Derivácia funkcie y x c sa rovná. Derivácia komplexnej funkcie

Na ktorom sme analyzovali najjednoduchšie deriváty a tiež sme sa oboznámili s pravidlami diferenciácie a niektorými technikami hľadania derivátov. Ak teda nie ste veľmi v derivátoch funkcií alebo vám niektoré body tohto článku nie sú úplne jasné, prečítajte si najprv vyššie uvedenú lekciu. Prosím, nalaďte sa na vážnu náladu - materiál nie je ľahký, ale aj tak sa ho pokúsim podať jednoduchým a prístupným spôsobom.

V praxi sa musíte veľmi často zaoberať deriváciou komplexnej funkcie, dokonca by som povedal, že takmer vždy, keď dostanete úlohy na nájdenie derivácií.

V tabuľke sa pozrieme na pravidlo (č. 5) na diferenciáciu komplexnej funkcie:

Porozumenie. V prvom rade sa venujme nahrávke. Tu máme dve funkcie – a navyše funkcia je, obrazne povedané, vo funkcii zakomponovaná. Funkcia tohto druhu (keď je jedna funkcia vnorená do inej) sa nazýva komplexná funkcia.

Zavolám funkciu vonkajšia funkcia a funkciu - vnútorná (alebo vnorená) funkcia.

! Tieto definície nie sú teoretické a nemali by sa objaviť v konečnom návrhu zadaní. Neformálne výrazy „vonkajšia funkcia“, „vnútorná“ funkcia používam len preto, aby som vám uľahčil pochopenie látky.

Ak chcete objasniť situáciu, zvážte:

Príklad 1

Nájdite deriváciu funkcie

Pod sínusom nemáme len písmeno "X", ale celočíselný výraz, takže deriváciu nebude možné okamžite nájsť z tabuľky. Všimli sme si tiež, že tu nie je možné použiť prvé štyri pravidlá, zdá sa, že existuje rozdiel, ale faktom je, že sínus nemôžete „roztrhnúť“:

V tomto príklade, už z mojich vysvetlení, je intuitívne jasné, že funkcia je komplexná funkcia a polynóm je vnútorná funkcia (vnorenie) a vonkajšia funkcia.

Prvý krok, ktorý je potrebné vykonať pri hľadaní derivácie komplexnej funkcie, je to zistiť, ktorá funkcia je vnútorná a ktorá vonkajšia.

V prípade jednoduchých príkladov sa zdá jasné, že polynóm je vnorený pod sínus. Ale čo ak všetko nie je zrejmé? Ako presne určiť, ktorá funkcia je vonkajšia a ktorá vnútorná? Na tento účel navrhujem použiť nasledujúcu techniku, ktorú je možné vykonať mentálne alebo na návrhu.

Predstavte si, že potrebujeme vypočítať hodnotu výrazu at na kalkulačke (namiesto jedného môže byť ľubovoľné číslo).

Čo vypočítame ako prvé? Po prvé budete musieť vykonať nasledujúcu akciu:, takže polynóm bude internou funkciou:

Po druhé bude potrebné nájsť, takže sínus bude externá funkcia:

Po nás Zistil s vnútornými a vonkajšími funkciami je čas uplatniť pravidlo diferenciácie komplexnej funkcie .

Začíname sa rozhodovať. Z lekcie Ako nájdem derivát? pamätáme si, že návrh riešenia akejkoľvek derivácie vždy začína takto - výraz uzavrieme do zátvoriek a vpravo hore umiestnime ťah:

Najprv nájdite deriváciu vonkajšej funkcie (sínus), pozrite si tabuľku derivácií elementárnych funkcií a všimnite si to. Všetky tabuľkové vzorce sú použiteľné aj vtedy, ak je „x“ nahradené zložitým výrazom, v tomto prípade:

Všimnite si, že vnútorná funkcia sa nezmenil, nedotýkame sa ho.

No to je celkom zrejmé

Výsledok použitia vzorca vo finálnom dizajne to vyzerá takto:

Konštantný faktor je zvyčajne umiestnený na začiatku výrazu:

Ak dôjde k nejasnostiam, zapíšte si riešenie a znova si prečítajte vysvetlenia.

