Tabela pochodnych elementarnych funkcji algebraicznych wraz z wnioskami. Pochodne podstawowych funkcji elementarnych

Dla wygody i przejrzystości podczas studiowania tematu przedstawiamy tabelę podsumowującą.

Stałyy = C

Funkcja mocy y = x p

(x p) " = p x p - 1

Funkcja wykładniczay = topór

(a x) " = a x ln a

W szczególności kiedya = mimamy y = mi x

(np. x) " = np. x

Funkcja logarytmiczna

(log a x) " = 1 x ln a

W szczególności kiedya = mimamy y = log x

(ln x) " = 1 x

Funkcje trygonometryczne

(sin x) " = cos x (cos x) " = - grzech x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t sol x) " = - 1 grzech 2 x

Odwrotne funkcje trygonometryczne

(a r do grzech x) " = 1 1 - x 2 (a r do cos x) " = - 1 1 - x 2 (za r do t sol x) " = 1 1 + x 2 (za r do do t sol x) " = - 1 1 + x 2

Funkcje hiperboliczne

(s godz x) " = do godz x (c godz x) " = s godz x (t godz x) " = 1 do godz 2 x (c t godz x) " = - 1 s godz 2 x

Przeanalizujmy, w jaki sposób otrzymano wzory z podanej tabeli, czyli inaczej mówiąc, udowodnimy wyprowadzenie wzorów pochodnych dla każdego rodzaju funkcji.

Pochodna stałej

Dowód 1

Aby wyprowadzić ten wzór, przyjmujemy za podstawę definicję pochodnej funkcji w punkcie. Używamy x 0 = x, gdzie X przyjmuje wartość dowolnej liczby rzeczywistej, czyli innymi słowy X jest dowolną liczbą z dziedziny funkcji f (x) = C. Zapiszmy granicę stosunku przyrostu funkcji do przyrostu argumentu jako ∆ x → 0:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - do ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

Należy pamiętać, że wyrażenie 0 ∆ x należy do znaku granicznego. Nie jest to niepewność „zero podzielone przez zero”, ponieważ licznik nie zawiera wartości nieskończenie małej, ale dokładnie zero. Innymi słowy, przyrost funkcji stałej wynosi zawsze zero.

Zatem pochodna funkcji stałej f (x) = C jest równa zero w całym obszarze definicji.

Przykład 1

Dane są funkcje stałe:

fa 1 (x) = 3, fa 2 (x) = a, za ∈ R, fa 3 (x) = 4. 13 7 22 , fa 4 (x) = 0 , fa 5 (x) = - 8 7

Rozwiązanie

Opiszmy podane warunki. W pierwszej funkcji widzimy pochodną liczby naturalnej 3. W poniższym przykładzie musisz wziąć pochodną A, Gdzie A- dowolna liczba rzeczywista. Trzeci przykład daje nam pochodną liczby niewymiernej 4. 13 7 22, czwarta jest pochodną zera (zero jest liczbą całkowitą). Wreszcie w piątym przypadku mamy pochodną ułamka wymiernego - 8 7.

Odpowiedź: pochodne danych funkcji wynoszą zero dla dowolnej liczby rzeczywistej X(na całym obszarze definicji)

fa 1 " (x) = (3) " = 0 , fa 2 " (x) = (a) " = 0 , za ∈ R , fa 3 " (x) = 4. 13 7 22 " = 0 , fa 4 " (x) = 0 " = 0 , fa 5 " (x) = - 8 7 " = 0

Pochodna funkcji potęgowej

Przejdźmy do funkcji potęgowej i wzoru na jej pochodną, który ma postać: (x p) " = p x p - 1, gdzie wykładnik P jest dowolną liczbą rzeczywistą.

Dowód 2

Oto dowód wzoru, gdy wykładnik jest liczbą naturalną: p = 1, 2, 3, …

Ponownie opieramy się na definicji instrumentu pochodnego. Zapiszmy granicę stosunku przyrostu funkcji potęgowej do przyrostu argumentu:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

Aby uprościć wyrażenie w liczniku, używamy wzoru dwumianu Newtona:

(x + ∆ x) p - x p = do p 0 + x p + do p 1 · x p - 1 · ∆ x + do p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + + do p p - 1 x (∆ x) p - 1 + do p p (∆ x) p - x p = = do p 1 x p - 1 ∆ x + do p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

Zatem:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + do p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . + do p p - 1 · x · (∆ x) p - 1 + do p p · (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 ( do p 1 x p - 1 + do p 2 x p - 2 ∆ x + . + do p p - 1 x (∆ x) p - 2 + do p p (∆ x) p - 1) = = do p 1 · x p - . 1 + 0 + .

W ten sposób udowodniliśmy wzór na pochodną funkcji potęgowej, gdy wykładnik jest liczbą naturalną.

Dowód 3

Aby dostarczyć dowód dla przypadku, gdy P- dowolną liczbę rzeczywistą różną od zera, stosujemy pochodną logarytmiczną (tutaj powinniśmy rozumieć różnicę od pochodnej funkcji logarytmicznej). Aby mieć pełniejsze zrozumienie, wskazane jest zbadanie pochodnej funkcji logarytmicznej i dodatkowo zrozumienie pochodnej funkcji ukrytej i pochodnej funkcji zespolonej.

Rozważmy dwa przypadki: kiedy X pozytywne i kiedy X negatywny.

Zatem x > 0. Wtedy: x p > 0 . Logarytmujemy równość y = x p do podstawy e i stosujemy własność logarytmu:

y = x p ln y = ln x p ln y = p · ln x

Na tym etapie otrzymaliśmy domyślnie określoną funkcję. Zdefiniujmy jego pochodną:

(ln y) " = (p · ln x) 1 y · y " = p · 1 x ⇒ y " = p · y x = p · x p x = p · x p - 1

Rozważmy teraz przypadek, kiedy X - liczba ujemna.

Jeżeli wskaźnik P jest liczbą parzystą, wówczas definiuje się funkcję potęgi dla x< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Następnie x str< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Jeśli P jest liczbą nieparzystą, wówczas funkcja potęgi jest zdefiniowana dla x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y " (x) = (- (- x) p) " = - ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p x p - 1

Ostatnie przejście jest możliwe dzięki temu, że if P jest w takim razie liczbą nieparzystą p - 1 albo liczba parzysta, albo zero (dla p = 1), zatem dla wartości ujemnej X równość (- x) p - 1 = x p - 1 jest prawdziwa.

