilizan para resolver algunos ecuaciones lineales de segundo orden inhomogéneas. Dos permanentes (constantes) varían aquí.
Es lógico suponer que la lección consistirá en dos párrafos ... Aquí escribí esta oferta, y 10 minutos pensando cuidadosamente cualquiera que sea una basura inteligente para agregar a una transición sin problemas a los ejemplos prácticos. Pero por alguna razón, no hay pensamientos después de las vacaciones, aunque parece y no abusó con nada. Por lo tanto, inmediatamente obtenemos el primer párrafo.
Método de variación de la constante arbitraria.
para una ecuación de primer orden inhomogénea lineal.
Antes de considerar el método de variación de la constante arbitraria, es deseable estar familiarizado con el artículo Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.. En esa lección que trabajamos la primera forma de resolver Inhomeous du 1er orden. Esta primera solución se recuerda, llamada método de reemplazo o método Bernoulli (no para ser confundido con ecuación de bernoulli!!!)
Ahora veremos la segunda forma de resolver - Método de variación de la constante arbitraria. Daré solo tres ejemplos, y los llevaré de la lección mencionada anteriormente. ¿Por qué tan pocos? Porque en realidad la decisión será muy similar a la decisión de la primera manera. Además, según mis observaciones, el método de variación de las constantes arbitrarias se aplica con menos frecuencia del método de reemplazo.
Ejemplo 1.
(Diffur de Ejemplo No. 2 LECCIÓN Lineal inhomogeneous du 1-th orden)
Decisión: Esta ecuación es inhomogénea lineal y tiene un aspecto familiar: 
En la primera etapa, es necesario resolver una ecuación más simple: 
Es decir, restablecer estúpidamente el lado derecho, en lugar de escribir cero.
La ecuacion Llamaré ecuación auxiliar.
En este ejemplo, debe resolver el siguiente patrimonio auxiliar:
Antes que nosotros ecuación con las variables de separacióncuya decisión (espero) ya no representa dificultades para usted: 
De este modo: 
- Solución general a la ecuación auxiliar.
En el segundo paso reemplazar Constantemente algunos mientras que de nuevo Una función desconocida que depende de "X":
De ahí el nombre del método, varía la constante. Alternativamente, una constante puede ser alguna característica que tenemos que encontrar ahora.
EN fuente Ecuación heterogénea Vamos a reemplazar:
Sustituto I. 
en la ecuación :
Comprobar el momento - los dos componentes en el lado izquierdo se reducen.. Si esto no sucede, debe buscar un error anterior.
Como resultado del reemplazo, se obtuvo una ecuación con las variables de separación. Compartimos variables e integramos.
Qué gracia, los expositores también se reducen:
También agrego una constante "normal" a la encontrada:
En la etapa final, recuerdo nuestro reemplazo:
Función acaba de encontrar!
Así, la solución general: 
Respuesta: Decisión común: 
Si imprime dos formas de resolver, notará fácilmente que en ambos casos encontramos las mismas integrales. La diferencia solo en el algoritmo de solución.
Ahora algo más complicado, el segundo ejemplo, también comenté:
Ejemplo 2.
Encuentra una solución general de la ecuación diferencial. 
(Diffur del ejemplo No. 8 LECCIÓN Lineal inhomogeneous du 1-th orden)
Decisión: Damos la ecuación a la forma. :
Eliminado el lado derecho y sólido una ecuación auxiliar:
Solución general de la ecuación auxiliar:
En la ecuación inhomogénea, reemplazaremos:
Según la regla de diferenciación, el trabajo: 
Sustituto I. En la ecuación inhomogénica original:
Los dos componentes en el lado izquierdo se reducen, significa que estamos en la pista correcta: 
Nos integramos en partes. La sabrosa letra de la fórmula de integración en partes ya está involucrada en la solución, por lo que usamos, por ejemplo, las letras "A" y "BE":
Ahora recuerda el reemplazo:
Respuesta: Decisión común:
Y un ejemplo para una solución independiente:
Ejemplo 3.
Encuentre una solución privada de una ecuación diferencial correspondiente a una condición inicial determinada.
,
(Diffur de ejemplo No. 4 LECCIÓN Lineal inhomogeneous du 1-th orden)
Decisión:
Este du es lineal inhomogéneo. Utilice el método de variación de las constantes arbitrarias. Resolvoy la ecuación auxiliar:
Compartimos variables e integramos: 
Decisión común: 
En una ecuación inhomogénea, reemplazaremos: 
Realizar una sustitución: 
Así, la solución general: 
Encontraremos una solución privada que cumpla con la condición inicial especificada: 
Respuesta: Solución privada:
La decisión al final de la lección puede servir como una muestra ejemplar para una definición de tarea.
