Twierdzenie Pitagorasa: tło, dowody, przykłady praktycznego zastosowania. Różne sposoby udowodnienia twierdzenia Pitagorasa: przykłady, opisy i recenzje Twierdzenie Pitagorasa, które znasz

Różne sposoby udowodnienia twierdzenia Pitagorasa

uczeń 9 klasy "A".

Gimnazjum MOU nr 8

Doradca naukowy:

nauczyciel matematyki,

Gimnazjum MOU nr 8

Sztuka. Nowe Boże Narodzenie

Terytorium Krasnodarskie.

Sztuka. Nowe Boże Narodzenie

ADNOTACJA.

Twierdzenie Pitagorasa jest słusznie uważane za najważniejsze w geometrii i zasługuje na szczególną uwagę. Jest podstawą do rozwiązywania wielu problemów geometrycznych, podstawą do studiowania teoretycznego i praktycznego przebiegu geometrii w przyszłości. Twierdzenie otoczone jest najbogatszym materiałem historycznym związanym z jego pojawieniem się i metodami dowodowymi. Studiowanie historii rozwoju geometrii zaszczepia zamiłowanie do tego przedmiotu, przyczynia się do rozwoju zainteresowań poznawczych, kultury ogólnej i kreatywności, a także rozwija umiejętności badawcze.

W wyniku działań poszukiwawczych osiągnięto cel pracy, jakim jest uzupełnienie i uogólnienie wiedzy na temat dowodu twierdzenia Pitagorasa. Można było znaleźć i rozważyć różne sposoby udowodnienia i pogłębienia wiedzy na ten temat, wykraczające poza karty szkolnego podręcznika.

Zebrany materiał jeszcze bardziej przekonuje, że twierdzenie Pitagorasa jest wielkim twierdzeniem geometrii i ma ogromne znaczenie teoretyczne i praktyczne.

Wstęp. Tło historyczne 5 Główny korpus 8

3. Wniosek 19

4. Wykorzystana literatura 20
1. WSTĘP. ODNIESIENIE HISTORYCZNE.

Istotą prawdy jest to, że jest dla nas na zawsze,

Gdy choć raz w jej przenikliwości ujrzymy światło,

I twierdzenie Pitagorasa po tylu latach

Dla nas, jak i dla niego, jest to bezdyskusyjne, nienaganne.

Aby uczcić, bogowie złożyli ślubowanie przez Pitagorasa:

Za wzruszającą nieskończoną mądrość,

Zabił sto byków dzięki wiecznym;

Po modlitwie modlił się i chwalił ofiarę.

Odtąd byki, gdy pachną, pchają,

Co znów prowadzi ludzi do nowej prawdy,

Ryczą wściekle, więc nie ma moczu do słuchania,

Taki Pitagoras zaszczepił w nich przerażenie na zawsze.

Byki, bezsilne, by oprzeć się nowej prawdzie,

Co pozostaje? - Po prostu zamknij oczy, rycz, drżyj.

Nie wiadomo, w jaki sposób Pitagoras udowodnił swoje twierdzenie. Pewne jest, że odkrył ją pod silnym wpływem nauki egipskiej. Szczególny przypadek twierdzenia Pitagorasa - właściwości trójkąta o bokach 3, 4 i 5 - był znany budowniczym piramid na długo przed narodzinami Pitagorasa, podczas gdy on sam studiował u egipskich kapłanów przez ponad 20 lat. Istnieje legenda, która mówi, że Pitagoras, udowodniwszy swoje słynne twierdzenie, złożył bogom w ofierze byka, a według innych źródeł nawet 100 byków. Przeczy to jednak informacjom o poglądach moralnych i religijnych Pitagorasa. W źródłach literackich można przeczytać, że „zakazał nawet zabijania zwierząt, a tym bardziej ich karmienia, bo zwierzęta mają duszę, tak jak my”. Pitagoras jadł tylko miód, chleb, warzywa i okazjonalnie ryby. W związku z tym wszystkim za bardziej prawdopodobny można uznać następujący zapis: „...i nawet gdy odkrył, że w trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna odpowiada nogom, złożył w ofierze byka z ciasta pszennego”.

Popularność twierdzenia Pitagorasa jest tak wielka, że jego dowody można znaleźć nawet w fikcji, na przykład w opowiadaniu słynnego angielskiego pisarza Huxleya „Młody Archimedes”. Ten sam dowód, ale dla szczególnego przypadku trójkąta prostokątnego równoramiennego, jest podany w dialogu Platona Meno.

Dom z bajki.

