Segmenty proporcjonalne w dowodzie trójkąta. Lekcja „proporcjonalne segmenty w trójkącie prostokątnym”

Znak podobieństwa trójkątów prostokątnych

Wprowadźmy najpierw znak podobieństwa trójkątów prostokątnych.

Twierdzenie 1

Znak podobieństwa trójkątów prostokątnych: dwa trójkąty prostokątne są podobne, gdy każdy z nich ma jeden równy kąt ostry (ryc. 1).

Rysunek 1. Podobne trójkąty prostokątne

Dowód.

Przyjmijmy, że $\angle B=\angle B_1$. Ponieważ trójkąty są prostokątne, $\angle A=\angle A_1=(90)^0$. Są więc podobne według pierwszego znaku podobieństwa trójkątów.

Twierdzenie zostało udowodnione.

Twierdzenie o wysokości w trójkącie prostokątnym

Twierdzenie 2

Wysokość trójkąta prostokątnego poprowadzonego z wierzchołka kąta prostego dzieli trójkąt na dwa podobne trójkąty prostokątne, z których każdy jest podobny do danego trójkąta.

Dowód.

Otrzymamy trójkąt prostokątny $ABC$ o kącie prostym $C$. Narysuj wysokość $CD$ (rys. 2).

Rysunek 2. Ilustracja twierdzenia 2

Udowodnijmy, że trójkąty $ACD$ i $BCD$ są podobne do trójkąta $ABC$ oraz że trójkąty $ACD$ i $BCD$ są podobne.

Ponieważ $\angle ADC=(90)^0$, trójkąt $ACD$ jest prostokątny. Trójkąty $ACD$ i $ABC$ mają wspólny kąt $A$, więc zgodnie z Twierdzeniem 1 trójkąty $ACD$ i $ABC$ są podobne.

Ponieważ $\angle BDC=(90)^0$, trójkąt $BCD$ jest prostokątny. Trójkąty $BCD$ i $ABC$ mają wspólny kąt $B$, więc zgodnie z Twierdzeniem 1 trójkąty $BCD$ i $ABC$ są podobne.

Rozważmy teraz trójkąty $ACD$ i $BCD$

\[\kąt A=(90)^0-\kąt ACD\] \[\kąt BCD=(90)^0-\kąt ACD=\kąt A\]

Zatem, zgodnie z Twierdzeniem 1, trójkąty $ACD$ i $BCD$ są podobne.

Twierdzenie zostało udowodnione.

Średnia proporcjonalna

Twierdzenie 3

Wysokość trójkąta prostokątnego poprowadzona z wierzchołka kąta prostego jest średnią proporcjonalną do odcinków, na które wysokość dzieli przeciwprostokątną tego trójkąta.

Dowód.

Z Twierdzenia 2 wynika, że ​​trójkąty $ACD$ i $BCD$ są więc podobne

Twierdzenie zostało udowodnione.

Twierdzenie 4

Noga trójkąta prostokątnego jest średnią proporcjonalną między przeciwprostokątną a odcinkiem przeciwprostokątnej zawartym między odnogą a wysokością poprowadzoną z wierzchołka kąta.

Dowód.

W dowodzie twierdzenia użyjemy notacji z rysunku 2.

Z Twierdzenia 2 wynika, że ​​trójkąty $ACD$ i $ABC$ są podobne, stąd

Twierdzenie zostało udowodnione.

Lekcja 40 C. b. A. H. C. pne. H. ak. A. V. Wysokość trójkąta prostokątnego poprowadzona z wierzchołka kąta prostego dzieli trójkąt na 2 podobne trójkąty prostokątne, z których każdy jest podobny do danego trójkąta. Znak podobieństwa trójkątów prostokątnych. Dwa trójkąty prostokątne są podobne, jeśli każdy z nich ma ten sam kąt ostry. Odcinek XY nazywamy średnią proporcjonalną (średnią geometryczną) odcinków AB i CD, jeśli Właściwość 1. Wysokość trójkąta prostokątnego poprowadzonego z wierzchołka kąta prostego jest średnią proporcjonalną między rzutami nóg na przeciwprostokątną. Właściwość 2. Bok trójkąta prostokątnego jest średnią proporcjonalną między przeciwprostokątną a rzutem tego ramienia na przeciwprostokątną.

