Pojmy sínus, kosínus, tangens a kotangens sú hlavnými kategóriami trigonometrie - odvetvia matematiky a sú neoddeliteľne spojené s definíciou uhla. Ovládanie tejto matematickej vedy si vyžaduje zapamätanie a pochopenie vzorcov a teorémov, ako aj rozvinuté priestorové myslenie. Preto trigonometrické výpočty často spôsobujú ťažkosti školákom a študentom. Aby ste ich prekonali, mali by ste sa podrobnejšie zoznámiť s goniometrickými funkciami a vzorcami.

Pojmy v trigonometrii

Aby ste pochopili základné pojmy trigonometrie, musíte najprv určiť, čo je pravouhlý trojuholník a uhol v kruhu a prečo sú s nimi spojené všetky základné trigonometrické výpočty. Trojuholník, v ktorom má jeden z rohov uhol 90 stupňov, je pravouhlý. Historicky túto postavu často používali ľudia v architektúre, navigácii, umení, astronómii. V súlade s tým ľudia pri štúdiu a analýze vlastností tohto čísla dospeli k výpočtu zodpovedajúcich pomerov jeho parametrov.

Hlavné kategórie spojené s pravouhlými trojuholníkmi sú prepona a nohy. Prepona je strana trojuholníka oproti pravému uhlu. Nohy sú ďalšie dve strany. Súčet uhlov ľubovoľných trojuholníkov je vždy 180 stupňov.

Sférická trigonometria je časť trigonometrie, ktorá sa v škole neštuduje, ale v aplikovaných vedách ako astronómia a geodézia ju vedci využívajú. Zvláštnosťou trojuholníka v sférickej trigonometrii je, že má vždy súčet uhlov väčší ako 180 stupňov.

Uhly trojuholníka

V pravouhlom trojuholníku je sínus uhla pomer opačnej nohy k požadovanému uhlu k prepone trojuholníka. V súlade s tým je kosínus pomerom susednej vetvy a prepony. Obe tieto hodnoty sú vždy menšie ako jedna, pretože prepona je vždy dlhšia ako noha.

Tangenta uhla je hodnota rovnajúca sa pomeru protiľahlej vetvy k susednej vetve požadovaného uhla alebo sínusu ku kosínusu. Kotangens je zase pomer priľahlého ramena požadovaného uhla k protiľahlému ramenu. Kotangens uhla možno získať aj delením jedného hodnotou dotyčnice.

Jednotkový kruh

Jednotková kružnica v geometrii je kružnica, ktorej polomer sa rovná jednej. Takáto kružnica je zostrojená v karteziánskom súradnicovom systéme, pričom stred kružnice sa zhoduje s počiatočným bodom a počiatočná poloha vektora polomeru je určená pozdĺž kladného smeru osi X (abscisa). Každý bod kruhu má dve súradnice: XX a YY, teda súradnice úsečiek a ordinát. Výberom ľubovoľného bodu na kružnici v rovine XX a pustením kolmice z nej na os x získame pravouhlý trojuholník tvorený polomerom k vybranému bodu (označíme ho písmenom C), nakreslenou kolmicou na os X (priesečník je označený písmenom G) a úsečka os x medzi počiatkom (bod je označený písmenom A) a priesečníkom G. Výsledný trojuholník ACG je pravouhlý šikmý trojuholník vpísaný do kruhu, kde AG je prepona a AC a GC sú nohy. Uhol medzi polomerom kružnice AC a segmentom osi x s označením AG definujeme ako α (alfa). Takže cos α = AG / AC. Ak vezmeme do úvahy, že AC je polomer jednotkovej kružnice a rovná sa jednej, ukáže sa, že cos α = AG. Podobne sin α = CG.

Okrem toho, ak poznáme tieto údaje, je možné určiť súradnicu bodu C na kružnici, pretože cos α = AG a sin α = CG, čo znamená, že bod C má dané súradnice (cos α; sin α). Keď vieme, že dotyčnica sa rovná pomeru sínusu ku kosínusu, môžeme určiť, že tg α = y / x a ctg α = x / y. Vzhľadom na uhly v zápornom súradnicovom systéme môžete vypočítať, že hodnoty sínusu a kosínusu niektorých uhlov môžu byť záporné.