„Daleko, daleko, gdzie nie latają nawet samoloty, leży kraj Geometrii. W tym niezwykłym kraju było jedno niesamowite miasto - miasto Teorem. Pewnego dnia do tego miasta przybyła piękna dziewczyna o imieniu Hypotenuse. Próbowała dostać pokój, ale gdziekolwiek się ubiegała, wszędzie jej odmawiano. W końcu podeszła do rozklekotanego domu i zapukała. Otworzył ją człowiek, który nazywał się Kątem prostym i zaprosił Przeciwprostokątną, aby z nim zamieszkała. Przeciwprostokątna pozostała w domu, w którym mieszkał Kąt Prosty i jego dwaj mali synowie o imieniu Katet. Od tego czasu życie w Right Angle House zmieniło się w nowy sposób. Przeciwprostokątna zasadziła kwiaty w oknie i rozłożyła czerwone róże w ogródku od frontu. Dom przybrał formę trójkąta prostokątnego. Obie nóżki bardzo polubiły Hypotenuse i poprosiły ją, aby została na zawsze w ich domu. Wieczorami ta przyjazna rodzina zbiera się przy rodzinnym stole. Czasami Right Angle bawi się ze swoimi dziećmi w chowanego. Najczęściej musi szukać, a przeciwprostokątna chowa się tak umiejętnie, że znalezienie go może być bardzo trudne. Pewnego razu podczas gry Kąt prosty zauważył ciekawą właściwość: jeśli uda mu się znaleźć nogi, to znalezienie przeciwprostokątnej nie jest trudne. Więc Right Angle używa tego wzorca, muszę powiedzieć, bardzo skutecznie. Twierdzenie Pitagorasa opiera się na własności tego trójkąta prostokątnego.

(Z książki A. Okuneva „Dziękuję za lekcję, dzieci”).

Zabawne sformułowanie twierdzenia:

Jeśli mamy trójkąt

A ponadto pod kątem prostym,

To jest kwadrat przeciwprostokątnej

Zawsze możemy łatwo znaleźć:

Budujemy nogi w kwadracie,

Znajdujemy sumę stopni -

I to w tak prosty sposób

Dojdziemy do wyniku.

Studiując algebrę i początki analizy i geometrii w 10 klasie byłam przekonana, że oprócz metody dowodzenia twierdzenia Pitagorasa rozważanej w 8 klasie istnieją inne sposoby jego udowodnienia. Przedstawiam je Państwu pod rozwagę.
2. GŁÓWNA CZĘŚĆ.

Twierdzenie. Kwadrat w trójkącie prostokątnym

Przeciwprostokątna jest równa sumie kwadratów nóg.

1 SPOSÓB.

Korzystając z właściwości pól wielokątów, ustalamy niezwykłą zależność między przeciwprostokątną a ramionami trójkąta prostokątnego.

Dowód.

a, w i przeciwprostokątna Z(ryc. 1, a).

Udowodnijmy to c²=a²+b².

Dowód.

Uzupełniamy trójkąt do kwadratu o boku a + b jak pokazano na ryc. 1b. Pole S tego kwadratu to (a + b)². Z drugiej strony ten kwadrat składa się z czterech równych trójkątów prostokątnych, z których każdy ma powierzchnię ½ aw i kwadrat o boku Z, więc s = 4 * ½ śr + s² = 2śr + s².

Zatem,

(a + b)² = 2 śr + s²,

c²=a²+b².

Twierdzenie zostało udowodnione.
2 DROGI.

Po przestudiowaniu tematu „Trójkąty podobne” dowiedziałem się, że można zastosować podobieństwo trójkątów do dowodu twierdzenia Pitagorasa. Mianowicie użyłem stwierdzenia, że ramię trójkąta prostokątnego jest średnią proporcjonalną do przeciwprostokątnej i odcinka przeciwprostokątnej zawartego między bokiem a wysokością poprowadzoną z wierzchołka kąta prostego.

Rozważmy trójkąt prostokątny o kącie prostym C, CD to wysokość (ryc. 2). Udowodnijmy to AC² + SW² = AB² .

Dowód.

Na podstawie stwierdzenia o ramieniu trójkąta prostokątnego:

AC = , CB = .

Podnosimy do kwadratu i dodajemy otrzymane równości:

AC² = AB * AD, CB² = AB * DB;

AC² + CB² = AB * (AD + DB), gdzie zatem AD + DB = AB

AC² + CB² = AB * AB,

AC² + CB² = AB².

Dowód jest kompletny.
3 DROGI.

Definicja cosinusa kąta ostrego trójkąta prostokątnego może być zastosowana do dowodu twierdzenia Pitagorasa. Rozważ Ryc. 3.

Dowód:

Niech ABC będzie danym trójkątem prostokątnym o kącie prostym C. Narysuj wysokość CD z wierzchołka kąta prostego C.

Z definicji cosinusa kąta:

cos A \u003d AD / AC \u003d AC / AB. Stąd AB * AD = AC²

Podobnie,

cos B \u003d BD / pne \u003d pne / AB.

Stąd AB * BD \u003d BC².

Dodając wynikowe równości wyraz po wyrazie i zauważając, że AD + DВ = AB, otrzymujemy:

AC² + słońce² \u003d AB (AD + DB) \u003d AB²

Dowód jest kompletny.
4 DROGI.

Po przestudiowaniu tematu „Stosunki między bokami i kątami trójkąta prostokątnego” myślę, że twierdzenie Pitagorasa można udowodnić w inny sposób.

