Najmniejsza wartość jest pochodna. Funkcja pochodna

Funkcja pochodna jest jednym z trudnych tematów program szkolny. Nie każdy absolwent odpowie na pytanie, co pochodzi.

Ten artykuł jest po prostu wyraźnie mówić o tym, co jest pochodna i na to, czego potrzebuje. Nie będziemy starać się dążyć do matematycznej surowości prezentacji. Najważniejszą rzeczą jest zrozumienie znaczenia.

Pamiętamy definicję:

Pochodna jest prędkością zmiany funkcji.

Na zdjęciu - grafika trzech funkcji. Jak myślisz, co rośnie szybciej?

Odpowiedź jest oczywista - trzecia. Ona ma najwięcej wysoka prędkość Zmiany, czyli największa pochodna.

Oto kolejny przykład.

Kostya, Grisha i Matvey jednocześnie dostali pracę. Zobaczmy, jak zmienił się ich dochody w ciągu roku:

W związku z tym można zobaczyć wszystko, czego nie jest widoczne? Dochód kości przez pół roku wzrósł więcej niż dwa razy. A Grisha Przychody również uprawiają, ale trochę trochę. A dochód Mateusza zmniejszył się do zera. Warunki rozpoczęcia są takie same, a szybkość zmiany funkcji pochodna- Różne. Jeśli chodzi o Mateusz - jego dochód jest negatywnie pochodzący.

Intuicyjnie łatwo oceniamy szybkość zmiany funkcji. Ale jak to robisz?

W rzeczywistości patrzymy, jak fajnie wykres funkcji wzrasta (lub w dół). Innymi słowy, jak szybko zmienia się o zmianę X. Oczywiście, ta sama funkcja w różnych punktach może mieć różne Pochodna polega na tym, że może być szybszy lub wolniejszy.

Wskazana jest funkcja pochodna.

Pokaż, jak znaleźć za pomocą wykresu.

Wykres jest wyciągany trochę funkcji. Weź punkt z odcięciem na nim. Rysujemy w tym punkcie styczna do funkcji graficznej. Chcemy ocenić, jak schładzamy wykres funkcji. Wygodna wartość dla tego - styczny kąt przechyłu..

Pochodna funkcji w punkcie jest równa stycznym kącie przechyłu, przeprowadzony na wykresie funkcji w tym momencie.

Uwaga - jako kąt styku tagowania, podejmujemy kąt między stycznym a pozytywnym kierunkiem osi.

Czasami uczniowie pytają, co styczna do grafiki funkcyjnej. Jest to linia prosta, która ma jedyny w tej dziedzinie. całkowity punkt Z harmonogramem i jak pokazano na naszej figurze. Wygląda jak styczny do obwodu.

My znajdziemy. Pamiętamy, że styczny o ostrym kącie trójkąt prostokątny Jest równa postawie przeciwnego katechu na sąsiedni. Z trójkąta:

Znaleźliśmy pochodną z pomocą wykresu, nawet nie znając funkcji formuły. Takie zadania często występują w egzaminie w matematyce przy numerze.

Istnieje kolejny ważny stosunek. Przypomnijmy, że bezpośrednie jest podawane przez równanie

Wartość w tym równaniu jest nazywana współczynnik kątowy Direct.. Jest równy styczniu kąta skłonności bezpośrednio do osi.

.

Dostajemy to

Pamiętamy tę formułę. Ona wyraża znaczenie geometryczne. pochodna.

Pochodna funkcji w punkcie jest równa współczynniku kątowym stycznym, przeprowadzonym na wykresie funkcji w tym momencie.

Innymi słowy, pochodna jest równa kącie nachylenia stycznego.

Powiedzieliśmy już, że ta sama funkcja w różnych punktach może mieć inną pochodną. Zobaczmy, jak pochodna jest związana z zachowaniem funkcji.

Narysuj wykres niektórych funkcji. Niech ta funkcja zwiększa się na niektórych sekcjach, na innych - zmniejszają się, z różnymi prędkościami. A nawet jeśli ta funkcja będzie punkt maksymalny i minimum.

W punkcie zwiększa się funkcja. Styczna na wykresie, przeprowadzona w punkcie, tworzy ostry kąt z kierunkiem osi pozytywnej. Tak więc w miejscu pochodna jest pozytywna.

W punkcie nasza funkcja się zmniejsza. Tanner w tym momencie stanowi głupi kąt z kierunkiem osi pozytywnej. Od styku bliwy kąt Ujemny, w punkcie pochodna jest negatywna.

