Okrąg opisany na trójkącie. Trójkąt wpisany w okrąg. Twierdzenie o sinusach

Definicja

Okrąg \(S\) jest opisany na wielokącie \(P\), jeśli wszystkie wierzchołki wielokąta \(P\) leżą na okręgu \(S\) .

W tym przypadku mówi się, że wielokąt \(P\) jest wpisany w okrąg.

Definicja

Dwusieczna prostopadła odcinka to prosta przechodząca przez środek danego odcinka, prostopadła do niego.

Twierdzenie

Każdy punkt dwusiecznej prostopadłej odcinka jest w jednakowej odległości od końców tego odcinka.

Dowód

Rozważmy odcinek \(AB\) i prostopadłą do niego dwusieczną \(a\). Udowodnijmy, że dla dowolnego punktu \(X\in a\) zachodzi: \(AX=BX\) .

Rozważmy \(\trójkąt AXB\): odcinek \(XO\) to mediana i wysokość, zatem \(\trójkąt AXB\) jest równoramienny, zatem \(AX=BX\) .

Twierdzenie

Dwusieczne prostopadłe do boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie.

Dowód

Rozważmy \(\trójkąt ABC\) . Narysujmy dwusieczne prostopadłe do boków \(AB\) i \(AC\). Przetną się w punkcie \(O\) .

Zgodnie z poprzednim twierdzeniem, dla dwusiecznej \(C_1O\) zachodzi: \(AO=BO\) , a dla \(B_1O\) - \(AO=CO\) . Dlatego \(BO=CO\) . Oznacza to, że \(\trójkąt BOC\) jest równoramienny, zatem wysokość \(OA_1\) narysowana do podstawy \(BC\) będzie również medianą. Oznacza to, że \(OA_1\) jest dwusieczną prostopadłą do odcinka \(BC\) .

Zatem wszystkie trzy prostopadłe dwusieczne przecinają się w jednym punkcie \(O\) .

Konsekwencja

Jeżeli punkt jest w równej odległości od końców odcinka, to leży na jego dwusiecznej prostopadłej.

Twierdzenie

Wokół dowolnego trójkąta można opisać pojedynczy okrąg, a środek opisanego okręgu jest punktem przecięcia dwusiecznych prostopadłych do boków trójkąta.

Dowód

Z udowodnionego powyżej twierdzenia wynika, że ​​\(AO=BO=CO\) . Oznacza to, że wszystkie wierzchołki trójkąta są w równej odległości od punktu \(O\), zatem leżą na tym samym okręgu.

Jest tylko jedno takie koło. Załóżmy, że wokół \(\trójkąta ABC\) można opisać inny okrąg. Wtedy jego środek powinien pokrywać się z punktem \(O\) (ponieważ jest to jedyny punkt w równej odległości od wierzchołków trójkąta), a promień powinien być równy odległości od środka do niektórych wierzchołków, tj. \(OA\) . Ponieważ Jeśli te okręgi mają ten sam środek i ten sam promień, to te okręgi również się pokrywają.

Twierdzenie o polu trójkąta wpisanego

Jeśli \(a, b, c\) są bokami trójkąta, a \(R\) jest promieniem okręgu opisanego wokół niego, to pole trójkąta \

Dowód*
Zaleca się zapoznanie się z dowodem tego twierdzenia po przestudiowaniu tematu „Twierdzenie o sinusach”.

Oznaczmy kąt pomiędzy bokami \(a\) i \(c\) jako \(\alpha\) . Następnie \(S_(\triangle)=\frac12 ac\cdot \sin \alfa\).

Z twierdzenia o sinusach \(\dfrac b(\sin\alpha)=2R\) , skąd \(\sin \alpha=\dfrac b(2R)\) . Stąd, \(S_(\trójkąt)=\dfrac(abc)(4R)\).

