Gdzie obowiązuje prawo wielkich liczb? Prawa wielkich liczb

Funkcja F(x) Czasami nazywany funkcja integralna dystrybucja lub integralne prawo dystrybucji.

Własności funkcji rozkładu:

1. Dystrybucja zmiennej losowej jest funkcją nieujemną mieszczącą się w przedziale od zera do jedynki:

0 ≤ F(x) ≤ 1.

2. Funkcja rozkładu zmiennej losowej jest funkcją niemalejącą na całej osi liczbowej.

3. Przy minus nieskończoności rozkład jest równy zeru, przy plus nieskończoności jest równy jedności, czyli: F(-∞)= , F(+∞)= .

4. Prawdopodobieństwo wpadnięcia zmiennej losowej w przedział [x1,x2) (w tym x1) jest równe przyrostowi jej dystrybuanty w tym przedziale, tj. P(x 1 ≤ X< х 2) = F(x 2) - F(x 1).

Nierówność Markowa i Czebyszewa

Nierówność Markowa

Twierdzenie: Jeżeli zmienna losowa X przyjmuje tylko wartości nieujemne i ma oczekiwanie matematyczne, to dla dowolnej liczby dodatniej A prawdziwa jest następująca równość: P(x>A) ≤ .

Ponieważ zdarzenia X > A i X ≤ A są przeciwne, to zastępując P(X > A) wyrażamy 1 - P(X ≤ A), dochodzimy do innej postaci nierówności Markowa: P(X ≥ A) ≥1 - .

Nierówność Markowa k dotyczy dowolnych nieujemnych zmiennych losowych.

Nierówność Czebyszewa

Twierdzenie: Dla każdej zmiennej losowej, która ma matematyczne oczekiwanie i wariancję, obowiązuje nierówność Czebyszewa:

P (|X – a| > ε) ≤ D(X)/ε 2 lub P (|X – a| ≤ ε) ≥ 1 – DX/ε 2, gdzie a= M(X), ε>0.

Prawo wielkich liczb „w postaci” twierdzenia Czebyszewa.

Twierdzenie Czebyszewa: Jeśli różnice N niezależne zmienne losowe X1, X2,…. X N są ograniczone do tej samej stałej, a następnie z nieograniczonym wzrostem liczby Nśrednia arytmetyczna zmiennych losowych zbiega się prawdopodobieństwem do średniej arytmetycznej ich oczekiwań matematycznych a 1 , a 2 ...., a n, tj. .

Znaczenie prawa wielkich liczb polega na tym, że średnie wartości zmiennych losowych zmierzają do ich matematycznych oczekiwań, gdy N→ ∞ prawdopodobieństwa. Odchylenie wartości średnich od oczekiwań matematycznych staje się dowolnie małe z prawdopodobieństwem bliskim jedności, jeśli n jest wystarczająco duże. Innymi słowy, prawdopodobieństwo jakiegokolwiek odchylenia wartości średnich od A tak mały, jak rośniesz N.

30. Twierdzenie Bernoulliego.

Twierdzenie Bernoulliego: Częstotliwość zdarzeń w N powtarzanych niezależnych prób, w każdej z nich może wystąpić z tym samym prawdopodobieństwem p, przy nieograniczonym wzroście ich liczby N zbiegają się prawdopodobieństwem z prawdopodobieństwem p tego zdarzenia w oddzielnej próbie: \

Twierdzenie Bernoulliego jest konsekwencją twierdzenia Czebyszewa, ponieważ częstotliwość zdarzenia można przedstawić jako średnią arytmetyczną n niezależnych alternatywnych zmiennych losowych, które mają to samo prawo rozkładu.

18. Oczekiwanie matematyczne dyskretnych i ciągłych zmiennych losowych oraz ich własności.

Oczekiwanie matematyczne jest sumą iloczynów wszystkich jego wartości i odpowiadających im prawdopodobieństw

Dla dyskretnej zmiennej losowej:

Dla ciągłej zmiennej losowej:

Właściwości oczekiwań matematycznych:

1. Matematyczne oczekiwanie na stałą wartość jest równe samej stałej: M(C)=C

2. Stały współczynnik można wyjąć ze znaku oczekiwania matematycznego, tj. M(kX)=kM(X).

3. Oczekiwanie matematyczne sumy algebraicznej skończonej liczby zmiennych losowych jest równe tej samej sumie ich oczekiwań matematycznych, tj. M(X±Y)=M(X)±M(Y).

4. Oczekiwanie matematyczne iloczynu skończonej liczby niezależnych zmiennych losowych jest równe iloczynowi ich oczekiwań matematycznych: M(XY)=M(X)*M(Y).

5. Jeśli wszystkie wartości zmiennej losowej zostaną zwiększone (zmniejszone) o stałą C, wówczas matematyczne oczekiwanie tej zmiennej losowej wzrośnie (zmniejszy się) o tę samą stałą C: M(X±C)=M(X)±C.

6. Matematyczne oczekiwanie odchylenia zmiennej losowej od jej oczekiwań matematycznych wynosi zero: M=0.

PRAWO DUŻYCH LICZB

ogólna zasada, zgodnie z którą kombinacja czynników losowych prowadzi, w pewnych bardzo ogólnych warunkach, do wyniku prawie niezależnego od przypadku. Zbieżność częstotliwości występowania zdarzenia losowego z jego prawdopodobieństwem w miarę wzrostu liczby prób (po raz pierwszy zauważona najwyraźniej w grach hazardowych) może służyć jako pierwszy przykład działania tej zasady.

Na przełomie XVII i XVIII w. J. Bernoulli udowodnił twierdzenie stwierdzające, że w ciągu niezależnych prób, w których każde wystąpienie określonego zdarzenia ma tę samą wartość, prawdziwa jest zależność:

dla dowolnego - liczba wystąpień zdarzenia w pierwszych próbach, - częstotliwość wystąpień. Ten Twierdzenie Bernoulliego została rozszerzona przez S. Poissona na przypadek ciągu niezależnych prób, gdzie prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A może zależeć od liczby prób. Niech to prawdopodobieństwo dla k-tej próby będzie równe i niech

Następnie Twierdzenie Poissona stwierdza, że

dla dowolnego Pierwsze rygorystyczne podejście do tego twierdzenia przedstawił P. L. Czebyszew (1846), którego metoda jest całkowicie odmienna od metody Poissona i opiera się na pewnych skrajnych rozważaniach; S. Poisson wyprowadził (2) z przybliżonego wzoru na wskazane prawdopodobieństwo, opartego na zastosowaniu prawa Gaussa i wówczas jeszcze nie do końca uzasadnionego. S. Poisson po raz pierwszy zetknął się z terminem „prawo wielkich liczb”, które nazwał swoim uogólnieniem twierdzenia Bernoulliego.

