بخش های متناسب در یک مثلث اثبات. درس "قطعات متناسب در مثلث قائم الزاویه"
نشانه تشابه مثلث های قائم الزاویه
ابتدا علامت تشابه مثلث های قائم الزاویه را معرفی می کنیم.
قضیه 1
نشانه تشابه مثلث های قائم الزاویه: دو مثلث قائم الزاویه زمانی شبیه هم هستند که هر کدام یک زاویه تند مساوی داشته باشند (شکل 1).
شکل 1. مثلث های قائم الزاویه مشابه
اثبات
اجازه دهید به ما داده شود که $\angle B=\angle B_1$. از آنجایی که مثلث ها قائم الزاویه هستند، $\angle A=\angle A_1=(90)^0$. بنابراین با توجه به اولین علامت تشابه مثلث ها شبیه هم هستند.
قضیه ثابت شده است.
قضیه ارتفاع در مثلث قائم الزاویه
قضیه 2
ارتفاع مثلث قائم الزاویه که از رأس زاویه قائم الزاویه کشیده شده است، مثلث را به دو مثلث قائم الزاویه مشابه تقسیم می کند که هر کدام شبیه مثلث داده شده است.
اثبات
اجازه دهید یک مثلث قائم الزاویه $ABC$ با زاویه راست $C$ به ما داده شود. ارتفاع $CD$ را رسم کنید (شکل 2).
شکل 2. تصویر قضیه 2
اجازه دهید ثابت کنیم که مثلث $ACD$ و $BCD$ شبیه مثلث $ABC$ هستند و مثلث $ACD$ و $BCD$ مشابه هستند.
از آنجایی که $\angle ADC=(90)^0$ است، مثلث $ACD$ قائم الزاویه است. مثلث $ACD$ و $ABC$ دارای زاویه مشترک $A$ هستند، بنابراین، طبق قضیه 1، مثلث $ACD$ و $ABC$ مشابه هستند.
از آنجایی که $\angle BDC=(90)^0$، مثلث $BCD$ قائم الزاویه است. مثلثهای $BCD$ و $ABC$ دارای زاویه مشترک $B$ هستند، بنابراین، طبق قضیه 1، مثلثهای $BCD$ و $ABC$ مشابه هستند.
حالا مثلث $ACD$ و $BCD$ را در نظر بگیرید
\[\زاویه A=(90)^0-\زاویه ACD\] \[\زاویه BCD=(90)^0-\زاویه ACD=\زاویه A\]
بنابراین، طبق قضیه 1، مثلث های $ACD$ و $BCD$ مشابه هستند.
قضیه ثابت شده است.
متوسط متناسب
قضیه 3
ارتفاع یک مثلث قائم الزاویه که از راس زاویه قائم الزاویه کشیده می‌شود، میانگین تناسب بخشهایی است که ارتفاع هیپوتنوز این مثلث را به آنها تقسیم می‌کند.
اثبات
با قضیه 2، می‌بینیم که مثلثهای $ACD$ و $BCD$ مشابه هستند، بنابراین
قضیه ثابت شده است.
قضیه 4
ساق یک مثلث قائم الزاویه، میانگین تناسب بین هیپوتنوز و قطعه هیپوتنوز محصور بین ساق و ارتفاع رسم شده از راس زاویه است.
اثبات
در اثبات قضیه از نماد شکل 2 استفاده می کنیم.
با قضیه 2، می دانیم که مثلث های $ACD$ و $ABC$ مشابه هستند، بنابراین
قضیه ثابت شده است.
درس 40 ج. ب. آ. ساعت پ.م. H. ac. A. V. ارتفاع مثلث قائم الزاویه که از راس یک زاویه قائم الزاویه کشیده شده است، مثلث را به 2 مثلث قائم الزاویه مشابه تقسیم می کند که هر یک شبیه به یک مثلث معین است. نشانه تشابه مثلث های قائم الزاویه. دو مثلث قائم الزاویه در صورتی شبیه هم هستند که هر کدام زاویه تند یکسانی داشته باشند. پاره XY در صورت خاصیت 1، میانگین متناسب (میانگین هندسی) پاره های AB و CD نامیده می شود. ارتفاع مثلث قائم الزاویه که از راس زاویه قائم کشیده شده است، میانگین متناسب بین برآمدگی های پاها بر روی هیپوتنوس است. خاصیت 2. ساق یک مثلث قائم الزاویه میانگین تناسب بین هیپوتنوز و برآمدگی این پایه بر روی هیپوتنوز است.