Klasa geometrii 8

„Rozwiązywanie problemów z twierdzenia Pitagorasa” - Trójkąt ABC równoramienny. Praktyczne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa. ABCD to czworokąt. Powierzchnia kwadratu. Znajdź słońce. Dowód. Podstawy trapezu równoramiennego. Rozważ twierdzenie Pitagorasa. Powierzchnia czworoboku. Trójkąty prostokątne. Twierdzenie Pitagorasa. Kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nóg.

„Znajdowanie obszaru równoległoboku” - Podstawa. Wysokość. Wyznaczanie wysokości równoległoboku. Znaki równości trójkątów prostokątnych. Obszar równoległoboku. Znajdź obszar trójkąta. Właściwości obszaru. ćwiczenia ustne. Znajdź obszar równoległoboku. Wysokości równoległoboku. Znajdź obwód kwadratu. Powierzchnia trójkąta. Znajdź pole kwadratu. Znajdź obszar prostokąta. Powierzchnia kwadratu.

„Kvadrat 8. klasa” - Czarny kwadrat. Zadania do pracy ustnej na obwodzie kwadratu. Powierzchnia kwadratu. Znaki kwadratowe. Plac jest wśród nas. Kwadrat to prostokąt, który ma równe wszystkie boki. Kwadrat. Torba z kwadratową podstawą. zadania ustne. Ile kwadratów pokazano na rysunku. Właściwości kwadratowe. Bogaty kupiec. Zadania do pracy ustnej na terenie placu. Obwód kwadratu.

„Definicja symetrii osiowej” - Punkty leżące na tej samej prostopadłej. Narysuj dwie linie. Budowa. Punkty działki. Wskazówka. Figury, które nie mają symetrii osiowej. Odcinek. Brakujące współrzędne. Postać. Kształty, które mają więcej niż dwie osie symetrii. Symetria. Symetria w poezji. Buduj trójkąty. Osie symetrii. Budowa segmentu. Budowanie punktu. Figury z dwiema osiami symetrii. Narody. Trójkąty. Proporcjonalność.

„Definiowanie trójkątów podobnych” - wielokąty. proporcjonalne cięcia. Stosunek pól trójkątów podobnych. Dwa trójkąty nazywamy podobnymi. Warunki. Skonstruuj trójkąt, mając dane dwa kąty i dwusieczną w wierzchołku. Załóżmy, że musimy określić odległość do bieguna. Trzeci znak podobieństwa trójkątów. Zbudujmy trójkąt. ABC. Trójkąty ABC i ABC mają trzy równe boki. Wyznaczanie wysokości obiektu.

"Rozwiązanie twierdzenia Pitagorasa" - Części okien. Najprostszy dowód. Hammurabiego. Przekątna. Kompletny dowód. Dowód przez odejmowanie. Pitagorejczycy. Dowód metodą dekompozycji. Historia twierdzenia. Średnica. Dowód metodą dopełnienia. Dowód Epsteina. Kantor. Trójkąty. Obserwujący. Zastosowania twierdzenia Pitagorasa. Twierdzenie Pitagorasa. Stwierdzenie twierdzenia. Dowód Perigala. Zastosowanie twierdzenia.

Cele Lekcji:

1. wprowadzić pojęcie średniej proporcjonalnej (średniej geometrycznej) dwóch odcinków;
2. rozważ problem proporcjonalnych odcinków w trójkącie prostokątnym: właściwość wysokości trójkąta prostokątnego poprowadzona z wierzchołka kąta prostego;
3. kształtowanie u uczniów umiejętności wykorzystania studiowanego tematu w procesie rozwiązywania problemów.

