Komplexné deriváty. Logaritmická derivácia.
Derivácia exponenciálnej funkcie

Pokračujeme v zlepšovaní našej techniky diferenciácie. V tejto lekcii si skonsolidujeme preberaný materiál, zvážime zložitejšie deriváty a tiež sa oboznámime s novými technikami a trikmi na nájdenie derivátu, najmä s logaritmickým derivátom.

Čitatelia s nízkou úrovňou vzdelania by si mali prečítať článok Ako nájdem derivát? Príklady riešení, čo vám umožní zvýšiť svoje zručnosti takmer od nuly. Ďalej musíte starostlivo preštudovať stránku Derivácia komplexnej funkcie, pochopiť a vyriešiť všetky príklady, ktoré som uviedol. Táto lekcia je logicky už tretia v poradí a po jej zvládnutí s istotou odlíšite pomerne zložité funkcie. Je nežiaduce držať sa pozície „Kde inde? A to je dosť! “, Pretože všetky príklady a riešenia sú prevzaté zo skutočných testov a často sa vyskytujú v praxi.

Začnime opakovaním. Na lekcii Derivácia komplexnej funkcie pozreli sme sa na množstvo príkladov s podrobnými komentármi. V priebehu štúdia diferenciálneho počtu a iných odvetví matematickej analýzy budete musieť veľmi často rozlišovať a nie je vždy vhodné (a nie vždy potrebné) písať príklady veľmi podrobne. Preto si hľadanie derivátov precvičíme ústne. Najvhodnejšími „kandidátmi“ na to sú deriváty najjednoduchších alebo komplexných funkcií, napríklad:

Podľa pravidla diferenciácie komplexnej funkcie :

Pri štúdiu iných tém matanu v budúcnosti sa takýto podrobný záznam často nevyžaduje, predpokladá sa, že študent je schopný nájsť podobné deriváty na automatickom autopilotovi. Predstavte si, že o tretej ráno zazvonil telefón a príjemný hlas sa spýtal: "Aká je derivácia dotyčnice dvoch X?" Potom by mala nasledovať takmer okamžitá a zdvorilá odpoveď: .

Prvý príklad bude okamžite určený na nezávislé riešenie.

Príklad 1

Nájdite nasledujúce deriváty ústne, v jednom kroku, napríklad:. Na dokončenie úlohy musíte použiť iba tabuľka derivácií elementárnych funkcií(ak sa ešte nepamätá). Ak máte nejaké ťažkosti, odporúčam si lekciu znovu prečítať. Derivácia komplexnej funkcie.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Odpovede na konci lekcie

Komplexné deriváty

Po predbežnej delostreleckej príprave budú príklady s 3-4-5 funkčnými prílohami menej desivé. Možno sa niekomu budú zdať nasledujúce dva príklady ťažké, ale ak ich pochopíte (niekto bude trpieť), tak takmer všetko ostatné v diferenciálnom počte bude pôsobiť ako detský vtip.

Príklad 2

Nájdite deriváciu funkcie

Ako už bolo uvedené, pri hľadaní derivácie komplexnej funkcie je to potrebné predovšetkým správny ROZUMIETE prílohám. V prípadoch, keď existujú pochybnosti, spomínam na užitočnú techniku: vezmeme napríklad experimentálnu hodnotu „X“ a pokúsime sa (mentálne alebo na koncepte) nahradiť túto hodnotu v „strašnom výraze“.

1) Najprv musíme vypočítať výraz, čo znamená, že suma je najhlbšia investícia.

2) Potom musíte vypočítať logaritmus:

4) Potom zdvihnite kosínus na kocku:

5) V piatom kroku rozdiel:

6) A nakoniec najvzdialenejšia funkcia je druhá odmocnina:

Vzorec na diferenciáciu komplexných funkcií sa aplikujú v opačnom poradí, od vonkajšej funkcie po najvnútornejšiu. Rozhodujeme sa:

Vyzerá to bez chýb....

(1) Vezmite deriváciu druhej odmocniny.

(2) Zoberieme deriváciu rozdielu pomocou pravidla

(3) Derivácia trojky je nula. V druhom člene vezmeme deriváciu stupňa (kocku).

(4) Vezmeme deriváciu kosínusu.

(5) Zoberieme deriváciu logaritmu.

(6) Nakoniec vezmeme derivát najhlbšieho hniezdenia.