Príklad 2

Nájdite deriváciu funkcie

Príklad 3

Nájdite deriváciu funkcie

Ako vždy píšeme:

Poďme zistiť, kde máme vonkajšiu funkciu a kde máme vnútornú. Ak to chcete urobiť, skúste (mentálne alebo na koncepte) vypočítať hodnotu výrazu at. Čo treba urobiť ako prvé? Najprv musíte vypočítať, čomu sa rovná základňa: čo znamená, že polynóm je vnútorná funkcia:

A až potom sa vykoná umocnenie, preto je výkonová funkcia vonkajšou funkciou:

Podľa vzorca , najprv musíte nájsť deriváciu vonkajšej funkcie, v tomto prípade stupeň. Požadovaný vzorec hľadáme v tabuľke:. Znova opakujeme: akýkoľvek tabuľkový vzorec platí nielen pre "x", ale aj pre komplexný výraz... Teda výsledok uplatnenia pravidla diferenciácie komplexnej funkcie Ďalšie:

Opäť zdôrazňujem, že keď vezmeme deriváciu vonkajšej funkcie, vnútorná funkcia sa nám nezmení:

Teraz zostáva nájsť veľmi jednoduchú deriváciu vnútornej funkcie a výsledok trochu „učesať“:

Príklad 4

Nájdite deriváciu funkcie

Toto je príklad nezávislého riešenia (odpoveď na konci tutoriálu).

Pre upevnenie pochopenia derivácie komplexnej funkcie uvediem príklad bez komentárov, skúste si na to prísť sami, špekulujte, kde je vonkajšia a kde vnútorná funkcia, prečo sa úlohy riešili takto?

Príklad 5

a) Nájdite deriváciu funkcie

b) Nájdite deriváciu funkcie

Príklad 6

Nájdite deriváciu funkcie

Tu máme koreň a na rozlíšenie koreňa musí byť reprezentovaný ako stupeň. Najprv teda uvedieme funkciu do formy vhodnej na diferenciáciu:

Pri analýze funkcie dospejeme k záveru, že súčet troch členov je vnútorná funkcia a umocňovanie je vonkajšia funkcia. Uplatňujeme pravidlo diferenciácie komplexnej funkcie :

Stupeň je opäť reprezentovaný ako radikál (odmocnina) a pre deriváciu vnútornej funkcie aplikujeme jednoduché pravidlo na derivovanie súčtu:

Pripravený. Môžete tiež uviesť výraz do spoločného menovateľa v zátvorkách a všetko zapísať do jedného zlomku. Pekné, samozrejme, ale keď sa získajú ťažkopádne dlhé deriváty, je lepšie to nerobiť (je ľahké sa zmiasť, urobiť zbytočnú chybu a pre učiteľa bude nepohodlná kontrola).

Príklad 7

Nájdite deriváciu funkcie

Toto je príklad nezávislého riešenia (odpoveď na konci tutoriálu).

Je zaujímavé poznamenať, že niekedy namiesto pravidla na diferenciáciu komplexnej funkcie možno použiť pravidlo na diferenciáciu kvocientu , ale takéto riešenie bude vyzerať neobvykle ako zvrátenosť. Tu je typický príklad:

Príklad 8

Nájdite deriváciu funkcie

Tu môžete použiť pravidlo na diferenciáciu kvocientu , ale je oveľa výnosnejšie nájsť deriváciu pomocou pravidla diferenciácie komplexnej funkcie:

Pripravíme funkciu na diferenciáciu - posunieme mínus mimo znamienka derivácie a zvýšime kosínus do čitateľa:

Kosínus je vnútorná funkcia, umocňovanie je vonkajšia funkcia.
Používame naše pravidlo :

Nájdite deriváciu vnútornej funkcie, resetujte kosínus späť:

Pripravený. V uvažovanom príklade je dôležité nenechať sa zmiasť v znameniach. Mimochodom, skúste to vyriešiť pravidlom , odpovede sa musia zhodovať.

Príklad 9

Nájdite deriváciu funkcie

Toto je príklad nezávislého riešenia (odpoveď na konci tutoriálu).

Doteraz sme sa zaoberali prípadmi, keď sme mali v komplexnej funkcii iba jednu prílohu. V praktických úlohách sa často dajú nájsť odvodeniny, kde sa ako hniezdiace bábiky jedna do druhej vnorí 3 alebo aj 4-5 funkcií naraz.