Twierdzenie

Okrąg można opisać wokół czworoboku wtedy i tylko wtedy, gdy suma jego przeciwnych kątów jest równa \(180^\circ\) .

Dowód

Konieczność.

Jeśli okrąg można opisać wokół czworoboku \(ABCD\), to \(\buildrel\smile\over(ABC) + \buildrel\smile\over(ADC) = 360^\circ\), Gdzie \(\angle ABC + \angle ADC = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(ABC) + \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(ADC) = \frac(1 )(2)(\buildrel\smile\over(ABC) + \buildrel\smile\over(ADC)) = 180^\circ\). Dla kątów \(BCD\) i \(BAD\) jest podobnie.

Adekwatność.

Opiszmy okrąg wokół trójkąta \(ABC\) . Niech środkiem tego okręgu będzie punkt \(O\) . Na prostej przechodzącej przez punkty \(O\) i \(D\) zaznaczamy punkt \(D"\) przecięcia tej prostej z okręgiem. Załóżmy, że punkty \(D\) i \(D"\) nie pokrywają się, rozważ czworokąt \(CD"AD\) .

Kąty \(CD"A\) i \(CDA\) uzupełniają kąt \(ABC\) do \(180^\circ\) (\(\kąt CDA\) uzupełniają według warunku, a \(\kąt CD"A \) jak udowodniono powyżej), są więc równe, ale wtedy suma kątów czworoboku \(AD"CD\) jest większa niż \(360^\circ\), co nie może być (suma kąty tego czworoboku są sumą kątów dwóch trójkątów), dlatego punkty \(D\) i \(D"\) pokrywają się.

Komentarz. Na rysunku punkt \(D\) leży poza okręgiem ograniczonym przez okrąg opisany przez \(\trójkąt ABC\), jednak w przypadku, gdy \(D\) leży wewnątrz okręgu, dowód również pozostaje ważny.

Twierdzenie

Okrąg można opisać wokół wypukłego czworoboku \(ABCD\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\kąt ABD=\kąt ACD\) .

Dowód

Konieczność. Jeśli okrąg jest opisany wokół \(ABCD\), to kąty \(\angle ABD\) i \(\angle ACD\) są wpisane i opierają się na jednym łuku \(\buildrel\smile\over(AD)\) , zatem są równe.

Adekwatność. Pozwalać \(\kąt ABD=\kąt ACD=\alfa\). Udowodnimy, że okrąg można opisać wokół \(ABCD\).

Opiszmy okrąg wokół \(\trójkąt ABD\) . Niech prosta \(CD\) przecina ten okrąg w punkcie \(C"\). Następnie \(\kąt ABD=\kąt AC"D \Strzałka w prawo \kąt AC"D=\kąt ACD\).

Stąd, \(\kąt CAD=\kąt C"AD=180^\okrąg-\kąt ADC-\kąt AC"D\), to jest \(\trójkąt AC"D=\trójkąt ACD\) wzdłuż wspólnego boku \(AD\) i dwóch sąsiednich kątów (\(\kąt C"AD=\kąt CAD\) , \(\kąt ADC"=\kąt ADC\) – wspólny). Oznacza to \(DC"=DC\), czyli punkty \(C"\) i \(C\) pokrywają się.

Twierdzenia

1. Jeżeli okrąg opisano na równoległoboku, to jest to prostokąt (ryc. 1).

2. Jeśli wokół rombu opisano okrąg, to jest to kwadrat (ryc. 2).

3. Jeśli wokół trapezu opisano okrąg, to jest to równoramienny (ryc. 3).

Prawdziwe są także stwierdzenia odwrotne: wokół prostokąta, rombu i trapezu równoramiennego można opisać okrąg i tylko jeden.

Dowód

1) Niech wokół równoległoboku \(ABCD\) zostanie opisany okrąg. Wtedy sumy jego przeciwnych kątów są równe \(180^\circ: \quad \angle A+\angle C=180^\circ\). Ale w równoległoboku przeciwne kąty są równe, ponieważ \(\kąt A=\kąt C\) . Stąd, \(\kąt A=\kąt C=90^\circ\). Oznacza to, że z definicji \(ABCD\) jest prostokątem.