Možno to znie príliš ťažko, no toto ešte nie je ten najbrutálnejší príklad. Vezmite si napríklad Kuznecovovu zbierku a oceníte všetko čaro a jednoduchosť analyzovaného derivátu. Všimol som si, že podobnú vec radi dajú na skúšku, aby si overili, či študent rozumie, ako nájsť deriváciu komplexnej funkcie, alebo nerozumie.

Ďalší príklad je pre riešenie „urob si sám“.

Príklad 3

Nájdite deriváciu funkcie

Tip: Najprv použite pravidlá linearity a pravidlo diferenciácie produktu

Kompletné riešenie a odpoveď na konci tutoriálu.

Teraz je čas prejsť na niečo kompaktnejšie a roztomilejšie.
Nie je nezvyčajné, že príklad uvádza súčin nie dvoch, ale troch funkcií. Ako nájsť deriváciu súčinu troch faktorov?

Príklad 4

Nájdite deriváciu funkcie

Najprv sa pozrime, či je možné premeniť súčin troch funkcií na súčin dvoch funkcií? Napríklad, ak by sme v súčine mali dva polynómy, potom by sme mohli rozšíriť zátvorky. Ale v tomto príklade sú všetky funkcie odlišné: stupeň, exponent a logaritmus.

V takýchto prípadoch je to nevyhnutné dôsledne uplatňovať pravidlo diferenciácie produktov dvakrát

Trik je v tom, že pre "y" označujeme súčin dvoch funkcií: a pre "ve" - ​​logaritmus:. Prečo sa to dá urobiť? je to? - toto nie je súčin dvoch faktorov a pravidlo nefunguje?! Nie je nič zložité:

Teraz zostáva po druhýkrát uplatniť pravidlo do zátvorky:

Stále môžete byť zvrátení a dať niečo mimo zátvorky, ale v tomto prípade je lepšie nechať odpoveď v tejto forme - bude to jednoduchšie skontrolovať.

Uvažovaný príklad možno vyriešiť druhým spôsobom:

Obe riešenia sú absolútne ekvivalentné.

Príklad 5

Nájdite deriváciu funkcie

Toto je príklad na nezávislé riešenie, v ukážke je to riešené prvým spôsobom.

Pozrime sa na podobné príklady so zlomkami.

Príklad 6

Nájdite deriváciu funkcie

Existuje niekoľko spôsobov, ako sa sem dostať:

Alebo takto:

Ale riešenie bude napísané kompaktnejšie, ak najprv použijeme pravidlo na diferenciáciu kvocientu , pričom pre celý čitateľ:

V zásade je príklad vyriešený a ak ho necháte tak, nebude to chyba. Ale ak máte čas, vždy je vhodné skontrolovať návrh, ale je možné zjednodušiť odpoveď? Zredukujme vyjadrenie čitateľa na spoločného menovateľa a zbaviť sa trojposchodového zlomku:

Nevýhodou dodatočných zjednodušení je, že existuje riziko, že sa pomýlime nie pri hľadaní derivátu, ale v prípade banálnych školských transformácií. Na druhej strane učitelia často zadanie odmietnu a žiadajú „priviesť na myseľ“ derivát.

Jednoduchší príklad riešenia „urob si sám“:

Príklad 7

Nájdite deriváciu funkcie

Pokračujeme v ovládaní metód hľadania derivácie a teraz zvážime typický prípad, keď sa na diferenciáciu navrhuje „hrozný“ logaritmus.

Príklad 8

Nájdite deriváciu funkcie

Tu môžete prejsť dlhú cestu pomocou pravidla diferenciácie komplexnej funkcie:

Ale hneď prvý krok vás okamžite uvrhne do skľúčenosti - musíte si vziať nepríjemný derivát zo zlomkového stupňa a potom aj zo zlomku.

Preto predtým ako vziať deriváciu „fantastického“ logaritmu, je predbežne zjednodušené pomocou známych školských vlastností:

! Ak máte po ruke cvičný zošit, skopírujte si tieto vzorce priamo tam. Ak nemáte zošit, prekreslite si ich na papier, pretože zvyšok príkladov z lekcií sa bude točiť okolo týchto vzorcov.

Samotné riešenie môže byť štruktúrované takto:

Transformujme funkciu:

Nájdite derivát:

Predkonfigurácia samotnej funkcie výrazne zjednodušila riešenie. Preto, keď je na diferenciáciu navrhnutý podobný logaritmus, je vždy vhodné ho „rozbiť“.

