f x jest parzyste. Jak wyznaczać funkcje parzyste i nieparzyste
Tył do przodu
Uwaga! Podgląd slajdu służy wyłącznie celom informacyjnym i może nie odzwierciedlać pełnego zakresu prezentacji. Jeśli jesteś zainteresowany tą pracą, pobierz pełną wersję.
Cele:
- kształtować pojęcie funkcji parzystych i nieparzystych, uczyć umiejętności wyznaczania i wykorzystywania tych właściwości w badaniu funkcji, kreślenia;
- rozwijanie aktywności twórczej uczniów, logicznego myślenia, umiejętności porównywania, uogólniania;
- pielęgnować pracowitość, kulturę matematyczną; rozwijać umiejętności komunikacyjne .
Sprzęt: instalacja multimedialna, tablica interaktywna, materiały informacyjne.
Formy pracy: frontalna i grupowa z elementami poszukiwań i działań badawczych.
Źródła informacji:
1. Algebra klasa 9 A.G. Mordkovich. Podręcznik.
2. Algebra klasa 9 AG Mordkovich. Książka zadań.
3. Algebra klasa 9. Zadania dla nauki i rozwoju uczniów. Belenkova E.Yu. Lebedincewa E.A.
PODCZAS ZAJĘĆ
1. Moment organizacyjny
Ustalenie celów i zadań lekcji.
2. Sprawdzanie pracy domowej
Nr 10.17 (Książka problemowa 9. klasa A.G. Mordkovich).
A) Na = F(X), F(X) = 
B) F (–2) = –3; F (0) = –1; F(5) = 69;
c) 1. D( F) = [– 2; + ∞)
2. E( F) = [– 3; + ∞)
3. F(X) = 0 dla X ~ 0,4
4. F(X) > 0 godz X > 0,4 ; F(X)
< 0 при – 2 <
X <
0,4.
5. Funkcja rośnie z X € [– 2; + ∞)
6. Funkcja jest ograniczona od dołu.
7. Na wynajem = - 3, Na naib nie istnieje
8. Funkcja jest ciągła.
(Czy użyłeś algorytmu eksploracji cech?) Slajd.
2. Sprawdźmy tabelę, o którą poproszono Cię na slajdzie.
| Wypełnij tabelę | |||||
Domena |
Zera funkcji |
Przedziały stałości |
Współrzędne punktów przecięcia wykresu z Oy | ||
 |
x = -5, |
х € (–5;3) U |
х € (–∞;–5) U |
||
 |
x ∞ -5, |
х € (–5;3) U |
х € (–∞;–5) U |
||
x ≠ -5, |
x € (–∞; –5) U |
x € (–5; 2) |
|||
3. Aktualizacja wiedzy
– Funkcje są podane.
– Określ dziedzinę definicji dla każdej funkcji.
– Porównaj wartość każdej funkcji dla każdej pary wartości argumentów: 1 i – 1; 2 i - 2.
– Dla których z podanych funkcji w dziedzinie definicji są równości F(– X)
= F(X), F(– X) = – F(X)? (umieść dane w tabeli) Slajd
| F(1) i F(– 1) | F(2) i F(– 2) | wykresy | F(– X) = –F(X) | F(– X) = F(X) | ||
| 1. F(X) = | ||||||
| 2. F(X) = X 3 | ||||||
| 3. F(X) = | X | | ||||||
| 4.F(X) = 2X – 3 | ||||||
| 5. F(X) = | X ≠ 0 |
|||||
| 6. F(X)= | X > –1 | i nie określono. |
4. Nowy materiał
- Wykonując tę pracę, chłopaki, ujawniliśmy jeszcze jedną właściwość funkcji, nieznaną wam, ale nie mniej ważną niż inne - jest to parzystość i nieparzystość funkcji. Zapisz temat lekcji: „Funkcje parzyste i nieparzyste”, naszym zadaniem jest nauczyć się wyznaczać funkcje parzyste i nieparzyste, poznać znaczenie tej właściwości w badaniu funkcji i kreśleniu.
