Geometria patrí medzi vedy, s aplikáciou ktorých sa v praxi človek stretáva takmer každý deň. Medzi rôznymi geometrickými tvarmi si osobitnú pozornosť zaslúži aj lichobežník. Je to konvexná postava so štyrmi stranami, z ktorých dve sú navzájom rovnobežné. Tie posledné sa nazývajú základne a zvyšné dve strany. Segment kolmý na základne a určujúci veľkosť medzery medzi nimi bude výška lichobežníka. Ako môžete vypočítať jeho dĺžku?

Nájdite výšku ľubovoľného lichobežníka

Na základe počiatočných údajov je možné určiť výšku postavy niekoľkými spôsobmi.

Známa oblasť

Ak je známa dĺžka rovnobežných strán a je označená aj plocha obrázku, potom je možné na určenie požadovanej kolmice použiť nasledujúci vzťah:

S = h * (a + b) / 2,
h - požadovaná hodnota (výška),
S je plocha obrázku,
a a b sú strany navzájom rovnobežné.
Z vyššie uvedeného vzorca vyplýva, že h = 2S / (a ​​​​+ b).

Hodnota strednej čiary je známa

Ak je medzi počiatočnými údajmi okrem oblasti lichobežníka (S) známa aj dĺžka jeho strednej čiary (l), potom bude pre výpočty užitočný iný vzorec. Po prvé, stojí za to objasniť, čo je stredná čiara pre tento typ štvoruholníka. Termín definuje časť priamky spájajúcej stredy strán obrázku.

Na základe vlastnosti lichobežníka l = (a + b) / 2,
l - stredná čiara,
a, b - strany-základňa štvoruholníka.
Preto h = 2S / (a ​​​​+ b) = S / l.

Známe sú 4 strany postavy

V tomto prípade pomôže Pytagorova veta. Prineste kolmice nadol na väčšiu základnú stranu a použite ich pre dva výsledné pravouhlé trojuholníky. Konečný výraz bude vyzerať takto:

h = √c 2 - (((a-b) 2 + c 2 -d 2) / 2 (a-b)) 2,

c a d sú 2 ďalšie strany.

Uhly na základni

Ak máte údaje o základnom uhle, použite trigonometrické funkcie.

h = c * sinα = d * sinβ,

α a β - uhly na základni štvoruholníka,
c a d sú jeho strany.

Uhlopriečky postavy a uhly, ktoré pretínajú, tvoria

Diagonálna dĺžka - dĺžka úsečky spájajúcej protiľahlé vrcholy obrázku. Označme tieto veličiny symbolmi d1 a d2 a uhlami medzi nimi γ a φ. potom:

h = (d1 * d2) / (a ​​​​+ b) sin γ = (d1 * d2) / (a ​​​​+ b) sinφ,

h = (d1 * d2) / 2 l sin γ = (d1 * d2) / 2 l sinφ,

a a b - strany základne obrázku,
d1 a d2 sú uhlopriečky lichobežníka,
γ a φ sú uhly medzi uhlopriečkami.

Výška postavy a polomer kruhu, ktorý je do nej vpísaný

Ako vyplýva z definície tohto druhu kruhu, dotýka sa každej základne v 1 bode, ktorý je súčasťou jednej priamky. Preto je vzdialenosť medzi nimi - priemer - požadovaná výška postavy. A keďže priemer je dvojnásobok polomeru, potom:

h = 2 * r,
r je polomer kružnice, ktorá bola vpísaná do tohto lichobežníka.

Nájdite výšku rovnoramenného lichobežníka

• Ako vyplýva z formulácie, charakteristickým znakom rovnoramenného lichobežníka je rovnosť jeho bočných strán. Preto na zistenie výšky postavy použite vzorec na určenie tejto hodnoty v prípade, že sú známe strany lichobežníka.

Ak teda c = d, potom h = √c 2 - (((a-b) 2 + c 2 -d 2) / 2 (a-b)) 2 = √c 2 - (a-b) 2/4,
a, b - strany základne štvoruholníka,
c = d - jeho strany.