Udowodniliśmy więc wzór na pochodną funkcji potęgowej dla dowolnego rzeczywistego p.

Przykład 2

Podane funkcje:

fa 1 (x) = 1 x 2 3 , fa 2 (x) = x 2 - 1 4 , fa 3 (x) = 1 x log 7 12

Wyznacz ich pochodne.

Rozwiązanie

Część podanych funkcji przekształcamy do postaci tabelarycznej y = x p , bazując na własnościach stopnia, a następnie korzystamy ze wzoru:

fa 1 (x) = 1 x 2 3 = x - 2 3 ⇒ fa 1 " (x) = - 2 3 x - 2 3 - 1 = - 2 3 x - 5 3 fa 2 " (x) = x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3" ( x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84

Pochodna funkcji wykładniczej

Dowód 4

Wyprowadźmy wzór na pochodną, opierając się na definicji:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Mamy niepewność. Aby ją rozwinąć, napiszmy nową zmienną z = a ∆ x - 1 (z → 0 jako ∆ x → 0). W tym przypadku a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Do ostatniego przejścia wykorzystano wzór na przejście na nową podstawę logarytmu.

Podstawmy do pierwotnej granicy:

(a x) " = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 1 z · ln (z + 1) = = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

Przypomnijmy sobie drugą niezwykłą granicę i wtedy otrzymamy wzór na pochodną funkcji wykładniczej:

(a x) " = a x · ln a · 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln e = a x · ln a

Przykład 3

Dane są funkcje wykładnicze:

fa 1 (x) = 2 3 x , fa 2 (x) = 5 3 x , fa 3 (x) = 1 (e) x

Należy znaleźć ich pochodne.

Rozwiązanie

Korzystamy ze wzoru na pochodną funkcji wykładniczej i własności logarytmu:

fa 1 " (x) = 2 3 x " = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) fa 2 " (x) = 5 3 x " = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 fa 3 " (x) = 1 (e) x " = 1 mi x " = 1 mi x ln 1 mi = 1 mi x ln e - 1 = - 1 mi x

Pochodna funkcji logarytmicznej

Dowód 5

Przedstawmy dowód wzoru na pochodną funkcji logarytmicznej dla dowolnego X w dziedzinie definicji i wszelkich dopuszczalnych wartości podstawy logarytmu. Na podstawie definicji pochodnej otrzymujemy:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = lim ∆ x → 0 1 x · log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x · log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · log a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a

Ze wskazanego ciągu równości wynika, że przekształcenia opierały się na własności logarytmu. Równość lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e jest prawdziwa zgodnie z drugą niezwykłą granicą.

Przykład 4

Dane są funkcje logarytmiczne:

fa 1 (x) = log ln 3 x , fa 2 (x) = ln x

Należy obliczyć ich pochodne.

Rozwiązanie

Zastosujmy otrzymany wzór:

fa 1 " (x) = (log ln 3 x) " = 1 x · ln (ln 3) ; fa 2 " (x) = (ln x) " = 1 x ln mi = 1 x

Zatem pochodna logarytmu naturalnego jest dzielona przez X.

Pochodne funkcji trygonometrycznych

Dowód 6

Użyjmy niektórych wzorów trygonometrycznych i pierwszej cudownej granicy, aby wyprowadzić wzór na pochodną funkcji trygonometrycznej.

Zgodnie z definicją pochodnej funkcji sinus otrzymujemy:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 grzech (x + ∆ x) - grzech x ∆ x

Wzór na różnicę sinusów pozwoli nam wykonać następujące czynności:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 grzech (x + ∆ x) - grzech x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 grzech x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 grzech ∆ x 2 · cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 grzech ∆ x 2 ∆ x 2

Na koniec używamy pierwszego cudownego limitu:

grzech " x = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 grzech ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

Zatem pochodna funkcji grzech x będzie bo x.

Udowodnimy również wzór na pochodną cosinusa:

cos " x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 grzech x + ∆ x - x 2 grzech x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 grzech ∆ x 2 grzech x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - grzech x + 0 2 lim ∆ x → 0 grzech ∆ x 2 ∆ x 2 = - grzech x

Te. pochodna funkcji cos x będzie wynosić – grzech x.

Wzory na pochodne stycznej i cotangens wyprowadzamy w oparciu o zasady różniczkowania:

t sol " x = grzech x cos x " = grzech " x · cos x - grzech x · cos " x cos 2 x = = cos x · cos x - grzech x · (- grzech x) cos 2 x = grzech 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x do t sol " x = cos x grzech x " = cos " x · grzech x - cos x · grzech " x grzech 2 x = = - grzech x · grzech x - cos x · cos x grzech 2 x = - grzech 2 x + sałata 2 x grzech 2 x = - 1 grzech 2 x

Pochodne odwrotnych funkcji trygonometrycznych

Sekcja dotycząca pochodnych funkcji odwrotnych dostarcza wyczerpujących informacji na temat dowodu wzorów na pochodne arcsinusa, arcuscosinusa, arcustangens i arccotangens, dlatego nie będziemy tutaj powielać materiału.

Pochodne funkcji hiperbolicznych

Dowód 7

Wzory na pochodne sinusa hiperbolicznego, cosinusa, tangensa i cotangensa możemy wyprowadzić korzystając z reguły różniczkowania oraz wzoru na pochodną funkcji wykładniczej:

s godz " x = mi x - mi - x 2 " = 1 2 mi x " - e - x " = = 1 2 mi x - - e - x = mi x + mi - x 2 = do godz x do godz " x = mi x + e - x 2 " = 1 2 mi x " + mi - x " = = 1 2 mi x + - e - x = mi x - mi - x 2 = s godz x t godz " x = s godz x do godz x " = s godz " x · do godz x - s godz x · do godz " x do godz 2 x = do godz 2 x - s godz 2 x do godz 2 x = 1 do godz 2 x do t godz " x = do godz x s godz x " = do godz " x · s godz x - do godz x · s godz " x s godz 2 x = s godz 2 x - do godz 2 x s godz 2 x = - 1 s godz 2 x

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Jeśli trzymać się definicji, to pochodna funkcji w punkcie jest granicą stosunku przyrostu funkcji Δ y do przyrostu argumentu Δ X:

Wszystko wydaje się być jasne. Ale spróbuj użyć tego wzoru do obliczenia, powiedzmy, pochodnej funkcji F(X) = X 2 + (2X+ 3) · mi X grzech X. Jeśli zrobisz wszystko z definicji, to po kilku stronach obliczeń po prostu zaśniesz. Dlatego istnieją prostsze i skuteczniejsze sposoby.