Método de variación de la constante arbitraria.
para una ecuación de segunda orden inhomogénea lineal.
con coeficientes constantes
A menudo era necesario escuchar la opinión de que el método de variación de las constantes arbitrarias para la ecuación de segundo orden no son los pulmones. Pero asumo lo siguiente: lo más probable es que el método parece difícil de muchos, porque no es tan a menudo. Pero en realidad no hay dificultades especiales: el curso de la resolución es claro, transparente, comprensible. Y hermoso.
Para dominar el método, es deseable poder resolver ecuaciones inhomogéneas de segundo orden mediante el método de selección de una solución privada por aspecto de la parte correcta. Este método se discute en detalle en el artículo. No uniforme du 2do orden. Recordamos que la ecuación inhomogénosa lineal del segundo orden con coeficientes constantes es:
El método de selección, que se consideró en la lección mencionada anteriormente, pasa solo en un limitado en los casos en que los polinomios, los exponentes, los senosis, los coseros se encuentran en el lado derecho. Pero, ¿qué hacer, cuándo a la derecha, por ejemplo, fracción, logaritmo, tangente? En tal situación, el método de variación de permanente llega a ayudar.
Ejemplo 4.
Encuentra una solución general de la ecuación diferencial de segundo orden. 
Decisión: En la parte derecha de esta ecuación hay una fracción, por lo que se puede decir inmediatamente que el método de selección de una solución privada no ruede. Utilice el método de variación de las constantes arbitrarias.
Nada prefiere las tormentas eléctricas, el comienzo de la decisión es completamente ordinario:
Encontrar decisión común pertinente uniforme Ecuaciones: 
También decidiremos la ecuación característica: 
- Recibió las raíces complejas conjugadas, por lo que la solución general:
Preste atención a la entrada de la solución general: si hay corchetes, luego revele.
Ahora hacemos casi el mismo truco que para la ecuación de primer pedido: varíamos las constantes, reemplazándolas con funciones desconocidas. Es decir, solución general de heterogénea.las ecuaciones se buscarán en la forma:
Dónde - mientras que de nuevo Funciones desconocidas.
Parece un vertedero de residuos domésticos, pero ahora todo está ordenado.
Las incógnitas son funciones derivadas. Nuestro objetivo es encontrar derivados, y los derivados encontrados deben satisfacer la primera y la segunda ecuación del sistema.
¿De dónde viene Ireery? Cigüeña los trae. Miramos la solución anterior resultante y escribimos:
Encuentra derivados:
Con las partes izquierdas se descubrieron. ¿Qué correcto?
- Este es el lado derecho de la ecuación original, en este caso:
El coeficiente es un coeficiente con la segunda derivada:
En la práctica, casi siempre, y nuestro ejemplo no es una excepción.
Todo resultó, ahora puedes crear un sistema: 
El sistema generalmente decide. según las fórmulas de KramerUtilizando un algoritmo estándar. La única diferencia es que en lugar de números tenemos funciones.
Encontramos el principal determinante del sistema: 
Si olvidó cómo se revela el determinante "dos a dos", consulte una lección ¿Cómo calcular el determinante? El enlace conduce a la tabla de sombras \u003d)
Entonces: significa que el sistema tiene una sola solución.
Encuentra un derivado: 
Pero esto no es todo hasta que encontramos solo un derivado.
La función en sí es restaurada por la integración:
Entendemos con la segunda función: 
Aquí agregamos una constante "normal"
En la etapa final, recuerdo las soluciones, ¿de qué formulario buscamos la solución general de la ecuación inhomogénica? De tal:
¡Las funciones necesarias que acaban de encontrar! 
Queda por realizar una sustitución y escribir la respuesta:
Respuesta: Decisión común:
En principio, en respuesta fue posible revelar paréntesis.
La verificación de respuesta completa se realiza de acuerdo con el esquema estándar, que se consideró en la lección. No uniforme du 2do orden. Pero la verificación será difícil porque hay un derivado bastante pesado para encontrar y llevar a cabo una sustitución voluminosa. Esta es una característica desagradable cuando resuelve tales difusores.
Ejemplo 5.
Resuelve la ecuación diferencial por la variación de la constante arbitraria.
Este es un ejemplo para una solución independiente. De hecho, en la parte correcta, también, la fracción. Recordamos que la fórmula trigonométrica, por cierto, deberá aplicarse en el curso de la solución.
El método de variación de la constante arbitraria es el método más universal. Pueden resolver cualquier ecuación que se resuelva. el método de selección de una solución privada por aparición de la parte correcta.. ¿Surge la pregunta, y por qué no usar el método de variación de las constantes arbitrarias? La respuesta es obvia: la selección de una solución privada, que se consideró en la lección. Ecuaciones inhomogéneas de segundo orden., acelera significativamente la solución y reduce la grabación, no hay tracces con determinantes e integrales.
