ادغام در بخش های کسری. ادغام یک تابع منطقی کسری

همانطور که اشاره کردم، فرمول مناسب برای ادغام کسری در محاسبه یکپارچه وجود ندارد. و بنابراین یک گرایش غم انگیز وجود دارد: کسری "شکوفایی"، سخت تر این است که یک انتگرال از آن پیدا کنیم. در این راستا، شما باید به ترفندهای مختلف مراجعه کنید، که من اکنون خواهم گفت. خوانندگان آماده می توانند بلافاصله از مزایای استفاده کنند دفتر جدول:

صرفه جویی در روش علائم دیفرانسیل برای ساده ترین بخش ها

روش تحول مصنوعی عددی

مثال 1

به هر حال، انتگرال در نظر گرفته شده را می توان حل کرد و روش جایگزینی متغیر، نشان دهنده، اما رکورد راه حل بسیار طولانی تر خواهد بود.

مثال 2

یک انتگرال نامحدود را پیدا کنید بررسی را انجام دهید

این یک مثال برای یک راه حل مستقل است. لازم به ذکر است که روش جایگزینی متغیر دیگر عبور نخواهد کرد.

توجه، مهم است! نمونه هایی از شماره 1،2 معمول هستند و اغلب رخ می دهند. از جمله انتگرال های مشابه اغلب در هنگام راه حل سایر انتگرال ها، به ویژه هنگامی که یکپارچه سازی توابع غیر منطقی (ریشه ها) رخ می دهد، رخ می دهد.

پذیرش دریافت کننده نیز در مورد کار می کند اگر درجه بالاتر از عددی، بیش از درجه ارشد نامزد.

مثال 3

یک انتگرال نامحدود را پیدا کنید بررسی را انجام دهید

ما شروع به جمع آوری یک عدد می کنیم.

الگوریتم انتخاب انتخابی تقریبا شبیه به آن است:

1) در عددی، من باید سازماندهی کنم، اما وجود دارد. چه باید بکنید؟ من در براکت ها و ضرب ها نتیجه می گیرم :.

2) حالا سعی کنید این براکت ها را فاش کنید، چه اتفاقی خواهد افتاد؟ . hmm ... در حال حاضر بهتر است، اما هیچ دو با شماره اصلی در عددی نیست. چه باید بکنید؟ نیاز به تسلط بر:

3) من دوباره براکت ها را نشان می دهم :. و در اینجا اولین موفقیت است! چیز درست شد! اما مشکل این است که اختلاف نظر به نظر می رسد. چه باید بکنید؟ به طوری که بیان تغییر نکرده است، باید به طراحی من اضافه کنم:
. زندگی آسان تر شده است. آیا ممکن است یک بار دیگر در عددی سازماندهی شود؟

4) می تواند باشد ما سعی می کنیم: . براکت های دوم را نشان می دهد:
. با عرض پوزش، اما من واقعا در مرحله قبلی بودم، و نه. چه باید بکنید؟ نیاز به ضرب دوم را در:

5) براکت بازپرداخت در دوره دوم:
. در حال حاضر طبیعی است: به دست آمده از طراحی نهایی پاراگراف 3! اما دوباره کوچک است "اما"، اختلاف نظر به نظر می رسد، به این معنی است که من باید به بیان من اضافه کنم:

اگر همه چیز به درستی انجام شود، هنگامی که افشای تمام براکت ها، ما باید یک عدد منبع یک تابع منبع داشته باشیم. بررسی:
کاپوت ماشین.

به این ترتیب:

آماده. در آخرین دوره، من یک روش برای جمع آوری یک تابع برای دیفرانسیل استفاده کردم.

اگر شما یک مشتق از پاسخ پیدا کنید و بیان را به یک نامزد مشترک بیان کنید، پس ما دقیقا تابع انتگرال اولیه را تبدیل خواهیم کرد. روش مورد نظر تجزیه در مقدار چیزی جز اثر متضاد برای آوردن بیان به معنی کلی نیست.

الگوریتم انتخاب در چنین نمونه هایی بهتر از پیش نویس است. در برخی از مهارت ها نیز ذهنی خواهد بود. وقتی که من انتخاب را برای درجه 11 بازی کردم، یک پرونده را به یاد می آورم، و تجزیه عددی تقریبا دو خط VODO را به دست آورد.

مثال 4

یک انتگرال نامحدود را پیدا کنید بررسی را انجام دهید

این یک مثال برای یک راه حل مستقل است.

صرفه جویی در روش علائم دیفرانسیل برای ساده ترین بخش ها

ما به بررسی نوع زیر تقسیم می کنیم.
،،، ضرایب برابر با صفر نیستند).

در واقع، چند مورد با Arksinus و ArcTgennes در حال حاضر در یک درس کاهش یافته است. روش جایگزینی یک متغیر در یک انتگرال نامحدود. چنین مثالهایی به وسیله راهی برای خلاصه کردن عملکرد ادغام دیفرانسیل و ادغام بیشتر با استفاده از جدول حل می شود. در اینجا نمونه های معمولی با لگاریتم طولانی و بلند هستند:

مثال 5

مثال 6

در اینجا توصیه می شود که یک میز از انتگرال ها و ردیابی که فرمول ها و مانند تحول انجام شده است. توجه داشته باشید، چطور و چرا مربع ها در این نمونه ها اختصاص داده می شوند. به طور خاص، در مثال 6، ابتدا باید یک نام دهنده را در قالب ارسال کنید ، سپس تحت نشانه دیفرانسیل قرار دهید. و این همه لازم است که از فرمول جدول استاندارد استفاده کنید .

بله، چه باید بکنید، سعی کنید نمونه های № 7،8 را حل کنید، به ویژه، آنها به اندازه کافی کوتاه هستند:

مثال 7

مثال 8

یک انتگرال نامحدود را پیدا کنید:

اگر شما موفق به انجام تایید بیشتر از این نمونه ها، پس از آن احترام بزرگ مهارت های تمایز خود را در ارتفاع است.

روش جداسازی مربع کامل

انتگرال های فرم (ضرایب و صفر برابر نیست) حل می شود روش تخصیص یک مربع کاملکه در حال حاضر در درس ظاهر شد تغییرات نمودار هندسی.

در واقع، چنین انتگرال ها به یکی از چهار انتگرال جدولی تقسیم می شوند که ما فقط در نظر گرفته ایم. و این امر با کمک فرمول های آشنا از ضایعات اختصاصی به دست می آید:

فرمول ها دقیقا در این راستا مورد استفاده قرار می گیرند، یعنی ایده روش این است که به صورت مصنوعی سازماندهی عبارات در نامزدی یا سپس آنها را بر اساس هر دو تبدیل کند.

مثال 9

یک انتگرال نامحدود را پیدا کنید

این ساده ترین مثال است که در آن با یک ضریب تکلیف (و نه چند عدد یا منهای).

ما به نام دهنده نگاه می کنیم، همه چیز به وضوح به این مورد کاهش می یابد. ما شروع به تبدیل جانشین می کنیم:

بدیهی است، لازم است که اضافه شود. 4. و به طوری که بیان تغییر نمی کند - همان چهار و تفریق:

حالا شما می توانید فرمول را اعمال کنید:

پس از تحول کامل شده است همیشه توصیه می شود حرکت معکوس را انجام دهید: همه چیز خوب است، هیچ خطایی وجود ندارد.

طراحی نهایی مثال مورد توجه باید چیزی شبیه به این باشد:

آماده. جمع کردن عملکرد پیچیده "انجماد" تحت نشانه دیفرانسیل:، در اصل، ممکن بود غفلت شود

مثال 10

یک انتگرال نامحدود را پیدا کنید:

این یک مثال برای یک تصمیم مستقل است، پاسخ در پایان درس

مثال 11

یک انتگرال نامحدود را پیدا کنید:

چه کاری باید انجام دهید وقتی که در مقابل منهای منفی است؟ در این مورد، شما باید منفی را برای براکت ها ایجاد کنید و اجزای خود را ترتیب دهید که ما نیاز داریم :. کننتا ("دو" در این مورد) دست نزن!

در حال حاضر در براکت اضافه کردن یکی. تجزیه و تحلیل بیان، ما به این نتیجه می رسیم که لازم است به براکت اضافه شود - اضافه کردن:

در اینجا فرمول را معلوم کرد، ما استفاده می کنیم:

همیشه انجام یک بررسی در پیش نویس:
چه چیزی لازم بود چک کنید

طراحی شهرستان این مثال به نظر می رسد:

تکمیل کار

مثال 12

یک انتگرال نامحدود را پیدا کنید:

در اینجا، با یک اصطلاح دیگر یک ضریب واحد وجود ندارد، بلکه "پنج".

(1) اگر زمانی که ثابت وجود دارد، پس از آن بلافاصله توسط براکت ها گرفته می شود.

