پس از آماده سازی هنر اولیه، نمونه ها کمتر وحشتناک خواهند بود، با پیوست های 3-4-5 توابع. شاید دو نمونه بعدی به نظر می رسد برخی از پیچیده، اما اگر آنها آنها را درک (کسی و پوست)،، تقریبا هر چیز دیگری در محاسبات دیفرانسیل به نظر می رسد شوخی کودکان است.

مثال 2

یک تابع مشتق شده را پیدا کنید

همانطور که اشاره شد، هنگام پیدا کردن یک تابع پیچیده مشتق شده، اول از همه، لازم است درستدرک سرمایه گذاری در مواردی که شک و تردید وجود دارد، من یک پذیرش مفید را یادآوری می کنم: به عنوان مثال، معنای تجربی "X" را به عنوان مثال، و سعی می کنیم (ذهنی یا بر روی پیش نویس) را امتحان کنیم تا این مقدار را در "بیان وحشتناک" جایگزین کنیم.

1) اول، ما باید بیان را محاسبه کنیم، به این معنی است که مقدار عمیق ترین سرمایه گذاری است.

2) سپس لازم است که لگاریتم محاسبه شود:

4) سپس Cosine برای ساخت یک مکعب:

5) در مرحله پنجم، تفاوت:

6) و در نهایت، بیشترین عملکرد خارجی یک ریشه مربع است:

تابع تمایز فرمول تمایز این در جهت معکوس، از عملکرد خارجی خود، به درونی، اعمال خواهد شد. ما تصمیم گرفتیم:

به نظر می رسد بدون خطاها:

1) مشتق شده از ریشه مربع.

2) مشتق از تفاوت را با استفاده از قانون انجام دهید

3) مشتق TROIKA صفر است. در دوره دوم، ما مشتق شده در درجه (کوبا).

4) ما مشتق کوزین را می گیریم.

6) و در نهایت مشتق از عمیق ترین سرمایه گذاری را انجام دهید.

ممکن است خیلی سخت به نظر برسد، اما این مثال بی رحمانه نیست. به عنوان مثال، مجموعه Kuznetsov را انتخاب کنید و از زیبایی و سادگی مشتقات جدا شده قدردانی خواهید کرد. من متوجه شدم که من دوست دارم یک چیز مشابهی را برای امتحان دادن به امتحان بپردازم، دانش آموز را درک می کند که چگونه یک مشتق از یک تابع پیچیده پیدا کند یا درک نمی کند.

مثال زیر برای یک راه حل مستقل است.

مثال 3

یک تابع مشتق شده را پیدا کنید

نکته: ابتدا قوانین خطی را اعمال کنید و یک مشتق کار را انجام دهید

راه حل کامل و پاسخ در پایان درس.

وقت آن است که به هر چیزی که جمع و جور تر و زیبا تر حرکت می کند.
وضعیت زمانی نادر نیست زمانی که مثال محصول نه دو، اما سه توابع است. چگونه یک مشتق از کار سه ضریب را پیدا کنیم؟

مثال 4

یک تابع مشتق شده را پیدا کنید

اول، نگاه کنید، و آیا کار سه توابع را به کار دو توابع تبدیل نمی کند؟ به عنوان مثال، اگر ما دو چند جمله ای در کار داشته باشیم، ممکن است براکت ها را نشان دهیم. اما در این مثال، تمام توابع متفاوت هستند: درجه، غرفه دار و لگاریتم.

در چنین مواردی لازم است توالیدرخواست تولید تمایز قاعده دو برابر

تمرکز این است که برای "Y" ما محصول دو توابع را نشان می دهیم :،، برای "ve" - \u200b\u200bلگاریتم :. چرا این کار می تواند انجام شود؟ و نه - این کار دو ضرر نیست و قانون کار نمی کند؟! هیچ چیز پیچیده ای وجود ندارد:

اکنون زمان دوم برای اعمال قانون باقی مانده است به براکت:

شما هنوز هم می توانید بازی کنید و چیزی را پشت سر گذاشت، اما در این مورد پاسخ بهتر است که در این فرم ترک کنید - آن را آسان تر بررسی کنید.

مثال مورد نظر را می توان در راه دوم حل کرد:

هر دو راه حل کاملا برابر هستند.

مثال 5

یک تابع مشتق شده را پیدا کنید

این یک مثال برای یک راه حل مستقل است، در نمونه ای که در راه اول حل شده است.

مثالهای مشابه را با کسرها در نظر بگیرید.

مثال 6

یک تابع مشتق شده را پیدا کنید

در اینجا شما می توانید چند راه را انجام دهید:

یا به همین ترتیب:

اما اگر اولین بار از یک قانون تمایز خصوصی استفاده شود، این راه حل خواهد شد ، پذیرش برای کل عددی:

در اصل، یک مثال حل شده است، و اگر شما آن را در این فرم ترک کنید، خطا نخواهد بود. اما در حضور زمان، همیشه توصیه می شود که پیش نویس را بررسی کنید، آیا این امکان را می دهد که پاسخ را ساده کنید؟

ما بیانگر عددی را به معکوس عمومی ارائه می دهیم و از سه داستان خلاص می شود:

منفی از ساده سازی های اضافی این است که خطر وجود دارد که یک خطا دیگر زمانی که مشتق شده در حال تاسیس است، وجود دارد، اما زمانی که تحولات مدرسه بنیادی است. از سوی دیگر، معلمان اغلب این کار را به یاد می آورند و از مشتقات "به ذهن" می دهند.

مثال ساده برای راه حل های خود:

مثال 7

یک تابع مشتق شده را پیدا کنید

ما همچنان به یادگیری پذیرش مشتقات ادامه می دهیم، و در حال حاضر ما یک مورد معمول را در نظر می گیریم که لگاریتم "ترسناک" برای تمایز پیشنهاد شده است

مشتقات پیچیده مشتق لگاریتمی
مشتق از تابع نشانگر گام به گام

ما همچنان به افزایش تکنیک تمایز خود ادامه می دهیم. در این درس، ما مواد تکمیل شده را تحکیم می کنیم، مشتقات پیچیده تر را در نظر می گیریم و همچنین با تکنیک های جدید و ترفندهای جدیدی از یافتن مشتقات، به ویژه با یک مشتق لگاریتمی آشنا می شود.