Considere dos ejemplos con tarea cauchy.
Ejemplo 6.
Encuentre una solución privada de una ecuación diferencial correspondiente a las condiciones iniciales especificadas.
, 
Decisión: De nuevo, fracción y exponente en un lugar interesante.
Utilice el método de variación de las constantes arbitrarias.
Encontrar decisión común pertinente uniforme Ecuaciones: 
- Se obtienen diversas raíces válidas, por lo que la solución general:
Solución general de heterogénea. Las ecuaciones están buscando como en la forma: dónde - mientras que de nuevo Funciones desconocidas.
Hacer un sistema:
En este caso:
,
Encuentra derivados: 
, 
De este modo: 
Sistema soluble por fórmulas de rastreador:
Así que el sistema tiene una sola solución.
Restauramos la función por integración:
Utilizado aquí método para resumir una función bajo el signo de diferencial..
Restauramos la segunda función de integración: 
Tal integral se resuelve al reemplazar la variable:
Del propio reemplazo, expresamos:
De este modo: 
Esta integral se puede encontrar. método de asignación de un cuadrado completo.Pero en ejemplos con difusores prefiero poner una fracción. método de coeficientes inciertos.:
Ambas funciones encontraron:
Como resultado, la solución general de la ecuación inhomogénica:
Encontraremos una solución privada que cumpla con las condiciones iniciales. .
Técnicamente, la solución de la solución se lleva a cabo por la forma estándar, que se vio en el artículo. Ecuaciones diferenciales inhomogéneas de segundo orden..
Agárrate, ahora encontraremos un derivado de la solución general encontrada:
Aquí hay una desgracia. No es necesario simplificarlo, es más fácil hacer de inmediatamente un sistema de ecuaciones. De acuerdo con las condiciones iniciales. :
Sustituir las fundaciones encontradas constantes. 
En la solución general:
En respuesta, los logaritmos se pueden usar un poco.
Respuesta: Solución privada: 
Como puede ver, las dificultades pueden ocurrir en integrales y derivados, pero de ninguna manera en el algoritmo de la variación de las constantes arbitrarias en sí. ¡No fue yo luchado, es toda la colección de Kuznetsov!
Para la relajación, el ejemplo final y sencillo para una solución independiente:
Ejemplo 7.
Resuelve la tarea de Cauchy.
, 
Un ejemplo es simple, pero creativo, cuando hacer un sistema, mírelo cuidadosamente antes de decidir ;-),
Como resultado, la solución general:
Encuentra una solución privada que cumpla con las condiciones iniciales. .
Sustitut Los valores encontrados de las constantes en la solución general:
Respuesta: Solución privada:
Método de variación de la constante arbitraria.
Método de variación de las constantes arbitrarias para construir una solución de una ecuación diferencial inhomogénea lineal
uNA. nORTE. (t.)z. (nORTE.) (t.) + uNA. nORTE. − 1 (t.)z. (nORTE. − 1) (t.) + ... + uNA. 1 (t.)z."(t.) + uNA. 0 (t.)z.(t.) = f.(t.)
consiste en reemplazar constante arbitraria. c. k. En solución general
z.(t.) = c. 1 z. 1 (t.) + c. 2 z. 2 (t.) + ... + c. nORTE. z. nORTE. (t.)
la ecuación homogénea correspondiente.
uNA. nORTE. (t.)z. (nORTE.) (t.) + uNA. nORTE. − 1 (t.)z. (nORTE. − 1) (t.) + ... + uNA. 1 (t.)z."(t.) + uNA. 0 (t.)z.(t.) = 0
en funciones auxiliares c. k. (t.) derivado de lo que satisface el sistema algebraico lineal
El determinante del sistema (1) son las funciones de las funciones. z. 1 ,z. 2 ,...,z. nORTE. Eso proporciona su relativa de solvisión inequívoca.
Si es primitivo, tomado a valores fijos de integración constante, entonces la función
es una solución a la ecuación diferencial inhomogénea lineal inicial. La integración de la ecuación inhomogénica en presencia de una solución general de la ecuación homogénea correspondiente se reduce, por lo tanto, a las cuadratura.
Método de variación de la constante arbitraria para construir soluciones de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales en forma de forma normal.
consiste en construir una solución privada (1) en forma de
dónde Z.(t.) - La base de soluciones de la ecuación homogénea correspondiente registrada en forma de matriz, y una función de vector, reemplazando el vector de constantes arbitrarias, está determinada por la proporción. Segunda solución privada (con cero valores iniciales. t. = t. 0 tiene especies
Para un sistema con coeficientes constantes, la última expresión se simplifica:
La matriz Z.(t.)Z. - 1 (τ) llamada matriz cauchy Operador L. = UNA.(t.) .