Naturalne dalsze uogólnienie twierdzeń Bernoulliego i Poissona powstaje, jeśli zauważymy, że zmienne losowe można przedstawić jako sumę

niezależne zmienne losowe, gdzie jeśli A pojawia się w próbie Ath, oraz - W przeciwnym razie. Jednocześnie matematyczny oczekiwanie (zbiegające się ze średnią arytmetyczną oczekiwań matematycznych) jest równe p dla przypadku Bernoulliego i dla przypadku Poissona. Innymi słowy, w obu przypadkach uwzględniane jest odchylenie średniej arytmetycznej X k ze średniej arytmetycznej ich matematycznych oczekiwania.

W pracy P. L. Czebyszewa „O wartościach średnich” (1867) ustalono, że dla niezależnych zmiennych losowych relacja

(dla any ) jest prawdziwe przy bardzo ogólnych założeniach. P. L. Czebyszew założył, że matematyk. wszystkie oczekiwania są ograniczone przez tę samą stałą, chociaż z jego dowodu wynika, że ​​wymóg ograniczonych wariancji jest wystarczający

lub nawet żąda

Tym samym P. L. Czebyszew pokazał możliwość szerokiego uogólnienia twierdzenia Bernoulliego. A. A. Markov zauważył możliwość dalszych uogólnień i zaproponował używanie nazwy B. h.z. do całego zestawu uogólnień twierdzenia Bernoulliego [a w szczególności do (3)]. Metoda Czebyszewa opiera się na precyzyjnym ustaleniu ogólnych właściwości matematyki. oczekiwań oraz na stosowaniu tzw. Nierówności Czebyszewa[dla prawdopodobieństwa (3) daje oszacowanie postaci

granicę tę można oczywiście zastąpić dokładniejszą, pod bardziej znaczącymi ograniczeniami, patrz Nierówność Bernsteina]. Późniejsze dowody różnych form B. h.z. w takim czy innym stopniu są rozwinięciem metody Czebyszewa. Stosując odpowiednie „cięcie” zmiennych losowych (zastępując je zmiennymi pomocniczymi, a mianowicie: , gdzie są pewne stałe), A. A. Markov rozszerzył część B. w przypadkach, gdy nie istnieją różnice w terminach. Pokazał na przykład, że (3) zachodzi, jeśli dla pewnych stałych i wszyscy i

Część 1 - ROZDZIAŁ 9. PRAWO DUŻYCH LICZB. TWIERDZENIA OGRANICZENIA

9.1. Nierówność Czebyszewa

Notatki

9.2. Prawo wielkich liczb w postaci Czebyszewa

9.2. Prawo wielkich liczb w postaci Czebyszewa: dodawanie

10. 9.3. Twierdzenie Bernoulliego

11.

12. 9.4. Funkcje charakterystyczne

13.

14.

15. 9.5. Centralne twierdzenie graniczne (twierdzenie Lapunowa)

16.

17. PODSTAWY TEORII PRAWIDŁOWOŚCI I STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ

18. Motto

19. Wprowadzenie

20. Metody statystycznej analizy danych:

21. ROZDZIAŁ 1. PODSTAWOWE POJĘCIA STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ

22. 1.1. Populacja i próba

23.

24. Reprezentatywna próbka:

25.

26. 1.2. Przykładowe prawo dystrybucji (szereg statystyczny)

27.

28.

29.

30.

31. 1.3. Wielokąt częstotliwości, funkcja rozkładu próbki

32.

33.

34.

35. 1.4. Własności dystrybuanty empirycznej

36.

37. Przykład

38. ROZDZIAŁ 2. CHARAKTERYSTYKA NUMERYCZNA PRÓBKI

39.

40. 2.1. Średnia i wariancja próbki, punkty empiryczne

41.

42.

43.

44.

45.

46. ​​​​2.2. Własności szacunków statystycznych parametrów rozkładu: bezstronność, efektywność, spójność

47.

48.

49.

50.

51. 2.3. Właściwości średniej próbki

52.

53.

54.

55.

56.

57. 2.4. Własności wariancji próbki

58.

59.

60. Przykład

61.

62. ROZDZIAŁ 3. PUNKTOWA SZACOWANIE PARAMETRÓW ZNANEGO ROZKŁADU

63.

64. 3.1. Metoda momentów

65.

66.

67. Przykład

68. Przypomnienie

69.

70.

71. 3.2. Metoda największej wiarygodności

72.

73.

74. Uwagi:

75. Przykład

76.

77. ROZDZIAŁ 4. SZACOWANIE PRZEDZIAŁOWE PARAMETRÓW ZNANEGO ROZKŁADU

78.

79.

80. 4.1. Oszacowanie matematycznego oczekiwania wielkości o rozkładzie normalnym ze znaną wariancją

81.

82.

83. 4.2. Oszacowanie matematycznego oczekiwania wielkości o rozkładzie normalnym i nieznanej wariancji

84.

85.

86. Gęstość rozkładu Studenta przy n – 1 stopniach swobody

87.

88.

89.

90. 4.3. Szacowanie odchylenia standardowego wielkości o rozkładzie normalnym

91. 4.3.1. Szczególny przypadek dobrze znanego oczekiwania matematycznego

92.

93.

94.

95.

96.

97. 4.3.2. Szczególny przypadek nieznanego oczekiwania matematycznego

98.

99. 4.4. Oszacowanie matematycznego oczekiwania zmiennej losowej dla próby losowej

100.

101.

102.

103.

104.

105. ROZDZIAŁ 4. SZACOWANIE PRZEDZIAŁOWE PARAMETRÓW ZNANEGO ROZKŁADU

106.

107.