2) Niech wokół rombu zostanie opisany okrąg \(MNKP\). Podobnie jak w poprzednim punkcie (ponieważ romb jest równoległobokiem), udowodniono, że \(MNKP\) jest prostokątem. Ale wszystkie boki tego prostokąta są równe (ponieważ jest to romb), co oznacza, że ​​\(MNKP\) jest kwadratem.

Przeciwne stwierdzenie jest oczywiste.

3) Niech wokół trapezu zostanie opisany okrąg \(QWER\). Następnie \(\kąt Q+\kąt E=180^\circ\). Ale z definicji trapezu wynika to \(\kąt Q+\kąt W=180^\circ\). Dlatego \(\kąt W=\kąt E\) . Ponieważ kąty u podstawy \(WE\) trapezu są równe, to jest to równoramienny.

Przeciwne stwierdzenie jest oczywiste.

Artykuł ten zawiera minimalny zestaw informacji o okręgu wymagany do pomyślnego zdania Unified State Exam z matematyki.

Obwód to zbiór punktów znajdujących się w tej samej odległości od danego punktu, który nazywa się środkiem okręgu.

Dla dowolnego punktu leżącego na okręgu spełniona jest równość (długość odcinka jest równa promieniowi okręgu).

Nazywa się odcinek łączący dwa punkty na okręgu akord.

Nazywa się cięciwa przechodząca przez środek okręgu średnica koło() .

Obwód:

Pole koła:

Łuk koła:

Część okręgu zawarta pomiędzy dwoma punktami nazywa się łuk koła. Dwa punkty na okręgu wyznaczają dwa łuki. Akord opiera się na dwóch łukach: i . Równe cięciwy opierają się na równych łukach.

Nazywa się kąt między dwoma promieniami kąt środkowy :

Aby znaleźć długość łuku, tworzymy proporcję:

a) kąt podaje się w stopniach:

b) kąt podaje się w radianach:

Średnica prostopadła do cięciwy , dzieli ten akord i łuki, które wyznacza, na pół:

Jeśli akordy I okręgi przecinają się w jednym punkcie , to iloczyny odcinków cięciwy, na które są podzielone punktem, są sobie równe:

Styczna do okręgu.

Nazywa się linię prostą, która ma jeden punkt wspólny z okręgiem tangens do kręgu. Prostą, która ma dwa punkty wspólne z okręgiem, nazywa się sieczna

Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności.

Jeżeli z danego punktu do okręgu poprowadzono dwie styczne, to wówczas odcinki styczne są sobie równe a środek okręgu leży na dwusiecznej kąta z wierzchołkiem w tym punkcie:

Jeżeli z danego punktu poprowadzono styczną i sieczną do okręgu, to wówczas kwadrat długości odcinka stycznego jest równy iloczynowi całego siecznego odcinka i jego zewnętrznej części :

Konsekwencja: iloczyn całego odcinka jednej siecznej i jej części zewnętrznej jest równy iloczynowi całego odcinka drugiej siecznej i jej części zewnętrznej:

Kąty w okręgu.

Stopień miary kąta środkowego jest równy stopniowi łuku, na którym on spoczywa:

Kąt, którego wierzchołek leży na okręgu i którego boki zawierają cięciwy, nazywa się kąt wpisany . Kąt wpisany mierzy się przez połowę łuku, na którym jest oparty:

∠∠

Kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty:

∠∠∠

Kąty wpisane oparte na jednym łuku są równe :

Kąty wpisane oparte na jednej cięciwie są równe lub ich suma jest równa

∠∠

Wierzchołki trójkątów o danej podstawie i równych kątach wierzchołkowych leżą na tym samym okręgu:

Kąt między dwoma akordami (kąt z wierzchołkiem wewnątrz okręgu) jest równy połowie sumy wartości kątowych łuków okręgu zawartych wewnątrz danego kąta i wewnątrz kąta pionowego.

