دانلود از depositfiles.

سخنرانی 5-6

topic2 انتگرال چندگانه

دو جدایی ناپذیر

سوالات کنترل

1. دو جدایی ناپذیر، معنای هندسی و فیزیکی آن

2. خواص یکپارچه دوگانه.

3. محاسبه یکپارچگی دوگانه در مختصات دکارتی.

4. جایگزینی متغیرها در یکپارچگی دوگانه. محاسبه یکپارچگی دوگانه در مختصات قطبی.

اجازه دهید تابع z. = f. (ایکس. , y. ) تعریف شده در یک منطقه محدود محدود D. سطح. منطقه را جدا کنید D. راه خودسرانه n. مناطق پایه اولیه  1 , … , n. داشتن یک منطقه   1 , …,   n. و قطر d. 1 , …, d. n. به ترتیب. مشخص کن d. بزرگترین قطر مناطق  1 , … ,  n. . در هر منطقه  k. یک نقطه دلخواه را انتخاب کنید پ. k. (ایکس. k. ، y k.) و به مبلغ مجموع انتگرال کارکرد f.(x، y.)

S. =
(1)

تعریف. دو جدایی ناپذیر کارکرد f.(x، y.) توسط منطقه D. محدودیت مقدار یکپارچه را نام برد

, (2)

اگر آن وجود دارد

اظهار نظر. مجموع انتگرال S. بستگی به روش تقسیم منطقه دارد D. و انتخاب نقاط پ. k. (k.=1, …, n. ) با این حال، محدودیت
اگر آن وجود دارد، به راه تقسیم منطقه بستگی ندارد D. و انتخاب نقاط پ. k. .

شرایط کافی برای وجود یکپارچگی دوگانه. دو جدایی ناپذیر (1) اگر عملکرد باشد وجود دارد f.(x، y.) پیوسته B. D.به استثنای تعداد محدودی از منحنی های صاف و صاف و محدود به D.. در آینده، ما فرض می کنیم که تمام انتگرال های دوگانه مورد نظر وجود دارد.

معنای هندسی یکپارچگی دوگانه.

اگر یک f.(x، y.) ≥0 در منطقه D.، سپس یکپارچگی دوگانه (1) برابر با حجم بدن "استوانه ای" بدن نشان داده شده در تصویر برابر است:

V. =
(3)

بدن استوانه ای محدود به منطقه پایین است. D. ، بالا  بخشی از سطح z. = f. (ایکس. , y. )، از طرف  بخش های عمودی از مرزهای مستقیم اتصال این سطح و منطقه D.

معنای فیزیکی انتگرال دوگانه. توده صفحه تخت

اجازه دهید یک صفحه تخت داده شود D. با عملکرد تراکم شناخته شده γ ( ایکس،w. )، سپس شکستن صفحه D به قطعات D من. و انتخاب نکات دلخواه
، ما برای جرم صفحه دریافت می کنیم
یا مقایسه با فرمول (2):

(4)

4. برخی از خواص یکپارچگی دوگانه.

خطی بودن اگر یک از جانب - ثابت شماره، سپس

افزودنی اگر منطقه D. "شکسته" در منطقه D. 1 و D. 2، T.

3) منطقه محدود منطقه D.برابر

(5)

محاسبه یکپارچگی دوگانه در مختصات دکارتی.

اجازه دهید منطقه تنظیم شود

تصویر 1

d \u003d { (ایکس. , y. ): ≤ x ≤ b , φ 1 (ایکس. ) ≤ y ≤ φ. 2 (ایکس. ) } (6)

منطقه D. در نوار بین راست قرار دارد ایکس. = آ. , y. = ب ، پایین و بالا به ترتیب منحنی ها محدود هستند y. = φ 1 (ایکس. ) و y. = φ 2 (ایکس. ) .

دو جدایی ناپذیر (1) در منطقه D.(4) توسط انتقال به یک مجتمع مجدد محاسبه می شود:

(7)

این مجتمع مجدد به صورت زیر محاسبه می شود. ابتدا یکپارچه داخلی را محاسبه می کند

توسط متغیر y. ، که در آن ایکس. قابل پخش به عنوان یک نتیجه، یک تابع از متغیر خواهد بود ایکس. و سپس یکپارچه "خارجی" را از این تابع توسط متغیر محاسبه کرد ایکس. .

اظهار نظر. فرآیند انتقال به مجتمع مجدد با توجه به فرمول (7) اغلب به نام ترتیب محدودیت های ادغام در یکپارچگی دوگانه نامیده می شود. هنگام قرار دادن محدودیت های ادغام، شما باید دو امتیاز را به یاد داشته باشید. اولا، حد پایین تر از ادغام نباید بیش از حد بالا باشد، در مرحله دوم، محدودیت های انتگرال خارجی باید ثابت باشد، و داخلی باید به طور کلی به ادغام یکپارچگی یکپارچگی انتگرال خارجی بستگی دارد.

اجازه دهید آن را در حال حاضر D.ظاهر دارد

d \u003d { (ایکس. , y. ) : c ≤ y ≤ d , ψ 1 (y. ) ≤ x ≤ ψ 2 (y. ) } . (8)

سپس

. (9)

فرض کنید منطقه D.می تواند در فرم (6) و (8) در همان زمان نشان داده شود. سپس برابری وجود دارد

(10)

انتقال یک مجتمع مجددا به دیگری در برابری (10) نامیده می شود با تغییر نظم ادغام دو جدایی ناپذیر

مثال ها.

1) تغییر نظم ادغام در انتگرال

تصمیم گیری با توجه به نوع انتگرال تکراری ما منطقه را پیدا می کنیم

d \u003d { (ایکس. , y. ): 0 ≤ x ≤ 1, 2 x ≤ y≤. 2 } .

نمایش منطقه D.. در نقاشی ما می بینیم که این منطقه در نوار افقی بین راست قرار دارد y. =0, y. \u003d 2 و بین خطوط ایکس. =0 و ایکس. \u003d D.

گاهی اوقات برای ساده سازی محاسبات متغیرهای جایگزینی را ایجاد می کند:

,
(11)

اگر توابع (11) به طور مداوم تمایز پذیر و تعیین شده (Jacobian) متفاوت از صفر در منطقه مورد توجه:

(12)

def. . بگذار،
,

.

این مجموعه یک شکاف بسته یا یک چوب بسته بود .

بسیاری از بازه های باز

یا باز کردن نوار در .

def. . اندازه گیری پارونوف و ارزش نامیده می شود:

(دقیق تر
).

def. . اگر یک
به طوری که
سپس شکاف به نام Degenerate I.
.

خواص اندازه گیری GAP:

ولی). ژست:
و
سپس و تنها زمانی - انحطاط

ب). همگنی مثبت :.

که در). افزودنی:

* برای
به طوری که
;

* برای
و

.

د) یکنواختی اندازه گیری :.

def. . قطر نوار (GAP) ارزش نامیده می شود:

توجه داشته باشید که
و
- این همان چیزی نیست. به عنوان مثال، اگر - انحطاط، سپس
، آ.
(به طور کلی).

که در آن: * ؛

* ;*
.

def. . جمع
شکاف های زیرزمینی خرابی شکاف را نام برد ، اگر یک: *؛

*
; *
; *
; *
.

مقدار
پارامتر پارتیشن نامیده می شود پ.(که در آن
).

def. . شکاف سنگ زنی از پارتیشن نامیده می شود اگر تمام عناصر پارتیشن بندی به دست آمده توسط تقسیم عناصر پارتیشن .

نشان می دهد:
. خواندن: کوچکتر یا بزرگتر .

برای رابطه "بزرگتر - کوچکتر" نسبتا:

* TRANSITIVITY -؛ *
;

*.


; *.

|
.

§ تعریف چند انتگرال

بیایید
- نوار (فاصله) در ,
- شکستن شکاف من.. در هر یک از پارتیشن ها توجه داشته باشید نقطه
.

دريافت كردن
نقاط تقسیم شده برای نقاط مشخص شده برای
.

مقدار
مجموع انتگرال Riemann برای عملکرد نامیده می شود f. (ایکس.) در فاصله زمانی من. با تقسیم با نقاط مشخص شده
.

def. :
=
=
.

نشان - بسیاری از توابع یکپارچه در یک نوار من. ما نوشتیم:

def. : ε > 0 δ>0<.

اگر برای یک تابع f.(ایکس.) در من.و تقسیم
- از طریق
- بزرگترین و کوچکترین ارزش عملکرد f.(ایکس.) در من. k. سپس ارزش ها
=
و
=
مقدار پایین و بالاتر از Darbu نامیده می شود.

§. معیار Darboux برای وجود یکپارچه چندگانه.

T. 0 . تابع
در یک نوار ادغام شد (کسانی که.
) لازم است و به اندازه کافی

. Δ▲.

ادغام عملکرد در بروز در فضای اقلیدسی تعیین می شود. اما نحوه ادغام عملکرد در مجموعه ای دائمی از فضای اقلیدسی؟

ما انتگرال را از تابع تعریف می کنیم f. با مجموعه
.

def. : بیایید
و
- محدود، I.E.
. تابع
ما عملکرد مشخصی از مجموعه را می نامیم M..

سپس:
≡
.

تعریف انتگرال در مجموعه بستگی ندارد که کدام RAM حاوی آن باشد M.انتخاب شده، I.E.

.

این نشان می دهد که تعریف انتگرال صحیح است.

شرایط یکپارچه مورد نیازتابع f.(ایکس.) در M.این یکپارچه بود f.(ایکس.) محدود به M.. Δ▲.