Príklad 10

Nájdite deriváciu funkcie

Poďme pochopiť prílohy tejto funkcie. Pokúšame sa vyhodnotiť výraz pomocou testovacej hodnoty. Ako by sme rátali s kalkulačkou?

Najprv musíte nájsť, čo znamená, že arcsínus je najhlbšie hniezdenie:

Potom by mal byť tento arcsínus jedna odmocnený:

A nakoniec zdvihnite 7 na silu:

To znamená, že v tomto príklade máme tri rôzne funkcie a dve prílohy, pričom najvnútornejšia funkcia je arkussínus a vonkajšia funkcia je exponenciálna funkcia.

Začíname riešiť

Podľa pravidla najprv musíte vziať deriváciu vonkajšej funkcie. Pozrieme sa na tabuľku derivácií a nájdeme deriváciu exponenciálnej funkcie: Jediný rozdiel je v tom, že namiesto „x“ máme komplexný výraz, ktorý nepopiera platnosť tohto vzorca. Takže výsledok uplatnenia pravidla diferenciácie komplexnej funkcie Ďalšie.

Je veľmi ľahké si to zapamätať.

No nejdeme ďaleko, hneď budeme uvažovať o inverznej funkcii. Ktorá funkcia je inverzná k exponenciálnej funkcii? Logaritmus:

V našom prípade je základom číslo:

Takýto logaritmus (teda logaritmus so základom) sa nazýva „prirodzený“ a používame preň špeciálny zápis: namiesto toho píšte.

čo sa rovná? Samozrejme, .

Derivácia prirodzeného logaritmu je tiež veľmi jednoduchá:

Príklady:

Nájdite deriváciu funkcie.
Aká je derivácia funkcie?

odpovede: Exponent a prirodzený logaritmus sú z hľadiska derivácie jedinečne jednoduché funkcie. Exponenciálne a logaritmické funkcie s akoukoľvek inou bázou budú mať inú deriváciu, ktorú budeme analyzovať neskôr, keď si prejdeme pravidlá diferenciácie.

Pravidlá diferenciácie

Pravidlá čoho? Opäť nový termín, opäť?! ...

Diferenciácia je proces hľadania derivátu.

To je všetko. Ako inak nazvať tento proces jedným slovom? Nie je to derivácia... Diferenciál matematiky sa nazýva rovnaký prírastok funkcie at. Tento výraz pochádza z latinského differentia – rozdiel. Tu.

Pri odvodzovaní všetkých týchto pravidiel použijeme dve funkcie, napríklad a. Potrebujeme tiež vzorce pre ich prírastky:

Celkovo existuje 5 pravidiel.

Konštanta je posunutá mimo derivačného znamienka.

Ak je nejaké konštantné číslo (konštanta), tak.

Je zrejmé, že toto pravidlo funguje aj pre rozdiel:.

Poďme to dokázať. Nechajte, alebo jednoduchšie.

Príklady.

Nájdite deriváty funkcií:

v bode;
v bode;
v bode;
v bode.

Riešenia:

(derivácia je vo všetkých bodoch rovnaká, keďže ide o lineárnu funkciu, pamätáte?);

Derivát diela

Všetko je tu rovnaké: predstavujeme novú funkciu a nájdeme jej prírastok:

odvodený:

Príklady:

Nájdite derivácie funkcií a;
Nájdite deriváciu funkcie v bode.

Riešenia:

Derivácia exponenciálnej funkcie

Teraz sú vaše znalosti dostatočné na to, aby ste sa naučili nájsť deriváciu akejkoľvek exponenciálnej funkcie, nielen exponentu (zabudli ste, čo to je?).

Tak kde je nejaké číslo.

Deriváciu funkcie už poznáme, takže skúsme pretypovať našu funkciu na nový základ:

Na to použijeme jednoduché pravidlo:. potom:

No podarilo sa. Teraz skúste nájsť deriváciu a nezabudnite, že táto funkcia je zložitá.

Stalo?

Tu sa presvedčte:

Ukázalo sa, že vzorec je veľmi podobný derivácii exponentu: ako to bolo, zostalo, objavil sa iba multiplikátor, ktorý je len číslom, ale nie premennou.