108. 4.1. Oszacowanie matematycznego oczekiwania wielkości o rozkładzie normalnym ze znaną wariancją

109.

110.

111. 4.2. Oszacowanie matematycznego oczekiwania wielkości o rozkładzie normalnym i nieznanej wariancji

112.

113.

114. Gęstość rozkładu Studenta przy n – 1 stopniach swobody

115.

116.

117.

118. 4.3. Szacowanie odchylenia standardowego wielkości o rozkładzie normalnym

119. 4.3.1. Szczególny przypadek dobrze znanego oczekiwania matematycznego

120.

121.

122.

123.

124.

125. 4.3.2. Szczególny przypadek nieznanego oczekiwania matematycznego

126.

127. 4.4. Oszacowanie matematycznego oczekiwania zmiennej losowej dla próby losowej

128.

129.

130.

131. ROZDZIAŁ 5. TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH

132.

133.

134.

135. 5.1. Testowanie hipotez dotyczących parametrów znanego rozkładu

136.

137.

145.

146.

147.

148. 5.1.3. Porównanie oczekiwań matematycznych niezależnych zmiennych losowych

154.

155. 5.2.1. Testowanie hipotezy rozkładu normalnego

162. 6.2. Dystrybucja studencka

Prawo wielkich liczb

Praktyka badania zjawisk losowych pokazuje, że choć wyniki poszczególnych obserwacji, nawet tych przeprowadzonych w tych samych warunkach, mogą znacznie się od siebie różnić, to jednocześnie średnie wyniki dla odpowiednio dużej liczby obserwacji są stabilne i słabo zależą od wyniki indywidualnych obserwacji. Teoretyczną podstawą tej niezwykłej właściwości zjawisk losowych jest prawo wielkich liczb. Ogólne znaczenie prawa wielkich liczb jest takie, że połączone działanie dużej liczby czynników losowych prowadzi do wyniku, który jest prawie niezależny od przypadku.

Centralne twierdzenie graniczne

Twierdzenie Lapunowa wyjaśnia powszechny rozkład prawa rozkładu normalnego i wyjaśnia mechanizm jego powstawania. Twierdzenie pozwala stwierdzić, że ilekroć zmienna losowa powstaje w wyniku dodania dużej liczby niezależnych zmiennych losowych, których wariancje są małe w porównaniu z rozrzutem sumy, prawo rozkładu tej zmiennej losowej zmienia się się prawie normalnym prawem. A ponieważ zmienne losowe są zawsze generowane przez nieskończoną liczbę przyczyn i najczęściej żadna z nich nie ma rozrzutu porównywalnego z rozproszeniem samej zmiennej losowej, większość zmiennych losowych spotykanych w praktyce podlega prawu rozkładu normalnego.

Rozważmy bardziej szczegółowo treść twierdzeń każdej z tych grup

W badaniach praktycznych bardzo ważne jest, aby wiedzieć, w jakich przypadkach można zagwarantować, że prawdopodobieństwo zdarzenia będzie albo wystarczająco małe, albo tak bliskie, jak to pożądane.

Pod prawo wielkich liczb i jest rozumiany jako zbiór twierdzeń, które stwierdzają, że z prawdopodobieństwem bliskim jedności (lub zera) zdarzenie nastąpi w zależności od bardzo dużej, nieskończenie rosnącej liczby zdarzeń losowych, z których każde ma tylko niewielki wpływ na To.

Mówiąc dokładniej, prawo wielkich liczb jest rozumiane jako zbiór twierdzeń, które stwierdzają, że z prawdopodobieństwem możliwie najbliższym jedności odchylenie średniej arytmetycznej wystarczająco dużej liczby zmiennych losowych od wartości stałej - średniej arytmetycznej ich matematycznych oczekiwań – nie przekroczy danej dowolnie małej liczby.

Indywidualne, izolowane zjawiska, które obserwujemy w przyrodzie i życiu społecznym często mają charakter losowy (np. zarejestrowany zgon, płeć urodzonego dziecka, temperatura powietrza itp.) ze względu na to, że na zjawiska te wpływa wiele czynników niezwiązane z istotą powstania lub rozwoju zjawiska. Nie da się przewidzieć ich całkowitego wpływu na obserwowane zjawisko, a w poszczególnych zjawiskach objawiają się one odmiennie. Na podstawie wyników jednego zjawiska nie można nic powiedzieć o wzorcach charakterystycznych dla wielu takich zjawisk.

Jednak od dawna zauważono, że średnia arytmetyczna liczbowych charakterystyk niektórych znaków (względna częstotliwość występowania zdarzenia, wyniki pomiarów itp.) przy dużej liczbie powtórzeń eksperymentu podlega bardzo niewielkim wahaniom. W przeciętnej przejawia się prawidłowość tkwiąca w istocie zjawisk, znosi się wpływ poszczególnych czynników, które powodowały losowość wyników pojedynczych obserwacji. Teoretycznie takie zachowanie średniej można wyjaśnić za pomocą prawa wielkich liczb. Jeżeli zostaną spełnione bardzo ogólne warunki dotyczące zmiennych losowych, to stabilność średniej arytmetycznej będzie zdarzeniem niemal pewnym. Warunki te stanowią najważniejszą treść prawa wielkich liczb.

Pierwszym przykładem działania tej zasady może być zbieżność częstotliwości występowania zdarzenia losowego z jego prawdopodobieństwem w miarę wzrostu liczby prób – fakt ustalony w twierdzeniu Bernoulliego (szwajcarski matematyk Jakub Bernoulli(1654-1705). Twierdzenie Bernulla jest jedną z najprostszych form prawa wielkich liczb i jest często stosowane w praktyce. Na przykład częstotliwość występowania dowolnej cechy respondenta w próbie jest traktowana jako oszacowanie odpowiedniego prawdopodobieństwa).

Wybitny matematyk francuski Simeona Denny’ego Poissona(1781-1840) uogólnili to twierdzenie i rozszerzyli je na przypadek, gdy prawdopodobieństwo zdarzeń w teście zmienia się niezależnie od wyników poprzednich testów. Jako pierwszy użył terminu „prawo wielkich liczb”.

Wielki rosyjski matematyk Pafnutij Lwowicz Czebyszew(1821 - 1894) udowodnili, że prawo wielkich liczb działa w zjawiskach o dowolnej zmienności i rozciąga się także na prawo średnich.

Dalsze uogólnienie twierdzeń prawa wielkich liczb wiąże się z nazwami A.A.Markov, S.N.Bernstein, A.Ya.Khinchin i A.N.Kolmlgorov.

Ogólne współczesne sformułowanie problemu, sformułowanie prawa wielkich liczb, rozwój pomysłów i metod udowadniania twierdzeń związanych z tym prawem należą do rosyjskich naukowców P. L. Czebyszew, A. A. Markow i A. M. Lapunow.

NIERÓWNOŚĆ CZEBYszewA

Rozważmy najpierw twierdzenia pomocnicze: lemat Czebyszewa i nierówność, za pomocą których można łatwo udowodnić prawo wielkich liczb w postaci Czebyszewa.

Lemat (Czebyszew).

Jeżeli wśród wartości zmiennej losowej X nie ma wartości ujemnych, wówczas prawdopodobieństwo, że przyjmie ona jakąś wartość przekraczającą liczbę dodatnią A, wynosi nie więcej niż ułamek, którego licznikiem jest matematyczne oczekiwanie losowości zmienną, a mianownikiem jest liczba A:

Dowód.Niech będzie znane prawo rozkładu zmiennej losowej X:

(i = 1, 2, ..., ) i uważamy, że wartości zmiennej losowej są w porządku rosnącym.

Ze względu na liczbę A wartości zmiennej losowej dzielą się na dwie grupy: niektóre nie przekraczają A, a inne są większe niż A. Załóżmy, że do pierwszej grupy zaliczają się pierwsze wartości zmiennej losowej zmienny ().

Ponieważ , to wszystkie warunki sumy są nieujemne. Dlatego odrzucając pierwsze człony wyrażenia, otrzymujemy następującą nierówność:

Ponieważ

,

To

co było do okazania

Zmienne losowe mogą mieć różne rozkłady przy tych samych oczekiwaniach matematycznych. Jednak dla nich lemat Czebyszewa da takie samo oszacowanie prawdopodobieństwa tego lub innego wyniku testu. Ta wada lematu związana jest z jego ogólnością: nie da się uzyskać lepszego oszacowania jednocześnie dla wszystkich zmiennych losowych.

Nierówność Czebyszewa .

Prawdopodobieństwo, że odchylenie zmiennej losowej od jej matematycznego oczekiwania przekroczy wartość bezwzględną liczby dodatniej, jest nie większe niż ułamek, którego licznikiem jest wariancja zmiennej losowej, a mianownikiem jest kwadrat

Dowód.Ponieważ jest to zmienna losowa, która nie przyjmuje wartości ujemnych, stosujemy nierówność z lematu Czebyszewa dla zmiennej losowej pod adresem:

co było do okazania

Konsekwencja. Ponieważ

,

To

- inna postać nierówności Czebyszewa

Przyjmijmy bez dowodu, że lemat Czebyszewa i nierówność są prawdziwe także dla ciągłych zmiennych losowych.

Nierówność Czebyszewa leży u podstaw jakościowych i ilościowych stwierdzeń prawa wielkich liczb. Wyznacza górną granicę prawdopodobieństwa, że ​​odchylenie wartości zmiennej losowej od jej oczekiwań matematycznych będzie większe niż pewna określona liczba. Godne uwagi jest to, że nierówność Czebyszewa pozwala oszacować prawdopodobieństwo zdarzenia dla zmiennej losowej, której rozkład jest nieznany, znane są jedynie jej matematyczne oczekiwanie i wariancja.

Twierdzenie. (Prawo wielkich liczb w formie Czebyszewa)

Jeżeli wariancje niezależnych zmiennych losowych są ograniczone jedną stałą C, a ich liczba jest wystarczająco duża, to prawdopodobieństwo, że odchylenie średniej arytmetycznej tych zmiennych losowych od średniej arytmetycznej ich oczekiwań matematycznych nie przekroczy wartości bezwzględnej dana liczba dodatnia, niezależnie od tego, jak mała jest, jest tak bliska jedności, jak to tylko możliwe:

.

Twierdzenie przyjmujemy bez dowodu.

Wniosek 1. Jeśli niezależne zmienne losowe mają takie same, równe oczekiwania matematyczne, ich wariancje są ograniczone przez tę samą stałą C, a ich liczba jest wystarczająco duża, to niezależnie od tego, jak mała jest dana liczba dodatnia, jakkolwiek bliskie jedności jest prawdopodobieństwo, że odchylenie średniej arytmetyki tych zmiennych losowych nie przekroczy wartości bezwzględnej.

Fakt, że średnią arytmetyczną wyników wystarczająco dużej liczby jej pomiarów dokonanych w tych samych warunkach przyjmuje się za przybliżoną wartość nieznanej wielkości, można uzasadnić tym twierdzeniem. Rzeczywiście wyniki pomiarów są losowe, ponieważ wpływa na nie wiele czynników losowych. Brak błędów systematycznych oznacza, że ​​oczekiwania matematyczne poszczególnych wyników pomiarów są takie same i równe. W konsekwencji, zgodnie z prawem wielkich liczb, średnia arytmetyczna wystarczająco dużej liczby pomiarów będzie się różnić praktycznie tak mało, jak to pożądane, od prawdziwej wartości pożądanej wielkości.

(Przypomnijmy, że błędy nazywamy systematycznymi, jeśli zniekształcają wynik pomiaru w tym samym kierunku według mniej lub bardziej jasnego prawa. Należą do nich błędy, które pojawiają się na skutek niedoskonałych instrumentów (błędy instrumentalne), ze względu na cechy osobowe obserwatora (błędy osobiste) itp.)

Konsekwencja 2 . (Twierdzenie Bernoulliego.)

Jeżeli prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A w każdym z niezależnych prób jest stałe, a ich liczba jest wystarczająco duża, to prawdopodobieństwo, że częstotliwość występowania zdarzenia różni się w minimalnym stopniu od prawdopodobieństwa jego wystąpienia, jest dowolnie bliskie do jedności:

Twierdzenie Bernoulliego stwierdza, że ​​jeśli prawdopodobieństwo zdarzenia jest takie samo we wszystkich próbach, to w miarę wzrostu liczby prób częstotliwość zdarzenia dąży do prawdopodobieństwa zdarzenia i przestaje być losowa.

W praktyce stosunkowo rzadko spotyka się eksperymenty, w których prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia w dowolnym eksperymencie jest stałe, częściej zmienia się w różnych eksperymentach. Twierdzenie Poissona ma zastosowanie do schematu testowego tego typu:

Konsekwencja 3 . (Twierdzenie Poissona.)

Jeżeli prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia w -tej próbie nie zmienia się, gdy znane są wyniki poprzednich testów, a ich liczba jest wystarczająco duża, to prawdopodobieństwo, że częstotliwość występowania zdarzenia różni się dowolnie mało od arytmetycznej średnia prawdopodobieństw jest arbitralnie bliska jedności:

Twierdzenie Poissona stwierdza, że ​​częstotliwość zdarzenia w szeregu niezależnych prób dąży do średniej arytmetycznej jego prawdopodobieństw i przestaje być przypadkowa.

Podsumowując, zauważamy, że żadne z rozważanych twierdzeń nie podaje dokładnej ani nawet przybliżonej wartości pożądanego prawdopodobieństwa, a jedynie wskazana jest jego dolna lub górna granica. Dlatego jeśli konieczne jest ustalenie dokładnej lub przynajmniej przybliżonej wartości prawdopodobieństw odpowiednich zdarzeń, możliwości tych twierdzeń są bardzo ograniczone.

Przybliżone prawdopodobieństwa dla dużych wartości można uzyskać jedynie za pomocą twierdzeń granicznych. W nich narzucane są dodatkowe ograniczenia na zmienne losowe (jak ma to miejsce na przykład w twierdzeniu Lapunowa) lub uwzględniane są zmienne losowe określonego typu (na przykład w twierdzeniu całkowym Moivre'a-Laplace'a).

Teoretyczne znaczenie twierdzenia Czebyszewa, które jest bardzo ogólnym sformułowaniem prawa wielkich liczb, jest ogromne. Jeśli jednak zastosujemy je do pytania, czy możliwe jest zastosowanie prawa wielkich liczb do ciągu niezależnych zmiennych losowych, to jeśli odpowiedź będzie twierdząca, twierdzenie będzie często wymagało, aby zmiennych losowych było znacznie więcej niż jest to wymagane. konieczne, aby prawo wielkich liczb zaczęło obowiązywać. Tę wadę twierdzenia Czebyszewa tłumaczy się jego ogólnym charakterem. Dlatego pożądane jest posiadanie twierdzeń, które dokładniej wskazywałyby dolną (lub górną) granicę pożądanego prawdopodobieństwa. Można je uzyskać nakładając na zmienne losowe dodatkowe ograniczenia, które zazwyczaj są spełnione w przypadku zmiennych losowych spotykanych w praktyce.

UWAGI O TREŚCI PRAWA WIELKICH LICZB

Jeśli liczba zmiennych losowych jest wystarczająco duża i spełniają one bardzo ogólne warunki, to niezależnie od tego, jak zostaną rozłożone, jest prawie pewne, że ich średnia arytmetyczna odbiega w pożądanym stopniu od wartości stałej - średniej arytmetycznej ich oczekiwań matematycznych , tj. jest wartością prawie stałą. Taka jest treść twierdzeń związanych z prawem wielkich liczb. W konsekwencji prawo wielkich liczb jest jednym z wyrazów dialektycznego związku między przypadkiem a koniecznością.

Można podać wiele przykładów pojawienia się nowych stanów jakościowych jako przejawów prawa wielkich liczb, przede wszystkim wśród zjawisk fizycznych. Rozważmy jeden z nich.

Według współczesnych koncepcji gazy składają się z pojedynczych cząstek - cząsteczek znajdujących się w chaotycznym ruchu i nie można dokładnie powiedzieć, gdzie w danym momencie będzie i z jaką prędkością będzie się poruszać ta lub inna cząsteczka. Jednak obserwacje pokazują, że całkowity wpływ cząsteczek, np. ciśnienia gazu na

ściance naczynia, objawia się niesamowitą konsystencją. Decyduje o tym liczba ciosów i siła każdego z nich. Choć to pierwsze i drugie jest kwestią przypadku, w normalnych warunkach urządzenia nie wykrywają wahań ciśnienia gazu. Wyjaśnia to fakt, że ze względu na ogromną liczbę cząsteczek, nawet w najmniejszych objętościach

zmiana ciśnienia o zauważalną wielkość jest praktycznie niemożliwa. W konsekwencji prawo fizyczne stwierdzające stałość ciśnienia gazu jest przejawem prawa wielkich liczb.

Stałość ciśnienia i niektóre inne cechy gazu służyły kiedyś jako przekonujący argument przeciwko molekularnej teorii struktury materii. Następnie nauczyli się izolować stosunkowo niewielką liczbę cząsteczek, zapewniając, że wpływ poszczególnych cząsteczek nadal pozostanie, a tym samym prawo wielkich liczb nie będzie mogło objawiać się w wystarczającym stopniu. Następnie udało się zaobserwować wahania ciśnienia gazu, potwierdzając hipotezę o budowie molekularnej substancji.

Prawo wielkich liczb leży u podstaw różnych rodzajów ubezpieczeń (ubezpieczenie życia ludzkiego na wszystkie możliwe okresy, mienia, zwierząt gospodarskich, upraw itp.).

Planując asortyment dóbr konsumpcyjnych uwzględnia się zapotrzebowanie społeczeństwa na nie. To żądanie ujawnia skutek prawa wielkich liczb.

Metoda doboru próby, szeroko stosowana w statystyce, ma swoje naukowe podstawy w prawie wielkich liczb. Na przykład jakość pszenicy przywiezionej z kołchozy do punktu skupu ocenia się na podstawie jakości ziarna przypadkowo przechwyconego w niewielkiej ilości. W miarce nie ma dużo ziarna w porównaniu do całej partii, ale w każdym razie miarę dobiera się tak, aby było w niej wystarczająco dużo ziaren

przejawy prawa wielkich liczb z dokładnością zaspokajającą potrzebę. Mamy prawo pobrać do próbki odpowiednie wskaźniki jako wskaźniki zanieczyszczenia, wilgotności i średniej masy ziarna z całej partii przychodzącego ziarna.

Dalsze wysiłki naukowców mające na celu pogłębienie treści prawa wielkich liczb miały na celu uzyskanie jak najbardziej ogólnych warunków stosowania tego prawa do ciągu zmiennych losowych. Od dłuższego czasu nie ma zasadniczych sukcesów w tym kierunku. Po P. L. Czebyszewie i A. A. Markowie dopiero w 1926 r. radzieckiemu akademikowi A. N. Kołmogorowi udało się uzyskać warunki konieczne i wystarczające, aby prawo wielkich liczb miało zastosowanie do ciągu niezależnych zmiennych losowych. W 1928 r. radziecki naukowiec A. Ya. Khinchin wykazał, że warunkiem wystarczającym zastosowania prawa wielkich liczb do ciągu niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie jest istnienie ich oczekiwań matematycznych.

W praktyce niezwykle ważne jest pełne wyjaśnienie kwestii stosowania prawa wielkich liczb do zależnych zmiennych losowych, ponieważ zjawiska w przyrodzie i społeczeństwie są od siebie zależne i wzajemnie się determinują. Wiele pracy poświęcono wyjaśnieniu ograniczeń, które należy nałożyć

na zależnych zmiennych losowych, aby można było do nich zastosować prawo wielkich liczb, a najważniejsze z nich należą do wybitnego rosyjskiego naukowca A. A. Markowa oraz wybitnych naukowców radzieckich S. N. Bernsteina i A. Ya Chinchina.

Głównym efektem tych prac jest to, że prawo wielkich liczb można zastosować do zależnych zmiennych losowych tylko wtedy, gdy istnieje silna zależność pomiędzy zmiennymi losowymi o liczbach bliskich, a pomiędzy zmiennymi losowymi o liczbach odległych zależność jest wystarczająco słaba. Przykładami zmiennych losowych tego typu są liczbowe charakterystyki klimatu. Na pogodę każdego dnia zauważalnie wpływa pogoda z dni poprzednich, a wpływ ten zauważalnie słabnie w miarę oddalania się od siebie. W konsekwencji długoterminowa średnia temperatura, ciśnienie i inne cechy klimatu danego obszaru, zgodnie z prawem wielkich liczb, powinny być praktycznie zbliżone do ich matematycznych oczekiwań. Te ostatnie stanowią obiektywną charakterystykę klimatu obszaru.

Aby eksperymentalnie przetestować prawo wielkich liczb, przeprowadzono następujące eksperymenty w różnym czasie.

1. Doświadczenie Buffona. Moneta została rzucona 4040 razy. Herb pojawił się 2048 razy. Częstotliwość jego występowania okazała się równa 0,50694 =

2. Doświadczenie osoba. Monetą rzuca się 12 000 i 24 000 razy. Częstotliwość utraty herbu w pierwszym przypadku wynosiła 0,5016, w drugim – 0,5005.

H. Doświadczenie Vestergaard. Z urny, w której znajdowała się równa liczba kul białych i czarnych, po 10 000 losowań otrzymano 5011 kul białych i 4989 czarnych (przy czym następną wyjętą kulę wrzucano z powrotem do urny). Częstotliwość białych kulek wynosiła 0,50110 = (), a częstość czarnych kulek wynosiła 0,49890.

4. Doświadczenie V.I. Romanowski. Rzucono czterema monetami 21 160 razy. Częstotliwości i częstotliwości różnych kombinacji herbów i znaków skrótu zostały rozdzielone w następujący sposób:

Wyniki eksperymentalnych testów prawa wielkich liczb przekonują nas, że częstości eksperymentalne są bardzo bliskie prawdopodobieństwu.

CENTRALNE TWIERDZENIE OGRANICZENIA

Nie jest trudno udowodnić, że suma dowolnej skończonej liczby niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie normalnym również ma rozkład normalny.

Jeżeli niezależne zmienne losowe nie mają rozkładu normalnego, wówczas można na nie nałożyć bardzo luźne ograniczenia, a ich suma nadal będzie miała rozkład normalny.

Problem ten został postawiony i rozwiązany głównie przez rosyjskich naukowców P. L. Czebyszewa i jego uczniów A. A. Markowa i A. M. Lapunowa.

Twierdzenie (Łapunow).

Jeśli niezależne zmienne losowe mają skończone oczekiwania matematyczne i skończone wariancje , ich liczba jest dość duża i rośnie bez ograniczeń

,

gdzie są absolutne momenty centralne trzeciego rzędu, to ich suma ma rozkład z wystarczającym stopniem dokładności

(Właściwie przedstawiamy nie twierdzenie Lapunowa, ale jeden z jego następstw, ponieważ wniosek ten jest w zupełności wystarczający do zastosowań praktycznych. Dlatego warunek, zwany warunkiem Lapunowa, jest wymogiem silniejszym, niż jest to konieczne do udowodnienia samego twierdzenia Lapunowa. )

Znaczenie warunku jest takie, że wpływ każdego składnika (zmiennej losowej) jest niewielki w porównaniu z całkowitym efektem ich wszystkich. Wiele zjawisk losowych zachodzących w przyrodzie i życiu społecznym przebiega właśnie według tego schematu. W związku z tym twierdzenie Lapunowa ma wyjątkowo duże znaczenie, a prawo rozkładu normalnego jest jednym z podstawowych praw teorii prawdopodobieństwa.

Niech na przykład zostanie wyprodukowany pomiar jakiegoś rozmiaru. Różne odchylenia obserwowanych wartości od ich wartości prawdziwej (oczekiwania matematycznego) uzyskuje się w wyniku wpływu bardzo dużej liczby czynników, z których każdy generuje niewielki błąd, oraz . Wówczas całkowity błąd pomiaru jest zmienną losową, którą zgodnie z twierdzeniem Lapunowa należy rozłożyć zgodnie z prawem normalnym.

Na strzelanie z pistoletu pod wpływem bardzo dużej liczby przyczyn losowych pociski rozrzucane są po określonym obszarze. Losowe oddziaływania na trajektorię pocisku można uznać za niezależne. Każda przyczyna powoduje jedynie niewielką zmianę trajektorii w porównaniu do całkowitej zmiany pod wpływem wszystkich przyczyn. Należy zatem spodziewać się, że odchylenie miejsca wybuchu pocisku od celu będzie zmienną losową o rozkładzie normalnym.

Zgodnie z twierdzeniem Lapunowa możemy spodziewać się, że np. wzrost dorosłego mężczyzny jest zmienną losową o rozkładzie normalnym. Hipoteza ta, podobnie jak te rozważane w dwóch poprzednich przykładach, dobrze zgadza się z obserwacjami. Aby to potwierdzić, przedstawiamy rozkład według wzrostu 1000 dorosłych pracowników płci męskiej, odpowiadającej im teoretycznej liczbie mężczyzn, czyli liczbie mężczyzn, którzy powinni. mają wysokość tych grup, w oparciu o założenie rozkładu wzrostu mężczyzn zgodnie z prawem normalnym.

Trudno byłoby oczekiwać dokładniejszej zgodności danych eksperymentalnych z danymi teoretycznymi.

Na podstawie twierdzenia Lapunowa można łatwo udowodnić tezę, która będzie w przyszłości konieczna do uzasadnienia metody doboru próby.

Oferta.

Suma wystarczająco dużej liczby zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie, mających absolutne momenty centralne trzeciego rzędu, rozkłada się zgodnie z prawem normalnym.

Twierdzenia graniczne teorii prawdopodobieństwa, twierdzenie Moivre'a-Laplace'a wyjaśniają naturę stabilności częstotliwości występowania zdarzenia. Charakter ten polega na tym, że graniczny rozkład liczby wystąpień zdarzenia przy nieograniczonym wzroście liczby prób (jeżeli prawdopodobieństwo zdarzenia jest takie samo we wszystkich próbach) jest rozkładem normalnym.

Układ zmiennych losowych.

Rozważane powyżej zmienne losowe były jednowymiarowe, tj. zostały określone przez jedną liczbę, jednak istnieją również zmienne losowe, które są określone przez dwa, trzy itd. liczby. Takie zmienne losowe nazywane są dwuwymiarowymi, trójwymiarowymi itp.

W zależności od rodzaju zmiennych losowych wchodzących w skład systemu, systemy mogą być dyskretne, ciągłe lub mieszane, jeżeli w systemie występują różne typy zmiennych losowych.

Przyjrzyjmy się bliżej układom dwóch zmiennych losowych.

Definicja. Prawo dystrybucji układ zmiennych losowych to relacja ustanawiająca związek między obszarami możliwych wartości układu zmiennych losowych a prawdopodobieństwami wystąpienia układu w tych obszarach.

Przykład. Z urny zawierającej 2 kule białe i trzy czarne wyjmujemy dwie kule. Niech będzie liczbą wylosowanych białych kul, a zmienną losową definiuje się w następujący sposób:

Utwórzmy tablicę rozkładu układu zmiennych losowych:

From jest prawdopodobieństwem, że nie zostaną wylosowane żadne białe kule (co oznacza, że ​​zostaną wylosowane dwie czarne kule), podczas gdy , wtedy

.

Prawdopodobieństwo

.

Prawdopodobieństwo

Prawdopodobieństwo - prawdopodobieństwo, że nie zostaną wylosowane żadne białe kule (i w związku z tym wylosowane zostaną dwie czarne), podczas gdy

Prawdopodobieństwo - prawdopodobieństwo, że wylosowana zostanie jedna kula biała (a zatem jedna czarna), podczas gdy wtedy

Prawdopodobieństwo - prawdopodobieństwo, że wylosowane zostaną dwie kule białe (a zatem nie będzie żadnej czarnej), podczas gdy , wtedy

.

Zatem szereg rozkładów dwuwymiarowej zmiennej losowej ma postać:

Definicja. Funkcja dystrybucyjna układ dwóch zmiennych losowych nazywany jest funkcją dwóch argumentówF( X, y) , równe prawdopodobieństwu wspólnego spełnienia dwóch nierównościX< X, Y< y.

Zwróćmy uwagę na następujące własności funkcji rozkładu układu dwóch zmiennych losowych:

1) ;

2) Funkcja dystrybucji jest funkcją niemalejącą dla każdego argumentu:

3) Prawdą jest, co następuje:

4)

5) Prawdopodobieństwo trafienia w losowy punkt ( X, Y ) w dowolny prostokąt o bokach równoległych do osi współrzędnych, oblicza się ze wzoru:

Gęstość rozkładu układu dwóch zmiennych losowych.

Definicja. Wspólna gęstość dystrybucji prawdopodobieństwa dwuwymiarowej zmiennej losowej ( X, Y ) nazywa się drugą mieszaną pochodną cząstkową funkcji rozkładu.

Jeżeli znana jest gęstość rozkładu, wówczas funkcję rozkładu można wyznaczyć ze wzoru:

Dwuwymiarowa gęstość rozkładu jest nieujemna, a całka podwójna z nieskończonymi granicami dwuwymiarowej gęstości jest równa jeden.

Ze znanej gęstości rozkładu łącznego można wyznaczyć gęstość rozkładu każdego ze składników dwuwymiarowej zmiennej losowej.

; ;

Warunkowe prawa dystrybucji.

Jak pokazano powyżej, znając prawo rozkładu łącznego, można łatwo znaleźć prawa rozkładu każdej zmiennej losowej zawartej w systemie.

Jednak w praktyce często spotyka się problem odwrotny – korzystając ze znanych praw rozkładu zmiennych losowych, znajdź ich wspólne prawo rozkładu.

W ogólnym przypadku problem ten jest nierozwiązywalny, ponieważ prawo rozkładu zmiennej losowej nie mówi nic o związku tej zmiennej z innymi zmiennymi losowymi.

Ponadto, jeśli zmienne losowe są od siebie zależne, to prawa rozkładu nie można wyrazić za pomocą praw rozkładu składników, ponieważ musi ustanowić połączenia między komponentami.

Wszystko to prowadzi do konieczności rozważenia praw dystrybucji warunkowej.

Definicja. Nazywa się rozkładem jednej zmiennej losowej zawartej w systemie, stwierdzonym pod warunkiem, że inna zmienna losowa przyjęła określoną wartość warunkowe prawo dystrybucji.

Prawo rozkładu warunkowego można określić zarówno za pomocą funkcji rozkładu, jak i gęstości rozkładu.

Warunkową gęstość rozkładu oblicza się za pomocą wzorów:

Warunkowa gęstość rozkładu ma wszystkie właściwości gęstości rozkładu jednej zmiennej losowej.

Warunkowe oczekiwanie matematyczne.

Definicja. Warunkowe oczekiwanie matematyczne Dyskretna zmienna losowa Y w X = x (x – pewna możliwa wartość X) jest iloczynem wszystkich możliwych wartości Y na ich prawdopodobieństwach warunkowych.

Dla ciągłych zmiennych losowych:

,

Gdzie F( y/ X) – gęstość warunkowa zmiennej losowej Y w X = x.

Warunkowe oczekiwanie matematyczneM( Y/ X)= F( X) jest funkcją X i nazywa się funkcja regresji X włączona Y.

Przykład.Znajdź warunkowe oczekiwanie matematyczne składnika Y o godz

X = x 1 =1 dla dyskretnej dwuwymiarowej zmiennej losowej podanej w tabeli:

W podobny sposób wyznacza się wariancję warunkową i momenty warunkowe układu zmiennych losowych.

Zależne i niezależne zmienne losowe.

Definicja. Nazywa się zmienne losowe niezależny, jeżeli prawo rozkładu jednej z nich nie zależy od wartości drugiej zmiennej losowej.

Pojęcie zależności zmiennych losowych jest bardzo ważne w teorii prawdopodobieństwa.

Rozkłady warunkowe niezależnych zmiennych losowych są równe ich rozkładom bezwarunkowym.

Określmy warunki konieczne i wystarczające niezależności zmiennych losowych.

Twierdzenie. Y były niezależne, konieczne i wystarczające jest, aby funkcja rozkładu układu ( X, Y) był równy iloczynowi funkcji rozkładu składników.

Podobne twierdzenie można sformułować dla gęstości rozkładu:

Twierdzenie. Aby zmienne losowe X i Y były niezależne, konieczne i wystarczające jest, aby wspólna gęstość dystrybucji systemu ( X, Y) była równa iloczynowi gęstości rozkładu składników.

W praktyce stosowane są następujące wzory:

Dla dyskretnych zmiennych losowych:

Dla ciągłych zmiennych losowych:

Moment korelacji służy do scharakteryzowania zależności pomiędzy zmiennymi losowymi. Jeżeli zmienne losowe są niezależne, to ich moment korelacji jest równy zeru.

Moment korelacji ma wymiar równy iloczynowi wymiarów zmiennych losowych X i Y . Fakt ten jest wadą tej cechy liczbowej, ponieważ Przy różnych jednostkach miary uzyskuje się różne momenty korelacji, co utrudnia porównywanie momentów korelacji różnych zmiennych losowych.

Aby wyeliminować tę wadę, wykorzystuje się inną cechę - współczynnik korelacji.

Definicja. Współczynnik korelacji r xy zmienne losowe X i Y nazywa się stosunkiem momentu korelacji do iloczynu odchyleń standardowych tych wielkości.

Współczynnik korelacji jest wielkością bezwymiarową. Dla niezależnych zmiennych losowych współczynnik korelacji wynosi zero.

Nieruchomość: Wartość bezwzględna momentu korelacji dwóch zmiennych losowych X i Y nie przekracza średniej geometrycznej ich wariancji.

Nieruchomość: Wartość bezwzględna współczynnika korelacji nie przekracza jedności.

Nazywa się zmienne losowe współzależny, jeżeli ich moment korelacji jest różny od zera, oraz nieskorelowane, jeśli ich moment korelacji wynosi zero.

Jeśli zmienne losowe są niezależne, to są nieskorelowane, ale z braku korelacji nie można wnioskować, że są niezależne.

Jeżeli dwie wielkości są zależne, to mogą być albo skorelowane, albo nieskorelowane.

Często z danej gęstości rozkładu układu zmiennych losowych można wyznaczyć zależność lub niezależność tych zmiennych.

Wraz ze współczynnikiem korelacji stopień zależności zmiennych losowych można scharakteryzować inną wielkością, tzw współczynnik kowariancji. Współczynnik kowariancji podaje wzór:

Przykład. Podana jest gęstość rozkładu układu zmiennych losowych X iniezależny. Oczywiście będą one również nieskorelowane.

Regresja liniowa.

Rozważmy dwuwymiarową zmienną losową ( X, Y), gdzie X i Y są zależnymi zmiennymi losowymi.

Przedstawmy w przybliżeniu jedną zmienną losową jako funkcję innej. Dokładne dopasowanie nie jest możliwe. Założymy, że funkcja ta jest liniowa.

Aby wyznaczyć tę funkcję, pozostaje tylko znaleźć wartości stałe A I B.

Definicja. FunkcjonowaćG( X) zwany najlepsze przybliżenie zmienna losowa Y w sensie metody najmniejszych kwadratów, jeśli jest to oczekiwanie matematyczne

Przyjmuje najmniejszą możliwą wartość. Również funkcjonowaćG( X) zwany średnia regresja kwadratowa Y do X.

Twierdzenie. Liniowa regresja średniokwadratowa Y na X oblicza się ze wzoru:

w tej formule mx= M( X zmienna losowa Ywzględem zmiennej losowej X. Wartość ta charakteryzuje wielkość błędu generowanego przy zamianie zmiennej losowejYfunkcja liniowaG( X) = AX+B.

Jasne jest, że jeśli R= ± 1, wówczas wariancja resztowa wynosi zero, a zatem błąd wynosi zero i zmienna losowaYdokładnie reprezentowana przez funkcję liniową zmiennej losowej X.

Średnia kwadratowa linia regresji X NAYokreśla się podobnie według wzoru: X i Ymają względem siebie funkcje regresji liniowej, to mówią, że są to ilości X IYpołączony liniowa zależność korelacyjna.

Twierdzenie. Jeśli dwuwymiarowa zmienna losowa ( X, Y) ma rozkład normalny, następnie X i Y są połączone korelacją liniową.

NP. Nikiforowa