§ خواص انتگرال های چندگانه.

1  . خطی بودن: تنظیم R. M. توابع یکپارچه در مجموعه متر -خطی

فضا، A.
- عملکرد خطی

2  . شرایط خاتمه:
. شکل دیگری از ضبط
در واقع، اندازه گیری یک مجموعه دلخواه از فضای اقلیدسی را تعیین می کند.

3  . اگر انتگرال در مجموعه ای از معیار پیشرو صفر باشد، صفر است، سپس او

برابر صفر است.

توجه داشته باشید:بسیاری از M.تعداد زیادی از ضایعات ضایعه صفر،

اگر یک

به طوری که
و
.

4  . ولی.;ب;

که در.اگر یک
و - جدا از صفر به M.T.

5  .
و f.=g.p.v. (تقریبا در همه جا) M.T.
.

6  . افزودنی: اگر
و
که

,

به طور کلی:
.

Δ از برابری پیروی می کند: ▲

7  . یکنواخت:
و
که
.

8  . ادغام نابرابری ها: اگر
ایتا

.

9  . بیایید


. به منظور. واسه اینکه. برای اینکه
، لازم است و به اندازه کافی در نقطه داخلی مجموعه وجود دارد M.، که در آن f. (ایکس.)\u003e 0 و مداوم

10  . یکپارچگی ماژول تابع یکپارچه:
.

11  . قضیه متوسط:
,
در M.موجب صرفه جویی در امضای I.
T.

.

اگر مجموعه M.- Svyazno I. f.(ایکس.) - مداوم
که
به طوری که
.

12  . به منظور انتگرال از یک تابع غیر منفی به 0

لازم است و کافی است f.(ایکس.) \u003d 0 تقریبا در همه جا M..

13  . قضیه Fubini.برای یکپارچه دوگانه:

اجازه دهید منطقه
- مستطیل: سپس، با توجه به وجود انتگرال های داخلی داخلی، برای پیدا کردن یکپارچگی دوگانه، شما می توانید دوباره یکپارچه سازی تغییر دهید (نگاه کنید به شکل a):

، یا

E.

اگر منطقه ادغام یک مستطیل نیست، قضیه Fubini هنوز معتبر است و فرم دارد (نگاه کنید به شکل ب):
. (*)

توجه داشته باشید: محدودیت های ادغام خارجی باید ثابت باشد، محدودیت های ادغام داخلی ممکن است به متغیر بستگی داشته باشد که در آن ادغام هنوز هم باشد.

فرمول (*) را می توان با استفاده از عملکرد مشخصه مجموعه به دست آورد D..

برای یکپارچه چندگانه:

اجازه دهید زیر مجموعه های ورودی فضاهای اقلیدسی و . کار دکارتی این مجموعه ها را تعیین کنید، که یک زیر مجموعه از فضای اقلیدسی است
:.

سپس قضیه Fubini برای
این فرم را دارد:
.

قضیه برای هر دو Bruus معتبر است ایکس.و Y.، و برای پیکربندی های پیچیده تر.

مثال ها:

1 0 . محاسبه
اگر منطقه مرزی باشد
تعیین شده توسط معادلات:

. پیدا کردن نقاط تقاطع منحنی تعریف مرز منطقه، ما دو امتیاز دریافت می کنیم:
و
. سپس قرار دادن محدودیت های ادغام در طول انتقال به انتگرال های تکراری می دهد:

ولی).
;

2

0 . تغییر نظم ادغام در مجددا انتگرال:
.

–

.

دستور آشپزی:هنگامی که محدودیت ادغام را در یک انتگرال دوگانه تنظیم کرد، توصیه می شود با محدودیت های ادغام خارجی شروع شود.

3

0 . محاسبه:
، اگر یک

انتقال به مجددا انتگرال می دهد:
.

در همان زمان، در یک انتگرال سه گانه، محدودیت ها باید با محدودیت های داخلی ادغام آغاز شود. سپس منطقه Sprocket V.در هواپیما xoy

قرار دادن محدودیت در منطقه D.- دروغ گفتن در هواپیما xoy.

4 0 . تغییر نظم ادغام در مجددا انتگرال:
.

اجازه دهید ما با جزئیات بیشتر در مورد آثار Ostrogradsky در سراسر انتگرال های متعدد زندگی کنیم.

فرمول Ostrogradsky برای تبدیل یکپارچه سه گانه به دو برابر، که ما معمولا در قالب نوشتن

جایی که Div A واگرایی میدان بردار است،

یک محصول اسکالر از بردار A بر روی یک بردار تک طبیعی N طبیعی از سطح مرزی است، در ادبیات ریاضی اغلب با نام های گاوس و سبز تماس گرفته شد.

در حقیقت، در کار گاوس در جاذبه های اسفروئید ها، ممکن است تنها موارد خاصی از فرمول (1) را مشاهده کنید، به عنوان مثال، در p \u003d x، q \u003d r \u003d 0، و غیره به عنوان J. Green ، سپس در کار خود بر تئوری برق و مغناطیس فرمول (1) در همه نیست؛ این شامل یک رابطه دیگر بین سه گانه و دوگانه انتگرال، دقیقا، فرمول سبز برای اپراتور لاپلاس است که می تواند به عنوان نوشته شود

البته، شما می توانید فرمول (1) و از (2)، باور کنید

و به همان شیوه، شما می توانید فرمول (2) را از فرمول دریافت کنید (1)، اما سبز فکر نمی کرد انجام دهید.

جایی که سمت چپ انتگرال در حجم است، و در یکپارچگی مناسب در سطح مرزی، و ماهیت کوزینز های راهنمای خارجی طبیعی است.

نسخه های خطی پاریس از استروگرادسکی شهادت می دهد، با عدم پذیرش کامل که آن را نیز مالکیت و اولین پیام قضیه انتگرال (1) دارد. برای اولین بار، آن را بیان و اثبات شد، دقیقا همانطور که آنها در "اثبات یک قضیه محاسبات یکپارچه" انجام شده توسط آکادمی علوم پاریس در تاریخ 13 فوریه 1826، پس از آن یک بار دیگر در آن بخشی از فرمول بندی شده است خاطرات در گسترش گرما در داخل جامدات "، که Ostrogradsky در تاریخ 6 اوت 1827 ارائه شده است،" خاطرات "به بازخورد فوریه و پواسون داده شد، و آخرین از آن، من قطعا خواندن، همانطور که توسط رکورد در اولین صفحات نشان داده شد از هر دو بخش دستنوشته. البته، پواسون و به خودشان به قضیه ای نرسیده بود که دو سال قبل از ارائه کار خود بر تئوری الاستیسیته در ترکیب اوستروگرادسکی ملاقات کرد.

در مورد رابطه بین کار بر روی چندین انتگرال از Ostrogradsky و سبز، ما به یاد می آوریم که در "توجه به نظریه گرما" فرمول متعلق به، آغوش فرمول خود از سبز، به عنوان یک مورد بسیار خاص است. در حال حاضر نمادگرایی کوشی غیر معمول استفاده شده توسط Ostrogradsky در "توجه"، تا به تازگی از محققان مخفی شده است این کشف مهم است. البته، Girgin همچنان به افتخارات افتتاحیه و اولین نشریه در سال 1828، نام فرمول برای اپراتورهای لاپلاس باقی می ماند.

کشف فرمول تبدیل یکپارچه سه گانه به دو برابر کمک به Ostrogradsky حل مشکل تنوع یکپارچه P-چندگانه، دقیقا به شکل کلی برای تبدیل انتگرال از بیان نوع واگرایی با توجه به منطقه P-Dimensional و انتگرال برای محدود کردن آن از Supercrossurface S با معادله L (X، Y، Z، ...) \u003d 0. اگر شما به تعریف های قبلی پایبند باشید، فرمول فرم را تشکیل می دهد

با این حال، Ostrogradsky تصاویر و اصطلاحات هندسی را که ما استفاده می کنیم اعمال نمی کند: هندسه فضاهای چند بعدی در آن زمان هنوز وجود ندارد.

در "خاطرات در محاسبه چندین انتگرال"، دو موضوع مهم تر از نظریه چنین انتگرال ها در نظر گرفته شد. اول، Ostrogradsky فرمول را برای جایگزینی متغیرها در یک انتگرال چند بعدی نمایش می دهد؛ ثانیا، برای اولین بار، توصیف کامل و دقیق از دریافت محاسبه یکپارچگی چندگانه را با استفاده از یک ادغام متوالی برای هر یک از متغیرها به صورت مناسب ارائه می دهد. در نهایت، از فرمول های موجود در این خاطرات، قانون تمایز عمومی به راحتی با توجه به پارامتر چند بعدی چند بعدی نمایش داده می شود، زمانی که نه تنها عملکرد انتگرال، بلکه مرز منطقه ادغام بستگی به این پارامتر دارد. قانون نامیده می شود از پول نقد در فرمول های خاطرات به طوری طبیعی طبیعی است که بعدا ریاضیدانان حتی او را با یکی از فرمول های این خاطرات شناسایی کرد.

تعویض متغیرها در چندین انتگرال انتگرال Ostrogradsky کار اختصاصی اختصاصی. برای یکپارچگی دوگانه، قانون مربوطه، اویلر را با استفاده از تحولات رسمی برای سه گانه - لاگرانژ آورد. با این حال، اگر چه نتیجه لاگرانژ وفادار است، استدلال او دقیق نبود: به نظر می رسید از این واقعیت است که عناصر حجم در متغیرهای قدیمی و جدید - مختصات - بین خود برابر هستند. یک خطای مشابه در ابتدا در قوانین خروجی ذکر شده برای جایگزینی متغیرهای Ostrobodsky انجام شد. مقاله "در تحول متغیرها در چندین انتگرال" Ostogradsky خطای لاگرانژ را نشان داد، و همچنین ابتدا مشخص کرد که روش هندسی بصری برای تبدیل متغیرها در یکپارچگی دوگانه، که در طراحی کمی سخت تر، در کتابچه های ما ارائه شده است. این، هنگام جایگزینی متغیرها در انتگرال با توجه به فرمول ها، منطقه ادغام توسط خطوط مختصات دو سیستم U \u003d const، v \u003d const بر روی چهارگوشه های بی نهایت کوچک کوچک تقسیم می شود. سپس انتگرال را می توان با استفاده از تاشو در ابتدا عناصر خود را که به یک نوار منحنی بی نهایت محدود می شود، به دست آورد، و سپس ادامه به خلاصه عناصر توسط گروه ها تا زمانی که خسته شده اند. محاسبات ساده برای یک منطقه، که با دقت نظم کوچک کوچک، می تواند به عنوان parallelograms، بیان، جایی که، انتخاب شده است، به عنوان انتخاب شده است به طوری که منطقه مثبت است. در نتیجه، یک فرمول شناخته شده را به دست می آورد

رونوشت.

1 آژانس فدرال برای آموزش و پرورش دولتی آموزش عالی آموزش عالی آموزش حرفه ای "Samara State Universe" دانشگاه Samara State Universe "Samara SP Queen" SP Queen "چندین انتگرال از کار و تمرینات توسط شورای انتشارات سرمقاله دانشگاه به عنوان دستورالعمل روش شناختی با AM و R و SGA تایید شده است انتشارات

2 UDC 7 7 Compiler Ohm Carrilova Reviewer Canda Tehn Sciences Attegrals وظایف و تمرینات: روش دستورالعمل / Sosta Om Carpilova Samara: انتشارات خانه Samar Aerocosm دانشگاه Samar Aerocosm با مجموعه ای شامل راه حل های نمونه ای از وظایف معمول است انتگرال ها در هر موضوع، وظایف معمولی به طور دقیق در مورد روش های حل آنها مورد توجه قرار می گیرند و وظایف کار مستقل را در برنامه ارائه می دهند. گزینه ها گزینه ها را برای تکالیف فردی ارائه می دهند، تمام وظایف مطابق با برنامه در ریاضیات برای دانشجویان دانشگاه های فنی کامپایل شده است . دستورالعمل های روشنی آماده شده در وزارت آموزش و پرورش مهندسی عمومی و برای دانشجویان موسسه انرژی و حمل و نقل دانشگاه ایالتی Samara University UDC 7 7 7 7 دانشگاه Samara State AutoSpace

3 محاسبه دو انتگرال دوگانه در مختصات دکارتی برای محاسبه دو جدایی انتگرال از آن به عنوان یک راه حل F F تکرار شده دو بار از نمونه های نمونه ای از BAF به یک مجتمع مجددا ارائه می شود و محدودیت های ادغام را در صورتی که منطقه محدود است، قرار دهید به خطوط: 6؛ ب؛ که در؛ R مدار مثلث ABC که در آن؛ ب 6 C ؛؛ راه حل D: و ما یک منطقه را ساختیم: محور موازی مستقیم در مورد؛ محور موازی مستقیم در مورد؛ 6 مستقیم عبور از نقاط؛ 6 و 6؛ منطقه یک مثلث ABC برنج برای پیدا کردن مختصات نقطه C باید توسط سیستم معادلات شکل 6 از اینجا C؛ بنابراین، در داخل منطقه، برای پیدا کردن اینکه چگونه آن را تغییر محور مستقیم موازی O و منطقه تقاطع، این مستقیم وارد منطقه در امتداد خط A، به نظر می رسد در امتداد خط 6 یا 6، بنابراین، بنابراین منطقه می تواند تنظیم شود در سیستم نابرابری ها: 6 اکنون محدودیت ها را در یک انتگرال دو بعدی قرار می دهد: F 6 F.

4 B ما ساخت: پارابولا محور موازی مستقیم O برنج ما مختصات نقاط A را پیدا خواهیم کرد، ما سیستم را حل می کنیم ± را به طور مستقیم محور موازی O را صرف می کنیم و عبور از منطقه این خط در منطقه Parabole گنجانده شده است به نظر می رسد در یک خط مستقیم. بنابراین، منطقه به نابرابری FF تنظیم شده است. ما منطقه برنج را ساختیم: Parabola متقارن نسبت به محور O با یک رأس در ابتدای مختصات؛ شعبه مثبت پارابولا در نسبت به محور O با یک رأس در ابتدای ماهی مختصات، نقاط تقاطع این خطوط را پیدا کنید: از بین بردن هر دو بخش از معادله در میدان ما از اینجا از اینجا خارج می شویم و در نقاط قوت به دست می آوریم؛ و a؛ پس از گذراندن یک موازی موازی و عبور از منطقه می بینید که خط ورودی خط خروجی است

5 بنابراین: بنابراین، FF G ما یک برنج مثلث را از نقاشی ساختیم. واضح است که در داخل منطقه، موازی مستقیم O و منطقه عبور وارد مثلث در کنار AC می شود و از طرف آن خارج می شود معادله AV، عبور مستقیم عبور از طریق دو نقطه M و M دارای تقاضای این فرمول برای نوشتن معادلات طرفین AB و AS: AB: از کجا؛ 6 AU: از کجا این به این ترتیب: بنابراین، F F D منطقه را برای تبدیل معادله مرزی ساخت: برای برجسته کردن مربع کامل نسبت به متغیر: معادله نتیجه دایره را با شعاع با شعاع با مرکز قرار می دهد؛ برنج برنج برنج برای ترتیب محدودیت های ادغام. لازم است معادلات نیمه بالا و پایین نیمه دور خط ورودی به منطقه را ثبت کنید و از طریق این امر، با اجازه دادن به معادله اولیه نسبت به: ±

6 واضح است که نیمه بالای دایره مربوط به معادله پایین تر به این ترتیب است: بنابراین، F s یک مثال را تغییر می دهد نظم ادغام: B 6؛ f f؛ و در راه حل FF: و منطقه ادغام توسط سیستم نابرابری مشخص شده است: ما منطقه RIS6 را ساختیم: نیمه بالای پارابولا نیمه پایینی پارابولا با تغییر در نظم ادغام یکپارچگی، فرم CF را می گیرد شکل 6. پیدا کردن مختصات نقاط تقاطع پارابولا و مستقیم: ± SO؛ که در؛ ما به طور مستقیم موازی محور O عبور خط ورودی منطقه در منطقه Parabol، خط خروجی منطقه می تواند منطقه را می توان تنظیم و سیستم نابرابری ها: سپس f f 6

7 B در این مورد، منطقه ادغام توسط سیستم نابرابری مشخص شده است: 6 ما این منطقه از برنج 7: 6 هیپربول را ساختیم. ما مختصات نقاط A و C را در نقطه ای پیدا خواهیم کرد و بنابراین در نقطه ای در نقطه نتیجه به همین ترتیب؛ که در؛ با تغییر در نظم ادغام، انتگرال شکل F شکل 7 را از آن زمان C؛ ما یک محور موازی مستقیم O و عبور از خط مشی منطقه 6 از ورودی هیپربول را از جایی که خط خروج به طور مستقیم از جایی که منطقه به نابرابری ها تنظیم شده است، صرف کنید: 6 در نهایت 6 6 FF را در زمینه های ساختمانی به دست آورید: و: مرز منطقه تعیین شده توسط معادله ± هر دو بخشی از معادله در مربع تعیین می شود. دریافت معادله Parabola - روی در نقطه؛ و محور تقارن، محور O برنج است که مرز منطقه توسط معادلات زیر داده می شود: مستقیم عبور از منشاء و شاخه بالایی پارابولاس به گونه ای یکپارچگی.

8 برای ترتیب محدودیت های ادغام برای پیدا کردن مختصات نقاط تقاطع خطوط مرزی برای این با حل سیستم معادلات؛ از این رو به این ترتیب؛ که در؛ با تغییر در نظم ادغام، یکپارچگی خارجی بر اساس متغیر داخلی گرفته می شود، بنابراین ما یک منطقه متقاطع مستقیم و محور موازی را انجام خواهیم داد، آن را به منطقه بر روی خط وارد می شود و با تغییر در خط می رود منظور از ادغام. گرفتن FFF در اینجا، تغییر روش یکپارچه سازی ساده محاسبات را ساده می کند، زیرا تنها یک مثال محاسبه می شود؛ ؛ جایی که منطقه به راه حل خطوط محدود می شود، یک منطقه از شکل 9 را ساخت: محور مستقیم موازی O و مختصات مستقیم عبور برای محاسبه یکپارچه با تعویض از یک انتگرال دوگانه به عنوان یک منطقه را می توان در سیستم نابرابری تنظیم کرد: سپس شکل 9 محاسبه ابتدا شمارش انتگرال داخلی به عنوان یک مقدار ثابت به عنوان یکپارچه سازی منتقل شده توسط متغیر: در حال حاضر باقی مانده است برای محاسبه انتگرال خارجی نتیجه:

9 بنابراین، یک مثال محاسبه راه حل برای ساخت منطقه: محور O محور موازی مستقیم O مستقیم عبور از منشاء مختصات برنج و تقاطع در نقطه a؛ تبدیل به یک انتگرال دو بعدی و محاسبه آن ما دریافت اگر محدود به خطوط با استفاده از فرمول های جامد 9

10 وظیفه برای یک راه حل مستقل برای قرار دادن محدودیت های ادغام در انتگرال های مکرر که F کاهش می یابد اگر منطقه محدود به خطوط باشد؛ ب؛ که در؛ r؛ D مثلث ABC که در آن؛ که در؛ از جانب؛ تغییر نظم ادغام: F؛ B f؛ در f؛ G F محاسبه دوگانه انتگرال شمارش که منطقه محدود به خطوط مشخص شده است: a؛ 7؛ ب؛ ؛ که در؛ ؛ GE؛ 6 پاسخ به یک f؛ B f؛ در R f؛ d f؛ b f f؛ در f؛ g f؛ 7 ب؛ که در؛ f 6 g e f؛

11 دو جدایی یکپارچه در مختصات قطبی اگر سیستم مختصات دکتین و قطبی نیز در هواپیما مشخص شده و قطب با آغاز مختصات و محور قطبی هماهنگ با محور آه، برای انتقال به مختصات قطبی، فرمول ها هماهنگ شده است مورد استفاده قرار می گیرد. f β α f راه حل مثال مثال محاسبه\u003e تصمیم گیری ما ساختار منطقه برنج: دایره شعاع مستقیم عبور از طریق منشاء مختصات از زمانی که منطقه بخشی از دایره به راحتی به مختصات قطبی ادامه می دهد در همان زمان قطب سازگار است با نقطه O؛ محور قطبی در امتداد محور مجاز خواهد بود. هر جا که این منطقه به خطوط برنج محدود می شود، لازم است که منطقه را در زاویه سیستم مختصات قطبی در داخل منطقه تغییر دهید تا تغییرات را از CM برنج مستقیما به محور سوراخ

12 در زاویه مماس که K به این ترتیب است؛ TG از اینجا؛ بنابراین در ناحیه پرتو، معادله از قطب O و عبور از منطقه به وسیله معادله ای که در مختصات قطبی به این ترتیب منطقه توسط سیستم نابرابری شرح داده شده است، خارج می شود: اکنون آسان است محدودیت ها در یکپارچه تکراری و محاسبه مثال آن محاسبه E جایی که حلقه توسط منطقه 9 و 9 برنج محدود است برای رفتن به مختصات قطبی: سپس معادلات مرزها نگاهی بیندازد؛ 9 شکل. برای تنظیم محدودیت های ادغام در یک انتگرال تکراری. توجه داشته باشید که در داخل زاویه منطقه تمام مقادیر را از ابتدای هماهنگ کردن منطقه عبور می گیرد، آن را وارد منطقه بر روی خط می شود و در امتداد خط به این ترتیب: سپس

13 9 9 9 9 9 9 9 9 9 E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E از آنجایی که نیمی از برنج دایره به مختصات قطبی حرکت می کند: معادله برنج مرز در مختصات قطبی به شکل اعتقاد بر این منطقه به طور کامل در سه ماهه اول واقع شده است، بنابراین در مختصات قطبی منطقه نابرابری ها را تنظیم می کند. در حال حاضر شما می توانید دو جدایی را محاسبه کنید

14 وظایف برای تصمیم گیری های خود را محاسبه می کند عبور به مختصات قطبی: جایی که نیمی از دایره دایره 6 که در آن منطقه نابرابری ها را برآورده می کند که در آن منطقه محدود به خطوط 9 6 که در آن خطوط محدود 6 که در آن منطقه محدود به پاسخ محدود به پاسخ های محدود شده توسط منحنی ؛ ؛ ؛ ؛ برنامه های کاربردی دوگانه انتگرال دو جدایی ناپذیر در هنگام محاسبه: و یک منطقه از یک منطقه مسطح منطقه محدود: S؛ حجم B بدن استوانه ای که از بالای سطح مستمر F در زیر هواپیما و سمت سطح مستقیم استوانه ای استوانه ای بر روی سطح هواپیما قرار دارد، محدود می شود:

15 f؛ در سطح سطح یک معادله معادله F با طرح ریزی که به هواپیما O منطقه است، منطقه: σ علاوه بر این، دو انتگرال دوگانه در مکانیک برای محاسبه استفاده می شود: و جرم یک صفحه تخت که اشغال هواپیما O و داشتن تراکم سطح متغیر γ γ: m γ؛ B لحظات آماری از صفحه نسبت به محورهای O و O:؛ m γ؛ m γ در مختصات مرکز جاذبه صفحات: γ m c؛ M γ حل نمونه C γ γ میلی متر 6 به عنوان مثال یافتن مساحت منطقه محدود خطوط راه حل ما یک معادله منطقه مشخص شلجمی معادله عبور مستقیم از مبدا مختصات شکل ساخت. برای پیدا کردن نقاط تقاطع این خطوط توسط حل سیستم معادلات: از اینجا، پس به طور مستقیم از پارابولا در نقاط عبور می کند. و a؛ به گفته فرمول های S، مثال نمونه ای از پیدا کردن یک منطقه از ارقام خطوط محدود در خارج از دایره اول است؛

16 راه حل معادله دایره شعاع را با مرکز قرار می دهد در ابتدای معادله مختصات، دایره شعاع را با مرکز مرکز قرار می دهد؛: لازم است که منطقه ای از شکل AMBNA را پیدا کنید. 6 در اینجا راحت است را به حرکت به مختصات قطبی سپس معادله اول را به شکل معادله دوم را انجام دهید: شکل 6 برای تعیین مختصات نقاط A و در حل دستگاه معادلات ± بنابراین؛ ولی؛ در منطقه AMBN، شما می توانید نابرابری ها را با فرمول 6 به عنوان مثال از پیدا کردن حجم بدن محدود شده توسط هواپیما مختصات مشخص کنید و هواپیما تصمیم گیری بدن 7 و طرح ریزی آن در هواپیما را شکل دهید. 6

17 با توجه به شکل فرمول 7 ریگا در این مثال، منطقه مثلث از OAV نشان داده شده در برنج است و سطح با معادله از هواپیما از تعیین که در آن یک مثال از پیدا کردن حجم بدن محدود شده توسط هماهنگ هواپیما و سطح راه حل بدن در شکل 9 نشان داده شده است. هواپیما به موازات محور O منتقل می شود؛ پارابولوئیدی که رأس آن را در نقطه ای قرار می دهد ؛؛ طرح ریزی بدن در هواپیما O است مثلث AVO برنج AV خط تقاطع خط با یک هواپیما به این ترتیب معادله مستقیم AB: جایی که 7

18 با توجه به فرمول شکل 9 برنج سیلندر 6 نمونه را پیدا کنید حجم بدن را محدود توسط paraboloid و هواپیما و راه حل بدن در برنج به منظور راحتی تنظیم محدودیت های ادغام نشان داده شده است ما طرح ریزی بدن بر روی برنج بر اساس برنج فرمول

19 7 6 مثال 6 پیدا کردن حجم بدن محدود شده توسط سطوح 7 راه حل این بدن به دو paraboloids برنج خط paraboloids توسط دستگاه معادلات از معادله اول خط تقاطع تعیین محدود دایره با شعاع دروغ گفتن در است هواپیما: طرح از این خط به o هواپیما نیز یک دایره، پس از آن مناسب است برای رفتن به مختصات قطبی شکل حجم بدن را می توان به عنوان تفاوت در حجم دو تلفن استوانه محاسبه می شود: مثال 7 پیدا کردن مساحت سطح کره در داخل سیلندر 9 راه حل کاهش سیلندر در سطح کره از دو بخش متقارن نسبت به سطح O برنج با توجه به تقارن کافی برای محاسبه مساحت سطح است تنها بالا "کلاه" و نتیجه را به دو برابر سطح. نه

20 برای محاسبه، استفاده می کنیم فرمول از آن شامل مشتقات خصوصی به محاسبه و ما از معادله از حوزه دارند بنابراین پس از آن برنج را در این راه با توجه به فرمول σ طرح سطح در دایره هواپیما O مناسب برای حرکت به قطبی مختصات در سیستم مختصات قطبی دایره معادله نمایش بنابراین در مختصات قطبی σ 9 بنابراین، 9 خواهد را به عنوان ما در منطقه تنها بالا "کلاه"، و سپس تمام سطح Σ Σ n یک مثال از پیدا کردن مرکز ثقل است در نظر گرفته یک صفحه ABC همگن اگر؛ - B؛ c؛ ؛ - راه حل برای محاسبه مختصات مرکز جاذبه ما از فرمول 6 استفاده خواهیم کرد، زیرا صفحه یکنواخت است، سپس تراکم سطح γ ثابت است، بنابراین فرمول ها یک نوع C را می گیرند؛ C.

21 از این رقم، می توان دید که صفحه دارای شکل یک تراپزیوم و متقارن با توجه به محور است. بنابراین ما معادله مستقیم BC را بنویسیم و با استفاده از فرمول که معادله را به طور مستقیم از طریق دو نقطه تعیین می کند: C قبل از میلاد مسیح :؛ A: برنج در حال حاضر به طور جداگانه محاسبه می شود و عددی از بخش مختصات تعریف شده: C 9 در مخفف، انتگرال منطقه ای از منطقه منطقه تله ABC است. ممکن است این یک انتگرال AB C را محاسبه کنید و به طور مستقیم C؛ C نمونه است 9 پیدا کردن توده نیمه بالای بیضی اگر تراکم در هر نقطه برابر با ترتیب چگالی محلول نقطه Ba در هر نقطه برابر با آن دسته از γ برابر با توجه به فرمول m γ برای نیمه بالای بیضوی شکل 6 ب. بنابراین یک شکل

22 متر a a b a b a a a a a a a a a b a a b a a a b a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a aq پیدا کردن شکل خطوط خطوط محدود: a؛ ب؛ در یک؛ g a؛ D پیدا کردن حجم بدن محدود به سطوح: a؛ ب؛ در یک؛ G پیدا کردن زمینه سطح مشخص شده: و بخش های هواپیما 6 زندانی در اولین هشتم؛ B بخشی از هواپیما برش با یک سیلندر A؛ در یک پارابولید داخل سیلندر؛ پارابولوئید برش توسط یک سیلندر پارابولیک و یک هواپیما برای پیدا کردن مرکز جاذبه Trapezoid ABC که در آن؛ ب؛ c؛ ؛ اگر تراکم در هر نقطه برابر با Abscissa از این نقطه است برای پیدا کردن مرکز جاذبه یک شکل همگن محدود Parabola و مستقیم 6 پیدا کردن توده یک صفحه دور از شعاع اگر تراکم سطح در هر نقطه متناسب با فاصله است از مرکز دایره پاسخ می دهد؛ ب؛ که در؛ g a؛ D 6 و 6؛ ب؛ در یک؛ g a A.

23 a؛ ب؛ که در؛ GCCCC 6 6 K محاسبه یکپارچه سازی سه گانه در مختصات های سه گانه در مختصات دکارتی برای محاسبه انتگرال سه گانه به صورت یکپارچگی سه بعدی: نمونه های راه حل از FBAFF تا سه بار و از بین بردن محدودیت های ادغام اگر منطقه محدود است: و هواپیما و هواپیما و هواپیما مختصات؛ B مخروط و هواپیما h؛ در توپ، راه حل و ما این منطقه را ساختیم و طرح ریزی این منطقه را در هواپیما انجام می دهیم. 7 راست AV خط تقاطع هواپیما با یک هواپیما به این ترتیب معادله آن است، بنابراین اواخر شکل 7 شکل شکل 7 شکل آسان است ببینید که با صرف یک محور موازی مستقیم O و عبور از مثلث OEAW Rho توجه داشته باشید که آن را در خط گنجانده شده است و در امتداد آن ها

24 برای پیدا کردن محدودیت های تغییر، محور مستقیم موازی O را انجام می دهد و منطقه تقاطع شکل 7 آن را وارد منطقه بر روی سطح می کند و به این ترتیب از سطح خارج می شود، منطقه را می توان از طریق سیستم نابرابری 6 بنابراین FF 6 B برای قرار دادن محدودیت ها در سه بعدی یکپارچه برای ساخت یک منطقه و طرح ریزی آن بر روی خط خط O شکل 9 خط معادله منطقه محدود با حل سیستم معادلات HH به دست می آید برنج 9 این دایره با شعاع H با مرکز در ابتدای مختصات با هدایت مستقیم O و O عبور و گرفتن آنچه که توسط سیستم نابرابری حقه توصیف شده است، بنابراین Hhhhffs

25 شما می توانید در یک انتگرال سه بار را انتخاب نمایید. روش ادغام دیگر پس از آن به طور طبیعی تغییر و محدودیت های یکپارچه سازی به عنوان مثال، تصور کنید که انتگرال اصلی در قالب CF به دور از محدودیت های یکپارچه سازی، ما O هواپیما طراحی و انجام مستقیم O موازی و O و متقاطع، به ترتیب و برنج در این مورد در نابرابری تعریف شده است. برنج HFF در ساختار منطقه و طرح ریزی آن در هواپیما O برنج از نقاشی نشان می دهد که

26 مثال F F F F مثال محاسبه اگر بدن محدود به هماهنگ کردن هواپیما با یک هواپیما و یک راه حل مخروطی است که ما بدن را ساختیم و طرح ریزی آن بر روی رایانه برنج از نقاشی از نقاشی قابل مشاهده است همانطور که توسط نابرابری ها مشخص شده است: شکل 6 6

27 وظایف برای تصمیم گیری های خود از F تا سه بار انتگرال بروید و اگر بدن محدود باشد، محدودیت های ادغام را از بین ببرید: یک بیضوی؛ 9 B paraboloid و هواپیما؛ در هواپیما مختصات و هواپیما 6، محاسبه اگر بدن محدود به هواپیما و حوزه برای محاسبه اگر بدن محدود به هواپیما برای محاسبه و پاسخ های مخروطی 9 اگر بدن محدود به هواپیما و f؛ B f؛ در F 6، جایگزینی متغیرها در یکپارچگی سه گانه مختصات استوانه ای و کروی فرمول برای انتقال به مختصات استوانه ای تصویر:؛ ؛ ؛ فرمول برای انتقال به مختصات کروی θ r ریکا: r θ؛ r θ؛ r θ؛ r rθ اینجا؛ θ؛ R 7

28 نمونه های راه حل نمونه محاسبه شکل برنج شکل اگر مخروطی محدود به مخروط و یک هواپیما باشد. بدن بر روی برنج تقاطع مخروط نشان داده شده است و هواپیما معادله را نشان می دهد. بنابراین، پیش بینی بدن در هواپیما O دایره برنج 6 شکل 6 به مختصات استوانه ای حرکت می کند: ؛ ؛ در این مختصات، معادله دایره ای که در شکل 6 نشان داده شده است معادله مخروطی و بدن در نابرابری ها تعریف شده است؛ ؛ بنابراین

مثال 2 29 V محاسبه اگر بدن محدود به راه حل های سطح برای ساخت یک منطقه است؛ هواپیما برای ساخت یک معادله تبدیل سطح: این معادله تعیین می کند سیلندر دایره ای در پایه ای که محدوده شعاع را با مرکز قرار می دهد ؛؛ بنابراین، منطقه ادغام یک برنج سیلندر 7 است، بنابراین مناسب است که از مختصات استوانه ای در این مختصات استفاده شود. معادله سطح استوانه ای محدود کردن ناحیه ادغام، فرم را که از آن است از جایی که می توان آن را توصیف کرد سیستم نابرابری؛ ؛ شکل 7 9

30 بنابراین یک مثال این است که محاسبه جایی که بدن نیمه بالای راه حل توپ است به عنوان منطقه ادغام بخشی از توپ به راحتی به مختصات کروی حرکت می کند: rrrrrrrrrrrrrrrrrr θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ سطوح محاسبه که در آن به سطوح محدود

31 محاسبه محاسبه اگر محدود به سطوح اگر توپ پاسخ به یکپارچه یکپارچه انتگرال سه گانه اعمال شده در هنگام محاسبه حجم بدن Ω:؛ وزن بدن 7 ω B اشغال یک منطقه ω با تراکم حجمی متغیر γ: m γ؛ ω در مختصات مرکز جاذبه بدن Ω: c γ m ω c γ 9 m ω c γ m Ω که در صورتی که بدن بدن یکنواخت باشد، در فرمول 9 می تواند γ باشد؛ مثال مثال m مثال، ظرفیت بدن را محدود می کند که توسط سیلندر و راه حل هواپیما محدود می شود، بدن و طرح ریزی آن در هواپیما o در برنج در شکل نشان داده شده است. برای پیدا کردن مختصات نقاط A و در حل سیستم معادلات:

32 ± a؛ ب؛ بنابراین، منطقه ω توسط سیستم نابرابری توصیف شده است؛ ؛ با توجه به فرمول 7 Ω، یک مثال از پیدا کردن توده بدن محدود شده توسط هواپیما اگر تراکم در هر نقطه γ ایجاد بدن ω و طرح ریزی آن در هواپیما شکل. 9 شکل 9 هواپیما با یک هواپیما به طور مستقیم متصل می شود تصمیم گیری در سیستم برای به دست آوردن مختصات نقطه a؛ بنابراین، بدن ω توسط سیستم نابرابری توصیف شده است؛ ؛ با توجه به فرمول بدن mΩ، نمونه ای از وزن بدن محدود شده توسط هواپیماها 9 و یک سیلندر پارابولیک محاسبه می شود، اگر تراکم در هر نقطه متناسب با Abscissa باشد و در فاصله فاصله از هواپیما برابر است

33 راه حل تراکم متناسب با Abscissa است؛ بنابراین، K γ در هر واحد فاصله از تراکم هواپیما برابر است؛ در نتیجه، در γ، سپس K K به این ترتیب γ بدن ω و طرح خود را در هواپیما برنج برنج برنج برای پیدا کردن مختصات نقطه ای که سیستم معادلات را تعیین می کند؛ 9 بنابراین، منطقه را می توان با سیستم از نابرابری Ω اهم مجموعه 9: با توجه به فرمول از جرم بدن به Ω M به عنوان مثال برابر پیدا کردن مختصات مرکز ثقل بدن از یک محدود حوزه نیمه پایین و یک Paraboloid اگر تراکم در هر نقطه متناسب با مربع فاصله از محور O باشد

34 تصمیم ساخت بدن بالای یک نقطه پارابولوئید؛ ؛ معادله در حال حاضر می تواند به گونه ای تبدیل شود که آن را به مرکز شعاع با مرکز در نقطه مشخص می کند؛ ؛ بنابراین بدن دارای دیدگاه ارائه شده در برنج توسط طرح ریزی این بدن در هواپیما O است، محدوده معادلات آن را می توان با حل سیستم معادلات در هواپیما به دست آورد معادله خط تقاطع معادله فرم از طرح ریزی بدن Ω به هواپیما است، همان برنج نوع Ω از دایره زمانی مناسب است که محاسبه به مختصات استوانه ای؛ ؛ در این مختصات، معادله مرز Ω مشاهده می شود؛ و ارضا زاویه وضعیت معادله قطع مخروطی در مختصات استوانه ای از که در آن معادله از حوزه: ± برای کمتر از نیمی از تراکم متغیر با توجه به شرایط از مشکل متناسب با مربع فاصله از محور ای γ k است در مختصات استوانه از k γ به عنوان بدن متقارن نسبت به محور ای است، سپس آن را روشن است که مرکز ثقل دروغ در این محور آن C؛ C برای محاسبه C، ما از فرمول 9: C γ M Ω محاسبه وزن بدن اول M [فرمول]:

35 6 K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K در فرمول K K C محاسبه شده است، بنابراین مرکز جاذبه بدن تحت نظر مختصات است؛ ؛ 7

36 وظایف برای خود حل 6 پیدا کردن حجم بدن محدود: و هواپیما؛ B paraboloid و هواپیما؛ در سطوح و 6، مقدار زیادی توده بدن را پیدا کنید: و حوزه ها اگر چگالی γ k؛ سطوح B اگر تراکم γ k؛ در یک مخروط و هواپیما B اگر تراکم متناسب با نظم نقطه باشد و در فاصله ای از فاصله از هواپیما برابر برابر با γ 6 پیدا کردن مختصات مرکز جاذبه یک بدن همگن محدود شده توسط هواپیما پاسخ 6 a؛ ب؛ در 6 9 K γB 6 a k؛ ب؛ در 6 6 C ؛؛ 6

37 گزینه های برنامه گزینه ای برای تکالیف فردی پیدا کردن مرکز سنگ گرانیت شکل خطی خطوط محدود پیدا کردن سطح سطح از زندانی سیلندر داخل سیلندر پیدا کردن حجم بدن محدود به سطوح پیدا کردن بدن بدن محدود به حوزه و قطع مخروطی اگر چگالی در هر نقطه به برنامه های از این گزینه نقطه برابر است برای پیدا کردن مرکز ثقل تخت رقم خط محدود و سینوسهای نیم موج پیدا کردن مساحت مخروط کوتاه با هواپیما برای پیدا کردن حجم بدن محدود به سطوح برای پیدا کردن وزن بدن محدود بخشی از کاسه شعاع در اکتان اول اگر تراکم در هر نقطه برابر فاصله از نقطه به سمت هواپیما O گزینه برای پیدا کردن مرکز سنگ گرانیت صاف خطوط محدود خطوط یافتن مساحت سطح مخروط در داخل سیلندر 9 پیدا کردن حجم بدن محدود شده توسط سطوح 9 9 برای پیدا کردن یک وزن بدن محدود شده توسط یک لایه کروی بین سطوح 9 و 6 اگر چگالی در هر نقطه نسبت عکس با متناسب است فاصله تا نقطه تا آغاز گزینه Countonates LA پیدا کردن مرکز گرانش صاف شکل خطوط محدود 6\u003e پیدا کردن سطح سطح واقع در داخل سیلندر 6 پیدا کردن حجم سطح بدن محدود 7

38 پیدا کردن یک توده بدن محدود شده توسط ارتفاع سیلندر مستقیم دایره ای دایره ای، اگر تراکم در هر نقطه برابر با مربع فاصله از نقطه به محور تقارن گزینه سیلندر برای پیدا کردن مرکز جاذبه از شکل مسطح با یک دایره محدود با مرکز در آغاز از هماهنگی با شعاع و دو پرتو واقع متقارن نسبت به محور ای و به شکل زاویه یافتن مساحت سطح مخروط واقع در داخل سیلندر پیدا کردن حجم بدن محدود به سطوح برای پیدا کردن یک توده بدن محدود شده توسط هماهنگ هواپیما و هواپیما 6 اگر چگالی در هر نقطه به بعد افقی از این نقطه های موجود 6 برابر است یافتن مرکز ثقل یک شکل مسطح محور O و بالای BA بیضی محدود یافتن سطح سیلندر ضبط شده با هواپیما پیدا کردن حجم بدن محدود سطوح 6 یافتن وزن بدن محدود به سطوح 6 اگر چگالی در هر نقطه به Applicate از این نقطه های موجود 7 برابر است یافتن مرکز شکل مسطح گرانش محدود Cardioid 7 سطح سطح را پیدا کنید و مخروط حک شده نشانه سیلندر برو به مختصات قطبی پیدا کردن حجم بدن محدود سطوح برای پیدا کردن یک وزن بدن محدود شده توسط سطوح\u003e اگر چگالی به منظور از نقطه از گزینه یافتن مرکز خطوط گرانش شکل مسطح محدود P برابر است

39 پیدا کردن مساحت سطح یک قطع مخروطی در داخل سیلندر پیدا کردن حجم بدن از سطوح محدود 6 پیدا کردن بسیاری از سطوح محدود بدن اگر چگالی در هر نقطه است گزینه 9 یافتن مرکز ثقل یک شکل مسطح محدود خطوط 9 9 \u003e پیدا کردن مساحت سطح بدن محدود به حوزه و قطع مخروطی پیدا کردن حجم بدن محدود به سطوح 6 9 خارج از سیلندر یافتن یک توده از بدن محدود شده توسط یک لایه کروی بین سطوح 6 اگر چگالی معکوس متناسب است فاصله نقطه از منشاء گزینه مختصات برای پیدا کردن مرکز جاذبه خط مسطح خط محدود و OA مستقیم عبور از طریق منشاء و نقطه A؛ پیدا کردن سطح سطح حوزه برش به سیلندر برای پیدا کردن حجم بدن محدود شده توسط سطوح؛ در داخل سیلندرها، یک توده بدن را با یک توپ با شعاع محدود کنید، اگر تراکم متناسب با مکعب فاصله از مرکز توپ باشد و در واحد فاصله برابر با γ باشد؛ گزینه پیدا کردن مرکز سنگ گرانیت صاف خطوط محدود خطوط 6 پیدا کردن سطح سطح سیلندر بین هواپیما برای پیدا کردن حجم بدن از سطوح محدود برای پیدا کردن جرم بدن از یک سطح استوانه ای محدود و هواپیما اگر تراکم برابر با نقطه تنظیم 9

40 گزینه پیدا کردن مرکز Gravity Flat Shape Limited Cardioid پیدا کردن سطح سطح توپ به پایان رسید در داخل سیلندر پیدا کردن حجم بدن محدود به سطوح برای پیدا کردن توده ای از بدن محدود به توپ هشت تن با هواپیما مختصات و هواپیما اگر چگالی در هر نقطه به تکه دوزی از این گزینه نقطه برابر است برای پیدا کردن مرکز ثقل شکل مسطح خط محدود شده پیدا کردن مساحت سطح زندانی قطع مخروطی بین سیلندر و هواپیما از CAB برای پیدا کردن یک وزن بدن محدود شده توسط پارابولوئید و یک هواپیما اگر تراکم برابر با مجموع مربعات مختصات گزینه گزینه باشد، مرکز جاذبه های خطی را پیدا کنید، سطح سطح سطح سیلندر بین هواپیما O و سطح را پیدا کنید پیدا کردن بدن محدود سطوح 6 اگر چگالی متناسب با مربع فاصله از نقطه به محور گزینه سیلندر است برای پیدا کردن مرکز ثقل شکل مسطح خطوط محدود α TG TG آلفا یافتن مساحت سطح محل مخروطی در داخل سیلندر حجم بدن سطوح محدود را پیدا کنید

41 پیدا کردن توده بدن محدود شده توسط سطوح\u003e اگر تراکم برابر با نقطه Ordinate 6 پیدا کردن مرکز جاذبه از خطوط ثابت خطوط محدود 6 پیدا کردن سطح سطح بالن 6 در داخل سیلندر پیدا کردن حجم بدن محدود به سطوح باب پیدا کردن بسیاری از سطوح محدود بدن اگر چگالی نقطه کاربرد صورت 7 برابر است یافتن مرکز ثقل مثلث مستطیل شکل equifiable با cathet اگر چگالی در هر نقطه متناسب با مربع فاصله از است رأس زاویه مستقیم برای پیدا کردن سطح سطح مخروطی که توسط نشانه سیلندر حک شده است، به مختصات قطبی بروید تا حجم سطوح پایین بدن را پیدا کنید 9 پیدا کردن توده ای از توپ شعاع اگر تراکم متناسب با فاصله کوبا باشد از مرکز توپ و در فاصله به گزینه γ برابر برای پیدا کردن مرکز ثقل شکل مسطح خط محدود شده یافتن مساحت سطح یک زندانی قطع مخروطی در اولین قطع مخروطی Octante به یک هواپیما 6 محدود پیدا کردن حجم از سطوح محدود بدن 6 پیدا کردن یک جرم چا STI از یک کاسه شعاع در اولین Octante اگر تراکم در هر نقطه برابر با فاصله از هواپیما O گزینه 9 پیدا کردن مرکز جاذبه یک شکل مسطح خطوط محدود پیدا کردن سطح سطح بدن کره محدود و paraboloid

42 پیدا کردن حجم سطوح محدود بدن برای پیدا کردن توده بدن محدود شده توسط ارتفاع شعاع سیلندر مستقیم دایره ای اگر تراکم برابر با فاصله مربع از مرکز پایه پایه گزینه سیلندر پیدا کردن مرکز سنگ گرانیت شکل ثابت خطوط محدود\u003e پیدا کردن سطح سطح 9 کات سیلندر یافتن بدن محدود سطوح یافتن توده شعاع بدن اگر چگالی متناسب با کوبا از فاصله از مرکز و در فاصله فاصله است به گزینه γ برابر برای پیدا کردن مرکز ثقل یک شکل مسطح محدود خطوط ± TG 6 پیدا کردن سطح سطح سیلندر داخل سیلندر پیدا کردن حجم بدن محدود به سطوح داخل سیلندر پیدا کردن وزن بدن محدود به بخش کل از دو توپ اگر تراکم متناسب با فاصله از دو توپ است امتیاز به گزینه هواپیما O گزینه پیدا کردن مرکز جاذبه شکل مسطح محدود Cardioid پیدا کردن سطح سطح از مخروط های برش مخروط پیدا کردن حجم سطح بدن محدود سطوح خارج از سیلندر 6 پیدا کردن بسیاری از قسمت های توپ از شعاع در صورتی که تراکم در هر نقطه برابر با فاصله ای برابر با فاصله تا هواپیما باشد

43 گزینه پیدا کردن مرکز سنگ گرانیت شکل مسطح خطوط محدود پیدا کردن سطح سطح Paraboloid 6 زندانی بین سیلندر و هواپیما پیدا کردن حجم بدن محدود به سطوح برای پیدا کردن وزن بدن محدود توسط یک لایه کروی بین سطوح 6 اگر چگالی معکوس با فاصله متناسب است که از آغاز این گزینه هماهنگ برای پیدا کردن مرکز ثقل شکل مسطح خط محدود شده 9 یافتن مساحت سطح واقع در داخل سیلندر پیدا کردن حجم بدن محدود به سطوح برای پیدا کردن یک توده بدن محدود توسط paraboloid و هواپیما اگر تراکم برابر با مجموع مربع گزینه نقاط مختصات برای پیدا کردن مرکز گرانش از شکل مسطح خطوط محدود، پیدا کردن سطح سطح مخروط داخل سیلندر پیدا کردن سطوح محدود بدن به پیدا کردن یک توده بدن محدود بخش مشترک دو توپ اگر چگالی متناسب با فاصله از نقطه ای به هواپیما است

44 مطالب محاسبه انتگرال دوگانه در مختصات دکارتی دو جدایی ناپذیر در مختصات قطبی کاربرد انتگرال دو محاسبه انتگرال سه گانه در مختصات دکارتی جایگزینی متغیرها در سه گانه جدایی ناپذیر استوانه ای و مختصات کروی 7 6 نرم افزار انتگرال سه گانه نرم افزار گزینه ها برای فرد مشق شب 7 نسخه آموزشی انتگرال چندگانه وظایف و روشمند اعمال دستورالعمل تهیه و تدوین Karpilova اولگا Mikhailovna ویرایشگر یو N L و T و N در مورد در و Pustavka یو N L و T و N O در یک امضا در فرمت چاپ 6X / 6 کاغذ چاپ افست از Sil در واقع 7 گردش گردش هنری 9 / سامارا دولت دانشگاه هوافضا 6 Samara Moscow Highway Publishing House of Samara State University of Aerospace Samara 6 Samara Moscow Highway

COS، گناه، J DD DD D D 5 محاسبه ZDD ZDDZ DDZ، که در آن طرف بیرونی Z سطح، که در این بازی با هواپیما Z R الکترونیکی N و E را کاهش دهد، که سطح قطع مخروطی صریح داده شده توسط معادله Z است به گونه ای

موسسه دولتی آموزش عالی حرفه ای "دانشگاه بلاروس-روسی" بخش "ریاضیات بالاتر" ریاضیات بالاتر. ریاضیات ریاضیات (سر ویژه). تجزیه و تحلیل ریاضی

دستورالعمل های متداول برای تخصیص های حل و فصل در نرخ ریاضیات بالاتر "معادلات دیفرانسیل عادی یک سری از چندین انتگرال" قسمت III موضوع چند انتگرال جدول محاسبه مقادیر دو برابر و سه گانه

وزارت حمل و نقل فدراسیون روسیه فدرال دولت فدرال بودجه آموزش و پرورش آموزش عالی آموزش عالی "دانشگاه ترانزیتی روسیه (MIIT)" بخش ITTSS "بالاتر و محاسباتی

وزارت آموزش و پرورش و علوم فدراسیون روسیه فدرال فدرال موسسه آموزشی بودجه آموزش عالی آموزش عالی حرفه ای "دانشگاه صنعتی سیبری"

درس عملی 9 محاسبه یکپارچه دو جدایی در مختصات قطبی از برنامه یکپارچه دوگانه، مورد خاص جایگزینی متغیرها را اغلب هنگام محاسبه یکپارچه دوگانه مورد استفاده قرار می دهد

نمونه های انتگرال دوگانه از حل مشکلات 1. برای کاهش دو جدایی F (X، Y) DY DY به دو روش تکرار می شود (با توجه به فرمول (1) و فرمول (2))، اگر G منطقه محدود شده توسط منحنی X \u003d 1 ، y \u003d x 2، y \u003d

بیان وزن بدن از طریق یکپارچگی سه گانه در مختصات استوانه ای از تعریف و فرمول برای حل مشکلات تعیین یک نوار استوانه ای استوانه ای بر روی برنج OSI O نام بدن G نامیده می شود

وزارت آموزش و پرورش جمهوری بلاروس دانشگاه بلاروس دانشگاه فنی فنی مهندسی ریاضیات مهندسی N.A. kondratieva o.g. Vishnevskaya n.k. راهنمای روش ریاضی Prikhach

این کتاب برای دانشجویان سران سال دوم یادگیری در نظر گرفته شده است. مزایای در یک فرم کوتاه و قابل دسترس، موضوعات مورد نظر هستند: انتگرال های متعدد، انتگرال های انحصاری، ردیف ها، نظریه احتمالی.

وزارت علوم و آموزش و پرورش فدراسیون روسیه دانشگاه ایالتی مسکو دانشگاه زمین شناسی و کارتوگرافی Av Aristarkhova، NG Babayev وظایف فردی در ریاضیات بالاتر چندگانه

وظایف بانک در موضوع "محاسبات انتگرال" * تغییر نظم ادغام + DD * پیدا کردن مساحت یک منطقه مسطح محدود شده توسط خطوط \u003d، \u003d، \u003d * محاسبه (d) + acctg d، جایی که) +، + 9 \u003d (منطقه D،

وزارت فرهنگ فدرال فدرال فدرال فدرال فدرال موسسه آموزش عالی بودجه آموزش عالی حرفه ای، دانشگاه سینمای کشور سنت پترزبورگ و

بخشی. نمونه های آزمایشی نمونه در ریاضیات A. ساده ترین وظایف برای سه امتیاز .. محاسبه انتگرال Arcsin D) II Semester ICIA، و 9 C. و) 6 n k) 5 6 5 g) 6 g) cos z) Z Arcsin Z. محاسبه مشتق شده

وزارت حمل و نقل فدراسیون روسیه فدرال فدرال فدرال موسسه آموزش و پرورش آموزش عالی آموزش عالی "دانشگاه علوم حمل و نقل روسیه (MIIT)" موسسه حمل و نقل

3 منطقه (D) در مورد ما، N طبیعی طبیعی به هواپیما Xoy، آن NK () \u003d φ، φ، سپس \u003d \u003d، و n () cos γ \u003d، + + (φ) (φ) (φ) (φ) dq \u003d + + + dd اگر سطح (q) درست در جهت درست باشد

tasknik در ریاضیات (دانشکده های تنیک، ترم) 7 انتگرال پیدا کردن انتگرال DD SIN + D + + D + D + D 7 (+) D + + 8 D 9 COS D COS + D COS D + 8 D 9 DD + D 9 + D + 7 TG D 8 COSD COS SIN 9 D

سخنرانی N 45 انتگرال چندگانه در مختصات قطبی، استوانه ای و کروی استفاده از چندین انتگرال دو جدایی دوگانه در مختصات قطبی یکپارچه سه گانه در استوانه ای و کروی

فصل انتگرال های چندگانه .. اشغال ... کاهش دو جدایی یکپارچه برای دوباره زمانی که محاسبه یکپارچگی دوگانه باید با دو مورد متمایز شود. () اولین مورد. منطقه ادغام محدود به سمت چپ است

جمع آوری ارتباطات کالج عالی از محاسبات معمول در رشته "ریاضیات بالاتر" قسمت دوم برای دانش آموزان تخصص T000 ارتباطات پستی Minsk 00 کامپایل شده توسط Ryabenkova LA Edition تایید شده در جلسه

سخنرانی مرتبه دوم هیپربولا به عنوان مثال، معادلات دایره مشخص، پارابولا، بیضی را پیدا می کند و دایره دایره به نام مجموعه ای از نقاط هواپیما است که از مشخص شده معادل است

سه گانه انتگرال volchenko yu.m. محتوا سخنرانی مفهوم یکپارچگی سه گانه است. شرایط وجود آن. قضیه متوسط محاسبه یکپارچه سه گانه در مختصات دکارتی و منحنی. سه گانه

سخنرانی N. محاسبه انتگرال های چندگانه .. فعال دو جدایی یکپارچه در مختصات دکارتی مستطیلی ..... محاسبه یکپارچه دو جدایی (منطقه دلخواه) ..... سه گانه سه گانه ..... محاسبه