To właśnie się okazuje:

Jeśli funkcja wzrasta, jego pochodna jest dodatnia.

W przypadku zmniejszenia jego pochodna jest ujemna.

A co będzie w punktach maksimum i minimum? Widzimy, że w punktach (maksymalny punkt) i (minimalny punkt) styczna pozioma. W związku z tym styczny styczny kąt przechyłu w tych punktach wynosi zero, a pochodna jest również zero.

Punkt jest maksymalnym punktem. W tym momencie funkcja rosnąca jest zastępowana przez malejącą. W konsekwencji znak zmian pochodnych w punkcie z "plus" do "minus".

W punkcie - punkt minimum - pochodna jest również zero, ale jego znak zmienia się z "minus" do "plus".

Wniosek: Przy pomocy pochodnej możesz dowiedzieć się o zachowaniu funkcji, która nas interesuje.

Jeśli pochodna jest dodatnia, funkcja wzrasta.

Jeśli pochodna jest ujemna, funkcja zmniejsza się.

W momencie maksimum pochodna ma zero i zmienia znak z "plus" do "minus".

W momencie minimalnego pochodna jest również zerowa i zmienia znak z "minus" do "plus".

Piszemy te wnioski w formie tabeli:

	wzrasta	maksymalny punkt	zmniejszać	punkt minimum.	wzrasta
+	0	-	0	+

Wykonujemy dwa małe wyjaśnienia. Jeden z nich będzie potrzebował podczas rozwiązywania zadań użycia. Inne - W pierwszym roku, z poważniejszymi badaniem funkcji i pochodnych.

Sprawa jest możliwa, gdy pochodna funkcji w pewnym momencie wynosi zero, ale w tym momencie nie ma maksimum, żadna minimalna funkcja w tym momencie. To jest tzw :

W punkcie styczna do grafiki poziomej i pochodna wynosi zero. Jednak funkcja funkcji wzrosła - a po tym, jak punkt nadal wzrośnie. Znak pochodnej nie zmienia się - był pozytywny i pozostał.

Zdarza się również, że w momencie maksimum lub minimum pochodna nie istnieje. Na wykresie odpowiada ostrym złamaniu, gdy w tym momencie styczna jest niemożliwa.

I jak znaleźć pochodną, \u200b\u200bjeśli funkcja nie jest określona przez harmonogram, ale według wzoru? W tym przypadku zastosowany

Ta sekcja zawiera zadania EGE W matematyce na tematy związane z badaniem funkcji i ich pochodnych.

W opcje demonstracyjne. EGE 2020. lata mogą spotkać się na liczbie 14 dla poziom podstawowy i na numerze 7 Na poziom profilu.

Spójrz uważnie na te trzy grafiki funkcji.
Czy zauważyłeś, że funkcje te w sensie "krewni"?
Na przykład, w tych obszarach, w których wykres z zielonej funkcji znajduje się powyżej zera, zwiększa się czerwona funkcja. W tych miejscach, w których wykres z zielonej funkcji znajduje się poniżej zera, zmniejsza się czerwona funkcja.
Podobne komentarze można wykonać w odniesieniu do czerwonych i niebieskich wykresów.
Możesz także zauważyć, że zera z zielonej funkcji (punkty x. \u003d -1 I. x. \u003d 3) Zbiegają się z punktami ekstremów czerwonych wykresów: kiedy x. \u003d -1 na czerwonym wykresie widzimy lokalną maksimum, z h. \u003d 3 na czerwonym harmonogramie jest minimum lokalne.
Łatwo jest zobaczyć, że lokalne maksima i minima niebieskiego wykresu są osiągane w tych samych punktach, w których czerwony harmonogram przechodzi przez wartość. y. = 0.
Możesz wziąć jeszcze kilka wniosków na temat specyfiki zachowania tych wykresów, ponieważ są one naprawdę związane ze sobą. Spójrz na formuły funkcji znajdujące się pod każdym względem wykresów, a według obliczeń upewnij się, że każdy poprzednia jest wyprowadzona do późniejszego i odpowiednio, każdy następny jest jednym z wstępnie wykształconych poprzednich funkcji.

φ 1 (x. ) = φ" 2 (x. ) φ 2 (x. ) = Φ 1 (x. )
φ 2 (x. ) = φ" 3 (x. ) φ 3 (x. ) = Φ 2 (x. )

Przypomnijmy, że wiemy o pochodnej:

Funkcja pochodna y. = fA.(x.) W punkcie h. wyraża szybkość zmiany funkcji w punkcie x..

