Dar el concepto de vectores de coordenadas. Cómo encontrar las coordenadas del vector.

Coordenadas del vector

El valor se llama vector absorber , y el número es su ordenar

Cómo se forma la base en el plano.

Cómo se forma la base en el espacio.

La base del espacio vectorial se llama un sistema de vectores máximo de vectores ordenado de este espacio.

Sistema de definición A1, vectores A2 ,. . . , Un espacio vectivo V se llama el sistema de formación de este espacio si cualquier vector de v se expresa linealmente a través de vectores A1, A2 ,. . . , UN.

Un sistema de vectores ordenados es la base del espacio vectorial V si es solo cuando es un sistema linealmente independiente de formar este espacio.

Lo que se llama Decartián

Si los vectores E1, E2, E3 son mutuamente ortogonales y el módulo es igual a uno, entonces se llaman orts de un sistema de coordenadas cartesiano rectangular, y la base en sí misma es una base decarticular ortonormal.

Formular las propiedades de las coordenadas de vectores en la base cartesiana.

Lo que se llama coordenadas de puntos.

Las distancias del punto de los planos de coordenadas se denominan coordenadas del punto.
La distancia AA 1 puntos del plano P 1 se denomina punto del solicitante y denote por A, la distancia AA 2 puntos del plano P 2: el punto de ordenado y la denota: UA, la distancia AA 3 puntos del plano P 3 - Abscissa Point y denote x A.
Obviamente, la coordenada del punto de aplicación Z A es la altura de AA 1, la coordenada del orden de la ordenada en AA es la profundidad de AA 2, la coordenada del punto de abscisa X A - Latheaa 3.

Cómo se calculan las coordenadas del vector si se conocen las coordenadas de su final y el comienzo.

Cómo calcular la distancia entre dos puntos si se conocen sus coordenadas.

Usted sabe que av (x1-x2; y1-y2)
La distancia entre los puntos es la longitud del vector AV.

¿Qué es los cosenos de la guía?

Guías de coseno vector - Estos son coseros de ángulos, que vector se forman con semi-ejes de coordenadas positivas.

Guía Los cosenos definitivamente establecen la dirección del vector.

Lo que se llama la proyección de vectores en el eje, demuestra las propiedades de las proyecciones.

Proyección de vector en el eje l. () Se llama la longitud de sus componentes en el eje. L. , tomada con un signo "más", si la dirección del componente coincide con la dirección del eje l., y con el signo "menos", si la dirección del componente es la dirección opuesta al eje.

Si \u003d. , eso se cree = .

Teorema I La proyección del vector en el eje L es igual al producto de su módulo en el coseno del ángulo entre este vector y el eje L.

Evidencia. Dado que vector \u003d libre, se puede asumir que el comienzo de ella sobre las mentiras en el eje l(Fig. 34).

Si esquina agudo, luego la dirección del componente \u003d, el vector coincide con la dirección del eje. l.(Figura 34, a).

En este caso tenemos = + = . Si la esquina (Fig. 34, b) , esa dirección del componente = vector de dirección de eje opuesto l. Entonces get \u003d \u003d \u003d cos (-) \u003d cos.

Lo mismo, en el vector.

¿Qué es un producto escalar de vectores?

Trabajo escalar dos no cero vectores A y B llamado un número igual al producto de estas longitudes vectores En el coseno de la esquina entre ellos.

Formular la condición de la ortogonalidad de los vectores.

El estado de la ortogonalidad de los vectores. Video del vector A y B. ortogonal (perpendicular)Si su producto escalar es cero.

Probar las propiedades de un producto escalar de vectores.

Propiedades del producto escalar de los vectores.

El producto escalar del vector en sí es siempre mayor o igual a cero:

El producto escalar del vector es igual a cero si y solo si el vector es igual al vector cero:

a · a \u003d 0<=> a \u003d 0.

El producto escalar del vector en sí es igual al cuadrado de su módulo:

Operación de la multiplicación escalar comunicativa:

Si el producto escalar de dos vectores no cero es cero, entonces estos vector ortogonal:

a ≠ 0, B ≠ 0, A · B \u003d 0<=> A ┴ B.

