Znajdź znane współrzędne punkty. Znalezienie długości współrzędnych wektorów

Znajdź długość wektora zgodnie z jego współrzędnymi (w prostokątnym układzie współrzędnych), zgodnie ze współrzędnymi początkiem i końcem wektora i twierdzenia Cosinus (2 wektor i kąt między nimi).

Wektor - To jest skierowana linia cięcia.Długość tego segmentu określa wartość liczbową wektora i nazywa siędługość wektorowa lub moduł wektorowy.

1. Obliczanie długości wektorowej przez jego współrzędne

Jeśli współrzędne wektorowe podano w płaskim (dwuwymiarowym) prostokątnym układzie współrzędnych, tj. Znany X i Y, a następnie długość wektora można znaleźć według formuły

W przypadku wektora w przestrzeni dodaje się trzecia współrzędna

W wyrażeniu MS Excel \u003d Root (Summkv (B8: B9)) Umożliwia obliczenie modułu wektora (zakłada się, że koordynatorzy wektora wprowadza się do komórek. B8: B9., Zobacz przykładowy plik).

Funkcja SummKv () zwraca sumę kwadratów argumentów, tj. W tym przypadku formuła jest odpowiednik \u003d B8 * B8 + B9 * B9.

Plik przykładowy obliczył również długość wektora w przestrzeni.

Alternatywna formuła jest wyrażeniem \u003d Root (Sumpacy (B8: B9; B8: B9)).

2. Znalezienie długości wektora przez współrzędne punktów

Jeśli jest wektorowy ustaw przez współrzędne punktów swojego początku i końca, wtedy formuła będzie inna \u003d Root (Sumkvson (C28: C29; B28: B29))

Formuła zakłada, że \u200b\u200bwspółrzędne punktów zasad i do końca są wprowadzane do zakresów C28: C29. i B28: B29. odpowiednio.

Funkcjonować Sumkvson () wobiecuje sumę kwadratów różnic odpowiednich wartości w dwóch tablicach.

W rzeczywistości, w formule współrzędne wektora (różnice odpowiednich punktów) są obliczane, a następnie obliczana jest suma ich kwadratów.

3. Znalezienie długości wektora na twierdzeniu cosinus

Jeśli chcesz znaleźć długość wektora na twierdzeniu Cosinus, zazwyczaj podano 2 wersje (ich moduły i kąt między nimi).

Znajdź długość wektora za pomocą formuły \u003d Root (Summkv (B43: C43) -2 * B43 * C43 * COS (B45))

W komórkach B43: B43. zawiera długości wektorów A i B oraz w komórce B45. - Kąt między nimi w radianach (w frakcjach liczby Pi ()).

Jeśli kąt zostanie podany w stopniach, formuła będzie nieco inna \u003d Root (B43 * B43 + C43 * C43-2 * B43 * C43 * COS (B46 * PI () / 180))

Uwaga: Dla jasności w komórce o wartości kąta w stopniach, możesz zastosować, patrz na przykład artykuł

Przede wszystkim konieczne jest zdemontowanie samej koncepcji wektorowej. W celu wprowadzenia definicji wektora geometrycznego przypomina, jaki jest segment. Wprowadzamy następującą definicję.

Definicja 1.

Zadzwońmy do części linii prostej, która ma dwie granice w formie punktów.

Cięcie może mieć 2 kierunki. Aby wyznaczyć kierunek, zadzwonimy do jednej z granic tego segmentu, a druga granica jest jego końcem. Kierunek jest wskazany od początku do końca segmentu.

Definicja 2.

Wektor lub skierowany segment zostanie nazwany takim segmentem, dla którego wiadomo, że z granic segmentów jest uważany za początek i który go kończy.

Oznaczenie: Dwie litery: $ Overline (AB) $ - (gdzie jego $ za to jest jego początek, a $ b $ jest jego końcem).

Jeden mały list: $ Overline (a) $ (rys. 1).

Wprowadzamy teraz bezpośrednio, koncepcję długości długości.

Definicja 3.

Vector of the Vector $ Overline (a) $ zostanie nazwany długością segmentu $ A $.

Oznaczenie: $ | Overline (a) | $

Koncepcja długości wektora jest związana, na przykład, z taką koncepcją jak równość dwóch wektorów.