Pochodna zmysł fizyczny Jest to, że pochodna wyraża szybkość postępowania z procesu opisanego przez zależność Y \u003d F (X).

Geometryczne znaczenie pochodnej Jest to, że jego wartość w rozpatrywanym punkcie jest równa współczynniku kątowym stycznego, przeprowadzonego na wykresie funkcji różniczkowej w tym momencie.

A teraz niech czerwona grafika na rysunku nie jest. Przypuśćmy, że oba formuły są nam nieznane.

Czy mogę zapytać o coś związanego z zachowaniem funkcji φ 2 (x. ) Jeśli wiadomo, że jest to funkcja pochodna φ 3 (x. ) i prymitywna funkcja φ 1 (x. )?
Mogą. I możesz podać dokładną odpowiedź na wiele pytań, ponieważ wiemy, że pochodna jest charakterystyczną dla funkcji zmiany zmiany, więc możemy ocenić niektóre zachowania jednej z tych funkcji, patrząc na harmonogram drugiego.

Przed odpowiedzią na następujące pytania przewiń stronę, aby ukryć się górny wzór zawierający czerwony harmonogram. Po podaniu odpowiedzi, zwróć go, aby sprawdzić wynik. I tylko po tym, zobacz moją decyzję.

Uwaga: Aby zwiększyć efekt uczenia się odpowiedzi i rozwiązania Ładowanie oddzielnie dla każdego zadania seryjnie naciśnij przyciski na żółtym tle. (Gdy istnieje wiele zadań, przyciski mogą pojawić się z opóźnieniem. Jeśli przyciski nie są widoczne w ogóle, sprawdź, czy jest dozwolony w przeglądarce JavaScript.)

1) Używanie wykresu pochodnej φ" 2 (x. ) (W naszym przypadku jest to zielony harmonogram), zdefiniuj, która z 2 wartości funkcji więcej φ 2 (-3) lub φ 2 (−2)?

Zgodnie z wykresem pochodnej można zauważyć, że jest to ściśle dodatnie w sekcji [-3; -2], oznacza to, że funkcja w tym obszarze wzrasta tylko, więc wartość funkcji w lewym końcu x. \u003d -3 mniej niż jego wartość po prawym końcu x. = −2.

Odpowiedź: φ 2 (−3) φ 2 (−2)

2) Korzystanie z podstawowego wykresu Φ 2 (x. ) (W naszym przypadku jest to niebieski harmonogram), określ, który z 2 wartości funkcji Więcej φ 2 (-1) lub φ 2 (4)?

Według grafiki jest jasne, że punkt x. \u003d -1 znajduje się w obszarze zwiększenia, dlatego wartość odpowiedniej pochodnej jest dodatnia. Punkt x. \u003d 4 znajduje się na miejscu zmniejszenia i wartość odpowiedniej pochodnej negatywnie. Ponieważ wartość dodatnia jest bardziej negatywna, zawieramy - wartość nieznanej funkcji, która jest tylko pochodną, \u200b\u200bw pkt 4 mniej niż w pkt-1.

Odpowiedź: φ 2 (−1) > φ 2 (4)

W brakującym grafice może być wiele takich pytań, co powoduje wiele różnych zadań z krótką odpowiedzią, zbudowaną zgodnie z tym samym schematem. Spróbuj rozwiązać niektóre z nich.

Zadania do określania charakterystyki pochodnej na grafice funkcji.

Obrazek 1.

Rysunek 2.

Zadanie 1.

y. = fA. (x. ), określone w przedziale (-10,5; 19). Określ liczbę liczb całkowitych, w których funkcja pochodna jest dodatnia.

Funkcja pochodna jest dodatnia w tych obszarach, w których zwiększa się funkcja. Rysunek pokazuje, że odstępy te (-10.5; -7,6), (-1; 8.2) oraz (15.7, 19). Wymieniamy wszystkie punkty w tych odstępach czasu: "-10", "- 9", "-8", "0", "1", "2", "3", "4", "5", "6 "," 7 "," 8 "," 16 "," 17 "," 18 ". Łącznie 15 punktów.