(αA) · B \u003d α (a · b)
Distribución de la operación de multiplicación escalar:

(A + B) · C \u003d A · C + B · C

Trae la expresión del producto escalar a través de las coordenadas.

Formular propiedades vectoriales

Solo 1 fórmula

Esto se determina a partir de arriba.

Geometría analítica

1. Probar los teoremas en la ecuación general de la línea en el plano

2. Realizar el estudio de la ecuación general directa en el plano.

3. Derivar la ecuación directa en el plano con el coeficiente angular y la ecuación es recta en segmentos en los ejes.

4. Retire la ecuación canónica a la línea en el plano, escriba las ecuaciones paramétricas, salga de la ecuación que pasa directamente a través de dos puntos específicos

5. ¿Cómo determina el ángulo entre recto en el plano, si están establecidos por ecuaciones canónicas o ecuaciones con un coeficiente angular?

6. Retire las condiciones de paralelismo, coincidencia y perpendicularidad de directo en el plano.

7. Obtenga una fórmula para calcular la distancia desde el punto a directo en el plano

8. Probar los teoremas en la ecuación general del plano

9. Formular y probar el teorema sobre la ubicación mutua del par de planos.

10. Realizar un estudio de una ecuación general del plano.

11. Obtenga la ecuación del plano en segmentos y la ecuación del plano que pasa a través de dos puntos de ajuste.

12. Obtenga una fórmula para calcular la distancia desde el punto hasta el plano.

13. ¿Cómo es el ángulo entre los aviones?

14. Retire las condiciones de paralelismo y perpendicularidad de dos planos.

15. Registre una visión general de las ecuaciones directamente en el espacio, para obtener la visión canónica de las ecuaciones directas en el espacio.

16. Derivar ecuaciones paramétricas a la línea en el espacio, así como un paso directo a través de dos puntos de espacio.

17. ¿Cómo será el ángulo entre dos directos en el espacio? Registre las condiciones de paralelismo y perpendicularidad de directo en el espacio.

18. ¿Cómo se determina el ángulo entre la recta y el plano? Registre las condiciones para la perpendicularidad y el paralelismo de la recta y el plano.

19. Consigue la condición de pertenecer a dos aviones directos.

Análisis matemático

1. ¿Qué es una función, cuáles son las formas de ir a su trabajo?

2. Lo que es consciente y las funciones impares, cómo construir sus gráficos.

3. ¿Qué son las funciones periódicas y inversas, cómo construir sus gráficos?

4. Imagen en las funciones indicativas y logarítmicas de los gráficos en A\u003e 1, A<1.

5. ¿Cuál es una dependencia armoniosa, ¿cuál es el tipo de gráficos?

6. Picta los gráficos y \u003d arcsinx, y \u003d arccosx, y \u003d arctgx, y \u003d arcctgx

7. ¿Qué es una función elemental? Gráficos de las principales funciones elementales.

8. Cómo construir gráficos del formulario y \u003d cf (x), y \u003d f (cx), y \u003d f (x) + c, y \u003d f (x + c)

9. ¿Cuál es la secuencia numérica, cuáles son las formas de ir a su tarea?

10. ¿Qué es una secuencia monótona y limitada?

11. ¿Qué se llama el límite de secuencia? Registre la definición del hecho de que este número no es el límite de esta secuencia

12. Formular propiedades de los límites de secuencia.

13. Probar dos propiedades básicas de las secuencias convergentes.

14. ¿Cuál de ellos da la condición necesaria para la convergencia?

15. Formular el teorema que da una condición suficiente de la convergencia de la secuencia.

16. Demuestre cualquiera de las propiedades de los límites de secuencia.

17. ¿Cuál es la secuencia infinitamente pequeña (grande)?

18. Formular las propiedades de secuencias infinitamente pequeñas.

19. ¿Qué se llama el límite de la función?

20. Formular las propiedades de los límites de las funciones.

21. ¿Qué se llama un lado límite?

22. Registre el primer límite maravilloso y retire su consecuencia.

23. Registre el segundo límite maravilloso y retire su investigación.

24. ¿Qué funciones son infinitamente pequeñas, limitadas, infinitamente grandes?

25. Formule las propiedades de las funciones infinitamente pequeñas, para probar cualquiera de ellos.

26. ¿Qué conceptos se introducen para comparar funciones infinitamente pequeñas, darles definiciones?

27. ¿Qué función se llama continua en un punto específico?

28. Formular criterios de continuidad y caracterizar los tipos de descansos.

29. ¿Cuál es la función derivada en un punto fijo?

30. ¿Qué se llama derivados de un solo lado?

31. ¿Qué es la función diferencial y cómo se relaciona con el incremento de la función?

32. El significado físico de los primeros y segundos derivados.

33. ¿Qué es una función derivada de la función?

34. Enumere las propiedades de los derivados, para demostrar dos de ellas (U + V) "y (UV)"

35. Escribe una tabla de derivados, demuestre cualquiera de las dos fórmulas.

36. ¿Cuál es el significado geométrico del derivado y diferencial?

37. Retire la ecuación de tangencial y normal a la gráfica.

38. Probar el teorema sobre la función compleja derivada.

39. Muestra una función inversa derivada (da un ejemplo de su ubicación)

40. Justificar el teorema sobre el cálculo de los derivados.

41. Probar todos los teoremas en promedio para funciones diferenciables.

42. Formular y probar la regla lopital.

43. ¿Qué funciones se llama creciendo y disminuyendo en el intervalo?

44. Demuestre los teoremas sobre la conexión del derivado con la función creciente.

45. ¿Cuál es el punto de extremo?

46. \u200b\u200bJustificar la condición extremo deseada.

47. Para retirar dos tipos de condiciones suficientes de extremo.

48. ¿Cómo encontrar los valores más grandes y más pequeños de la función en el segmento?

49. ¿Qué se llama función convexa y cóncava?

50. ¿Cómo investigar la función en el bulto y la vincidez? ¿Qué se llama puntos de inflexión?

51. Asigptotes: dé definiciones, explique cómo encontrar maneras

52. Para obtener la fórmula para encontrar una función de derivado (primera y segunda) específica de forma paramétrica.

53. ¿Qué es una función de vector, sus hogares y su significado mecánico?

54. Se caracteriza por el tamaño y la dirección de la velocidad y la aceleración del punto de material con un movimiento uniforme alrededor del círculo.

55. Especifique la velocidad y la velocidad y la aceleración del punto de material en tamaño y dirección con un movimiento desigual alrededor del círculo

56. Obtener funciones derivadas y \u003d e x, y \u003d sinx, y \u003d cosx, y \u003d tgx, y \u003d lnx, y \u003d arcsinx, y \u003d arccosx

Lo que se llama coordenadas vectoriales.

Coordenadas del vector Se llaman proyecciones y este vector en el eje y, en consecuencia:

El valor se llama vector absorber , y el número es su ordenar. El hecho de que el vector tiene coordenadas y se escribe de la siguiente manera :.

Para empezar, daremos la determinación de las coordenadas vectoriales en un sistema de coordenadas dado. Para introducir este concepto, definimos que llamamos el sistema de coordenadas rectangular o decártico.

Definición 1.

Sistema de coordenadas rectangulares Es un sistema de coordenadas rectilíneo con ejes mutuamente perpendiculares en un plano o en espacio.

Uso de la introducción de un sistema de coordenadas rectangulares en un plano o en un espacio tridimensional, se hace posible describir figuras geométricas junto con sus propiedades utilizando ecuaciones y desigualdades, es decir, utilizar métodos algebraicos para resolver problemas geométricos.

Por lo tanto, podemos unirnos a los vectores del sistema de coordenadas especificados. Esto ampliará significativamente nuestras oportunidades para resolver ciertas tareas.

El sistema de coordenadas rectangular en el plano generalmente se denota por O X Y, donde O X y O Y, el eje de la coordenada. El eje O X se denomina eje de abscisa, y el eje OH es el eje de la ordenada (aparece otro eje O Z en el espacio, que es perpendicular y O X y O Y).

Ejemplo 1.

Entonces, nos dan un sistema de coordenadas de Decartian rectangular O XY en el plano si posponemos las coordenadas del IC → y J →, la dirección cuya dirección coincide respectivamente con las direcciones positivas de los ejes de buey y la OY, y su longitud lo hará. Ser igual a la unidad condicional, obtendremos vectores de coordenadas. Es decir, en este caso, i → y J → son vectores de coordinación.

Vectores de coordenadas

Definición 2.

Vectores Yo → y j → cornir los vectores de coordenadas para un sistema de coordenadas dado.

Ejemplo 2.

Decoración desde el principio de las coordenadas vector arbitrario A →. Confiando en la determinación geométrica de las operaciones sobre los vectores, vector A → se puede representar como a → \u003d a x · i → + a y · j →, donde los coeficientes A X. y Un y. - El único en su tipo, su singularidad es suficiente para demostrarlo por el método de Desagradable.

Descomposición del vector

Definición 3.

Descomposición del vector A → Por vectores de coordenadas Yo → y j → en la superficie Se llama la representación de la forma A → \u003d A X · i → + A y · J →.

Definición 4.

Coeficientes a x y a y llamadas coordenadas vectoriales en este sistema de coordenadas en el plano.

Las coordenadas del vector en este sistema de coordenadas se toman para registrar entre paréntesis, a través de la coma, mientras que las coordenadas especificadas deben separarse de la designación del signo vectorial de igualdad. Por ejemplo, grabar un → \u003d (2; - 3) significa que el vector A → tiene coordenadas (2; - 3) en este sistema de coordenadas y se puede representar como descomposición por vectores de coordenadas I → y J → como → \u003d 2 · I → 3 · J →.

Comentario

Cabe señalar que el orden de las coordenadas de grabación es importante si registra las coordenadas vectoriales en otro orden, obtendrá un vector completamente diferente.

Basado en la definición de las coordenadas del vector y su descomposición, se vuelve obvio que los vectores individuales I → y J → tienen coordenadas (1; 0) y (0; 1), respectivamente, y pueden representarse en la forma de la Siguiendo las expansiones I → \u003d 1 · I → + 0 · J →; j → \u003d 0 · i → + 1 · j →.

También hay un vector cero 0 → con coordenadas (0; 0) y descomposición 0 → \u003d 0 · i → + 0 · j →.

Vectores iguales y opuestos.

Definición 5.

Vectores A → y B → Igual Luego, cuando sus respectivas coordenadas son iguales.

Definición 6.

Vector opuesto Se llama el vector opuesto a esto.

De ello se deduce que las coordenadas de este vector serán opuestas a las coordenadas de este vector, es decir, - a → \u003d (- a x; - a y).

Todo lo anterior se puede identificar de manera similar para un sistema de coordenadas rectangular especificado en el espacio tridimensional. En tal sistema de coordenadas, hay un triplista de los vectores de coordenadas de I →, J →, K →, y un vector arbitrario A → se despliega por dos, pero ya en tres coordenadas, y la única forma y la forma A → \u003d AX · I → + AY · J → + AZ · K →, y los coeficientes de esta descomposición (AX; AY; AZ) se llaman las coordenadas del vector en este sistema de coordenadas (tridimensional).

Por lo tanto, también se toman los vectores de coordenadas en el espacio tridimensional para tomar 1 y tienen coordenadas I → \u003d (1; 0; 0), J → \u003d (0; 1; 0), k → \u003d (0; 0; 1), cero vector coordenadas también igual a cero 0 → \u003d (0; 0; 0), y en este caso se considerarán dos vectores iguales si las tres coordenadas de los vectores correspondientes son iguales a A → \u003d B → ⇔ AX \u003d BX, AY \u003d Por, AZ \u003d BZ, y las coordenadas del vector opuesto A → se oponen a las coordenadas vectoriales correspondientes del vector A →, es decir, - A → \u003d (- AX; AY; - AZ).

Para ingresar a esta definición, debe mostrar las coordenadas y coordinar las coordenadas en este sistema de coordenadas.

Damos un sistema de coordenadas de Decartian rectangular O X Y y se establece en un punto arbitrario M con coordenadas M (x M; Y M).

Definición 7.

Vector O m → llamada punto de radio METRO. .

Definimos qué coordenadas en este sistema de coordenadas tiene un punto de vector de radio.

Vector O m → Tiene la forma de la cantidad de OM → \u003d OM X → + OM Y → \u003d xm · i → + ym · j →, donde los puntos m x y m y son proyecciones del punto m en la coordenada directa y OY , respectivamente (este razonamiento se desprende de la proyección de definición del punto a la recta), y yo → y J → - Vectores de coordenadas, por lo tanto, vector O m → Tiene coordenadas (x m; y m) en este sistema de coordenadas.