Rozważ trójkąt prostokątny z nogami a, w i przeciwprostokątna Z. (Rys. 4).

Udowodnijmy to c²=a²+b².

Dowód.

grzech B= klimatyzacja ; sałata B= Jak , następnie, podnosząc wynikowe równości do kwadratu, otrzymujemy:

grzech² B= in²/s²; cos² W\u003d a² / s².

Dodając je, otrzymujemy:

grzech² W+ cos² B= v² / s² + a² / s², gdzie sin² W+ cos² B=1,

1 \u003d (v² + a²) / s², zatem

c² = a² + b².

Dowód jest kompletny.

5 SPOSÓB.

Dowód ten polega na wycięciu kwadratów zbudowanych na nogach (ryc. 5) i ułożeniu powstałych części na kwadracie zbudowanym na przeciwprostokątnej.

6 SPOSÓB.

Do dowodu na cewniku słońce budynek BCD ABC(Rys. 6). Wiemy, że pola figur podobnych są powiązane jako kwadraty ich podobnych wymiarów liniowych:

Odejmując drugą równość od pierwszej równości, otrzymujemy

c2 = a2 + b2.

Dowód jest kompletny.

7 SPOSÓB.

Dany(Rys. 7):

ABS,= 90° , słońce= a, AC=b, AB = do.

Udowodnić:c2 = a2 +b2.

Dowód.

Niech noga B A. Kontynuujmy odcinek południowy zachód za punkt W i zbuduj trójkąt bmd tak, że punkty M I A leżeć po jednej stronie linii prostej płyta CD a poza tym, B.D.=B, BDM= 90°, DM= a zatem bmd= ABC z dwóch stron i kąt między nimi. Punkty A i Młączyć segmentami JESTEM. Mamy lekarz medycyny płyta CD I AC PŁYTA CD, oznacza prosto AC równolegle do linii prostej lekarz medycyny Ponieważ lekarz medycyny< АС, potem prosto płyta CD I JESTEM nie są równoległe. Dlatego, AMDC- prostokątny trapez.

W trójkątach prostokątnych ABC i bmd 1 + 2 = 90° i 3 + 4 = 90°, ale skoro = =, to 3 + 2 = 90°; Następnie AVM=180° - 90° = 90°. Okazało się, że trapez AMDC podzielone na trzy nienakładające się trójkąty prostokątne, a następnie przez aksjomaty obszaru

(a+b)(a+b)

Dzieląc wszystkie wyrazy nierówności przez , otrzymujemy

Ab + c2 + zab = (a +B) , 2 Ab+ c2 = a2+ 2aB+ b2,

c2 = a2 + b2.

Dowód jest kompletny.

8 SPOSÓB.

Ta metoda opiera się na przeciwprostokątnej i nogach trójkąta prostokątnego ABC. Buduje odpowiednie kwadraty i udowadnia, że kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów zbudowanych na nogach (ryc. 8).

Dowód.

1) DBC= FBA= 90°;

DBC+ ABC= FBA+ ABC, Oznacza, FBC= DBA.

Zatem, FBC=ABD(z dwóch stron i kąta między nimi).

2) , gdzie AL DE, ponieważ BD jest wspólną bazą, DL- całkowita wysokość.

3) , ponieważ FB jest bazą, AB- całkowita wysokość.

5) Podobnie można to udowodnić

6) Dodając termin po terminie, otrzymujemy:

, pne2 = AB2 + AC2 . Dowód jest kompletny.

9 SPOSÓB.

Dowód.

1) Niech ABDE- kwadrat (ryc. 9), którego bok jest równy przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego ABC (AB= do, BC = a, AC =B).

2) Niech DK pne I DK = słońce, ponieważ 1 + 2 = 90° (jako kąt ostry trójkąta prostokątnego), 3 + 2 = 90° (jako kąt kwadratu), AB= BD(boki kwadratu).

Oznacza, ABC= BDK(przez przeciwprostokątną i kąt ostry).

3) Niech EL DC, AM EL. Można łatwo udowodnić, że ABC = BDK = DEL = EAM (z nogami A I B). Następnie KS= CM= ML= ŁK= A -B.

4) SKB= 4S+SKLMC= 2ab+ (a–b),Z2 = 2ab + a2 - 2ab + b2,c2 = a2 + b2.

Dowód jest kompletny.

10 SPOSÓB.

Dowód można przeprowadzić na figurze, żartobliwie zwanej „spodnie pitagorejskie” (ryc. 10). Jego ideą jest przekształcenie kwadratów zbudowanych na nogach w równe trójkąty, które razem tworzą kwadrat przeciwprostokątnej.

ABC przesunięcie, jak pokazano strzałką, i zajmuje pozycję KDN. Pozostała część figury AKDCB równa polu kwadratu AKDC- to równoległobok AKNB.