Odpowiedź: 15

Komentarze.
1. Gdy wykresy na wykresach wymagają nazwy "punktów", co do zasady, mamy na myśli tylko wartości argumentu x. które są odcięcia odpowiednich punktów znajdujących się na wykresie. Organizmami tych punktów są wartością funkcji, są zależne i można je łatwo obliczyć, jeśli to konieczne.
2. Podczas notowania punktów nie uwzględniliśmy krawędzi interwałów, ponieważ funkcja w tych punktach nie zwiększa się i nie zmniejsza, ale "rozwija się". Pochodna w takich punktach nie jest pozytywna, a nie ujemna, to zero, więc nazywają się punktami stacjonarnymi. Ponadto nie uwzględniamy granic obszaru definicji tutaj, ponieważ stan jest taki, że jest to interwał.

Zadanie 2.

Rysunek 1 przedstawia wykres wykresu y. = fA. (x. ), określone w przedziale (-10,5; 19). Określić liczbę liczb całkowitych, w których funkcja pochodna f " (x. ) Negatywny.

Funkcja pochodna jest negatywna w tych obszarach, w których funkcja maleje. Figura pokazuje, że odstępy te (-7.6; -1) i (8.2; \u200b\u200b15,7). Całe punkty w tych odstępach czasu: "-7", "- 6", "-5", "- 4", "-3", "- 2", "9", "10", "11", "12 "," 13 "," 14 "," 15 ". Łącznie 13 punktów.

Odpowiedź: 13

Zobacz komentarze do poprzedniego zadania.

Aby rozwiązać następujące zadania, musisz przypomnieć inną definicję.

Maksymalne i minimalne funkcje są połączone ze wspólną nazwą - punkty ekstremum. .

W tych punktach funkcja pochodna jest zerowa lub nie istnieje ( wymagany stan ekstremum.).
Jednak warunek konieczny jest znakiem, ale nie gwarancją istnienia funkcji ekstremum. Wystarczający warunek ekstremum Jest to zmiana znaku pochodnej: Jeśli pochodna w punkcie zmienia znak z "+" do "-", to jest to punkt maksymalnej funkcji; Jeśli pochodna w punkcie zmienia znak z "-" na "+", jest to punkt minimalnej funkcji; Jeśli w punkcie funkcja pochodna wynosi zero lub nie istnieje, ale znak pochodnej podczas przejścia przez ten punkt nie zmienia się na odwrót, a następnie określony punkt nie jest punktem funkcji Extremma. Może to być punkt gięcia, punkt przerwy lub punkt przerwy funkcji funkcji.

Zadanie 3.

Rysunek 1 przedstawia wykres wykresu y. = fA. (x. ), określone w przedziale (-10,5; 19). Znajdź liczbę punktów, w których funkcja styczna do funkcji jest równoległa do bezpośredniego y. \u003d 6 lub zbieżuje się z nim.

Przypomnijmy, że równanie bezpośrednie ma widok y. = kX. + b. gdzie k. - współczynnik przechyłu tego bezpośredniego do osi WÓŁ.. W naszym przypadku k. \u003d 0, tj. prosto y. \u003d 6 Nie przechylona, \u200b\u200bale równoległa do osi WÓŁ.. Oznacza to, że pożądane styczne powinny być również równoległe do osi WÓŁ. I musi również mieć czynnik nachylenie 0. Ta właściwość stykalnych posiada w punktach ekstremów funkcji. Dlatego, aby odpowiedzieć na pytanie, musisz liczyć wszystkie punkty ekstremów na harmonogramie. Tutaj są 4 - dwa punkty maksymalnego i dwóch punktów minimalnych.

Odpowiedź: 4

Zadanie 4.

Funkcje y. = fA. (x. ), określony w przedziale (-11; 23). Znajdź kwotę funkcji punktów Extremum w segmencie.

W określonym segmencie widzimy 2 punkty ekstremum. Osiągnięto maksymalną funkcję w punkcie x. 1 \u003d 4, minimum w punkcie x. 2 = 8.
x. 1 + x. 2 = 4 + 8 = 12.

Odpowiedź: 12

Zadanie 5.

Rysunek 1 przedstawia wykres wykresu y. = fA. (x. ), określone w przedziale (-10,5; 19). Znajdź liczbę punktów, w których funkcja pochodna f " (x. ) Równa 0.

Funkcja pochodna wynosi zero w punktach ekstremum, które są widoczne na wykresie 4:
2 punkty minimum maksymalnie i 2 punktów.

Odpowiedź: 4

Zadania do określania właściwości funkcji na wykresie jego pochodnej.

Obrazek 1.

Rysunek 2.

Zadanie 6.

Rysunek 2 przedstawia wykres f " (x. ) - funkcja pochodna fA. (x. ), określony w przedziale (-11; 23). W jakim punkcie jest funkcja segmentu [-6; 2] fA. (x. ) Wykonuje największą wartość.