Rodzaj lekcji: lekcja nauki nowego materiału.

Plan:

1. Moment organizacyjny.
2. Aktualizacja wiedzy.
3. Badanie właściwości wysokości trójkąta prostokątnego narysowanego z wierzchołka kąta prostego:
   - etap przygotowawczy;
   - wstęp;
   - asymilacja.
4. Wprowadzenie pojęcia średniej proporcjonalnej do dwóch odcinków.
5. Przyswojenie pojęcia średniej proporcjonalnej dwóch segmentów.
6. Dowód konsekwencji:
   - wysokość trójkąta prostokątnego poprowadzonego z wierzchołka kąta prostego jest średnią proporcjonalną między odcinkami, na które dzieli się przeciwprostokątna przez tę wysokość;
   - ramię trójkąta prostokątnego jest średnią proporcjonalną między przeciwprostokątną a odcinkiem przeciwprostokątnej zawartym między ramieniem a wysokością.
7. Rozwiązywanie problemów.
8. Zreasumowanie.
9. Ustawianie pracy domowej.

Podczas zajęć

I. ORGANIZACJA

Cześć chłopaki, usiądźcie. Czy wszyscy są gotowi na lekcję?

Zaczynamy pracę.

II. AKTUALIZACJA WIEDZY

Jakiego ważnego pojęcia matematycznego nauczyłeś się na poprzednich lekcjach? ( z koncepcją podobieństwa trójkątów)

- Pamiętajmy, które dwa trójkąty nazywamy podobnymi? (dwa trójkąty nazywamy podobnymi, jeśli ich kąty są odpowiednio równe, a boki jednego trójkąta są proporcjonalne do podobnych boków drugiego trójkąta)

Czego używamy do udowodnienia podobieństwa dwóch trójkątów? (

- Wypisz te znaki. (sformułuj trzy znaki podobieństwa trójkątów)

III. BADANIE WŁAŚCIWOŚCI WYSOKOŚCI TRÓJKĄTA PROSTOKĄTNEGO WYKONANE Z WIERZCHOŁKA KĄTA PROSTEGO

a) etap przygotowawczy

- Chłopaki, proszę spojrzeć na pierwszy slajd. ( Aplikacja) Oto dwa trójkąty prostokątne - i . i są odpowiednio wysokościami i . .

Zadanie 1.a) Określ, czy i są podobne.

Czego używamy do udowodnienia podobieństwa trójkątów? ( znaki podobieństwa trójkątów)

(pierwszy znak, ponieważ nic nie wiadomo o bokach trójkątów w zadaniu)

. (Dwie pary: 1. ∟B= ∟B1 (proste), 2. ∟A= ∟A 1)

- Wyciągnij wnioski. ( przez pierwszy znak podobieństwa trójkątów ~)

Zadanie 1. b) Określ, czy i są podobne.

Jakie kryterium podobieństwa zastosujemy i dlaczego? (pierwszy znak, bo w zadaniu nic nie wiadomo o bokach trójkątów)

Ile par kątów równych musimy znaleźć? Znajdź te pary (ponieważ trójkąty są prostokątne wystarczy jedna para kątów równych: ∟A= ∟A 1)

- Wyciągnij wnioski. (po pierwszym znaku podobieństwa trójkątów wnioskujemy, że trójkąty te są podobne).

W wyniku rozmowy slajd 1 wygląda następująco:

b) odkrycie twierdzenia

Zadanie 2.

Określ, czy i , i są podobne. W wyniku rozmowy budowane są odpowiedzi, które odbijają się na slajdzie.

- Cyfra to wskazywała. Czy przy odpowiadaniu na pytania dotyczące zadań posługiwaliśmy się tą miarą stopnia? ( Nie, nie używany)

- Chłopaki, wyciągnijcie wniosek: na jakie trójkąty wysokość narysowana z wierzchołka kąta prostego dzieli prawy trójkąt? (wyciągnij wniosek)

- Powstaje pytanie: czy te dwa trójkąty prostokątne, na które wysokość dzieli trójkąt prostokątny, będą do siebie podobne? Spróbujmy znaleźć pary równych kątów.