خوانندگان که دارای سطح پایین آمادگی هستند، باید با این مقاله تماس بگیرند چگونه یک مشتق را پیدا کنیم؟ نمونه هایی از راه حل هاکه مهارت های خود را تقریبا از ابتدا افزایش می دهد. بعد شما باید به دقت صفحه را یاد بگیرید تابع پیچیده مشتق شده، درک و شکستن همه چيز نمونه هایی که من داده شده است. این درس منطقی سوم در یک ردیف، و پس از توسعه آن شما با اطمینان کاملا پیچیده عملکردهای پیچیده است. لازم است که به موقعیت پایبند باشیم "جایی که دیگر؟ بله، و به اندازه کافی! "، از آنجا که تمام نمونه ها و پذیرش این تصمیم از کار کنترل واقعی گرفته شده و اغلب در عمل وجود دارد.

بیایید با تکرار شروع کنیم. در درس تابع پیچیده مشتق شدهما تعدادی از نمونه ها را با نظرات دقیق بررسی کردیم. در طی مطالعه محاسبات دیفرانسیل و سایر بخش های تجزیه و تحلیل ریاضی، لازم است که اغلب متفاوت باشد، و همیشه راحت نیست (و همیشه لازم نیست) برای اندازه گیری نمونه های بسیار دقیق. بنابراین، ما در پایه ی خوراکی مشتقات تمرین می کنیم. مناسب ترین "نامزدها" برای این، مشتقات ساده ترین توابع پیچیده است، به عنوان مثال:

با توجه به حکومت تمایز یک تابع پیچیده :

هنگام مطالعه موضوعات دیگر ماتان در آینده، چنین ورودی دقیق اغلب مورد نیاز نیست، فرض بر این است که دانش آموز می تواند مشتقات مشابه را در دستگاه Autopilot پیدا کند. تصور کنید که در ساعت 3 شب یک تماس تلفنی وجود داشت و یک صدای خوب پرسید: "مشتق مماس دو X چیست؟" پاسخ تقریبا لحظه ای و مودبانه باید دنبال شود. .

مثال اول بلافاصله برای یک راه حل مستقل طراحی شده است.

مثال 1

به عنوان مثال، مشتقات زیر را به صورت خوراکی پیدا کنید، به عنوان مثال: برای انجام وظیفه ای که فقط باید استفاده کنید جدول مشتقات توابع ابتدایی (اگر او هنوز به یاد نمی آورد). اگر دشوار است، توصیه می کنم درس را رد کنید تابع پیچیده مشتق شده.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

پاسخ در پایان درس

مشتقات پیچیده

پس از آماده سازی هنر اولیه، نمونه ها کمتر وحشتناک خواهند بود، با پیوست های 3-4-5 توابع. شاید دو نمونه بعدی به نظر می رسد برخی از پیچیده، اما اگر آنها آنها را درک (کسی و پوست)،، تقریبا هر چیز دیگری در محاسبات دیفرانسیل به نظر می رسد شوخی کودکان است.

مثال 2

یک تابع مشتق شده را پیدا کنید

همانطور که اشاره شد، هنگام پیدا کردن یک تابع پیچیده مشتق شده، اول از همه، لازم است درستدرک سرمایه گذاری در مواردی که شک و تردید وجود دارد، من یک پذیرش مفید را یادآوری می کنم: به عنوان مثال، معنای تجربی "X" را به عنوان مثال، و سعی می کنیم (ذهنی یا بر روی پیش نویس) را امتحان کنیم تا این مقدار را در "بیان وحشتناک" جایگزین کنیم.

1) اول، ما باید بیان را محاسبه کنیم، به این معنی است که مقدار عمیق ترین سرمایه گذاری است.

2) سپس لازم است که لگاریتم محاسبه شود:

4) سپس Cosine برای ساخت یک مکعب:

5) در مرحله پنجم، تفاوت:

6) و در نهایت، بیشترین عملکرد خارجی یک ریشه مربع است:

تابع تمایز فرمول تمایز این در جهت معکوس، از عملکرد خارجی خود، به درونی، اعمال خواهد شد. ما تصمیم گرفتیم:

به نظر می رسد هیچ خطا ....

(1) مشتق شده از یک ریشه مربع.

(2) مشتق از تفاوت را با استفاده از قانون انجام دهید

(3) مشتق TROIKA صفر است. در دوره دوم، ما مشتق شده در درجه (کوبا).

(4) مشتق کوزین را بیابید.

(5) مشتقات لگاریتم را انجام دهید.

(6) و در نهایت، ما مشتق از عمیق ترین سرمایه گذاری را می گیریم.

ممکن است خیلی سخت به نظر برسد، اما این مثال بی رحمانه نیست. به عنوان مثال، مجموعه Kuznetsov را انتخاب کنید و از زیبایی و سادگی مشتقات جدا شده قدردانی خواهید کرد. من متوجه شدم که من دوست دارم یک چیز مشابهی را برای امتحان دادن به امتحان بپردازم، دانش آموز را درک می کند که چگونه یک مشتق از یک تابع پیچیده پیدا کند یا درک نمی کند.

مثال زیر برای یک راه حل مستقل است.

مثال 3

یک تابع مشتق شده را پیدا کنید

نکته: ابتدا قوانین خطی را اعمال کنید و یک مشتق کار را انجام دهید

راه حل کامل و پاسخ در پایان درس.

وقت آن است که به هر چیزی که جمع و جور تر و زیبا تر حرکت می کند.
وضعیت زمانی نادر نیست زمانی که مثال محصول نه دو، اما سه توابع است. چگونه یک مشتق از کار سه ضریب را پیدا کنیم؟

مثال 4

یک تابع مشتق شده را پیدا کنید

اول، نگاه کنید، و آیا کار سه توابع را به کار دو توابع تبدیل نمی کند؟ به عنوان مثال، اگر ما دو چند جمله ای در کار داشته باشیم، ممکن است براکت ها را نشان دهیم. اما در این مثال، تمام توابع متفاوت هستند: درجه، غرفه دار و لگاریتم.