Príklady:
Nájdite deriváty funkcií:

odpovede:

Toto je len číslo, ktoré sa nedá vypočítať bez kalkulačky, teda nedá sa napísať v jednoduchšej forme. Preto to v odpovedi necháme v tejto podobe.

Všimnite si, že tu je kvocient dvoch funkcií, takže použijeme zodpovedajúce pravidlo diferenciácie:

V tomto príklade súčin dvoch funkcií:

Derivácia logaritmickej funkcie

Tu je to podobné: deriváciu prirodzeného logaritmu už poznáte:

Preto nájsť ľubovoľný logaritmus s inou základňou, napríklad:

Tento logaritmus musíte preniesť na základňu. Ako zmeníte základ logaritmu? Dúfam, že si pamätáte tento vzorec:

Až teraz namiesto napíšeme:

Menovateľ je len konštanta (konštantné číslo, žiadna premenná). Derivát je veľmi jednoduchý:

Deriváty exponenciálnych a logaritmických funkcií sa v skúške takmer nikdy nenachádzajú, ale nebude zbytočné ich poznať.

Derivácia komplexnej funkcie.

Čo je to „komplexná funkcia“? Nie, toto nie je logaritmus ani arkustangens. Tieto funkcie môžu byť ťažko pochopiteľné (hoci ak sa vám logaritmus zdá ťažký, prečítajte si tému „Logaritmy“ a všetko prejde), ale z pohľadu matematiky slovo „ťažký“ neznamená „ťažký“.

Predstavte si malý dopravný pás: dvaja ľudia sedia a robia nejakú akciu s nejakými predmetmi. Napríklad prvý zabalí čokoládovú tyčinku do obalu a druhý ju previaže stuhou. Ukazuje sa taký zložený objekt: čokoládová tyčinka zabalená a zviazaná stuhou. Ak chcete zjesť čokoládovú tyčinku, musíte urobiť opačné kroky v opačnom poradí.

Vytvorme podobný matematický pipeline: najprv nájdeme kosínus čísla a potom výsledné číslo odmocníme. Takže dostaneme číslo (čokoládová tyčinka), nájdem jej kosínus (obal) a potom utvoríte štvorec, čo mám (previažete to stuhou). Čo sa stalo? Funkcia. Toto je príklad komplexnej funkcie: keď na zistenie jej hodnoty vykonáme prvú akciu priamo s premennou a potom ďalšiu druhú akciu s výsledkom prvej.

Inými slovami, komplexná funkcia je funkcia, ktorej argumentom je iná funkcia: .

Pre náš príklad,.

Môžeme urobiť tie isté akcie v opačnom poradí: najprv odmocni a potom hľadám kosínus výsledného čísla:. Je ľahké uhádnuť, že výsledok bude takmer vždy iný. Dôležitá vlastnosť komplexných funkcií: keď zmeníte poradie akcií, funkcia sa zmení.

Druhý príklad: (rovnaký). ...

Akcia, ktorú urobíme ako posledná, bude zavolaná "Externá" funkcia, a najprv vykonaná akcia - resp "Vnútorná" funkcia(sú to neformálne názvy, používam ich len na vysvetlenie látky jednoduchým jazykom).

Skúste sami určiť, ktorá funkcia je vonkajšia a ktorá vnútorná:

odpovede: Oddelenie vnútorných a vonkajších funkcií je veľmi podobné zmene premenných: napríklad vo funkcii

Aké je prvé opatrenie? Najprv vypočítame sínus a až potom ho zdvihneme na kocku. To znamená, že ide o vnútornú funkciu, ale vonkajšiu.
A pôvodná funkcia je ich zloženie:.
Vnútorné:; vonkajší:.
Vyšetrenie: .
Vnútorné:; vonkajší:.
Vyšetrenie: .
Vnútorné:; vonkajší:.
Vyšetrenie: .
Vnútorné:; vonkajší:.
Vyšetrenie: .

zmeníme premenné a dostaneme funkciu.