Na początek zauważamy, że z całej różnorodności funkcji możemy wyróżnić tzw. Funkcje elementarne. Są to stosunkowo proste wyrażenia, których pochodne zostały już dawno obliczone i wprowadzone do tabeli. Takie funkcje są dość łatwe do zapamiętania - wraz z ich pochodnymi.

Pochodne funkcji elementarnych

Funkcje elementarne to wszystkie funkcje wymienione poniżej. Pochodne tych funkcji trzeba znać na pamięć. Co więcej, ich zapamiętanie wcale nie jest trudne - dlatego są elementarne.

Zatem pochodne funkcji elementarnych:

Nazwa	Funkcjonować	Pochodna
Stały	F(X) = C, C ∈ R	0 (tak, zero!)
Potęga z wykładnikiem wymiernym	F(X) = X N	N · X N − 1
Zatoka	F(X) = grzech X	sałata X
Cosinus	F(X) = sałata X	−grzech X(minus sinus)
Tangens	F(X) = tg X	1/co2 X
Cotangens	F(X) = ctg X	− 1/grzech 2 X
Naturalny logarytm	F(X) = log X	1/X
Logarytm dowolny	F(X) = log A X	1/(X ln A)
Funkcja wykładnicza	F(X) = mi X	mi X(nic się nie zmieniło)

Jeśli funkcję elementarną pomnoży się przez dowolną stałą, wówczas łatwo obliczyć pochodną nowej funkcji:

(C · F)’ = C · F ’.

Ogólnie rzecz biorąc, stałe można wyjąć ze znaku pochodnej. Na przykład:

(2X 3)’ = 2 · ( X 3)’ = 2 3 X 2 = 6X 2 .

Oczywiście funkcje elementarne można ze sobą dodawać, mnożyć, dzielić - i wiele więcej. Tak pojawią się nowe funkcje, już nie szczególnie elementarne, ale też zróżnicowane według pewnych zasad. Zasady te zostały omówione poniżej.

Pochodna sumy i różnicy

Niech zostaną podane funkcje F(X) I G(X), których pochodne są nam znane. Na przykład możesz wziąć funkcje elementarne omówione powyżej. Następnie możesz znaleźć pochodną sumy i różnicy tych funkcji:

(F + G)’ = F ’ + G ’
(F − G)’ = F ’ − G ’

Zatem pochodna sumy (różnicy) dwóch funkcji jest równa sumie (różnicy) pochodnych. Terminów może być więcej. Na przykład, ( F + G + H)’ = F ’ + G ’ + H ’.

Ściśle mówiąc, w algebrze nie ma pojęcia „odejmowania”. Istnieje koncepcja „elementu negatywnego”. Dlatego różnica F − G można przepisać jako sumę F+ (-1) G, i wtedy pozostaje tylko jeden wzór - pochodna sumy.

F(X) = X 2 + grzech x; G(X) = X 4 + 2X 2 − 3.

Funkcjonować F(X) jest sumą dwóch funkcji elementarnych, zatem:

F ’(X) = (X 2 + grzech X)’ = (X 2)’ + (grzech X)’ = 2X+ cosx;

Podobnie rozumujemy dla funkcji G(X). Tylko, że są już trzy terminy (z punktu widzenia algebry):

G ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).

Odpowiedź:
F ’(X) = 2X+ cosx;
G ’(X) = 4X · ( X 2 + 1).

Pochodna produktu

Matematyka jest nauką logiczną, więc wiele osób uważa, że jeśli pochodna sumy jest równa sumie pochodnych, to pochodna iloczynu strajk">równy iloczynowi pochodnych. Ale chuj! Pochodną iloczynu oblicza się według zupełnie innego wzoru. Mianowicie:

(F · G) ’ = F ’ · G + F · G ’

Przepis jest prosty, jednak często się o nim zapomina. I nie tylko uczniowie, ale także studenci. Rezultatem są nieprawidłowo rozwiązane problemy.

Zadanie. Znajdź pochodne funkcji: F(X) = X 3 cosx; G(X) = (X 2 + 7X− 7) · mi X .

Funkcjonować F(X) jest iloczynem dwóch elementarnych funkcji, więc wszystko jest proste:

F ’(X) = (X 3 szt X)’ = (X 3)’, bo X + X 3 (kos X)’ = 3X 2 szt X + X 3 (-grzech X) = X 2 (3kos X − X grzech X)

Funkcjonować G(X) pierwszy mnożnik jest nieco bardziej skomplikowany, ale ogólny schemat się nie zmienia. Oczywiście pierwszy czynnik funkcji G(X) jest wielomianem, a jego pochodna jest pochodną sumy. Mamy:

G ’(X) = ((X 2 + 7X− 7) · mi X)’ = (X 2 + 7X− 7)’ · mi X + (X 2 + 7X− 7) ( mi X)’ = (2X+ 7) · mi X + (X 2 + 7X− 7) · mi X = mi X· (2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · mi X = X(X+ 9) · mi X .

Odpowiedź:
F ’(X) = X 2 (3kos X − X grzech X);
G ’(X) = X(X+ 9) · mi X .

Należy pamiętać, że w ostatnim kroku pochodna jest rozkładana na czynniki. Formalnie nie trzeba tego robić, ale większość pochodnych nie oblicza się samodzielnie, ale w celu sprawdzenia funkcji. Oznacza to, że dalej pochodna zostanie zrównana z zerem, zostaną określone jej znaki i tak dalej. W takim przypadku lepiej jest rozłożyć wyrażenie na czynniki.