در چنین مواردی لازم است توالیدرخواست تولید تمایز قاعده دو برابر

تمرکز این است که برای "Y" ما محصول دو توابع را نشان می دهیم :،، برای "ve" - \u200b\u200bلگاریتم :. چرا این کار می تواند انجام شود؟ و نه - این کار دو ضرر نیست و قانون کار نمی کند؟! هیچ چیز پیچیده ای وجود ندارد:

اکنون زمان دوم برای اعمال قانون باقی مانده است به براکت:

شما هنوز هم می توانید بازی کنید و چیزی را پشت سر گذاشت، اما در این مورد پاسخ بهتر است که در این فرم ترک کنید - آن را آسان تر بررسی کنید.

مثال مورد نظر را می توان در راه دوم حل کرد:

هر دو راه حل کاملا برابر هستند.

مثال 5

یک تابع مشتق شده را پیدا کنید

این یک مثال برای یک راه حل مستقل است، در نمونه ای که در راه اول حل شده است.

مثالهای مشابه را با کسرها در نظر بگیرید.

مثال 6

یک تابع مشتق شده را پیدا کنید

در اینجا شما می توانید چند راه را انجام دهید:

یا به همین ترتیب:

اما اگر اولین بار از یک قانون تمایز خصوصی استفاده شود، این راه حل خواهد شد ، پذیرش برای کل عددی:

در اصل، یک مثال حل شده است، و اگر شما آن را در این فرم ترک کنید، خطا نخواهد بود. اما در حضور زمان، همیشه توصیه می شود که پیش نویس را بررسی کنید، آیا این امکان را می دهد که پاسخ را ساده کنید؟ ما بیانگر عددی را به ژنراتور عمومی و خلاص شدن از شر قطعات سه طبقه:

منفی از ساده سازی های اضافی این است که خطر وجود دارد که یک خطا دیگر زمانی که مشتق شده در حال تاسیس است، وجود دارد، اما زمانی که تحولات مدرسه بنیادی است. از سوی دیگر، معلمان اغلب این کار را به یاد می آورند و از مشتقات "به ذهن" می دهند.

مثال ساده برای راه حل های خود:

مثال 7

یک تابع مشتق شده را پیدا کنید

ما همچنان به یادگیری پذیرش مشتقات ادامه می دهیم، و در حال حاضر ما یک مورد معمول را در نظر می گیریم که لگاریتم "ترسناک" برای تمایز پیشنهاد شده است

مثال 8

یک تابع مشتق شده را پیدا کنید

در اینجا شما می توانید با استفاده از قانون تمایز یک تابع پیچیده طول بکشید:

اما اولین گام بلافاصله به یک نافرمانی تبدیل می شود - برای انجام یک مشتق ناخوشایند از درجه کسری، و سپس از کسری نیز.

از این رو قبل از چگونه می توان مشتق از لگاریتم "روی حیله و تزویر"، آن را با استفاده از خواص مدرسه معروف ساده ساده شده است:

! اگر دست شما یک نوت بوک با عمل داشته باشد، این فرمول ها را دوباره بازنویسی کنید. اگر نوت بوک وجود نداشته باشد، آنها را بر روی جزوه قرار دهید، زیرا نمونه های باقی مانده از درس در اطراف این فرمول ها چرخانده می شوند.

تصمیم خود را می توان چیزی شبیه به این صادر کرد:

ما تابع را تبدیل می کنیم:

یک مشتق را پیدا کنید:

تحول اولیه عملکرد خود را به طور قابل توجهی ساده راه حل را ساده کرده است. بنابراین، هنگامی که یک لگاریتم مشابه برای تمایز پیشنهاد شده است، همیشه توصیه می شود که "نابود" شود.

و در حال حاضر یک جفت نمونه ساده برای یک راه حل مستقل:

مثال 9

یک تابع مشتق شده را پیدا کنید

مثال 10

یک تابع مشتق شده را پیدا کنید

تمام تحولات و پاسخ ها در پایان درس.

مشتق لگاریتمی

اگر مشتق از لگاریتم ها، چنین موسیقی شیرین باشد، سپس این سوال مطرح می شود و این که آیا در بعضی موارد لگاریتم را سازماندهی می کند، غیرممکن است؟ می توان! و حتی نیاز دارد

مثال 11

یک تابع مشتق شده را پیدا کنید

نمونه های مرتبط ما اخیرا در نظر گرفته شده است. چه باید بکنید؟ ممکن است به طور مداوم قانون تمایز نسبت را اعمال کنید، و سپس قاعده مشتق محصول. ضرر این روش این است که یک عکس بزرگ سه طبقه، که من نمی خواهم به طور کامل برخورد کنم.

اما در تئوری و عمل، چنین چیزی شگفت انگیز به عنوان یک مشتق لگاریتمی وجود دارد. لگاریتم ها می توانند به صورت مصنوعی سازماندهی شوند، "حرکت کردن" آنها را در هر دو بخش:

توجه داشته باشید : زیرا این تابع می تواند مقادیر منفی را داشته باشد، به طور کلی، شما باید از ماژول ها استفاده کنید: که به عنوان یک نتیجه از تمایز ناپدید می شود. با این حال، دکوراسیون فعلی مجاز است، جایی که به طور پیش فرض به حساب می آید. مجتمع ارزش های. اما اگر با تمام سختی ها، پس از آن و در مورد دیگری، باید رزرو کنید.

حالا شما باید لگاریتم سمت راست را از بین ببرید (فرمول قبل از چشمان شما؟). من این فرآیند را بسیار دقیق می بندم:

در واقع به تمایز ادامه می دهد.
ما هر دو قسمت زیر بارکد را نتیجه می گیریم:

مشتق از سمت راست دست بسیار ساده است، من در مورد آن نظر نخواهم داد، زیرا اگر شما این متن را بخوانید، باید مدیریت کنید.

چگونه با سمت چپ باشیم؟

در قسمت چپ ما تابع پیچیده. من این سوال را پیش بینی می کنم: "چرا، یکی از Bukova" Igark "تحت لگاریتم وجود دارد؟"

واقعیت این است که این "یک بوچ از بازی" - به خودی خود یک تابع است (اگر نه خیلی روشن نیست، به مقاله ای که از تابع مشخص شده به صورت ضمنی مشخص شده است مراجعه کنید. بنابراین، لگاریتم یک تابع خارجی است و "Igrek" یک تابع داخلی است. و ما از قانون تمایز یک تابع پیچیده استفاده می کنیم :

در سمت چپ، به عنوان یک جادوگر جادویی، مشتق "درو" "نقاشی" بود. علاوه بر این، با توجه به حاکمیت نسبت، ما "IGAREK" را از جانب طرف چپ به سمت راست سمت راست پرتاب می کنیم:

و در حال حاضر من به یاد داشته باشید که چنین "IGREK" -F عملکرد ما با تمایز استدلال کرد؟ ما به شرایط نگاه می کنیم:

جواب نهایی:

مثال 12

یک تابع مشتق شده را پیدا کنید

این یک مثال برای یک راه حل مستقل است. طراحی نمونه نمونه ای از این نوع در پایان درس.