Teraz vytiahneme našu čokoládovú tyčinku - hľadajte derivát. Postup je vždy opačný: najprv hľadáme deriváciu vonkajšej funkcie, potom výsledok vynásobíme deriváciou vnútornej funkcie. Vo vzťahu k pôvodnému príkladu to vyzerá takto:

Ďalší príklad:

Poďme teda konečne sformulovať oficiálne pravidlo:

Algoritmus na nájdenie derivácie komplexnej funkcie:

Všetko sa zdá byť jednoduché, však?

Pozrime sa na príklady:

Riešenia:

1) Interné:;

Vonkajšie:;

2) Interné:;

(len sa teraz nepokúšajte znížiť! Spod kosínusu sa nedá nič vybrať, pamätáte?)

3) Interné:;

Vonkajšie:;

Okamžite je jasné, že ide o trojúrovňovú komplexnú funkciu: veď toto je už sama o sebe zložitá funkcia a z nej extrahujeme aj koreň, čiže vykonáme tretiu akciu (vložíme čokoládovú tyčinku obal a vložte ho do kufríka so stuhou). Nie je však dôvod na strach: každopádne túto funkciu „rozbalíme“ v rovnakom poradí ako zvyčajne: od konca.

To znamená, že najprv diferencujeme koreň, potom kosínus a až potom výraz v zátvorkách. A toto všetko potom vynásobíme.

V takýchto prípadoch je vhodné očíslovať kroky. To znamená, predstavme si, čo vieme. V akom poradí vykonáme akcie na výpočet hodnoty tohto výrazu? Vezmime si príklad:

Čím neskôr sa akcia vykoná, tým „externejšia“ bude príslušná funkcia. Postupnosť akcií - ako predtým:

Tu je hniezdenie vo všeobecnosti 4-úrovňové. Definujme postup.

1. Radikálny výraz. ...

2. Koreň. ...

3. Sínus. ...

4. Štvorec. ...

5. Dajte všetko dokopy:

DERIVÁT. STRUČNE O HLAVNOM

Derivácia funkcie- pomer prírastku funkcie k prírastku argumentu s nekonečne malým prírastkom argumentu:

Základné deriváty:

Pravidlá diferenciácie:

Konštanta sa presunie mimo derivačného znamienka:

Derivát sumy:

Derivát diela:

Derivát kvocientu:

Derivácia komplexnej funkcie:

Algoritmus na nájdenie derivácie komplexnej funkcie:

Definujeme „internú“ funkciu, nájdeme jej deriváciu.
Definujeme „vonkajšiu“ funkciu, nájdeme jej deriváciu.
Výsledky prvého a druhého bodu vynásobíme.

Pravdepodobne každý z nás pozná pojem derivát už zo školy. Študenti majú zvyčajne problém pochopiť túto, nepochybne veľmi dôležitú vec. Aktívne sa používa v rôznych oblastiach ľudského života a mnohé technické pokroky boli založené práve na matematických výpočtoch získaných pomocou derivátu. Ale predtým, než prejdeme k analýze toho, čo sú to derivácie čísel, ako ich vypočítať a kde sa hodia, ponorme sa trochu do histórie.

História

Základy matematickej analýzy objavil (je lepšie povedať dokonca „vynájdený“, pretože v prírode ako takej neexistoval) Isaac Newton, ktorého všetci poznáme z objavu zákona univerzálnej gravitácie. Bol to on, kto prvýkrát aplikoval tento koncept vo fyzike na prepojenie povahy rýchlosti a zrýchlenia telies. A mnohí vedci stále chvália Newtona za tento veľkolepý vynález, pretože v skutočnosti vynašiel základ diferenciálneho a integrálneho počtu, v skutočnosti základ celej oblasti matematiky nazývanej „matematická analýza“. Ak by v tom čase bola Nobelova cena, Newton by ju s najväčšou pravdepodobnosťou dostal niekoľkokrát.

Nie bez iných veľkých myslí. Okrem Newtona na vývoji derivácie a integrálu pracovali takí významní géniovia matematiky ako Leonard Euler, Louis Lagrange a Gottfried Leibniz. Práve vďaka nim sme dostali teóriu do podoby, v akej existuje dodnes. Mimochodom, bol to Leibniz, kto objavil geometrický význam derivácie, ktorá sa ukázala ako tangenta uhla sklonu dotyčnice ku grafu funkcie.