Znajdźmy więc definicje w podręczniku i przeczytajmy (s. 110) . Slajd
pok. 1 Funkcjonować Na = F (X) zdefiniowana na zbiorze X nazywa się nawet, jeśli dla dowolnej wartości XЄ X w toku równość f (–x) = f (x). Daj przykłady.
pok. 2 Funkcjonować y = f(x), zdefiniowany na zbiorze X nazywa się dziwne, jeśli dla dowolnej wartości X X równość f(–х)= –f(х) jest spełniona. Daj przykłady.
Gdzie spotkaliśmy się z terminami „parzysty” i „nieparzysty”?
Jak myślisz, która z tych funkcji będzie parzysta? Dlaczego? Które są dziwne? Dlaczego?
Dla dowolnej funkcji formularza Na= x rz, Gdzie N jest liczbą całkowitą, można argumentować, że funkcja jest nieparzysta dla N jest nieparzysta, a funkcja jest parzysta N- nawet.
– Zobacz funkcje Na= i Na = 2X– 3 nie jest ani parzyste, ani nieparzyste, ponieważ równości nie są spełnione F(– X) = – F(X), F(–
X) = F(X)
Badanie kwestii, czy funkcja jest parzysta czy nieparzysta, nazywa się badaniem funkcji pod kątem parzystości. Slajd
Definicje 1 i 2 dotyczyły wartości funkcji przy x i -x, stąd przyjmuje się, że funkcja jest również zdefiniowana przy wartości X i o - X.
Oficjalna pomoc rozwojowa 3. Jeżeli zbiór liczb wraz z każdym ze swoich elementów x zawiera element przeciwny x, to zbiór X nazywamy zbiorem symetrycznym.
Przykłady:
(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) są zbiorami symetrycznymi, a , [–5;4] są niesymetryczne.
- Czy parzyste funkcje mają dziedzinę definicji - zbiór symetryczny? Dziwne?
- Jeśli D( F) jest zbiorem asymetrycznym, to jaka jest funkcja?
– Zatem, jeśli funkcja Na = F(X) jest parzysta lub nieparzysta, to jej dziedziną definicji jest D( F) jest zbiorem symetrycznym. Ale czy jest odwrotnie, jeśli dziedziną funkcji jest zbiór symetryczny, to jest on parzysty czy nieparzysty?
- Tak więc obecność symetrycznego zbioru dziedziny definicji jest warunkiem koniecznym, ale niewystarczającym.
– Jak więc możemy zbadać funkcję parzystości? Spróbujmy napisać algorytm.
Slajd
Algorytm badania funkcji pod kątem parzystości
1. Określ, czy dziedzina funkcji jest symetryczna. Jeśli nie, to funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta. Jeśli tak, przejdź do kroku 2 algorytmu.
2. Napisz wyrażenie dla F(–X).
3. Porównaj F(–X).I F(X):
- Jeśli F(–X).= F(X), to funkcja jest parzysta;
- Jeśli F(–X).= – F(X), to funkcja jest nieparzysta;
- Jeśli F(–X) ≠ F(X) I F(–X) ≠ –F(X), to funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.
Przykłady:
Zbadaj funkcję parzystości a) Na= x 5 +; B) Na=; V) Na= .
Rozwiązanie.
za) h (x) \u003d x 5 +,
1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), zbiór symetryczny.
2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),
3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e funkcja h(x)= x 5 + nieparzyste.
b) y =,
Na = F(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), zbiór asymetryczny, więc funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.
V) F(X) = , y = f(x),
1) D( F) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?
Opcja 2
1. Czy dany zbiór jest symetryczny: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?
A); b) y \u003d x (5 - x 2).
a) y \u003d x 2 (2x - x 3), b) y \u003d
Wykreśl funkcję Na = F(X), Jeśli Na = F(X) jest funkcją parzystą.
Wykreśl funkcję Na = F(X), Jeśli Na = F(X) jest funkcją nieparzystą.
Wzajemna kontrola slajd.
6. Praca domowa: №11.11, 11.21,11.22;
Dowód geometrycznego znaczenia własności parzystości.
*** (Przypisanie opcji USE).
1. Funkcja nieparzysta y \u003d f (x) jest zdefiniowana na całej linii rzeczywistej. Dla dowolnej nieujemnej wartości zmiennej x wartość tej funkcji pokrywa się z wartością funkcji g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Znajdź wartość funkcji h( X) = o godz X = 3.