(2) و به طور کلی، این ثابت همیشه بهتر است که در خارج از انتگرال تحمل کند تا آن را با پاها تداخل ندهد.

(3) بدیهی است، همه چیز به فرمول کاهش می یابد. ما باید اصطلاح را بفهمیم، یعنی "Deuce"

(4) آره ،. بنابراین اضافه کردن به عبارت، و همان کسری کسر می شود.

(5) ما اکنون یک مربع کامل را برجسته می کنیم. به طور کلی، لازم است که محاسبه شود، اما در اینجا ما یک فرمول لگاریتم طولانی داریم. و این اقدام منطقی نیست، چرا فقط در زیر روشن می شود.

(6) در واقع، شما می توانید فرمول را اعمال کنید ، فقط به جای "X" ما این را لغو عدالت جداگانه جدول را لغو نمی کنیم. به شدت صحبت کردن، یک مرحله از دست رفته بود - قبل از ادغام تابع به دنبال علامت دیفرانسیل بود: اما، همانطور که بارها اشاره کردم، اغلب نادیده گرفته می شود.

(7) در پاسخ، مطلوب است که تمام براکت ها را نشان دهد:

بغرنج؟ این سخت ترین چیز در محاسبات انتگرال نیست. اگر چه نمونه هایی که در نظر گرفته شده اند، پیچیده نیستند، زیرا آنها نیاز به تکنیک های محاسباتی خوب دارند.

مثال 13

یک انتگرال نامحدود را پیدا کنید:

این یک مثال برای یک راه حل مستقل است. پاسخ در پایان درس.

انتگرال ها با ریشه ها در نامزدی وجود دارد که با جایگزینی به انتگرال های نوع مورد نظر کاهش می یابد، شما می توانید در مورد آنها در مقاله بخوانید. انتگرال های پیچیدهاما این برای دانش آموزان بسیار آموزش دیده طراحی شده است.

جمع کردن عددی تحت نشانه دیفرانسیل

این بخش نهایی درس است، با این حال، انتگرال های این نوع بسیار رایج هستند! اگر خستگی انباشته شده باشد، شاید بهتر است فردا بخوانم؟ ؛)

انتگرال هایی که ما در نظر خواهیم گرفت، شبیه به انتگرال های پاراگراف قبلی هستند، آنها نگاه می کنند: یا (ضرایب، و صفر برابر نیست).

این، در عددی، ما یک تابع خطی داریم. چگونه چنین انتتلی را حل کنیم؟

وظیفه پیدا کردن یک انتگرال نامحدود از یک تابع منطقی کسری، به ادغام ساده ترین بخش ها کاهش می یابد. بنابراین، ما برای اولین بار توصیه می کنیم که با بخش تجزیه تئوری کسری در ساده ترین آشنا شوید.

مثال.

یک انتگرال نامحدود را پیدا کنید

تصمیم گیری

از آنجایی که درجه عددی از تابع انتگرال برابر با درجه ای از مخرب است، پس از آن ابتدا کل بخش را تخصیص می دهیم، تقسیم چندجمله ای به چندجملهای:

از این رو، .

تجزیه کسر منطقی مناسب بر روی ساده ترین بخش، شکل دارد . از این رو،

انتگرال نتیجه انتگرال ساده ترین بخش سوم نوع سوم است. کمی به جلو اجرا می شود، ما توجه داریم که ما می توانیم آن را با استفاده از روش جمع بندی نشانه های دیفرانسیل استفاده کنیم.

مانند T. . از این رو

از این رو،

در حال حاضر ما به توصیف روش های یکپارچه سازی ساده ترین بخش های هر یک از چهار نوع تبدیل می شویم.

ادغام ساده ترین بخش های نوع اول

برای حل این کار، روش ادغام مستقیم ایده آل است:

مثال.

ویژگی های مختلفی پیدا کنید

تصمیم گیری

ما یک انتگرال نامحدود را با استفاده از خواص ابتدایی، جدول ابتدایی و قانون ادغام پیدا می کنیم.

بالای صفحه

ادغام ساده ترین فراکسیون نوع دوم

برای حل این کار، روش ادغام مستقیم نیز مناسب است:

مثال.

تصمیم گیری

بالای صفحه

ادغام ساده ترین فراکسیون نوع سوم

برای شروع، یک انتگرال نامحدود را تصور کنید میزان:

اولین انتگرال، روش جمعآوری یک علامت دیفرانسیل را انجام می دهد:

از این رو،

یکپارچگی نتیجه تبدیل می شود:

از این رو،

فرمول ادغام ساده ترین بخش های سومین نوع فرم را می گیرد:

مثال.

یک انتگرال نامحدود را پیدا کنید .

تصمیم گیری

ما از فرمول حاصل استفاده می کنیم:

اگر ما این فرمول را نداشتیم، چطور باید انجام دهیم:

بالای صفحه

ادغام ساده ترین فراکسیون نوع چهارم

اولین گام این است که دیفرانسیل را امضا کنیم:

گام دوم این است که انتگرال از نوع را پیدا کنید . انتگرال های این گونه با استفاده از فرمول های مکرر استفاده می شود. (بخش ادغام را با استفاده از فرمول های مکرر ببینید). برای مورد ما مناسب فرمول مکرر زیر است:

مثال.

یک انتگرال نامحدود را پیدا کنید

تصمیم گیری

برای این نوع تابع یکپارچه، از روش جایگزینی استفاده کنید. ما یک متغیر جدید را معرفی می کنیم (یکپارچه سازی بخش توابع غیر منطقی را ببینید):

پس از جایگزینی ما باید داشته باشیم:

برای پیدا کردن انتگرال چهارم چهارم آمده است. در مورد ما ضرایب داریم m \u003d 0، p \u003d 0، q \u003d 1، n \u003d 1 و n \u003d 3. ما از فرمول مکرر استفاده می کنیم:

پس از جایگزینی معکوس، نتیجه را دریافت می کنیم:

ادغام توابع مثلثاتی

1.integles از نوع

محاسبه شده توسط تحول محصول توابع مثلثاتی در مقدار فرمول ها:

به عنوان مثال، 2.integles از گونه

جایی که m. یا n.- یک عدد مثبت عجیب و غریب با جمع آوری علامت دیفرانسیل محاسبه می شود. مثلا،

3.integles از نوع

جایی که m. و n.اعداد مثبت فعلی با استفاده از فرمول های کاهش درجه محاسبه می شود: به عنوان مثال،

4. انتگرال ها

جایی که جایگزینی متغیر محاسبه می شود یا به عنوان مثال،

5. نواقص این گونه ها به یکپارچه سازی از بخش های عقلانی با استفاده از جایگزینی مثلثاتی جهانی، کاهش می یابد (زیرا

\u003d [پس از تقسیم عددی و نامزدی] \u003d؛

مثلا،

لازم به ذکر است که استفاده از جایگزینی جهانی اغلب منجر به محاسبات بزرگ می شود.

§fivefive ادغام ساده ترین غیر نظامیان

روش های ادغام ساده ترین نوع غیر نظامیان را در نظر بگیرید. یکی

توابع این گونه به همان شیوه ای به عنوان ساده ترین کسرهای منطقی نوع سوم، یکپارچه شده اند: در مخارج، یک مربع کامل از یک مربع سه کاهش یافته است و یک متغیر جدید وارد شده است. مثال.

2. (تحت نشانه ای از عملکرد یکپارچه-منطقی استدلال). انتگرال های این نوع توسط جایگزینی محاسبه می شود. به طور خاص، در انتگرال های گونه تعیین شده است. اگر تابع یکپارچه حاوی ریشه های درجه های مختلف باشد:

، آن را نشان می دهد که در آن n.- کوچکترین تعداد کل چندگانه m، k.. مثال 1

مثال 2

-NAPRAVE CROUCTION RATION، کل قسمت را برجسته کنید:

–

3.integles از نوع محاسبه شده با جایگزینی مثلثاتی:

45 انتگرال تعریف شده

یکپارچه سازی - قابلیت های عادی نرمال مونوئیدال مشخص شده در انواع جفت ها، اولین جزء آن یک تابع یکپارچه یا کاربردی است، و دوم منطقه در مجموعه ای از وظایف این تابع (کاربردی) است.

تعریف

اجازه دهید تعریف شود ما به قطعات با چندین نقطه دلخواه تقسیم می کنیم. سپس آنها می گویند که تقسیم بخش بعدی یک نقطه دلخواه را انتخاب می کند , ,

یک انتگرال خاص از عملکرد در بخش، محدودیت مقادیر یکپارچه زمانی است که رتبه شکستن صفر، اگر آن را بدون در نظر گرفتن پارتیشن و انتخاب نقاط، است، نامیده می شود

اگر یک حد مشخص وجود داشته باشد، تابع در Riemann یکپارچه شده است.

تعیین

· - حد پایین.

· - حد بالا.

· - تابع مهار کننده

· طول بخش جزئی

· - مقدار انتگرال از عملکرد در پارتیشن مناسب.

