Reprezentacja geometryczna liczb zespolonych i działania na nich. Postać trygonometryczna liczby zespolonej
rozważ zbiór R2 wszystkich możliwych par uporządkowanych (x» Y) liczb rzeczywistych xxy € R. Dla takich par (a, b) = (c, d) wtedy i tylko wtedy, gdy a = c i b - d. Wprowadźmy na tym zbiorze R2 wewnętrzne prawa składania w postaci operacji dodawania i mnożenia. Dodawanie przez równość £faa definiujemy jako operację asocjacyjną i przemienną; ma (zgodnie z definicją 4.5) element neutralny (0, 0), a zgodnie z definicją 4.6 dla każdej pary (a, 6) można określić element symetryczny (przeciwny) (-a, -6). Rzeczywiście, V(a, 6) £ R2 Ponadto, lub Ciała liczb zespolonych. Definiujemy mnożenie przez równość Łatwo jest sprawdzić, czy tak wprowadzona operacja jest asocjacyjna, przemienna i rozdzielcza względem dodawania. Operacja ta ma element neutralny, którym jest para (1, 0), ponieważ Tak więc, ze względu na wprowadzone operacje dodawania i mnożenia, zbiór R2 jest pierścieniem abelowym z jednostką (patrz Tabela 4.1). u* Między zbiorem par (x, 0) € R2 a zbiorem liczb rzeczywistych x G R łatwo jest ustalić zależność jeden do jednego (x, 0) x), z której wynika, że Pole Liczby zespolone. tych. dodawanie i mnożenie takich par odbywa się w taki sam sposób jak dla liczb rzeczywistych. Zastąpmy pary postaci (x, 0) liczbami rzeczywistymi, czyli zamiast (x, 0) napiszemy po prostu x, w szczególności zamiast (1, 0) napiszemy po prostu 1. Para (0, 1) zajmuje specjalne miejsce w zbiorze R2. Zgodnie z (4.3) ma właściwości i otrzymał specjalne oznaczenie i, a następnie, biorąc pod uwagę (4.2) i (4.3), dowolną parę (x, y) ∈ R2 można przedstawić jako ciało liczb zespolonych . Oznacz z. Element z nazywamy sprzężeniem zespolonym elementu z. Biorąc pod uwagę (4.3) z-z = x2 -by2. Jeśli z nie pasuje do neutralnego elementu (0, 0), tj. jeśli x i y nie są jednocześnie równe 0 (oznaczają 2^0), to x2 + + y2 φ 0. Następnie odwrotność (symetryczna, przeciwna do operacji mnożenia - patrz 4.1) do elementu z \u003d x + iy będzie takim elementem r "1, że zz~l = 1 lub zzz~l = z, tj. (x2 + y2)z~l = x - y Stąd -1_ X 2 Y \ Zatem, każdy element gf O ma odwrotność do svb w odniesieniu do operacji mnożenia , a zbiór R2 z połączonymi na nim operacjami dodawania i mnożenia zgodnie z (4.1) i (4.3) jest zatem polem (patrz Tabela 4.1 ) Nazywa się to polem (lub zbiorem) liczb zespolonych i jest oznaczone C. B Na mocy powyższej korespondencji jeden do jednego (r, 0) € R2 ++ x € R do ułamka liczb zespolonych jest rozszerzenie pola liczb rzeczywistych. Dowolny element r w C nazywa się liczbą zespoloną, a jego reprezentacja w postaci z = x + iy> gdzie x, y £ R i i2 = -l, - reprezentuje liczbę zespoloną w postaci algebraicznej. W tym przypadku £ nazywamy częścią rzeczywistą liczby zespolonej i oznaczamy Rez, a y nazywamy częścią urojoną i oznaczamy Imz (t nazywamy jednostką urojoną). Zauważ, że część urojona liczby zespolonej jest liczbą rzeczywistą. Nazwa y nie jest do końca udana, ale jako hołd dla tradycji historycznej pozostała do dziś. Termin „liczba zespolona”44 został wprowadzony w 1803 r. przez francuskiego matematyka JI. Carnot (1753-1823), ale K. Gauss zaczął używać tego terminu systematycznie od 1828 r. w miejsce mniej udanej „liczby urojonej”44. W rosyjskiej literaturze matematycznej XIX wieku. użył terminu „liczba kompozytowa”44. Już u R. Descartesa części rzeczywiste i urojone liczby zespolonej są przeciwstawne. Później pierwsze litery francuskich słów reele (rzeczywisty) i imagimaire (wyobrażony) stały się oznaczeniami tych części, chociaż wielu matematyków uważało istotę wielkości urojonych za niejasną, a nawet tajemniczą i mistyczną. Tak więc I. Newton nie umieścił ich w pojęciu liczby, a G. Leibniz należy do frazy: „Liczby urojone są cudownym i cudownym schronieniem boskiego ducha, niemal płazem bycia z niebytem44. Ponieważ zbiór R2 wszystkich możliwych par liczb rzeczywistych można utożsamiać z punktami na płaszczyźnie, każda liczba zespolona z =? x + iy odpowiada punktowi y) (ryc. 4.1), co pozwala nam mówić o geometrycznej postaci reprezentacji liczby zespolonej. Gdy liczby zespolone są utożsamiane z punktami płaszczyzny, nazywamy to płaszczyzną zespoloną lub płaszczyzną liczb zespolonych. Liczby rzeczywiste są umieszczone na osi x, tj. liczby z, dla których lmz = y = 0, a na osi Oy liczby z = iy, zwane czysto urojone, dla których Re r = x = 0. Poeto-Rys. 4.1, osie współrzędnych w płaszczyźnie zespolonej nazywane są odpowiednio rzeczywistymi i urojonymi. Punkty płaszczyzny odpowiadające zespolonym elementom sprzężonym z i z (liczby zespolone sprzężone) są symetryczne względem osi rzeczywistej, a punkty reprezentujące z i -z są symetryczne względem początku. Odległość Ciała liczb zespolonych. punkt M(x, y), przedstawiający liczbę zespoloną z = x + iy na płaszczyźnie, od początku nazywany modułem liczby zespolonej i oznaczany \z\ lub r. Kąt tworzący wektor promienia punkt M o dodatnim kierunku osi Wół nazywamy argumentem liczby zespolonej i oznaczamy Argz lub (p (patrz rys. 4.1). Kąt jest mierzony jak w trygonometrii: dodatni kierunek zmiany kąta jest uważany za kierunek przeciwny do ruchu wskazówek zegara. Oczywiste jest, że Arg z nie jest jednoznacznie zdefiniowane, ale do wyrażenia będącego wielokrotnością 2n.z - 0, wartość Args nie jest określona.Punkt odpowiadający tej liczbie (początek) charakteryzuje się tylko warunek \z\ = r = 0. Zatem każdej liczbie zespolonej z na płaszczyźnie zespolonej odpowiada wektor promienia punktu M(x, y), który można ustawić za pomocą współrzędnych biegunowych: promień biegunowy r ^ 0 , równego modułowi liczby zespolonej, a kąt biegunowy pokrywa się z wartością zasadniczą argumentu tej liczby zespolonej. Zgodnie z definicjami funkcji trygonometrycznych i ich odwrotnościami znanymi ze szkolnego kursu trygonometrii (patrz punkt z na płaszczyzna zespolona mamy x=rcosy>= X Uwzględniając ograniczenia nałożone na wartość główną argumentu liczby zespolonej otrzymujemy jeśli x > 0, jeśli x 0, jeśli x = 0 i y. Z (4.6) wynika z tego, że pr notacja + tsiny> jest avomeryczna), (4.8) Nazywa się to formą trygonometryczną reprezentacji liczby zespolonej. Aby przejść od formy algebraicznej reprezentacji do formy trygonometrycznej, użyj (4.5) i (4.7) ”i dla przejścia odwrotnego - (4.6). Zauważ, że dwie niezerowe liczby zespolone są równe wtedy i tylko wtedy, gdy ich moduły są równe, a argumenty różnią się terminami, które są wielokrotnościami 2n. Zgodnie z (4.1) suma liczb zespolonych z \ i r2 będzie liczbą zespoloną i ich różnicą - Z tych wzorów wynika, że dodawanie (lub odejmowanie) liczb zespolonych jest podobne do dodawania (lub odejmowania) wektory w płaszczyźnie zespolonej zgodnie z zasadą równoległoboku (ryc. 4.2) (podczas gdy odpowiednie