7. Podsumowanie
nawet, jeśli dla wszystkich \(x\) z jego dziedziny jest prawdą: \(f(-x)=f(x)\) .
Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi \(y\):
Przykład: funkcja \(f(x)=x^2+\cos x\) jest parzysta, ponieważ \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\).
\(\blacktriangleright\) Funkcja \(f(x)\) jest wywoływana dziwne, jeśli dla wszystkich \(x\) z jego dziedziny jest prawdą: \(f(-x)=-f(x)\) .
Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem pochodzenia:
Przykład: funkcja \(f(x)=x^3+x\) jest nieparzysta, ponieważ \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\).
\(\blacktriangleright\) Funkcje, które nie są ani parzyste, ani nieparzyste, nazywane są funkcjami ogólnymi. Taką funkcję zawsze można jednoznacznie przedstawić jako sumę funkcji parzystej i nieparzystej.
Na przykład funkcja \(f(x)=x^2-x\) jest sumą funkcji parzystej \(f_1=x^2\) i funkcji nieparzystej \(f_2=-x\) .
\(\czarnytrójkątw prawo\) Niektóre właściwości:
1) Iloczyn i iloraz dwóch funkcji o tej samej parzystości jest funkcją parzystą.
2) Iloczyn i iloraz dwóch funkcji o różnej parzystości jest funkcją nieparzystą.
3) Suma i różnica funkcji parzystych jest funkcją parzystą.
4) Suma i różnica funkcji nieparzystych jest funkcją nieparzystą.
5) Jeśli \(f(x)\) jest funkcją parzystą, to równanie \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\) ) ma unikalny pierwiastek wtedy i tylko wtedy, gdy \(x =0\) .
6) Jeśli \(f(x)\) jest funkcją parzystą lub nieparzystą, a równanie \(f(x)=0\) ma pierwiastek \(x=b\) , to równanie to musi mieć drugie pierwiastek \(x =-b\) .
\(\blacktriangleright\) Funkcję \(f(x)\) nazywamy okresową na \(X\), jeśli dla pewnej liczby \(T\ne 0\) mamy \(f(x)=f(x+ T) \) , gdzie \(x, x+T\in X\) . Najmniejszy \(T\) , dla którego zachodzi ta równość, nazywany jest głównym (podstawowym) okresem funkcji.
Funkcja okresowa ma dowolną liczbę postaci \(nT\) , gdzie \(n\in \mathbb(Z)\) będzie również kropką.
Przykład: każda funkcja trygonometryczna jest okresowa;
dla funkcji \(f(x)=\sin x\) i \(f(x)=\cos x\) okres główny to \(2\pi\) , dla funkcji \(f(x)= \mathrm( tg)\,x\) i \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) główny okres to \(\pi\) .
Aby wykreślić funkcję okresową, można wykreślić jej wykres na dowolnym odcinku o długości \(T\) (główny okres); wówczas wykres całej funkcji uzupełnia się przesuwając skonstruowaną część o całkowitą liczbę okresów w prawo i w lewo:
\(\blacktriangleright\) Dziedziną \(D(f)\) funkcji \(f(x)\) jest zbiór składający się ze wszystkich wartości argumentu \(x\), dla których funkcja ma sens (definiuje).
Przykład: funkcja \(f(x)=\sqrt x+1\) ma dziedzinę definicji: \(x\in
Zadanie 1 #6364
Poziom zadania: równy jednolitemu egzaminowi państwowemu
Dla jakich wartości parametru \(a\) równanie
ma unikalne rozwiązanie?
Zauważ, że ponieważ \(x^2\) i \(\cos x\) są funkcjami parzystymi, jeśli równanie ma pierwiastek \(x_0\) , będzie miało również pierwiastek \(-x_0\) .
Rzeczywiście, niech \(x_0\) będzie pierwiastkiem, czyli równością \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\) Prawidłowy. Podstaw \(-x_0\) : \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a ^2=0\).
Zatem jeśli \(x_0\ne 0\) , to równanie będzie już miało co najmniej dwa pierwiastki. Dlatego \(x_0=0\) . Następnie:
Otrzymaliśmy dwie wartości parametrów \(a\) . Zauważ, że wykorzystaliśmy fakt, że \(x=0\) jest dokładnie pierwiastkiem pierwotnego równania. Ale nigdy nie wykorzystaliśmy faktu, że jest jedyny. Dlatego konieczne jest podstawienie otrzymanych wartości parametru \(a\) do pierwotnego równania i sprawdzenie, dla którego dokładnie \(a\) pierwiastek \(x=0\) rzeczywiście będzie unikalny.
1) Jeżeli \(a=0\) , to równanie przyjmie postać \(2x^2=0\) . Oczywiście to równanie ma tylko jeden pierwiastek \(x=0\) . Dlatego wartość \(a=0\) nam odpowiada.
2) Jeżeli \(a=-\mathrm(tg)\,1\) , to równanie przyjmuje postać \ Zapisujemy równanie w postaci \ Ponieważ \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\), To \(-\mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\). Dlatego wartości prawej strony równania (*) należą do segmentu \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\).
Skoro \(x^2\geqslant 0\) , to lewa strona równania (*) jest większa lub równa \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .
Zatem równość (*) może być spełniona tylko wtedy, gdy obie strony równania są równe \(\mathrm(tg)^2\,1\) . A to oznacza, że \[\begin(przypadki) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(przypadki) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(przypadki) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Zatem wartość \(a=-\mathrm(tg)\,1\) nam odpowiada.
Odpowiedź:
\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)
Zadanie 2 #3923
Poziom zadania: równy jednolitemu egzaminowi państwowemu
Znajdź wszystkie wartości parametru \(a\) , dla każdego z nich wykres funkcji \
symetryczne względem pochodzenia.
Jeśli wykres funkcji jest symetryczny względem początku, to taka funkcja jest nieparzysta, to znaczy \(f(-x)=-f(x)\) jest spełnione dla dowolnego \(x\) z dziedzina funkcji. Dlatego wymagane jest znalezienie tych wartości parametrów, dla których \(f(-x)=-f(x).\)
\[\begin(wyrównane) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \strzałka w prawo\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \strzałka w prawo\\ \strzałka w prawo\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \strzałka w prawo \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Strzałka w prawo\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(wyrównane)\]
Ostatnie równanie musi zachodzić dla wszystkich \(x\) z dziedziny \(f(x)\) , stąd \(\sin(2\pi a)=0 \Strzałka w prawo a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).
Odpowiedź:
\(\dfrac n2, n\w\mathbb(Z)\)
Zadanie 3 #3069
Poziom zadania: równy jednolitemu egzaminowi państwowemu
Znajdź wszystkie wartości parametru \(a\) , dla każdego z których równanie \ ma 4 rozwiązania, gdzie \(f\) jest parzystą funkcją okresową \(T=\dfrac(16)3\) zdefiniowaną na cała prosta rzeczywista , oraz \(f(x)=ax^2\) for \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)
(Zadanie od subskrybentów)
Zadanie 4 #3072
Poziom zadania: równy jednolitemu egzaminowi państwowemu
Znajdź wszystkie wartości \(a\) , dla każdego z nich równanie \
ma co najmniej jeden pierwiastek.
(Zadanie od subskrybentów)
Zapisujemy równanie w postaci \
i rozważ dwie funkcje: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) i \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ) .
Funkcja \(g(x)\) jest parzysta, ma punkt minimalny \(x=0\) (i \(g(0)=49\) ).
Funkcja \(f(x)\) dla \(x>0\) jest malejąca, a dla \(x<0\)
– возрастающей, следовательно, \(x=0\)
– точка максимума.
Rzeczywiście, dla \(x>0\) drugi moduł rozwinie się dodatnio (\(|x|=x\) ), więc niezależnie od tego, jak rozwinie się pierwszy moduł, \(f(x)\) będzie równe \ ( kx+A\) , gdzie \(A\) jest wyrażeniem z \(a\) , a \(k\) jest równe albo \(-9\) albo \(-3\) . Dla \(x<0\)
наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\)
, где \(k\)
равно либо \(3\)
, либо \(9\)
.