• V prítomnosti veľkosti uhlov tvorených dvoma stranami (základnou a bočnou) je výška lichobežníka určená nasledujúcim pomerom:

h = c * sinα,
h = c * tgα * cosα = c * tgα * (b - a) / 2c = tgα * (b-a) / 2,

α - uhol pri základni obrázku,
a, b (a< b) – основания фигуры,
c = d - jeho strany.

• Ak sú uvedené hodnoty uhlopriečok figúry, výraz na zistenie výšky figúry sa zmení, pretože d1 = d2:

h = d1 2 / (a ​​​​+ b) * sinγ = d1 2 / (a ​​​​+ b) * sinφ,

h = d1 2/2 * l * sinγ = d1 2/2 * l * sinφ.

S takým tvarom, akým je lichobežník, sa v živote stretávame pomerne často. Napríklad akýkoľvek most vyrobený z betónových blokov je ukážkovým príkladom. Za vizuálnejšiu možnosť možno považovať riadenie každého vozidla a pod. Vlastnosti postavy boli známe už v starovekom Grécku., ktorú Aristoteles podrobnejšie opísal vo svojej vedeckej práci „Počiatky“. A poznatky získané pred tisíckami rokov sú aktuálne aj dnes. Poďme sa s nimi preto bližšie zoznámiť.

V kontakte s

Základné pojmy

Obrázok 1. Klasický tvar lichobežníka.

Lichobežník je v podstate štvoruholník tvorený dvoma úsečkami, ktoré sú rovnobežné, a dvoma ďalšími, ktoré nie sú rovnobežné. Keď hovoríme o tomto čísle, mali by ste vždy pamätať na také pojmy, ako sú: základňa, výška a stredná čiara. Dva segmenty štvoruholníka, ktoré sa navzájom nazývajú základne (segmenty AD a BC). Výška sa nazýva úsečka kolmá na každú zo základní (EH), t.j. pretínajú pod uhlom 90° (ako je znázornené na obrázku 1).

Ak spočítame všetky vnútorné miery, potom sa súčet uhlov lichobežníka bude rovnať 2π (360 °), ako každý štvoruholník. Segment, ktorého konce sú stredmi bočných stien (IF) nazývaná stredná čiara. Dĺžka tohto segmentu je súčet základov BC a AD delený 2.

Existujú tri typy geometrických tvarov: rovné, pravidelné a rovnoramenné. Ak je aspoň jeden uhol vo vrcholoch základne rovný (napríklad ak ABD = 90 °), potom sa takýto štvoruholník nazýva priamy lichobežník. Ak sú bočné segmenty rovnaké (AB a CD), potom sa to nazýva rovnoramenné (respektíve uhly na základniach sú rovnaké).

Ako nájsť oblasť

pre, nájsť oblasť štvoruholníka ABCD používa nasledujúci vzorec:

Obrázok 2. Riešenie problému hľadania oblasti

Pre názornejší príklad vyriešme jednoduchý problém. Napríklad nech je horná a spodná základňa 16 a 44 cm, a strany 17 a 25 cm Zostrojme kolmý segment z vrcholu D tak, aby DE II BC (ako je znázornené na obrázku 2). Preto to chápeme

Nechajte DF spustiť. Z ΔADE (ktorý bude rovnoramenný) dostaneme nasledovné:

Zjednodušene povedané, najskôr sme našli výšku ΔADE, ktorá je zároveň výškou lichobežníka. Odtiaľ vypočítame plochu štvoruholníka ABCD pomocou už známeho vzorca s už známou hodnotou výšky DF.

Požadovaná plocha ABCD je teda 450 cm³. To znamená, že môžeme s istotou povedať, že v záujme na výpočet plochy lichobežníka potrebujete iba súčet základní a dĺžku výšky.

Dôležité! Pri riešení úlohy nie je potrebné samostatne zisťovať hodnotu dĺžok, je celkom prijateľné, ak sa použijú iné parametre obrazca, ktoré sa pri príslušnom dôkaze budú rovnať súčtu základov.

Druhy lichobežníkov

V závislosti od toho, aké strany má postava, aké uhly sú vytvorené na základniach, sa rozlišujú tri typy štvoruholníka: pravouhlý, nepravidelný a rovnoramenný.