با کمک یک مشتق لگاریتمی، هر یک از نمونه های شماره 4-7 می تواند حل شود، چیز دیگری این است که آسان تر است، و شاید استفاده از یک مشتق لگاریتمی بیش از حد تبرئه نیست.

مشتق از تابع نشانگر گام به گام

ما هنوز این عملکرد را در نظر نگرفته ایم. تابع نشانگر گام به گام یک تابع است و درجه و پایه بستگی به "X". یک مثال کلاسیک که در هر کتاب درسی یا در هر سخنرانی ارائه می شود:

چگونه یک مشتق از یک تابع نشانگر گام به گام پیدا کنیم؟

لازم است که فقط توسط پذیرش مورد استفاده قرار گیرد - مشتق لگاریتمی. قرار دادن لگاریتم در هر دو بخش:

به عنوان یک قاعده، در قسمت راست لگاریتم درجه:

در نتیجه، در سمت راست، ما محصول دو توابع را داشتیم، که توسط فرمول استاندارد متفاوت خواهد بود .

ما یک مشتق را پیدا می کنیم، زیرا ما هر دو بخش را برای لمس می کنیم:

مراحل بعدی آسان است:

سرانجام:

اگر برخی از تحول ها کاملا روشن نیست، لطفا توضیحات مثال مثال شماره 11 را بخوانید.

در وظایف عملی، عملکرد نشانگر گام به گام همیشه دشوارتر از مثال سخنرانی در نظر گرفته شده است.

مثال 13

یک تابع مشتق شده را پیدا کنید

از مشتقات لگاریتمی استفاده کنید.

در بخش راست، ما ثابت و کار دو عامل - "Iksa" و "لگاریتم لگاریتم" (برای یک لگاریتم یک لگاریتم دیگر) وجود دارد. هنگامی که تمایز ثابت، همانطور که ما به یاد می آوریم، بهتر است که بلافاصله علامت مشتق شده را بیرون بیاورید تا با پاها تداخل ندهد؛ و البته، ما یک قانون آشنا را اعمال می کنیم :

در این درس، ما یاد خواهیم گرفت که پیدا کنیم تابع پیچیده مشتق شده. درس ادامه منطقی کلاسها است چگونه یک مشتق را پیدا کنیم؟جایی که ما ساده ترین مشتقات را از هم جدا می کنیم، و همچنین با قوانین تمایز و برخی از تکنیک های فنی پیدا کردن مشتقات آشنا شد. بنابراین، اگر شما با مشتقات توابع بسیار روشن نیستید، کاملا روشن نخواهید شد، سپس ابتدا درس فوق را بخوانید. لطفا به یک راه جدی تنظیم کنید - مواد ساده نیست، اما من هنوز سعی می کنم آن را به سادگی و در دسترس قرار دهم.

در عمل، مشتق از یک تابع پیچیده باید بسیار مواجه شود، من حتی می توانم بگویم، تقریبا همیشه زمانی که شما وظایف برای پیدا کردن مشتقات.

ما به جدول یک قاعده (شماره 5) تمایز یک تابع پیچیده نگاه می کنیم:

متوجه هستیم. اول از همه، توجه به رکورد. در اینجا ما دو توابع داریم - و علاوه بر این، عملکرد، به صورت تصویری، در عملکرد سرمایه گذاری می شود. تابع این نوع (زمانی که یک تابع در یک دیگر تعبیه شده است) و یک تابع پیچیده نامیده می شود.

من تابع را فراخوانی خواهم کرد تابع خارجیو عملکرد - عملکرد داخلی (یا توزیع شده).

! این تعاریف نظری نیستند و نباید در طراحی پیستون وظایف ظاهر شوند. من از عبارات غیر رسمی "تابع خارجی" استفاده می کنم، عملکرد "داخلی" را فقط برای اینکه شما را به درک مواد آسان تر کند، استفاده می کنم.

به منظور روشن شدن وضعیت، در نظر بگیرید:

مثال 1

یک تابع مشتق شده را پیدا کنید

تحت سینوس، ما فقط نامه "X" نیستیم، بلکه یک بیان عدد صحیح نیست، بنابراین ممکن نیست که بلافاصله بر روی میز پیدا شود. ما همچنین متوجه شدیم که در اینجا غیرممکن است که چهار قانون اول را اعمال کنیم، به نظر می رسد تفاوت وجود دارد، اما واقعیت این است که سینوس "به قطعات جدا شده" نیست:

در این مثال، از توضیحات من، بصری است که عملکرد یک تابع پیچیده است و چندجملهای یک تابع داخلی (پیوست) است و یک تابع خارجی است.

گام اولبرای انجام یافتن یک تابع پیچیده مشتق شده، انجام می شود کشف کنید چه تابع داخلی است و خارجی است.

در مورد نمونه های ساده، به نظر می رسد به نظر می رسد که چند جملهای تحت سینتی سرمایه گذاری می شود. اما اگر همه چیز واضح نیست؟ چگونگی تعیین دقیقا چه کارکردی خارجی است و درونی چیست؟ برای انجام این کار، من پیشنهاد می کنم از پذیرش بعدی استفاده کنم، که می تواند به صورت ذهنی یا پیش نویس انجام شود.

تصور کنید که ما باید مقدار مقدار بیان را در ماشین حساب محاسبه کنیم (به جای یک واحد ممکن است هر عدد وجود داشته باشد).

ما برای اولین بار محاسبه می کنیم؟ اول از همه شما باید موارد زیر را انجام دهید:، بنابراین، چندجمله ای و عملکرد داخلی خواهد بود:

دوم برای پیدا کردن ضروری است، بنابراین سینوس - این یک تابع خارجی خواهد بود:

بعد از ما فهمیدم با توابع داخلی و خارجی، وقت آن است که قانون تمایز یک تابع پیچیده را اعمال کنیم.