∠ ∠∠(⌣ ⌣ )

Kąt między dwiema siecznymi (kąt z wierzchołkiem poza okręgiem) jest równy połowie różnicy wartości kątowych łuków koła zawartych wewnątrz kąta.

∠ ∠∠(⌣ ⌣ )

Wpisane koło.

Koło się nazywa wpisany w wielokąt , jeśli dotknie jego boków. Środek okręgu wpisanego leży w punkcie przecięcia dwusiecznych kątów wielokąta.

Nie każdy wielokąt zmieści się w okręgu.

Obszar wielokąta, w który wpisany jest okrąg można znaleźć za pomocą wzoru

tutaj jest półobwód wielokąta i jest promieniem okręgu wpisanego.

Stąd promień okręgu wpisanego równa się

Jeżeli w czworokąt wypukły wpisano okrąg, to sumy długości przeciwległych boków są równe . I odwrotnie: jeśli w czworokącie wypukłym sumy długości przeciwległych boków są równe, to w czworokąt można wpisać okrąg:

W dowolny trójkąt można wpisać okrąg i tylko w jeden. Środek okręgu wpisanego w trójkąt leży w punkcie przecięcia dwusiecznych kątów wewnętrznych trójkąta.

Promień okręgu wpisanego równy . Tutaj

Opisany okrąg.

Koło się nazywa opisano o wielokącie , jeśli przechodzi przez wszystkie wierzchołki wielokąta. Środek okręgu opisanego leży w punkcie przecięcia dwusiecznych prostopadłych boków wielokąta. Promień oblicza się jako promień okręgu opisanego przez trójkąt określony przez dowolne trzy wierzchołki danego wielokąta:

Okrąg można opisać wokół czworoboku wtedy i tylko wtedy, gdy suma jego przeciwnych kątów jest równa .

Wokół dowolnego trójkąta można opisać okrąg i tylko jeden. Jego środek leży w punkcie przecięcia dwusiecznych prostopadłych boków trójkąta:

Promień okrężny obliczone za pomocą wzorów:

Gdzie są długości boków trójkąta i jego pole.

Twierdzenie Ptolemeusza

W czworoboku cyklicznym iloczyn przekątnych jest równy sumie iloczynów jego przeciwnych boków:

Średnica okręgu to odcinek prosty łączący dwa najbardziej oddalone od siebie punkty okręgu, przechodzący przez środek okręgu. Nazwa średnica pochodzi z języka greckiego i dosłownie oznacza poprzeczną. Średnicę oznaczono literą D alfabetu łacińskiego lub symbolem O.

Średnica koła

Aby wiedzieć, jak znaleźć średnicę koła, należy odwołać się do wzorów. Istnieją dwa podstawowe wzory, za pomocą których można obliczyć średnicę koła. Pierwsza to D = 2R. Tutaj średnica jest równa dwukrotności promienia, gdzie promień jest odległością od środka do dowolnego punktu na okręgu (R). Rozważmy przykład: jeśli w zadaniu znany jest promień i wynosi on 10 cm, to można łatwo znaleźć średnicę. W przypadku tej wartości promienia podstawiamy do wzoru D = 2 * 10 = 20 cm

Drugi wzór pozwala znaleźć średnicę na obwodzie i wygląda następująco: D = L/P, gdzie L jest wartością obwodu, a P jest liczbą Pi, która jest w przybliżeniu równa 3,14. Formuła ta jest bardzo wygodna w zastosowaniu w praktyce. Jeśli chcesz znać średnicę włazu, pokrywy zbiornika, czy innego dołu, wystarczy zmierzyć ich obwód i podzielić go przez 3,14. Na przykład obwód wynosi 600 cm, stąd D = 600/3,14 = 191,08 cm.