En otras palabras, las coordenadas del Punto de vector de radio M son igual a las coordenadas correspondientes del punto M En un sistema de coordenadas cartesiano rectangular.

De manera similar, en el espacio tridimensional, el punto de vista de radio M (XM; YM; ZM) se descompone en los vectores de coordenadas como OM → \u003d OM X → + OM Y → + OM Z → \u003d XM · I → + YM · J → + z m · k →, por lo tanto, om → \u003d (x m; y m; z m).

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Todavía se creía que los vectores se consideran en el espacio. A partir de ahora, despertarlo con eso todos los vectores se consideran en el avión. También supondremos que el sistema de coordenadas se establece en el plano (incluso si no lo menciona), lo que representa a dos ejes numéricos mutuamente perpendiculares: un eje horizontal y un eje vertical . Entonces cada punto
el plano se pone de conformidad de un par de números.
cuales son sus coordenadas. Atrás, cada par de números
corresponde al plano de puntos de modo que un par de números.
son sus coordenadas.

Desde la geometría elemental, se sabe que si hay dos puntos en el plano.
y
, Distancia
entre estos puntos, se expresa a través de sus coordenadas por la fórmula.

Deje que se le pregunte el sistema de coordenadas de Decartian en el avión. Eje ort denificaremos el símbolo y eje ort símbolo . Proyección arbitraria vector en el eje denificaremos el símbolo
, y proyección en el eje. símbolo
.

Permitir - Vector arbitrario en el plano. El siguiente teorema tiene lugar.

Teorema 22.

Para cualquier vector en el avión hay un par de números.

Donde
,
.

Evidencia.

Dejar que se le dé el vector . Escribimos vector desde el comienzo de las coordenadas. Denotamos por vector de proyección vectorial en el eje , y mediante vector de proyección vectorial en el eje . Luego, como se puede ver en la Figura 21, hay igualdad.

Según el teorema 9,

Denotar
,
. Entonces consigue

Entonces, se demuestra que para cualquier vector. hay un par de números
tal que la igualdad correcta

Con una ubicación de vector diferente respecto a los ejes, la prueba es similar.

Definición.

Un par de números y tal que
se llaman coordenadas vectoriales . Número llamado la coordenada de la ICSO, y el número el jugador coordinando.

Definición.

Par de orts coordenan los ejes
se llama base orthonormal en el plano. Representación de cualquier vector como
llamada descomposición del vector bastidor
.

Directamente desde la determinación de las coordenadas vectoriales, se deduce que si las coordenadas de los vectores son iguales, los propios vectores son iguales. La declaración opuesta también es justa.

Teorema.

Los vectores iguales tienen coordenadas iguales.

Evidencia.

y
. Demostramos eso
,
.

De la igualdad de los vectores sigue que

Suponer que
, pero
.

Luego
y significado
eso no es verdad. Del mismo modo, si
, pero
T.
. De aquí
eso no es verdad. Finalmente, si asumes que
y
Entonces conseguimos eso

Esto significa que los vectores. y collíeos. Pero esto no es cierto, ya que son perpendiculares. Por lo tanto, sigue siendo que
,
Según sea necesario para probar.

Por lo tanto, las coordenadas del vector definan completamente el propio vector. Conocer coordenadas y vector puedes construir un vector , Buing Vectores
y
y plegándolos. Tan a menudo el vector denota en forma de un par de sus coordenadas y escribe
. Tal registro significa que
.

Directamente desde la determinación de las coordenadas del vector sigue el siguiente teorema.

Teorema.

Cuando se agregan los vectores, sus coordenadas están plegadas y cuando el vector se multiplican, sus coordenadas se multiplican por este número. Estas declaraciones se registran en forma de

Evidencia.

Teorema.

Permitir
, y el comienzo del punto vectorial. tiene coordenadas
, y el final del vector es el punto.
. Luego, las coordenadas del vector están asociadas con las coordenadas de sus fines mediante las siguientes relaciones.

Evidencia.