Výpočty a základné vzorce

Hodnoty goniometrických funkcií

Po zvážení podstaty goniometrických funkcií cez jednotkový kruh môžete odvodiť hodnoty týchto funkcií pre niektoré uhly. Hodnoty sú uvedené v tabuľke nižšie.

Najjednoduchšie trigonometrické identity

Rovnice, v ktorých sa pod znamienkom goniometrickej funkcie nachádza neznáma hodnota, sa nazývajú trigonometrické. Totožnosti s hodnotou sin х = α, k je ľubovoľné celé číslo:

1. sin x = 0, x = πk.
2. 2.sin x = 1, x = π / 2 + 2πk.
3. sin x = -1, x = -π / 2 + 2πk.
4. sin x = a, | a | > 1, žiadne riešenia.
5. sin x = a, | a | ≦ 1, x = (-1) ^ k * arcsin α + πk.

Totožnosti s hodnotou cos x = a, kde k je ľubovoľné celé číslo:

1. cos x = 0, x = π / 2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x = -1, x = π + 2πk.
4. cos x = a, | a | > 1, žiadne riešenia.
5. cos x = a, | a | ≦ 1, x = ± arccos α + 2πk.

Totožnosti s hodnotou tg x = a, kde k je ľubovoľné celé číslo:

1. tg x = 0, x = π / 2 + πk.
2. tg x = a, x = arktan α + πk.

Totožnosti s hodnotou ctg x = a, kde k je ľubovoľné celé číslo:

1. ctg x = 0, x = π / 2 + πk.
2. ctg x = a, x = arcctg α + πk.

Odlievacie vzorce

Táto kategória konštantných vzorcov označuje metódy, ktoré možno použiť na prepnutie z goniometrických funkcií tvaru na funkcie argumentu, to znamená na privedenie sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu uhla ľubovoľnej hodnoty k zodpovedajúcim ukazovateľom uhol intervalu od 0 do 90 stupňov pre väčšie pohodlie pri výpočtoch.

Vzorce na prevod funkcií pre sínus uhla vyzerajú takto:

• sin (900 - α) = α;
• sin (900 + α) = cos α;
• sin (1800 - α) = hriech α;
• sin (1800 + α) = -sin α;
• sin (2700 - α) = -cos α;
• sin (2700 + α) = -cos α;
• sin (3600 - α) = -sin α;
• hriech (3600 + α) = hriech α.

Pre kosínus uhla:

• cos (900 - α) = sin α;
• cos (900 + α) = -sin α;
• cos (1800 - α) = -cos α;
• cos (1800 + a) = -cos a;
• cos (2700 - α) = -sin α;
• cos (2700 + α) = sin α;
• cos (3600 - α) = cos α;
• cos (3600 + α) = cos α.

Použitie vyššie uvedených vzorcov je možné pri dodržaní dvoch pravidiel. Po prvé, ak možno uhol znázorniť ako hodnotu (π / 2 ± a) alebo (3π / 2 ± a), hodnota funkcie sa zmení:

• od hriechu k cos;
• od cos k hriechu;
• od tg do ctg;
• z ctg do tg.

Hodnota funkcie zostáva nezmenená, ak možno uhol znázorniť ako (π ± a) alebo (2π ± a).

Po druhé, znamienko zníženej funkcie sa nemení: ak bolo pôvodne pozitívne, tak to zostane. Podobne aj s negatívnymi funkciami.

Sčítacie vzorce

Tieto vzorce vyjadrujú hodnoty sínus, kosínus, tangens a kotangens súčtu a rozdielu dvoch uhlov natočenia z hľadiska ich trigonometrických funkcií. Uhly sa bežne označujú ako α a β.

Vzorce vyzerajú takto:

1. sin (α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos (α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tan (α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg (α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Tieto vzorce platia pre ľubovoľné hodnoty uhlov α a β.