Jeśli są dwie funkcje F(X) I G(X), I G(X) ≠ 0 na interesującym nas zbiorze, możemy zdefiniować nową funkcję H(X) = F(X)/G(X). Dla takiej funkcji można również znaleźć pochodną:

Nie słaby, co? Skąd wziął się minus? Dlaczego G 2? I tak! To jedna z najbardziej skomplikowanych receptur – bez butelki nie da się tego obejść. Dlatego lepiej przestudiować to na konkretnych przykładach.

Zadanie. Znajdź pochodne funkcji:

W liczniku i mianowniku każdego ułamka znajdują się funkcje elementarne, zatem wystarczy nam wzór na pochodną ilorazu:

Zgodnie z tradycją rozłóżmy licznik na czynniki – to znacznie uprości odpowiedź:

Funkcja złożona niekoniecznie jest formułą o długości pół kilometra. Wystarczy np. przyjąć funkcję F(X) = grzech X i zastąp zmienną X, powiedzmy, dalej X 2 + ln X. Ułóży się F(X) = grzech ( X 2 + ln X) - jest to funkcja złożona. Ma również pochodną, ale nie będzie można jej znaleźć, korzystając z reguł omówionych powyżej.

Co powinienem zrobić? W takich przypadkach zastąpienie zmiennej i wzoru na pochodną funkcji zespolonej pomaga:

F ’(X) = F ’(T) · T', Jeśli X zostaje zastąpiony przez T(X).

Z reguły sytuacja ze zrozumieniem tego wzoru jest jeszcze bardziej smutna niż w przypadku pochodnej ilorazu. Dlatego też lepiej jest to wyjaśnić na konkretnych przykładach, z dokładnym opisem każdego kroku.

Zadanie. Znajdź pochodne funkcji: F(X) = mi 2X + 3 ; G(X) = grzech ( X 2 + ln X)

Zauważ, że jeśli w funkcji F(X) zamiast wyrażenia 2 X+ 3 będzie łatwe X, to otrzymujemy funkcję elementarną F(X) = mi X. Dlatego dokonujemy zamiany: niech 2 X + 3 = T, F(X) = F(T) = mi T. Pochodnej funkcji zespolonej szukamy korzystając ze wzoru:

F ’(X) = F ’(T) · T ’ = (mi T)’ · T ’ = mi T · T ’

A teraz – uwaga! Wykonujemy odwrotną zamianę: T = 2X+ 3. Otrzymujemy:

F ’(X) = mi T · T ’ = mi 2X+ 3 (2 X + 3)’ = mi 2X+ 3 2 = 2 mi 2X + 3

Przyjrzyjmy się teraz funkcji G(X). Jasne, że trzeba go wymienić X 2 + ln X = T. Mamy:

G ’(X) = G ’(T) · T’ = (grzech T)’ · T’ = sałata T · T ’

Odwrotna wymiana: T = X 2 + ln X. Następnie:

G ’(X) = sałata ( X 2 + ln X) · ( X 2 + ln X)’ = cos ( X 2 + ln X) · (2 X + 1/X).

To wszystko! Jak widać z ostatniego wyrażenia, całe zadanie sprowadza się do obliczenia sumy pochodnej.

Odpowiedź:
F ’(X) = 2 · mi 2X + 3 ;
G ’(X) = (2X + 1/X) bo ( X 2 + ln X).

Bardzo często na moich lekcjach zamiast terminu „pochodna” używam słowa „pierwsza”. Na przykład skok sumy jest równy sumie kresek. Czy to jest jaśniejsze? Cóż, to dobrze.

Zatem obliczenie pochodnej sprowadza się do pozbycia się tych samych kresek według zasad omówionych powyżej. Na koniec wróćmy do potęgi pochodnej z wykładnikiem wymiernym:

(X N)’ = N · X N − 1

Niewiele osób o tym wie w tej roli N równie dobrze może być liczbą ułamkową. Na przykład korzeń jest X 0,5. A co jeśli pod korzeniem kryje się coś fantazyjnego? Ponownie wynikiem będzie złożona funkcja - lubią dawać takie konstrukcje w testach i egzaminach.

Zadanie. Znajdź pochodną funkcji:

Najpierw przepiszemy pierwiastek jako potęgę z wykładnikiem wymiernym:

F(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .

Teraz dokonujemy zamiany: niech X 2 + 8X − 7 = T. Pochodną wyznaczamy korzystając ze wzoru:

F ’(X) = F ’(T) · T ’ = (T 0,5)’ · T’ = 0,5 · T−0,5 · T ’.

Zróbmy odwrotną zamianę: T = X 2 + 8X− 7. Mamy:

F ’(X) = 0,5 · ( X 2 + 8X− 7) −0,5 · ( X 2 + 8X− 7)’ = 0,5 (2 X+ 8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .

Na koniec powrót do korzeni:

Bardzo łatwe do zapamiętania.

Cóż, nie odchodźmy daleko, od razu rozważmy funkcję odwrotną. Która funkcja jest odwrotnością funkcji wykładniczej? Logarytm:

W naszym przypadku podstawą jest liczba:

Taki logarytm (czyli logarytm z podstawą) nazywa się „naturalnym” i używamy dla niego specjalnego zapisu: zamiast tego piszemy.

Czemu to jest równe? Oczywiście, .

Pochodna logarytmu naturalnego jest również bardzo prosta:

Przykłady:

Znajdź pochodną funkcji.
Jaka jest pochodna funkcji?

Odpowiedzi: Logarytm wykładniczy i logarytm naturalny są wyjątkowo prostymi funkcjami z punktu widzenia pochodnej. Funkcje wykładnicze i logarytmiczne o dowolnej innej podstawie będą miały inną pochodną, którą przeanalizujemy później, po zapoznaniu się z zasadami różniczkowania.

Zasady różnicowania

Zasady czego? Znowu nowy termin, znowu?!...

Różnicowanie to proces znajdowania pochodnej.

To wszystko. Jak inaczej można nazwać ten proces jednym słowem? Nie pochodna. Matematycy nazywają różniczkę tym samym przyrostem funkcji. Termin ten pochodzi od łacińskiego słowa Differentia – różnica. Tutaj.