Všestranný

Existujú dve formy: akútne a tupé... ABCD je ostrý len vtedy, keď sú základné uhly (AD) ostré a dĺžky strán sú rozdielne. Ak je hodnota jedného uhla Pi / 2 viac (miera stupňov je väčšia ako 90 °), potom dostaneme tuposť.

Ak majú bočné steny rovnakú dĺžku

Obrázok 3. Pohľad na rovnoramenný lichobežník

Ak sú nerovnobežné strany rovnako dlhé, potom sa ABCD nazýva rovnoramenné (pravidelné). Navyše, pre takýto štvoruholník je miera uhlov na základni rovnaká, ich uhol bude vždy menší ako ten správny. Z tohto dôvodu sa rovnoramenné nikdy nerozdeľujú na ostré a tupé. Štvoruholník tohto tvaru má svoje špecifické rozdiely, medzi ktoré patria:

1. Segmenty spájajúce opačné vrcholy sú rovnaké.
2. Ostré uhly s väčšou základňou sú 45° (ilustračný príklad na obrázku 3).
3. Ak spočítate miery opačných uhlov, súčet je 180 °.
4. Okolo je možné postaviť akýkoľvek bežný lichobežník.
5. Ak spočítate mieru opačných uhlov, potom sa rovná π.

Navyše v dôsledku ich geometrického usporiadania bodov existujú základné vlastnosti rovnoramenného lichobežníka:

Hodnota uhla pri základni 90°

Kolmosť strany základne je veľkou charakteristikou konceptu "obdĺžnikového lichobežníka". Na základni nemôžu byť dve bočné strany s rohmi, lebo inak to už bude obdĺžnik. V tomto type štvoruholníka bude druhá bočná strana vždy zvierať ostrý uhol s veľkou základňou a tupá strana s menšou. V tomto prípade bude kolmá strana zároveň výškou.

Segment medzi stredmi bočných stien

Ak spojíte stredy strán a výsledný segment bude rovnobežný so základňami a bude mať dĺžku rovnajúcu sa polovici ich súčtu, vytvorí sa priamka bude stredná čiara. Hodnota tejto vzdialenosti sa vypočíta podľa vzorca:

Pre názornejší príklad zvážte problém s použitím strednej čiary.

Úloha. Stredná čiara lichobežníka je 7 cm, je známe, že jedna zo strán je o 4 cm väčšia ako druhá (obr. 4). Nájdite dĺžky základov.

Obrázok 4. Riešenie problému hľadania základných dĺžok

Riešenie. Nech sa menšia základňa DC rovná x cm, potom väčšia základňa sa bude rovnať (x + 4) cm. Odtiaľ pomocou vzorca pre strednú čiaru lichobežníka dostaneme:

Ukazuje sa, že menšia DC základňa má 5 cm a väčšia 9 cm.

Dôležité! Koncept stredovej čiary je kľúčový pri riešení mnohých problémov v geometrii. Na základe jeho definície je vytvorených mnoho dôkazov pre iné postavy. Použitím konceptu v praxi je možné racionálnejšie riešenie a hľadanie požadovanej hodnoty.

Určenie výšky a ako ju nájsť

Ako už bolo uvedené vyššie, výška je segment, ktorý pretína základne pod uhlom 2Pi / 4 a je medzi nimi najkratšia vzdialenosť. Pred zistením výšky lichobežníka je potrebné rozhodnúť, aké vstupné hodnoty sú uvedené. Pre lepšie pochopenie zvážte problém. Nájdite výšku lichobežníka za predpokladu, že základne sú 8 a 28 cm, strany sú 12 a 16 cm.

Obrázok 5. Riešenie problému hľadania výšky lichobežníka

Nakreslite segmenty DF a CH v pravom uhle k základni AD. Podľa definície bude každý z nich výškou daného lichobežníka (obr. 5). V tomto prípade, keď poznáme dĺžku každej bočnej steny pomocou Pytagorovej vety, zistíme, aká je výška v trojuholníkoch AFD a BHC.

Súčet segmentov AF a HB sa rovná rozdielu medzi bázami, t.j.:

Nech je dĺžka AF rovná x cm, potom dĺžka segmentu HB = (20 - x) cm. Ako bolo zistené, DF = CH, teda.