współrzędne wektorów są dodawane lub odejmowane). Dlatego dla modułów liczb zespolonych nierówności trójkąta a obowiązują w postaci (długość dowolnego boku trójkąta nie jest większa niż suma długości jego dwóch pozostałych boków). Na tym jednak kończy się analogia między liczbami zespolonymi a wektorami. Suma lub różnica liczb zespolonych może być liczbą rzeczywistą (na przykład suma liczb sprzężonych r-f z = = 2x, x = Rez e R). Zgodnie z (4.3) iloczyn liczb zespolonych z\ iz2 jest liczbą zespoloną. iloraz Z1/22 dla V*2 φ 0 jest rozumiany jako liczba zespolona -r spełniająca równość z^z = z\. Po pomnożeniu obu części tej równości przez 22 otrzymujemy. Podniesienie liczby zespolonej z do potęgi n € N to mnożenie z przez siebie n razy, biorąc pod uwagę fakt, że dla k 6 N jest ciałem liczb zespolonych. Notacja trygonometryczna (4.8) umożliwia uproszczenie mnożenia, dzielenia i potęgowania liczb zespolonych. Tak więc dla z\ \u003d r\ (cos (p\ + isiny?i) i Z2 \u003d Г2 (co + -f isin no (4.3) można ustalić, że Na płaszczyźnie zespolonej (ryc. 4.3) mnożenie odpowiada do obrotu odcinka OM o kąt (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara o 0) i zmiany jego długości o r2 = \z2\ razy; potęgowanie n £ N jako pomnożenie z przez siebie n razy, pół-nay Na cześć angielskiego matematyka A de Moivre (1667-1754), zależność ta nazywana jest formułą Moivre'a na podniesienie liczby zespolonej do dodatniej potęgi całkowitej /n, q € Q, m € Z, n6N, jest związana z podniesieniem tej liczby do potęgi 1 /n, czyli, jak mówią, wyciągnięcie n-tego pierwiastka z liczby zespolonej stopnia, czyli = w, jeśli wn = z. Niech) Wtedy z (4.13) mamy i biorąc pod uwagę równość liczb zespolonych, mamy uzyskać Z wyrażenia (4.14), nazywamy wyprowadzony ze wzoru Moivre'a na wyciągnięcie pierwiastka dodatniej potęgi całkowitej z liczby zespolonej) wynika, że spośród możliwych wartości y/z, n wartości odpowiadających k = 0, n - 1 będzie różne. Wszystkie n różnych wartości dla $fz mają ten sam moduł, a ich argumenty różnią się kątami będącymi wielokrotnościami 2jr/n. Wartości odpowiadają punktom płaszczyzny zespolonej na wierzchołkach regularnego n-kąta wpisanego w okrąg o promieniu 1/f wyśrodkowany na początku. W tym przypadku wektor promienia jednego z wierzchołków tworzy kąt (p/n) z osią Ox. Z (4.13) i (4.14) wynika wzór na podniesienie liczby zespolonej z/0 do potęgi wymiernej g € Q. Beli g = m/n, gdzie m € Z i n € N, biorąc pod uwagę (4.7) otrzymujemy (Dlatego w postaci trygonometrycznej. Zgodnie z (4.11) i (4.12) znajdujemy: Używając (4.13) , podnosimy z\ do potęgi n = 4, stosując (4.14), wyciągamy pierwiastek stopnia n = 3 z z2 Wyniki obliczeń pokazano na rys. 4.4 Trzy wartości pierwiastka trzeciego stopnia z zi odpowiadają wierzchołkom regularnego trójkąta ABC wpisanego w okrąg o promieniu i kątom biegunowym tych wierzchołków \u003d i * / 18, 4\u003e v \u003d 13m / 18 i \u003d 25m / 18 (lub \u003d - 11 ^/18).
Aksjomaty pola. Ciała liczb zespolonych. Zapis trygonometryczny liczby zespolonej.
Liczba zespolona to liczba o postaci , gdzie i są liczbami rzeczywistymi, tzw wyimaginowana jednostka. Numer nazywa się prawdziwa część ( ) liczba zespolona, numer nazywa się część urojona ( ) Liczba zespolona.
Pęczek To samo Liczby zespolone zwykle oznaczane „pogrubioną” lub pogrubioną literą
Liczby zespolone są wyświetlane na złożony samolot:
Płaszczyzna złożona składa się z dwóch osi:
– oś rzeczywista (x)
– oś urojona (y)
Zbiór liczb rzeczywistych jest podzbiorem zbioru liczb zespolonych
Operacje na liczbach zespolonych
Aby dodać dwie liczby zespolone, dodaj ich części rzeczywiste i urojone.
Odejmowanie liczb zespolonych
Działanie jest podobne do dodawania, jedyną cechą jest to, że odjęcie należy wziąć w nawiasach, a następnie standardowo otworzyć te nawiasy ze zmianą znaku
Mnożenie liczb zespolonych
otwarte nawiasy zgodnie z zasadą mnożenia wielomianów
Dzielenie liczb zespolonych
Przeprowadzany jest podział liczb mnożąc mianownik i licznik przez sprzężone wyrażenie mianownika.
Liczby zespolone mają wiele właściwości liczb rzeczywistych, z których odnotowujemy następujące, zwane Główny.
1) (a + b) + c = a + (b + c) (skojarzenie dodawania);
2) a + b = b + a (przemienność dodawania);
3) a + 0 = 0 + a = a (istnienie elementu neutralnego przez dodanie);
4) a + (−a) = (−a) + a = 0 (istnienie przeciwstawnego elementu);
5) a(b + c) = ab + AC ();
6) (a + b)c = AC + pne (rozdzielność mnożenia względem dodawania);
7) (ab)c = a(pne) (asocjatywność mnożenia);
8) ab = ba (przemienność mnożenia);
9) a∙1 = 1∙a = a (istnienie elementu neutralnego przez mnożenie);
10) dla każdego a≠ 0 b, Co ab = ba = 1 (istnienie elementu odwrotnego);
11) 0 1 (bez nazwy).
Zbiór obiektów o dowolnym charakterze, na których zdefiniowane są operacje dodawania i mnożenia, które mają wskazanych 11 własności (które w tym przypadku są aksjomatami), nazywa się pole.
Ciało liczb zespolonych można rozumieć jako rozszerzenie ciała liczb rzeczywistych, w którym wielomian ma pierwiastek
Dowolną liczbę zespoloną (oprócz zera) można zapisać w postaci trygonometrycznej: 
, gdzie to jest moduł liczby zespolonej, a - liczba zespolona argument.
Moduł liczby zespolonej to odległość od początku współrzędnych do odpowiedniego punktu płaszczyzny zespolonej. Mówiąc prosto, moduł to długość wektor promienia, który jest zaznaczony na rysunku kolorem czerwonym.
Moduł liczby zespolonej jest zwykle oznaczany przez: lub
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, łatwo wyprowadzić wzór na obliczanie modułu liczby zespolonej: . Ta formuła jest poprawna dla każdego znaczenia „a” i „być”.
Argument liczby zespolonej nazywa zastrzyk pomiędzy dodatnia oś oś rzeczywistą i wektor promienia narysowany od początku do odpowiedniego punktu. Argument nie jest zdefiniowany dla liczby pojedynczej: .
Argument liczby zespolonej jest zwykle oznaczany przez: lub
Niech i φ = arg z. Następnie, zgodnie z definicją argumentu, mamy:
Pierścień macierzy nad ciałem liczb rzeczywistych. Podstawowe operacje na macierzach. Właściwości operacyjne.
Matryca rozmiar m´n, gdzie m to liczba rzędów, n to liczba kolumn, nazywana jest tabelą liczb ułożonych w określonej kolejności. Te liczby nazywane są elementami macierzowymi. Miejsce każdego elementu jest jednoznacznie określone przez numer wiersza i kolumny, na przecięciu których się znajduje. Elementy macierzy oznaczono jako a ij , gdzie i to numer wiersza, a j to numer kolumny.
Definicja. Jeżeli liczba kolumn macierzy jest równa liczbie wierszy (m=n), to macierz nazywa się kwadrat.
Definicja. Zobacz macierz:
= mi,
nazywa macierz jednostkowa.
Definicja. Jeśli mn = nm, wtedy macierz nazywa się symetryczny.
Przykład. 
- macierz symetryczna
Definicja.
Macierz widoku kwadratowego 
nazywa przekątna matryca.