A teraz pár jednoduchých príkladov pre nezávislé riešenie:

Príklad 9

Nájdite deriváciu funkcie

Príklad 10

Nájdite deriváciu funkcie

Všetky transformácie a odpovede na konci lekcie.

Logaritmická derivácia

Ak je derivácia logaritmov taká sladká hudba, potom vyvstáva otázka, či je možné v niektorých prípadoch logaritmus umelo usporiadať? Môcť! A dokonca nevyhnutné.

Príklad 11

Nájdite deriváciu funkcie

Podobné príklady sme videli nedávno. Čo robiť? Môžete dôsledne aplikovať pravidlo pre diferenciáciu kvocientu a potom pravidlo pre diferenciáciu práce. Nevýhodou tejto metódy je, že získate obrovský trojposchodový zlomok, ktorým sa vôbec nechcete zaoberať.

Ale v teórii a praxi existuje taká úžasná vec ako logaritmická derivácia. Logaritmy možno umelo organizovať ich „zavesením“ na obe strany:

Poznámka : odkedy funkcia môže nadobúdať záporné hodnoty, potom vo všeobecnosti musíte použiť moduly: ktoré zaniknú v dôsledku diferenciácie. Prijateľný je však aj súčasný dizajn, kde sú zohľadnené predvolené hodnoty komplexný hodnoty. Ale ak so všetkou prísnosťou, potom v oboch prípadoch by sa mala urobiť výhrada.

Teraz musíte maximálne "zničiť" logaritmus pravej strany (vzorce pred vašimi očami?). Popíšem tento proces veľmi podrobne:

V skutočnosti pristúpime k diferenciácii.
Obe časti prikladáme pod ťah:

Derivát pravej strany je celkom jednoduchý, nebudem ho komentovať, pretože ak čítate tento text, mali by ste sa s ním s istotou vyrovnať.

A čo ľavá strana?

Na ľavej strane máme komplexná funkcia... Predpokladám otázku: "Prečo, pod logaritmom je aj jedno písmeno" ygrek "?"

Faktom je, že tento „jednopísmenový igrek“ - SAMA SÁM JE FUNKCIOU(ak to nie je veľmi jasné, pozrite si článok Odvodené z implicitnej funkcie). Preto je logaritmus vonkajšia funkcia a „hra“ je vnútorná funkcia. A používame pravidlo diferenciácie komplexnej funkcie :

Na ľavej strane akoby kúzlom máme derivát. Ďalej, podľa pravidla proporcie, hodíme „hru“ od menovateľa ľavej strany k hornej časti pravej strany:

A teraz si pripomeňme, o akej „hernej“ funkcii sme hovorili pri diferenciácii? Pozeráme sa na stav:

Konečná odpoveď:

Príklad 12

Nájdite deriváciu funkcie

Toto je príklad riešenia „urob si sám“. Ukážka návrhu príkladu tohto typu na konci hodiny.

Pomocou logaritmickej derivácie bolo možné vyriešiť ktorýkoľvek z príkladov 4-7, ale iná vec je, že funkcie sú tam jednoduchšie a možno použitie logaritmickej derivácie nie je príliš opodstatnené.

Derivácia exponenciálnej funkcie

O tejto funkcii sme zatiaľ neuvažovali. Exponenciálna funkcia je funkcia, v ktorej a stupeň a základ závisia od "x"... Klasický príklad, ktorý vám bude uvedený v akejkoľvek učebnici alebo na akejkoľvek prednáške:

Ako nájsť deriváciu exponenciálnej funkcie?

Je potrebné použiť práve uvažovanú techniku ​​- logaritmickú deriváciu. Logaritmy zavesíme na obe strany:

Stupeň sa spravidla odoberá spod logaritmu na pravej strane:

Výsledkom je, že na pravej strane sme dostali súčin dvoch funkcií, ktoré budú diferencované podľa štandardného vzorca .

Nájdeme deriváciu, preto obe časti uzatvoríme pod ťahy:

Ďalšie akcie sú jednoduché:

Nakoniec:

Ak nejaká transformácia nie je úplne jasná, pozorne si znovu prečítajte vysvetlenia v príklade 11.

V praktických úlohách bude exponenciálna funkcia vždy komplikovanejšia ako uvažovaný príklad z prednášky.

Príklad 13

Nájdite deriváciu funkcie

Používame logaritmickú deriváciu.