Wykonano model równoległoboku AKNB. Przesuwamy równoległobok zgodnie z naszkicowaniem w treści pracy. Aby pokazać przemianę równoległoboku w trójkąt równoramienny, na oczach uczniów odcinamy trójkąt na modelu i przesuwamy go w dół. A więc pole kwadratu AKDC jest równy polu prostokąta. Podobnie przeliczamy pole kwadratu na pole prostokąta.

Dokonajmy przekształcenia kwadratu zbudowanego na nodze A(ryc. 11, a):

a) kwadrat przekształca się w równoległobok równej wielkości (ryc. 11.6):

b) równoległobok obraca się o ćwierć obrotu (ryc. 12):

c) równoległobok przekształca się w prostokąt o równej wielkości (ryc. 13): 11 SPOSÓB.

Dowód:

PCL- prosty (ryc. 14);

KLOA= AKPF= ACED= a2;

LGBO= CVMR =CBNQ= b 2;

AKGB= AKLO+LGBO= c2;

c2 = a2 + b2.

Koniec dowodu .

12 SPOSÓB.

Ryż. 15 ilustruje inny oryginalny dowód twierdzenia Pitagorasa.

Tutaj: trójkąt ABC o kącie prostym C; odcinek bf prostopadły południowy zachód i równy temu segment BYĆ prostopadły AB i równy temu segment OGŁOSZENIE prostopadły AC i równy mu; zwrotnica F, C,D należą do jednej linii prostej; czworokąty ADFB I ACBE są równe, ponieważ ABF = EBC; trójkąty ADF I AS są równe; od obu równych czworokątów odejmujemy wspólny dla nich trójkąt ABC, dostajemy

, c2 = a2 + b2.

Dowód jest kompletny.

13 SPOSÓB.

Obszar tego trójkąta prostokątnego z jednej strony jest równy , z innym, ,

3. WNIOSEK

W wyniku działań poszukiwawczych osiągnięto cel pracy, jakim jest uzupełnienie i uogólnienie wiedzy na temat dowodu twierdzenia Pitagorasa. Można było znaleźć i rozważyć różne sposoby jej udowodnienia oraz pogłębić wiedzę na ten temat wychodząc poza karty szkolnego podręcznika.

Zebrany przeze mnie materiał jeszcze bardziej przekonuje, że twierdzenie Pitagorasa jest wielkim twierdzeniem geometrii i ma wielkie znaczenie teoretyczne i praktyczne. Podsumowując, chciałbym powiedzieć: powodem popularności twierdzenia Pitagorasa o trójcy jest piękno, prostota i znaczenie!

4. WYKORZYSTANA LITERATURA.

1. Zabawna algebra. . Moskwa „Nauka”, 1978.

2. Tygodniowy dodatek edukacyjno-metodyczny do gazety „Pierwszy września”, 24/2001.

3. Geometria 7-9. itd.

4. Geometria 7-9. itd.

Twierdzenie

W prawym trójkącie kwadrat długości przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów długości nóg (ryc. 1):

$c^(2)=a^(2)+b^(2)$

Dowód twierdzenia Pitagorasa

Niech trójkąt $A B C$ będzie trójkątem prostokątnym o kącie prostym $C$ (rys. 2).

Narysujmy wysokość od wierzchołka $C$ do przeciwprostokątnej $A B$, podstawę wysokości oznaczmy jako $H$ .

Trójkąt prostokątny $A C H$ jest podobny do trójkąta $A B C$ pod dwoma kątami ($\angle A C B=\angle C H A=90^(\circ)$, $\angle A$ jest wspólne). Podobnie trójkąt $C B H$ jest podobny do $A B C$ .

Wprowadzenie notacji

$$B C=a, A C=b, A B=c$$

z podobieństwa trójkątów otrzymujemy to

$$\frac(a)(c)=\frac(H B)(a), \frac(b)(c)=\frac(A H)(b)$$

Stąd mamy to

$$a^(2)=c \cdot H B, b^(2)=c \cdot A H$$

Dodając otrzymane równości, otrzymujemy

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot H B+c \cdot A H$$

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot(H B+A H)$$

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot A B$$

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot c$$

$$a^(2)+b^(2)=c^(2)$$

co było do okazania

Geometryczne sformułowanie twierdzenia Pitagorasa

Twierdzenie

W prawym trójkącie pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej jest równe sumie obszarów kwadratów zbudowanych na nogach (ryc. 2):

Przykłady rozwiązywania problemów

Przykład

Ćwiczenia. Masz trójkąt prostokątny $A B C$, którego przyprostokątne mają 6 cm i 8 cm. Znajdź przeciwprostokątną tego trójkąta.

Rozwiązanie. Zgodnie z warunkiem nogi $a=6$ cm, $b=8$ cm Wtedy, zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa, kwadrat przeciwprostokątnej

$c^(2)=a^(2)+b^(2)=6^(2)+8^(2)=36+64=100$

Stąd otrzymujemy wymaganą przeciwprostokątną

$c=\sqrt(100)=10$ (cm)

Odpowiedź. 10 cm

Przykład

Ćwiczenia. Znajdź pole trójkąta prostokątnego, jeśli wiadomo, że jedna z jego nóg jest o 5 cm dłuższa od drugiej, a przeciwprostokątna ma 25 cm.