Znajdź wartość \(f\) w punkcie maksymalnym: \ 
Aby równanie miało co najmniej jedno rozwiązanie, konieczne jest, aby wykresy funkcji \(f\) i \(g\) miały co najmniej jeden punkt przecięcia. Dlatego potrzebujesz: \ Rozwiązując ten zestaw systemów, otrzymujemy odpowiedź: \\]
Odpowiedź:
\(a\w \(-7\)\szklanka\)
Zadanie 5 #3912
Poziom zadania: równy jednolitemu egzaminowi państwowemu
Znajdź wszystkie wartości parametru \(a\) , dla każdego z których równanie \
ma sześć różnych rozwiązań.
Dokonajmy podstawienia \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) . Wtedy równanie przybierze postać \
Stopniowo będziemy wypisywać warunki, w których pierwotne równanie będzie miało sześć rozwiązań.
Zauważ, że równanie kwadratowe \((*)\) może mieć co najwyżej dwa rozwiązania. Każde równanie sześcienne \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) może mieć nie więcej niż trzy rozwiązania. Dlatego jeśli równanie \((*)\) ma dwa różne rozwiązania (dodatnie!, ponieważ \(t\) musi być większe od zera) \(t_1\) i \(t_2\) , to po wykonaniu odwrotności podstawienia otrzymujemy: \[\lewo[\begin(zebrane)\begin(wyrównane) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\end(wyrównane)\end(zebrane)\right.\] Ponieważ dowolna liczba dodatnia może być do pewnego stopnia reprezentowana jako \(\sqrt2\), na przykład \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), to pierwsze równanie zbioru zostanie przepisane w postaci \
Jak już powiedzieliśmy, każde równanie sześcienne ma nie więcej niż trzy rozwiązania, dlatego każde równanie ze zbioru będzie miało nie więcej niż trzy rozwiązania. Oznacza to, że cały zbiór będzie miał nie więcej niż sześć rozwiązań.
Oznacza to, że aby oryginalne równanie miało sześć rozwiązań, równanie kwadratowe \((*)\) musi mieć dwa różne rozwiązania, a każde wynikowe równanie sześcienne (ze zbioru) musi mieć trzy różne rozwiązania (a nie jedno rozwiązanie jednego równania powinno pokrywać się z którym - lub decyzją drugiego!)
Oczywiście, jeśli równanie kwadratowe \((*)\) ma jedno rozwiązanie, to nie otrzymamy sześciu rozwiązań pierwotnego równania.
W ten sposób plan rozwiązania staje się jasny. Wypiszmy punkt po punkcie warunki, które muszą być spełnione.
1) Aby równanie \((*)\) miało dwa różne rozwiązania, jego wyróżnik musi być dodatni: \
2) Potrzebujemy również, aby oba pierwiastki były dodatnie (ponieważ \(t>0\) ). Jeśli iloczyn dwóch pierwiastków jest dodatni, a ich suma jest dodatnia, to same pierwiastki będą dodatnie. Dlatego potrzebujesz: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]
W ten sposób zapewniliśmy sobie już dwa różne pierwiastki dodatnie \(t_1\) i \(t_2\) .