Na pravej strane máme konštantu a súčin dvoch faktorov - "x" a "logaritmus logaritmu x" (ďalší logaritmus je vložený pod logaritmus). Pri diferencovaní konštanty, ako si pamätáme, je lepšie ihneď vyňať znamienko derivácie, aby vám neprekážalo pod nohami; a samozrejme uplatňujeme známe pravidlo :

Dôkaz a odvodenie vzorcov pre deriváciu prirodzeného logaritmu a základu logaritmu. Príklady výpočtu derivácií ln 2x, ln 3x a ln nx. Dôkaz vzorca pre deriváciu n-tého rádu logaritmu metódou matematickej indukcie.

Obsah

Pozri tiež: Logaritmus - vlastnosti, vzorce, graf
Prirodzený logaritmus - vlastnosti, vzorce, graf

Odvodenie vzorcov pre derivácie prirodzeného logaritmu a logaritmickej bázy a

Derivácia prirodzeného logaritmu x sa rovná jednej delenej x:
(1) (ln x) ′ =.

Derivácia základu logaritmu a sa rovná jednej delenej premennou x krát prirodzený logaritmus logaritmu a:
(2) (log a x) ′ =.

Dôkaz

Nech existuje nejaké kladné číslo, ktoré sa nerovná jednej. Uvažujme funkciu, ktorá závisí od premennej x, čo je logaritmus k základu:
.
Táto funkcia je definovaná na. Nájdite jej deriváciu vzhľadom na premennú x. Podľa definície je derivát nasledujúci limit:
(3) .

Transformujme tento výraz, aby sme ho zredukovali na známe matematické vlastnosti a pravidlá. Aby sme to dosiahli, potrebujeme poznať nasledujúce skutočnosti:
A) Vlastnosti logaritmu. Potrebujeme nasledujúce vzorce:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
b) Spojitosť logaritmu a vlastnosť limity pre spojitú funkciu:
(7) .
Tu je nejaká funkcia, ktorá má limit a tento limit je kladný.
V) Význam druhej pozoruhodnej hranice:
(8) .

Tieto fakty aplikujeme v rámci našich možností. Najprv transformujeme algebraický výraz
.
Na to použijeme vlastnosti (4) a (5).

.

Použime vlastnosť (7) a druhú pozoruhodnú hranicu (8):
.

A nakoniec použijeme vlastnosť (6):
.
Logaritmická základňa e volal prirodzený logaritmus... Označuje sa takto:
.
Potom ;
.

Takto sme získali vzorec (2) pre deriváciu logaritmu.

Derivácia prirodzeného logaritmu

Ešte raz napíšeme vzorec pre deriváciu logaritmu vzhľadom na základ a:
.
Tento vzorec má najjednoduchší tvar pre prirodzený logaritmus, pre ktorý,. Potom
(1) .

Kvôli tejto jednoduchosti je prirodzený logaritmus veľmi široko používaný v matematickej analýze a v iných odvetviach matematiky súvisiacich s diferenciálnym počtom. Logaritmické funkcie s inými bázami možno vyjadriť prirodzeným logaritmom pomocou vlastnosti (6):
.

Základnú deriváciu logaritmu možno nájsť zo vzorca (1), ak je konštanta vyňatá zo znamienka diferenciácie:
.

Iné spôsoby, ako dokázať deriváciu logaritmu

Tu predpokladáme, že poznáme vzorec pre deriváciu exponentu:
(9) .
Potom môžeme odvodiť vzorec pre deriváciu prirodzeného logaritmu za predpokladu, že logaritmus je inverznou hodnotou k exponenciálnej funkcii.

Dokážme vzorec pre deriváciu prirodzeného logaritmu, použitím vzorca pre deriváciu inverznej funkcie:
.
V našom prípade. Funkcia inverzná k prirodzenému logaritmu je exponent:
.
Jeho derivácia je určená vzorcom (9). Premenné môžu byť označené ľubovoľným písmenom. Vo vzorci (9) nahraďte premennú x za y:
.
Odvtedy
.
Potom
.
Vzorec je osvedčený.

Teraz dokážeme vzorec pre deriváciu prirodzeného logaritmu pomocou komplexné pravidlá diferenciácie funkcií... Pretože funkcie a sú navzájom inverzné
.
Túto rovnicu diferencujeme vzhľadom na premennú x:
(10) .
X-derivát sa rovná jednej:
.
Aplikujeme pravidlo diferencovania komplexnej funkcie:
.
Tu . Nahradiť v (10):
.
Odtiaľ
.