Definicja 4.

Dwa wektory będą nazywane równymi, jeśli spełniają dwa warunki: 1. Są powlekane; 1. Ich długości są równe (rys. 2).

Aby zdefiniować wektory wprowadzić układ współrzędnych i określić współrzędne dla wektora w wprowadzonym systemie. Jak wiemy, każdy wektor może być rozkładany w formularzu $ Overline (C) \u003d M Overline (I) + N Overline (J) $, gdzie $ M $ i $ N $ jest ważnymi numerami i $ Noney (I) $ i $ Overline (J) $ - pojedyncze wektory na osi $ OY OX i $ Oy $, odpowiednio.

Definicja 5.

Współczynniki rozkładu overline $ (C) \u003d M Overline (I) + N Overline (J) $ zadzwonią do współrzędnych tego wektora w wprowadzonym układzie współrzędnych. Matematycznie:

$ Overline (c) \u003d (m, n) $

Jak znaleźć długość wektora?

Aby wyprowadzić formułę obliczania długości dowolnego wektora zgodnie z jego współrzędnymi, rozważ następujące zadanie:

Przykład 1.

Jest podany: Vector $ Overline (α) $, mając współrzędne $ (x, y) $. Znajdź: długość tego wektora.

Przedstawiamy system współrzędnych $ XOY $ w samolocie. Od początku wprowadzonego układu współrzędnych przełożę $ Overline (OA) \u003d Overline (a) $. Budujemy projekcję $ OA_1 $ i $ OA_2 skonstruowany wektor na osi $ OX $ i $ Oy $, odpowiednio (rys. 3).

Vector of $ Overline (OA) $ będzie wektorem RADIUS dla punktu $ za $, dlatego będzie miał koordynaty $ (x, y), to znaczy

$ \u003d x $, $ [OA_2] \u003d y $

Teraz możemy łatwo znaleźć żądaną długość za pomocą twierdzenia Pitagora, otrzymujemy

$ | Overline (α) | ^ 2 \u003d ^ 2 + ^ 2 $

$ | Overline (α) | ^ 2 \u003d x ^ 2 + y ^ 2 $

$ | Overline (α) | \u003d sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) $

Odpowiedź: $ sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) $.

Wynik:Aby znaleźć długość wektora, która ma swoje współrzędne, konieczne jest znalezienie korzenia kwadratu sumy tych współrzędnych.

Przykładowe zadanie

Przykład 2.

Znajdź odległość między punktami X $ i $ Y $, które mają następujące współrzędne: odpowiednio $ (- 1.5) $ i $ (7.3) $, odpowiednio.

Wszelkie dwa punkty można łatwo związać z koncepcją wektora. Rozważmy na przykład Vector $ overline (XY) $. Jak już wiemy, współrzędne tego wektora można znaleźć, potrącając współrzędne punktu końcowego ($ y $) odpowiednie współrzędne punktu wyjścia (X $). Dostajemy to

Przede wszystkim konieczne jest zdemontowanie samej koncepcji wektorowej. W celu wprowadzenia definicji wektora geometrycznego przypomina, jaki jest segment. Wprowadzamy następującą definicję.

Definicja 1.

Zadzwońmy do części linii prostej, która ma dwie granice w formie punktów.

Cięcie może mieć 2 kierunki. Aby wyznaczyć kierunek, zadzwonimy do jednej z granic tego segmentu, a druga granica jest jego końcem. Kierunek jest wskazany od początku do końca segmentu.

Definicja 2.

Wektor lub skierowany segment zostanie nazwany takim segmentem, dla którego wiadomo, że z granic segmentów jest uważany za początek i który go kończy.

Oznaczenie: Dwie litery: $ Overline (AB) $ - (gdzie jego $ za to jest jego początek, a $ b $ jest jego końcem).

Jeden mały list: $ Overline (a) $ (rys. 1).

Wprowadzamy teraz bezpośrednio, koncepcję długości długości.

Definicja 3.

Vector of the Vector $ Overline (a) $ zostanie nazwany długością segmentu $ A $.

Oznaczenie: $ | Overline (a) | $

Koncepcja długości wektora jest związana, na przykład, z taką koncepcją jak równość dwóch wektorów.