اسلاید 28از ارائه "هندسه "مثلثهای مشابه"". حجم آرشیو با ارائه 232 کیلوبایت است.هندسه پایه هشتم
خلاصه سایر ارائه ها"حل مسائل در قضیه فیثاغورث" - مثلث متساوی الساقین ABC. کاربرد عملی قضیه فیثاغورث. ABCD یک چهار ضلعی است. مساحت مربع. خورشید را پیدا کن اثبات پایه های یک ذوزنقه متساوی الساقین. قضیه فیثاغورث را در نظر بگیرید. مساحت یک چهار ضلعی. مثلث های مستطیلی. قضیه فیثاغورس. مربع هیپوتانوس برابر است با مجموع مربع های پاها.
"یافتن مساحت متوازی الاضلاع" - پایه. ارتفاع تعیین ارتفاع متوازی الاضلاع. نشانه های برابری مثلث های قائم الزاویه. مساحت متوازی الاضلاع. مساحت مثلث را پیدا کنید. خواص منطقه تمرینات دهانی مساحت متوازی الاضلاع را پیدا کنید. ارتفاعات متوازی الاضلاع محیط مربع را پیدا کنید. مساحت یک مثلث. مساحت مربع را پیدا کنید. مساحت مستطیل را پیدا کنید. مساحت مربع.
"Kvadrat کلاس 8" - مربع سیاه. وظایف کار شفاهی در اطراف محیط مربع. مساحت مربع. علائم مربعی. میدان در میان ماست. مربع مستطیلی است که تمام اضلاع آن برابر است. مربع. کیف با پایه مربع. وظایف شفاهی چند مربع در تصویر نشان داده شده است. خواص مربع. تاجر ثروتمند وظایف کار شفاهی در مساحت میدان. محیط یک مربع.
"تعریف تقارن محوری" - نقاطی که روی همان عمود قرار دارند. دو خط بکش. ساخت و ساز. نقاط طرح سرنخ. ارقامی که تقارن محوری ندارند. بخش خط. مختصات از دست رفته شکل. اشکالی که بیش از دو محور تقارن دارند. تقارن. تقارن در شعر مثلث بسازید محورهای تقارن. ساخت یک بخش ساختن یک نقطه شکل هایی با دو محور تقارن. مردم. مثلثها. تناسب.
"تعریف مثلث های مشابه" - چند ضلعی. برش های متناسب نسبت مساحت مثلث های مشابه. دو مثلث مشابه نامیده می شوند. مقررات. یک مثلث با دو زاویه و نیمساز در راس بسازید. فرض کنید باید فاصله تا قطب را تعیین کنیم. سومین علامت شباهت مثلث ها. بیایید یک مثلث بسازیم. ABC. مثلث های ABC و ABC سه ضلع مساوی دارند. تعیین ارتفاع یک جسم.
"حل قضیه فیثاغورث" - بخش هایی از پنجره ها. ساده ترین اثبات حمورابی. مورب. اثبات کامل اثبات با تفریق. فیثاغورثی ها اثبات با روش تجزیه. تاریخچه قضیه. قطر. اثبات با روش مکمل اثبات اپستین کانتور. مثلثها. پیروان کاربردهای قضیه فیثاغورث. قضیه فیثاغورس. بیان قضیه. اثبات پریگال. کاربرد قضیه.
اهداف درس:
- مفهوم میانگین متناسب (میانگین هندسی) دو بخش را معرفی کنید.
- مسئله قطعات متناسب در یک مثلث قائم الزاویه را در نظر بگیرید: ویژگی ارتفاع مثلث قائم الزاویه که از راس یک زاویه قائمه ترسیم شده است.
- مهارت های دانش آموزان در استفاده از موضوع مورد مطالعه در فرآیند حل مسائل را شکل دهد.
نوع درس:درس یادگیری مطالب جدید
طرح:
- لحظه سازمانی
- به روز رسانی دانش.