W wyniku rozmowy budowany jest rekord:

- A teraz zróbmy pełny wniosek. ( WNIOSEK: wysokość trójkąta prostokątnego poprowadzona z wierzchołka kąta prostego dzieli ten trójkąt na dwie części podobny

- To. sformułowaliśmy i udowodniliśmy twierdzenie o własności wysokości trójkąta prostokątnego.

Ustalmy strukturę twierdzenia i zróbmy rysunek. Co jest podane w twierdzeniu, a co należy udowodnić? Uczniowie piszą w zeszytach:

Udowodnijmy pierwszy punkt twierdzenia dla nowego rysunku. Jakie kryterium podobieństwa zastosujemy i dlaczego? (Po pierwsze, ponieważ w twierdzeniu nic nie wiadomo o bokach trójkątów)

Ile par kątów równych musimy znaleźć? Znajdź te pary. (W tym przypadku wystarczy jedna para: ∟A-ogólne)

- Wyciągnij wnioski. Trójkąty są podobne. W rezultacie pokazano przykład sformułowania twierdzenia

- Napisz sam w domu drugi i trzeci punkt.

c) asymilacja twierdzenia

- Więc sformułuj ponownie twierdzenie (Wysokość trójkąta prostokątnego poprowadzona z wierzchołka kąta prostego dzieli trójkąt na dwie części podobny trójkąty prostokątne, z których każdy jest podobny do tego)

- Ile par trójkątów podobnych w konstrukcji "w trójkącie prostokątnym wysokość od wierzchołka kąta prostego" można znaleźć według tego twierdzenia? ( Trzy pary)

Uczniowie otrzymują następujące zadanie:

IV. WPROWADZENIE KONCEPCJI ŚREDNIEJ PROPORCJONALNOŚCI DWÓCH LINII

Teraz nauczymy się nowej koncepcji.

Uwaga!

Definicja. Odcinek XY zwany średnia proporcjonalna (Średnia geometryczna) między segmentami AB I płyta CD, Jeśli

(zapisz w zeszycie).

V. POWIĄZANIE KONCEPCJI ŚREDNIEJ PROPORCJONALNOŚCI DWÓCH LINII

Przejdźmy teraz do następnego slajdu.

Ćwiczenie 1. Znajdź długość średnich odcinków proporcjonalnych MN i KP, jeśli MN = 9 cm, KP = 16 cm.

- Co jest podane w zadaniu? ( Dwa odcinki i ich długości: MN = 9 cm, KP = 16 cm)

- Co musisz znaleźć? ( Długość średniej proporcjonalnej tych odcinków)

- Jaki jest wzór na średnią proporcjonalną i jak ją znaleźć?

(Podstawiamy dane do wzoru i znajdujemy długość średniej podpory.)

Zadanie numer 2. Znajdź długość odcinka AB, jeśli średnia proporcjonalna odcinków AB i CD wynosi 90 cm, a CD = 100 cm

- Co jest podane w zadaniu? (długość odcinka CD = 100 cm, a średnia proporcjonalna odcinków AB i CD wynosi 90 cm)

Co powinno znaleźć się w problemie? ( Długość odcinka AB)

- Jak rozwiążemy problem? (Zapiszmy wzór na średnie proporcjonalne odcinki AB i CD, wyraźmy z niego długość AB i podstawiamy dane problemu.)

VI. WNIOSEK

- Brawo chłopcy. A teraz wróćmy do podobieństwa trójkątów, udowodnionego przez nas w twierdzeniu. Przeformułuj twierdzenie. ( Wysokość trójkąta prostokątnego poprowadzonego z wierzchołka kąta prostego dzieli ten trójkąt na dwie części podobny trójkąty prostokątne, z których każdy jest podobny do danego)

- Najpierw użyjmy podobieństwa trójkątów i . Co z tego wynika? ( Z definicji podobieństwa boki są proporcjonalne do boków podobnych)

- Jaka równość zostanie uzyskana przy użyciu podstawowej właściwości proporcji? ()

– Express CD i wyciągnąć wniosek (;.