Rozwiązanie. Niech $x$ cm będzie długością krótszej nogi, wtedy $(x+5)$ cm będzie długością większej nogi. Wtedy, zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa, mamy:

$$x^(2)+(x+5)^(2)=25^(2)$$

Otwieramy nawiasy, zmniejszamy podobne i rozwiązujemy wynikowe równanie kwadratowe:

$x^(2)+5 x-300=0$

Zgodnie z twierdzeniem Vieta otrzymujemy to

$x_(1)=15$ (cm) , $x_(2)=-20$ (cm)

Wartość $x_(2)$ nie spełnia warunku zadania, co oznacza, że mniejsza noga ma 15 cm, a większa 20 cm.

Obszar trójkąta prostokątnego to połowa iloczynu długości jego nóg, to znaczy

$$S=\frac(15 \cdot 20)(2)=15 \cdot 10=150\left(\mathrm(cm)^(2)\right)$$

Odpowiedź.$S=150\left(\mathrm(cm)^(2)\right)$

Odniesienie historyczne

twierdzenie Pitagorasa- jedno z podstawowych twierdzeń geometrii euklidesowej, ustalające związek między bokami trójkąta prostokątnego.

Starożytna chińska książka "Zhou bi suan jing" mówi o trójkącie pitagorejskim o bokach 3, 4 i 5. Największy niemiecki historyk matematyki Moritz Kantor (1829 - 1920) uważa, że równość $3^(2)+4^(2 )=5^ (2) $ było już znane Egipcjanom około 2300 roku pne. Według naukowca budowniczowie zbudowali następnie kąty proste, używając trójkątów prostokątnych o bokach 3, 4 i 5. Nieco więcej wiadomo o twierdzeniu Pitagorasa wśród Babilończyków. Jeden tekst podaje przybliżone obliczenie przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego równoramiennego.

W tej chwili w literaturze naukowej odnotowano 367 dowodów tego twierdzenia. Prawdopodobnie twierdzenie Pitagorasa jest jedynym twierdzeniem z tak imponującą liczbą dowodów. Taką różnorodność można wytłumaczyć jedynie fundamentalnym znaczeniem twierdzenia dla geometrii.

twierdzenie Pitagorasa: Suma pól kwadratów podpartych nogami ( A I B), jest równy polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej ( C).

Formuła geometryczna:

Twierdzenie zostało pierwotnie sformułowane w następujący sposób:

Sformułowanie algebraiczne:

Oznacza to, że oznacza długość przeciwprostokątnej trójkąta przez C, a długości nóg przez A I B :

A 2 + B 2 = C 2

Oba sformułowania twierdzenia są równoważne, ale drugie sformułowanie jest bardziej elementarne, nie wymaga pojęcia pola. Oznacza to, że drugie stwierdzenie można zweryfikować, nie wiedząc nic o polu i mierząc tylko długości boków trójkąta prostokątnego.

Odwrotne twierdzenie Pitagorasa:

Dowód

Oczywiście, koncepcyjnie, wszystkie z nich można podzielić na niewielką liczbę klas. Najsłynniejsze z nich: dowody metodą powierzchniową, dowody aksjomatyczne i egzotyczne (np. za pomocą równań różniczkowych).

Przez podobne trójkąty

Poniższy dowód sformułowania algebraicznego jest najprostszym z dowodów zbudowanych bezpośrednio z aksjomatów. W szczególności nie używa pojęcia pola figury.

Pozwalać ABC istnieje trójkąt prostokątny C. Narysujmy wysokość z C i oznaczmy jego podstawę przez H. Trójkąt ACH podobny do trójkąta ABC w dwóch rogach. Podobnie trójkąt CBH podobny ABC. Wprowadzenie notacji

dostajemy

Co jest równoważne

Dodając, otrzymujemy

Dowody powierzchniowe

Poniższe dowody, pomimo swojej pozornej prostoty, wcale nie są takie proste. Wszystkie wykorzystują własności pola, którego dowód jest bardziej skomplikowany niż dowód samego twierdzenia Pitagorasa.

Dowód przez równoważność

Ułóż cztery równe trójkąty prostokątne, jak pokazano na rysunku 1.
Czworokąt z bokami C jest kwadratem, ponieważ suma dwóch kątów ostrych wynosi 90°, a kąt prosty 180°.
Pole całej figury jest z jednej strony równe polu kwadratu o boku (a + b), a z drugiej strony sumie pól czterech trójkątów i dwóch wewnętrznych kwadraty.

co było do okazania

Dowód przez równoważność

Elegancki dowód permutacji

Przykład jednego z tych dowodów pokazano na rysunku po prawej stronie, gdzie kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej jest zamieniany przez permutację na dwa kwadraty zbudowane na nogach.