Se considera el método de resolución de la resolución de ecuaciones diferenciales inhomogéneas lineales de órdenes más altas con coeficientes constantes por la variación del lagrange permanente. El método de Lagrange también es aplicable para resolver las ecuaciones inhomogéneas lineales, si se conoce un sistema fundamental de soluciones de una ecuación homogénea.
ContenidoVer también:
Método de Lagrange (variación de constante)
Considere una ecuación diferencial inhomogénea lineal con coeficientes constantes de N-TH arbitrarios:
(1)
.
El método de variación de la constante, considerado por nosotros para la ecuación de primer orden, también se aplica a las ecuaciones de órdenes superiores.
La solución se realiza en dos etapas. En la primera etapa, descartamos el lado derecho y resolvemos una ecuación homogénea. Como resultado, obtenemos una solución que contiene constantes arbitrarios. En la segunda etapa, variamos constantemente. Es decir, creemos que estas constantes son funciones de una variable X independiente y encuentran la forma de estas funciones.
Aunque consideramos aquí las ecuaciones con los coeficientes constantes, pero el método de Lagrange también se aplica a la solución de las ecuaciones inhomogéneas lineales. Para esto, sin embargo, debe conocerse un sistema fundamental de soluciones de una ecuación homogénea.
Paso 1. Solución de una ecuación homogénea.
Como en el caso de las ecuaciones de primer pedido, al principio estamos buscando una solución general de una ecuación homogénea, equiparando la parte inhomogénica derecha a cero:
(2)
.
La solución general de tal ecuación tiene la forma:
(3)
.
Aquí - constante arbitraria; - N Soluciones linealmente independientes de una ecuación homogénea (2), que forman un sistema fundamental de soluciones de esta ecuación.
Paso 2. Variación de permanentes - Reemplazo de funciones permanentes
En la segunda etapa, nos ocuparemos de la variación de permanente. En otras palabras, reemplazaremos constantes en la función desde una variable independiente X:
.
Es decir, estamos buscando la solución de la ecuación inicial (1) en el siguiente formulario:
(4)
.
Si sustituimos (4) en (1), obtenemos una ecuación diferencial para las funciones n. Al mismo tiempo, podemos asociar estas características con ecuaciones adicionales. Luego, se pueden determinar n ecuaciones de las cuales las funciones N. Las ecuaciones adicionales se pueden hacer de varias maneras. Pero lo haremos para que la decisión tenga el aspecto más simple. Para esto, cuando la diferenciación, debe igualar a cero términos que contienen derivados de funciones. Lo demostraremos.
Para sustituir la solución estimada (4) en la ecuación original (1), debemos encontrar los derivados de los primeros n ordenados de la función registrada en el formulario (4). Diferenciación (4), aplicando las reglas de diferenciación de la cantidad y el trabajo:
.
Agrupamos miembros. Primero, repelimos a los miembros con derivados de, y luego, miembros con derivados de:
.
Ofrecemos primera condición para funciones:
(5.1)
.
Luego, la expresión para la primera derivada del software tendrá una forma más sencilla:
(6.1)
.
De la misma manera, encontramos la segunda derivada:
.
Vamos a dejar la segunda condición:
(5.2)
.
Luego
(6.2)
.
Etc. En condiciones adicionales, equiparamos a los miembros que contienen funciones derivadas a cero.
Por lo tanto, si selecciona las siguientes ecuaciones adicionales para funciones:
(5.k) ,
Los primeros derivados del software tendrán la vista más fácil:
(6.k) .
Aquí .
Encontramos n-derivados:
(6.n)
.
Sustituamos en la ecuación inicial (1):
(1)
;
.
Tenemos en cuenta que todas las funciones satisfacen la ecuación (2):
.
Luego, la suma de los miembros que contiene da cero. Como resultado, obtenemos:
(7)
.
Como resultado, obtuvimos un sistema de ecuaciones lineales para derivados:
(5.1)
;
(5.2)
;
(5.3)
;
. . . . . . .
(5.N-1) ;
(7 ') .
Resolviendo este sistema, encontramos expresiones para los derivados como funciones de X. Integrando, obtenemos:
.
Aquí, ya no depende de X constante. Sustituyendo en (4), obtenemos una solución general de la ecuación de origen.
Tenga en cuenta que para determinar los valores de los derivados, no hemos utilizado en ningún lugar que los coeficientes sea constante. por lo tanto el método de Lagrange es aplicable para resolver cualquier ecuación inhomogénica lineal.Si se conoce un sistema fundamental de soluciones de una ecuación homogénea (2).
Ejemplos
Resuelve ecuaciones por la variación de permanente (Lagrange).
Solución de ejemplos \u003e\u003e\u003e
Solución de las ecuaciones de órdenes superiores de Bernoulli.
Solución de ecuaciones diferenciales inhomogéneas lineales de órdenes más altas con coeficientes constantes de una sustitución lineal
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