- بررسی ویژگی ارتفاع مثلث قائم الزاویه ترسیم شده از راس یک زاویه قائمه:
- مرحله آماده سازی؛
- مقدمه؛
- ادغام. - معرفی مفهوم میانگین متناسب با دو بخش.
- جذب مفهوم میانگین تناسب دو بخش.
- اثبات عواقب:
- ارتفاع مثلث قائم الزاویه که از راس زاویه قائمه کشیده شده است، میانگین تناسب بین بخشهایی است که هیپوتانوس بر این ارتفاع به آنها تقسیم می شود.
- ساق یک مثلث قائم الزاویه، میانگین تناسب بین هیپوتنوز و قطعه هیپوتنوز محصور بین ساق و ارتفاع است. - حل مسئله.
- خلاصه کردن.
- تنظیم تکالیف.
در طول کلاس ها
I. سازمان
سلام بچه ها بشینین آیا همه برای درس آماده هستند؟
کار را شروع می کنیم.
II. به روز رسانی دانش
چه مفهوم مهم ریاضی را در درس های قبلی یاد گرفتید؟ ( با مفهوم تشابه مثلث)
- به یاد بیاوریم که به کدام دو مثلث شبیه هم می گویند؟ (اگر دو مثلث به ترتیب با هم مساوی باشند و اضلاع یک مثلث با اضلاع مشابه مثلث دیگر متناسب باشند، مشابه نامیده می شوند.)
برای اثبات شباهت دو مثلث از چه چیزی استفاده می کنیم؟ (
- این نشانه ها را فهرست کنید. (سه علامت تشابه مثلث ها را فرموله کنید)
III. بررسی ویژگی های ارتفاع مثلث مستطیل شکل که از راس یک زاویه قائم الزاویه انجام می شود
الف) مرحله مقدماتی
- بچه ها لطفا به اسلاید اول نگاه کنید. ( کاربرد) در اینجا دو مثلث قائم الزاویه وجود دارد - و . و ارتفاعات و به ترتیب هستند. 
.
وظیفه 1. الف)مشخص کنید که آیا و مشابه هستند.
برای اثبات شباهت مثلث ها از چه چیزی استفاده می کنیم؟ ( نشانه های شباهت مثلث ها)
(نخستین علامت، زیرا چیزی در مورد اضلاع مثلث در مسئله مشخص نیست)
. (دو جفت: 1. ∟B= ∟B1 (خطوط مستقیم)، 2. ∟A= ∟A 1)
- نتیجه گیری کنید. با اولین علامت شباهت مثلث ها ~)
وظیفه 1. ب)مشخص کنید که آیا و مشابه هستند.
از چه معیار تشابه استفاده خواهیم کرد و چرا؟ (نشان اول، زیرا در مسئله هیچ چیز در مورد اضلاع مثلث معلوم نیست)
چند جفت زاویه مساوی باید پیدا کنیم؟ این زوج ها را پیدا کنید (چون مثلث ها قائم الزاویه هستند، یک جفت زاویه مساوی کافی است: ∟A= ∟A 1)
- نتیجه گیری کنید (با اولین علامت تشابه مثلث ها نتیجه می گیریم که این مثلث ها شبیه هم هستند).
در نتیجه مکالمه، اسلاید 1 به شکل زیر است:
ب) کشف قضیه
وظیفه 2.
تعیین کنید که آیا و، و مشابه هستند. در نتیجه مکالمه، پاسخ هایی ساخته می شود که در اسلاید منعکس می شود.
- شکل نشان می دهد که . آیا در پاسخ به سوالات تکالیف از این معیار درجه استفاده کردیم؟ ( نه استفاده نشده)
- بچه ها نتیجه بگیرید: ارتفاع رسم شده از راس زاویه قائمه مثلث قائم الزاویه را به کدام مثلث ها تقسیم می کند؟ (نتیجه گیری کنید)
- این سوال پیش می آید که آیا این دو مثلث قائم الزاویه که ارتفاع مثلث قائم الزاویه را بین آنها تقسیم می کند مشابه یکدیگر خواهند بود؟ بیایید سعی کنیم جفت زاویه های مساوی را پیدا کنیم.