Definicja 4.

Dwa wektory będą nazywane równymi, jeśli spełniają dwa warunki: 1. Są powlekane; 1. Ich długości są równe (rys. 2).

Definicja 5.

Współczynniki rozkładu overline $ (C) \u003d M Overline (I) + N Overline (J) $ zadzwonią do współrzędnych tego wektora w wprowadzonym układzie współrzędnych. Matematycznie:

$ Overline (c) \u003d (m, n) $

Jak znaleźć długość wektora?

Aby wyprowadzić formułę obliczania długości dowolnego wektora zgodnie z jego współrzędnymi, rozważ następujące zadanie:

Przykład 1.

Jest podany: Vector $ Overline (α) $, mając współrzędne $ (x, y) $. Znajdź: długość tego wektora.

Vector of $ Overline (OA) $ będzie wektorem RADIUS dla punktu $ za $, dlatego będzie miał koordynaty $ (x, y), to znaczy

$ \u003d x $, $ [OA_2] \u003d y $

Teraz możemy łatwo znaleźć żądaną długość za pomocą twierdzenia Pitagora, otrzymujemy

$ | Overline (α) | ^ 2 \u003d ^ 2 + ^ 2 $

$ | Overline (α) | ^ 2 \u003d x ^ 2 + y ^ 2 $

$ | Overline (α) | \u003d sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) $

Odpowiedź: $ sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) $.

Wynik:Aby znaleźć długość wektora, która ma swoje współrzędne, konieczne jest znalezienie korzenia kwadratu sumy tych współrzędnych.

Przykładowe zadanie

Przykład 2.

Znajdź odległość między punktami X $ i $ Y $, które mają następujące współrzędne: odpowiednio $ (- 1.5) $ i $ (7.3) $, odpowiednio.

Standardowa definicja: "Wektor jest segmentem skierowanym". Zwykle jest to ograniczone do wiedzy o absolwentach wektory. Kto potrzebuje "skierowanych segmentów"?

W rzeczywistości, jakie są wektory i dlaczego oni?
Prognoza pogody. "Wiatr jest północno-zachodnie, prędkość 18 metrów na sekundę". Zgadzam się, kierunek spraw dotyczących wiatru (gdzie wieje z), a moduł (to znaczy wartość bezwzględna) jego prędkości.

Wartości, które nie mają wskazówek, nazywane są skalarami. Mszy, praca, ładunek elektryczny nie jest skierowany w dowolnym miejscu. Są tylko scharakteryzowane znaczenie numeryczne. - "Ile kilogramów" lub "ile Joule".

Ilości fizyczne, które mają nie tylko wartość bezwzględną, ale także kierunek nazywany jest Vector.

Prędkość, siła, przyspieszenie - wektory. Dla nich ważne jest "ile" i ważniejsze "gdzie". Na przykład przyspieszenie wolnego spadku jest skierowane na powierzchnię ziemi, a jego wartość wynosi 9,8 m / s 2. Pulse, siła pola elektryczna, indukcja pole magnetyczne - także wartości wektorowe.

Pamiętasz to wielkości fizyczne Oznaczają listami, łacińskim lub greckim. Arogo nad literą pokazuje, że wartość jest wektorowa:

Oto kolejny przykład.
Samochód porusza się z A w b. Efektem końcowym jest jego ruch z punktu A do punktu B, czyli, poruszając się na wektor .

Teraz jest jasne, dlaczego wektor jest skierowanym segmentem. Uwaga, koniec wektora jest miejsce, gdzie strzałka. Wektor długości Nazywany długością tego segmentu. Oznacza: Or

Do tej pory pracowaliśmy z wartościami skalarnymi, zgodnie z zasadami algebry arytmetycznej i podstawowej. Wektory - nowa koncepcja. To kolejna klasa obiektów matematycznych. Dla nich ich własne zasady.

Kiedyś nie wiedzieliśmy o liczbach. Znajomość z nimi rozpoczęła się w klasach młodzieży. Okazało się, że liczby można porównać ze sobą, fałd, odliczanie, pomnożyć i podzielić. Dowiedzieliśmy się, że istnieje numer jeden i numer zerowy.
Teraz zapoznamy się z wektory.