Mnożenie macierzy przez liczbę
Mnożenie macierzy przez liczbę(notacja: ) polega na zbudowaniu macierzy, której elementy uzyskuje się mnożąc każdy element macierzy przez tę liczbę, czyli każdy element macierzy jest równy
Własności mnożenia macierzy przez liczbę:
· jedenaście A = A;
2. (λβ)A = λ(βA)
3. (λ+β)A = λA + βA
· 4. λ(A+B) = λA + λB
Dodawanie macierzy
Dodawanie macierzy jest operacją znalezienia macierzy , której wszystkie elementy są równe sumie par wszystkich odpowiadających sobie elementów macierzy i , czyli każdy element macierzy jest równy
Właściwości dodawania macierzy:
1. przemienność: A+B = B+A;
2. stowarzyszenie: (A+B)+C =A+(B+C);
3.dodawanie z matrycą zerową: A + Θ = A;
4.istnienie przeciwnej macierzy: A+(-A)=Θ;
Wszystkie własności operacji liniowych powtarzają aksjomaty przestrzeni liniowej, dlatego obowiązuje następujące twierdzenie:
Zestaw wszystkich matryc w tym samym rozmiarze m x n z elementami z pola P(pola wszystkich liczb rzeczywistych lub zespolonych) tworzą przestrzeń liniową nad ciałem P (każda taka macierz jest wektorem tej przestrzeni). Jednak przede wszystkim w celu uniknięcia zamieszania terminologicznego unika się macierzy w powszechnych kontekstach bez potrzeby (co nie jest w najczęstszych standardowych zastosowaniach) i jasnego określania użycia terminu do wywoływania wektorów.
Mnożenie macierzy
Mnożenie macierzy(zapis: , rzadko ze znakiem mnożenia) - istnieje operacja obliczania macierzy, której każdy element jest równy sumie iloczynów elementów w odpowiednim wierszu pierwszego czynnika i kolumnie drugiego.
Liczba kolumn w macierzy musi odpowiadać liczbie wierszy w macierzy, czyli macierz musi być Zgoda z matrycą. Jeśli macierz ma wymiar , - , to wymiar ich iloczynu wynosi .
Właściwości mnożenia macierzy:
1.skojarzenia (AB)C = A(BC);
2.nieprzemienne (ogólnie): AB BA;
3. Iloczyn jest przemienny w przypadku mnożenia z macierzą jednostkową: AI=IA;
4.dystrybucja: (A+B)C = AC + BC, A(B+C) = AB + AC;
5.łączność i przemienność w odniesieniu do mnożenia przez liczbę: (λA)B = λ(AB) = A(λB);
Transpozycja macierzy.
Znajdowanie macierzy odwrotnej.
Macierz kwadratowa jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest nieosobliwa, czyli jej wyznacznik nie jest równy zero. Dla macierzy niekwadratowych i macierzy zdegenerowanych nie ma macierzy odwrotnych.
Twierdzenie o rangach macierzowych
Ranga macierzy A jest maksymalnym rzędem niezerowej liczby drugorzędnej
Minor określający rangę macierzy nazywa się Basis Minor. Wiersze i kolumny tworzące BM nazywane są podstawowymi wierszami i kolumnami.
Notacja: r(A), R(A), Rang A.
Komentarz. Oczywiście wartość rangi macierzy nie może przekraczać najmniejszego z jej wymiarów.
Dla każdej macierzy jej rangi pomocnicze, wiersze i kolumny są takie same.
Dowód. Niech mniejsza ranga macierzy A równa się r . Pokażmy, że ranga wiersza jest również równa r . W tym celu możemy założyć, że odwracalny małoletni M zamówienie r jest w pierwszym r wiersze macierzy A . Wynika z tego, że pierwszy r wiersze macierzy A są liniowo niezależne i zbiorem mniejszych rzędów M liniowo niezależny. Zostawiać a -- długość łańcucha r , złożony z elementów i -ty wiersz macierzy , które znajdują się w tych samych kolumnach co mniejsza M . Ponieważ drobne smyczki M stanowią podstawę k r , następnie a -- liniowa kombinacja mniejszych strun M . Odejmij od i -ta linia A ta sama kombinacja liniowa pierwszego r wiersze macierzy A . Jeśli wynikiem jest ciąg znaków zawierający niezerowy element w kolumnie z liczbą t , to rozważ nieletniego M 1 zamówienie r+1 matryce A , dodając do rzędów mniejszego rzędu macierzy A a do mniejszych kolumn -ta kolumna macierzy A (mówią, że małoletni M 1 Odebrane obrzeża drobne M przez i -ta linia i t -ta kolumna macierzy A ). Z naszego wyboru t , ta podrzędna jest odwracalna (wystarczy odjąć od ostatniego wiersza tej podrzędnej kombinację liniową pierwszego r wierszy, a następnie rozwiń jego wyznacznik na ostatnim wierszu, aby upewnić się, że ten wyznacznik, aż do niezerowego współczynnika skalarnego, pasuje do wyznacznika drugorzędnego M . A-prioryte r taka sytuacja jest niemożliwa, a zatem po przekształceniu i -ta linia A stanie się zerem. Innymi słowy, oryginał i -ty rząd jest kombinacją liniową pierwszego r wiersze macierzy A . Pokazaliśmy, że pierwszy r wiersze tworzą podstawę zestawu wierszy macierzy A , czyli ranga małych liter A równa się r . Aby udowodnić, że ranga kolumny to r , wystarczy zamienić „wiersze” i „kolumny” w powyższym rozumowaniu. Twierdzenie zostało udowodnione.
Twierdzenie to pokazuje, że nie ma sensu rozróżniać trzech rang macierzy, a co za tym idzie, przez rangę macierzy będziemy rozumieć rangę wiersza, pamiętając, że jest on równy zarówno rangom kolumnowym, jak i mniejszym ( notacja r(A) -- ranking macierzy A ). Zauważmy również, że z dowodu twierdzenia o rangach wynika, że rząd macierzy pokrywa się z wymiarem dowolnej odwracalnej mniejszej macierzy w taki sposób, że wszystkie drugorzędne ją otaczające (jeśli w ogóle istnieją) są zdegenerowane.
Twierdzenie Kroneckera-Capelliego
Układ liniowych równań algebraicznych jest zgodny wtedy i tylko wtedy, gdy rząd jego macierzy głównej jest równy rządowi jego macierzy rozszerzonej, a układ ma jednoznaczne rozwiązanie, jeśli rząd jest równy liczbie niewiadomych, a nieskończona liczba rozwiązań, jeśli ranga jest mniejsza niż liczba niewiadomych.
Potrzebować
Niech system będzie spójny. Są też liczby takie, że . Dlatego kolumna jest liniową kombinacją kolumn macierzy. Z tego, że usuniecie wiersza (kolumny) z układu jej wierszy (kolumn) lub wiersza (kolumny) będącego kombinacją liniową innych wierszy (kolumn) nie zmieni rangi macierzy.
Adekwatność
Niech będzie. Weźmy pod uwagę kilka podstawowych minorów w matrycy. Od tego czasu będzie to również podstawa minorowa matrycy. Wtedy, zgodnie z twierdzeniem o podstawie minor, ostatnia kolumna macierzy będzie liniową kombinacją kolumn bazowych, czyli kolumn macierzy. Dlatego kolumna wolnych elementów układu jest liniową kombinacją kolumn macierzy.
Konsekwencje
· Liczba głównych zmiennych systemu jest równa randze systemu.
· System kompatybilny zostanie zdefiniowany (jego rozwiązanie jest jednoznaczne), jeśli ranga systemu będzie równa liczbie wszystkich jego zmiennych.
Podstawowe twierdzenie.
Twierdzenie. W dowolnej macierzy A każda kolumna (wiersz) jest liniową kombinacją kolumn (wierszy), w której znajduje się podstawa podrzędna.
Zatem rząd dowolnej macierzy A jest równy maksymalnej liczbie liniowo niezależnych wierszy (kolumn) w macierzy.
Jeśli A jest macierzą kwadratową i detA = 0, to przynajmniej jedna z kolumn jest kombinacją liniową pozostałych kolumn. To samo dotyczy ciągów. Stwierdzenie to wynika z własności zależności liniowej z wyznacznikiem równym zero.
7. Rozwiązanie SLU. Metoda Cramera, metoda macierzowa, metoda Gaussa.
Metoda Cramera.
Metoda ta ma również zastosowanie tylko w przypadku układów równań liniowych, gdzie liczba zmiennych pokrywa się z liczbą równań. Ponadto konieczne jest wprowadzenie ograniczeń współczynników układu. Konieczne jest, aby wszystkie równania były liniowo niezależne, tj. żadne równanie nie byłoby liniową kombinacją pozostałych.
Aby to zrobić, konieczne jest, aby wyznacznik macierzy układu nie był równy 0.