Wyprowadzając wszystkie te reguły, użyjemy na przykład dwóch funkcji i. Będziemy również potrzebować wzorów na ich przyrosty:

W sumie jest 5 zasad.

Stała jest usuwana ze znaku pochodnej.

Jeśli - jakaś stała liczba (stała), to.

Oczywiście ta zasada działa również w przypadku różnicy: .

Udowodnijmy to. Niech tak będzie, albo prościej.

Przykłady.

Znajdź pochodne funkcji:

w pewnym momencie;
w pewnym momencie;
w pewnym momencie;
w tym punkcie.

Rozwiązania:

(pochodna jest taka sama we wszystkich punktach, ponieważ jest to funkcja liniowa, pamiętasz?);

Pochodna produktu

Tutaj wszystko jest podobne: wprowadźmy nową funkcję i znajdźmy jej inkrementację:

Pochodna:

Przykłady:

Znajdź pochodne funkcji i;
Znajdź pochodną funkcji w punkcie.

Rozwiązania:

Pochodna funkcji wykładniczej

Teraz twoja wiedza jest wystarczająca, aby dowiedzieć się, jak znaleźć pochodną dowolnej funkcji wykładniczej, a nie tylko wykładniki (zapomniałeś już, co to jest?).

Więc gdzie jest jakaś liczba.

Znamy już pochodną funkcji, więc spróbujmy sprowadzić naszą funkcję do nowej podstawy:

W tym celu zastosujemy prostą regułę: . Następnie:

Cóż, zadziałało. Teraz spróbuj znaleźć pochodną i nie zapominaj, że ta funkcja jest złożona.

Stało się?

Tutaj sprawdź sam:

Wzór okazał się bardzo podobny do pochodnej wykładnika: jak był, pozostaje taki sam, pojawił się tylko czynnik, który jest tylko liczbą, a nie zmienną.

Przykłady:
Znajdź pochodne funkcji:

Odpowiedzi:

To po prostu liczba, której nie da się obliczyć bez kalkulatora, czyli nie da się jej zapisać w prostszej formie. Dlatego zostawiamy to w tej formie w odpowiedzi.

Zauważ, że tutaj jest iloraz dwóch funkcji, dlatego stosujemy odpowiednią regułę różniczkowania:

W tym przykładzie iloczyn dwóch funkcji:

Pochodna funkcji logarytmicznej

Tutaj jest podobnie: znasz już pochodną logarytmu naturalnego:

Dlatego, aby znaleźć dowolny logarytm o innej podstawie, na przykład:

Musimy sprowadzić ten logarytm do podstawy. Jak zmienić podstawę logarytmu? Mam nadzieję, że pamiętasz tę formułę:

Dopiero teraz zamiast tego napiszemy:

Mianownik jest po prostu stałą (liczbą stałą, bez zmiennej). Pochodną otrzymuje się bardzo prosto:

Pochodne funkcji wykładniczych i logarytmicznych prawie nigdy nie znajdują się w Unified State Examination, ale ich znajomość nie będzie zbyteczna.

Pochodna funkcji zespolonej.

Co to jest „funkcja złożona”? Nie, to nie jest logarytm ani arcus tangens. Funkcje te mogą być trudne do zrozumienia (chociaż jeśli logarytm wydaje ci się trudny, przeczytaj temat „Logarity” i wszystko będzie dobrze), ale z matematycznego punktu widzenia słowo „złożony” nie oznacza „trudny”.

Wyobraź sobie mały przenośnik taśmowy: dwie osoby siedzą i wykonują pewne czynności z niektórymi przedmiotami. Przykładowo, pierwszy zawija tabliczkę czekolady w opakowanie, a drugi zawiązuje ją wstążką. W rezultacie powstał obiekt złożony: tabliczka czekolady owinięta i przewiązana wstążką. Aby zjeść tabliczkę czekolady, należy wykonać kroki w odwrotnej kolejności.

Stwórzmy podobny potok matematyczny: najpierw znajdziemy cosinus liczby, a następnie podniesiemy wynikową liczbę do kwadratu. Dostajemy więc liczbę (czekoladę), znajduję jej cosinus (opakowanie), a następnie podnoszę do kwadratu to, co otrzymam (przewiązuję wstążką). Co się stało? Funkcjonować. To jest przykład funkcji złożonej: gdy, aby znaleźć jej wartość, wykonujemy pierwszą akcję bezpośrednio ze zmienną, a następnie drugą akcję z tym, co wynika z pierwszej.

Innymi słowy, funkcja złożona to funkcja, której argumentem jest inna funkcja: .

Dla naszego przykładu .

Możemy łatwo wykonać te same kroki w odwrotnej kolejności: najpierw podnieś kwadrat, a następnie szukam cosinusa otrzymanej liczby: . Łatwo się domyślić, że wynik prawie zawsze będzie inny. Ważna cecha funkcji złożonych: gdy zmienia się kolejność działań, zmienia się funkcja.

Drugi przykład: (to samo). .

Akcja, którą wykonamy jako ostatnia, zostanie wywołana funkcja „zewnętrzna”., oraz czynność wykonaną jako pierwsza – odpowiednio funkcję „wewnętrzną”.(są to nazwy nieformalne, używam ich jedynie w celu wyjaśnienia materiału prostym językiem).

Spróbuj sam określić, która funkcja jest zewnętrzna, a która wewnętrzna:

Odpowiedzi: Oddzielenie funkcji wewnętrznej i zewnętrznej jest bardzo podobne do zmiany zmiennych: na przykład w funkcji

Jaką czynność wykonamy jako pierwszą? Najpierw obliczmy sinus, a dopiero potem sześcian. Oznacza to, że jest to funkcja wewnętrzna, ale zewnętrzna.
A oryginalną funkcją jest ich skład: .
Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
Badanie: .
Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
Badanie: .
Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
Badanie: .
Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
Badanie: .

Zmieniamy zmienne i otrzymujemy funkcję.

Cóż, teraz wyodrębnimy naszą tabliczkę czekolady i poszukamy pochodnej. Procedura jest zawsze odwrotna: najpierw szukamy pochodnej funkcji zewnętrznej, następnie mnożymy wynik przez pochodną funkcji wewnętrznej. W odniesieniu do pierwotnego przykładu wygląda to tak:

Inny przykład:

Sformułujmy więc w końcu oficjalną zasadę:

Algorytm znajdowania pochodnej funkcji zespolonej:

Wydaje się to proste, prawda?

