N-ty pierwiastek liczby z. Potęga z dowolnym wymiernym wykładnikiem

Z I Liczba naturalna N 2 .

Liczba zespolona Z zwany źródłoN– C, Jeśli Z N = C.

Znajdźmy wszystkie wartości pierwiastka N– och, potęga liczby zespolonej Z. Pozwalać C=| C|·(sałata Argument C+ I· grzech ArgumentZ), A Z = | Z|·(zos Argument Z + I· grzech Argument Z) , Gdzie Zźródło N- och, potęga liczby zespolonej Z. Więc tak musi być = C = | C|·(sałata Argument C+ I· grzech ArgumentZ). Wynika, że
I N· Argument Z = ArgumentZ
Argument Z =
(k=0,1,…) . Stąd, Z =
(sałata
+ I· grzech
), (k=0,1,…) . Łatwo zauważyć, że dowolna z wartości
, (k=0,1,…) różni się od jednej z odpowiednich wartości
,(k = 0,1,…, N-1) przez wielokrotność 2π. Dlatego , (k = 0,1,…, N-1) .

Przykład.

Obliczmy pierwiastek z (-1).

, oczywiście |-1| = 1, argument (-1) = π

-1 = 1·(sałata π + I· grzech π )

, (k = 0, 1).

= I

Potęga z dowolnym wymiernym wykładnikiem

Weźmy dowolne Liczba zespolona Z. Jeśli N zatem liczba naturalna Z N = | C| N ·(Zos nArgs +I· grzech nArgZ)(6). Ta formuła sprawdza się także w tym przypadku N = 0 (s≠0)
. Pozwalać N < 0 I N Z I s ≠ 0, Następnie

Z N =
(ponieważ nArgZ+i·sin nArgZ) = (ponieważ nArgZ+ i·sin nArgZ) . Zatem wzór (6) obowiązuje dla dowolnego N.

Weźmy liczbę wymierną , Gdzie Q liczba naturalna i R jest cały.

Następnie pod stopień C R zrozumiemy tę liczbę
.

Rozumiemy to ,

(k = 0, 1, …, Q-1). Te wartości Q sztuk, jeśli ułamek nie jest redukowalny.

Wykład nr 3 Granica ciągu liczb zespolonych

Nazywa się funkcję argumentu naturalnego o wartościach zespolonych ciąg liczb zespolonych i jest wyznaczony (Z N ) Lub Z 1 , Z 2 , ..., Z N . Z N = za N + B N · I (N = 1,2, ...) Liczby zespolone.

Z 1 , Z 2 , … - członkowie ciągu; Z N – członek wspólny

Liczba zespolona Z = A+ B· I zwany granica ciągu liczb zespolonych (C N ) , Gdzie Z N = za N + B N · I (N = 1, 2, …) , gdzie dla dowolnego

że na oczach wszystkich N > N nierówność zachodzi
. Nazywa się ciąg mający skończoną granicę zbieżny sekwencja.

Twierdzenie.

Aby uzyskać ciąg liczb zespolonych (z N ) (Z N = za N + B N · I) zbieżne do liczby z = A+ B· I, jest konieczne i wystarczające, aby równość zachodziłalim A N = A, lim B N = B.

Dowód.

Twierdzenie udowodnimy w oparciu o następującą oczywistą podwójną nierówność

, Gdzie Z = X + y· I (2)

Konieczność. Pozwalać lim(Z N ) = s. Pokażmy, że równości są prawdziwe lim A N = A I lim B N = B (3).

Oczywiście (4)

Ponieważ
, Gdy N → ∞ , to z lewej strony nierówności (4) wynika, że
I
, Gdy N → ∞ . zatem równość (3) jest spełniona. Udowodniono, że istnieje taka potrzeba.

Adekwatność. Niech teraz zostaną spełnione równości (3). Z równości (3) wynika, że
I
, Gdy N → ∞ , zatem ze względu na prawą stronę nierówności (4) tak będzie
, Gdy N→∞ , Oznacza lim(Z N )=c. Wystarczalność została udowodniona.

Zatem kwestia zbieżności ciągu liczb zespolonych jest równoważna zbieżności dwóch ciągów liczb rzeczywistych, dlatego wszystkie podstawowe właściwości granic ciągów liczb rzeczywistych dotyczą ciągów liczb zespolonych.

Na przykład dla ciągów liczb zespolonych obowiązuje kryterium Cauchy'ego: w celu uzyskania ciągu liczb zespolonych (z N ) jest zbieżny, jest to konieczne i wystarczające dla dowolnego

, to dla każdegoN, M > Nnierówność zachodzi
.

Twierdzenie.

Niech ciąg liczb zespolonych (z N ) I (z N ) zbiegają się odpowiednio do c iz, to równości są prawdziwelim(Z N z N ) = C z, lim(Z N · z N ) = C· z. Jeśli wiadomo to na pewnoznie jest równa 0, to równość jest prawdziwa
.

numery w postać trygonometryczna.

Wzór Moivre’a

Niech z 1 = r 1 (cos  1 + isin  1) i z 2 = r 2 (cos  2 + isin  2).

Trygonometryczna forma zapisu liczby zespolonej jest wygodna w użyciu do wykonywania operacji mnożenia, dzielenia, podnoszenia do potęgi całkowitej i wyodrębniania pierwiastka stopnia n.

z 1 ∙ z 2 = r 1 ∙ r 2 (cos ( 1 +  2) + i sin( 1 +  2)).