Rzeczywiście, jeśli dowolne równanie systemu jest liniową kombinacją pozostałych, to jeśli elementy dowolnego wiersza zostaną dodane do elementów innego, pomnożone przez pewną liczbę, za pomocą przekształceń liniowych można uzyskać wiersz zerowy. Wyznacznik w tym przypadku będzie równy zero.
Twierdzenie. (Reguła Cramera):
Twierdzenie. Układ n równań z n niewiadomymi
jeśli wyznacznik macierzy układu nie jest równy zeru, to ma jednoznaczne rozwiązanie i to rozwiązanie znajdujemy za pomocą wzorów:
x i = D i /D, gdzie
D = det A, a D i jest wyznacznikiem macierzy otrzymanej z macierzy układu przez zastąpienie kolumny i kolumną wolnych prętów b i .
D i = 
Macierzowa metoda rozwiązywania układów równań liniowych.
Metoda macierzowa ma zastosowanie do rozwiązywania układów równań, w których liczba równań jest równa liczbie niewiadomych.
Metoda jest wygodna w rozwiązywaniu systemów niskiego rzędu.
Metoda opiera się na wykorzystaniu właściwości mnożenia macierzy.
Niech zostanie podany układ równań:
Utwórz macierze: A = 
; B = ; X = .
Układ równań można zapisać: A×X = B.
Zróbmy następującą transformację: A -1 ×A×X = A -1 ×B, ponieważ A -1 × A = E, następnie E × X = A -1 × B
X \u003d A -1 × B
Aby zastosować tę metodę, konieczne jest znalezienie macierzy odwrotnej, która może wiązać się z trudnościami obliczeniowymi w rozwiązywaniu układów wyższego rzędu.
Definicja. Układ m równań z n niewiadomymi jest ogólnie zapisany w następujący sposób:
, (1)
gdzie a ij są współczynnikami, a b i są stałymi. Rozwiązaniami systemu są n liczb, które podstawione do systemu zamieniają każde z jego równań w tożsamość.
Definicja. Jeśli system ma co najmniej jedno rozwiązanie, nazywa się to połączenie. Jeśli system nie ma rozwiązania, nazywa się to niekompatybilny.
Definicja. System nazywa się niektórzy jeśli ma tylko jedno rozwiązanie i niepewny jeśli więcej niż jeden.
Definicja. Dla układu równań liniowych postaci (1) macierz
A = 
nazywa się macierzą układu, a macierz
A*= 
nazywana jest rozszerzoną macierzą systemu
Definicja. Jeżeli b 1 , b 2 , …,b m = 0, to układ nazywa się jednorodny. jednorodny system jest zawsze spójny.
Elementarne przekształcenia systemów.
Podstawowe przekształcenia to:
1) Dodanie do obu części jednego równania odpowiednich części drugiego, pomnożone przez tę samą liczbę, nierówną zero.
2) Permutacje równań w miejscach.
3) Usunięcie z układu równań, które są tożsamościami dla wszystkich x.
Metoda Gaussa jest klasyczną metodą rozwiązywania układu liniowych równań algebraicznych (SLAE). Jest to metoda sukcesywnej eliminacji zmiennych, gdy za pomocą przekształceń elementarnych układ równań zostaje sprowadzony do równoważnego układu o postaci trójkątnej, z którego wszystkie inne zmienne są znajdowane kolejno, zaczynając od ostatniej (według liczby ) zmienne
Niech oryginalny system będzie wyglądał tak
Macierz nazywana jest główną macierzą systemu, - kolumną wolnych członków.
Następnie, zgodnie z właściwością przekształceń elementarnych po wierszach, główną macierz tego układu można sprowadzić do postaci schodkowej (te same przekształcenia należy zastosować do kolumny wolnych elementów):
Następnie zmienne nazywają się główne zmienne. Wszyscy inni nazywają się wolny.
Jeżeli co najmniej jedna liczba , gdzie , to rozpatrywany system jest niespójny, tj. ona nie ma rozwiązania.
Niech dla każdego.
Przenosimy wolne zmienne poza znaki równości i dzielimy każde z równań układu przez jego współczynnik po lewej stronie ( , gdzie jest numerem wiersza):
Jeśli przypiszemy wszystkie możliwe wartości zmiennym swobodnym układu (2) i rozwiążemy nowy układ względem głównych niewiadomych od dołu do góry (czyli od dolnego równania do górnego), to otrzymamy wszystkie rozwiązania tego SLAE. Ponieważ system ten został uzyskany przez przekształcenia elementarne nad układem pierwotnym (1), to przez twierdzenie o równoważności w ramach przekształceń elementarnych systemy (1) i (2) są równoważne, to znaczy zbiory ich rozwiązań pokrywają się.
Konsekwencje:
1: Jeżeli w połączonym systemie wszystkie zmienne są główne, to taki system jest określony.
2: Jeżeli liczba zmiennych w systemie przekracza liczbę równań, to taki system jest albo nieokreślony, albo niespójny.
Algorytm
Algorytm rozwiązywania SLAE metodą Gaussa dzieli się na dwa etapy.
W pierwszym etapie realizowany jest tzw. ruch bezpośredni, gdy za pomocą elementarnych przekształceń po rzędach układ zostaje doprowadzony do postaci schodkowej lub trójkątnej, albo zostanie stwierdzone, że układ jest niespójny. Mianowicie spośród elementów pierwszej kolumny macierzy wybierana jest niezerowa, przesuwana jest ona na najwyższą pozycję poprzez permutację wierszy, a pierwszy wiersz uzyskany po permutacji jest odejmowany od pozostałych wierszy, mnożąc go o wartość równą stosunkowi pierwszego elementu każdego z tych wierszy do pierwszego elementu pierwszego wiersza, zerując w ten sposób kolumnę pod nim. Po wykonaniu wskazanych przekształceń, pierwszy wiersz i pierwsza kolumna są mentalnie przekreślane i kontynuują, aż pozostanie macierz o rozmiarze zerowym. Jeżeli w którejś z iteracji wśród elementów pierwszej kolumny nie znaleziono niezerowej, to przejdź do następnej kolumny i wykonaj podobną operację.
W drugim etapie realizowany jest tzw. ruch odwrotny, którego istotą jest wyrażenie wszystkich otrzymanych zmiennych podstawowych w kategoriach niepodstawowych i skonstruowanie fundamentalnego układu rozwiązań lub, jeśli wszystkie zmienne są podstawowe, następnie wyraż numerycznie jedyne rozwiązanie układu równań liniowych. Ta procedura zaczyna się od ostatniego równania, z którego wyrażona jest odpowiednia zmienna podstawowa (a jest tam tylko jedna) i podstawiona do poprzednich równań i tak dalej, wspinając się po „stopniach”. Każdy wiersz odpowiada dokładnie jednej zmiennej podstawowej, więc na każdym kroku, z wyjątkiem ostatniego (najwyższego), sytuacja dokładnie powtarza przypadek ostatniego wiersza.
Wektory. Podstawowe koncepcje. Iloczyn skalarny, jego właściwości.
Wektor nazywa się skierowanym segmentem (uporządkowaną parą punktów). Dotyczy również wektorów. zero wektor, którego początek i koniec są takie same.
Długość (moduł) wektor to odległość między początkiem a końcem wektora.
Wektory nazywają się współliniowy jeśli znajdują się na tych samych lub równoległych liniach. Wektor zerowy jest współliniowy z dowolnym wektorem.
Wektory nazywają się współpłaszczyznowy jeśli istnieje płaszczyzna, do której są one równoległe.
Wektory współliniowe są zawsze współpłaszczyznowe, ale nie wszystkie współpłaszczyznowe są współliniowe.
Wektory nazywają się równy jeśli są współliniowe, mają ten sam kierunek i tę samą wartość bezwzględną.
Dowolne wektory można zredukować do wspólnego pochodzenia, tj. konstruować wektory odpowiednio równe danym i mające wspólne pochodzenie. Z definicji równości wektorów wynika, że każdy wektor ma nieskończenie wiele równych sobie wektorów.
Operacje liniowe nad wektorami nazywa się dodawaniem i mnożeniem przez liczbę.
Suma wektorów to wektor - 
Praca - 
, będąc współliniowym.
Wektor jest współkierunkowy z wektorem ( ), jeśli a > 0.
Wektor jest przeciwny do wektora ( ¯ ), jeśli a< 0.
Właściwości wektorowe.
1) + = + - przemienność.