· - حداکثر طول مکرر

خواص

اگر تابع بر اساس Riemann یکپارچه شود، آن را محدود به آن محدود می شود.

معنای هندسی

انتگرال تعریف شده به عنوان یک منطقه از ارقام

انتگرال خاص عددی برابر با مساحت شکل، محدود شده توسط محور Abscissa، مستقیم و و نمودار عملکرد است.

قضیه نیوتن - لایبنیا

[ویرایش]

(هدایت شده با فرمول نیوتن لیبنیتسا)

فرمول نیوتن - لایبنیا یا قضیه تحلیل پایه بین دو عملیات ارتباط برقرار می کند: یکپارچگی خاص و محاسبه ابتدایی.

شواهد و مدارک

اجازه دهید یک تابع یکپارچه در بخش مشخص شود. بیایید با این واقعیت شروع کنیم که ما آن را یادآوری می کنیم

به این ترتیب، مهم نیست که کدام نامه (یا) زیر علامت یکپارچه خاص در بخش باشد.

مقدار دلخواه را تنظیم کنید و یک ویژگی جدید را تعریف کنید. . این برای همه ارزش ها تعریف شده است، زیرا ما می دانیم که اگر یک انتگرال از آن وجود داشته باشد، پس از آن یک انتگرال از کجا وجود دارد. به یاد بیاورید که ما تعریف می کنیم

(1)

توجه کنید که

ما نشان می دهیم که در بخش پیوسته است. در واقع، اجازه دهید؛ سپس

و اگر، پس از آن

بنابراین، بدون توجه به اینکه آیا شکسته نیست، مداوم است. مهم است که یکپارچه سازی شود.

شکل یک نمودار را نشان می دهد. منطقه متغیر شکل برابر است. افزایش آن برابر با مساحت شکل است که، به دلیل محدودیت، به طور کلی برای صفر تلاش می کند بدون توجه به اینکه آیا نقطه ای از تداوم یا شکاف وجود دارد، مانند یک نقطه.

در حال حاضر اجازه دهید عملکرد نه تنها یکپارچه در، بلکه به طور مداوم در نقطه. ما ثابت می کنیم که پس از آن مشتق شده در این نقطه برابر است

(2)

در واقع، برای نقطه مشخص شده

(1) , (3)

ما قرار داده ایم، و از آنجا که ثابت نسبت به، به . بعد، به موجب تداوم در نقطه برای هر، شما می توانید این را مشخص کنید.

چه چیزی ثابت می کند که سمت چپ این نابرابری در مورد (1) در.

انتقال به حد مجاز به (3) با وجود مشتق از نقطه و اعتبار برابری (2). در این اینجا، به ترتیب، در مورد مشتق راست و چپ می آید.

اگر تابع به طور مداوم ادامه یابد، پس بر اساس عملکرد تابع تابع بالا

(4)

این یک مشتق شده برابر است. در نتیجه، عملکرد یک ابتدایی برای روشن است.

این نتیجه گیری گاهی اوقات قضیه انتگرال را با حد بالایی متغیر یا قضیه Barrow نامیده می شود.

ما ثابت کرده ایم که عملکرد مداوم دلخواه در بخش دارای یک برابری اولیه، تعریف شده (4) در این بخش است. این نشان دهنده وجود یک تابع ابتدایی برای هر گونه پیوسته در بخش است.

اجازه دهید اکنون یک عملکرد اولیه خودسرانه داشته باشیم. ما می دانیم که، کجا - برخی دائمی. اعتقاد به این برابری و با توجه به آنچه که ما دریافت می کنیم.

به این ترتیب ،. ولی

درگیر یکپارچه سازی

[ویرایش]

Wikipedia materials - دانشنامه آزاد

یکپارچه سازی به نام بی اعتباراگر حداقل یکی از شرایط زیر راضی باشد:

· حد A یا B (یا هر دو محدودیت) بی نهایت هستند؛

· تابع f (x) دارای یک یا چند نقطه پارگی در داخل بخش است.

[ویرایش] انتگرال های غیرعادی از من

. سپس:

1. اگر و انتگرال نامیده می شود . در این مورد به نام همگرا

، یا فقط متفاوت است.

اجازه دهید تعریف و پیوسته در مجموعه از و . سپس:

1. اگر سپس تعیین شده است و انتگرال نامیده می شود انتگرال ناسازگار ریمان از نوع اول. در این مورد به نام همگرا

2. اگر محدودیتی وجود نداشته باشد (یا)، سپس انتگرال به نام واگرایی نامیده می شود ، یا فقط متفاوت است.

اگر تابع تعریف شده و پیوسته در کل خط عددی باشد، ممکن است یک انتگرال غیر قابل تغییر از این تابع با دو محدودیت ادغام بی نهایت وجود داشته باشد که توسط فرمول تعیین می شود:

جایی که C یک عدد دلخواه است.

[ویرایش] معنای هندسی ناشی از انتگرال ناسازگار من

یکپارچه شامل یک منطقه از یک تراپزی بی نهایت طولانی مدت است.

[ویرایش] مثال ها

[ویرایش] انتگرال های بی نظیر جنس

فرض کنید که آن را تعیین می کند، شکاف بی پایان را در نقطه x \u003d a و . سپس:

1. اگر سپس تعیین شده است و انتگرال نامیده می شود

به نام Diverging K ، یا فقط متفاوت است.

فرض کنید که آن را تعیین می کند، شکاف بی نهایت را در x \u003d b تحمل می کند . سپس:

1. اگر سپس تعیین شده است و انتگرال نامیده می شود riemann انتگرال بی نظیر از نوع دوم. در این مورد، انتگرال به نام همگرا نامیده می شود.

2. اگر یا، تعیین تعیین شده است، و به نام Diverging K ، یا فقط متفاوت است.

اگر تابع شکاف را در نقطه درونی بخش تقسیم می کند، انتگرال داخلی از نوع دوم توسط فرمول تعیین می شود:

[ویرایش] معنای هندسی از انتگرال های نامناسب جنس

یکپارچه درگیر منطقه یک تراپزیوم منحنی بی نهایت بالا را بیان می کند

[ویرایش] مثال

[ویرایش] پرونده جداگانه

فرض کنید تابع بر روی کل محور عددی تعیین می شود و دارای شکاف در نقاط است.

سپس شما می توانید یک انتگرال ایمنی پیدا کنید

[ویرایش] معیار کنجکاو

1. اجازه دهید بر روی مجموعه از و .

سپس همگرا شدن

2. اجازه دهید تعریف شود و .

سپس همگرا شدن

[ویرایش] همگرایی مطلق

انتگرال به نام کاملا همگرا، اگر یک همگرا
اگر انتگرال کاملا همگام سازی شود، آن را همگرا می کند.

[ویرایش] همگرایی شرطی

انتگرال نامیده می شود مشروط همگرااگر شما همگرا، اما واگرایی

48 12. انتگرال های نامعتبر

با توجه به یکپارچگی خاص، فرض کردیم که منطقه ادغام محدود است (به طور خاص، بخش است [ آ. ,ب ])؛ برای وجود یک انتگرال خاص، محدودیت عملکرد انتگرال برای [ آ. ,ب ] ما یکپارچگی های خاصی را فراخوانی خواهیم کرد که هر دو این شرایط انجام می شود (مناطق محدود و ادغام و عملکرد یکپارچه) خود؛ انتگرال هایی که این الزامات نقض می شوند (به عنوان مثال، تابع نامحدود یا یکپارچه یا یک منطقه ادغام، یا هر دو همدیگر) بی اعتبار. در این بخش ما انتگرال های ناسازگار را کشف خواهیم کرد.

12.1 انتگرال ناقص در یک فاصله نامحدود (انتگرال های غیر قابل درک از نوع اول).

12.1.1 تعیین یک انتگرال ناسازگار در شکاف بی نهایت. مثال ها.
12.1.2. فرمول نیوتن لیبنیک برای یک انتگرال ناسازگار.
12.1.3. علائم مقایسه توابع غیر منفی.

12.1.3.1. علامت مقایسه
12.1.3.2. علامت مقایسه در فرم محدود

12.1.4 همگرایی مطلق انتگرال های داخلی در یک واسطه بی نهایت.
12.1.5. نشانه های همگرایی Abel و Dirichle.

12.2 انتگرال ناقص از توابع نامحدود (انتگرال های غیر قابل درک از نوع دوم).

12.2.1. تعیین یک انتگرال ناسازگار از یک تابع نامحدود.

12.2.1.1. ویژگی در انتهای سمت چپ فاصله یکپارچه سازی.
12.2.1.2. استفاده از فرمول نیوتن لابیتا.
12.2.1.3. ویژگی در انتهای سمت راست یکپارچه سازی یکپارچه سازی.
12.2.1.4. ویژگی در نقطه داخلی یکپارچه سازی فاصله.
12.2.1.5. چندین ویژگی در فاصله یکپارچه سازی.