Čo sú deriváty čísel? Zopakujme si trochu, čím sme si v škole prešli.

Čo je derivát?

Tento pojem možno definovať niekoľkými rôznymi spôsobmi. Najjednoduchšie vysvetlenie: derivácia je rýchlosť zmeny funkcie. Predstavte si graf nejakej funkcie y verzus x. Ak to nie je priamka, potom má v grafe nejaké ohyby, obdobia zvyšovania a znižovania. Ak vezmeme akýkoľvek infinitezimálny interval tohto grafu, bude to priamka. Takže pomer veľkosti tohto nekonečne malého segmentu pozdĺž súradnice y k veľkosti pozdĺž súradnice x bude deriváciou tejto funkcie v danom bode. Ak uvažujeme funkciu ako celok, a nie v konkrétnom bode, dostaneme funkciu derivácie, teda určitú závislosť hry od x.

Okrem rýchlosti zmeny funkcie existuje aj geometrický význam. Teraz sa o ňom porozprávame.

Geometrický význam

Samotné deriváty čísel predstavujú určité číslo, ktoré bez správneho pochopenia nemá žiadny význam. Ukazuje sa, že derivácia ukazuje nielen rýchlosť rastu alebo poklesu funkcie, ale aj tangens sklonu dotyčnice ku grafu funkcie v danom bode. Nie celkom jasná definícia. Poďme si to rozobrať podrobnejšie. Povedzme, že máme graf nejakej funkcie (pre zaujímavosť si zoberme krivku). Je na ňom nekonečne veľa bodov, no sú oblasti, kde má maximum alebo minimum len jeden jediný bod. Cez akýkoľvek takýto bod môžete nakresliť priamku, ktorá by bola v tomto bode kolmá na graf funkcie. Takáto čiara sa bude nazývať dotyčnica. Povedzme, že sme to nakreslili na priesečník s osou OX. Takže uhol získaný medzi dotyčnicou a osou OX bude určený deriváciou. Presnejšie povedané, dotyčnica tohto uhla sa mu bude rovnať.

Povedzme si niečo o špeciálnych prípadoch a analyzujme derivácie čísel.

Špeciálne prípady

Ako sme povedali, derivácie čísel sú hodnoty derivácie v určitom bode. Vezmime si napríklad funkciu y = x 2. Derivácia x je číslo a vo všeobecnom prípade je funkcia rovná 2 * x. Ak potrebujeme vypočítať deriváciu povedzme v bode x 0 = 1, dostaneme y "(1) = 2 * 1 = 2. Všetko je veľmi jednoduché. Zaujímavým prípadom je derivácia. Povedzme, že toto je číslo, ktoré obsahuje takzvanú imaginárnu jednotku - číslo, ktorého druhá mocnina sa rovná 1. Výpočet takejto derivácie je možný len pri splnení nasledujúcich podmienok:

1) Musia existovať parciálne derivácie prvého rádu reálnej a imaginárnej časti z hľadiska y a x.

2) Cauchyho-Riemannove podmienky, ktoré súvisia s rovnosťou parciálnych derivácií opísaných v prvom odseku, sú splnené.

Ďalším zaujímavým prípadom, aj keď nie tak náročným ako predchádzajúci, je derivácia záporného čísla. V skutočnosti akékoľvek záporné číslo možno považovať za kladné číslo vynásobené -1. Nuž, derivácia konštanty a funkcie sa rovná konštante vynásobenej deriváciou funkcie.

Bude zaujímavé dozvedieť sa o úlohe derivátu v každodennom živote a o tom teraz budeme diskutovať.

Aplikácia

Pravdepodobne sa každý z nás aspoň raz v živote pristihne pri myšlienke, že matematika mu pravdepodobne nebude užitočná. A taká zložitá vec, akou je derivát, pravdepodobne nemá vôbec žiadne uplatnenie. V skutočnosti matematiku – a všetky jej plody rozvíja najmä fyzika, chémia, astronómia a dokonca aj ekonómia. Derivát položil základ, ktorý nám dal možnosť vyvodzovať závery z grafov funkcií a vďaka nemu sme sa naučili interpretovať prírodné zákony a otočiť ich vo svoj prospech.