Wniosek: wysokość trójkąta prostokątnego poprowadzonego z wierzchołka kąta prostego jest średnią proporcjonalną między odcinkami, na które podzielona jest przeciwprostokątna przez tę wysokość)

- A teraz udowodnij sobie, że ramię trójkąta prostokątnego jest średnią proporcjonalną między przeciwprostokątną a odcinkiem przeciwprostokątnej zawartym między ramieniem a wysokością. Znajdujemy z - ... odcinki, na które przeciwprostokątna jest podzielona przez ta wysokość )

Noga trójkąta prostokątnego jest średnią proporcjonalną między ... (- ... przeciwprostokątna i odcinek przeciwprostokątnej zawarty między tą nogą a wysokością )

– Gdzie stosujemy wyuczone stwierdzenia? ( Podczas rozwiązywania problemów)

IX. USTAWIANIE PRACY DOMOWEJ

d/z: nr 571, nr 572 (a,e), samodzielna praca w zeszycie, teoria.

Dziś waszą uwagę zapraszamy na kolejną prezentację na niesamowity i tajemniczy temat - geometrię. W tej prezentacji przedstawimy Ci nową właściwość kształtów geometrycznych, w szczególności pojęcie proporcjonalnych odcinków w trójkątach prostokątnych.

Najpierw musisz pamiętać, co to jest trójkąt? Jest to najprostszy wielokąt, składający się z trzech wierzchołków połączonych trzema segmentami. Trójkąt prostokątny to trójkąt, w którym jeden z kątów ma 90 stopni. Zapoznałeś się już z nimi bardziej szczegółowo w naszych poprzednich materiałach szkoleniowych, które przedstawiliśmy Twojej uwadze.

Wracając więc do naszego dzisiejszego tematu, oznaczamy w kolejności, że wysokość trójkąta prostokątnego narysowanego z kąta 90 stopni dzieli go na dwa trójkąty, które są podobne zarówno do siebie, jak i do pierwotnego. Wszystkie interesujące Państwa rysunki i wykresy znajdują się w proponowanej prezentacji i zachęcamy do zapoznania się z nimi wraz z opisywanym objaśnieniem.

Graficzny przykład powyższej tezy można zobaczyć na drugim slajdzie. Trójkąty są podobne, ponieważ mają dwa identyczne kąty. Jeśli określisz bardziej szczegółowo, wówczas wysokość obniżona do przeciwprostokątnej tworzy z nią kąt prosty, to znaczy, że są już takie same kąty, a każdy z utworzonych kątów ma również jeden wspólny kąt jako początkowy. Rezultatem są dwa kąty równe sobie. Oznacza to, że trójkąty są podobne.

Zastanówmy się też, co samo w sobie oznacza pojęcie „średnia proporcjonalna” lub „średnia geometryczna”? Jest to pewien odcinek XY dla odcinków AB i CD, gdy jest równy pierwiastkowi kwadratowemu z iloczynu ich długości.

Z czego wynika również, że ramię trójkąta prostokątnego jest średnią geometryczną między przeciwprostokątną a rzutem tego ramienia na przeciwprostokątną, czyli drugą nogę.

Inną właściwością trójkąta prostokątnego jest to, że jego wysokość, narysowana pod kątem 90o, jest średnią proporcjonalną między rzutami nóg na przeciwprostokątną. Jeśli zapoznasz się z prezentacją i innymi materiałami, na które zwrócono Ci uwagę, zobaczysz, że znajduje się tam dowód tej tezy w bardzo prostej i przystępnej formie. Wcześniej udowodniliśmy już, że powstałe trójkąty są podobne do siebie i do trójkąta wyjściowego. Następnie, korzystając ze stosunku nóg tych figur geometrycznych, dochodzimy do wniosku, że wysokość trójkąta prostokątnego jest wprost proporcjonalna do pierwiastka kwadratowego z iloczynu odcinków, które powstały w wyniku obniżenia wysokości od kąt prosty pierwotnego trójkąta.