12.2.2. علائم مقایسه توابع غیر منفی.

12.2.2.1. علامت مقایسه
12.2.2.2. علامت مقایسه در فرم محدود

12.2.3. همگرایی مطلق و مشروط انتگرال های داخلی از توابع متناوب.
12.2.4. نشانه های همگرایی Abel و Dirichle.

12.1 انتگرال های نامعتبر برای یک فاصله نامحدود

(انتگرال های غیر قابل درک از نوع اول).

12.1.1 تعيين انتگرال ناسازگار در ميانگين نامحدود. اجازه دهید تابع f. (ایکس. ) بر روی نیمه محور تعیین می شود و برای هر بخش قابل تعویض است [ از آن، در هر یک از این موارد، وجود و اندام محدودیت های مربوطه را نشان می دهد. در حال حاضر راه حل های نمونه ها به سادگی نگاه می کنند: .

12.1.3. علائم مقایسه توابع غیر منفی. در این بخش، ما فرض می کنیم که تمام توابع یکپارچه در تمام زمینه تعریف غیرقابل کنترل هستند. تا کنون، ما همگرایی انتگرال را تعیین کرده ایم، محاسبه آن: اگر محدودیت محدودی از ابتدایی با میل مناسب (یا) وجود دارد، همگام سازی یکپارچه، در غیر این صورت - از بین رفته است. با این حال، هنگام حل وظایف عملی، مهم است که این واقعیت را تعیین کنیم که واقعیت همگرایی خود عمدتا ایجاد شده است و تنها پس از آن یکپارچه را محاسبه می کند (علاوه بر این، اولیه اغلب از طریق توابع ابتدایی بیان نمی شود). ما تعدادی از قضیه را تشکیل می دهیم که به شما امکان می دهد همگرایی و واگرایی انتگرال های ایمنی را از توابع غیر منفی ایجاد کنید بدون محاسبه آنها.
12.1.3.1. نشانه مقایسه. اجازه دهید توابع f. (ایکس. ) من. g. (ایکس. ) Integra

مواد ارائه شده در این موضوع بر اساس اطلاعات ارائه شده در موضوع "کسری های عقلانی است. تجزیه فراکسیون های منطقی بر روی بخش های ابتدایی (ساده)". من قبل از رفتن به خواندن این مطالب، حداقل از این موضوع استفاده کردم. علاوه بر این، ما به یک میز از انتگرال های نامعلوم نیاز داریم.

اجازه بدهید چند اصطلاح را یادآوری کنم. بنابراین ما در مورد آنها در موضوع مربوطه صحبت می کردیم، بنابراین فرمول کوتاه را در اینجا محدود خواهم کرد.

نسبت دو چندجمله ای $ \\ frac (p_n (x)) (q_m (x)) $، یک تابع منطقی یا یک کسری منطقی نامیده می شود. کسری منطقی نامیده می شود درستاگر $ n باشد< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется اشتباه.

مقادیر منطقی ابتدایی (ساده) به بخش های منطقی چهار نوع اشاره دارد:

$ \\ frac (a) (x-a) $؛
$ \\ frac (a) ((x-a) ^ n) $ ($ n \u003d 2،3،4، \\ ldots $)؛
$ \\ frac (mx + n) (x ^ 2 + px + q) $ ($ p ^ 2-4q< 0$);
$ \\ frac (mx + n) ((x ^ 2 + px + q) ^ n) $ ($ p ^ 2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

توجه داشته باشید (مطلوب برای درک کامل متن کامل): نمایش / پنهان کردن

چرا شما نیاز به شرایط $ p ^ 2-4Q دارید؟< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

به عنوان مثال، برای بیان $ x ^ 2 + 5x + $ 10 ما دریافت می کنیم: $ p ^ 2-4q \u003d 5 ^ 2-4 \\ cdot 10 \u003d -15 $. از آنجا که $ p ^ 2-4q \u003d -15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

به هر حال، لازم نیست که بگوییم که ضریب قبل از $ x ^ 2 $ برابر است 1. به عنوان مثال، برای $ 5x ^ 2 + 7x-3 \u003d 0 $ ما دریافت می کنیم: $ d \u003d 7 ^ 2-4 \\ CDOT 5 \\ CDOT (-3) \u003d 109 دلار. از آنجا که $ d\u003e 0 $، پس از آن عبارت 5x ^ 2 + 7x-3 $ تجزیه شده بر ضریب ها.

نمونه هایی از کسرهای منطقی (درست و نادرست)، و همچنین نمونه هایی از تجزیه کسری عقلانی در ابتدایی می توان یافت. در اینجا ما تنها به ادغام آنها علاقه مند خواهیم شد. بیایید با ادغام بخش های ابتدایی شروع کنیم. بنابراین، هر یک از چهار نوع از نخ های ابتدایی فوق ذکر شده، آسان است برای ادغام با استفاده از فرمول های زیر نشان داده شده است. اجازه دهید به شما یادآوری کنم که هنگام ادغام فرایندهای نوع (2) و (4) فرض می شود که $ n \u003d 2،3،4، \\ ldots $ است. فرمول ها (3) و (4) نیاز به اجرای شرط $ p ^ 2-4q< 0$.

\\ شروع (معادله) \\ int \\ frac (a) (xa) dx \u003d a \\ cdot \\ ln | xa | + c \\ معادله \\ begin (معادله) \\ int \\ frac (a) (xa) ^ n) dx \u003d - \\ frac (a) ((n - 1) (xa) ^ (n - 1)) + c \\ معادله \\ begin (معادله) \\ int \\ frac (mx + n) (x ^ 2 + px + q) dx \u003d \\ frac (m) (2) \\ cdot \\ ln (x ^ 2 + px + q) + \\ frac (2n-MP) (\\ sqrt (4q-p ^ 2)) \\ arcttg \\ frac (2x + p) (\\ sqrt (4q-p ^ 2)) + c \\ معادله

برای $ \\ int \\ frac (mx + n) ((x ^ 2 + px + q) ^ n) dx $ جایگزینی $ t \u003d x + \\ frac (p) (2) $، پس از اینکه اینتلرهای دریافت شده به دو تقسیم می شوند . اولین بار با استفاده از مقدمه تحت نشانه دیفرانسیل محاسبه می شود، و دوم، یک فرم $ i_n \u003d \\ int \\ int \\ frac (DT) ((t ^ 2 + a ^ 2) ^ n) $. این انتگرال با کمک یک رابطه مکرر گرفته شده است

\\ شروع (معادله) i_ (n + 1) \u003d \\ frac (1) (2na ^ 2) \\ frac (t) ((t ^ 2 + a ^ 2) ^ n) + \\ frac (2n-1) (2NA ^ 2) i_n، \\؛ n \\ in n \\ پایان (معادله)

محاسبه چنین انتگرال، به عنوان مثال 7، جداسازی شده است (قسمت سوم را ببینید).

طرح برای محاسبه انتگرال ها از توابع عقلانی (کسرهای منطقی):

اگر کسر یکپارچه ابتدایی باشد، سپس فرمول ها را اعمال کنید (1) - (4).
اگر کسر یکپارچه ابتدایی نیست، سپس آن را به صورت مقدار بخش های ابتدایی ارسال کنید و سپس با استفاده از فرمول ها ادغام کنید (1) - (4).

الگوریتم فوق برای ادغام فراکسیون های منطقی، کرامت غیر قابل انکار است - این جهانی است. کسانی که. با استفاده از این الگوریتم شما می توانید ادغام کنید هر کسی کسری منطقی به همین دلیل است که تقریبا همه جایگزین متغیرهای یکپارچگی نامحدود (جایگزینی اویلر، چبیشف، جایگزینی مثلثاتی جهانی) با چنین محاسباتی ساخته می شوند تا پس از آن جایگزین شود، کسری منطقی به دست می آید. و در حال حاضر الگوریتم را به آن اعمال می شود. استفاده فوری از این الگوریتم به مثالهایی نگاه می کند، پس از ایجاد یک یادداشت کوچک.

$$ \\ int \\ frac (7dx) (x + 9) \u003d 7 \\ ln | x + 9 | + c. $$

در اصل، این انتگرال آسان است برای به دست آوردن بدون استفاده مکانیکی از فرمول. اگر مبلغ 7 میلیارد دلاری را برای علامت انتگرال ثابت کنید و توجه کنید که $ dx \u003d d (x + 9) $، پس از آن ما دریافت می کنیم:

$$ \\ int \\ frac (7dx) (x + 9) \u003d 7 \\ cdot \\ int \\ frac (DX) (x + 9) \u003d 7 \\ cdot \\ int \\ frac (d (x + 9)) (x + 9) ) \u003d | u \u003d x + 9 | \u003d 7 \\ cdot \\ int \\ frac (du) \u003d 7 \\ ln | u | + c \u003d 7 \\ ln | x + 9 | + c. $$

برای اطلاعات دقیق برای دیدن موضوع مورد آداب شده است. جزئیات توضیح داده شده است که چگونه انتگرال های مشابه حل می شوند. به هر حال، فرمول توسط همان تحولات ثابت شده است که آنها در این مرحله هنگام ساخت "دستی" اعمال می شود.