Koncepcje "więcej" i "mniej" dla wektorów nie istnieją - mogą być różnymi kierunkami. Możesz porównać tylko długości wektorów.

Ale pojęcie równości wektory jest.
Równy Wektory mają takie same długości i ten sam kierunek są nazywane. Oznacza to, że wektor może być przeniesiony równolegle do siebie w dowolnym miejscu w płaszczyźnie.
Pojedynczy Nazwany wektor, którego długość jest równa 1. Zero - wektor, którego długość jest zero, czyli jego początek zbiega się z końcem.

Jest to najwygodniejsze do pracy z wektory w prostokątnym układzie współrzędnych - bardzo w którym rysuje wykresy funkcji. Każdy punkt w układzie współrzędnych odpowiada dwiema liczbom - jego współrzędne X i Y, odcięcie i ordynacji.
Wektor ustawia również dwa współrzędne:

Tutaj w nawiasach odnotowały współrzędne wektora - przez X i na Y.
Są po prostu: koordynowany koniec wektorowej współrzędnej minus jego początku.

Jeśli współrzędne wektorowe są określone, jego długość znajduje się przy formule

Dodanie wektorów

Do dodania wektory istnieją dwa sposoby.

jeden. Zasada równoległobok. Aby złożyć wektory i umieścimy początek obu w jednym punkcie. Zostaniesz ukończony równoległobok i z tego samego punktu przeprowadzamy przekątną równoległoboku. Będzie to suma wektorów i.

Pamiętasz łącznik o łabędzieniu, raka i szczupaku? Próbowali bardzo dużo, ale nigdy nie przeniósł się, którzy z sceny. W końcu suma wektorów sił dołączonych do samochodu była zerowa.

2. Drugim sposobem dodawania wektory jest zasada trójkąta. Weź te same wektory i. Pod koniec pierwszego wektora przymocuję początek drugiego. Teraz podłącz początek pierwszego i końca drugiego. Jest to suma wektorów i.

W ten sam sposób można złożyć kilka wektorów. Dodajemy je jeden po drugim, a następnie połączyć początek pierwszego z końcem tego ostatniego.

Wyobraź sobie, że pójdziesz z punktu A do akapitu B, z B C, z C w D, a następnie w E i w F. Ostateczny wynik tych działań porusza się z A w F.

Podczas dodawania wektory i uzyskać:

Odejmuj wektory

Wektor jest wysyłany do przeciwnego wektora. Długości wektorów są równe.

Teraz jasne jest, jakie odejmowanie wektorów. Różnica wektory jest sumą wektora i wektora.

Mnożenie wektora według numeru

Gdy wektor mnożący numer K, otrzymuje się wektor, którego długość różni się od długości. Jest pokryty wektorem, jeśli K jest większy i jest skierowany przeciwnie, jeśli K jest mniejszy niż zero.

Scalar Wektory produktów

Wektory można pomnożyć nie tylko w liczbach, ale także na siebie.

Produkt skalarny wektory jest produktem długości wektorów w cosinie rogu między nimi.

Uwaga - przeniesiony dwa wektory, a skalar okazało się, że liczba. Na przykład, w fizyce, prace mechaniczne są równe skalarnym produktowi dwóch wektorów - sił i ruchów:

Jeśli wektory są prostopadłe, ich produkt skalarny wynosi zero.
A oto produkt skalarny wyrażony przez współrzędne wektory i:

Z formuły dla produktu skalarnego można znaleźć kąt między wektory:

Ta formuła jest szczególnie wygodna w stereometrii. Na przykład w zadaniu 14 Profil EME. W matematyce musisz znaleźć kąt między skrzyżowaniem prostym lub między prostym a płaszczyzną. Często zadanie 14 jest rozwiązane kilka razy szybciej niż klasyczne.

W program szkolny W matematyce znajduje się tylko skalarny produkt wektory.
Okazuje się, że z wyjątkiem skalaru, istnieje również produkt wektorowy, gdy wektor jest w wyniku mnożenia wektorów. Kto daje egzamin w fizyce, wie, co moc Lorentz i mocy Amer. Wzór do znalezienia tych sił zawiera grafikę wektorową.

Wektory - przydatny instrument matematyczny. W tym czasie zobaczysz na pierwszy rok.