شرایط تعادل سیستم نیروها در فضا. مکانیک نظری

شرایط تعادل برای یک سیستم فضایی نیروهای همگرا: مجموع جبری پیش بینی همه نیروها بر روی سه محور مختصات عمود بر هم باید برابر با صفر باشد، یعنی.

برای یافتن لحظه نیرو نسبت به محور z،نیاز به طراحی نیرو به هواپیما نعمود بر محور z(شکل 12)، سپس لحظه ی فرافکنی را پیدا کنید F nنسبت به نقطه O که نقطه تقاطع صفحه است نمکیدن z.لحظه فرافکنی F nو لحظه ای قدرت خواهد بود نسبت به محور z:

سیستم فضایی نیروهای مستقر خودسرانهسیستمی از نیروهایی است که خطوط عمل آنها در یک صفحه قرار نمی گیرند و در یک نقطه متقاطع نمی شوند. برآیند چنین سیستمی از نیروها نیز برابر با مجموع هندسی این نیروها است، اما با مورب اشکال حجمی پیچیده (چهار وجهی، هشت وجهی و غیره) نشان داده می شود.

شرایط تعادل برای یک سیستم فضایی نیروهای مستقر در خودسرانه:مجموع جبری پیش بینی همه نیروها بر روی سه محور مختصات عمود بر یکدیگر باید برابر با صفر و مجموع جبری گشتاورهای همه نیروها نسبت به محورهای مختصات یکسان باید برابر با صفر باشد، یعنی.

اصطکاک

اصطکاکمقاومت در برابر حرکت بدن نامیده می شود. نیرویی که بدن با آن در برابر حرکت مقاومت می کند نامیده می شود نیروی اصطکاک

نیروی اصطکاک همیشه در جهت مخالف حرکت هدایت می شود. نیروی اصطکاک به مواد بدنه های مالشی، تمیزی فرآیند و وجود روان کننده بستگی دارد و به اندازه سطوح مالشی بستگی ندارد.

اصطکاک اتفاق می افتد: خشک، نیمه مایع، مایع.

بین اصطکاک تمایز قائل شوید استراحت، حرکت، سر خوردنو متحرک.نیروی اصطکاک ساکن بیشتر از نیروی اصطکاک متحرک است.

نیروی اصطکاک برابر است با حاصل ضرب نیروی فشار عادی و ضریب اصطکاک لغزشی (شکل 14):

F tr =R n ƒ،

جایی که Rn = میلی گرم cos a - نیروی فشار عادی؛

ƒ - ضریب اصطکاک لغزشی.

ضریب اصطکاک لغزشینسبت نیروی اصطکاک به نیروی فشار معمولی را می گویند:

به موادی که اصطکاک بسیار کمی دارند گفته می شود ضد اصطکاک(بابیت، برنز، گرافیت) برای ساخت بلبرینگ و غیره استفاده می شود.

مواد با اصطکاک زیاد نامیده می شوند اصطکاکی(پلاستیک های ویژه با استفاده از آزبست و مس). برای لنت ترمز و لنت های دیسک کلاچ استفاده می شود.

هنگامی که سطح کشویی روغن کاری می شود، بدنه با اصطکاک کمتری شروع به حرکت می کند.

اجازه دهید نیروی گرانش G را به اجزای G و G تجزیه کنیم (شکل 15)

بیایید یک معادله تعادل ایجاد کنیم:

جایی که h-فاصله از سطح تا خط عمل نیرو؛

k-ضریب اصطکاک نورد. برابر با بخش OS است (شکل 16 را ببینید)

F dv = F tr،

F tr =R p k/h

اگر h = d،

F tr =R p k/d

اگر h = g،

F tr =R p k/d

ما مبدأ مختصات را با نقطه تلاقی خطوط عمل نیروهای سیستم ترکیب می کنیم. ما تمام نیروها را بر روی محورهای مختصات قرار می دهیم و پیش بینی های مربوطه را جمع می کنیم (شکل 7.4). ما پیش بینی های حاصل را روی محورهای مختصات به دست می آوریم:

ماژول سیستم حاصل از نیروهای همگرا با فرمول تعیین می شود

جهت بردار حاصل توسط زوایا تعیین می شود

سیستم فضایی اختیاری نیروها

آوردن یک سیستم فضایی دلخواه از نیروها به مرکز O.