Príklad

Nájdite deriváty 2x, ln 3x a ln nx.

Pôvodné funkcie sú podobné. Preto nájdeme deriváciu funkcie y = ln nx... Potom zapojte n = 2 a n = 3. A tak získame vzorce pre deriváty ln 2x a ln 3x .

Hľadáme teda deriváciu funkcie
y = ln nx .
Predstavme si túto funkciu ako komplexnú funkciu, ktorá sa skladá z dvoch funkcií:
1) Funkcie závislé od premenných:;
2) Funkcie závislé od premenných:.
Potom sa pôvodná funkcia skladá z funkcií a:
.

Nájdite deriváciu funkcie vzhľadom na premennú x:
.
Nájdite deriváciu funkcie vzhľadom na premennú:
.
Aplikujeme vzorec pre deriváciu komplexnej funkcie.
.
Tu sme sa postavili.

Tak sme našli:
(11) .
Vidíme, že derivácia je nezávislá od n. Tento výsledok je celkom prirodzený, ak transformujeme pôvodnú funkciu pomocou vzorca pre logaritmus súčinu:
.
je konštantná. Jeho derivácia je nulová. Potom podľa pravidla na rozlíšenie súčtu máme:
.

; ; .

Derivácia logaritmu modulu x

Poďme nájsť deriváciu ďalšej veľmi dôležitej funkcie - prirodzeného logaritmu modulu x:
(12) .

Uvažujme o prípade. Potom má funkcia tvar:
.
Jeho derivát je určený vzorcom (1):
.

Teraz zvážte prípad. Potom má funkcia tvar:
,
kde .
Vo vyššie uvedenom príklade sme však našli aj deriváciu tejto funkcie. Nezávisí od n a rovná sa
.
Potom
.

Tieto dva prípady spojíme do jedného vzorca:
.

Preto pre logaritmickú základňu a máme:
.

Deriváty vyššieho rádu prirodzeného logaritmu

Zvážte funkciu
.
Našli sme jeho derivát prvého rádu:
(13) .

Nájdite derivát druhého rádu:
.
Nájdite derivát tretieho rádu:
.
Poďme nájsť derivát štvrtého rádu:
.

Je možné vidieť, že derivácia n-tého rádu má tvar:
(14) .
Dokážme to metódou matematickej indukcie.

Dôkaz

Dosadíme hodnotu n = 1 do vzorca (14):
.
Pretože potom pre n = 1 platí vzorec (14).

Predpokladajme, že vzorec (14) platí pre n = k. Dokážme, že to znamená, že vzorec platí pre n = k + 1 .

V skutočnosti pre n = k máme:
.
Podľa premennej x rozlišujeme:

.
Takže sme dostali:
.
Tento vzorec sa zhoduje so vzorcom (14) pre n = k + 1 ... Z predpokladu, že vzorec (14) platí pre n = k, teda vyplýva, že vzorec (14) platí pre n = k + 1 .

Preto vzorec (14) pre deriváciu n-tého rádu platí pre každé n.

Deriváty logaritmu vyššieho rádu so základom a

Ak chcete nájsť deriváciu bázy a logaritmu n-tého rádu, musíte ju vyjadriť pomocou prirodzeného logaritmu:
.
Použitím vzorca (14) nájdeme n-tú deriváciu:
.

Pozri tiež:

Je veľmi ľahké si to zapamätať.

No nejdeme ďaleko, hneď budeme uvažovať o inverznej funkcii. Ktorá funkcia je inverzná k exponenciálnej funkcii? Logaritmus:

V našom prípade je základom číslo:

Takýto logaritmus (teda logaritmus so základom) sa nazýva „prirodzený“ a používame preň špeciálny zápis: namiesto toho píšte.

čo sa rovná? Samozrejme, .

Derivácia prirodzeného logaritmu je tiež veľmi jednoduchá:

Príklady:

1. Nájdite deriváciu funkcie.
2. Aká je derivácia funkcie?

odpovede: Exponent a prirodzený logaritmus sú z hľadiska derivácie jedinečne jednoduché funkcie. Exponenciálne a logaritmické funkcie s akoukoľvek inou bázou budú mať inú deriváciu, ktorú budeme analyzovať neskôr, keď si prejdeme pravidlá diferenciácie.