Záver

Samozrejme, nie každý môže potrebovať derivát v reálnom živote. Ale matematika rozvíja logiku, ktorá bude určite potrebná. Nie nadarmo sa matematike hovorí kráľovná vied: tvoria sa z nej základy na pochopenie iných oblastí poznania.

Bez znalosti derivácie a metód jej výpočtu je absolútne nemožné riešiť fyzikálne problémy alebo príklady v matematike. Derivácia je jedným z najdôležitejších pojmov v matematickej analýze. Tejto zásadnej téme sme sa rozhodli venovať dnešný článok. Čo je to derivácia, aký je jej fyzikálny a geometrický význam, ako vypočítať deriváciu funkcie? Všetky tieto otázky možno spojiť do jednej: ako porozumieť derivátu?

Geometrický a fyzikálny význam derivácie

Nech existuje funkcia f (x) uvedené v nejakom intervale (a, b) ... Do tohto intervalu patria body х a х0. Keď sa zmení x, zmení sa aj samotná funkcia. Zmena argumentu - rozdiel medzi jeho hodnotami x-x0 ... Tento rozdiel je napísaný ako delta x a nazýva sa prírastok argumentov. Zmena alebo prírastok funkcie je rozdiel v hodnotách funkcie v dvoch bodoch. Definícia derivátu:

Derivácia funkcie v bode je limitom pomeru prírastku funkcie v danom bode k prírastku argumentu, keď ten má tendenciu k nule.

Inak sa to dá napísať aj takto:

Aký zmysel má nájsť takúto hranicu? A tu je čo:

derivácia funkcie v bode sa rovná dotyčnici uhla medzi osou OX a dotyčnici ku grafu funkcie v tomto bode.

Fyzikálny význam derivátu: derivácia dráhy vzhľadom na čas sa rovná rýchlosti priamočiareho pohybu.

V skutočnosti už od školských čias každý vie, že rýchlosť je súkromná cesta. x = f (t) a čas t ... Priemerná rýchlosť za určité obdobie:

Ak chcete zistiť rýchlosť pohybu v čase t0 musíte vypočítať limit:

Pravidlo jedna: vyberte konštantu

Konštantu možno presunúť mimo znamienka derivácie. Navyše sa to musí urobiť. Pri riešení príkladov v matematike berte ako pravidlo - ak môžete zjednodušiť výraz, určite zjednodušte .

Príklad. Vypočítajme deriváciu:

Pravidlo dva: derivácia súčtu funkcií

Derivácia súčtu dvoch funkcií sa rovná súčtu derivácií týchto funkcií. To isté platí pre deriváciu rozdielu funkcií.

Nebudeme dávať dôkazy o tejto vete, ale uvažujme skôr o praktickom príklade.

Nájdite deriváciu funkcie:

Pravidlo tri: derivácia súčinu funkcií

Derivácia súčinu dvoch diferencovateľných funkcií sa vypočíta podľa vzorca:

Príklad: nájdite deriváciu funkcie:

Riešenie:

Tu je dôležité povedať o výpočte derivácií komplexných funkcií. Derivácia komplexnej funkcie sa rovná súčinu derivácie tejto funkcie vzhľadom na stredný argument deriváciou stredného argumentu vzhľadom na nezávislú premennú.

Vo vyššie uvedenom príklade sa stretneme s výrazom:

V tomto prípade je stredný argument 8-násobok k piatej mocnine. Aby sme mohli vypočítať deriváciu takéhoto výrazu, najprv vypočítame deriváciu externej funkcie vzhľadom na stredný argument a potom vynásobíme deriváciou bezprostredného stredného argumentu vzhľadom na nezávislú premennú.

Pravidlo štyri: kvocientová derivácia dvoch funkcií

Vzorec na určenie derivácie podielu dvoch funkcií:

Snažili sme sa vám povedať o derivátoch pre figuríny od začiatku. Táto téma nie je taká jednoduchá, ako to znie, takže buďte upozornení: v príkladoch sa často vyskytujú úskalia, preto buďte opatrní pri výpočte derivátov.

S akoukoľvek otázkou na túto a iné témy sa môžete obrátiť študentská služba... V krátkom čase vám pomôžeme vyriešiť najťažší test a vysporiadať sa s úlohami, aj keď ste ešte nikdy nerobili počítanie derivácií.