3)
Spójrzmy na to równanie \
Dla jakiego \(t\) będzie miał trzy różne rozwiązania? W ten sposób ustaliliśmy, że oba pierwiastki równania \((*)\) muszą leżeć w przedziale \((1;4)\) . Jak napisać ten warunek? Zatem musimy przeciąć \(a\) wartości parametrów znalezione w 1., 2. i 3. akapicie, a otrzymamy odpowiedź: \[\begin(przypadki) a\in (-\infty;8-2\sqrt3)\cup(8+2\sqrt3;+\infty)\\ a<10\\
4 Funkcję nazywamy parzystą (nieparzystą), jeśli dla dowolnej i równości Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku. Przykład 6.2. Sprawdź, czy występują funkcje parzyste lub nieparzyste 1)
Rozwiązanie. 1) Funkcja jest zdefiniowana za pomocą Te. 2) Funkcja jest zdefiniowana dla Te. 3) funkcja jest zdefiniowana dla , tj. Dla Funkcjonować Funkcje rosnące (malejące) w pewnym przedziale nazywane są monotonicznymi. Jeśli funkcja Przykład 6.3. Znajdź przedziały monotoniczności funkcji 1)
Rozwiązanie. 1) Ta funkcja jest zdefiniowana na całej osi liczbowej. Znajdźmy pochodną. Pochodna wynosi zero, jeśli W przerwie W przerwie 2) Ta funkcja jest zdefiniowana, jeśli Określamy znak trójmianu kwadratowego w każdym przedziale. Zatem zakres funkcji Znajdźmy pochodną W przerwie Kropka Punkty maksymalne i minimalne funkcji nazywane są punktami ekstremalnymi. Jeśli funkcja Punkty, w których pochodna jest równa zeru lub nie istnieje, nazywane są punktami krytycznymi. Zasada nr 1. Jeśli podczas przejścia (od lewej do prawej) przez punkt krytyczny Zasada 2. Niech w punkcie Przykład
6.4
. Poznaj funkcje maksimum i minimum: 1)
4)
Rozwiązanie. 1) Funkcja jest zdefiniowana i ciągła na przedziale Znajdźmy pochodną Wyznaczmy znak pochodnej w przedziałach , Podczas przechodzenia przez punkty Podczas przechodzenia przez punkt 2) Funkcja jest zdefiniowana i ciągła w przedziale Rozwiązując równanie Zatem funkcja ma w punkcie minimum 3) Funkcja jest zdefiniowana i ciągła, jeśli Znajdźmy pochodną Znajdźmy punkty krytyczne: Sąsiedztwo punktów 4) Funkcja jest zdefiniowana i ciągła na przedziale Znajdźmy punkty krytyczne: Znajdźmy drugą pochodną w punktach w punktach Sprawdź, czy wykres funkcji jest symetryczny względem osi y. Symetria odnosi się do lustrzanego odbicia wykresu wokół osi y. Jeżeli część wykresu po prawej stronie osi y (wartości dodatnie zmiennej niezależnej) pokrywa się z częścią wykresu po lewej stronie osi y (wartości ujemne zmiennej niezależnej), to wykres jest symetryczny względem osi y. Jeśli funkcja jest symetryczna względem osi y, funkcja jest parzysta. Sprawdź, czy wykres funkcji jest symetryczny względem początku układu współrzędnych. Początek to punkt o współrzędnych (0,0). Symetria względem początku oznacza, że jest to wartość dodatnia y (\ displaystyle y)(o wartości dodatniej x (\ displaystyle x)) odpowiada wartości ujemnej y (\ displaystyle y)(o wartości ujemnej x (\ displaystyle x)), i wzajemnie. Funkcje nieparzyste mają symetrię względem pochodzenia. Sprawdź, czy wykres funkcji ma jakąkolwiek symetrię. Ostatnim typem funkcji jest funkcja, której wykres nie ma symetrii, to znaczy nie ma lustrzanego odbicia zarówno względem osi y, jak i względem początku układu współrzędnych. Na przykład, biorąc pod uwagę funkcję. Funkcjonować jest jednym z najważniejszych pojęć matematycznych. Funkcja - zależność zmiennej Na ze zmiennej X, jeśli każda wartość X pasuje do jednej wartości Na. zmienny X nazywana zmienną niezależną lub argumentem. zmienny Na nazywamy zmienną zależną. Wszystkie wartości zmiennej niezależnej (variable X) tworzą dziedzinę funkcji. Wszystkie wartości, które przyjmuje zmienna zależna (variable y), tworzą zakres funkcji. Wykres funkcji nazywają zbiór wszystkich punktów płaszczyzny współrzędnych, których odcięte są równe wartościom argumentu, a rzędne są równe odpowiednim wartościom funkcji, to znaczy