2) دوباره دو راه وجود دارد: فرمول پایان را اعمال کنید یا بدون آن انجام دهید. اگر فرمول را اعمال کنید، باید توجه داشت که ضریب قبل از $ x $ (شماره 4) باید حذف شود. برای انجام این کار، به سادگی چهارمین را تحمل می کنید:

$$ \\ int \\ frac (11dx) ((4x + 19) ^ 8) \u003d \\ int \\ frac (11dx) (\\ left (4 \\ left (x + \\ frac (19) (4) \\ right) \\ right) ^ 8) \u003d \\ int \\ frac (11dx) (4 ^ 8 \\ left (x + \\ frac (19) (4) \\ right) ^ 8) \u003d \\ int \\ frac (\\ frac (\\ frac (11) (4 ^ 8) DX) (\\ left (x + \\ frac (19) (4) \\ right) ^ 8). $$

در حال حاضر اسکلت برای استفاده از فرمول آمده است:

$$ \\ int \\ frac (\\ frac (11) (4 ^ 8) DX) (\\ left (x + \\ frac (19) (4) \\ right) ^ 8) \u003d - \\ frac (\\ frac (11) ( 4 ^ 8)) ((8-1) \\ left (x + \\ frac (19) (4) \\ right) ^ (8-1)) + c \u003d - \\ frac (\\ frac (11) (4 ^ 8 ) (7 \\ left (x + \\ frac (19) (4) \\ right) ^ 7) + c \u003d - \\ frac (11) (7 / cdot 4 ^ 8 \\ سمت چپ (x + \\ frac (19) ( 4) \\ right) ^ 7) + c. $$

شما می توانید بدون استفاده از فرمول انجام دهید. و حتی بدون ارائه یک مبلغ 4 دلار برای براکت. اگر ما این $ dx \u003d \\ frac (1) (4) D (4x + 19) $ را در نظر بگیریم، سپس دریافت می کنیم:

$$ \\ int \\ frac (11dx) ((4x + 19) ^ 8) \u003d 11 \\ int \\ frac (DX) ((4x + 19) ^ 8) \u003d \\ frac (11) (4) \\ int \\ frac ( D (4x + 19)) ((4x + 19) ^ 8) \u003d | U \u003d 4X + 19 | \u003d \\\\ \u003d \\ frac (11) (4) \\ int \\ frac (du) (u ^ 8) \u003d \\ Frac (11) (4) \\ int u ^ (- 8) \\؛ du \u003d \\ frac (11) (4) \\ cdot \\ frac (u ^ (- 8 + 1)) (8 + 1) + c \u003d \\\\ \u003d \\ frac (11) (4) \\ cdot \\ frac (u ^ (- 7)) (- 7) + c \u003d - \\ frac (11) (28) \\ cdot \\ frac (1) (u ^ 7 ) + c \u003d - \\ frac (11) (28 (4x + 19) ^ 7) + C. $$

توضیحات مفصلی برای پیدا کردن چنین انتگرال ها در موضوع "ادغام جایگزینی (مقدمه تحت نشانه دیفرانسیل) داده می شود."

3) ما نیاز به ادغام کسری از $ \\ frac (4x + 7) (x ^ 2 + 10x + 34) $. این کسری دارای ساختار $ \\ frac (mx + n) (x ^ 2 + px + q) $ است، که در آن $ m \u003d $ 4، $ n \u003d $ 7، $ p \u003d 10، $ q \u003d $ q \u003d $ $ با این حال، مطمئن شوید که این یک بخش ابتدایی ابتدایی از نوع سوم است، شما باید اجرای شرایط $ p ^ 2-4Q را بررسی کنید< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \\ int \\ frac (4x + 7) (x ^ 2 + 10x + 34) dx \u003d \\ frac (4) (2) \\ cdot \\ ln (x ^ 2 + 10x + 34) + \\ frac (2 \\ cdot 7-4 \\ CDOT 10) (\\ sqrt (4 \\ cdot 34-10 ^ 2)) \\ arrctg \\ frac (2x + 10) (\\ sqrt (4 \\ cdot 34-10 ^ 2)) + c \u003d \\\\ \u003d 2 \\ cdot \\ ln (x ^ 2 + 10x + 34) + \\ frac (-26) (\\ sqrt (36)) \\ arcttg \\ frac (2x + 10) (\\ sqrt (36)) + c \u003d 2 \\ cdot \\ ln (x ^ 2 + 10x + 34) + \\ frac (-26) (6) \\ arrctg \\ frac (2x + 10) (6) + c \u003d \\\\ \u003d 2 \\ cdot \\ ln (x ^ 2 + 10x +34) - \\ frac (13) (3) \\ arrctg \\ frac (x + 5) (3) + C. $$

من همان مثال را حل می کنم، اما بدون استفاده از فرمول به پایان رسید. اجازه دهید ما سعی کنیم مشتقات نامزدی را در عددی انتخاب کنیم. این یعنی چی؟ ما می دانیم که $ (x ^ 2 + 10x + 34) "\u003d 2x + 10 دلار است. این بیان $ 2X + $ 10 به ما است و در عددی تعیین می شود. تا کنون، عددی تنها $ 4X + را شامل می شود 7 دلار، اما طولانی نیست. به این رقم تبدیل به یک تبدیل تبدیل کنید:

$$ 4X + 7 \u003d 2 \\ CDOT 2X + 7 \u003d 2 \\ CDOT (2x + 10-10) + 7 \u003d 2 \\ cdot (2x + 10) -2 \\ cdot 10 + 7 \u003d 2 \\ cdot (2x + 10) -13 $$

در حال حاضر بیان مورد نیاز $ 2X + $ 10 در عددی ظاهر شد. و انتگرال ما را می توان در این فرم بازنویسی کرد:

$$ \\ int \\ frac (4x + 7) (x ^ 2 + 10x + 34) dx \u003d \\ int \\ frac (2 \\ cdot (2x + 10) -13) (x ^ 2 + 10x + 34) dx. $$

کسر انتگرال را برای دو نفر تهدید می کند. خوب، بر این اساس، انتگرال خود نیز "تقسیم" است:

$$ \\ int \\ frac (2 \\ cdot (2x + 10) -13) (x ^ 2 + 10x + 34) dx \u003d \\ int \\ left (\\ frac (2 \\ cdot (2x + 10)) (x ^ 2) + 10x + 34) - \\ frac (13) (x ^ 2 + 10x + 34) \\ right) \\؛ dx \u003d \\\\ \u003d \\ int \\ frac (2 \\ cdot (2x + 10)) (x ^ 2 + 10x + 34) dx- \\ int \\ frac (13dx) (x ^ 2 + 10x + 34) \u003d 2 \\ cdot \\ int \\ frac ((2x + 10) dx) (x ^ 2 + 10x + 34) -13 \\ cdot \\ int \\ frac (DX) (x ^ 2 + 10x + 34). $$

بیایید ابتدا درباره اولین انتگرال صحبت کنیم، I.E. درباره $ \\ int \\ frac ((2x + 10) DX) (x ^ 2 + 10x + 34) $. از آنجا که $ D (x ^ 2 + 10x + 34) \u003d (x ^ 2 + 10x + 34) "dx \u003d (2x + 10) dx $، سپس در تعداد کسر یکپارچه، دیفرانسیل متفاوتی از جانبازان است. به طور خلاصه، به جای آن از یک عبارت $ (2x + 10) DX $ ما $ D را نوشتیم (X ^ 2 + 10x + 34) $.