Ostatnią rzeczą w prezentacji jest to, że ramię trójkąta prostokątnego jest średnią geometryczną przeciwprostokątnej i jej odcinka znajdującego się między ramieniem a wysokością narysowaną pod kątem równym 90 stopni. Ten przypadek należy rozpatrywać z boku, że trójkąty te są do siebie podobne, a nogę jednego z nich uzyskuje się przez przeciwprostokątną drugiego. Ale poznasz to bardziej szczegółowo, studiując proponowane materiały.

Znak podobieństwa trójkątów prostokątnych

Wprowadźmy najpierw znak podobieństwa trójkątów prostokątnych.

Twierdzenie 1

Znak podobieństwa trójkątów prostokątnych: dwa trójkąty prostokątne są podobne, gdy każdy z nich ma jeden równy kąt ostry (ryc. 1).

Rysunek 1. Podobne trójkąty prostokątne

Dowód.

Przyjmijmy, że $\angle B=\angle B_1$. Ponieważ trójkąty są prostokątne, $\angle A=\angle A_1=(90)^0$. Są więc podobne według pierwszego znaku podobieństwa trójkątów.

Twierdzenie zostało udowodnione.

Twierdzenie o wysokości w trójkącie prostokątnym

Twierdzenie 2

Wysokość trójkąta prostokątnego poprowadzonego z wierzchołka kąta prostego dzieli trójkąt na dwa podobne trójkąty prostokątne, z których każdy jest podobny do danego trójkąta.

Dowód.

Otrzymamy trójkąt prostokątny $ABC$ o kącie prostym $C$. Narysuj wysokość $CD$ (rys. 2).

Rysunek 2. Ilustracja twierdzenia 2

Udowodnijmy, że trójkąty $ACD$ i $BCD$ są podobne do trójkąta $ABC$ oraz że trójkąty $ACD$ i $BCD$ są podobne.

Ponieważ $\angle ADC=(90)^0$, trójkąt $ACD$ jest prostokątny. Trójkąty $ACD$ i $ABC$ mają wspólny kąt $A$, więc zgodnie z Twierdzeniem 1 trójkąty $ACD$ i $ABC$ są podobne.

Ponieważ $\angle BDC=(90)^0$, trójkąt $BCD$ jest prostokątny. Trójkąty $BCD$ i $ABC$ mają wspólny kąt $B$, więc zgodnie z Twierdzeniem 1 trójkąty $BCD$ i $ABC$ są podobne.

Rozważmy teraz trójkąty $ACD$ i $BCD$

\[\kąt A=(90)^0-\kąt ACD\] \[\kąt BCD=(90)^0-\kąt ACD=\kąt A\]

Zatem, zgodnie z Twierdzeniem 1, trójkąty $ACD$ i $BCD$ są podobne.

Twierdzenie zostało udowodnione.

Średnia proporcjonalna

Twierdzenie 3

Wysokość trójkąta prostokątnego poprowadzona z wierzchołka kąta prostego jest średnią proporcjonalną do odcinków, na które wysokość dzieli przeciwprostokątną tego trójkąta.

Dowód.

Z Twierdzenia 2 wynika, że ​​trójkąty $ACD$ i $BCD$ są więc podobne

Twierdzenie zostało udowodnione.

Twierdzenie 4

Noga trójkąta prostokątnego jest średnią proporcjonalną między przeciwprostokątną a odcinkiem przeciwprostokątnej zawartym między odnogą a wysokością poprowadzoną z wierzchołka kąta.

Dowód.

W dowodzie twierdzenia użyjemy notacji z rysunku 2.

Z Twierdzenia 2 wynika, że ​​trójkąty $ACD$ i $ABC$ są podobne, stąd

Twierdzenie zostało udowodnione.