2) + ( + ) = ( + )+
5) (a×b) = a(b) – asocjatywność
6) (a + b) = a + b - dystrybucyjność
7) a( + ) = a + a
1) Podstawa w przestrzeni nazywane są dowolnymi 3 wektorami niewspółpłaszczyznowymi, wziętymi w określonej kolejności.
2) Podstawa na płaszczyźnie znajdują się dowolne 2 niewspółliniowe wektory w określonej kolejności.
3)Podstawa w linii wywoływany jest dowolny wektor niezerowy.
Jeśli 
jest bazą w przestrzeni i , wtedy liczby a, b i g nazywamy komponenty lub współrzędne wektory na tej podstawie.
W związku z tym możemy napisać co następuje nieruchomości:
równe wektory mają te same współrzędne,
gdy wektor mnoży się przez liczbę, jego składowe są również mnożone przez tę liczbę,
kiedy wektory są dodawane, dodawane są odpowiadające im składniki.
; 
;
Liniowa zależność wektorów.
Definicja.
Wektory 
nazywa liniowo zależne, jeśli istnieje taka kombinacja liniowa , jeśli a i nie jest jednocześnie równe zero, tj. 
.
Jeśli tylko wtedy, gdy spełnione jest a i = 0, wektory nazywamy liniowo niezależnymi.
Właściwość 1. Jeśli wśród wektorów jest wektor zerowy, to te wektory są liniowo zależne.
Właściwość 2. Jeśli jeden lub więcej wektorów zostanie dodanych do systemu wektorów liniowo zależnych, to otrzymany system będzie również liniowo zależny.
Właściwość 3. Układ wektorów jest liniowo zależny wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z wektorów jest rozłożony na liniową kombinację pozostałych wektorów.
Właściwość 4. Dowolne 2 współliniowe wektory są liniowo zależne i odwrotnie, dowolne 2 liniowo zależne wektory są współliniowe.
Właściwość 5. Dowolne 3 współpłaszczyznowe wektory są liniowo zależne i odwrotnie, dowolne 3 liniowo zależne wektory są współpłaszczyznowe.
Właściwość 6. Dowolne 4 wektory są liniowo zależne.
Długość wektora we współrzędnych zdefiniowana jako odległość między punktem początkowym i końcowym wektora. Jeśli w przestrzeni A(x 1, y 1, z 1), B(x 2, y 2, z 2) podane są dwa punkty, to .
Jeżeli punkt M(x,y,z) dzieli odcinek AB w stosunku l / m, to współrzędne tego punktu są określone jako:
W konkretnym przypadku współrzędne środek segmentu znajdują się jak:
x \u003d (x 1 + x 2) / 2; y = (y1 + y2)/2; z = (z 1 + z 2)/2.
Operacje liniowe na wektorach we współrzędnych.
Obrót osi współrzędnych
Pod skręcać Osie współrzędnych rozumieją taką transformację współrzędnych, w której obie osie są obrócone o ten sam kąt, podczas gdy początek i skala pozostają niezmienione.
Niech nowy układ O 1 x 1 y 1 otrzymamy obracając układ Oxy o kąt α.
Niech Μ będzie dowolnym punktem płaszczyzny, (x; y) - jej współrzędne w starym układzie i (x"; y") - w nowym układzie.
Wprowadzamy dwa biegunowe układy współrzędnych ze wspólnym biegunem O i osiami biegunowymi Ox i Οx 1 (skala jest taka sama). Promień biegunowy r jest taki sam w obu systemach, a kąty biegunowe wynoszą odpowiednio α + j i φ, gdzie φ jest kątem biegunowym w nowym układzie biegunowym.
Zgodnie ze wzorami na przejście od współrzędnych biegunowych do prostokątnych mamy
Ale rcosj = x" i rsinφ = y". Więc
Powstałe formuły nazywają się formuły obrotu osi . Umożliwiają wyznaczenie starych współrzędnych (x; y) dowolnego punktu M względem nowych współrzędnych (x"; y") tego samego punktu M i odwrotnie.
Jeżeli nowy układ współrzędnych O 1 x 1 y 1 otrzymujemy ze starego Oxy poprzez równoległe przeniesienie osi współrzędnych i następnie obrót osi o kąt α (patrz rys. 30), to wprowadzając układ pomocniczy jest to łatwe uzyskać wzory
wyrażając stare współrzędne x i y dowolnego punktu w postaci nowych współrzędnych x" i y".
Elipsa
Elipsa to zbiór punktów na płaszczyźnie, suma odległości od każdego z
maksymalnie dwa podane punkty są stałe. Punkty te nazywane są ogniskami i
są wyznaczone F1 oraz F2, odległość między nimi 2s, i suma odległości od każdego punktu do
sztuczki - 2a(według warunku 2a>2c). Konstruujemy kartezjański układ współrzędnych, aby F1 oraz F2 znajdowały się na osi x, a początek pokrywał się ze środkiem segmentu F1F2. Wyprowadźmy równanie elipsy. Aby to zrobić, rozważ dowolny punkt M(x, y) elipsa. A-priorytetowe: | F1M |+| F2M |=2a. F1M =(x+c; y);F2M =(x-c; y).
|F1M|=(x+ c)2 + tak 2 ; |F2M| = (x- c)2 + tak 2
(x+ c)2 + tak 2 + (x- c)2 + tak 2 =2a(5)
x2+2cx+c2+y2=4a2-4a(x- c)2 + tak 2 +x2-2cx+c2+y2
4cx-4a2=4a(x- c)2 + tak 2
a2-cx=a(x- c)2 + tak 2
a4-2a2cx+c2x2=a2(x-c)2+a2y2
a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2
x2(a2-c2)+a2y2=a2(a2-c2)
jak 2a>2c(suma dwóch boków trójkąta jest większa niż trzeciego boku), wtedy a2-c2>0.
Zostawiać a2-c2=b2
Punkty o współrzędnych (a, 0), (−a, 0), (b, 0) i (−b, 0) nazywane są wierzchołkami elipsy, wartość a jest główną półosią elipsy, a wartość b jest jego małą półosią. Punkty F1(c, 0) i F2(−c, 0) nazywamy foci
elipsa, a ognisko F1 jest nazywane prawym, a ognisko F2 nazywane jest lewym. Jeżeli punkt M należy do elipsy, to odległości |F1M| i |F2M| są nazywane promieniami ogniskowymi i są oznaczone odpowiednio przez r1 i r2. Wartość e \u003d c / a nazywana jest mimośrodem elipsy. Proste z równaniami x =a/e
a x = −a/e nazywamy kierownicami elipsy (dla e = 0 nie ma kierownic elipsy).
Ogólne równanie samolotu
Rozważmy ogólne równanie pierwszego stopnia z trzema zmiennymi x, y i z:
Zakładając, że przynajmniej jeden ze współczynników A, B lub C nie jest równy zero np. przepisujemy równanie (12.4) w postaci
Definicje . Zostawiać a, b są liczbami rzeczywistymi, i to jakiś symbol. Liczba zespolona jest zapisem formy a+bi.
Dodatek oraz mnożenie liczby na zbiorze liczb zespolonych: (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d) ja ,
(a+bi)(c+di)=(ac–bd)+(ogłoszenie+bc)i. .
Twierdzenie 1 . Zbiór liczb zespolonych Z z operacjami dodawania i mnożenia tworzy pole. Właściwości dodatku
1) przemienność b: (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i=(c+di)+(a+bi).
2) Łączność :[(a+bi)+(c+di)]+(mi+fi)=(a+c+mi)+(b+d+f)i=(a+bi)+[(c+di)+(mi+fi)].
3) Istnienie element neutralny :(a+bi)+(0 +0i)=(a+bi). Numer 0 +0 i nazwiemy zero i oznaczamy 0 .
4) Istnienie przeciwny element : (a+bi)+(–a–bi)=0 +0i=0 .
5) Przemienność mnożenia : (a+bi)(c+di)=(ac–bd)+(pne+ad)i=(c+di)(a)+bi).
6) Łączność mnożenia :jeśli z1=a+bi, z2=c+di, z3=mi+fi, następnie (z 1 z 2) z 3=z 1 (z 2 z 3).
7) Dystrybucja: jeśli z1=a+bi, z2=c+di, z3=mi+fi, następnie z 1 (z 2+z3)=z 1 z 2+z 1 z 3.
8) Element neutralny do mnożenia :(a+bi)(1+0i)=(a 1–b 0)+(0+b 1)i=a+bi.
9) Liczba 1 +0i=1 - jednostka.
9) Istnienie element odwrotny : „z¹ 0 zł –1 :z –1 =1 .