Średnica okręgu

Średnicę okręgu opisanego można również znaleźć, jeśli jest on opisany lub wpisany w trójkąt. Aby to zrobić, należy najpierw znaleźć promień okręgu wpisanego, korzystając ze wzoru: R = S/p, gdzie S oznacza pole trójkąta, a p jest jego półobwodem, p jest równe (a + b + c)/2. Gdy już znany jest promień, należy skorzystać z pierwszego wzoru. Lub natychmiast podstaw wszystkie wartości do wzoru D = 2S/p.

Jeśli nie wiesz, jak obliczyć średnicę okręgu opisanego, skorzystaj ze wzoru, aby znaleźć promień okręgu opisanego na trójkącie. R = (a * b * c)/4 * S, S we wzorze oznacza pole trójkąta. Następnie w ten sam sposób podstaw wartość promienia do wzoru D = 2R.

Najpierw zrozummy różnicę między kołem a kołem. Aby zobaczyć tę różnicę, wystarczy rozważyć, jakie są obie liczby. Są to nieskończona liczba punktów na płaszczyźnie, znajdujących się w równej odległości od pojedynczego punktu centralnego. Ale jeśli okrąg składa się również z przestrzeni wewnętrznej, to nie należy do koła. Okazuje się, że okrąg to zarówno okrąg, który go ogranicza (circle(r)), jak i niezliczona liczba punktów znajdujących się wewnątrz okręgu.

Dla dowolnego punktu L leżącego na okręgu obowiązuje równość OL=R. (Długość odcinka OL jest równa promieniowi okręgu).

Odcinek łączący dwa punkty na okręgu to jego akord.

Cięciwa przechodząca bezpośrednio przez środek okręgu to: średnica ten okrąg (D). Średnicę można obliczyć ze wzoru: D=2R

Obwód obliczane według wzoru: C=2\pi R

Pole koła: S=\pi R^(2)

Łuk koła nazywana jest tą częścią, która znajduje się pomiędzy jego dwoma punktami. Te dwa punkty definiują dwa łuki okręgu. Akord CD opiera się na dwóch łukach: CMD i CLD. Identyczne cięciwy leżą na równych łukach.

Kąt środkowy Nazywa się kąt zawarty pomiędzy dwoma promieniami.

Długość łuku można znaleźć za pomocą wzoru:

1. Używanie miary stopnia: CD = \frac(\pi R \alfa ^(\circ))(180^(\circ))
2. Używając miary radianów: CD = \alpha R

Średnica prostopadła do cięciwy dzieli cięciwę i zaciągnięte przez nią łuki na pół.

Jeżeli cięciwy AB i CD okręgu przecinają się w punkcie N, to iloczyny odcinków cięciw oddzielonych punktem N są sobie równe.

AN\cdot NB = CN\cdot ND

Styczna do okręgu

Styczna do okręgu Zwyczajowo nazywa się linię prostą, która ma jeden punkt wspólny z okręgiem.

Jeżeli linia ma dwa punkty wspólne, nazywa się ją sieczna.

Jeśli narysujesz promień do punktu stycznego, będzie on prostopadły do ​​stycznej do okręgu.

Narysujmy dwie styczne z tego punktu do naszego okręgu. Okazuje się, że odcinki styczne będą sobie równe, a środek okręgu będzie leżał na dwusiecznej kąta z wierzchołkiem w tym punkcie.

AC = CB

Teraz narysujmy styczną i sieczną do okręgu z naszego punktu. Otrzymujemy, że kwadrat długości odcinka stycznego będzie równy iloczynowi całego siecznego odcinka i jego zewnętrznej części.

AC^(2) = CD \cdot BC

Możemy stwierdzić: iloczyn całego odcinka pierwszej siecznej i jej części zewnętrznej jest równy iloczynowi całego odcinka drugiej siecznej i jej części zewnętrznej.