در نتیجه مکالمه، یک رکورد ساخته می شود:
- و حالا بیایید نتیجه گیری کامل کنیم. ( نتیجه گیری: ارتفاع مثلث قائم الزاویه که از راس زاویه قائمه کشیده شده است، مثلث را به دو قسمت تقسیم می کند. مشابه
- اون ما یک قضیه را در مورد ویژگی ارتفاع مثلث قائم الزاویه فرموله و ثابت کرده ایم.
بیایید ساختار قضیه را ایجاد کنیم و یک نقاشی بکشیم. چه چیزی در قضیه آمده است و چه چیزی نیاز به اثبات دارد؟ دانش آموزان در دفتر خود می نویسند:
بیایید اولین نکته قضیه را برای ترسیم جدید ثابت کنیم. از چه معیار تشابه استفاده خواهیم کرد و چرا؟ (اول، از آنجایی که هیچ چیز در مورد اضلاع مثلث در قضیه مشخص نیست)
چند جفت زاویه مساوی باید پیدا کنیم؟ این زوج ها را پیدا کنید (در این صورت یک جفت کافی است: ∟الف-عمومی)
- نتیجه گیری کنید مثلث ها شبیه هم هستند. در نتیجه، نمونه ای از فرمول قضیه نشان داده شده است
- نکته دوم و سوم را خودتان در خانه بنویسید.
ج) همانندسازی قضیه
- پس دوباره قضیه را فرموله کنید (ارتفاع یک مثلث قائم الزاویه که از رأس زاویه قائمه کشیده شده است، مثلث را به دو قسمت تقسیم می کند. مشابهمثلث های قائم الزاویه که هر کدام شبیه به این یکی هستند)
- با این قضیه چند جفت مثلث مشابه در ساختار "در مثلث قائم الزاویه ارتفاع از راس زاویه قائمه" یافت می شود؟ ( سه زوج)
به دانش آموزان تکالیف زیر داده می شود:
IV. معرفی مفهوم میانگین تناسب دو خط
اکنون می خواهیم یک مفهوم جدید را یاد بگیریم.
توجه!
تعریف.بخش خط XYتماس گرفت متوسط متناسب (میانگین هندسی)بین بخش ها ABو سی دی، اگر
(در دفتر یادداشت بنویسید).
V. انجمن مفهوم نسبت متوسط دو خط
حالا بیایید به اسلاید بعدی برویم.
تمرین 1.اگر MN = 9 سانتی‌متر، KP = 16 سانتی‌متر، طول بخش‌های متناسب متوسط MN و KP را بیابید.
- در تکلیف چه چیزی داده شده است؟ ( دو بخش و طول آنها: MN = 9 سانتی متر، KP = 16 سانتی متر)
- چه چیزی را باید پیدا کنید؟ ( طول متوسط نسبت این بخش ها)
- فرمول تناسب میانگین چیست و چگونه آن را پیدا کنیم؟
(داده ها را در فرمول جایگزین می کنیم و طول میانگین را پیدا می کنیم.)
کار شماره 2.طول قطعه AB را بیابید اگر میانگین تناسب قطعات AB و CD 90 سانتی متر و CD = 100 سانتی متر باشد.
- در تکلیف چه چیزی داده شده است؟ (طول قطعه CD = 100 سانتی متر و نسبت متوسط قطعات AB و CD 90 سانتی متر است)
چه چیزی باید در مشکل پیدا شود؟ ( طول قطعه AB)
- چگونه می خواهیم مشکل را حل کنیم؟ (بیایید فرمول میانگین قطعات متناسب AB و CD را بنویسیم، طول AB را از آن بیان کنیم و داده های مسئله را جایگزین کنیم.)
VI. نتیجه
- آفرین بچه ها. و حالا بیایید به شباهت مثلث ها که توسط ما در قضیه ثابت شده است برگردیم. قضیه را دوباره بیان کنید. ( ارتفاع مثلث قائم الزاویه که از راس زاویه قائمه کشیده شده است، مثلث را به دو قسمت تقسیم می کند. مشابهمثلث های قائم الزاویه که هر کدام شبیه به یک داده شده است)
- ابتدا از تشابه مثلث ها و . چه چیزی از این نتیجه می شود؟ ( طبق تعریف تشابه، اضلاع با اضلاع مشابه متناسب هستند)
- هنگام استفاده از ویژگی اصلی تناسب چه تساوی حاصل می شود؟ ()
– سی دی را بیان کنید و نتیجه بگیرید (
;
.
نتیجه: ارتفاع مثلث قائم الزاویه که از راس زاویه قائمه کشیده شده است، میانگین تناسب بین قطعاتی است که هیپوتانوس به این ارتفاع تقسیم می شود.)
- و حالا خودتان ثابت کنید که ساق یک مثلث قائم الزاویه میانگین تناسب بین هیپوتانوس و پاره هیپوتانوس محصور بین ساق و ارتفاع است.ما از - ... قسمت هایی را که هپوتنوس به آنها تقسیم می شود بر می یابیم. این ارتفاع )
ساق مثلث قائم الزاویه میانگین تناسب بین ... (- ... هیپوتنوز و قطعه هیپوتنوز محصور بین این پا و ارتفاع )
- عبارات آموخته شده را کجا به کار می بریم؟ ( هنگام حل مشکلات)
IX تنظیم تکالیف
d/z:شماره 571، شماره 572 (الف، هـ)، کار مستقل در یک دفتر، نظریه.
امروز، توجه شما به ارائه دیگری در مورد یک موضوع شگفت انگیز و مرموز - هندسه دعوت شده است. در این ارائه، شما را با ویژگی جدیدی از اشکال هندسی، به ویژه مفهوم قطعات متناسب در مثلث های قائم الزاویه آشنا می کنیم.
ابتدا باید به یاد داشته باشید که مثلث چیست؟ این ساده ترین چند ضلعی است که از سه رأس تشکیل شده است که توسط سه بخش به هم متصل شده اند. مثلث قائم الزاویه مثلثی است که یکی از زوایای آن 90 درجه باشد. شما قبلاً در مطالب آموزشی قبلی ما با جزئیات بیشتری با آنها آشنا شده اید.
بنابراین، با بازگشت به موضوع امروز خود، به این ترتیب مشخص می کنیم که ارتفاع یک مثلث قائم الزاویه که از زاویه 90 درجه ترسیم شده است، آن را به دو مثلث تقسیم می کند که هم به یکدیگر و هم به مثلث اصلی شبیه هستند. تمام نقشه ها و نمودارهای مورد نظر شما در ارائه پیشنهادی آورده شده است و توصیه می کنیم به همراه توضیحات توضیح داده شده به آنها مراجعه کنید.
نمونه گرافیکی پایان نامه فوق در اسلاید دوم قابل مشاهده است. مثلث ها شبیه به هم هستند زیرا دو زاویه یکسان دارند. اگر با جزئیات بیشتر مشخص کنید، ارتفاع پایین آمده تا هیپوتانوس با آن زاویه قائمه تشکیل می دهد، یعنی از قبل همان زوایای وجود دارد و هر یک از زاویه های تشکیل شده نیز یک زاویه مشترک به عنوان زاویه اولیه دارد. نتیجه دو زاویه برابر با یکدیگر است. یعنی مثلث ها شبیه هم هستند.
اجازه دهید همچنین مشخص کنیم که مفهوم «میانگین متناسب» یا «میانگین هندسی» به خودی خود به چه معناست؟ این یک قطعه XY معین برای قطعات AB و CD زمانی است که برابر با جذر حاصلضرب طول آنها باشد.
همچنین از آن نتیجه می شود که ساق یک مثلث قائم الزاویه، میانگین هندسی بین هیپوتنوز و برآمدگی این پایه بر روی هیپوتنوز، یعنی پای دیگر است.