Vzorce dvojitého a trojitého uhla

Goniometrické vzorce s dvojitým a trojitým uhlom sú vzorce, ktoré spájajú funkcie uhlov 2α a 3α s goniometrickými funkciami uhla α. Odvodené zo sčítacích vzorcov:

1. sin2α = 2sinα * cosα.
2. cos2α = 1 - 2 sin ^ 2 α.
3. tg2α = 2tgα / (1 - tg^ 2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin ^ 3 α.
5. cos3α = 4cos ^ 3 α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tan ^ 3 α) / (1-tan ^ 2 α).

Prechod od sumy k produktu

Ak vezmeme do úvahy, že 2sinx * útulný = sin (x + y) + sin (x-y), zjednodušením tohto vzorca dostaneme identitu sinα + sinβ = 2sin (α + β) / 2 * cos (α - β) / 2. Podobne sinα - sinβ = 2sin (α - β) / 2 * cos (α + β) / 2; cosα + cosβ = 2cos (α + β) / 2 * cos (α - β) / 2; cosα - cosβ = 2sin (α + β) / 2 * sin (α - β) / 2; tgα + tgβ = sin (α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin (α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin (π / 4 ∓ α) = √2cos (π / 4 ± α).

Presun od práce k sume

Tieto vzorce vyplývajú z identít prechodu súčtu na súčin:

• sinα * sinβ = 1/2 *;
• cosα * cosβ = 1/2 *;
• sinα * cosβ = 1/2 *.

Vzorce na zníženie stupňa

V týchto identitách môžu byť druhé mocniny a kubické mocniny sínusu a kosínusu vyjadrené ako sínus a kosínus prvej mocniny viacnásobného uhla:

• sin ^ 2 α = (1 - cos2α) / 2;
• cos ^ 2 α = (1 + cos2α) / 2;
• sin ^ 3 α = (3 * sinα - sin3α) / 4;
• cos ^ 3 α = (3 * cosα + cos3α) / 4;
• sin ^ 4 α = (3 - 4cos2α + cos4α) / 8;
• cos ^ 4 α = (3 + 4cos2α + cos4α) / 8.

Univerzálna náhrada

Univerzálne goniometrické substitučné vzorce vyjadrujú goniometrické funkcie v zmysle tangens polovičného uhla.

• sin x = (2tgx / 2) * (1 + tan ^ 2 x / 2), zatiaľ čo x = π + 2πn;
• cos x = (1 - tan ^ 2 x / 2) / (1 + tan ^ 2 x / 2), kde x = π + 2πn;
• tan x = (2tgx / 2) / (1 - tan ^ 2 x / 2), kde x = π + 2πn;
• ctg x = (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), zatiaľ čo x = π + 2πn.

Špeciálne prípady

Konkrétne prípady najjednoduchších goniometrických rovníc sú uvedené nižšie (k je akékoľvek celé číslo).

Súkromné ​​pre sínus:

Kvocienty pre kosínus sú:

Súkromné ​​pre dotyčnicu:

Súkromné ​​pre kotangens:

Vety

Sínusová veta

Existujú dve verzie vety - jednoduchá a rozšírená. Jednoduchá veta o sínusoch: a / sin α = b / sin β = c / sin γ. V tomto prípade sú a, b, c strany trojuholníka a α, β, γ sú opačné uhly.

Rozšírená sínusová veta pre ľubovoľný trojuholník: a / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2R. V tejto identite R označuje polomer kružnice, do ktorej je daný trojuholník vpísaný.

Kosínusová veta

Identita sa zobrazí nasledovne: a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2 * b * c * cos α. Vo vzorci sú a, b, c strany trojuholníka a α je uhol opačný k strane a.

Tangentová veta

Vzorec vyjadruje vzťah medzi dotyčnicami dvoch uhlov a dĺžkou strán oproti nim. Strany sú označené ako a, b, c a zodpovedajúce opačné uhly sú α, β, γ. Vzorec tangentovej vety je: (a - b) / (a ​​​​+ b) = tan ((α - β) / 2) / tan ((α + β) / 2).

Kotangensová veta

Spája polomer kruhu vpísaného do trojuholníka s dĺžkou jeho strán. Ak a, b, c sú strany trojuholníka a A, B, C sú opačné uhly, r je polomer vpísanej kružnice a p je polovica obvodu trojuholníka, nasledujúce identity sú platné:

• ctg A/2 = (p-a)/r;
• ctg B/2 = (p-b)/r;
• ctg C/2 = (p-c)/r.