Potom dostaneme nasledujúcu rovnicu:

Ukazuje sa, že segment AF v trojuholníku AFD je 7,2 cm, odtiaľ vypočítame výšku lichobežníka DF podľa rovnakej Pytagorovej vety:

Tie. výška lichobežníka ADCB bude 9,6 cm Ako vidíte, výpočet výšky je viac mechanický proces a je založený na výpočte strán a uhlov trojuholníkov. Ale v mnohých problémoch v geometrii môžu byť známe iba stupne uhlov, v takom prípade sa výpočty budú robiť pomocou pomeru strán vnútorných trojuholníkov.

Dôležité! V podstate sa lichobežník často chápe ako dva trojuholníky alebo ako kombinácia obdĺžnika a trojuholníka. Na vyriešenie 90% všetkých problémov, s ktorými sa stretávame v školských učebniciach, vlastnosti a charakteristiky týchto postáv. Väčšina vzorcov pre tento HMT je odvodená na základe „mechanizmov“ pre tieto dva typy čísel.

Ako rýchlo vypočítať dĺžku základne

Pred nájdením základne lichobežníka je potrebné určiť, ktoré parametre už boli dané a ako ich racionálne používať. Praktickým prístupom je extrahovať dĺžku neznámej základne zo vzorca stredovej čiary. Pre jasnejšie vnímanie obrázku si na príklade úlohy ukážeme, ako sa to dá urobiť. Nech je známe, že stredná čiara lichobežníka je 7 cm a jedna zo základov je 10 cm. Nájdite dĺžku druhej základne.

Riešenie: Keď vieme, že stredná čiara sa rovná polovici súčtu základov, môžeme tvrdiť, že ich súčet je 14 cm.

(14 cm = 7 cm x 2). Z podmienok úlohy vieme, že jedna z nich má 10 cm, teda menšia strana lichobežníka bude 4 cm (4 cm = 14 - 10).

Navyše, pre pohodlnejšie riešenie problémov tohto druhu, odporúčame, aby ste sa dobre naučili také vzorce z oblasti lichobežníka ako:

• stredná čiara;
• námestie;
• výška;
• uhlopriečky.

Keď poznáte podstatu (presne podstatu) týchto výpočtov, môžete ľahko zistiť požadovanú hodnotu.

Video: lichobežník a jeho vlastnosti

Video: lichobežníkové prvky

Výkon

Z príkladov uvažovaných úloh možno vyvodiť jednoduchý záver, že lichobežník je z hľadiska výpočtových úloh jedným z najjednoduchších tvarov v geometrii. Na úspešné vyriešenie problémov v prvom rade nestojí za to rozhodovať o tom, aké informácie sú známe o popisovanom objekte, v akých vzorcoch ich možno použiť a rozhodovať o tom, čo je potrebné nájsť. S týmto jednoduchým algoritmom nie je žiadny problém s týmto geometrickým tvarom bez námahy.

Lichobežník je reliéfny štvoruholník, v ktorom sú dve protiľahlé strany rovnobežné a ostatné dve nie sú rovnobežné. Ak sú všetky protiľahlé strany štvoruholníka párovo rovnobežné, potom ide o rovnobežník.

Budete potrebovať

• - všetky strany lichobežníka (AB, BC, CD, DA).

Inštrukcie

1. Neparalelné strany trapéz sa nazývajú bočné strany a rovnobežné sa nazývajú základne. Čiara medzi základňami, kolmá na ne - výška trapéz... Ak strana strany trapéz sú rovnaké, potom sa nazýva rovnoramenné. Najprv zvážte riešenie pre trapéz ktorý nie je rovnoramenný.

2. Nakreslite úsečku BE z bodu B k spodnej základni AD rovnobežne so stranou trapéz CD. Zo skutočnosti, že BE a CD sú paralelné a držané medzi paralelnými základňami trapéz BC a DA, potom BCDE je rovnobežník a jeho opak strany BE a CD sú si rovné. BE = CD.

3. Zvážte trojuholník ABE. Vypočítajte stranu AE. AE = AD-ED. základy trapéz BC a AD sú známe a v rovnobežníku BCDE naopak strany ED a BC sú rovnaké. ED = BC, takže AE = AD-BC.

4. Teraz zistite oblasť trojuholníka ABE pomocou Heronovho vzorca výpočtom semiperimetra. S = koreň (p * (p-AB) * (p-BE) * (p-AE)). V tomto vzorci je p semiperimeter trojuholníka ABE. p = 1/2* (AB + BE + AE). Na výpočet plochy poznáte všetky potrebné údaje: AB, BE = CD, AE = AD-BC.

6. Vyjadrite z tohto vzorca výšku trojuholníka, ktorá je zároveň výškou trapéz... BH = 2* S/AE. Vypočítajte si to.

7. Ak je lichobežník rovnoramenný, riešenie môže byť vykonané inak. Uvažujme trojuholník ABH. Je obdĺžnikový, pretože jeden z rohov, BHA, je rovný.

8. Nakreslite výšku CF z vrcholu C.

9. Preskúmajte hodnotu HBCF. HBCF obdĺžnik, zo skutočnosti, že dva z toho strany- výšky a ďalšie dve sú základne trapéz, to znamená, že rohy sú rovné a naopak strany sú paralelné. To znamená, že BC = HF.

10. Pozrite sa na pravouhlé trojuholníky ABH a FCD. Uhly vo výškach BHA a CFD sú priame a uhly v bočných strany x BAH a CDF sú rovnaké, pretože lichobežník ABCD je rovnoramenný, čo znamená, že trojuholníky sú podobné. Pretože výšky BH a CF sú rovnaké na obe strany strany rovnoramenné trapéz AB a CD sú rovnaké, potom sú podobné trojuholníky rovnaké. Preto ich strany AH a FD sú tiež rovnaké.

11. Objavte AH. AH + FD = AD-HF. Pretože z rovnobežníka HF = BC az trojuholníkov AH = FD, potom AH = (AD-BC) * 1/2.

Lichobežník je geometrický obrazec, ktorý je štvoruholníkom, v ktorom sú dve strany, ktoré sa nazývajú základne, rovnobežné a ďalšie dve nie sú rovnobežné. Nazývajú sa strany trapéz... Segment nakreslený cez stredy strán sa nazýva stredná čiara. trapéz... Lichobežník môže mať rôzne dĺžky strán alebo rovnaký, v takom prípade sa nazýva rovnoramenný. Ak je jedna zo strán kolmá na základňu, potom bude lichobežník obdĺžnikový. Ale oveľa praktickejšie je vedieť odhaliť námestie trapéz .

Budete potrebovať

• Pravítko s milimetrovými dielikmi

Inštrukcie

1. Zmerajte všetky strany trapéz: AB, BC, CD a DA. Zapíšte si výsledky svojich meraní.

2. Na priamke AB vyhrňte stred - bod K. Na segmente DA vyhrňte bod L, ktorý je tiež v strede segmentu AD. Spojte body K a L, výsledný segment KL bude stredová čiara trapéz A B C D. Odmerajte úsečku KL.

3. Z vrchu trapéz- túžba C, znížte kolmicu na jej základňu AD na segment CE. On bude výška trapéz A B C D. Zmerajte segment CE.

4. Segment KL potom nazývame písmenom m a segment CE písmenom h námestie S trapéz Vypočítajte ABCD podľa vzorca: S = m * h, kde m je stredná čiara trapéz ABCD, h - výška trapéz A B C D.

5. Existuje ďalší vzorec, ktorý vám umožňuje vypočítať námestie trapéz A B C D. Spodná základňa trapéz- AD sa bude nazývať písmenom b a horná základňa BC sa bude nazývať a. Plocha je určená vzorcom S = 1/2 * (a + b) * h, kde a a b sú základy trapéz, h - výška trapéz .

Podobné videá

Tip 3: Ako nájsť výšku lichobežníka, ak je oblasť známa

Lichobežník znamená štvoruholník, v ktorom sú dve z jeho štyroch strán navzájom rovnobežné. Základom sú paralelné strany trapéz, ďalšie dve sú bočné strany tohto trapéz... Objavte výška trapéz, ak poznáme jeho rozlohu, pôjde to poriadne ľahko.