Pravidlá diferenciácie

Pravidlá čoho? Opäť nový termín, opäť?! ...

Diferenciácia je proces hľadania derivátu.

To je všetko. Ako inak nazvať tento proces jedným slovom? Nie je to derivácia... Diferenciál matematiky sa nazýva rovnaký prírastok funkcie at. Tento výraz pochádza z latinského differentia – rozdiel. Tu.

Pri odvodzovaní všetkých týchto pravidiel použijeme dve funkcie, napríklad a. Potrebujeme tiež vzorce pre ich prírastky:

Celkovo existuje 5 pravidiel.

Konštanta je posunutá mimo derivačného znamienka.

Ak je nejaké konštantné číslo (konštanta), tak.

Je zrejmé, že toto pravidlo funguje aj pre rozdiel:.

Poďme to dokázať. Nechajte, alebo jednoduchšie.

Príklady.

Nájdite deriváty funkcií:

1. v bode;
2. v bode;
3. v bode;
4. v bode.

Riešenia:

1. (derivácia je vo všetkých bodoch rovnaká, keďže ide o lineárnu funkciu, pamätáte?);

Derivát diela

Všetko je tu rovnaké: predstavujeme novú funkciu a nájdeme jej prírastok:

odvodený:

Príklady:

1. Nájdite derivácie funkcií a;
2. Nájdite deriváciu funkcie v bode.

Riešenia:

Derivácia exponenciálnej funkcie

Teraz sú vaše znalosti dostatočné na to, aby ste sa naučili nájsť deriváciu akejkoľvek exponenciálnej funkcie, nielen exponentu (zabudli ste, čo to je?).

Tak kde je nejaké číslo.

Deriváciu funkcie už poznáme, takže skúsme pretypovať našu funkciu na nový základ:

Na to použijeme jednoduché pravidlo:. potom:

No podarilo sa. Teraz skúste nájsť deriváciu a nezabudnite, že táto funkcia je zložitá.

Stalo?

Tu sa presvedčte:

Ukázalo sa, že vzorec je veľmi podobný derivácii exponentu: ako to bolo, zostalo, objavil sa iba multiplikátor, ktorý je len číslom, ale nie premennou.

Príklady:
Nájdite deriváty funkcií:

odpovede:

Toto je len číslo, ktoré sa nedá vypočítať bez kalkulačky, teda nedá sa napísať v jednoduchšej forme. Preto to v odpovedi necháme v tejto podobe.

Všimnite si, že tu je kvocient dvoch funkcií, takže použijeme zodpovedajúce pravidlo diferenciácie:

V tomto príklade súčin dvoch funkcií:

Derivácia logaritmickej funkcie

Tu je to podobné: deriváciu prirodzeného logaritmu už poznáte:

Preto nájsť ľubovoľný logaritmus s inou základňou, napríklad:

Tento logaritmus musíte preniesť na základňu. Ako zmeníte základ logaritmu? Dúfam, že si pamätáte tento vzorec:

Až teraz namiesto napíšeme:

Menovateľ je len konštanta (konštantné číslo, žiadna premenná). Derivát je veľmi jednoduchý:

Deriváty exponenciálnych a logaritmických funkcií sa v skúške takmer nikdy nenachádzajú, ale nebude zbytočné ich poznať.

Derivácia komplexnej funkcie.

Čo je to „komplexná funkcia“? Nie, toto nie je logaritmus ani arkustangens. Tieto funkcie môžu byť ťažko pochopiteľné (hoci ak sa vám logaritmus zdá ťažký, prečítajte si tému „Logaritmy“ a všetko prejde), ale z pohľadu matematiky slovo „ťažký“ neznamená „ťažký“.

Predstavte si malý dopravný pás: dvaja ľudia sedia a robia nejakú akciu s nejakými predmetmi. Napríklad prvý zabalí čokoládovú tyčinku do obalu a druhý ju previaže stuhou. Ukazuje sa taký zložený objekt: čokoládová tyčinka zabalená a zviazaná stuhou. Ak chcete zjesť čokoládovú tyčinku, musíte urobiť opačné kroky v opačnom poradí.

Vytvorme podobný matematický pipeline: najprv nájdeme kosínus čísla a potom výsledné číslo odmocníme. Takže dostaneme číslo (čokoládová tyčinka), nájdem jej kosínus (obal) a potom utvoríte štvorec, čo mám (previažete to stuhou). Čo sa stalo? Funkcia. Toto je príklad komplexnej funkcie: keď na zistenie jej hodnoty vykonáme prvú akciu priamo s premennou a potom ďalšiu druhú akciu s výsledkom prvej.

Inými slovami, komplexná funkcia je funkcia, ktorej argumentom je iná funkcia: .

Pre náš príklad,.

Môžeme urobiť tie isté akcie v opačnom poradí: najprv odmocni a potom hľadám kosínus výsledného čísla:. Je ľahké uhádnuť, že výsledok bude takmer vždy iný. Dôležitá vlastnosť komplexných funkcií: keď zmeníte poradie akcií, funkcia sa zmení.

Druhý príklad: (rovnaký). ...

Akcia, ktorú urobíme ako posledná, bude zavolaná "Externá" funkcia, a najprv vykonaná akcia - resp "Vnútorná" funkcia(sú to neformálne názvy, používam ich len na vysvetlenie látky jednoduchým jazykom).

Skúste sami určiť, ktorá funkcia je vonkajšia a ktorá vnútorná:

odpovede: Oddelenie vnútorných a vonkajších funkcií je veľmi podobné zmene premenných: napríklad vo funkcii

1. Aké je prvé opatrenie? Najprv vypočítame sínus a až potom ho zdvihneme na kocku. To znamená, že ide o vnútornú funkciu, ale vonkajšiu.
   A pôvodná funkcia je ich zloženie:.
2. Vnútorné:; vonkajší:.
   Vyšetrenie: .
3. Vnútorné:; vonkajší:.
   Vyšetrenie: .
4. Vnútorné:; vonkajší:.
   Vyšetrenie: .
5. Vnútorné:; vonkajší:.
   Vyšetrenie: .

zmeníme premenné a dostaneme funkciu.

Teraz vytiahneme našu čokoládovú tyčinku - hľadajte derivát. Postup je vždy opačný: najprv hľadáme deriváciu vonkajšej funkcie, potom výsledok vynásobíme deriváciou vnútornej funkcie. Vo vzťahu k pôvodnému príkladu to vyzerá takto:

Ďalší príklad:

Poďme teda konečne sformulovať oficiálne pravidlo:

Algoritmus na nájdenie derivácie komplexnej funkcie:

Všetko sa zdá byť jednoduché, však?

Pozrime sa na príklady:

Riešenia:

1) Interné:;

Vonkajšie:;

2) Interné:;

(len sa teraz nepokúšajte znížiť! Spod kosínusu sa nedá nič vybrať, pamätáte?)

3) Interné:;

Vonkajšie:;

Okamžite je jasné, že ide o trojúrovňovú komplexnú funkciu: veď toto je už sama o sebe zložitá funkcia a z nej extrahujeme aj koreň, čiže vykonáme tretiu akciu (vložíme čokoládovú tyčinku obal a vložte ho do kufríka so stuhou). Nie je však dôvod na strach: každopádne túto funkciu „rozbalíme“ v rovnakom poradí ako zvyčajne: od konca.

To znamená, že najprv diferencujeme koreň, potom kosínus a až potom výraz v zátvorkách. A toto všetko potom vynásobíme.

V takýchto prípadoch je vhodné očíslovať kroky. To znamená, predstavme si, čo vieme. V akom poradí vykonáme akcie na výpočet hodnoty tohto výrazu? Vezmime si príklad:

Čím neskôr sa akcia vykoná, tým „externejšia“ bude príslušná funkcia. Postupnosť akcií - ako predtým:

Tu je hniezdenie vo všeobecnosti 4-úrovňové. Definujme postup.

1. Radikálny výraz. ...

2. Koreň. ...

3. Sínus. ...

4. Štvorec. ...

5. Dajte všetko dokopy:

DERIVÁT. STRUČNE O HLAVNOM

Derivácia funkcie- pomer prírastku funkcie k prírastku argumentu s nekonečne malým prírastkom argumentu:

Základné deriváty:

Pravidlá diferenciácie:

Konštanta sa presunie mimo derivačného znamienka:

Derivát sumy:

Derivát diela:

Derivát kvocientu:

Derivácia komplexnej funkcie:

Algoritmus na nájdenie derivácie komplexnej funkcie:

1. Definujeme „internú“ funkciu, nájdeme jej deriváciu.
2. Definujeme „vonkajšiu“ funkciu, nájdeme jej deriváciu.
3. Výsledky prvého a druhého bodu vynásobíme.