Zostawiać z=a+bi. Liczby rzeczywiste a, nazywa ważny, a b - części urojone Liczba zespolona z. Stosowane są notacje: a=Rez, b=imzi.
Jeśli b=0 , następnie z=a+ 0i=a to liczba rzeczywista. Dlatego zbiór liczb rzeczywistych R jest częścią zbioru liczb zespolonych C: R Í C.
Notatka: ja 2=(0 +1i)(0+1i)=–1 +0i=–1 . Korzystanie z tej właściwości numeru i, a także własności operacji udowodnionych w Twierdzeniu 1, można wykonywać operacje na liczbach zespolonych według zwykłych reguł, zastępując ja 2 na - 1 .
Komentarz. Relacje £, ³ („mniejsze niż”, „większe niż”) dla liczb zespolonych nie są zdefiniowane.
2 notacja trygonometryczna .
Zapis z = a+bi nazywa się algebraiczny notacja liczby zespolonej . Rozważmy płaszczyznę z wybranym kartezjańskim układem współrzędnych. Reprezentujmy liczbę z punkt ze współrzędnymi (a,b). Wtedy prawdziwe liczby a=a+0i będą reprezentowane przez punkty osi WÓŁ- to się nazywa ważny oś. Oś OY nazywa wyimaginowany oś, jej punkty odpowiadają numerom postaci bi, które są czasami nazywane czysto urojone . Cały samolot nazywa się złożony samolot .Numer nazywa się moduł liczby z: ,
kąt biegunowy j nazywa argument liczby z: j=argz.
Argument jest określony do terminu 2kp; wartość dla której - p< j £ p , jest nazywany główne znaczenie argument. Liczby r, j są współrzędnymi biegunowymi punktu z. Jest oczywiste, że a=r cosj, b=r sinj, a otrzymujemy: z=a+b ja=r (cosj+piję). forma trygonometryczna notacja liczby zespolonej.
Liczby sprzężone . Liczba zespolona nazywana jest sprzężoną liczbą.z = a + bi . Jest oczywiste, że . Nieruchomości : .
Komentarz. Suma i iloczyn liczb sprzężonych to liczby rzeczywiste:
Pok. Układ liczb zespolonych to min-te pole, które jest rozszerzeniem ciała liczb rzeczywistych i w którym występuje element i (i 2 -1 = 0)
Pok. Algebra<ℂ, +, ∙, 0, 1, ℝ, ⊕, ⊙, i>zwane sys-th comp-th liczbami, jeśli wydasz następujące warunki (aksjomaty):
1. a,b∊ℂ∃!m∊ℂ: a+b=m
2. a,b,c∊ℂ (a+b)+c=a+(b+c)
3. a,b∊ℂa+b=b+a
4. ∃ 0∊ℂ a∊ℂ a+0=a
5. a∊ℂ ∃(-a)∊ℂ a+(-a)=0
6. a,b∊ℂ ∃! n∊ℂa∙b=n
7. a,b,c∊ℂ (a∙b)∙c=a∙(b∙c)
8. a,b∊ℂa∙b=b∙a
9. ∃1∊ℂ a∊ℂ a∙1=a
10. a∊ℂ ∃a -1 ∊ℂ a∙a -1 =1
11. a,b,c∊ℂ (a+b)c=ac+bc
12.
13. Rєℂ, a,b∊R a⊕b=a+b, a⊙b=a∙b
14. ∃i∊ℂ:i 2 +1=0
15. ℳ≠⌀ 1)ℳ⊂ℂ,R⊂ℳ 2) α,β∊ℳ⇒(α+β)∊ℳ oraz (α∙β)∊ℳ)⇒ℳ=ℂ
St. va ℂ numery:
1. α∊ℂ∃! (a,b) ∊ R:α=a+b∙i
2. Pole liczb komp nie może być uporządkowane liniowo, tj. α∊ℂ, α≥0 |+1, α 2 +1≥1, i 2 +1=0, 0≥1-niemożliwe.
3. Podstawowe twierdzenie algebry: Ciało ℂ liczb jest algebraicznie domknięte, czyli dowolny pl. stopnie nad polem ℂ liczb ma co najmniej jeden zestaw. źródło
Kolejny z głównych. theorems alg.: Dowolna liczba mnoga. stopnie nad ciałem liczb zespolonych można rozłożyć na iloczyn ... pierwszego stopnia o dodatnim współczynniku.
Dalej: każdy kwadrat ur-e ma 2 pierwiastki: 1) D>0 2-a diff. akcja pierwiastek 2)D=0 2-a rzeczywista. koincydencja x pierwiastek 3)D<0 2-а компл-х корня.
4. Aksjomaty. teoria liczb zespolonych jest kategoryczna i niesprzeczna
Metodologia.
Na zajęciach ogólnokształcących nie bierze się pod uwagę pojęcia liczby zespolonej, ograniczają się one jedynie do badania liczb rzeczywistych. Ale w wyższych klasach uczniowie mają już dość dojrzałą edukację matematyczną i są w stanie zrozumieć potrzebę rozszerzenia pojęcia liczby. Z punktu widzenia ogólnorozwojowego wiedza o liczbach zespolonych wykorzystywana jest w naukach przyrodniczych i technice, co jest istotne dla ucznia w procesie wyboru przyszłego zawodu. Autorzy niektórych podręczników w swoich podręcznikach z algebry i zasad analizy matematycznej dla poziomów specjalistycznych uwzględniają naukę tego tematu jako obowiązkową, co stanowi norma państwowa.
Z metodologicznego punktu widzenia temat „Liczby zespolone” rozwija i pogłębia idee dotyczące wielomianów i liczb zawarte w podstawowym kursie matematyki, niejako dopełniając rozwój pojęcia liczby w szkole średniej.
Jednak nawet w szkole średniej wiele dzieci w wieku szkolnym ma słabo rozwinięte myślenie abstrakcyjne lub bardzo trudno jest wyobrazić sobie „wyobrażoną, wyimaginowaną” jednostkę, aby zrozumieć różnice między płaszczyznami współrzędnych i złożonymi. Lub odwrotnie, uczeń operuje abstrakcyjnymi pojęciami w oderwaniu od ich rzeczywistej treści.
Po przestudiowaniu tematu „Liczby zespolone” studenci powinni dobrze rozumieć liczby zespolone, znać formy algebraiczne, geometryczne i trygonometryczne liczby zespolonej. Studenci powinni umieć wykonywać dodawanie, mnożenie, odejmowanie, dzielenie, podnoszenie do potęgi, wyciąganie pierwiastka z liczby zespolonej na liczbach zespolonych; przetłumacz liczby zespolone z postaci algebraicznej na trygonometryczną, zdobądź pojęcie o geometrycznym modelu liczb zespolonych
W podręczniku do zajęć matematycznych N.Ya Vilenkina, OS Ivashev-Musatov, S.I. Shvartsburd „Algebra i początek analizy matematycznej” w 11. klasie wprowadza się temat „Liczby zespolone”. Studium tego tematu jest oferowane w drugiej połowie XI klasy po zapoznaniu się z sekcją trygonometrii w X, aw XI klasie - równaniami całkowymi i różniczkowymi, funkcjami wykładniczymi, logarytmicznymi i potęgowymi, wielomianami. W podręczniku temat „Liczby zespolone i operacje na nich” podzielony jest na dwie sekcje: Liczby zespolone w formie algebraicznej; Postać trygonometryczna liczb zespolonych. Rozpatrzenie tematu „Liczby zespolone i działania na nich” rozpoczyna się od rozważenia zagadnienia rozwiązywania równań kwadratowych, równań trzeciego i czwartego stopnia, w wyniku czego ujawnia się potrzeba wprowadzenia „nowej liczby i”. Natychmiast podaje się pojęcia liczb zespolonych i operacje na nich: znajdowanie sumy, iloczynu i ilorazu liczb zespolonych. Następnie podana jest ścisła definicja pojęcia liczby zespolonej, własności operacji dodawania i mnożenia, odejmowania i dzielenia. Kolejny podrozdział dotyczy sprzężonych liczb zespolonych i niektórych ich własności. Następnie rozważymy kwestię wyciągania pierwiastków kwadratowych z liczb zespolonych i rozwiązywania równań kwadratowych ze złożonymi współczynnikami. Poniższy akapit dotyczy: reprezentacji geometrycznej liczb zespolonych; biegunowy układ współrzędnych i postać trygonometryczna liczb zespolonych; mnożenie, potęgowanie i dzielenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej; wzór de Moivre'a, zastosowanie liczb zespolonych do dowodu tożsamości trygonometrycznych; wydobywanie pierwiastka z liczby zespolonej; podstawowe twierdzenie algebry wielomianów; liczby zespolone i przekształcenia geometryczne, funkcje zmiennej zespolonej.