AC\cdot BC = EC\cdot DC

Kąty w okręgu

Miary stopniowe kąta środkowego i łuku, na którym jest on oparty, są równe.

\angle COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)

Kąt wpisany to kąt, którego wierzchołek leży na okręgu, a boki zawierają cięciwy.

Można to obliczyć, znając rozmiar łuku, ponieważ jest on równy połowie tego łuku.

\angle AOB = 2 \angle ADB

Na podstawie średnicy, kąta wpisanego, kąta prostego.

\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ (\circ)

Kąty wpisane oparte na tym samym łuku są jednakowe.

Kąty wpisane oparte na jednej cięciwie są jednakowe lub ich suma wynosi 180^ (\circ) .

\angle ADB + \angle AKB = 180^ (\circ)

\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB

Na tym samym okręgu znajdują się wierzchołki trójkątów o jednakowych kątach i danej podstawie.

Kąt z wierzchołkiem wewnątrz okręgu i znajdujący się pomiędzy dwoma cięciwami jest równy połowie sumy wartości kątowych łuków okręgu zawartych w danym i kątach pionowych.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \right)

Kąt z wierzchołkiem poza okręgiem i znajdujący się pomiędzy dwiema siecznymi jest równy połowie różnicy wartości kątowych łuków koła zawartych wewnątrz kąta.

\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \left (\cup DmC - \cup AlB \right)

Wpisane koło

Wpisane koło jest okręgiem stycznym do boków wielokąta.

W miejscu przecięcia dwusiecznych narożników wielokąta znajduje się jego środek.

Nie w każdy wielokąt można wpisać okrąg.

Pole wielokąta z wpisanym okręgiem oblicza się ze wzoru:

S = pr,

p jest półobwodem wielokąta,

r jest promieniem okręgu wpisanego.

Wynika z tego, że promień okręgu wpisanego jest równy:

r = \frac(S)(p)

Sumy długości przeciwległych boków będą identyczne, jeśli okrąg zostanie wpisany w czworobok wypukły. I odwrotnie: w czworokąt wypukły wpasowuje się okrąg, jeśli sumy długości przeciwległych boków są jednakowe.

AB + DC = AD + BC

W każdy z trójkątów można wpisać okrąg. Tylko jeden jedyny. W miejscu przecięcia dwusiecznych kątów wewnętrznych figury będzie znajdował się środek tego okręgu wpisanego.

Promień okręgu wpisanego obliczamy ze wzoru:

r = \frac(S)(p) ,

gdzie p = \frac(a + b + c)(2)

Okrąg

Jeśli okrąg przechodzi przez każdy wierzchołek wielokąta, wówczas zwykle nazywa się taki okrąg opisano o wielokącie.

W punkcie przecięcia prostopadłych dwusiecznych boków tej figury będzie środek opisanego okręgu.

Promień można obliczyć, obliczając go jako promień okręgu opisanego na trójkącie określonym przez dowolne 3 wierzchołki wielokąta.

Warunek jest następujący: okrąg można opisać wokół czworoboku tylko wtedy, gdy suma jego przeciwległych kątów jest równa 180^( \circ) .

\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^ (\circ)

Wokół dowolnego trójkąta można opisać okrąg i tylko jeden. Środek takiego okręgu będzie znajdował się w punkcie przecięcia dwusiecznych prostopadłych boków trójkąta.

Promień okręgu opisanego można obliczyć korzystając ze wzorów:

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = \frac(abc)(4 S)

a, b, c to długości boków trójkąta,

S jest obszarem trójkąta.

Twierdzenie Ptolemeusza

Na koniec rozważmy twierdzenie Ptolemeusza.

Twierdzenie Ptolemeusza stwierdza, że ​​iloczyn przekątnych jest identyczny z sumą iloczynów przeciwnych boków cyklicznego czworoboku.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD