Geometryczne znaczenie pojęcia pochodnej. Geometryczne znaczenie pochodnej

Pochodna funkcji f(x) w punkcie x0 jest granicą (jeśli istnieje) stosunku przyrostu funkcji w punkcie x0 do przyrostu argumentu Δx, jeśli przyrost argumentu dąży do zero i jest oznaczone przez f '(x0). Czynność znajdowania pochodnej funkcji nazywa się różniczkowaniem.
Pochodna funkcji ma następującą fizyczne znaczenie: pochodna funkcji w danym punkcie - tempo zmian funkcji w danym punkcie.

Geometryczne znaczenie pochodnej... Pochodna w punkcie x0 jest równa nachyleniu stycznej do wykresu funkcji y = f (x) w tym punkcie.

Fizyczne znaczenie pochodnej. Jeżeli punkt porusza się wzdłuż osi x, a jego współrzędna zmienia się zgodnie z zasadą x (t), to prędkość chwilowa punktu wynosi:

Pojęcie różniczkowe, jego własności. Zasady różnicowania. Przykłady.

Definicja. Główną, liniową częścią przyrostu funkcji jest różniczka funkcji w pewnym punkcie x. Różniczka funkcji y = f(x) jest równa iloczynowi jej pochodnej i przyrostu zmiennej niezależnej x ( argument).

Jest napisane tak:

lub

Lub


Właściwości różnicowe
Różniczka ma podobne własności jak pochodna:





DO podstawowe zasady różnicowania włączać:
1) pobranie stałego czynnika ze znaku pochodnej
2) pochodna sumy, pochodna różnicy
3) pochodna iloczynu funkcji
4) pochodna ilorazu dwóch funkcji (pochodna ułamka)

Przykłady.
Udowodnijmy wzór: Z definicji pochodnej mamy:

Dowolny czynnik można przesunąć poza znak przejścia do granicy (jest to znane z właściwości granicy), dlatego

Na przykład: Znajdź pochodną funkcji
Rozwiązanie: Posłużymy się zasadą wyciągania czynnika ze znaku pochodnej :

Dość często trzeba najpierw uprościć formę funkcji różniczkowanej, aby móc korzystać z tablicy pochodnych i reguł znajdowania pochodnych. Poniższe przykłady wyraźnie to potwierdzają.

Wzory różniczkowe. Zastosowanie różniczkowe w obliczeniach przybliżonych. Przykłady.

Wykorzystanie różniczki w obliczeniach przybliżonych umożliwia wykorzystanie różniczki do przybliżonych obliczeń wartości funkcji.
Przykłady.
Korzystając z różnicy, oblicz w przybliżeniu
Aby obliczyć tę wartość, stosujemy wzór z teorii
Weźmy pod uwagę funkcję a ustalić wartość reprezentować w formie
następnie oblicz

Podstawiając wszystko do formuły, w końcu otrzymujemy
Odpowiedź:

16. Reguła L'Hôpitala dotycząca ujawniania niepewności postaci 0/0 Lub ∞ / ∞. Przykłady.
Granica stosunku dwóch nieskończenie małych lub dwóch nieskończenie dużych wielkości jest równa granicy stosunku ich pochodnych.

1)

17. Zwiększanie i zmniejszanie funkcji. Funkcja ekstremalna. Algorytm badania funkcji dla monotoniczności i ekstremum. Przykłady.

Funkcjonować wzrasta na przedziale, jeśli nierówność zachodzi dla dowolnych dwóch punktów tego przedziału powiązanych relacją. Oznacza to, że większa wartość argumentu odpowiada większej wartości funkcji, a jej wykres przebiega „od dołu do góry”. Funkcja demo rośnie w interwale

Podobnie funkcja maleje na przedziale, jeśli dla dowolnych dwóch punktów tego przedziału, tak że nierówność jest prawdziwa. Oznacza to, że większa wartość argumentu odpowiada mniejszej wartości funkcji, a jej wykres przebiega „od góry do dołu”. Nasze maleje w odstępach czasu maleje w odstępach .

Ekstrema Punkt nazywamy punktem maksymalnym funkcji y = f (x), jeśli nierówność zachodzi dla wszystkich x z jego sąsiedztwa. Wartość funkcji w punkcie maksymalnym nazywa się maksymalna funkcja i oznaczają.
Punkt nazywamy punktem minimalnym funkcji y = f (x), jeśli nierówność zachodzi dla wszystkich x z jego sąsiedztwa. Wartość funkcji w punkcie minimum nazywa się minimalna funkcja i oznaczają.
Sąsiedztwo punktu rozumiane jest jako przedział , gdzie jest wystarczająco małą liczbą dodatnią.
Punkty minimalne i maksymalne nazywane są punktami ekstremalnymi, a wartości funkcji odpowiadającej punktom ekstremalnym są nazywane ekstrema funkcji.

Aby zbadać funkcję w monotonii, użyj następującego schematu:
- Znajdź zakres funkcji;
- Znajdź pochodną funkcji i dziedzinę pochodnej;
- Znajdź zera pochodnej, tj. wartość argumentu, dla którego pochodna wynosi zero;
- Na belkach numerycznych zaznacz część wspólna dziedzina funkcji i dziedzina jej pochodnej, a na niej zera pochodnej;
- Wyznacz znaki pochodnej w każdym z otrzymanych przedziałów;
- Za pomocą znaków pochodnej określ, w jakich odstępach funkcja wzrasta, a w których maleje;
- Zapisz odpowiednie spacje oddzielone średnikami.

Algorytm do badania funkcji ciągłej y = f (x) dla monotoniczności i ekstremów:
1) Znajdź pochodną f ′ (x).
2) Znajdź punkty stacjonarne (f ′ (x) = 0) i krytyczne (f ′ (x) nie istnieje) funkcji y = f (x).
3) Zaznacz punkty stacjonarne i krytyczne na osi liczbowej i wyznacz znaki pochodnej na otrzymanych przedziałach.
4) Wyciągnij wnioski dotyczące monotoniczności funkcji i jej ekstremów.

18. Wypukłość funkcji. Punkty przegięcia. Algorytm do badania funkcji dla wypukłości (wklęsłości) Przykłady.

wypukły w dół na przedziale X, jeśli jego wykres znajduje się nie niżej niż styczna do niego w dowolnym punkcie przedziału X.

Funkcja do zróżnicowania nazywa się wypukły w górę na przedziale X, jeśli jego wykres znajduje się nie wyżej niż styczna do niego w dowolnym punkcie przedziału X.

Punkt formuły nazywa się punkt przegięcia funkcji y = f (x), jeśli w danym punkcie jest styczna do wykresu funkcji (może być równoległa do osi Oy) i istnieje takie sąsiedztwo wzoru punktowego, w obrębie którego wykres funkcji funkcja ma różne kierunki wypukłości na lewo i prawo od punktu M.

Znajdowanie przedziałów dla wypukłości:

Jeśli funkcja y = f (x) ma skończoną drugą pochodną na przedziale X i jeśli nierówność (), to wykres funkcji ma wybrzuszenie skierowane w dół (w górę) na X.
Twierdzenie to pozwala na znalezienie przedziałów wklęsłości i wypukłości funkcji, konieczne jest tylko rozwiązanie nierówności i odpowiednio w dziedzinie definicji funkcji pierwotnej.

Przykład: Znajdź przedziały, w których wykres funkcji Znajdź przedziały, w których wykres funkcji ma wybrzuszenie w górę i wybrzuszenie w dół. ma wybrzuszenie w górę i wybrzuszenie w dół.
Rozwiązanie: Dziedziną tej funkcji jest cały zbiór liczb rzeczywistych.
Znajdźmy drugą pochodną.

Dziedzina definicji drugiej pochodnej pokrywa się z dziedziną definicji funkcji pierwotnej, dlatego aby znaleźć przedziały wklęsłości i wypukłości wystarczy rozwiązać i odpowiednio. Dlatego funkcja jest wypukła w dół we wzorze przedziałowym i wypukła w górę we wzorze przedziałowym.

19) Asymptoty funkcji. Przykłady.

Linia prosta nazywa się pionowa asymptota wykres funkcji, jeśli co najmniej jedna z wartości granicznych jest równa lub.

Komentarz. Linia prosta nie może być pionową asymptotą, jeśli funkcja jest ciągła w punkcie. Dlatego należy szukać asymptot pionowych w punktach nieciągłości funkcji.

Linia prosta nazywa się asymptota pozioma wykres funkcji, jeśli co najmniej jedna z wartości granicznych lub jest równa.

Komentarz. Wykres funkcji może mieć tylko prawą poziomą asymptotę lub tylko lewą.

Linia prosta nazywa się asymptota ukośna wykres funkcji, jeśli

PRZYKŁAD:

Ćwiczenie. Znajdź asymptoty wykresu funkcji

Rozwiązanie. Zakres funkcji:

a) asymptoty pionowe: linia prosta - asymptota pionowa, ponieważ

b) asymptoty poziome: znajdujemy granicę funkcji w nieskończoności:

oznacza to, że nie ma asymptot poziomych.

c) asymptoty ukośne:

Tak więc ukośna asymptota to:.

Odpowiedź. Asymptota pionowa jest prosta.

Asymptota ukośna jest prosta.

20) Schemat ogólny badania funkcji i kreślenie. Przykład.

a.
Znajdź ODZ i punkty przerwania funkcji.

b. Znajdź punkty przecięcia wykresu funkcji z osiami współrzędnych.

2. Przeprowadź badanie funkcji za pomocą pierwszej pochodnej, czyli znajdź ekstrema funkcji oraz przedziały narastania i malenia.