Inštrukcie

1. Musíte zistiť, ako je dovolené vypočítať plochu iniciály trapéz... Existuje na to niekoľko vzorcov v závislosti od počiatočných údajov: S = ((a + b) * h) / 2, kde a a b sú dĺžky základov trapéz a h je jeho výška (Výška trapéz- kolmica spadnutá z jednej základne trapéz k inému); S = m * h, kde m je stredná čiara trapéz(Stredná čiara je segment rovnobežný so základňami trapéz a spájajúce stred jeho bočných strán).

2. Teraz, keď poznáme vzorce na výpočet plochy trapéz, je dovolené z nich odvodiť nové, zistiť výšku trapéz: h = (2 * S) / (a ​​+ b); h = S / m.

3. Aby bolo jasnejšie, ako riešiť podobné problémy, je dovolené vidieť príklady: Príklad 1: Vzhľadom na lichobežník, ktorého plocha je 68 cm ?, ktorého priemerná čiara je 8 cm, musíte nájsť výška daný trapéz... Na vyriešenie tohto problému musíte použiť predtým odvodený vzorec: h = 68/8 = 8,5 cm Odpoveď: výška tohto trapéz je 8,5 cm Príklad 2: Nechajte trapéz plocha je 120 cm ?, dĺžka podstavcov tohto trapéz sa rovnajú 8 cm a 12 cm, je potrebné ich zistiť výška toto trapéz... Ak to chcete urobiť, musíte použiť jeden z odvodených vzorcov: h = (2 * 120) / (8 + 12) = 240/20 = 12 cm Odpoveď: výška daného trapéz rovných 12 cm

Podobné videá

Poznámka!
Každý lichobežník má niekoľko vlastností: - stredná čiara lichobežníka sa rovná polovičnému súčtu jeho základov; - segment, ktorý spája uhlopriečky lichobežníka, sa rovná polovici rozdielu jeho základov; - ak je rovný čiara je vedená cez stredy základní, bude pretínať priesečník uhlopriečok lichobežníka; - je dovolené vpísať kružnicu do lichobežníka, ak sa súčet základní tohto lichobežníka rovná súčtu jeho bočné strany.Tieto vlastnosti využite pri riešení úloh.

Tip 4: Ako zistiť výšku trojuholníka, ak sú uvedené súradnice bodov

Výška v trojuholníku je priamka spájajúca hornú časť obrázku s opačnou stranou. Tento segment musí byť určite kolmý na stranu, preto je možné z každého vrcholu nakresliť iba jeden výška... Vzhľadom na to, že na tomto obrázku sú tri vrcholy, výšky v ňom sú rovnaké. Ak je trojuholník daný súradnicami jeho vrcholov, je možné vypočítať dĺžku ktorejkoľvek z výšok, povedzme pomocou vzorca na zistenie plochy a výpočet dĺžok strán.

Inštrukcie

1. Vypočítajte tú plochu trojuholník rovná polovici súčinu dĺžky každej z jej strán a dĺžky výšky spadnutej na tejto strane. Z tejto definície vyplýva, že na nájdenie výšky potrebujete poznať plochu postavy a dĺžku strany.

2. Začnite výpočtom dĺžok strán trojuholník... Označte súradnice vrcholov tvaru takto: A (X?, Y?, Z?), B (X?, Y?, Z?) A C (X?, Y?, Z?). Potom môžete vypočítať dĺžku strany AB pomocou vzorca AB =? ((X? -X?)? + (Y? -Y?)? + (Z? -Z?)?). Pre ostatné 2 strany budú tieto vzorce vyzerať takto: BC =? ((X? -X?)? + (Y? -Y?)? + (Z? -Z?)?) A AC =? (( X<-X?)+ (Y? -Y?)? + (Z? -Z?)?). Povedzme pre trojuholník so súradnicami A (3,5,7), B (16,14,19) a C (1,2,13) ​​bude dĺžka strany AB? ((3-16)? + (5-14) a + (7-19)?) =? (-13? + (-9?) + (-12?)) =? (169 + 81 + 144) =? 394? 19,85. Dĺžky strán BC a AC vypočítané rovnakou metódou sa budú rovnať? (15? + 12? + 6?) =? 405? 20,12 a 8 (28 + 3 + (-6?)) = 49 = 7.