Myslíte si, že do skúšky je ešte veľa času? je to mesiac? Dva? rok? Prax ukazuje, že študent najlepšie zvládne skúšku, ak sa na ňu začne pripravovať vopred. Na skúške je veľa ťažkých úloh, ktoré stoja študentovi a budúcemu uchádzačovi v ceste za najvyšším skóre. Musíte sa naučiť prekonávať tieto prekážky, okrem toho to nie je ťažké. Musíte pochopiť princíp práce s rôznymi úlohami z lístkov. Potom s novými nebudú žiadne problémy.

Na prvý pohľad sa logaritmy zdajú neuveriteľne zložité, no podrobná analýza situáciu výrazne zjednoduší. Ak chcete zložiť skúšku s najvyšším skóre, mali by ste pochopiť daný koncept, ktorý navrhujeme urobiť v tomto článku.

Začnime oddelením týchto definícií. Čo je to logaritmus (log)? Toto je ukazovateľ miery, do akej musí byť základňa zdvihnutá, aby sa získalo uvedené číslo. Ak to nie je jasné, pozrime sa na elementárny príklad.

V tomto prípade musí byť základňa nižšie zdvihnutá na druhú mocninu, aby ste získali číslo 4.

Teraz sa pozrime na druhý koncept. Derivácia funkcie v akejkoľvek forme je pojem, ktorý charakterizuje zmenu funkcie v redukovanom bode. Ide však o školský vzdelávací program a ak máte problémy s týmito pojmami oddelene, oplatí sa tému zopakovať.

Derivácia logaritmu

V úlohách skúšky na túto tému možno ako príklad uviesť viacero úloh. Na začiatok najjednoduchšia logaritmická derivácia. Je potrebné nájsť deriváciu nasledujúcej funkcie.

Musíme nájsť nasledujúcu deriváciu

Existuje špeciálny vzorec.

V tomto prípade x = u, log3x = v. Do vzorca dosadíme hodnoty z našej funkcie.

Derivácia x sa bude rovnať jednej. Logaritmus je trochu zložitejší. Princíp však pochopíte, ak hodnoty len nahradíte. Pripomeňme, že derivácia lg x sa nazýva derivácia desiatkového logaritmu a derivácia ln x je derivácia prirodzeného logaritmu (základ e).

Teraz len vložte tieto hodnoty do vzorca. Skúste to sami a potom skontrolujte odpoveď.

Čo tu môže byť pre niektorých problém? Zaviedli sme koncept prirodzeného logaritmu. Povieme vám o tom a zároveň prídeme na to, ako s tým problémy riešiť. Neuvidíte nič zložité, najmä keď pochopíte, ako to funguje. Mali by ste si na to zvyknúť, pretože sa často používa v matematike (najmä na vysokých školách).

Derivácia prirodzeného logaritmu

Vo svojom jadre je to základná derivácia e logaritmu (toto je iracionálne číslo, ktoré sa rovná približne 2,7). V skutočnosti je ln veľmi jednoduché, a preto sa vo všeobecnosti často používa v matematike. Vlastne vyriešiť problém s ním tiež nebude problém. Stojí za to pamätať, že základ e derivácie prirodzeného logaritmu sa bude rovnať jednej delenej x. Najvýraznejším riešením bude nasledujúci príklad.

Predstavme si to ako komplexnú funkciu, pozostávajúcu z dvoch jednoduchých.

Dosť na konverziu

Hľadá sa derivácia u vzhľadom na x

Pokračujme druhým

Použijeme metódu riešenia derivácie komplexnej funkcie dosadením u = nx.

Čo sa stalo na konci?

Teraz si spomeňme, čo n znamenalo v tomto príklade? Toto je akékoľvek číslo, ktoré sa môže objaviť v prirodzenom logaritme pred x. Je dôležité, aby ste pochopili, že odpoveď nezávisí od nej. Nahraďte čokoľvek chcete, odpoveď bude stále 1 / x.

Ako vidíte, nie je tu nič zložité, stačí len pochopiť princíp, aby ste mohli rýchlo a efektívne vyriešiť problémy na túto tému. Teraz poznáte teóriu, zostáva ju upevniť v praxi. Precvičujte si riešenie problémov, aby ste si princíp ich riešenia dlho zapamätali. Možno tieto znalosti nebudete potrebovať po ukončení štúdia, ale na skúške budú relevantnejšie ako kedykoľvek predtým. Veľa šťastia!