Aplikovaná aplikácia

Trigonometria nie je len teoretická veda súvisiaca s matematickými vzorcami. Jeho vlastnosti, vety a pravidlá využívajú v praxi rôzne odvetvia ľudskej činnosti – astronómia, letecká a námorná navigácia, hudobná teória, geodézia, chémia, akustika, optika, elektronika, architektúra, ekonómia, strojárstvo, meračské práce, počítačová grafika, kartografia, oceánografia a mnohé iné.

Sínus, kosínus, tangens a kotangens sú základné pojmy trigonometrie, pomocou ktorých môžete matematicky vyjadriť vzťah medzi uhlami a dĺžkami strán v trojuholníku a pomocou identít, teorémov a pravidiel nájsť potrebné veličiny.

Tabuľka hodnôt goniometrických funkcií

Poznámka... Táto tabuľka hodnôt goniometrických funkcií používa znak √ na označenie druhej odmocniny. Na označenie zlomku - symbol "/".

pozri tiež užitočné materiály:

Pre určenie hodnoty goniometrickej funkcie, nájdite ho na priesečníku trigonometrickej funkčnej priamky. Napríklad sínus 30 stupňov - vyhľadajte stĺpec s nadpisom sin (sínus) a nájdite priesečník tohto stĺpca tabuľky s čiarou "30 stupňov", na ich priesečníku čítame výsledok - jedna sekunda. Podobne zisťujeme kosínus 60 stupne, sínus 60 stupňov (ešte raz na priesečníku stĺpca sin (sínus) a 60 stupňového radu nájdeme hodnotu sin 60 = √3 / 2) atď. Rovnakým spôsobom sa nájdu hodnoty sínusov, kosínusov a dotyčníc iných "populárnych" uhlov.

Sínus pí, kosínus pí, tangens pí a ďalšie uhly v radiánoch

Nižšie uvedená tabuľka kosínusov, sínusov a dotyčníc je vhodná aj na nájdenie hodnoty goniometrických funkcií, ktorých argument udáva sa v radiánoch... Na tento účel použite druhý stĺpec hodnôt uhla. Vďaka tomu možno hodnotu obľúbených uhlov previesť zo stupňov na radiány. Napríklad nájdime v prvom riadku uhol 60 stupňov a pod ním odčítajme jeho hodnotu v radiánoch. 60 stupňov sa rovná π / 3 radiánom.

Číslo pí jednoznačne vyjadruje závislosť obvodu na mierke uhla. Pi radiány sa teda rovnajú 180 stupňom.

Akékoľvek číslo vyjadrené v pí (radiáne) možno ľahko previesť na mieru nahradením pí (π) 180.

Príklady:
1. Sine pi.
sin π = sin 180 = 0
teda sínus pí je rovnaký ako sínus 180 stupňov a je nulový.

2. Kosínus pí.
cos π = cos 180 = -1
teda kosínus pí je rovnaký ako kosínus 180 stupňov a rovná sa mínus jednej.

3. Tangenta pí
tg π = tg 180 = 0
teda dotyčnica pi je rovnaká ako dotyčnica 180 stupňov a je nulová.

Tabuľka hodnôt sínusu, kosínusu, dotyčnice pre uhly 0 - 360 stupňov (bežné hodnoty)

Ak je v tabuľke hodnôt goniometrických funkcií namiesto funkčnej hodnoty uvedená pomlčka (tangens (tg) 90 stupňov, kotangens (ctg) 180 stupňov), potom funkcia nemá pre túto hodnotu miery stupňa jednoznačný význam. uhla. Ak tam nie je pomlčka - bunka je prázdna, tak sme ešte nezadali požadovanú hodnotu. Zaujíma nás, s akými požiadavkami k nám používatelia prichádzajú a dopĺňame tabuľku o nové hodnoty, napriek tomu, že aktuálne údaje o hodnotách kosínusov, sínusov a tangentov najčastejšie sa vyskytujúcich hodnôt uhlov postačujú na to, aby vyriešiť väčšinu problémov.