یک سیستم فضایی از نیروها داده شده است (شکل 7.5، a). بیایید آن را به مرکز O بیاوریم.

نیروها باید به صورت موازی حرکت کنند و سیستمی از جفت نیرو تشکیل می شود. ممان هر یک از این جفت ها برابر است با حاصل ضرب مدول نیرو و فاصله تا مرکز کاهش.

یک پرتو نیرو در مرکز کاهش ایجاد می شود که می تواند با نیروی کل (بردار اصلی) جایگزین شود. اف جی ال (شکل 7.5، ب).

گشتاورهای جفت نیرو را می توان اضافه کرد و گشتاور کل سیستم M ch (گمان اصلی) را به دست آورد.

بنابراین، یک سیستم فضایی دلخواه نیروها به بردار اصلی و ممان اصلی کاهش می یابد.

بردار اصلی معمولاً به سه جزء که در امتداد محورهای مختصات هدایت می شوند تجزیه می شود (شکل 7.5، ج).

معمولاً ممان کل به اجزاء تجزیه می شود: سه ممان نسبت به محورهای مختصات.

قدر مطلق بردار اصلی (شکل 7.5b) برابر است با

مقدار مطلق لحظه اصلی با فرمول تعیین می شود.

معادلات تعادل برای یک سیستم فضایی نیروها

در حالت تعادل اففصل = 0; M ch = 0. شش معادله تعادل را به دست می آوریم:

شش معادله تعادل سیستم فضایی نیروها با شش حرکت ممکن مستقل بدن در فضا مطابقت دارد: سه حرکت در امتداد محورهای مختصات و سه چرخش حول این محورها.

نمونه هایی از حل مسئله

مثال 1.روی بدنه ای مکعبی شکل با لبه آ= 10 سانتی متر سه نیرو عمل می کنند (شکل 7.6). گشتاور نیروها را نسبت به محورهای مختصات منطبق بر لبه های مکعب تعیین کنید.

راه حل

1. لحظات نیرو در اطراف محور اوه:

2. لحظه های نیرو در اطراف محور OU.

مثال 2.دو چرخ بر روی یک محور افقی ثابت شده است، g 1 = 0.4 متر؛ g 2 = 0.8 m ابعاد دیگر در شکل. 7.7. به چرخ 1 نیرو وارد می شود F 1،به چرخ 2 - قدرت F 2= 12 کیلو نیوتن، F 3= 4 کیلو نیوتن

قدرت را تعریف کنید F 1و واکنش در لولا آو که دردر حالت تعادل

به شما یادآوری کنیم:

1. در حالت تعادل، شش معادله تعادل برآورده می شود.

معادلات لحظه ای باید نسبت به تکیه گاه ها نوشته شود الف و ب.

2. قدرت ها اف 2 \\O ایکس; اف 2\\Oy;اف 3\\ اوی.

ممان این نیروها نسبت به محورهای مربوطه برابر با صفر است.

3. محاسبه باید با تأیید با استفاده از معادلات تعادل اضافی تکمیل شود.

راه حل

1. تعیین قدرت F\,با تشکیل معادله گشتاورهای نیرو نسبت به محور اوز:

2. واکنش ها را در حمایت مشخص کنید آ.دو جزء واکنشی بر روی ساپورت اثر می‌کنند ( Y A ; X A ).

معادله گشتاورهای نیرو حول محور را می سازیم اوه"(در پشتیبانی که در).

چرخش حول یک محور اوه"اتفاق نمی افتد:

علامت منفی به این معنی است که واکنش در جهت مخالف است.

چرخش حول یک محور OU"این اتفاق نمی افتد، ما یک معادله برای ممان نیروهای نسبت به محور رسم می کنیم OU"(در پشتیبانی که در):

3. واکنش های موجود در تکیه گاه را تعیین کنید. دو جزء واکنش روی تکیه گاه عمل می کنند. X B , Y B ). معادله گشتاورهای نیرو حول محور را می سازیم اوه(حمایت کردن آ):

معادله گشتاورهای محور را می سازیم OU(حمایت کردن آ):

4. بررسی کنید. ما از معادلات طرح ریزی استفاده می کنیم:

محاسبه به درستی انجام شد.