3. Zručnosti dĺžok 3 strán získané v predchádzajúcom kroku sú dostatočné na výpočet plochy trojuholník(S) podľa Heronovho vzorca: S =? *? ((AB + BC + CA) * (BC + CA-AB) * (AB + CA-BC) * (AB + BC-CA)). Povedzme, že neskoršie nahradenie hodnôt získaných zo súradníc trojuholník príklad z predchádzajúceho kroku, tento vzorec dá túto hodnotu: S =? *? ((19,85 + 20,12 + 7) * (20,12 + 7-19,85) * (19,85 + 7-20 , 12) * (19,85 + 20,12- 7)) =? *? (46,97 * 7,27 * 6,73 * 32,97)? ? *? 75768,55? A* 275,26 = 68,815.

4. Pochádza z oblasti trojuholník vypočítané v predchádzajúcom kroku a dĺžky strán získané v druhom kroku, vypočítajte výšky pre každú zo strán. Pretože plocha sa rovná polovici súčinu výšky a dĺžky strany, na ktorú je nakreslená, na zistenie výšky vydeľte zdvojnásobenú plochu dĺžkou požadovanej strany: H = 2 * S / a. Vo vyššie uvedenom príklade by výška znížená na stranu AB bola 2 * 68,815 / 16,09? 8,55, výška na stranu BC bude 2 * 68,815 / 20,12? 6,84 a pre stranu AU bude táto hodnota 2 * 68,815 / 7? 19,66.

Lichobežník je taký štvoruholník, ktorého dve strany sú rovnobežné (toto sú základne lichobežníka, znázornené na obrázku a a b), a ďalšie dve nie sú (na obrázku HELL a CB). Výška lichobežníka je segment h nakreslený kolmo na základne.

Ako nájsť výšku lichobežníka so známymi hodnotami plochy lichobežníka a dĺžkami základní?

Na výpočet plochy S lichobežníka ABCD použijeme vzorec:

S = ((a + b) × h) / 2.

Tu sú segmenty a a b základne lichobežníka, h je výška lichobežníka.

Transformáciou tohto vzorca môžeme napísať:

Pomocou tohto vzorca získame hodnotu h, ak je známa plocha S a dĺžky báz a a b.

Príklad

Ak je známe, že plocha lichobežníka S je 50 cm², dĺžka základne a je 4 cm, dĺžka základne b je 6 cm, potom na zistenie výšky h použijeme vzorec:

Vo vzorci nahradíme známe hodnoty.

v = (2 × 50) / (4 + 6) = 100/10 = 10 cm

Odpoveď: Výška lichobežníka je 10 cm.

Ako nájsť výšku lichobežníka, ak sú dané hodnoty plochy lichobežníka a dĺžka stredovej čiary?

Použime vzorec na výpočet plochy lichobežníka:

Tu m je stredná čiara, h je výška lichobežníka.

Ak vyvstane otázka, ako nájsť výšku lichobežníka, vzorec:

Odpoveď by bola h = S / m.

Môžeme teda nájsť hodnotu výšky lichobežníka h so známymi hodnotami plochy S a segmentu stredovej čiary m.

Príklad

Poznáme dĺžku strednej čiary lichobežníka m, ktorá je 20 cm, a plochu S, ktorá je 200 cm². Zistime hodnotu výšky lichobežníka h.

Nahradením hodnôt S a m dostaneme:

h = 200/20 = 10 cm

Odpoveď: Výška lichobežníka je 10 cm

Ako zistiť výšku pravouhlého lichobežníka?

Ak je lichobežník štvoruholník, s dvoma rovnobežnými stranami (základňami) lichobežníka. Táto uhlopriečka je segment, ktorý spája dva protiľahlé vrcholy rohov lichobežníka (segment AC na obrázku). Ak je lichobežník pravouhlý, pomocou uhlopriečky zistíme výšku lichobežníka h.

Obdĺžnikový lichobežník je lichobežník, kde jedna z bočných strán je kolmá na základne. V tomto prípade sa jeho dĺžka (BP) zhoduje s výškou h.