wartościom zmienna jest wykreślana wzdłuż osi odciętych X, a wartości zmiennej są wykreślane wzdłuż osi y y. Aby wykreślić funkcję, musisz znać jej właściwości. Główne właściwości funkcji zostaną omówione poniżej! Aby wykreślić wykres funkcji, zalecamy skorzystanie z naszego programu - Graphing Functions Online. Jeśli masz jakieś pytania podczas studiowania materiału na tej stronie, zawsze możesz je zadać na naszym forum. Również na forum otrzymasz pomoc w rozwiązywaniu problemów z matematyki, chemii, geometrii, teorii prawdopodobieństwa i wielu innych przedmiotów! Podstawowe własności funkcji. 1) Zakres funkcji i zakres funkcji. Zasięg funkcji to zbiór wszystkich prawidłowych wartości argumentu X(zmienny X) dla której funkcja y = f(x) zdefiniowane. W matematyce elementarnej funkcje bada się tylko na zbiorze liczb rzeczywistych. 2) Zera funkcji. Wartości X, w którym y=0, jest nazywany zera funkcji. Są to odcięte punktów przecięcia wykresu funkcji z osią x. 3) Przedziały stałości znaku funkcji. Takimi przedziałami wartości są przedziały stałości znaku funkcji X, na którym wartości funkcji y wywoływane są tylko pozytywne lub tylko negatywne przedziały stałości znaku funkcji. 4) Monotoniczność funkcji. Funkcja rosnąca (w pewnym przedziale) to taka funkcja, w której większej wartości argumentu z tego przedziału odpowiada większa wartość funkcji. Funkcja malejąca (w pewnym przedziale) - funkcja, w której większej wartości argumentu z tego przedziału odpowiada mniejsza wartość funkcji. 5) Funkcje parzyste (nieparzyste).. Funkcja parzysta to funkcja, której dziedzina definicji jest symetryczna względem pochodzenia i dla dowolnego X f(-x) = f(x). Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi y. Funkcja nieparzysta to funkcja, której dziedzina definicji jest symetryczna względem pochodzenia i dla dowolnego X z dziedziny definicji równość fa(-x) = - fa(x). Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku. Nawet funkcja dziwna funkcja ma następujące właściwości: Nie każda funkcja jest parzysta lub nieparzysta. Funkcje ogólna perspektywa nie są ani parzyste, ani nieparzyste. 6) Ograniczone i nieograniczone funkcje. Funkcję nazywamy ograniczoną, jeśli istnieje dodatnia liczba M taka, że |f(x)| ≤ M dla wszystkich wartości x . Jeśli nie ma takiej liczby, to funkcja jest nieograniczona. 7) Okresowość funkcji. Funkcja f(x) jest okresowa, jeśli istnieje niezerowa liczba T taka, że dla dowolnego x z dziedziny funkcji f(x+T) = f(x). Ta najmniejsza liczba nazywana jest okresem funkcji. Wszystkie funkcje trygonometryczne są okresowe. (Wzory trygonometryczne). Funkcjonować F nazywamy okresową, jeśli istnieje taka liczba, że dla any X z dziedziny definicji równość f(x)=f(x-T)=f(x+T). T jest okresem funkcji. Każda funkcja okresowa ma nieskończoną liczbę okresów. W praktyce zwykle bierze się pod uwagę najmniejszy dodatni okres. Wartości funkcji okresowej są powtarzane po przedziale równym okresowi. Jest to używane podczas kreślenia wykresów.
Rozważmy funkcję \(f(x)=x^3-3x^2+4\) .
Można pomnożyć: \
Dlatego jego zera to: \(x=-1;2\) .
Jeśli znajdziemy pochodną \(f"(x)=3x^2-6x\) , to otrzymamy dwa skrajne punkty \(x_(max)=0, x_(min)=2\) .
Dlatego wykres wygląda następująco: 
Widzimy, że dowolna linia pozioma \(y=k\) , gdzie \(0
Potrzebujesz zatem: \[\begin(przypadki) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\]
Zauważmy też od razu, że jeśli liczby \(t_1\) i \(t_2\) są różne, to liczby \(\log_(\sqrt2)t_1\) i \(\log_(\sqrt2)t_2\) będą być różne, więc równania \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\) I \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\) będą miały inne korzenie.
System \((**)\) można przepisać w następujący sposób: \[\begin(przypadki) 1
Nie będziemy jawnie wypisywać korzeni.