Tabuľka hodnôt goniometrických funkcií sin, cos, tg pre najobľúbenejšie uhly
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 stupňov
(číselné hodnoty "ako v tabuľkách Bradis")

Trigonometria je časť matematiky, ktorá študuje goniometrické funkcie a ich využitie v geometrii. Vývoj trigonometrie sa začal v časoch starovekého Grécka. Počas stredoveku vedci z Blízkeho východu a Indie významne prispeli k rozvoju tejto vedy.

Tento článok je venovaný základným pojmom a definíciám trigonometrie. Rozoberá definície hlavných goniometrických funkcií: sínus, kosínus, tangens a kotangens. Ich význam je vysvetlený a znázornený v kontexte geometrie.

Pôvodne boli definície goniometrických funkcií, ktorých argumentom je uhol, vyjadrené ako pomery strán pravouhlého trojuholníka.

Definície goniometrických funkcií

Sínus uhla (sin α) je pomer nohy oproti tomuto uhlu k prepone.

Kosínus uhla (cos α) je pomer priľahlého ramena k prepone.

Tangenta uhla (t g α) je pomer protiľahlého ramena k susednému.

Kotangens uhla (c t g α) - pomer susednej vetvy k opačnej.

Tieto definície sú uvedené pre ostrý uhol pravouhlého trojuholníka!

Tu je ilustrácia.

V trojuholníku ABC s pravým uhlom C sa sínus uhla A rovná pomeru ramena BC k prepone AB.

Definície sínus, kosínus, tangens a kotangens vám umožňujú vypočítať hodnoty týchto funkcií zo známych dĺžok strán trojuholníka.

Dôležité mať na pamäti!

Rozsah hodnôt sínusu a kosínusu: od -1 do 1. Inými slovami, sínus a kosínus nadobúdajú hodnoty od -1 do 1. Rozsah hodnôt dotyčnice a kotangens je celé číslo riadok, to znamená, že tieto funkcie môžu nadobúdať ľubovoľné hodnoty.

Vyššie uvedené definície platia pre ostré rohy. V trigonometrii sa zavádza pojem uhla natočenia, ktorého hodnota na rozdiel od ostrého uhla nie je obmedzená na rámec od 0 do 90 stupňov. Uhol natočenia v stupňoch alebo radiánoch je vyjadrený ľubovoľným reálnym číslom od - ∞ až + ∞.

V tomto kontexte môžete zadať definíciu sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu uhla ľubovoľnej veľkosti. Predstavte si jednotkový kruh so stredom v počiatku karteziánskeho súradnicového systému.

Počiatočný bod A so súradnicami (1, 0) sa otočí okolo stredu jednotkovej kružnice o určitý uhol α a prejde do bodu A 1. Definícia je daná prostredníctvom súradníc bodu A 1 (x, y).

Sínus (sin) uhla natočenia

Sínus uhla natočenia α je ordináta bodu A 1 (x, y). hriech α = y

Kosínus (cos) uhla natočenia

Kosínus uhla natočenia α je úsečka bodu A 1 (x, y). cos α = x

Tangenta (tg) uhol natočenia

Tangenta uhla natočenia α je pomerom ordináty bodu A 1 (x, y) k jeho os. t g α = y x

Kotangens (ctg) uhla natočenia

Kotangens uhla natočenia α je pomer úsečky bodu A 1 (x, y) k jeho ordinate. c t g α = x y

Sínus a kosínus sú definované pre akýkoľvek uhol natočenia. Je to logické, pretože úsečka a ordináta bodu po otočení sa dajú určiť v akomkoľvek uhle. Iná situácia je pri tangente a kotangens. Dotyčnica nie je definovaná, keď bod po otočení ide do bodu s nulovou úsečkou (0, 1) a (0, - 1). V takýchto prípadoch výraz pre dotyčnicu t g α = y x jednoducho nedáva zmysel, pretože obsahuje delenie nulou. Podobná situácia je aj s kotangensom. Rozdiel je v tom, že kotangens nie je definovaný, keď ordináta bodu zmizne.

Dôležité mať na pamäti!

Sínus a kosínus sú definované pre akýkoľvek uhol α.