یکی دیگر از ویژگی های مثلث قائم الزاویه این است که ارتفاع آن، از زاویه 90 درجه، نسبت متوسط بین برآمدگی های پاها بر روی هیپوتنوس است. اگر به ارائه و سایر مطالبی که مورد توجه شما قرار گرفته است مراجعه کنید، خواهید دید که اثبات این پایان نامه به شکلی بسیار ساده و در دسترس وجود دارد. قبلاً ثابت کرده ایم که مثلث های به دست آمده شبیه به یکدیگر و شبیه مثلث اصلی هستند. سپس با استفاده از نسبت پایه های این اشکال هندسی به این نتیجه می رسیم که ارتفاع مثلث قائم الزاویه با جذر حاصلضرب قطعاتی که در نتیجه کاهش ارتفاع از قائم الزاویه به وجود آمده اند نسبت مستقیم دارد. زاویه قائمه مثلث اصلی
آخرین مورد در ارائه این است که پایه یک مثلث قائم الزاویه میانگین هندسی برای هیپوتنوس و قطعه آن است که بین پایه و ارتفاع رسم شده از زاویه ای برابر با 90 درجه قرار دارد. این حالت را باید از طرفی در نظر گرفت که این مثلث ها شبیه به هم هستند و ساق یکی از آنها با هیپوتانوز دیگری به دست می آید. اما با مطالعه مطالب پیشنهادی با این موضوع بیشتر آشنا خواهید شد.
نشانه تشابه مثلث های قائم الزاویه
ابتدا علامت تشابه مثلث های قائم الزاویه را معرفی می کنیم.
قضیه 1
نشانه تشابه مثلث های قائم الزاویه: دو مثلث قائم الزاویه زمانی شبیه هم هستند که هر کدام یک زاویه تند مساوی داشته باشند (شکل 1).
شکل 1. مثلث های قائم الزاویه مشابه
اثبات
اجازه دهید به ما داده شود که $\angle B=\angle B_1$. از آنجایی که مثلث ها قائم الزاویه هستند، $\angle A=\angle A_1=(90)^0$. بنابراین با توجه به اولین علامت تشابه مثلث ها شبیه هم هستند.
قضیه ثابت شده است.
قضیه ارتفاع در مثلث قائم الزاویه
قضیه 2
ارتفاع مثلث قائم الزاویه که از رأس زاویه قائم الزاویه کشیده شده است، مثلث را به دو مثلث قائم الزاویه مشابه تقسیم می کند که هر کدام شبیه مثلث داده شده است.
اثبات
اجازه دهید یک مثلث قائم الزاویه $ABC$ با زاویه راست $C$ به ما داده شود. ارتفاع $CD$ را رسم کنید (شکل 2).
شکل 2. تصویر قضیه 2
اجازه دهید ثابت کنیم که مثلث $ACD$ و $BCD$ شبیه مثلث $ABC$ هستند و مثلث $ACD$ و $BCD$ مشابه هستند.
از آنجایی که $\angle ADC=(90)^0$ است، مثلث $ACD$ قائم الزاویه است. مثلث $ACD$ و $ABC$ دارای زاویه مشترک $A$ هستند، بنابراین، طبق قضیه 1، مثلث $ACD$ و $ABC$ مشابه هستند.
از آنجایی که $\angle BDC=(90)^0$، مثلث $BCD$ قائم الزاویه است. مثلثهای $BCD$ و $ABC$ دارای زاویه مشترک $B$ هستند، بنابراین، طبق قضیه 1، مثلثهای $BCD$ و $ABC$ مشابه هستند.
حالا مثلث $ACD$ و $BCD$ را در نظر بگیرید
\[\زاویه A=(90)^0-\زاویه ACD\] \[\زاویه BCD=(90)^0-\زاویه ACD=\زاویه A\]
بنابراین، طبق قضیه 1، مثلث های $ACD$ و $BCD$ مشابه هستند.
قضیه ثابت شده است.
متوسط متناسب
قضیه 3
ارتفاع یک مثلث قائم الزاویه که از راس زاویه قائم الزاویه کشیده می‌شود، میانگین تناسب بخشهایی است که ارتفاع هیپوتنوز این مثلث را به آنها تقسیم می‌کند.
اثبات
با قضیه 2، می‌بینیم که مثلثهای $ACD$ و $BCD$ مشابه هستند، بنابراین
قضیه ثابت شده است.
قضیه 4
ساق یک مثلث قائم الزاویه، میانگین تناسب بین هیپوتنوز و قطعه هیپوتنوز محصور بین ساق و ارتفاع رسم شده از راس زاویه است.
اثبات
در اثبات قضیه از نماد شکل 2 استفاده می کنیم.
با قضیه 2، می دانیم که مثلث های $ACD$ و $ABC$ مشابه هستند، بنابراین
قضیه ثابت شده است.
بارگذاری...