Dowód Euklidesa

Rysunek do dowodu Euklidesa

Ilustracja do dowodu Euklidesa

Idea dowodu Euklidesa jest następująca: spróbujmy udowodnić, że połowa pola kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej jest równa sumie połówek kwadratów zbudowanych na nogach, a następnie pól duże i dwa małe kwadraty są równe.

Rozważ rysunek po lewej stronie. Zbudowaliśmy na nim kwadraty po bokach trójkąta prostokątnego i narysowaliśmy promień s z wierzchołka kąta prostego C prostopadłego do przeciwprostokątnej AB, przecina on kwadrat ABIK zbudowany na przeciwprostokątnej na dwa prostokąty - BHJI i HAKJ odpowiednio. Okazuje się, że pola tych prostokątów są dokładnie równe powierzchniom kwadratów zbudowanych na odpowiednich nogach.

Spróbujmy udowodnić, że pole kwadratu DECA jest równe polu prostokąta AHJK W tym celu wykorzystujemy obserwację pomocniczą: Pole trójkąta o takiej samej wysokości i podstawie jak podana prostokąt jest równy połowie pola danego prostokąta. Jest to konsekwencja zdefiniowania pola trójkąta jako połowy iloczynu podstawy i wysokości. Z tej obserwacji wynika, że pole trójkąta ACK jest równe polu trójkąta AHK (nie pokazano), które z kolei jest równe połowie pola prostokąta AHJK.

Udowodnijmy teraz, że pole trójkąta ACK jest również równe połowie pola kwadratu DECA. Jedyne, co należy w tym celu zrobić, to udowodnić równość trójkątów ACK i BDA (ponieważ pole trójkąta BDA jest równe połowie powierzchni kwadratu według powyższej właściwości). Ta równość jest oczywista, trójkąty są równe z dwóch stron i kąta między nimi. Mianowicie - AB=AK,AD=AC - równość kątów CAK i BAD łatwo udowodnić metodą ruchową: obróćmy trójkąt CAK o 90° przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, wtedy oczywiste jest, że odpowiednie boki dwóch rozważanych trójkątów będą pokrywają się (ponieważ kąt przy wierzchołku kwadratu wynosi 90°).

Argument o równości pól kwadratu BCFG i prostokąta BHJI jest całkowicie analogiczny.

W ten sposób udowodniliśmy, że pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej jest sumą pól kwadratów zbudowanych na nogach. Ideę tego dowodu dodatkowo ilustruje powyższa animacja.

Dowód Leonarda da Vinci

Głównymi elementami dowodu są symetria i ruch.

Rozważ rysunek, jak widać z symetrii, segmentu CI rozcina kwadrat ABHJ na dwie identyczne części (ponieważ trójkąty ABC I JHI są równe w budowie). Używając obrotu o 90 stopni w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, widzimy równość zacieniowanych figur CAJI I GDAB . Teraz jest jasne, że pole zacienionej przez nas figury jest równe sumie połowy pól kwadratów zbudowanych na nogach i pola pierwotnego trójkąta. Z drugiej strony jest równy połowie pola kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej plus pole pierwotnego trójkąta. Ostatni krok w dowodzie pozostawiono czytelnikowi.

Dowód metodą nieskończenie małych

Poniższy dowód za pomocą równań różniczkowych jest często przypisywany słynnemu angielskiemu matematykowi Hardy'emu, który żył w pierwszej połowie XX wieku.

Biorąc pod uwagę rysunek pokazany na rysunku i obserwując zmianę boku A, możemy napisać następującą zależność dla nieskończenie małych przyrostów boku Z I A(używając podobnych trójkątów):

Dowód metodą nieskończenie małych

Stosując metodę rozdzielania zmiennych, znajdujemy

Bardziej ogólne wyrażenie na zmianę przeciwprostokątnej w przypadku przyrostów obu nóg

Całkując to równanie i korzystając z warunków początkowych, otrzymujemy

C 2 = A 2 + B 2 + stała.

W ten sposób dochodzimy do pożądanej odpowiedzi

C 2 = A 2 + B 2 .

Jak łatwo zauważyć, zależność kwadratowa w ostatecznym wzorze pojawia się z powodu liniowej proporcjonalności między bokami trójkąta a przyrostami, podczas gdy suma wynika z niezależnych wkładów z przyrostu różnych nóg.

Prostszy dowód można uzyskać, jeśli założymy, że jedna z nóg nie doznaje przyrostu (w tym przypadku noga B). Następnie dla stałej integracji otrzymujemy

Wariacje i uogólnienia

Jeśli zamiast kwadratów na nogach zbudowane są inne podobne figury, to prawdziwe jest następujące uogólnienie twierdzenia Pitagorasa: W trójkącie prostokątnym suma pól figur podobnych zbudowanych na nogach jest równa polu figury zbudowanej na przeciwprostokątnej. W szczególności:
- Suma obszarów regularnych trójkątów zbudowanych na nogach jest równa polu regularnego trójkąta zbudowanego na przeciwprostokątnej.
- Suma pól półkola zbudowanego na nogach (jak na średnicy) jest równa polu półkola zbudowanego na przeciwprostokątnej. Przykład ten służy do udowodnienia właściwości figur ograniczonych łukami dwóch kół i noszących nazwę hipokratesa lunula.