Sprawdźmy na przykładach:

Rozwiązania:

1) Wewnętrzne: ;

Zewnętrzny: ;

2) Wewnętrzne: ;

(Tylko nie próbuj już tego ciąć! Spod cosinusa nic nie wychodzi, pamiętasz?)

3) Wewnętrzne: ;

Zewnętrzny: ;

Od razu widać, że jest to funkcja złożona na trzech poziomach: w końcu jest to już sama w sobie funkcja złożona i wydobywamy z niej również korzeń, to znaczy wykonujemy trzecią akcję (włóż czekoladę do opakowania i ze wstążką w teczce). Ale nie ma powodu się bać: nadal „rozpakowujemy” tę funkcję w tej samej kolejności, co zwykle: od końca.

Oznacza to, że najpierw różnicujemy pierwiastek, potem cosinus, a dopiero potem wyrażenie w nawiasach. A potem to wszystko mnożymy.

W takich przypadkach wygodnie jest ponumerować działania. To znaczy wyobraźmy sobie to, co wiemy. W jakiej kolejności wykonamy czynności, aby obliczyć wartość tego wyrażenia? Spójrzmy na przykład:

Im później akcja zostanie wykonana, tym bardziej „zewnętrzna” będzie odpowiednia funkcja. Sekwencja działań jest taka sama jak poprzednio:

Tutaj zagnieżdżenie jest zazwyczaj 4-poziomowe. Ustalmy kolejność działań.

1. Radykalne wyrażenie. .

2. Korzeń. .

3. Sinus. .

4. Kwadrat. .

5. Łączenie wszystkiego w jedną całość:

POCHODNA. KRÓTKO O NAJWAŻNIEJSZYCH RZECZACH

Pochodna funkcji- stosunek przyrostu funkcji do przyrostu argumentu dla nieskończenie małego przyrostu argumentu:

Podstawowe pochodne:

Zasady różnicowania:

Stała jest usuwana ze znaku pochodnej:

Pochodna sumy:

Pochodna produktu:

Pochodna ilorazu:

Pochodna funkcji złożonej:

Algorytm znajdowania pochodnej funkcji zespolonej:

Definiujemy funkcję „wewnętrzną” i znajdujemy jej pochodną.
Definiujemy funkcję „zewnętrzną” i znajdujemy jej pochodną.
Mnożymy wyniki pierwszego i drugiego punktu.

Udowodnij samodzielnie wzory 3 i 5.

PODSTAWOWE ZASADY RÓŻNICOWANIA

Stosując ogólną metodę znajdowania pochodnej z wykorzystaniem granicy, można otrzymać najprostsze wzory różniczkowe. Pozwalać u=u(x),v=v(x)– dwie różniczkowalne funkcje zmiennej X.

Udowodnij samodzielnie wzory 1 i 2.

Dowód wzoru 3.

Pozwalać y = u(x) + v(x). Dla wartości argumentu X+Δ X mamy y(X+Δ X)=ty(X+Δ X) + w(X+Δ X).

Δ y=y(X+Δ X) – y(x) = ty (x+Δ X) + v(x+Δ X) – ty(x) – v(x) = Δ ty +Δ w.

Stąd,

Dowód wzoru 4.

Pozwalać y=u(x)·v(x). Następnie y(X+Δ X)=ty(X+Δ X)· w(X+Δ X), Dlatego

Δ y=ty(X+Δ X)· w(X+Δ X) – ty(X)· w(X).

Należy pamiętać, że ponieważ każda z funkcji ty I w różniczkowalna w punkcie X, to są one ciągłe w tym punkcie, co oznacza ty(X+Δ X)→u(x), w(X+Δ X)→v(x), w Δ X→0.

Dlatego możemy pisać

Na podstawie tej własności można otrzymać regułę różniczkowania iloczynu dowolnej liczby funkcji.

Niech np. y=u·v·w. Następnie,

y " = ty "·( w w) + ty·( w·w) " = ty "· w·w + ty·( w"·w+ w·w ") = ty "· w·w + ty· w"·w+ u·w·w”.

Dowód wzoru 5.

Pozwalać . Następnie

W dowodzie wykorzystaliśmy fakt, że v(x+Δ X)→v(x) w Δ X→0.

Przykłady.

TWIERDZENIE O POCHODNEJ FUNKCJI ZŁOŻONEJ

Pozwalać y = f(u), A ty= ty(X). Otrzymujemy funkcję y w zależności od argumentu X: y = f(u(x)). Ostatnia funkcja nazywana jest funkcją funkcji lub złożona funkcja.

Dziedzina definicji funkcji y = f(u(x)) jest albo całą dziedziną definicji funkcji ty=ty(X) lub ta część, w której określane są wartości ty, nie wychodząc z dziedziny definicji funkcji y= f(u).

Operację „funkcja z funkcji” można wykonać nie tylko raz, ale dowolną liczbę razy.

Ustalmy regułę różniczkowania funkcji zespolonej.

Twierdzenie. Jeśli funkcja ty= ty(X) w pewnym momencie x 0 pochodną i przyjmuje wartość w tym momencie ty 0 = ty(x 0) i funkcję y=f(u) ma w punkcie ty 0 pochodna y" ty = F "(ty 0), to funkcja złożona y = f(u(x)) w określonym punkcie x 0 ma również pochodną, która jest równa y" x = F "(ty 0)· ty "(x 0), gdzie zamiast ty wyrażenie należy zastąpić ty= ty(X).

Zatem pochodna funkcji zespolonej jest równa iloczynowi pochodnej danej funkcji względem argumentu pośredniego ty do pochodnej argumentu pośredniego w odniesieniu do X.

Dowód. Dla stałej wartości X 0 będziemy mieli ty 0 =ty(X 0), Na 0 =f(ty 0 ). Dla nowej wartości argumentu x 0+Δ X:

Δ ty= ty(x 0 + Δ X) – ty(X 0), Δ y=F(ty 0+Δ ty) – F(ty 0).