W podręczniku S.M. Nikolski, M.K. Potapowa, N.N. Reszetnikowa, A.V. Szewkin „Algebra i początki analizy matematycznej”, temat „Liczby zespolone są rozpatrywane w 11 klasie po przestudiowaniu wszystkich tematów, tj. pod koniec szkolnego kursu algebry. Temat podzielony jest na trzy sekcje: Forma algebraiczna i interpretacja geometryczna liczb zespolonych; Postać trygonometryczna liczb zespolonych; Pierwiastki wielomianów, wykładnicza postać liczb zespolonych. Treść akapitów jest dość obszerna, zawiera wiele pojęć, definicji, twierdzeń. Akapit „Forma algebraiczna i interpretacja geometryczna liczb zespolonych” zawiera trzy sekcje: forma algebraiczna liczby zespolonej; sprzężone liczby zespolone; interpretacja geometryczna liczby zespolonej. W paragrafie „Postać trygonometryczna liczby zespolonej” znajdują się definicje i pojęcia niezbędne do wprowadzenia pojęcia postaci trygonometrycznej liczby zespolonej, a także algorytm przejścia z zapisu algebraicznego do postaci trygonometrycznej liczby zespolonej. W ostatnim akapicie „Korzenie wielomianów. Wykładnicza postać liczb zespolonych” zawiera trzy sekcje: pierwiastki z liczb zespolonych i ich własności; pierwiastki wielomianów; wykładnicza postać liczby zespolonej.
Materiał podręcznika jest przedstawiony w niewielkiej objętości, ale w zupełności wystarczający, aby uczniowie mogli zrozumieć istotę liczb zespolonych i opanować minimalną wiedzę na ich temat. Podręcznik zawiera niewielką liczbę ćwiczeń i nie porusza kwestii podniesienia liczby zespolonej do potęgi i formuły De Moivre'a
W podręczniku A.G. Mordkovich, P.V. Semenov „Algebra i początki analizy matematycznej”, poziom profilu, klasa 10, temat „Liczby zespolone” jest wprowadzany w drugiej połowie klasy 10 bezpośrednio po przestudiowaniu tematów „Liczby rzeczywiste” i „Trygonometria”. To umieszczenie nie jest przypadkowe: zarówno koło liczbowe, jak i wzory trygonometryczne są aktywnie wykorzystywane w badaniu postaci trygonometrycznej liczby zespolonej, wzoru Moivre'a, podczas wydobywania pierwiastków kwadratowych i sześciennych z liczby zespolonej. Temat „Liczby zespolone” jest przedstawiony w 6. rozdziale i podzielony na 5 sekcji: liczby zespolone i operacje arytmetyczne na nich; liczby zespolone i płaszczyzna współrzędnych; forma trygonometryczna zapisu liczby zespolonej; liczby zespolone i równania kwadratowe; podnoszenie liczby zespolonej do potęgi, wydobywanie pierwiastka sześciennego z liczby zespolonej.
Pojęcie liczby zespolonej jest wprowadzane jako rozszerzenie pojęcia liczby i niemożności wykonania pewnych operacji na liczbach rzeczywistych. Podręcznik zawiera tabelę z głównymi zestawami liczbowymi i dozwolonymi w nich operacjami. Wyszczególnia się minimalne warunki, które muszą spełniać liczby zespolone, a następnie wprowadza się pojęcie jednostki urojonej, definicję liczby zespolonej, równość liczb zespolonych, ich sumę, różnicę, iloczyn i iloraz.
Z modelu geometrycznego zbioru liczb rzeczywistych przechodzą do modelu geometrycznego zbioru liczb zespolonych. Rozpatrzenie tematu „Forma trygonometryczna zapisywania liczby zespolonej” rozpoczyna się od definicji i właściwości modułu liczby zespolonej. Następnie rozważymy postać trygonometryczną zapisywania liczby zespolonej, definicję argumentu liczby zespolonej i standardową postać trygonometryczną liczby zespolonej.
Następnie badamy wydobywanie pierwiastka kwadratowego z liczby zespolonej, rozwiązanie równań kwadratowych. A w ostatnim akapicie wprowadzono wzór Moivre'a i wyprowadzono algorytm wyodrębniania pierwiastka sześciennego z liczby zespolonej.
Również w omawianym podręczniku, w każdym akapicie, równolegle z częścią teoretyczną, uwzględniono kilka przykładów, które ilustrują teorię i dają bardziej sensowne postrzeganie tematu. Podano krótkie fakty historyczne.
Liczba zespolona z nazywa wyrażenie , gdzie a oraz w- liczby rzeczywiste, i jest wyimaginowaną jednostką lub specjalnym znakiem.
Przestrzegane są następujące umowy:
1) przy wyrażeniu a + bi operacje arytmetyczne można wykonywać zgodnie z zasadami przyjętymi dla wyrażeń dosłownych w algebrze;
5) równość a+bi=c+di, gdzie a, b, c, d są liczbami rzeczywistymi, zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy a=c i b=d.
Numer 0+bi=bi nazywa się wyimaginowany lub czysto urojone.
Każda liczba rzeczywista a jest szczególnym przypadkiem liczby zespolonej, ponieważ można ją zapisać jako a=a+ 0i. W szczególności 0=0+0i, ale jeśli a+bi=0, to a+bi=0+0i, stąd a=b=0.
Zatem liczba zespolona a+bi=0 wtedy i tylko wtedy, gdy a=0 i b=0.
Prawa transformacji liczb zespolonych wynikają z konwencji:
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;
(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;
(a+bi)+(c+di)=ac+bci+adi-bd=(ac-bd)+(bc+ad)i;
Widzimy, że suma, różnica, iloczyn i iloraz (gdzie dzielnik nie jest równy zero) liczb zespolonych z kolei jest liczbą zespoloną.
Numer a nazywa rzeczywista część liczby zespolonej z(oznaczony) w jest częścią urojoną liczby zespolonej z (oznaczoną przez ).
Nazywa się liczbę zespoloną z z zerową częścią rzeczywistą. czysto urojone, z zerem urojonym - czysto prawdziwe.
Nazywane są dwie liczby zespolone. równy, jeśli mają te same części rzeczywiste i urojone.
Nazywane są dwie liczby zespolone. sprzężony jeśli mają substancje. części pokrywają się, a wyimaginowane różnią się znakami. , a następnie jego koniugatu .
Suma liczb sprzężonych to liczba substancji, a różnica jest liczbą czysto urojoną. Na zbiorze liczb zespolonych operacje mnożenia i dodawania liczb są naturalnie zdefiniowane. Mianowicie, jeśli i są dwiema liczbami zespolonymi, to suma wynosi: ; praca: .
Zdefiniujemy teraz operacje odejmowania i dzielenia.
Zauważ, że iloczyn dwóch liczb zespolonych to liczba substancji.
(ponieważ i=-1). Ten numer nazywa się moduł kwadratowy liczby. Tak więc, jeśli liczba , to jej moduł jest liczbą rzeczywistą.
W przeciwieństwie do liczb rzeczywistych, w przypadku liczb zespolonych nie wprowadzono pojęcia „więcej”, „mniej”.
Reprezentacja geometryczna liczb zespolonych. Liczby rzeczywiste są reprezentowane przez punkty na osi liczbowej:
O to chodzi A oznacza liczbę -3, kropka B to liczba 2, i O- zero. Natomiast liczby zespolone są reprezentowane przez punkty na płaszczyźnie współrzędnych. W tym celu wybieramy współrzędne prostokątne (kartezjańskie) o tych samych skalach na obu osiach. Następnie liczba zespolona a + bi będzie reprezentowana przez kropkę P z odciętą a i rzędną b(Ryż.). Ten układ współrzędnych nazywa się złożony samolot.
moduł liczba zespolona nazywana jest długością wektora OP, przedstawiający liczbę zespoloną na współrzędnej ( wyczerpujący) samolot. Moduł liczb zespolonych a + bi oznaczony przez | a + bi| lub list r i jest równy:
Sprzężone liczby zespolone mają ten sam moduł. __
Argument liczba zespolona to kąt między osiami WÓŁ i wektor OP reprezentujący tę liczbę zespoloną. Stąd tan = b / a .
Postać trygonometryczna liczby zespolonej. Wraz z zapisywaniem liczby zespolonej w postaci algebraicznej używana jest również inna, zwana trygonometryczny.