Podczas mnożenia dwóch liczb zespolonych w formie trygonometrycznej ich moduły są mnożone i dodawane są argumenty. Podczas dzielenia ich moduły są dzielone, a argumenty odejmowane.

Następstwem reguły mnożenia liczby zespolonej jest zasada podnoszenia liczby zespolonej do potęgi.

z = r(cos  + ja grzech ).

z n = r n (cos n + isin n).

Ten stosunek nazywa się Wzór Moivre’a.

Przykład 8.1 Znajdź iloczyn i iloraz liczb:

I

Rozwiązanie

z 1 ∙z 2
∙

=

;

Przykład 8.2 Zapisz liczbę w postaci trygonometrycznej

∙
–i) 7 .

Rozwiązanie

Oznaczmy
i z 2 =
- I.

r 1 = |z 1 | = √ 1 2 + 1 2 = √ 2;  1 = argument z 1 = arctan ;

z 1 =
;

r 2 = |z 2 | = √(√ 3) 2 + (– 1) 2 = 2;  2 = arg z 2 = arctan
;

z 2 = 2
;

z 1 5 = (
) 5
; z 2 7 = 2 7

z = (
) 5 ·2 7
=

2 9

§ 9 Wyodrębnianie pierwiastka liczby zespolonej

Definicja. ŹródłoNpotęga liczby zespolonej z (oznacz
) jest liczbą zespoloną w taką, że w n = z. Jeśli z = 0, to
= 0.

Niech z  0, z = r(cos + isin). Oznaczmy w = (cos + sin), następnie zapiszemy równanie w n = z w następującej postaci

 n (cos(n·) + isin(n·)) = r(cos + isin).

Stąd  n = r,

 =

Zatem wk =
·
.

Wśród tych wartości jest dokładnie n różnych.

Zatem k = 0, 1, 2, …, n – 1.

Na płaszczyźnie zespolonej punkty te są wierzchołkami regularnego n-kąta wpisanego w okrąg o promieniu
ze środkiem w punkcie O (Rysunek 12).

Rysunek 12

Przykład 9.1 Znajdź wszystkie wartości
.

Rozwiązanie.

Przedstawmy tę liczbę w formie trygonometrycznej. Znajdźmy jego moduł i argument.

w k =
, gdzie k = 0, 1, 2, 3.

w 0 =
.

w 1 =
.

w 2 =
.

w 3 =
.

Na płaszczyźnie zespolonej punkty te są wierzchołkami kwadratu wpisanego w okrąg o promieniu
ze środkiem w początku układu współrzędnych (Rysunek 13).

Rysunek 13 Rysunek 14

Przykład 9.2 Znajdź wszystkie wartości
.

Rozwiązanie.

z = – 64 = 64(cos +isin);

w k =
, gdzie k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

w 0 =
; w 1 =
;

w 2 =
w 3 =

w 4 =
; w 5 =
.

Na płaszczyźnie zespolonej punkty te są wierzchołkami sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu 2, którego środek znajduje się w punkcie O (0; 0) - rysunek 14.

§ 10 Postać wykładnicza liczby zespolonej.

Wzór Eulera

Oznaczmy
= cos  + isin  i
= sałata  - isin  . Relacje te nazywane są Wzory Eulera .

Funkcjonować
ma zwykłe właściwości funkcji wykładniczej:

Niech liczba zespolona z będzie zapisana w postaci trygonometrycznej z = r(cos + isin).

Korzystając ze wzoru Eulera możemy napisać:

z = r
.

Ten wpis nazywa się forma wykładnicza Liczba zespolona. Za jego pomocą uzyskujemy zasady mnożenia, dzielenia, potęgowania i ekstrakcji pierwiastków.

Jeśli z 1 = r 1 ·
i z 2 = r 2 ·
?To

z 1 · z 2 = r 1 · r 2 ·
;

·

z n = r n ·

, gdzie k = 0, 1, … , n – 1.

Przykład 10.1 Zapisz liczbę w postaci algebraicznej

z =
.

Rozwiązanie.

Przykład 10.2 Rozwiąż równanie z 2 + (4 – 3i)z + 4 – 6i = 0.

Rozwiązanie.

Dla dowolnych współczynników zespolonych równanie to ma dwa pierwiastki z 1 i z 1 (prawdopodobnie pokrywające się). Pierwiastki te można znaleźć za pomocą tego samego wzoru, co w rzeczywistym przypadku. Ponieważ
przyjmuje dwie wartości różniące się tylko znakiem, wówczas formuła wygląda następująco:

Ponieważ –9 = 9 e  i, to wartości
będą liczby:

Następnie
I
.

Rozwiązanie.

Wymaganymi pierwiastkami równania będą wartości
.

Dla z = –1 mamy r = 1, arg(–1) = .

w k =
, k = 0, 1, 2.

Ćwiczenia

9 Liczby obecne w formie wykładniczej:

10. Zapisz liczby w postaci wykładniczej i algebraicznej:

11 Zapisz liczby w postaci algebraicznej i geometrycznej:

Podano 12 liczb

Przedstaw je w formie wykładniczej, znajdź
.

13 Używając postaci wykładniczej liczby zespolonej, wykonaj następujące kroki:

A)
B)

V)
G)