Ponieważ ty– różniczkowalna w punkcie x 0, To ty– w tym momencie jest ciągły. Dlatego w Δ X→0 Δ ty→0. Podobnie dla Δ ty→0 Δ y→0.

Według warunku . Z tej zależności, korzystając z definicji granicy, otrzymujemy (przy Δ ty→0)

gdzie α → 0 w Δ ty→0, a co za tym idzie, w Δ X→0.

Zapiszmy tę równość jako:

Δ y=y„ uΔ ty+α·Δ ty.

Wynikowa równość obowiązuje również dla Δ ty=0 dla dowolnego α, ponieważ zamienia się ono w tożsamość 0=0. W Δ ty=0 założymy, że α=0. Podzielmy wszystkie wyrazy powstałej równości przez Δ X

Według warunku . Dlatego przejście do granicy w Δ X→0, otrzymujemy y" x = y„ty” x. Twierdzenie zostało udowodnione.

Tak więc, aby różnicować złożoną funkcję y = f(u(x)), musisz wziąć pochodną funkcji „zewnętrznej”. F traktując swój argument po prostu jako zmienną i mnożąc przez pochodną funkcji „wewnętrznej” względem zmiennej niezależnej.

Jeśli funkcja y=f(x) można przedstawić w postaci y=f(u), u=u(v), v=v(x), następnie znalezienie pochodnej y” x odbywa się poprzez kolejne zastosowanie poprzedniego twierdzenia.

Według sprawdzonej reguły tak y" x = y„ ty ty"x. Stosując to samo twierdzenie dla ty„x otrzymujemy, tj.

y" x = y" X ty„w w" x = F„ty( ty)· ty" v ( w)· w" X ( X).

Przykłady.

POJĘCIE FUNKCJI ODWROTNEJ

Zacznijmy od przykładu. Rozważ funkcję y= x 3. Rozważymy równość y= x 3 jako względny równanie X. To jest równanie dla każdej wartości Na definiuje pojedynczą wartość X: . Geometrycznie oznacza to, że każda prosta jest równoległa do osi Wół przecina wykres funkcji y= x 3 tylko w jednym punkcie. Dlatego możemy rozważyć X jako funkcja y. Funkcja nazywana jest odwrotnością funkcji y= x 3.

Zanim przejdziemy do przypadku ogólnego, wprowadźmy definicje.

Funkcjonować y = f(x) zwany wzrastający w pewnym segmencie, jeśli większa wartość argumentu X z tego segmentu odpowiada większej wartości funkcji, tj. Jeśli X 2 >X 1, zatem f(x 2 ) > f(x 1 ).

Funkcja nazywa się podobnie malejące, jeśli mniejsza wartość argumentu odpowiada większej wartości funkcji, tj. Jeśli X 2 < X 1, zatem f(x 2 ) > f(x 1 ).

Zatem otrzymamy funkcję rosnącą lub malejącą y=f(x), zdefiniowany w pewnym przedziale [ A; B] Dla określoności rozważymy funkcję rosnącą (dla malejącej wszystko jest podobne).

Rozważ dwie różne wartości X 1 i X 2. Pozwalać y 1 =f(x 1 ), j 2 =f(x 2 ). Z definicji funkcji rosnącej wynika, że jeśli X 1 <X 2, zatem Na 1 <Na 2. Dlatego dwie różne wartości X 1 i X 2 odpowiada dwóm różnym wartościom funkcji Na 1 i Na 2. Dzieje się także odwrotnie, tj. Jeśli Na 1 <Na 2, to z definicji funkcji rosnącej wynika, że X 1 <X 2. Te. znowu dwie różne wartości Na 1 i Na 2 odpowiada dwóm różnym wartościom X 1 i X 2. Zatem pomiędzy wartościami X i odpowiadające im wartości y nawiązuje się korespondencję jeden do jednego, tj. równanie y=f(x) dla każdego y(wzięte z zakresu funkcji y=f(x)) definiuje pojedynczą wartość X i możemy tak powiedzieć X istnieje pewna funkcja argumentacyjna y: x= g(y).

Ta funkcja nazywa się odwracać dla funkcji y=f(x). Oczywiście funkcja y=f(x) jest odwrotnością funkcji x=g(y).

Należy pamiętać, że funkcja odwrotna x=g(y) znaleźć rozwiązując równanie y=f(x) stosunkowo X.

Przykład. Niech będzie podana funkcja y= mi x . Funkcja ta wzrasta przy –∞< X <+∞. Она имеет обратную функцию X= log y. Dziedzina funkcji odwrotnej 0< y < + ∞.

Poczynimy kilka komentarzy.

Notatka 1. Jeśli funkcja rosnąca (lub malejąca). y=f(x) jest ciągła na przedziale [ A; B], I f(a)=c, f(b)=d, wówczas zdefiniowana jest funkcja odwrotna i ciągła na przedziale [ C; D].

Uwaga 2. Jeśli funkcja y=f(x) nie rośnie ani nie maleje w pewnym przedziale, to może mieć kilka funkcji odwrotnych.

Przykład. Funkcjonować y=x2 zdefiniowany w –∞<X<+∞. Она не является ни возрастающей, ни убывающей и не имеет обратной функции. Однако, если мы рассмотриминтервал 0≤X<+∞, то здесь функция является возрастающей и обратной для нее будет . На интервале – ∞ <X Funkcja ≤ 0 – zmniejszenie i jej odwrotność.

Uwaga 3. Jeśli funkcje y=f(x) I x=g(y) są wzajemnie odwrotne, to wyrażają tę samą zależność między zmiennymi X I y. Dlatego wykres obu jest tą samą krzywą. Ale jeśli ponownie oznaczymy argument funkcji odwrotnej przez X, i funkcja poprzez y i narysujemy je w tym samym układzie współrzędnych, otrzymamy dwa różne wykresy. Łatwo zauważyć, że wykresy będą symetryczne względem dwusiecznej pierwszego kąta współrzędnych.

TWIERDZENIE O FUNKCJI ODWROTNEJ POCHODNEJ

Udowodnimy twierdzenie, które pozwala nam znaleźć pochodną funkcji y=f(x), znając pochodną funkcji odwrotnej.