مثال 3.مقدار عددی نیرو را تعیین کنید P 1 ، که در آن شفت آفتاب(شکل 1.21، آ)در تعادل خواهد بود. در مقدار نیروی یافت شده P 1 تعیین واکنش های حمایتی

نیروهای وارد بر چرخ دنده ها آر و P 1 به طور مماس به دایره های اولیه چرخ ها هدایت می شود. استحکام - قدرت تی و T 1 - با توجه به شعاع چرخ ها؛ استحکام - قدرت الف 1موازی با محور شفت T = 0.36P، 7T 1 = P 1; A 1 = 0.12P 1.

راه حل

تکیه گاه های شفت نشان داده شده در شکل. 1.21، a، باید به عنوان تکیه گاه لولای فضایی در نظر گرفته شود که از حرکات خطی در جهت محورها جلوگیری می کند. وو v(سیستم مختصات انتخاب شده در شکل 1.21 نشان داده شده است، ب).

شفت را از اتصالات آزاد می کنیم و عمل آنها را با واکنش ها جایگزین می کنیم V V، N V، V C، N C (شکل 1.21، ب). ما یک سیستم فضایی نیروها را به دست آورده‌ایم که برای آن معادلات تعادل را با استفاده از سیستم مختصات انتخاب شده ترسیم می‌کنیم (شکل 1.21.6):

جایی که الف 1*1.25D/2 - لحظه حول محور واستحکام - قدرت الف 1،به دنده سمت راست اعمال می شود.

لحظاتی پیرامون محور واستحکام - قدرت T 1و الف 1(در دنده میانی اعمال می شود)، P 1 (در دنده سمت راست اعمال می شود) و P برابر با صفر هستند، زیرا نیروهای P، T 1، P 1 با محور موازی هستند. و،و نیروی A 1 از محور عبور می کند و.

جایی که V C = 0.37P;

جایی که V B = 0.37P.

از این رو واکنش ها V Bو V Cبه درستی تعریف شده است؛

جایی که A 1* 1.25D/2- لحظه حول محور vاستحکام - قدرت الف 1،روی دنده وسط اعمال می شود.

لحظاتی پیرامون محور vنیروهای T, P 1 (در دنده میانی اعمال می شود) الف 1و T 1(اعمال شده روی دنده سمت راست) برابر با صفر هستند، زیرا نیروها T، R 1، T 1موازی با محور vزور الف 1از محور عبور می کند v

از آنجا H C = 0.81P;

از جایی که H C = 1.274P

بیایید یک معادله تأیید ایجاد کنیم:

از این رو واکنش ها N Vو N Sبه درستی تعریف شده است.

در پایان، ما متذکر می شویم که واکنش های حمایتی یک علامت مثبت دارد. این نشان می دهد که جهت انتخاب شده است V B، N B، V C و N S با جهت های واقعی واکنش های پیوند منطبق است.

مثال 4.نیروی فشار شاتون موتور بخار P = 25 kN به وسط ژورنال میل لنگ در نقطه منتقل می شود. Dدر یک زاویه α = 30 درجه به سمت افقی با گونه های زانو عمودی (شکل 1.22). یک قرقره محرک تسمه در انتهای شفت نصب شده است. کشش شاخه محرک تسمه دو برابر بیشتر از کشش شاخه رانده است، یعنی. S 1 = 2S 2 . نیروی گرانش چرخ طیار G = 10 کیلو نیوتن.

کشش شاخه های محرک تسمه و واکنش بلبرینگ ها را تعیین کنید آو که در،نادیده گرفتن جرم شفت

راه حل

ما تعادل یک میل لنگ افقی را با یک قرقره در نظر می گیریم. نیروهای مشخص شده را مطابق با شرایط مشکل اعمال می کنیم P, S 1, S 2 و جی . شفت را از بست های نگهدارنده آزاد می کنیم و عمل آنها را با واکنش ها جایگزین می کنیم V A، N A، V Bو N V.همانطور که در شکل نشان داده شده است، محورهای مختصات را انتخاب می کنیم. 1.22. لولایی آو که درهیچ واکنشی در طول محور رخ نمی دهد wزیرا کشش شاخه های تسمه و سایر نیروها در صفحات عمود بر این محور عمل می کنند.

بیایید معادلات تعادل ایجاد کنیم:

علاوه بر این، با توجه به شرایط مسئله، معادله دیگری نیز داریم

بنابراین شش نیروی ناشناخته در اینجا وجود دارد S 1، S 2، N A، V A، N B و V B و شش معادله که آنها را به هم متصل می کند.