ما شروع به حل می کنیم. از درس چگونه یک مشتق را پیدا کنیم؟ ما به یاد می آوریم که دکوراسیون راه حل هر مشتق همیشه همیشه شروع می شود - ما بیان می کنیم در براکت ها و قرار دادن در سمت راست در بالای بارکد:

اولین ما مشتق عملکرد خارجی (سینوس) را پیدا می کنیم، ما به جدول توابع ابتدایی مشتق شده نگاه می کنیم و متوجه می شویم. تمام فرمول های جدولی قابل استفاده هستند و در صورتی که "X" با یک عبارت پیچیده جایگزین شود، در این مورد:

توجه داشته باشید که عملکرد داخلی تغییر نکرد، ما او را لمس نمی کنیم.

خوب، کاملا واضح است

نتیجه استفاده از فرمول در طراحی پیستون به نظر می رسد:

چند ضلعی دائمی معمولا عبارات را تحمل می کند:

اگر هر گونه سوء تفاهم باقی بماند، تصمیم را بر روی کاغذ بازنویسی کنید و دوباره توضیحات را بخوانید.

مثال 2

یک تابع مشتق شده را پیدا کنید

مثال 3

یک تابع مشتق شده را پیدا کنید

همانطور که همیشه، نوشتن:

ما درک می کنیم که در آن ما یک تابع خارجی داریم و کجا درونی است. برای انجام این کار، سعی کنید (ذهنی یا بر روی پیش نویس) برای محاسبه مقدار بیان در. چه چیزی باید برای اولین بار انجام شود؟ اول از همه، لازم است که آنچه را که با پایه برابر است، مورد توجه قرار گیرد: به این معنی که چندجملهای عملکرد داخلی است:

و تنها پس از آن ورزش به اندازه ای انجام می شود، بنابراین عملکرد قدرت یک تابع خارجی است:

با توجه به فرمول، ابتدا باید یک مشتق از عملکرد خارجی را پیدا کنید، در این مورد، در این مورد. ما فرمول لازم را در جدول می خواستیم :. ما دوباره تکرار میکنیم: هر فرمول جدولی نه تنها برای "x" معتبر است، بلکه برای بیان پیچیده نیز معتبر است. بنابراین، نتیجه استفاده از تمایز بر روی یک تابع پیچیده به شرح زیر است:

من تاکید می کنم که وقتی مشتق از یک تابع خارجی را انجام می دهیم، عملکرد داخلی با ما تغییر نمی کند:

در حال حاضر آن را باقی می ماند برای پیدا کردن یک مشتق کامل ساده از عملکرد داخلی و کمی "combing" نتیجه:

مثال 4

یک تابع مشتق شده را پیدا کنید

این یک مثال برای یک راه حل مستقل است (پاسخ در پایان درس).

برای تضمین درک تابع پیچیده مشتق، من یک نمونه را بدون نظر ارائه خواهم کرد، سعی کنید آن را خودتان، رنگ، جایی که خارجی و عملکرد داخلی کجاست، بفهمید، چرا وظایف این راه را حل می کند؟

مثال 5

الف) یک تابع مشتق شده را پیدا کنید

ب) یک تابع مشتق شده را پیدا کنید

مثال 6

یک تابع مشتق شده را پیدا کنید

در اینجا ما یک ریشه داریم و به منظور تغییر ریشه، باید به شکل یک درجه نشان داده شود. بنابراین، ابتدا تابع را به فرم مناسب ارائه دهید:

تجزیه و تحلیل عملکرد، ما نتیجه می گیریم که مجموع سه اصطلاح یک تابع داخلی است و عملکرد خارجی عملکرد خارجی است. قانون تمایز یک تابع پیچیده را اعمال کنید:

درجه دوباره به شکل رادیکال (ریشه)، و برای مشتق عملکرد داخلی، از یک قاعده ساده از مقدار تمایز استفاده می شود:

آماده. شما همچنین می توانید بیان را به مخارج عمومی قرار دهید و با یک کسر در براکت بنویسید. البته، البته، اما زمانی که مشتقات طولانی بزرگ به دست می آیند - بهتر است این کار را انجام ندهید (آسان است که اشتباه گرفته شود، به یک خطای غیر ضروری اجازه دهید و معلم به طور ناخودآگاه بررسی شود).

مثال 7

یک تابع مشتق شده را پیدا کنید

این یک مثال برای یک راه حل مستقل است (پاسخ در پایان درس).

جالب است که توجه داشته باشید که گاهی اوقات به جای روش تمایز یک تابع پیچیده، می توانید از قانون تمایز نسبت استفاده کنید ، اما چنین راه حل به نظر می رسد یک سرگرم کننده انحراف. در اینجا یک مثال مشخص است:

مثال 8

یک تابع مشتق شده را پیدا کنید

در اینجا شما می توانید از قانون تمایز نسبت استفاده کنید اما برای پیدا کردن یک مشتق از طریق یک قانون تمایز یک تابع پیچیده بسیار سودآور است:

ما تابع را برای تمایز آماده می کنیم - ما منفی را در هر نشانه ای از مشتق می کنیم، و Cosine به شمارش می پردازیم:

Cosine یک تابع داخلی است، عملکرد خارجی یک عملکرد خارجی است.
ما از قانون ما استفاده می کنیم:

ما مشتق عملکرد داخلی را پیدا می کنیم، کوزین از بین می رود:

آماده. در مثال مورد بررسی، مهم نیست که در نشانه ها اشتباه گرفته شود. به هر حال، سعی کنید آن را با استفاده از قانون حل کنید. پاسخ ها باید مطابقت داشته باشند

مثال 9

یک تابع مشتق شده را پیدا کنید

این یک مثال برای یک راه حل مستقل است (پاسخ در پایان درس).

تا کنون، مواردی را در نظر گرفته ایم که تنها یک سرمایه گذاری در عملکرد پیچیده ما بود. در وظایف عملی، اغلب ممکن است برای دیدار با مشتقات، جایی که، به عنوان Matryoshki، یکی به دیگری، در یک بار 3 یا حتی 4-5 توابع جاسازی شده است.