حالا اجازه دهید چند کلمه در مورد انتگرال دوم بگویم. ما مربع کامل را در Dentinator برجسته می کنیم: $ x ^ 2 + 10x + 34 \u003d (x + 5) ^ 2 + 9 $. علاوه بر این، ما $ DX \u003d D (X + 5) $ را در نظر می گیریم. در حال حاضر ما قبلا دریافت کردیم مقدار انتگرال ها را می توان در چند فرم دیگر بازنویسی کرد:

$$ 2 \\ cdot \\ int \\ frac ((2x + 10) dx) (x ^ 2 + 10x + 34) -13 \\ cdot \\ int \\ frac (DX) (x ^ 2 + 10x + 34) \u003d 2 \\ cdot \\ int \\ frac (d (x ^ 2 + 10x + 34)) (x ^ 2 + 10x + 34) -13 \\ cdot \\ int \\ frac (d (x + 5)) ((x + 5) ^ 2 + نه). $$

اگر در اولین انتگرال برای جایگزینی $ u \u003d x ^ 2 + 10x + 34 $ باشد، پس از آن فرم $ \\ int \\ frac (du) (U) $ را دریافت می کند و از فرمول دوم استفاده می کند. همانطور که برای یکپارچه دوم، جایگزینی $ U \u003d x + $ 5 برای آن متوجه می شود، پس از آن فرم $ \\ int \\ frac (du) (U ^ 2 + 9) $. این خالص ترین فرمول آب یازدهم از جدول انتگرال های نامشخص است. بنابراین، بازگشت به مجموع انتگرال ها، ما خواهیم داشت:

$$ 2 \\ cdot \\ int \\ frac (d (x ^ 2 + 10x + 34)) (x ^ 2 + 10x + 34) -13 \\ cdot \\ int \\ frac (d (x + 5)) (x + 5) ^ 2 + 9) \u003d 2 \\ cdot \\ ln (x ^ 2 + 10x + 34) - \\ frac (13) (3) \\ arrctg \\ frac (x + 5) (3) + c. $$

ما همان پاسخ را به عنوان زمانی که با استفاده از فرمول، که، در واقع، تعجب آور نیست. به طور کلی، فرمول با همان روش ها ثابت شده است، KOI ما برای پیدا کردن این انتگرال استفاده کردیم. من معتقدم که یک خواننده مراقب ممکن است یک سوال در اینجا داشته باشد، بنابراین من آن را فرمول می کنم:

سوال شماره 1

اگر $ \\ int \\ integral integral (D (x ^ 2 + 10x + 34)) (x ^ 2 + 10x + 34) $ فرمول دوم را از جدول انتگرال های نامعلوم اعمال کنید، سپس ما موارد زیر را بدست آوریم:

$$ \\ int \\ frac (d (x ^ 2 + 10x + 34)) (x ^ 2 + 10x + 34) \u003d | U \u003d x ^ 2 + 10x + 34 | \u003d \\ int \\ frac (du) (U) \u003d \\ ln | U | + c \u003d \\ ln | x ^ 2 + 10x + 34 | + c. $$

چرا یک ماژول در حل وجود دارد؟

پاسخ به سوال №1

سوال به طور کامل یادگیری است. ماژول تنها به این دلیل بود که عبارت $ x ^ 2 + 10x + 34 $ با هر $ x \\ در R $ بیشتر صفر بود. این کاملا آسان است برای نشان دادن چندین مسیر. به عنوان مثال، از آنجا که $ x ^ 2 + 10x + 34 \u003d (x + 5) ^ 2 + 9 $ و $ (x + 5) ^ 2 ≥ 0 $، $ (x + 5) ^ 2 + 9\u003e 0 $ . این می تواند مورد قضاوت قرار گیرد و در موارد دیگر، آزاد شدن یک مربع کامل را جذب کند. از آنجا که $ 10 ^ 2-4 \\ cdot 34 \u003d -16< 0$, то $x^2+10x+34 > 0 $ برای هر $ x \\ در R $ (اگر این زنجیره منطقی تعجب آور است، من به شما توصیه می کنم که روش گرافیکی حل نابرابری های مربع را ببینید). در هر صورت، از آنجا که $ x ^ 2 + 10x + 34\u003e 0 $، سپس $ | x ^ 2 + 10x + 34 | \u003d x ^ 2 + 10x + 34 $، I.E. به جای ماژول، می توانید از براکت های معمولی استفاده کنید.

تمام موارد نمونه شماره 1 حل شده است، تنها برای نوشتن پاسخ باقی می ماند.

پاسخ:

$ \\ int \\ frac (7dx) (x + 9) \u003d 7 \\ ln | x + 9 | + c $؛
$ \\ int \\ frac (11dx) ((4x + 19) ^ 8) \u003d - \\ frac (11) (28 (4x + 19) ^ 7) + c $؛
$ \\ int \\ frac (4x + 7) (x ^ 2 + 10x + 34) dx \u003d 2 \\ cdot \\ ln (x ^ 2 + 10x + 34) - \\ frac (13) (3) \\ arrctg \\ frac (x +5) (3) + c $.

مثال شماره 2

پیدا کردن یکپارچه $ \\ int \\ frac (7x + 12) (3x ^ 2-5x-2) DX $.

در نگاه اول، یک بخش جایگزین از $ \\ frac (7x + 12) (3x ^ 2-5x-2) $ بسیار شبیه به بخش ابتدایی نوع سوم است، I.E. در $ \\ frac (mx + n) (x ^ 2 + px + q) $. به نظر می رسد که تفاوت یک بینایی یک ضریب 3 دلار قبل از $ x ^ ^ $ 2 باشد، اما ضریب و برای مدت زمان طولانی (برای براکت ها) حذف شود. با این حال، این شباهت آشکار است. برای کسرها $ \\ frac (mx + n) (x ^ 2 + px + q) $ اجباری شرط $ p ^ 2-4q است< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

ما یک ضریب را قبل از $ x ^ 2 $ داریم که برابر با یک برابر نیست، بنابراین شرایط $ p ^ 2-4Q را بررسی کنید< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D > بنابراین، 0 $، بیان $ 3x ^ 2-5x-2 $ می تواند بر روی multipliers تجزیه شود. و این بدان معنی است که کسری از $ \\ frac (7x + 12) (3x ^ 2-5x-2) $ یک بخش ابتدایی از نوع سوم نیست و به یکپارچه $ \\ int \\ frac (7x + 12) اعمال می شود (3x ^ 2- 5x-2) فرمول DX $ غیر ممکن است.

خوب، اگر کسری منطقی مشخص شده ابتدایی نیست، باید آن را به عنوان مقدار کسری های ابتدایی نشان داده شود، و سپس ادغام شود. به طور خلاصه، ردیابی مزیت را دارد. چگونگی تجزیه کسری منطقی در ابتدایی به طور دقیق نوشته شده است. بیایید با این واقعیت شروع کنیم که جانباز تجزیه خواهد شد:

$$ 3x ^ 2-5x-2 \u003d 0؛ \\\\ \\ aligned (aligned) & d \u003d (- 5) ^ 2-4 \\ cdot 3 \\ cdot (-2) \u003d 49؛ \\\\ & x_1 \u003d \\ frac ( - (- 5) - \\ sqrt (49)) (2 \\ cdot 3) \u003d \\ frac (5-7) (6) \u003d \\ frac (-2) (6) \u003d - \\ frac (1) (3)؛ \\\\ & x_2 \u003d \\ frac (- (- 5) + \\ sqrt (49)) (2 \\ cdot 3) \u003d \\ frac (5 + 7) (6) \u003d \\ frac (12) (6) \u003d 2. \\ \\ \\ end (aligned) \\\\ 3x ^ 2-5x-2 \u003d 3 \\ cdot \\ left (x- \\ left (- \\ frac (1) (3) \\ right) \\ right) \\ cdot (x-2) \u003d 3 \\ cdot \\ left (x + \\ frac (1) (3) \\ right) (x-2). $$

بخش زیرزمینی در این فرم ارسال می شود:

$$ \\ frac (7x + 12) (3x ^ 2-5x-2) \u003d \\ frac (7x + 12) (3 \\ cdot \\ left (x + \\ frac (1) (3) \\ right) (x-2 ) \u003d \\ frac (\\ frac (7) (3) x + 4) (\\ left (x + \\ frac (1) (3) \\ right) (x-2)). $$

در حال حاضر کسری از $ \\ frac (\\ frac (7) (3) x + 4) (\\ left (x + \\ frac (1) (3) \\ right) (x-2)) $ در هر ابتدایی تجزیه می شود:

$$ \\ frac (\\ frac (7) (3) x + 4) (\\ left (x + \\ frac (1) (3) \\ right) (x-2)) \u003d \\ frac (a) (x + \\ Frac (1) (3)) + \\ frac (b) (x - 2) \u003d \\ frac (a (x-2) + b \\ سمت چپ (x + \\ frac (1) (3) \\ right)) (\\ سمت چپ (x + \\ frac (1) (3) \\ right) (x-2))؛ \\\\\\ frac (7) (3) x + 4 \u003d a (x - 2) + b \\ سمت چپ (x + \\ Frac (1) (3) \\ Right). $$

برای پیدا کردن ضرایب $ A $ and $ b $ دو مسیر استاندارد وجود دارد: یک روش ضرایب نامشخص و یک روش برای جایگزینی ارزش های خصوصی. ما از روش جایگزینی مقادیر خصوصی، جایگزینی $ x \u003d 2 دلار استفاده می کنیم، و سپس $ x \u003d - \\ frac (1) (3) $:

$$ \\ frac (7) (3) x + 4 \u003d a (x-2) + b \\ سمت چپ (x + \\ frac (1) (3) \\ right). \\\\ x \u003d 2؛ \\؛ \\ frac (7) (3) \\ cdot 2 + 4 \u003d a (2-2) + b \\ سمت چپ (2+ \\ frac (1) (3) \\ right)؛ \\؛ \\ frac (26) (3) \u003d \\ frac (7) (3) b؛ \\؛ b \u003d \\ frac (26) (7). \\\\ x \u003d - \\ frac (1) (3)؛ \\؛ \\ frac (7) (3) \\ cdot \\ left (- \\ frac (1) (3) \\ right) + 4 \u003d a \\ left (- \\ frac (1) (3) -2 \\ right) + b \\ left (- \\ frac (1) (3) + \\ frac (1) (3) \\ right)؛ \\؛ \\ frac (29) (9) \u003d - \\ frac (7) (3) a؛ \\؛ a \u003d - \\ frac (29 \\ cdot 3) (9 \\ cdot 7) \u003d - \\ frac (29) (21). \\\\ $$