Permitir
y deja que la proyección vectorial del vector. en el eje sonado con eje (Ver Fig. 22). Luego

t. aK como la longitud del segmento en el eje numérico igual a la coordenada del extremo derecho menos la coordenada del extremo izquierdo. Si vector

el eje está contaminado. (como en la Fig. 23), entonces

Higo. 23.

Si un
, entonces en este caso
y luego conseguir

Así, con cualquier arreglo del vector.
relativo a los ejes de coordenadas de su coordenada. igual

Del mismo modo, se demuestra que

Ejemplo.

Dana coordenadas de los extremos del vector.
:
. Encuentra las coordenadas del vector.
.

Decisión.

El siguiente teorema proporciona una expresión de la longitud del vector a través de sus coordenadas.

Teorema 15.

Permitir
.Luego

Evidencia.

Permitir y - Vector de proyección vectorial en el eje y , respectivamente. Entonces, como se muestra en la prueba del teorema 9, hay igualdad

Al mismo tiempo, vectores. y mutuamente perpendicular. Al agregar estos vectores de acuerdo con la regla del triángulo, obtenemos un triángulo rectangular (ver Fig. 24).

El teorema de Pythagore tenemos

Por eso

Ejemplo.

.Encontrar .

Presentamos el concepto de vector guías de coseno.

Definición.

Deja que el vector
compone con eje ángulo , y con el eje. ángulo (Ver Fig. 25).

Por eso,

En cuanto a cualquier vector hay igualdad

Dónde - vector de ort , es decir, vector aislado longitud, recubierto con vector T.

Vector determina la dirección del vector. . Sus coordenadas
y
llamado vector guía cosines . Vector las guías de coseno se pueden expresar a través de sus coordenadas por fórmulas.

Hay una proporción

Hasta ahora, este párrafo creía que todos los vectores están ubicados en el mismo plano. Ahora haz una generalización para los vectores en el espacio.

Suponemos que el sistema de coordenadas de CARTIAN con ejes se establece en el espacio. ,y .

Ejes OTS ,y denificaremos los símbolos ,y , respectivamente (Fig. 26).

Se puede mostrar que todos los conceptos y fórmulas que se obtuvieron para vectores en el plano se resumen para

Higo. 26.

vectores en el espacio. Vectores Troika
llamó una base orthonormal en el espacio.

Permitir ,y - Vector de proyección vectorial en el eje ,y , respectivamente. Luego

En turno

Si designas

Que obtenemos la igualdad

Coeficientes antes de los vectores básicos. ,y referido a coordenadas del vector . Así, para cualquier vector. hay tres números en el espacio. ,,Llamadas coordenadas vectoriales tal que para este vector es cierto

Vector en este caso, también referido en el formulario.
. Al mismo tiempo, las coordenadas del vector son iguales a las proyecciones de este vector en los ejes de coordenadas.

dónde - ángulo entre el vector y eje ,- ángulo entre el vector y eje ,- ángulo entre el vector y eje .

Vector de longitud se expresa a través de sus coordenadas por la fórmula.

Declaraciones justas que los vectores iguales tienen coordenadas iguales, al agregar los vectores, sus coordenadas están plegadas, y cuando el vector multiplicando el vector, sus coordenadas se multiplican por este número.
,
y
llamado vector guía cosines . Se asocian con fórmulas de coordenadas de vectores.

,
,
.

De ahí la proporción

Si los extremos del vector
tener coordenadas
,
, Luego las coordenadas del vector.
asociado a las coordenadas de los extremos del vector por las relaciones.

Ejemplo.

Puntos
y
. Encuentra las coordenadas del vector.
.

En el eje de la abscisa y se llaman ordentes. coordenadas vector. Las coordenadas vectoriales generalmente aceptadas en el formulario. (x, y), Y el vector mismo es como: \u003d (x, y).

La fórmula para determinar las coordenadas del vector para tareas bidimensionales.

En el caso de un problema bidimensional, el vector con conocido. coordenadas del punto A (x 1; en 1) y B (x. 2 ; y 2 ) Puedes calcular:

\u003d (x 2 - x 1; y 2 - y 1).

La fórmula para determinar las coordenadas del vector para tareas espaciales.