مثال 10

یک تابع مشتق شده را پیدا کنید

ما در سرمایه گذاری های این تابع درک می کنیم. ما سعی می کنیم بیان را با استفاده از مقدار تجربی محاسبه کنیم. چگونه ما به ماشین حساب اعتقاد داریم؟

ابتدا باید پیدا کنید، به این معنی است که Arksinus عمیق ترین سرمایه گذاری است:

سپس این واحد Arxinus باید به مربع ساخته شود:

و در نهایت، هفت به درجه ای تنظیم می شود:

این، در این مثال، ما سه توابع مختلف و دو فایل پیوست داریم، در حالی که عملکرد درونی Arxinus است و عملکرد خارجی خود یک تابع نشانگر است.

ما شروع به تصمیم گیری

با توجه به قانون، ابتدا باید مشتق از عملکرد خارجی را انجام دهید. ما به جدول مشتقات نگاه می کنیم و مشتق شده از تابع نشانگر را پیدا می کنیم: تنها تفاوت به جای "X" ما یک عبارت دشوار داریم که اعتبار این فرمول را لغو نمی کند. بنابراین، نتیجه اعمال تمایز از یک تابع پیچیده به شرح زیر است:

تحت سکته مغزی ما یک تابع پیچیده را دوباره! اما ساده تر است. آسان است مطمئن شوید که عملکرد داخلی Arxinus است، عملکرد خارجی یک درجه است. با توجه به تمایز یک تابع پیچیده، ابتدا باید مشتق شود.

اگر یک g.(ایکس.) من. f.(تو) - توابع دیفرانسیل استدلال های آنها به ترتیب در نقاط ایکس. و تو= g.(ایکس.), سپس عملکرد پیچیده نیز در نقطه ای متفاوت است ایکس.و توسط فرمول واقع شده است

یک خطای معمول در حل وظایف به مشتقات - انتقال اتوماتیک قوانین تمایز توابع ساده در توابع پیچیده. ما یاد خواهیم گرفت که از این خطا اجتناب کنیم.

مثال 2یک تابع مشتق شده را پیدا کنید

تصمیم اشتباه: محاسبه لگاریتم طبیعی هر اصطلاح در براکت ها و به دنبال مقدار مشتقات:

راه حل صحیح: باز هم، ما تعریف می کنیم که کجا "اپل"، و جایی که "Medced". در اینجا، لگاریتم طبیعی از بیان در براکت ها یک "اپل" است، یعنی این تابع با استدلال متوسط توو بیان در براکت ها "خرد شده" است، یعنی یک استدلال متوسط تو در یک متغیر مستقل ایکس..

سپس (استفاده از فرمول 14 از جدول مشتقات)

در بسیاری از وظایف واقعی، بیان با لگاریتم تا حدودی پیچیده تر است، بنابراین درس وجود دارد

مثال 3یک تابع مشتق شده را پیدا کنید

تصمیم اشتباه:

راه حل درست یک بار دیگر، ما تعریف می کنیم که "اپل"، و جایی که "Medced". در اینجا کوزین از بیان در براکت ها (فرمول 7 در جدول مشتقات) "اپل" است، آن را در حالت 1 آماده شده است، که تنها بر روی آن تاثیر می گذارد، و بیان در براکت ها (درجه مشتق شده - شماره 3 در مشتقات جدول) "Medced" است، آن را در حالت 2 آماده شده است، تنها بر روی آن تاثیر می گذارد. و همانطور که همیشه دو مشتق را با نشانه کار متصل می کنیم. نتیجه:

مشتق از یک تابع لگاریتمی پیچیده یک کار مکرر در آزمایش است، بنابراین ما به شدت توصیه می کنیم از درس "تابع لگاریتمی مشتق شده" درس بخوانید.

اولین نمونه ها بر روی توابع پیچیده بود که در آن یک استدلال متوسط \u200b\u200bبرای یک متغیر مستقل یک تابع ساده بود. اما در وظایف عملی، اغلب لازم است برای پیدا کردن یک مشتق از یک تابع پیچیده، که در آن استدلال متوسط \u200b\u200bیا خود یک تابع پیچیده است و یا شامل چنین عملکرد است. چه کاری باید انجام دهید؟ پیدا کردن مشتقات چنین توابع در جداول و قوانین تمایز. هنگامی که مشتق از استدلال متوسط \u200b\u200bیافت شد، به سادگی به محل مورد نظر فرمول جایگزین می شود. در زیر دو نمونه وجود دارد، همانطور که انجام می شود.

علاوه بر این، مفید است بدانید که زیر را بدانید. اگر عملکرد پیچیده را می توان به عنوان یک زنجیره ای از سه توابع نشان داد

این باید به عنوان یک محصول مشتق شده از هر یک از این توابع یافت شود:

برای حل بسیاری از تکالیف خود، ممکن است نیاز به باز کردن مزایا در پنجره های جدید داشته باشید. اقدامات با درجه و ریشه و اقدامات با فراکسیون .

مثال 4یک تابع مشتق شده را پیدا کنید

قانون تمایز یک تابع پیچیده را اعمال کنید، فراموش نکنید که در محصول حاصل از مشتقات یک استدلال متوسط \u200b\u200bبرای یک متغیر مستقل ایکس. تغییر نمی کند:

ما کارخانه دوم کار را آماده می کنیم و قانون تمایز را اعمال می کنیم:

اصطلاح دوم ریشه است، بنابراین

بنابراین، به دست آمد که یک استدلال متوسط، که مقدار آن است، به عنوان یکی از اصطلاحات شامل یک تابع پیچیده است: ساخت یک تابع پیچیده، و این واقعیت است که آن را به درجه ای ساخته شده است - یک استدلال متوسط \u200b\u200bبرای یک متغیر مستقل ایکس..