Fabuła

Chu-pei 500–200 pne. Po lewej stronie napis: suma kwadratów długości wysokości i podstawy to kwadrat długości przeciwprostokątnej.

Starożytna chińska książka Chu-pei mówi o trójkącie pitagorejskim o bokach 3, 4 i 5: W tej samej książce proponuje się rysunek, który pokrywa się z jednym z rysunków hinduskiej geometrii Baskhary.

Kantor (największy niemiecki historyk matematyki) uważa, że równość 3 ² + 4 ² = 5² była znana Egipcjanom już około 2300 roku pne. e., w czasach króla Amenemheta I (według papirusu 6619 Muzeum Berlińskiego). Według Cantora harpedonapty, czyli „podłużnice”, budowały kąty proste, używając trójkątów prostokątnych o bokach 3, 4 i 5.

Bardzo łatwo jest odtworzyć ich sposób budowy. Weź linę o długości 12 m i przywiąż ją wzdłuż kolorowego paska w odległości 3 m. z jednego końca i 4 metry od drugiego. Między bokami o długości 3 i 4 m będzie zawarty kąt prosty. Harpedonaptom można by zarzucić, że ich sposób budowania staje się zbędny, jeśli użyje się na przykład drewnianego kwadratu używanego przez wszystkich stolarzy. Rzeczywiście znane są rysunki egipskie, w których znajduje się takie narzędzie, na przykład rysunki przedstawiające warsztat stolarski.

Nieco więcej wiadomo o twierdzeniu Pitagorasa wśród Babilończyków. W jednym tekście datowanym na czasy Hammurabiego, czyli na rok 2000 pne. e. podano przybliżone obliczenie przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego. Z tego możemy wywnioskować, że w Mezopotamii byli w stanie wykonywać obliczenia z trójkątami prostokątnymi, przynajmniej w niektórych przypadkach. Opierając się z jednej strony na obecnym stanie znajomości matematyki egipskiej i babilońskiej, a z drugiej na krytycznej analizie źródeł greckich, Van der Waerden (matematyk holenderski) doszedł do następujących wniosków:

Literatura

Po rosyjsku

Skopets Z. A. Miniatury geometryczne. M., 1990
Jeleński Sz. Podążając śladami Pitagorasa. M., 1961
Van der Waerden B. L. Przebudzenie nauki. Matematyka starożytnego Egiptu, Babilonu i Grecji. M., 1959
Glazer GI Historia matematyki w szkole. M., 1982
W. Litzman, „Twierdzenie Pitagorasa” M., 1960.
- Strona o twierdzeniu Pitagorasa z dużą liczbą dowodów, materiał pochodzi z książki W. Litzmana, duża liczba rysunków jest prezentowana jako osobne pliki graficzne.
Twierdzenie Pitagorasa i trójki pitagorejskie rozdział z książki D. V. Anosova „Spojrzenie na matematykę i coś z niej”
O twierdzeniu Pitagorasa i metodach jego dowodu G. Glaser, akademik Rosyjskiej Akademii Edukacji, Moskwa

Po angielsku

Twierdzenie Pitagorasa w WolframMathWorld
Cut-The-Knot, sekcja dotycząca twierdzenia Pitagorasa, około 70 dowodów i obszerne informacje dodatkowe (ang.)

Fundacja Wikimedia. 2010 .

Twierdzenie Pitagorasa mówi:

W trójkącie prostokątnym suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej:

za 2 + b 2 = do 2,

A I B- nogi tworzące kąt prosty.
Z jest przeciwprostokątną trójkąta.

Wzory twierdzenia Pitagorasa

a = \sqrt(c^(2) - b^(2))
b = \sqrt (c^(2) - a^(2))
c = \sqrt (a^(2) + b^(2))

Dowód twierdzenia Pitagorasa

Obszar trójkąta prostokątnego oblicza się według wzoru:

S = \frac(1)(2)ab

Aby obliczyć obszar dowolnego trójkąta, formuła obszaru to:

P- półobwód. p=\frac(1)(2)(a+b+c) ,
R jest promieniem wpisanego okręgu. Dla prostokąta r=\frac(1)(2)(a+b-c).

Następnie zrównujemy prawe strony obu wzorów na pole trójkąta:

\frac(1)(2) ab = \frac(1)(2)(a+b+c) \frac(1)(2)(a+b-c)

2 ab = (a+b+c) (a+b-c)

2 ab = \left((a+b)^(2) -c^(2) \right)

2ab = a^(2)+2ab+b^(2)-c^(2)

0=a^(2)+b^(2)-c^(2)

c^(2) = a^(2)+b^(2)

Odwrotne twierdzenie Pitagorasa:

Jeśli kwadrat jednego boku trójkąta jest równy sumie kwadratów dwóch pozostałych boków, to trójkąt jest prostokątny. To znaczy dla dowolnej trójki liczb dodatnich a, b I C, takie że

za 2 + b 2 = do 2,

istnieje trójkąt prostokątny z nogami A I B i przeciwprostokątna C.

twierdzenie Pitagorasa- jedno z podstawowych twierdzeń geometrii euklidesowej, ustalające związek między bokami trójkąta prostokątnego. Udowodnił to naukowiec matematyk i filozof Pitagoras.