Niech liczba zespolona z=a+bi będzie reprezentowana przez wektor ОА o współrzędnych (a,b). Oznaczmy długość wektora OA jako r: r=|OA| i kąt, który tworzy z dodatnim kierunkiem osi Ox przez kąt φ.
Korzystając z definicji funkcji sinφ=b/r, cosφ=a/r, liczbę zespoloną z=a+bi można zapisać jako z=r(cosφ+i*sinφ), gdzie , a kąt φ wyznaczamy z warunki
forma trygonometryczna liczba zespolona z jest jej reprezentacją w postaci z=r(cosφ+i*sinφ), gdzie r i φ są liczbami rzeczywistymi oraz r≥0.
Rzeczywiście, liczba r nazywa się moduł liczba zespolona i jest oznaczana przez |z|, a kąt φ przez argument liczby zespolonej z. Argument φ liczby zespolonej z jest oznaczony przez Arg z.
Działania na liczbach zespolonych reprezentowanych w postaci trygonometrycznej:
Jest sławny Formuła Moivre'a.
8 .Przestrzeń wektorowa. Przykłady i proste własności przestrzeni wektorowych. Zależność liniowa i niezależność układu wektorów. Podstawa i rząd skończonego układu wektorów
Przestrzeń wektorowa - pojęcie matematyczne, które uogólnia pojęcie całości wszystkich (wolnych) wektorów zwykłej przestrzeni trójwymiarowej.
Dla wektorów w przestrzeni trójwymiarowej podano zasady dodawania wektorów i mnożenia ich przez liczby rzeczywiste. Stosowany do dowolnych wektorów x, y, z i dowolne liczby α, β te zasady spełniają następujące warunki:
1) X+w=w+X(przemienność dodawania);
2)(X+w)+z=x+(tak+z) (łączność dodawania);
3) istnieje wektor zerowy 0 (lub wektor zerowy) spełniający warunek x+0 =x: dla dowolnego wektora x;
4) dla dowolnego wektora X istnieje przeciwny wektor w takie, że X+w =0 ,
5) 1x=X,gdzie 1 jest jednostką pola
6) α (βx)=(αβ )X(łączność mnożenia), gdzie iloczyn αβ jest iloczynem skalarów
7) (α +β )X=α+βx(własność rozdzielna w odniesieniu do współczynnika liczbowego);
8) α (X+w)=α+αy(własność rozdzielcza względem czynnika wektora).
Przestrzeń wektorowa (lub liniowa) to zbiór R, składający się z elementów dowolnej natury (zwanych wektorami), który definiuje operacje dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczby rzeczywiste spełniające warunki 1-8.
Przykładami takich przestrzeni są zbiór liczb rzeczywistych, zbiór wektorów na płaszczyźnie i w przestrzeni, macierze itp.
Twierdzenie „Najprostsze własności przestrzeni wektorowych”
1. W przestrzeni wektorowej jest tylko jeden wektor zerowy.
2. W przestrzeni wektorowej każdy wektor ma swoje unikalne przeciwieństwo.
4. .
Dokumentacja
Niech 0 będzie wektorem zerowym przestrzeni V. Wtedy . Niech będzie kolejnym wektorem zerowym. Następnie . Weźmy pierwszy przypadek , aw drugim - . Wtedy i , z czego wynika, że , p.t.d.
Najpierw dowodzimy, że iloczyn zerowego skalara i dowolnego wektora jest równy wektorowi zerowemu.
Niech będzie. Następnie, stosując aksjomaty przestrzeni wektorowej, otrzymujemy:
Jeśli chodzi o dodawanie, przestrzeń wektorowa jest grupą abelową, a prawo anulowania obowiązuje w każdej grupie. Stosując prawo redukcji, wynika z ostatniej równości 0 * x \u003d 0
Udowadniamy teraz twierdzenie 4). Niech będzie dowolnym wektorem. Następnie
To od razu sugeruje, że wektor (-1)x jest przeciwieństwem wektora x.
Niech teraz x=0. Następnie, stosując aksjomaty przestrzeni wektorowej, otrzymujemy:
Załóżmy, że . Ponieważ , gdzie K jest polem, istnieje . Pomnóżmy równość po lewej stronie przez: , co oznacza 1*x=0 lub x=0
Zależność liniowa i niezależność układu wektorów. Zbiór wektorów nazywany jest systemem wektorowym.
Układ wektorów nazywamy liniowo zależnym, jeśli istnieją liczby , nie wszystkie jednocześnie równe zeru, takie, że (1)
Układ k wektorów nazywamy liniowo niezależnym, jeśli równość (1) jest możliwa tylko dla , tj. gdy kombinacja liniowa po lewej stronie równości (1) jest trywialna.
Uwagi:
1. Jeden wektor tworzy również układ: dla liniowo zależnego i dla liniowo niezależnego.
2. Każda część systemu wektorów nazywana jest podsystemem.
Własności wektorów liniowo zależnych i liniowo niezależnych:
1. Jeżeli układ wektorów zawiera wektor zerowy, to jest on liniowo zależny.
2. Jeśli w układzie wektorów są dwa równe wektory, to jest on liniowo zależny.
3. Jeżeli w układzie wektorów są dwa wektory proporcjonalne, to jest on liniowo zależny.
4. Układ k>1 wektorów jest liniowo zależny wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z wektorów jest kombinacją liniową pozostałych.
5. Dowolne wektory zawarte w systemie liniowo niezależnym tworzą podsystem liniowo niezależny.
6. Układ wektorów zawierający podsystem liniowo zależny jest liniowo zależny.
7. Jeżeli układ wektorów jest liniowo niezależny, a po dodaniu do niego wektora okazuje się liniowo zależny, to wektor można rozszerzać w wektory, a ponadto w unikalny sposób, tj. współczynniki rozszerzalności znajdują się jednoznacznie.
Udowodnijmy na przykład ostatnią właściwość. Ponieważ system wektorów jest liniowo zależny, istnieją liczby, z których nie wszystkie są równe 0, czyli. w tej równości. Rzeczywiście, jeśli , to. Oznacza to, że nietrywialna liniowa kombinacja wektorów jest równa wektorowi zerowemu, co jest sprzeczne z liniową niezależnością systemu. Dlatego, a następnie, tj. wektor jest liniową kombinacją wektorów . Pozostaje pokazać wyjątkowość takiego przedstawienia. Załóżmy, że jest odwrotnie. Niech będą dwa rozwinięcia i , a nie wszystkie współczynniki rozwinięcia są odpowiednio sobie równe (na przykład ).
Wtedy z równości otrzymujemy .
Dlatego liniowa kombinacja wektorów jest równa wektorowi zerowemu. Ponieważ nie wszystkie jego współczynniki są równe zeru (przynajmniej ), kombinacja ta jest nietrywialna, co przeczy warunku liniowej niezależności wektorów . Powstała sprzeczność potwierdza wyjątkowość rozkładu.
Rząd i podstawa układu wektorów. Rząd układu wektorów to maksymalna liczba liniowo niezależnych wektorów układu.
Podstawa systemu wektorów jest maksymalnym liniowo niezależnym podukładem danego układu wektorów.
Twierdzenie. Każdy wektor systemowy może być reprezentowany jako liniowa kombinacja wektorów bazowych systemu. (Każdy wektor układu można rozłożyć na wektory bazowe.) Współczynniki rozszerzalności są jednoznacznie określone dla danego wektora i danej bazy.
Dokumentacja:
Niech system ma podstawy.
1 przypadek. Wektor - od podstawy. Dlatego jest równy jednemu z wektorów bazowych, powiedzmy . Wtedy = .
Drugi przypadek. Wektor nie pochodzi z podstawy. Następnie r>k.
Rozważmy system wektorów . System ten jest liniowo zależny, ponieważ jest podstawą, tj. maksymalny liniowo niezależny podsystem. Dlatego istnieją liczby z 1 , z 2 , …, z k , z, nie wszystkie równe zeru, takie, że
Jest oczywiste, że (jeśli c=0, to baza układu jest liniowo zależna).
Udowodnijmy, że rozwinięcie wektora względem bazy jest unikalne. Załóżmy odwrotnie: istnieją dwa rozwinięcia wektora względem bazy.
Odejmując te równości, otrzymujemy
Biorąc pod uwagę liniową niezależność wektorów bazowych, otrzymujemy
Dlatego rozwinięcie wektora pod względem bazy jest wyjątkowe.
Liczba wektorów w dowolnej podstawie układu jest taka sama i równa randze układu wektorów.
Ładowanie...