W określonej sekcji pochodna nie była pozytywna, dlatego funkcja nie wzrosła. Odrzucił lub przechodzi przez punkty stacjonarne. W ten sposób, największa wartość Funkcja osiągnięta na lewym segmencie segmentu: x. = −6.

Odpowiedź: −6

Komentarz: Zgodnie z wykresem pochodna pokazuje, że w segmencie [-6; 2] Jest zero trzy razy: w punktach x. = −6, x. = −2, x. \u003d 2. Ale w punkcie x. \u003d -2 nie zmieniła znaku, w tym miejscu nie może być funkcją Extremum. Najprawdopodobniej nastąpił punkt zapadania wykresu oryginalnej funkcji.

Zadanie 7.

Rysunek 2 przedstawia wykres f " (x. ) - funkcja pochodna fA. (x. ), określony w przedziale (-11; 23). W jakim punkcie segmentu funkcja ma najmniejszą wartość.

W segmencie pochodna jest ściśle pozytywna, dlatego funkcja w tym obszarze właśnie wzrosła. W ten sposób najmniejsza funkcja osiągnęła na lewej granicy segmentu: x. = 3.

Odpowiedź: 3

Zadanie 8.

Rysunek 2 przedstawia wykres f " (x. ) - funkcja pochodna fA. (x. ), określony w przedziale (-11; 23). Znajdź liczbę funkcji maksymalnej funkcji fA. (x. ), należące do segmentu [-5; 10].

Według taki warunek wstępny Maksymalna funkcja ekstremum może W punktach, gdzie jego pochodna wynosi zero. W danym segmencie to kropki: x. = −2, x. = 2, x. = 6, x. \u003d 10. Ale zgodnie z wystarczającym warunkiem, on na pewnotylko w tych z nich, gdzie znak zmian pochodnych z "+" do "-". Na wykresie pochodnej widzimy, że tylko punkt jest z wymienionych punktów x. = 6.

Odpowiedź: 1

Zadanie 9.

Rysunek 2 przedstawia wykres f " (x. ) - funkcja pochodna fA. (x. ), określony w przedziale (-11; 23). Znajdź liczbę funkcji punktów Extremum fA. (x. ) należące do segmentu.

Ekstremalne funkcje mogą być w tych punktach, w których jego pochodna wynosi 0. W danym segmencie wykresu, widzimy 5 takich punktów: x. = 2, x. = 6, x. = 10, x. = 14, x. \u003d 18. Ale w punkcie x. \u003d 14 pochodna nie zmieniła znaku, dlatego musi być wyłączona ze względów. Tak więc 4 punkty pozostają.

Odpowiedź: 4

Zadanie 10.

Rysunek 1 przedstawia wykres f " (x. ) - funkcja pochodna fA. (x. ), określone w przedziale (-10,5; 19). Znajdź stawki zwiększania funkcji fA. (x. ). W odpowiedzi określ długość największego z nich.

Luki o rosnącej funkcji pokrywa się z luki pochodnej pozytywnej. Na wykresie widzimy je trzy - (-9; -7), (4; 12), (18; 19). Najdłuższy z nich jest drugi. Jego długość l. = 12 − 4 = 8.

Odpowiedź: 8

Zadanie 11.

Rysunek 2 przedstawia wykres f " (x. ) - funkcja pochodna fA. (x. ), określony w przedziale (-11; 23). Znajdź liczbę punktów, w których funkcja styczna fA. (x. ) Równoległe Direct. y. = −2x. − 11 lub zbiega się z nim.

Współczynnik kątowy (jest stycznym kąt nachylenia) określonego bezpośredniego K \u003d -2. Jesteśmy zainteresowani równolegle lub zbieżnymi styczami, tj. Prosto z tym samym stokiem. Na podstawie znaczenia geometrycznego współczynnika pochodnego - kątowego współczynnika stycznego w rozpatrywanym punkcie wykresu funkcji, tłumaczymy punkty, w których pochodna jest równa -2. Figura 2 takich punktów 9. Wygodne jest liczenie na skrzyżowaniach wykresu i linii siatki współrzędnej przechodzącej przez wartość -2 na osi Oy..