Znaczenie twierdzenia w tym, że można go użyć do udowodnienia innych twierdzeń i rozwiązania problemów.

Dodatkowy materiał:

Jednak imię to otrzymuje się na cześć naukowca tylko dlatego, że jest on pierwszą, a nawet jedyną osobą, która była w stanie udowodnić twierdzenie.

Niemiecki historyk matematyki Kantor twierdził, że twierdzenie to było już znane Egipcjanom około 2300 roku pne. mi. Uważał, że kąty proste budowano kiedyś dzięki trójkątom prostokątnym o bokach 3, 4 i 5.

Słynny naukowiec Kepler powiedział, że geometria ma niezastąpiony skarb - jest to twierdzenie Pitagorasa, dzięki któremu możliwe jest wyprowadzenie większości twierdzeń w geometrii.

Wcześniej twierdzenie Pitagorasa było nazywane „twierdzeniem o pannie młodej” lub „twierdzeniem nimfy”. Rzecz w tym, że jej rysunek był bardzo podobny do motyla lub nimfy. Arabowie, tłumacząc tekst twierdzenia, uznali, że nimfa oznacza pannę młodą. W ten sposób pojawiła się interesująca nazwa twierdzenia.

Twierdzenie Pitagorasa, wzór

Twierdzenie

- w prawym trójkącie suma kwadratów nóg () jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej (). Jest to jedno z podstawowych twierdzeń geometrii euklidesowej.

Formuła:

Jak już wspomniano, istnieje wiele różnych dowodów twierdzenia z wszechstronnymi podejściami matematycznymi. Jednak twierdzenia o powierzchni są częściej używane.

Skonstruuj kwadraty na trójkącie ( niebieski, zielony, czerwony)

Oznacza to, że suma pól kwadratów zbudowanych na nogach jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej. W związku z tym obszary tych kwadratów są równe -. To jest geometryczne wyjaśnienie Pitagorasa.

Dowód twierdzenia metodą powierzchniową: 1 sposób

Udowodnijmy to.

Rozważ ten sam trójkąt z nogami a, b i przeciwprostokątną c.

Uzupełniamy prawy trójkąt do kwadratu. Od nogi „a” kontynuujemy linię do długości nogi „b” (linia czerwona).
Następnie rysujemy linię nowej nogi „a” po prawej stronie (zielona linia).
Łączymy dwie nogi przeciwprostokątną „c”.

Okazuje się, że ten sam trójkąt, tylko odwrócony.

Podobnie budujemy z drugiej strony: od nogi „a” rysujemy linię nogi „b” i w dół „a” i „b” A od dołu nogi „b” rysujemy linię noga „a”. Na środku każdej nogi narysowano przeciwprostokątną „c”. W ten sposób przeciwprostokątne utworzyły kwadrat pośrodku.

Ten kwadrat składa się z 4 identycznych trójkątów. A obszar każdego prawego trójkąta = połowa iloczynu jego nóg. Odpowiednio, . A obszar kwadratu w środku = , ponieważ wszystkie 4 przeciwprostokątne mają boki. Boki czworokąta są równe, a kąty proste. Jak możemy udowodnić, że kąty są proste? Bardzo prosta. Weźmy ten sam kwadrat:

Wiemy, że dwa kąty pokazane na rysunku mają miarę 90 stopni. Ponieważ trójkąty są równe, następny kąt ramienia „b” jest równy poprzedniemu ramieniu „b”:

Suma tych dwóch kątów = 90 stopni. W związku z tym poprzedni kąt wynosi również 90 stopni. Oczywiście to samo jest po drugiej stronie. W związku z tym naprawdę mamy kwadrat z kątami prostymi.

Ponieważ kąty ostre trójkąta prostokątnego mają łącznie 90 stopni, kąt czworokąta również będzie miał 90 stopni, ponieważ łącznie 3 kąty = 180 stopni.

W związku z tym obszar kwadratu składa się z czterech obszarów identycznych trójkątów prostokątnych i obszaru kwadratu utworzonego przez przeciwprostokątne.

W ten sposób otrzymaliśmy kwadrat o boku . Wiemy, że pole kwadratu o boku jest kwadratem jego boku. To jest . Ten kwadrat składa się z czterech identycznych trójkątów.

A to oznacza, że udowodniliśmy twierdzenie Pitagorasa.

WAŻNY!!! Jeśli znajdziemy przeciwprostokątną, to dodamy dwie nogi, a następnie wyprowadzimy odpowiedź z korzenia. Po znalezieniu jednej z nóg: od kwadratu długości drugiej nogi odejmij kwadrat długości przeciwprostokątnej i znajdź pierwiastek kwadratowy.