مقدمه دستورالعمل های متداول شامل 26 گزینه برای تکالیف فردی در موضوعات "مستقیم در هواپیما و در فضا"، "هواپیما"، "منحنی ها و سطوح مرتبه دوم" است. تحت فرد

محتویات مقدمه چندگانه، منحنی و انتگرال های سطحی عناصر تئوری میدان کار برای کلاس های حسابرسی اطلاعات مختصر از تئوری راه حل های نمونه راه حل برای کار وظیفه

درس عملی 6 یکپارچه سازی سطح 6 تعریف خواص تعریف و استفاده از سطح انتگرال - نوع 6 تعریف از اموال و محاسبه نوع یکپارچه سطح یکپارچه از جنس 6 تعریف

B. M. Mavrin، E. I. Balaev تصویر از بدن از کارگاه چرخش Samara 2005 آژانس فدرال برای آموزش و پرورش دولت آموزش و پرورش موسسه آموزش عالی حرفه ای "Samara

انتگرال های دوگانه وظایف و تمرینات برای خود کار 1. ایجاد یک جدایه F (X، Y) DY DY به تکرار در دو روش، اگر: g a) مثلث با رأس (1، 1)، (4، 1) ، (4، چهار)؛ ب)

آژانس فدرال راه آهن دانشگاه ایالتی دانشگاه ارواح اداره ارتباطات راه آهن "ریاضیات بالاتر" و هندسه تحلیلی Pirogova در نمونه ها و وظایف Yekaterinburg

کلاس های 1-2. یک انتگرال خاص و پیوست I. I. با استفاده از فرمول نوتون LABNIC، محاسبه یک انتگرال خاص: 1. (2 + 2) 2. / 3. (4) 5. 7. 7. 8. 8. 7. 8. 7.324-7.352، 7.380- 7.385،

سخنرانی 7 انتگرال های بی نظیر در انتگرال های ناسازگار، انتگرال های خاصی هستند که حداقل یکی از شرایط برای وجود یکپارچه (خود) یکپارچه است :) یا

شغل 14 تشک انتگرال سه گانه تجزیه و تحلیل، چسب. تشک، ترم سوم تکرار A1 در یکپارچه زیر برای رفتن به مختصات قطبی و قرار دادن محدودیت های ادغام به ترتیب دیگر:

وزارت آموزش و پرورش فدراسیون روسیه دانشگاه ایاروسلاول. p.g. Demidov گروه تجزیه و تحلیل گسسته گسسته و مستقیم در فضای کار کامپایلر Yaroslavl از CAND.

Moscow Automobile Automobile Automobile and Madi) Options Experience Calculus یکپارچه Tasknik Moscow خودرو

اداره حمل و نقل فدرال راه آهن دانشگاه ارواح اداره ارتباطات راه آهن "ریاضیات بالاتر و کاربردی" P و کاربردی Gnilken از انتگرال های چندگانه و منحنی

وزارت آموزش و پرورش و علوم فدراسیون روسیه فدرال فدرال امور خارجه مستقل آموزش عالی آموزش عالی "نام دانشگاه هوافضا دولت Samara

پیوست 5 وزارت کشاورزی فدراسیون روسیه فدرال فدرال فدرال موسسه آموزش و پرورش بودجه آموزش عالی "دانشگاه کشاورزی دولتی ساراتوف

عناصر هندسه تحلیلی در هواپیما. خط مستقیم 1. محاسبه محیط مثلث، رأی هایی که به عنوان (6، 7)، B (3، 3)، C (1؛ 5) خدمت می کنند. 2. پیدا کردن یک نقطه به نقاط A (7؛

وزارت آموزش و پرورش و علم فدراسیون روسیه دانشگاه ایاروسلاول. P. G. Demidov وزارت جبر و منحنی منطق ریاضی از بخش دوم دستورالعمل های متداول

محتویات چندگانه انتگرال مفهوم انتگرال انتگرال انتگرال چندگانه. مناطق در هواپیما ................. مجتمع تکراری ................ 3.3 محاسبه یکپارچه دوگانه در مختصات دکارتی .. ... ..................

درس عملی 14 موضوع: Parabola Plan 1. تعریف و معادله Parabola Canonical .. خواص هندسی یک پارابولا. محل متقابل پارابولا و عبور مستقیم از طریق مرکز آن. نگهداری

1 ساده ترین وظایف هندسه تحلیلی در هواپیما 11 فاصله بین دو نقطه، یک سیستم مختصات مستطیلی (Cartesova، شکل 1 هر نقطه m را مطابق مختصات OA x مطابقت می دهد

وزارت حمل و نقل فدراسیون روسیه فدرال فدرال فدرال موسسه آموزش عالی حرفه ای آموزش عالی Ulyanovsk مدرسه حمل و نقل هوایی بالاتر از هواپیمایی مدنی (موسسه)

فصل 5. یکپارچه سه گانه. 5.1. تعریف یکپارچگی سه گانه پس از معرفی در فصل گذشته، مفهوم یکپارچگی دوگانه به طور طبیعی، تعمیم بیشتر خود را در فضای سه بعدی انجام می دهد

خطوط جبری در هواپیما .. خط سفارش اول (راست در هواپیما ... انواع اصلی معادلات خطوط مستقیم در هواپیما از بردار غیر صفر n عمود بر اساس مستقیم به طور معمول نامیده می شود طبیعی است

وزارت آموزش و علوم فدراسیون روسیه، دانشگاه ایالتی و گاز روسیه به نام Imgubkin TS Philippov Antfilippov دستورالعمل های متداول برای مطالعه موضوع "چند و منحنی

دانشگاه پزشكی دولت Penza به نام توابع Vgbelinsky Felnikina از چندین متغیره محاسبه یکپارچه محاسبات آموزشی Penza توسط تصمیم انتشارات سرمقاله چاپ می شود

عناصر تم هندسه تحلیلی در هواپیما و در سخنرانی فضایی .. راست در هواپیما P L و N. روش مختصات در هواپیما .. مستقیم در مختصات دکارتی .. شرایط همبستگی و عمود بر

ÃòÓ ì Ã ì Ã Ã ì Ã Ã ì ÃòÓ Moscow دانشگاه فنی دولتی به نام N.ee. دانشکده Bauman از "علوم بنیادی" بخش "مدل سازی ریاضی" à.í. صفحه، à.Ï. اشغال

فصل 5 مقدماتی سطحی - نوع (ادامه) 5 وظایف در وظیفه کلاس 5 (4349) محاسبه انتگرال که در آن بخشی از سطح مخروط ZD، x \u003d ρ cos φ sin α، y \u003d ρ sin φ sin α، z \u003d ρ cos α ((ρ h

آژانس فدرال برای آموزش و پرورش دولت اورال دانشگاه علوم پزشکی بخش مقاومت مواد و مکانیک نظری V. A. Kaletiev V. M. Kalinin L. T. Raevskaya N. I. Chashchen

عناصر شغلی هندسه تحلیلی در فضای سه بعدی، یک معادله بردار از هواپیما را بنویسید و معنای ارزش های موجود در این معادله را برای نوشتن معادله کلی هواپیما توضیح دهید

3 مثال مثال های ضبط شده برای لحظات استاتیک دامنه مواد مسطح (D) بر اساس فرمول ها (3)، با توجه به شکل (φ)، ما داریم: ρ، dd، ρ، DD بر اساس معنای مکانیکی لحظه ای استاتیک ،

وظیفه 1 پیدا کردن مختصات مرکز جاذبه نیمه دایره Y \u003d R 2 X 2. وظیفه 5 مساحت سطح Z \u003d 1 4 XY، واقع در داخل سطح X 2 + Y 2 \u003d 16. Task 2 تغییر دهید دستور ادغام

وزارت آموزش و پرورش و علم اوکراین آکادمی متالورژی ملی اوکراین دستورالعمل های روشنی برای حل مشکلات در رشته بالاترین ریاضیات و گزینه های برای آزمایشات عملی

کلاس های عملی در بالاترین دوره ریاضیات (III ترم) بر اساس کتابچه راهنمای آموزشی "مجموعه ای از وظایف فردی در ریاضیات بالاتر"، جلد 3، اد. Ryabushko A.P. برای دانش آموزان فرم روز

دانشگاه فنی دولتی مسکو به نام n.e. دانشکده Bauman از "علوم بنیادی" بخش "محاسبات ریاضیات و فیزیک ریاضی" a.i. Levin چندین انتگرال الکترونیکی

محاسبه انتگرال از عملکرد چند متغیرهای انتگرال دو طرفه سه گانه در طول قوس (اولین نوع) در طول سطح سطح (نوع اول) اجازه دهید تابع f () تعریف شده است

1.3. درس 3 1.3.1. محاسبه انتگرال های سه گانه در مختصات دکارتی اجازه دهید منطقه فضایی، D طرح خود را بر روی هواپیما اکسی. این منطقه نامیده می شود، اگر هر خط مستقیم عمودی باشد

وزارت آموزش و پرورش جمهوری بلاروس دانشگاه بلاروس دانشکده فنی دانشگاه علوم فنی مهندسی ریاضیات بالاتر برای حل مسائل برای دانش آموزان مکانیک و تکنولوژیکی

درس عملی 1 موضوع: طرح هیپربول طرح 1 تعریف و معادله کانونی Hyperboles خواص هندسی Hyperboles ترتیب متقابل از hyperboles و عبور مستقیم از طریق مرکز Asymptotes خود را