بنابراین، قانون تمایز یک تابع پیچیده را دوباره اعمال کنید:

درجه اول فاکتور به ریشه تبدیل می شود، و تمایز دوم عامل، فراموش نکنید که مشتق ثابت صفر است:

در حال حاضر ما می توانیم مشتق از استدلال متوسط \u200b\u200bمورد نیاز برای محاسبه مشکل مورد نیاز توسط مشکل تابع مشتق شده را پیدا کنیم y.:

مثال 5یک تابع مشتق شده را پیدا کنید

اول، از مقدار تمایز مقدار استفاده کنید:

مقدار مشتقات دو توابع پیچیده را دریافت کرد. اولین آنها را پیدا کنید:

در اینجا، ساخت سینوس به درجه یک تابع پیچیده است، و خود سینوس یک استدلال متوسط \u200b\u200bبرای یک متغیر مستقل است ایکس.. بنابراین، ما از حاکمیت تمایز یک تابع پیچیده استفاده می کنیم، در راه intosing چند ضلعی برای براکت :

در حال حاضر ما دومین دوره از عملکرد مشتق شده را پیدا می کنیم y.:

در اینجا ساخت یک کوزین به یک درجه - یک تابع پیچیده است f.، و خودزایی خود یک استدلال متوسط \u200b\u200bبرای یک متغیر مستقل است ایکس.. ما از حاکمیت تمایز یک تابع پیچیده استفاده خواهیم کرد:

نتیجه مشتق مورد نظر است:

جدول مشتقات برخی از توابع پیچیده

برای توابع پیچیده بر اساس حاکمیت تمایز عملکرد پیچیده، فرمول مشتق از یک تابع ساده، یک گونه دیگر را می گیرد.

1. عملکرد قدرت پیچیده مشتق شده، که در آن تو ایکس.
2. ریشه مشتق شده از بیان
3. تابع نشانگر مشتق شده
4. مورد خصوصی از یک تابع نشانگر
5. عملکرد لگاریتمی مشتق شده با پایه مثبت دلخواه ولی
6. تابع لگاریتمی پیچیده مشتق شده، که در آن تو - تابع استدلال دیفرانسیل ایکس.
7. مشتق سینوس
8. مشتق کوزین
9. مشتق مماس
10. مشتق از kotangens
11. مشتق Arksinus
12. مشتقات Arkkosinus
13. مشتقات Arctangen
14. مشتق از Arkkothangence

عملیات پیدا کردن مشتق شده، تمایز نامیده می شود.

به عنوان یک نتیجه از حل مشکلات یافتن مشتقات از ساده ترین (و نه بسیار ساده) توابع برای تعیین مشتق به عنوان محدودیت نگرش نسبت به یک استدلال، یک جدول از مشتقات و قوانین تمایز دقیق تعریف شده است. اسحاق نیوتن (1643-1727) و گوتفرید ویلهلم لایبنیتس (1646-1716) برای اولین بار در زمینه یافته های مشتقات بود.

بنابراین، در زمان ما، برای پیدا کردن یک مشتق از هر تابع، لازم نیست محاسبه حد بالا نسبت افزایش عملکرد برای افزایش استدلال، و شما فقط نیاز به استفاده از جدول از مشتقات و قوانین تمایز . برای پیدا کردن مشتق، الگوریتم زیر مناسب است.

برای پیدا کردن مشتق، لازم است برای بیان تحت نشانه ای از سکته مغزی اجزای عملکردهای ساده را جدا کنید و تعیین اقدامات (کار، مقدار، خصوصی) این توابع متصل هستند بعد، مشتقات توابع ابتدایی در جدول مشتقات، و فرمول های مشتقات، مقادیر و خصوصی - در قوانین تمایز یافت می شود. جدول مشتقات و قوانین تمایز پس از دو نمونه اول داده می شود.

مثال 1 یک تابع مشتق شده را پیدا کنید

تصمیم گیری از قوانین تمایز، ما متوجه می شویم که مشتق عملکرد توابع، مقدار مشتقات، I.E.

از جدول مشتقات، ما متوجه می شویم که مشتق از "ICCA" برابر با یک است، و مشتق سینوسی کوزین است. ما این مقادیر را در مقدار مشتقات جایگزین می کنیم و شرایط مورد نیاز مشتق شده را پیدا می کنیم:

مثال 2 یک تابع مشتق شده را پیدا کنید

تصمیم گیری تمایز به عنوان یک مبلغ مشتق شده که در آن دومین دوره با یک عامل ثابت می تواند توسط یک علامت مشتق شده به دست آید:

اگر هنوز سوالاتی وجود دارد، از جایی که آن را گرفته است، آنها معمولا پس از آشنایی با مشتقات جدول و ساده ترین قوانین تمایز تعریف می شوند. ما اکنون به آنها می رویم

جدول توابع ساده مشتق شده

1. ثابت مشتق شده (اعداد). هر شماره (1، 2، 5، 200 ...)، که در بیان عملکرد است. همیشه برابر صفر است بسیار مهم است که به یاد داشته باشید، زیرا اغلب ضروری است
2. مشتق از یک متغیر مستقل. اغلب "Iksa". همیشه برابر با یک. همچنین مهم است که برای مدت طولانی به یاد داشته باشید.
3. درجه مشتق شده. درجه ای در حل وظایف شما نیاز به تبدیل ریشه های ناگوار.
4. متغیر مشتق به درجه -1
5. مشتقات ریشه مربع
6. مشتق سینوسی
7. مشتق کوزین
8. مماس مشتق شده
9. مشتق از kotangens
10. مشتق Arksinus
11. مشتق Arckosinus
12. مشتقات Arctangen
13. مشتقات Arkkotangen
14. مشتق از لگاریتم طبیعی
15. عملکرد لگاریتمی مشتق شده
16. نمایشگر نشانگر
17. تابع نشانگر مشتق شده

قوانین تمایز

1. مقدار مشتق یا تفاوت
2. کار مشتق شده
2a مشتق از بیان ضرب شده توسط ضریب ثابت
3. مشتق خصوصی
4. تابع پیچیده مشتق شده

قانون 1 اگر توابع

به طور متفاوتی در برخی موارد، سپس در همان نقطه تمایز و توابع

و

کسانی که. مشتق از مقدار جبری توابع برابر با مقدار جبری مشتقات این توابع است.

نتیجه گیری اگر دو توابع انحصاری در یک دوره دائمی متفاوت باشند، مشتقات آنها برابر هستند.

قانون 2اگر توابع

به طور متفاوتی در برخی موارد، سپس در همان نقطه متفاوت و کار آنها

و

کسانی که. مشتق شده از دو توابع برابر با مقدار آثار هر یک از این توابع در مشتقات مختلف است.

نتیجه 1 ضریب دائمی می تواند برای علامت مشتق شده ساخته شود:

CUROLLARY 2. مشتق از کار چندین توابع انحصاری برابر با مقدار محصولات مشتق شده از هر یک از عوامل به همه دیگر است.