از آنجا که ضرایب یافت می شود، تنها برای ضبط تجزیه به پایان رسیده است:

$$ \\ frac (\\ frac (7) (3) x + 4) (\\ left (x + \\ frac (1) (3) \\ right) (x-2)) \u003d \\ frac (- \\ frac (29) (21)) (X + \\ Frac (1) (3)) + \\ frac (\\ frac (26) (7)) (x-2). $$

در اصل، شما می توانید این رکورد را ترک کنید، اما من یک گزینه دقیق تر دارم:

$$ \\ frac (\\ frac (7) (3) x + 4) (\\ left (x + \\ frac (1) (3) \\ right) (x-2)) \u003d - \\ frac (29) (21) \\ cdot \\ frac (1) (x + \\ frac (1) (3)) + \\ frac (26) (7) \\ cdot \\ frac (1) (x-2). $$

بازگشت به انتگرال اولیه، ما تجزیه نتیجه را جایگزین خواهیم کرد. سپس ما یکپارچه را به دو تقسیم می کنیم و هر کدام فرمول را اعمال می کنیم. ثابت من ترجیح می دهم بلافاصله علامت انتگرال را تحمل کنم:

$$ \\ int \\ frac (7x + 12) (3x ^ 2-5x-2) dx \u003d \\ int \\ left (- \\ frac (29) (21) \\ cdot \\ frac (1) (x + \\ frac (1 ) (3)) + \\ frac (26) (7) \\ cdot \\ frac (1) (x-2) \\ right) dx \u003d \\\\ \u003d \\ int \\ left (- \\ frac (29) (21) \\ cdot \\ frac (1) (x + \\ frac (1) (3)) \\ right) dx + \\ int \\ left (\\ frac (26) (7) \\ cdot \\ frac (1) (x-2) \\ right) DX \u003d - \\ Frac (29) (21) \\ cdot \\ int \\ frac (DX) (x + \\ frac (1) (3)) + \\ frac (26) (7) \\ cdot \\ int \\ frac (DX) (x-2) dx \u003d \\\\ \u003d - \\ frac (29) (21) \\ cdot \\ ln \\ left | x + \\ frac (1) (3) \\ right | + \\ frac (26) \\ cdot \\ ln | x- 2 | + c. $$

پاسخ: $ \\ int \\ frac (7x + 12) (3x ^ 2-5x-2) dx \u003d - \\ frac (29) (21) \\ cdot \\ ln \\ live | x + \\ frac (1) (3) \\ right | + \\ frac (26) (7) \\ cdot \\ ln | x-2 | + c $.

مثال شماره 3

یکپارچه $ \\ int \\ frac (x ^ 2-38x + 157) ((x-1) (x + 4) (x-9)) DX $ را پیدا کنید.

ما باید کسری از $ \\ frac (x ^ 2-38x + 157) ((x-1) (x + 4) (x-9)) را ادغام کنیم. این تعداد شامل چند جمله ای از درجه دوم و در نامزدی - درجه سوم چندجملهای است. از آنجا که درجه چندجمله ای در یک عددی کمتر از درجه چندجملهای در مخفف است، I.E. 2 دلار< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \\ frac (x-2-38x + 157) (x-1) (x + 4) (x-9)) \u003d - \\ frac (3) (x - 1) + \\ frac (5) (x +4) - \\ frac (1) (x-9). $$

ما فقط باید یکپارچه مشخص شده از سه را شکست دهیم و هر فرم فرمول را اعمال کنیم. ثابت من ترجیح می دهم بلافاصله علامت انتگرال را تحمل کنم:

$$ \\ int \\ frac (x-2-38x + 157) ((x-1) (x + 4) (x-9)) dx \u003d \\ int \\ سمت چپ (- \\ frac (3) (x-1) + \\ frac (5) (x + 4) - \\ frac (1) (x-9) \\ right) dx \u003d \\\\ \u003d - 3 \\ cdot \\ int \\ frac (x - 1) + 5 \\ cdot \\ int \\ frac (DX) (x + 4) - \\ int \\ frac (DX) (x-9) \u003d - 3 \\ ln | x-1 | +5 \\ ln | x + 4 | - \\ ln | x- 9 | + c $$

پاسخ: $ \\ int \\ frac (x ^ 2-38x + 157) ((x-1) (x + 4) (x-9)) dx \u003d -3 \\ ln | x-1 | +5 \\ ln | x + 4 | - \\ ln | x-9 | + c $.

ادامه تجزیه و تحلیل نمونه های این موضوع در بخش دوم قرار دارد.

نمونه هایی از ادغام توابع عقلانی (فراکسیون) با راه حل های دقیق در نظر گرفته شده است.

محتوا

همچنین ببینید: ریشه های مربع ریشه

در اینجا ما راه حل های مفصلی از سه نمونه از ادغام بخش های عقلانی زیر را ارائه می دهیم:
, , .

مثال 1

محاسبه انتگرال:
.

در اینجا، تحت نشانه انتگرال، یک تابع منطقی وجود دارد، زیرا انتگرال یک بخش از چندجملهای است. درجه چندجمله ای از نامزدی ( 3 ) کمتر از درجه عددی چندجمله ای ( 4 ) بنابراین، ابتدا لازم است که کل قسمت از کسری را تخصیص دهیم.

1. ما کل قسمت از fraci را برجسته می کنیم. delim x 4 در X. 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:

از اینجا
.

2. تکه تکه کردن از کسری از تقسیمات را بر روی ضربات. برای انجام این کار، یک معادله مکعبی را حل کنید:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
جایگزین x \u003d 1 :
.

1 . ما در x تقسیم می کنیم - 1 :

از اینجا
.
ما معادله مربع را حل می کنیم.
.
معادلات ریشه: ،.
سپس
.

3. ما کسری را در ساده ترین تجزیه می کنیم.

.

بنابراین، ما متوجه شدیم:
.
ما ادغام می کنیم

مثال 2

محاسبه انتگرال:
.

در اینجا در عددی از کسری - چند جمله ای از درجه صفر ( 1 \u003d x 0) در نامزدی - چند جمله ای از درجه سوم. تا آنجا که 0 < 3 ، خرد کردن درست است. آن را در ساده ترین بخش گسترش دهید.

1. تکه تکه کردن از کسری از تقسیمات را بر روی ضربات. برای انجام این کار، لازم است که معادله درجه سوم را حل کنیم:
.
فرض کنید حداقل یک ریشه کامل دارد. سپس او تقسیم شماره است 3 (عضو بدون x). به عبارت دیگر، کل ریشه می تواند یکی از اعداد باشد:
1, 3, -1, -3 .
جایگزین x \u003d 1 :
.

بنابراین، ما یک ریشه x \u003d 1 . delim x 3 + 2 x - 3 در x - 1 :

بنابراین،
.

ما معادله مربع را حل می کنیم:
ایکس. 2 + X + 3 \u003d 0.
ما تشخیص دادیم: D \u003d 1 2 - 4 · 3 \u003d -11. از آنجا که D.< 0 معادله ریشه های معتبر ندارد بنابراین، ما تجزیه و تحلیل نامزدی را برای multipliers دریافت کردیم:
.

2.
.
(x - 1) (x 2 + x + 3):
(2.1) .
جایگزین x \u003d 1 . سپس x - 1 = 0 ,
.

جایگزین B. (2.1) x \u003d. 0 :
1 \u003d 3 a - c;
.

اطمینان حاصل کنید که ب (2.1) ضرایب X. 2 :
;
0 \u003d a + b;
.

3. ما ادغام می کنیم
(2.2) .
برای محاسبه یکپارچه دوم، مشتق مخرب را در عددی انتخاب کنید و به مجموع مربعات اختصاص دهید.

;
;
.

محاسبه I. 2 .

.
از آنجا که معادله X. 2 + X + 3 \u003d 0 ریشه های معتبر ندارد، سپس X 2 + X + 3\u003e 0. بنابراین، علامت ماژول را می توان حذف کرد.

عرضه در (2.2) :
.

مثال 3

محاسبه انتگرال:
.

در اینجا، تحت نشانه ای از انتگرال، ارزش کسر از چندجملهای ارزش دارد. بنابراین، انتگرال یک تابع منطقی است. درجه چندجملهای در عددی برابر است 3 . درجه چندجمله ای از عددی از کسری برابر است 4 . تا آنجا که 3 < 4 ، خرد کردن درست است. بنابراین، می توان آن را در ساده ترین بخش قرار داد. اما برای این منظور شما نیاز به تجزیه معاینه برای multipliers.

1. تکه تکه کردن از کسری از تقسیمات را بر روی ضربات. برای انجام این کار، معادله درجه چهارم را حل کنید:
.
فرض کنید حداقل یک ریشه کامل دارد. سپس او تقسیم شماره است 2 (عضو بدون x). به عبارت دیگر، کل ریشه می تواند یکی از اعداد باشد:
1, 2, -1, -2 .
جایگزین x \u003d -1 :
.

بنابراین، ما یک ریشه x \u003d -1 . ما در x تقسیم می کنیم - (-1) \u003d x + 1:

بنابراین،
.

حالا شما باید معادله درجه سوم را حل کنید:
.
اگر فرض کنیم که این معادله ریشه کامل دارد، پس از آن یک تقسیم کننده است 2 (عضو بدون x). به عبارت دیگر، کل ریشه می تواند یکی از اعداد باشد:
1, 2, -1, -2 .
جایگزین x \u003d -1 :
.

بنابراین، ما یکی دیگر از ریشه های x \u003d -1 . این ممکن است، همانطور که در مورد قبلی، تقسیم چندجمله به، اما ما اعضای گروه بندی شده:
.

از آنجا که معادله X. 2 + 2 = 0 این ریشه های واقعی ندارد، ما تجزیه و تحلیل نامزدی را برای عوامل دریافت کردیم:
.

2. ما کسری را در ساده ترین تجزیه می کنیم. ما به دنبال تجزیه در فرم هستیم:
.
ما از جانباز آزاد می شویم، تقسیم می شود (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1) .
جایگزین x \u003d -1 . سپس X +. 1 = 0 ,
.

تفکیک (3.1) :

;

.
جایگزین x \u003d -1 و ما آن را در نظر می گیریم که X + 1 = 0 :
;
; .

جایگزین B. (3.1) x \u003d. 0 :
0 \u003d 2 A + 2 B + D;
.

اطمینان حاصل کنید که ب (3.1) ضرایب X. 3 :
;
1 \u003d B + C;
.

بنابراین، ما تجزیه و تحلیل را در ساده ترین بخش ها یافتیم:
.

3. ما ادغام می کنیم

.

همچنین ببینید:

به یاد بیاورید که منطقی منطقی توابع تماس نوع $ $ f (x) \u003d \\ frac (p_n (x)) (q_m (x))، $$ در مورد کلی نسبت دو چندجملهای ٪٪ p_n (x) ٪٪ و ٪٪ q_m (x)٪٪.

اگر ٪٪ m\u003e n \\ geq 0 ٪٪، سپس کسری منطقی نامیده می شود درستدر غیر این صورت، اشتباه است با استفاده از قانون تقسیم چند جملهای، کسری منطقی نادرست را می توان به عنوان مقدار چندجملهای ٪٪ p_ (n-m) ٪٪ درجه ٪٪ n - m ٪٪ و برخی از کسری صحیح، به عنوان مثال نشان داد. $$ \\ frac (p_n (x)) (q_m (x)) \u003d p_ (nm) (x) + \\ frac (p_L (x)) (q_n (x))، $$ که ٪٪٪ l ٪٪ polynomial٪ ٪ p_L (x) ٪٪ کمتر از درجه ٪٪ n ٪٪ از polynomial ٪٪ q_n (x) ٪٪.

بنابراین، یک انتگرال نامحدود از یک تابع منطقی می تواند به مجموع انتگرال های نامعلوم از چندجمله ای و از کسری منطقی صحیح ارائه شود.

انتگرال از ساده ترین کسرهای منطقی

در میان کسرهای منطقی صحیح، چهار نوع مشخص هستند که متعلق به آن هستند ساده ترین کسرهای منطقی:

٪٪ \\ displaystyle \\ frac (a) (x - a) ٪٪،
٪٪ \\ displaystyle \\ frac (a) ((x - a) ^ k) ٪٪
٪٪ \\ displaystyle \\ frac (AX + B) (x ^ 2 + px + q) ٪٪
٪٪ \\ displaystyle \\ frac (AX + B) ((x ^ 2 + px + q) ^ k) ٪٪

جایی که٪ k\u003e 1 ٪٪ - عدد صحیح و ٪٪ p ^ 2 - 4Q< 0%%, т.е. квадратные уравнения не имеют действительных корней.

محاسبه انتگرال های نامشخص از بخش های دو نوع اول

محاسبه انتگرال های نامعلوم از فراکسیون های دو نوع اول باعث مشکلات نمی شود: $$ \\ شروع (آرایه) (LL) \\ int \\ frac (a) (x - a) \\ mathrm (d) x & \u003d a \\ int \\ frac (\\ mathrm (d) (x - a)) (x - a) \u003d a \\ ln | x - a | + C، \\\\ \\\\\\ \\ int \\ frac (a) ((x - a) ^ k) \\ mathrm (د) x \\ \u003d a \\ int \\ frac (\\ mathrm (d) (x - a)) (( x - a) ^ k) \u003d a \\ frac ((xa) ^ (- k + 1)) (- k + 1) + c \u003d \\\\ \\ - \\ frac (a) ((k-1) (xa) ^ (k-1)) + C. \\ end (آرایه) $$

محاسبه انتگرال های نامعلوم از فراوانی نوع سوم

بخش اول نوع سوم ما تبدیل می کنیم، مربع کامل را در Dentinator برجسته می کنیم: $$ \\ frac (AX + B) (x ^ 2 + px + q) \u003d \\ frac (ax + b) (x + p / 2) ^ 2 + Q - P ^ 2/4)، $$ AS ٪٪ P ^ 2 - 4Q< 0%%, то %%q - p^2/4 > 0 ٪٪، که به عنوان ٪٪ a ^ 2 ٪٪ را نشان می دهد. جایگزینی همچنین٪ t \u003d x + p / 2، \\ mathrm (d) t \u003d \\ mathrm (d) x ٪٪، ما نامعلوم را تبدیل می کنیم و انتگرال را از بخش سوم نوع سوم در فرم $$ \\ شروع می کنیم (آرایه) ) (ll) \\ int \\ frac (ax + b) (x ^ 2 + px + q) \\ mathrm (د) x \\ \u003d \\ int \\ frac (ax + b) ((x + p / 2) ^ 2 + Q - p ^ 2/4) \\ mathrm (د) x \u003d \\\\ \\ \\ int \\ frac (a (t - p / 2) + b) (t ^ 2 + a ^ 2) \\ mathrm (d) t \u003d \\ int \\ frac (در + (b - a p / 2)) (t ^ 2 + a ^ 2) \\ mathrm (د) T. \\ end (آرایه) $$

آخرین انتگرال، با استفاده از خطی بودن یک انتگرال نامحدود، تصور کنید به شکل مجموع دو و در اولین آنها ٪٪٪٪ t ٪٪ زیر علامت دیفرانسیل را معرفی کنید: $$ \\ شروع (آرایه) \\ int \\ frac ( در + (B - AP / 2)) (t ^ 2 + a ^ 2) \\ mathrm (d) t & \u003d a \\ int \\ frac (t \\ mathrm (d) t) (t ^ 2 + a ^ 2) + \\ left (b - \\ frac (pa) (2) \\ right) \\ int \\ int \\ frac (\\ mathrm (d) t) (t ^ 2 + a ^ 2) \u003d \\\\ \\ \u003d \\ frac (a) (2 ) \\ int \\ frac (\\ mathrm (d) \\ left (t ^ 2 + a ^ 2 \\ right)) (t ^ 2 + a ^ 2) + - \\ frac (2b - pa) (2) \\ int \\ frac (\\ mathrm (d) t) (t ^ 2 + a ^ 2) \u003d \\\\ \\ \\ frac (a) (2) \\ l \\ left | t ^ 2 + a ^ 2 \\ right | + \\ frac (2b - pa) (2A) \\ text (arctg) \\ frac (t) (a) + c. \\ end (آرایه) $$

بازگشت به متغیر اصلی ٪٪ x ٪٪، به عنوان یک نتیجه، برای کسری از نوع سوم، ما به دست آوردن $$ \\ int \\ frac (AX + B) (x ^ 2 + px + q) \\ mathrm (د) x \u003d \\ frac (a) (2) \\ l \\ left | x ^ 2 + px + q \\ right | + \\ frac (2b - pa) (2a) \\ text (arctg) \\ frac (x + p / 2) (a) + c، $$ که ٪٪ a ^ 2 \u003d q - p ^ 2/4\u003e 0٪ ٪

محاسبه انتگرال نوع 4 دشوار است، بنابراین در این دوره در نظر گرفته نشده است.