معادله پیش بینی ها بر روی یک محور wدر مثال مورد بررسی به هویت 0 = 0 تبدیل می شود، زیرا همه نیروها در صفحات عمود بر محور قرار دارند. w

با جایگزینی S 1 = 2S 2 در معادلات تعادل و حل آنها، متوجه می شویم:

ارزش واکنش N Vبا علامت منفی معلوم شد. این به این معنی است که در واقع جهت آن برخلاف آنچه در شکل فرض شده است است. 1.22.

سوالات و تکالیف تستی

1. فرمول های محاسبه بردار اصلی سیستم فضایی نیروهای همگرا را بنویسید.

2. فرمول محاسبه بردار اصلی سیستم فضایی نیروهای مستقر دلخواه را بنویسید.

3. فرمول محاسبه ممان اصلی سیستم فضایی نیروها را بنویسید.

4-سیستم معادلات تعادلی سیستم فضایی نیروها را بنویسید.

5. برای تعیین واکنش میله R 1 از کدام معادله تعادل باید استفاده کرد (شکل 7.8)؟

6. ممان اصلی سیستم نیرو را تعیین کنید (شکل 7.9). نقطه مرجع مبدأ مختصات است. محورهای مختصات با لبه های مکعب منطبق است، لبه مکعب 20 سانتی متر است. اف 1 - 20 کیلو نیوتن؛ اف 2 - 30 کیلو نیوتن.

7. واکنش Xb را تعیین کنید (شکل 7.10). محور عمودی با قرقره توسط دو نیروی افقی بارگذاری می شود. قدرت ها F 1 و F 2 موازی با محور اوه AO = 0.3 متر؛ OB= 0.5 متر؛ F 1 = 2 کیلونیوتن F 2 = 3.5 کیلونیوتن

توصیه. معادله ای برای لحظه های محور ایجاد کنید OU" در نقطه آ.

8. به سوالات آزمون پاسخ دهید.

شرایط تعادل برداری برای یک سیستم دلخواه نیرو: برای تعادل سیستم نیروهای وارد شده به جسم صلب، لازم و کافی است که بردار اصلی سیستم نیرو برابر با صفر و ممان اصلی سیستم نیرو نسبت به هر مرکز کاهش نیز برابر با صفر باشد.. در غیر این صورت: برای ~0 شرایط زیر لازم و کافی است:

,
یا
,
. (19)

شرایط تعادل برای یک سیستم فضایی نیروها به شکل تحلیلی

برای تعادل یک سیستم فضایی نیروهای اعمال شده به جسم جامد، لازم و کافی است که سه مجموع برآمدگی همه نیروها روی محورهای مختصات دکارتی برابر با صفر و سه مجموع گشتاورهای همه نیروها نسبی باشد. به سه محور مختصات نیز برابر با صفر است.

. (20)

شرایط تعادل برای یک سیستم فضایی نیروهای همگرا

برای تعادل یک سیستم فضایی نیروهای همگرا که به جسم جامد اعمال می شود، لازم و کافی است که مجموع پیش بینی نیروها در هر یک از سه محور مختصات مستطیلی برابر با صفر باشد.:

;
;
, (21)

در مورد سیستم صفحه ای از نیروهای همگرا، معمولاً یکی از محورهای مختصات است
، عمود بر نیروها انتخاب می شود و دو محور دیگر به ترتیب در صفحه نیروها انتخاب می شوند. D برای تعادل سیستم صفحه ای از نیروهای همگرا که بر روی جسم جامد اثر می کنند، لازم و کافی است که مجموع برآمدگی های این نیروها بر روی هر یک از دو محور مختصات مستطیلی که در صفحه نیروها قرار دارند برابر با صفر باشد:

;
, (22)

شرایط تعادل برای سیستم فضایی نیروهای موازی

بیایید محور را هدایت کنیم
به موازات نیروها: برای تعادل سیستم فضایی نیروهای موازی اعمال شده بر جسم جامد، لازم و کافی است که مجموع جبری این نیروها برابر با صفر و مجموع گشتاورهای نیروها نسبت به دو محور مختصات عمود بر نیروها باشد. نیز برابر با صفر است:

شرایط تعادل برای یک سیستم هواپیمای نیروها

بیایید محورها را قرار دهیم
و
در صفحه عمل نیروها

شرایط تعادل برای یک سیستم هواپیمای نیروها در شکل اول: برای تعادل سیستم صفحه ای از نیروهای وارد بر جسم جامد، لازم و کافی است که مجموع برآمدگی های این نیروها بر روی هر یک از دو محور مختصات مستطیلی واقع در صفحه عمل نیروها برابر با صفر باشد. و مجموع گشتاورهای جبری نیروها نسبت به هر نقطه واقع در صفحه نیروهای عمل نیز صفر بود.:

(24)

برای تعادل سیستم صفحه ای از نیروهای موازی اعمال شده به جسم جامد، لازم و کافی است که مجموع جبری نیروها برابر با صفر و مجموع گشتاورهای جبری نیروها نسبت به هر نقطه ای از صفحه باشد. از نیروها نیز برابر با صفر است:

(25)

قضیه سه لحظه ای (شکل دوم شرایط تعادل): برای تعادل یک سیستم سطحی از نیروها که به جسم صلب وارد می شود، لازم و کافی است که مجموع گشتاورهای جبری نیروهای سیستم نسبت به هر سه نقطه ای که در صفحه عمل نیروها قرار دارند و در حالت قرار ندارند، کافی است. در همان خط مستقیم برابر با صفر هستند:

شکل سوم شرایط تعادل: برای تعادل یک سیستم سطحی از نیروها که به جسم جامد وارد می شود، لازم و کافی است که مجموع گشتاورهای جبری نیروها نسبت به هر دو نقطه واقع در صفحه عمل نیروها برابر با صفر و جبری باشد. مجموع برآمدگی این نیروها بر روی هر محور صفحه ای که عمود بر خط مستقیم نیست و از دو نقطه لحظه ای عبور می کند نیز برابر با صفر بود.، یعنی

که.، برای تعادل یک سیستم فضایی دلخواه نیروها، لازم و کافی است که مجموع جبری پیش بینی های همه این نیروها بر روی هر یک از سه محور مختصات انتخاب شده به طور دلخواه برابر با صفر باشد و مجموع جبری گشتاورهای آنها نسبت به هر یک از این محورها نیز برابر با صفر است.

شرایط (1.33) نامیده می شود شرایط تعادل یک سیستم فضایی دلخواه نیروها به شکل تحلیلی.

شرایط تعادل برای سیستم فضایی نیروهای موازی.اگر خطوط عمل تمام نیروهای یک سیستم معین از نیروها در سطوح مختلف قرار داشته باشند و موازی یکدیگر باشند، چنین سیستمی از نیروها نامیده می شود. سیستم فضایی نیروهای موازی.

با استفاده از شرایط تعادل (1.33) یک سیستم فضایی دلخواه نیروها، می توان شرایط تعادل یک سیستم فضایی نیروهای موازی را پیدا کرد. (شرایط تعادلی که قبلاً برای سیستم‌های سطحی و فضایی نیروهای همگرا به دست آوردیم، یک سیستم هواپیمای دلخواه نیروها و یک سیستم سطحی از نیروهای موازی را نیز می‌توان با استفاده از شرایط تعادل (1.33) یک سیستم فضایی اختیاری نیروها به دست آورد).

اجازه دهید یک سیستم فضایی از نیروهای موازی بر روی یک جسم جامد عمل کند (شکل 1.26). از آنجایی که انتخاب محورهای مختصات دلخواه است، می توان محورهای مختصات را طوری انتخاب کرد که محور zموازی نیروها بود. با این انتخاب از محورهای مختصات، پیش بینی های هر یک از نیروهای روی محور ایکسو درو لحظات آنها در مورد محور zبرابر صفر و در نتیجه برابری ها خواهد بود و صرف نظر از اینکه سیستم معینی از نیروها در حالت تعادل است یا خیر، ارضا می شوند و بنابراین از حالت تعادل خارج می شوند. بنابراین، سیستم (1.33) تنها سه شرط تعادل را ارائه می دهد:

از این رو، برای تعادل یک سیستم فضایی از نیروهای موازی، لازم و کافی است که مجموع جبری پیش بینی همه نیروها بر روی محور موازی این نیروها برابر با صفر باشد و مجموع جبری گشتاورهای آنها نسبت به هر یک از این دو مختصات باشد. محورهای عمود بر این نیروها نیز برابر با صفر است.

1. جسم (یا نقطه) را انتخاب کنید که تعادل آن باید در این مسئله در نظر گرفته شود.

2. جسم انتخاب شده را از پیوندها آزاد کنید و تمام نیروهای فعال و نیروهای واکنش پیوندهای دور ریخته شده را که بر روی این جسم (و فقط روی این جسم) عمل می کنند، به تصویر بکشید ( ترتیب دهید). جسمی آزاد از اتصالات، با سیستمی از نیروهای فعال و واکنشی متصل به آن، باید جداگانه به تصویر کشیده شود.

3. معادلات تعادل را بنویسید. برای ترسیم معادلات تعادل ابتدا باید محورهای مختصات را انتخاب کنید. این انتخاب را می توان خودسرانه انجام داد، اما اگر یکی از محورها عمود بر خط عمل برخی از نیروی واکنش ناشناخته باشد، معادلات تعادل حاصل آسانتر حل می شود. حل معادلات تعادلی حاصل باید به طور معمول تا انتها به شکل کلی (جبری) انجام شود. سپس، برای مقادیر مورد نیاز، فرمول هایی به دست می آید که به فرد امکان تجزیه و تحلیل نتایج یافت شده را می دهد. مقادیر عددی مقادیر یافت شده فقط در فرمول های نهایی جایگزین می شوند. معادلات تعادل با استفاده از روش تحلیلی حل مسائل بر روی تعادل یک سیستم نیروهای همگرا گردآوری می شوند. با این حال، اگر تعداد نیروهای همگرا که تعادل آنها در نظر گرفته شود سه باشد، استفاده از روش هندسی برای حل این مسائل راحت است. راه حل در این مورد به این نتیجه می رسد که به جای معادلات تعادل همه نیروهای عامل (پیوندهای فعال و واکنش) یک مثلث نیرو ساخته می شود که بر اساس شرایط هندسی تعادل باید بسته شود (ساخت این مثلث باید با نیروی معین شروع شود). با حل مثلث نیرو، مقادیر مورد نیاز را پیدا می کنیم.

پویایی شناسی

برای درک بخش دینامیک، باید اطلاعات زیر را بدانید. از ریاضیات - حاصل ضرب اسکالر دو بردار، معادلات دیفرانسیل. از فیزیک - قوانین بقای انرژی و تکانه. نظریه نوسان. پیشنهاد می شود این موضوعات را مرور کنید.

همانطور که در بند 4.4 توضیح داده شد، شرایط لازم و کافی برای تعادل یک سیستم فضایی نیروهای اعمال شده به یک جسم صلب را می توان به صورت سه معادله برآمدگی (4.16) و سه لحظه (4.17) نوشت:

, , . (7.14)

اگر جسم کاملاً ثابت باشد، نیروهای وارد بر آن در حالت تعادل هستند و معادلات (7.13) و (7.14) برای تعیین واکنش های حمایتی عمل می کنند. البته ممکن است مواردی وجود داشته باشد که این معادلات برای تعیین واکنش های حمایتی کافی نباشد. ما چنین سیستم هایی از نظر استاتیکی نامعین را در نظر نخواهیم گرفت.

برای یک سیستم فضایی از نیروهای موازی، معادلات تعادل به شکل (§ 4.4[‡]) است:

, , . (7.15)

حال اجازه دهید مواردی را در نظر بگیریم که بدن فقط تا حدی ثابت است، یعنی. اتصالاتی که به بدن تحمیل می شود، تعادل بدن را تضمین نمی کند. چهار مورد خاص را می توان نشان داد.

1. یک جسم جامد یک نقطه ثابت دارد. به عبارت دیگر با استفاده از یک اتصال کروی کامل به یک نقطه ثابت متصل می شود.

اجازه دهید مبدا سیستم مختصات ثابت را در این نقطه قرار دهیم. عمل اتصال در یک نقطه آبیایید آن را با یک واکنش جایگزین کنیم. از آنجایی که اندازه و جهت آن ناشناخته است، آن را به صورت سه جزء مجهول ارائه خواهیم کرد، , , که به ترتیب در امتداد محورها , , , هدایت شده اند.

معادلات تعادل (7.13) و (7.14) در این حالت به شکل زیر نوشته می شود:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

سه معادله آخر شامل اجزای واکنش نیستند، زیرا خط عمل این نیرو از نقطه عبور می کند آ. در نتیجه، این معادلات روابط بین نیروهای فعال لازم برای تعادل جسم را ایجاد می کند و از سه معادله اول می توان برای تعیین اجزای واکنش استفاده کرد.

بدین ترتیب، شرط تعادل جسم صلب که دارای یک نقطه ثابت است، برابری با صفر هر یک از مجموع جبری گشتاورهای تمام نیروهای فعال سیستم نسبت به سه محور متقاطع در یک نقطه ثابت از بدن است. .

2. بدن دو نقطه ثابت دارد. به عنوان مثال، اگر با استفاده از لولا به دو نقطه ثابت متصل شود، این اتفاق خواهد افتاد.

اجازه دهید مبدا مختصات را در نقطه انتخاب کنیم آو محور را در امتداد خط عبور از نقاط هدایت کنید آو که در. اجازه دهید عمل پیوندها را با واکنش ها جایگزین کنیم و اجزای واکنش را در امتداد محورهای مختصات هدایت کنیم. اجازه دهید فاصله بین نقاط را مشخص کنیم آو که دراز طریق آ; سپس معادلات تعادل (7.13) و (7.14) به شکل زیر نوشته می شود:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

آخرین معادله شامل نیروهای واکنش نیست و ارتباط بین نیروهای فعال لازم برای تعادل بدن را برقرار می کند. از این رو، شرط تعادل جسم صلب که دارای دو نقطه ثابت است، برابری با صفر مجموع جبری گشتاورهای تمام نیروهای فعال اعمال شده بر جسم نسبت به محور عبوری از نقاط ثابت است. . پنج معادله اول برای تعیین مولفه های مجهول واکنش های , , , , , استفاده می شود.

توجه داشته باشید که اجزا و نمی توان به طور جداگانه تعیین کرد. از معادله سوم، فقط مجموع + تعیین می شود و بنابراین، مشکل در رابطه با هر یک از این مجهولات برای یک جسم صلب از نظر استاتیکی نامشخص است. با این حال، اگر در نقطه که دراگر یک لولا کروی، بلکه یک استوانه (یعنی بلبرینگ) وجود نداشته باشد، که در لغزش طولی بدنه در امتداد محور چرخش دخالتی نداشته باشد، مشکل از نظر استاتیکی قابل تعریف می شود.

بدنه دارای یک محور چرخش ثابت است که می تواند بدون اصطکاک در امتداد آن بلغزد.این بدان معنی است که در نقاط آو که درلولاهای استوانه ای (بلبرینگ) وجود دارد و اجزای واکنش آنها در امتداد محور چرخش برابر با صفر است. در نتیجه، معادلات تعادل به شکل زیر خواهد بود:

1) ,

2) ,

4) ,

5) ,

دو مورد از معادلات (7.18)، یعنی سوم و ششم، محدودیت هایی را بر سیستم نیروهای فعال اعمال می کنند و معادلات باقی مانده برای تعیین واکنش ها هستند.

بدن در سه نقطه روی یک سطح صاف قرار دارد و نقاط تکیه گاه روی یک خط مستقیم قرار نمی گیرند. اجازه دهید این نقاط را با علامت گذاری کنیم آ, که درو باو سازگار با هواپیما ABCهواپیمای مختصات آهو. با جایگزینی عمل اتصالات با واکنش های عمودی، شرایط تعادل (7.14) را به شکل زیر می نویسیم:

3) ,

4) ,

5) ,

معادلات سوم - پنجم می تواند برای تعیین واکنش های مجهول استفاده شود و معادلات اول، دوم و ششم بیانگر شرایط اتصال نیروهای فعال و ضروری برای تعادل بدن است. البته برای حفظ تعادل بدن باید شرایط زیر رعایت شود: از آنجایی که در نقاط پشتیبانی تنها واکنش هایی در جهت پذیرفته شده در بالا می تواند رخ دهد.

اگر جسم در بیش از سه نقطه روی یک صفحه افقی قرار گیرد، آنگاه مشکل از نظر استاتیکی غیرقابل تعیین می شود، زیرا در این حالت به تعداد نقاط واکنش وجود خواهد داشت و تنها سه معادله برای تعیین واکنش ها باقی می ماند.

مشکل 7.3.بردار اصلی و ممان اصلی سیستم نیروها را که در شکل نشان داده شده است بیابید. نیروها به رئوس مکعب اعمال می شود و در امتداد لبه های آن هدایت می شوند و ، . طول لبه مکعب است آ.