به عنوان مثال، برای سه ضرب کننده:

قانون 3اگر توابع

دیفرانسیل در برخی موارد و , سپس در این نقطه به طور متفاوتی و خصوصی آنهاu / V، و

کسانی که. مشتق از دو توابع خصوصی برابر با کسری است، عددی که از آن تفاوت در محصولات معیوب بر روی مشتق از عددی و عددی در مشتقات مخرب است، و نام دهنده مربع از عددی قبلی است .

جایی که چه چیزی را در صفحات دیگر جستجو کنید

هنگام پیدا کردن یک مشتق از کار و خصوصی در وظایف واقعی، چندین قانون تمایز همیشه می تواند اعمال شود، بنابراین نمونه های بیشتری برای این مشتقات - در مقاله"کار مشتق شده و توابع خصوصی".

اظهار نظر.این نباید با یک ثابت (یعنی شماره) به عنوان اصطلاح در مقدار و به عنوان یک ضریب ثابت اشتباه گرفته شود! در مورد بنیاد، مشتق آن صفر است و در مورد یک ضریب ثابت، برای نشانه مشتقات ارائه شده است. این یک خطای معمول است که در مرحله اولیه مطالعه مشتقات یافت می شود، اما به عنوان مثال چند نمونه دو مرحله ای قبلا حل شده است، دانش آموز متوسط \u200b\u200bاین خطا انجام نمی دهد.

و اگر، با تمایز کار یا خصوصی، شما یک اصطلاح ظاهر شد تو"v. ، که در آن تو - یک عدد، به عنوان مثال، 2 یا 5، یعنی یک ثابت، مشتق از این تعداد صفر خواهد بود و بنابراین کل اصطلاح صفر خواهد بود (چنین موردی در مثال 10 جدا شده است).

یکی دیگر از خطای مکرر یک راه حل مکانیکی یک تابع پیچیده مشتق شده به عنوان مشتق از یک تابع ساده است. از این رو تابع پیچیده مشتق شده مقاله جداگانه اختصاصی اما ابتدا ما یاد می گیریم که مشتقات توابع ساده را پیدا کنیم.

در این دوره، بدون تحول عبارات انجام نمی شود. برای انجام این کار، ممکن است لازم باشد مزایای را در پنجره های جدید باز کنید. اقدامات با درجه و ریشه و اقدامات با فراکسیون .

اگر شما به دنبال راه حل های مشتقات با درجه ها و ریشه ها هستید، یعنی زمانی که این تابع مانند یک نوع است ، شغل "مشتق شده از کسرها را با درجه و ریشه" دنبال کنید.

اگر شما یک کار دارید ، سپس شما در "مشتقات توابع مثلثاتی ساده" هستید.

نمونه های گام به گام - چگونه برای پیدا کردن یک مشتق شده

مثال 3 یک تابع مشتق شده را پیدا کنید

تصمیم گیری ما بخشی از بیان تابع را تعیین می کنیم: کل بیان نشان دهنده کار است و عوامل آن مبالغ است، در مرحله دوم که یکی از اصطلاحات حاوی ضریب دائمی است. ما از مشتق از محصول استفاده می کنیم: مشتق از کار دو توابع برابر با مقدار آثار هر یک از این توابع در مشتقات مختلف است:

بعد، مقدار مقدار تمایز را اعمال کنید: مشتق از مقدار جبری توابع برابر با مقدار جبری مشتقات این توابع است. در مورد ما، هر مبلغ دوم با علامت منفی است. در هر مبلغ، ما می بینیم و یک متغیر مستقل، مشتق از آن برابر با یک، و ثابت (تعداد)، مشتق از آن صفر است. بنابراین، "X" ما به یک، و منهای 5 - در صفر تبدیل شده است. در بیان دوم "X" با 2 برابر می شود، بنابراین این دو برابر همان واحد به عنوان مشتق از "Iksa" ضرب می شود. ما مقادیر زیر مشتقات را به دست می آوریم:

ما مشتقات یافت شده را در مقدار آثار جایگزین می کنیم و شرایط مورد نیاز را برای مشکل مشتق شده از کل تابع به دست می آوریم:

و شما می توانید راه حل مشکل مشتق شده را بررسی کنید.

مثال 4 یک تابع مشتق شده را پیدا کنید

تصمیم گیری ما باید یک مشتق خصوصی را پیدا کنیم. با استفاده از فرمول برای تمایز خصوصی: مشتق از دو توابع خصوصی، برابر با کسری است، عددی که تفاوت آن است که تفاوت محصولات معیوب بر روی مشتق از عددی و عددی در مشتقات مخرب، و جانباز مربع از عددی قبلی است. ما گرفتیم:

ما قبلا یک مشتق از عوامل در Numertel را در مثال 2 پیدا کرده ایم. من حتی فراموش نخواهم کرد که کار دومین کارخانه در عددی در مثال فعلی با علامت منفی گرفته شده است:

اگر شما به دنبال راهکارهایی برای چنین وظایفی هستید که لازم است یک تابع مشتق شده را پیدا کنید، جایی که نژادهای جامد ریشه ها و درجه ها مانند، به عنوان مثال، ، سپس به اشغال خوش آمدید "مشتق از کسری با درجه و ریشه" .

اگر شما نیاز به یادگیری بیشتر در مورد مشتقات سینوس ها، کوزین، مماس و سایر توابع مثلثاتی، یعنی زمانی که عملکرد به نظر می رسد سپس شما در درس هستید "مشتقات توابع مثلثاتی ساده" .

مثال 5 یک تابع مشتق شده را پیدا کنید

تصمیم گیری در این ویژگی، ما این کار را می بینیم، یکی از عواملی که یک ریشه مربع یک متغیر مستقل است، با مشتق شده که ما جدول مشتقات را خوانده ایم. با توجه به مشتق محصول و مقدار جدول مشتق ریشه مربع، ما دریافت می کنیم:

راه حل مشکل را در مشتق را بررسی کنید مشتقات ماشین حساب آنلاین .

مثال 6 یک تابع مشتق شده را پیدا کنید

تصمیم گیری در این ویژگی، ما خصوصی را می بینیم، که یک ریشه مربع از یک متغیر مستقل است. با توجه به قاعده تمایز خصوصی، که ما در مثال 4 تکرار و اعمال می شود، ما مقدار قابل انعطاف پروتئین مربع را به دست می آوریم:

برای خلاص شدن از کسر در عددی، ضرب کننده عددی و نامزدی را بردارید.