En el caso de un problema espacial, el vector con conocido. coordenadas del puntoUNA. (x 1; en 1;z. 1 ) y B. (x. 2 ; y 2 ; z. 2 ) Puedes calcular la aplicación de la fórmula:

= (x. 2 - x. 1 ; y 2 - y 1 ; z. 2 - z. 1 ).

Las coordenadas proporcionan una característica integral del vector, ya que las coordenadas tienen la oportunidad de construir y el propio vector. Conociendo coordenadas, fáciles de calcular y vector de longitud. (Propiedad 3, que se muestra a continuación).

Propiedades de las coordenadas vectoriales.

1. cualquier vectores iguales En un solo sistema de coordenadas tiene coordenadas iguales.

2. Coordenadas vectores colineRes Proporcional. Siempre que ninguno de los vectores sea cero.

3. El cuadrado de la longitud de cualquier vector es igual a la suma de los cuadrados de ella. coordenadas.

4. En la operación multiplicación de vector sobre el número válido Cada coordenada se multiplica por este número.

5. Con la formación de vectores, calculamos la cantidad correspondiente. coordenadas de vectores..

6. Producto escalar Dos vectores equivalen a la suma de los productos de sus respectivas coordenadas.

Encontrar las coordenadas del vector encontró con bastante frecuencia la condición de muchas tareas en matemáticas. La capacidad de encontrar las coordenadas del vector lo ayudará en otras tareas más complejas con sujetos similares. En este artículo veremos la fórmula de encontrar las coordenadas del vector y varias tareas.

Encontrar las coordenadas del vector en el plano.

¿Qué es un avión? El plano se considera un espacio bidimensional, un espacio con dos dimensiones (Mida X y la medición Y). Por ejemplo, el papel es un plano. Superficie de la mesa - avión. Una figura desinstalada (cuadrada, triángulo, trapecio) también es un plano. Por lo tanto, si está en la condición de la tarea, debe encontrar las coordenadas del vector, que se encuentra en el plano, recuerde inmediatamente sobre X e Y. Encuentre las coordenadas de este vector de la siguiente manera: las coordenadas del vector \u003d (XB - XA; YB - XA). Puede verse a partir de la fórmula que las coordenadas del punto final requieren las coordenadas del punto de partida.

Ejemplo:

El CD vector tiene coordenadas iniciales (5; 6) y finitas (7; 8).
Encuentra las coordenadas del propio vector.
Usando la fórmula mencionada anteriormente, obtenemos la siguiente expresión: CD \u003d (7-5; 8-6) \u003d (2; 2).
Por lo tanto, las coordenadas del vector CD \u003d (2; 2).
En consecuencia, la coordenada X es dos, la coordenada Y también es dos.

Encontrar coordenadas vectoriales en el espacio

¿Qué es el espacio? El espacio ya es una medición tridimensional, donde se dan 3 coordenadas: x, y, z. En caso de que necesite encontrar un vector que se encuentra en el espacio, prácticamente no se cambia la fórmula. Sólo se agrega una coordenada. Para encontrar el vector que necesita de las coordenadas del fin para tomar las coordenadas iniciales. Ab \u003d (xb - xa; yb - ya; zb - za)

Ejemplo:

El vector DF tiene una inicial (2; 3; 1) y finita (1; 5; 2).
Usando la fórmula mencionada anteriormente, obtenemos: las coordenadas del vector df \u003d (1-2; 5-3; 2-1) \u003d (-1; 2; 1).
Recuerde, el valor de coordenadas puede ser negativo, no hay problema en esto.

¿Cómo encontrar coordenadas vectoriales en línea?

Si por alguna razón no desea encontrar las coordenadas usted mismo, puede usar la calculadora en línea. Para empezar, seleccione la dimensión del vector. La dimensión del vector es responsable de su medición. Dimensión 3 significa que el vector está en el espacio, la dimensión 2 es que en el plano. A continuación, inserte las coordenadas de los puntos a los campos apropiados y el programa determinará las coordenadas del propio vector. Todo es muy simple.

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Se recomienda explorar este tema bien, porque el concepto del vector se encuentra no solo en matemáticas, sino también en la física. Los estudiantes de la Facultad de Tecnologías de la Información también exploran el tema de los vectores, pero a un nivel más complejo.