Rozważmy funkcję \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) . Jego wykresem jest parabola z gałęziami skierowanymi w górę, która ma dwa punkty przecięcia z osią odciętych (warunek ten napisaliśmy w akapicie 1)). Jak powinien wyglądać jego wykres, aby punkty przecięcia z osią odciętych znajdowały się w przedziale \((1;4)\) ? Więc: 
Po pierwsze, wartości \(g(1)\) i \(g(4)\) funkcji w punktach \(1\) i \(4\) muszą być dodatnie, a po drugie wierzchołek parabola \(t_0\ ) musi również znajdować się w przedziale \((1;4)\) . Dlatego system można zapisać: \[\begin(przypadki) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4
.
.
;
2)
;
3)
.
. Znajdźmy 
.
. Zatem ta funkcja jest parzysta.
. Zatem ta funkcja jest nieparzysta.
,
. Zatem funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta. Nazwijmy to funkcją ogólną.3. Badanie funkcji na monotoniczność.
nazywa się rosnącą (malejącą) na pewnym przedziale, jeśli w tym przedziale każdej większej wartości argumentu odpowiada większa (mniejsza) wartość funkcji.
różniczkowalna na przedziale 
i ma dodatnią (ujemną) pochodną 
, a następnie funkcja 
wzrasta (spada) w tym przedziale.
;
3)
.
I 
. Dziedzina definicji - oś numeryczna, podzielona przez punkty 
,
dla interwałów. Wyznaczmy znak pochodnej w każdym przedziale.
pochodna jest ujemna, funkcja maleje w tym przedziale.
pochodna jest dodatnia, więc funkcja jest rosnąca w tym przedziale.
Lub
.
,
, Jeśli 
, tj. 
, Ale 
. Wyznaczmy znak pochodnej w przedziałach 
.
pochodna jest ujemna, zatem funkcja maleje na przedziale 
. W przerwie 
pochodna jest dodatnia, funkcja rośnie w przedziale 
.4. Badanie funkcji dla ekstremum.
nazywamy maksymalnym (minimalnym) punktem funkcji 
, jeśli istnieje takie sąsiedztwo punktu 
to dla każdego 
to sąsiedztwo spełnia nierówność 
.
w punkcie 
ma ekstremum, to pochodna funkcji w tym punkcie jest równa zeru lub nie istnieje (warunek konieczny istnienia ekstremum).5. Warunki wystarczające na istnienie ekstremum.
pochodna 
zmienia znak z „+” na „-”, a następnie w punkcie 
funkcjonować 
ma maksimum; jeśli od „-” do „+”, to minimum; Jeśli 
nie zmienia znaku, to nie ma ekstremum.
pierwsza pochodna funkcji 
zero 
, a druga pochodna istnieje i jest różna od zera. Jeśli 
, To 
jest punktem maksymalnym, jeśli 
, To 
jest punktem minimalnym funkcji.
;
2)
;
3)
;
.
.
i rozwiązać równanie 
, tj. 
.stąd 
są punktami krytycznymi.
.
I 
pochodna zmienia znak z „–” na „+”, a więc zgodnie z regułą 1 
są punktami minimalnymi.
pochodna zmienia znak z „+” na „-”, tzw 
jest punktem maksymalnym.
,
.
. Znajdźmy pochodną 
.
, znajdować 
I 
są punktami krytycznymi. Jeśli mianownik 
, tj. 
, to pochodna nie istnieje. Więc, 
jest trzecim punktem krytycznym. Wyznaczmy znak pochodnej w przedziałach.
, maksimum w punktach 
I 
.
, tj. Na 
.
.
nie należą do dziedziny definicji, więc nie są ekstremum t. Przyjrzyjmy się więc punktom krytycznym 
I 
.
. Korzystamy z reguły 2. Znajdź pochodną 
.
i wyznacz jego znak w punktach 
funkcja ma minimum
funkcja ma maksimum.
Zakres funkcji to zbiór wszystkich wartości rzeczywistych yże funkcja akceptuje.
1) Dziedzina definicji jest symetryczna względem punktu (0; 0), to znaczy, jeśli punkt A należy do dziedziny definicji, to punkt -A należy również do dziedziny definicji.
2) Dla dowolnej wartości X f(-x)=f(x)
3) Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi Oy.
1) Dziedzina definicji jest symetryczna względem punktu (0; 0).
2) o dowolnej wartości X, która należy do dziedziny definicji, czyli równości f(-x)=-f(x)
3) Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku (0; 0).
Ładowanie...