Twierdzenie. Jeśli dla funkcji y=f(x) istnieje funkcja odwrotna x=g(y), co w pewnym momencie Na 0 ma pochodną G "(v 0), niezerowe, a następnie w odpowiednim punkcie x 0=G(x 0) funkcja y=f(x) ma pochodną F "(x 0), równe , tj. formuła jest poprawna.

Dowód. Ponieważ x=g(y) różniczkowalna w punkcie y 0, To x=g(y) jest ciągła w tym punkcie, więc funkcja y=f(x) ciągły w pewnym punkcie x 0=G(y 0). Dlatego w Δ X→0 Δ y→0.

Pokażmy to .

Pozwalać . Następnie z własności granicy . Przejdźmy tę równość do granicy w Δ y→0. Następnie Δ X→0 i α(Δx) →0, tj. .

Stąd,

co było do okazania

Wzór ten można zapisać w postaci .

Przyjrzyjmy się zastosowaniu tego twierdzenia na przykładach.

Wyprowadzając pierwszy wzór tabeli, zaczniemy od definicji funkcji pochodnej w punkcie. Weźmy gdzie X– dowolna liczba rzeczywista, tj. X– dowolna liczba z dziedziny definicji funkcji. Zapiszmy granicę stosunku przyrostu funkcji do przyrostu argumentu w punkcie:

Należy zauważyć, że pod znakiem granicznym uzyskuje się wyrażenie, które nie jest niepewnością zera podzieloną przez zero, ponieważ licznik nie zawiera wartości nieskończenie małej, ale dokładnie zero. Innymi słowy, przyrost funkcji stałej wynosi zawsze zero.

Zatem, pochodna funkcji stałejjest równa zeru w całym obszarze definicji.

Pochodna funkcji potęgowej.

Wzór na pochodną funkcji potęgowej ma postać , gdzie wykładnik P– dowolna liczba rzeczywista.

Najpierw udowodnijmy wzór na wykładnik naturalny, czyli na p = 1, 2, 3, …

Będziemy korzystać z definicji pochodnej. Zapiszmy granicę stosunku przyrostu funkcji potęgowej do przyrostu argumentu:

Aby uprościć wyrażenie w liczniku, zwracamy się do wzoru dwumianu Newtona:

Stąd,

Dowodzi to wzoru na pochodną funkcji potęgowej dla wykładnika naturalnego.

Pochodna funkcji wykładniczej.

Przedstawiamy wyprowadzenie wzoru na pochodną w oparciu o definicję:

Dotarliśmy do niepewności. Aby ją rozwinąć, wprowadzamy nową zmienną, a na . Następnie . W ostatnim przejściu wykorzystaliśmy wzór na przejście do nowej podstawy logarytmicznej.

Podstawmy do pierwotnej granicy:

Jeśli przypomnimy sobie drugą niezwykłą granicę, dochodzimy do wzoru na pochodną funkcji wykładniczej:

Pochodna funkcji logarytmicznej.

Udowodnijmy wzór na pochodną funkcji logarytmicznej dla wszystkich X z dziedziny definicji i wszystkich ważnych wartości podstawy A logarytm Z definicji pochodnej mamy:

Jak zauważyłeś, w trakcie dowodu przekształcenia przeprowadzono wykorzystując własności logarytmu. Równość jest prawdziwe ze względu na drugą niezwykłą granicę.

Pochodne funkcji trygonometrycznych.

Aby wyprowadzić wzory na pochodne funkcji trygonometrycznych, będziemy musieli przypomnieć sobie niektóre wzory trygonometryczne, a także pierwszą niezwykłą granicę.

Z definicji pochodnej funkcji sinus mamy .

Skorzystajmy ze wzoru na różnicę sinusów:

Pozostaje przejść do pierwszego niezwykłego ograniczenia:

Zatem pochodna funkcji grzech x Jest bo x.

Wzór na pochodną cosinusa dowodzi się dokładnie w ten sam sposób.

Zatem pochodna funkcji bo x Jest –grzech x.

Wzory na tablicę pochodnych na tangens i cotangens wyprowadzimy korzystając ze sprawdzonych zasad różniczkowania (pochodna ułamka).

Pochodne funkcji hiperbolicznych.

Reguły różniczkowania oraz wzór na pochodną funkcji wykładniczej z tabeli pochodnych pozwalają nam wyprowadzić wzory na pochodne sinusa, cosinusa hiperbolicznego, tangensa i kotangensa.

Pochodna funkcji odwrotnej.

Aby uniknąć zamieszania podczas prezentacji, oznaczmy w indeksie dolnym argument funkcji, za pomocą której dokonuje się różniczkowania, czyli jest to pochodna funkcji k(x) Przez X.

Teraz sformułujmy zasada znajdowania pochodnej funkcji odwrotnej.

Niech funkcje y = f(x) I x = g(y) wzajemnie odwrotne, określone odpowiednio na przedziałach i. Jeśli w punkcie istnieje skończona niezerowa pochodna funkcji k(x), to w tym punkcie istnieje skończona pochodna funkcji odwrotnej g(y), I . W innym poście .

Zasadę tę można przeformułować dla dowolnego X z przedziału , to otrzymujemy .

Sprawdźmy zasadność tych formuł.

Znajdźmy funkcję odwrotną logarytmu naturalnego (Tutaj y jest funkcją oraz X- argument). Po rozwiązaniu tego równania dla X, otrzymujemy (tutaj X jest funkcją oraz y– jej argumentacja). To jest, i funkcje wzajemnie odwrotne.

Widzimy to z tabeli instrumentów pochodnych I .

Upewnijmy się, że wzory na znalezienie pochodnych funkcji odwrotnej prowadzą nas do tych samych wyników:

Jak widać otrzymaliśmy takie same wyniki jak w tabeli instrumentów pochodnych.

Teraz mamy wiedzę niezbędną do udowodnienia wzorów na pochodne odwrotnych funkcji trygonometrycznych.

Zacznijmy od pochodnej arcsinusa.

. Następnie korzystając ze wzoru na pochodną funkcji odwrotnej otrzymujemy

Pozostaje tylko przeprowadzić przekształcenia.

Ponieważ zakres łuku sinusoidalnego jest przedziałem , To (patrz rozdział o podstawowych funkcjach elementarnych, ich własnościach i wykresach). Dlatego nie rozważamy tego.