Odpowiedź: 9

Jak widać, jeden i ten sam harmonogram, możesz zadać szeroką gamę pytań dotyczących zachowania funkcji i jej pochodnej. Również jedno pytanie można przypisać wykresom różnych funkcji. Bądź ostrożny podczas rozwiązywania tego zadania na egzaminie, a wydaje się dla ciebie bardzo łatwe. Inne typy zadań tego zadania - na geometrycznym znaczeniu prymitywnego - będą rozpatrywane w innej sekcji.

Sergey Nikiforv.

Jeśli pochodna funkcji jest regulowana w przedziale, a sama funkcja jest ciągła na jej granicach, punkty graniczne są podłączone zarówno do rosnących luek, jak i do szczelin, które w pełni odpowiada definicji rosnących i malejących funkcji.

FRITU YAMAEV. 26.10.2016 18:50

Cześć. Jak (na jakiej podstawie) można argumentować, że w punkcie, w którym pochodna ma zero, funkcja wzrasta. Dać argumenty. W przeciwnym razie to tylko ktoś kaprys. Jaki rodzaj twierdzenia? Jak również dowód. Dziękuję Ci.

Wsparcie

Wartość pochodnej w punkcie nie jest bezpośrednio przypisywana zwiększeniu funkcji w przedziale. Rozważmy na przykład funkcje - wszystkie zwiększa się w segmencie

Posiadany Pisarev. 02.11.2016 22:21

Jeśli funkcja wzrasta w przedziale (A; B) i jest zdefiniowany i ciągły w punktach A i B, zwiększa się w segmencie. Te. Punkt x \u003d 2 jest zawarty w tym szczelinie.

Chociaż, z reguły, wzrastające i zmniejszenie są uważane za nie w segmencie, ale w przedziale.

Ale w punkcie X \u003d 2 funkcja ma lokalne minimum. I jak wytłumaczyć dzieciom, że gdy szukają punktów rosywania (malejąco), wtedy punkty lokalnego ekstremum nie uważają, aw lukach rosnących (malejących).

Biorąc pod uwagę, że pierwszy część EGE dla " grupa środkowa przedszkole"Więc prawdopodobnie takie niuanse ługują się.

Oddzielnie dziękuję bardzo za "solidną EGE" wszystkim pracownikom - doskonały dodatek.

Sergey Nikiforv.

Proste wyjaśnienie można uzyskać, jeśli odpychasz z definicji rosnącej / zmniejszającej się funkcji. Pozwól mi przypomnieć, że brzmi to tak: Funkcja nazywana jest zwiększając / zmniejszając w przedziale, jeśli większy argument funkcji odpowiada większej wartości funkcji. Taka definicja nie stosuje koncepcji pochodnej, więc nie ma żadnych pytań dotyczących punktów, w których pochodna nie pojawia się.

Irina Ishmakova. 20.11.2017 11:46

Dobry dzień. Tutaj w komentarzach widzę przekonanie, że granice muszą obejmować. Przypuśćmy, że się z tym zgadzę. Ale proszę spójrz, twoja decyzja o zadaniu 7089., gdy określając lukę zwiększania granicy, nie włączaj się. I wpływa na odpowiedź. Te. Decyzja o zadaniach 6429 i 7089 sprzeczna się nawzajem. Wyjaśnij tę sytuację.

Alexander Ivanov.

W zadaniach 6429 i 7089 zupełnie różne pytania.

W jednym pro wzrostu rosnących i w innym przedziale z dodatnią pochodną.

Nie ma sprzeczności.

Skrajności należą do szczelin wzrastających i malejących, ale punkty, w których pochodna ma zero, nie są uwzględniane w odstępach czasu, na których pochodna jest pozytywna.

Z. 28.01.2019 19:09

Koledzy, istnieje coraz wskaźnikowa koncepcja

(Na przykład patrz Fietendulz)

i twoje zrozumienie wzrostu w punkcie X \u003d 2 jest przeciwne do klasycznej definicji.

Wzrost i spadek jest procesem i chciałbym przestrzegać tej zasady.

W każdym przedziale, który zawiera punkt x \u003d 2, funkcja nie wzrasta. Dlatego włączenie ten punkt X \u003d 2 proces jest wyjątkowy.

Zwykle, aby uniknąć nieporozumień na temat włączenia końca odstępów, mówią oddzielnie.

Alexander Ivanov.

Funkcja Y \u003d F (X) jest nazywana wzrastającym w pewnym przedziale, jeśli większa wartość argumentu z tej luki odpowiada większej wartości funkcji.

W punkcie X \u003d 2 funkcja jest różniona, a w przedziale (2; 6), pochodna jest dodatnia, oznacza to w przedziale)