Uvažujme teda o pravouhlom lichobežníku ABCD, kde AD je výška, DC je základňa, AC je uhlopriečka. Využime Pytagorovu vetu. Druhá mocnina prepony AC pravouhlého trojuholníka ADC sa rovná súčtu druhých mocnín jeho ramien AB a BC.

Potom môžete napísať:

AC² = AD² + DC².

AD je noha trojuholníka, strana lichobežníka a zároveň jeho výška. Koniec koncov, segment krvného tlaku je kolmý na základne. Jeho dĺžka bude:

AD = √ (AC² - DC²)

Máme teda vzorec na výpočet výšky lichobežníka h = AD

Príklad

Ak je dĺžka základne pravouhlého lichobežníka (DC) 14 cm a uhlopriečka (AC) je 15 cm, na získanie hodnoty výšky (strana AD) použijeme Pytagorovu vetu.

Nech x je neznáma vetva pravouhlého trojuholníka (AD).

AC² = AD² + DC² možno zapísať

15² = 14² + x²,

x = √ (15²-14²) = √ (225-196) = √29 cm

Odpoveď: Výška pravouhlého lichobežníka (AB) bude √29 cm, čo je približne 5,385 cm

Ako zistiť výšku rovnoramenného lichobežníka?

Rovnoramenný lichobežník sa nazýva lichobežník, v ktorom sú dĺžky strán navzájom rovnaké. Osou symetrie bude priamka vedená cez stredy základne takéhoto lichobežníka. Špeciálnym prípadom je lichobežník, ktorého uhlopriečky sú na seba kolmé, pričom výška h sa bude rovnať polovičnému súčtu základní.

Zvážte prípad, keď uhlopriečky nie sú na seba kolmé. V rovnoramennom (rovnoramennom) lichobežníku sú uhly na základniach rovnaké a dĺžky uhlopriečok sú rovnaké. Je tiež známe, že všetky vrcholy rovnoramenného lichobežníka sa dotýkajú čiary kruhu nakreslenej okolo tohto lichobežníka.

Zvážte kresbu. ABCD je rovnoramenný lichobežník. Je známe, že základne lichobežníka sú rovnobežné, čo znamená, že BC = b rovnobežné s AD = a, strana AB = CD = c, čo znamená, že uhly na základniach sú rovnaké, môžete napísať uhol BAQ = CDS = α a uhol ABC = BCD = β. Dospeli sme teda k záveru, že trojuholník ABQ sa rovná trojuholníku SCD, čo znamená, že segment

AQ = SD = (AD - BC) / 2 = (a - b) / 2.

Ak máme podľa stavu problému hodnoty základne a a b a dĺžku bočnej strany c, nájdeme výšku lichobežníka h, ktorá sa rovná segmentu BQ.

Uvažujme pravouhlý trojuholník ABQ. BO - výška lichobežníka, kolmá na základňu AD, teda segment AQ. Nájdeme stranu AQ trojuholníka ABQ pomocou vzorca, ktorý sme odvodili skôr:

Ak máme hodnoty dvoch ramien pravouhlého trojuholníka, nájdeme preponu BQ = h. Používame Pytagorovu vetu.

AB² = AQ² + BQ²

Nahradíme tieto úlohy:

c² = AQ² + h².

Získame vzorec na zistenie výšky rovnoramenného lichobežníka:

h = √ (c2-AQ2).

Príklad

Je daný rovnoramenný lichobežník ABCD, kde základňa AD = a = 10 cm, základňa BC = b = 4 cm a strana AB = c = 12 cm. Za takýchto podmienok uvažujme napríklad, ako nájsť výšku lichobežníka, rovnoramenného lichobežníka AVSD.

Nájdite stranu AQ trojuholníka ABQ dosadením známych údajov:

AQ = (a - b) / 2 = (10-4) / 2 = 3 cm.

Teraz dosaďte hodnoty strán trojuholníka do vzorca Pytagorovej vety.

h = √ (c²- AQ²) = √ (12²- 3²) = √135 = 11,6 cm.

Odpoveď. Výška h rovnoramenného lichobežníka ABCD je 11,6 cm.