3. Zbadaj funkcję za pomocą pochodnej drugiego rzędu, czyli znajdź punkty przegięcia wykresu funkcji oraz przedziały jej wypukłości i wklęsłości.

4. Znajdź asymptoty wykresu funkcji: a) pionowe, b) ukośne.

5. Na podstawie przeprowadzonych badań zbuduj wykres funkcji.

Zwróć uwagę, że przed sporządzeniem wykresu warto ustalić, czy ta funkcja parzyste czy nieparzyste.

Przypomnij sobie, że funkcja jest wywoływana, nawet jeśli wartość funkcji nie zmienia się, gdy zmienia się znak argumentu: f (-x) = f (x) a funkcja nazywa się nieparzysta, jeśli f (-x) = -f (x).

W takim przypadku wystarczy zbadać funkcję i zbudować jej wykres dla dodatnich wartości argumentu należącego do ODZ. Dla ujemnych wartości argumentu wykres jest uzupełniany na tej podstawie, że dla funkcji parzystej jest on symetryczny względem osi Oy, a dla nieparzystych w stosunku do pochodzenia.

Przykłady. Przeglądaj funkcje i kreśl ich wykresy.

Zakres funkcji D (y) = (–∞; + ∞). Nie ma punktów przerwania.

Przecięcie osi Wół: x = 0,y = 0.

Funkcja jest nieparzysta, dlatego można ją badać tylko na przedziale, a jej argument jest w jednostkach [x], wtedy pochodna (prędkość) jest mierzona w jednostkach.

Problem 6

x(T) = 6T 2 − 48T+ 17, gdzie x T T= 9s.

Znajdź pochodną
x"(T) = (6T 2 − 48T + 17)" = 12T − 48.
W ten sposób uzyskaliśmy zależność prędkości od czasu. Aby znaleźć prędkość w danym momencie, musisz podstawić jej wartość do otrzymanego wzoru:
x"(T) = 12T − 48.
x„(9) = 12 9 - 48 = 60.

Odpowiedź: 60

Komentarz: Upewnijmy się, że nie mylimy się z wymiarem ilości. Tutaj jednostka odległości (funkcja) [x] = metr, jednostka czasu (argument funkcji) [t] = sekunda, stąd jednostka pochodnej = [m / s], czyli pochodna daje prędkość tylko w tych jednostkach, które są wymienione w pytaniu problemu.

Problem 7

Punkt materialny porusza się po linii prostej zgodnie z prawem x(T) = −T 4 + 6T 3 + 5T+ 23, gdzie x- odległość od punktu odniesienia w metrach, T- czas w sekundach mierzony od początku ruchu. Znajdź jego prędkość (w metrach na sekundę) w danej chwili T= 3s.

Znajdź pochodną
x"(T) = (−T 4 + 6T 3 + 5T + 23)" = −4T 3 + 18T 2 + 5.
Podstawiamy daną chwilę w czasie do otrzymanego wzoru
x„(3) = -4 · 3 3 + 18 · 3 2 + 5 = -108 + 162 + 5 = 59.

Odpowiedź: 59

Problem 8

Punkt materialny porusza się po linii prostej zgodnie z prawem x(T) = T 2 − 13T+ 23, gdzie x- odległość od punktu odniesienia w metrach, T- czas w sekundach mierzony od początku ruchu. W którym momencie (w sekundach) jego prędkość wynosiła 3 m/s?

Znajdź pochodną
x"(T) = (T 2 − 13T + 23)" = 2T − 13.
Przyrównujemy prędkość podaną przez wynikowy wzór do wartości 3 m/s.
2T − 13 = 3.
Po rozwiązaniu tego równania określamy, w którym momencie równość jest prawdziwa.
2T − 13 = 3.
2T = 3 + 13.
T = 16/2 = 8.

Odpowiedź: 8

Problem 9

Punkt materialny porusza się po linii prostej zgodnie z prawem x(T) = (1/3)T 3 − 3T 2 − 5T+ 3, gdzie x- odległość od punktu odniesienia w metrach, T- czas w sekundach mierzony od początku ruchu. W którym momencie (w sekundach) jego prędkość wynosiła 2 m/s?

Znajdź pochodną
x"(T) = ((1/3)T 3 − 3T 2 − 5T + 3)" = T 2 − 6T − 5.
Układamy również równanie:
T 2 − 6T − 5 = 2;
T 2 − 6T − 7 = 0.
Ten równanie kwadratowe, który można rozwiązać za pomocą dyskryminatora lub twierdzenia Viety. Tutaj moim zdaniem drugi sposób jest łatwiejszy:
T 1 + T 2 = 6; T jeden · T 2 = −7.
Łatwo się domyślić, że T 1 = −1; T 2 = 7.
W odpowiedzi umieszczamy tylko pozytywny korzeń, ponieważ czas nie może być ujemny.