Dotyčnica je definovaná pre všetky uhly okrem α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

Kotangens je definovaný pre všetky uhly okrem α = 180 ° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Pri riešení praktických príkladov nehovorte „sínus uhla natočenia α“. Slová "uhol natočenia" sú jednoducho vynechané, čo znamená, že z kontextu je jasné, o čo ide.

čísla

A čo definícia sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu čísla a nie uhla natočenia?

Sínus, kosínus, tangens, kotangens čísla

Sínus, kosínus, tangens a kotangens čísla t je číslo, ktoré sa rovná sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu v t radián.

Napríklad sínus 10 π sa rovná sínusu uhla natočenia 10 π rad.

Existuje ďalší prístup k určovaniu sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu čísla. Pozrime sa na to podrobnejšie.

Akékoľvek skutočné číslo t priradí sa bod na jednotkovej kružnici so stredom v počiatku pravouhlého karteziánskeho súradnicového systému. Sínus, kosínus, dotyčnica a kotangens sú definované súradnicami tohto bodu.

Počiatočný bod na kružnici je bod A so súradnicami (1, 0).

Kladné číslo t

Záporné číslo t zodpovedá bodu, do ktorého pôjde začiatočný bod, ak sa bude pohybovať proti smeru hodinových ručičiek po kružnici a prejde dráhu t.

Teraz, keď je vytvorené spojenie medzi číslom a bodom na kružnici, pristúpime k definícii sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu.

Sínus (hriech) t

Sínus čísla t je ordináta bodu jednotkovej kružnice zodpovedajúcej číslu t. hriech t = y

Kosínus (cos) čísla t

Kosínusové číslo t je úsečka bodu jednotkovej kružnice zodpovedajúcej číslu t. cos t = x

Dotyčnica (tg) čísla t

Tangenta čísla t- pomer zvislej osi k osovej osi bodu jednotkovej kružnice zodpovedajúcej číslu t. t g t = y x = sin t cos t

Posledné uvedené definície sú v súlade s definíciou uvedenou na začiatku tohto článku a nie sú v rozpore s ňou. Bod na kruhu zodpovedajúci číslu t, sa zhoduje s bodom, do ktorého ide počiatočný bod po otočení o uhol t radián.

Goniometrické funkcie uhlového a číselného argumentu

Každá hodnota uhla α zodpovedá určitej hodnote sínusu a kosínusu tohto uhla. Rovnako ako všetky uhly α iné ako α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) zodpovedá určitá hodnota dotyčnice. Kotangens, ako je uvedené vyššie, je definovaný pre všetky α, okrem α = 180 ° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).

Môžeme povedať, že sin α, cos α, t g α, c t g α sú funkcie uhla alfa, alebo funkcie uhlového argumentu.

Podobne môžete hovoriť o sínus, kosínus, tangens a kotangens ako funkcie číselného argumentu. Ku každému reálnemu číslu t zodpovedá konkrétnej hodnote sínusu alebo kosínusu čísla t... Všetky čísla iné ako π 2 + π · k, k ∈ Z zodpovedajú hodnote dotyčnice. Kotangens je podobne definovaný pre všetky čísla okrem π k, k ∈ Z.

Základné funkcie trigonometrie

Sínus, kosínus, tangens a kotangens sú základné goniometrické funkcie.

Z kontextu je zvyčajne jasné, s ktorým argumentom goniometrickej funkcie (argument uhla alebo číselný argument) máme do činenia.

Vráťme sa k údajom na samom začiatku definícií a uhlu alfa, ležiaceho v rozsahu od 0 do 90 stupňov. Trigonometrické definície sínusu, kosínusu, dotyčnice a kotangens sú úplne v súlade s geometrickými definíciami danými pomocou pomerov strán pravouhlého trojuholníka. Ukážme to.

Vezmite jednotkový kruh vycentrovaný v pravouhlom karteziánskom súradnicovom systéme. Otočme začiatočný bod A (1, 0) o uhol až 90 stupňov a z výsledného bodu A 1 (x, y) nakreslime kolmicu na os x. Vo výslednom pravouhlom trojuholníku sa uhol A 1 O H rovná uhlu natočenia α, dĺžka ramena O H sa rovná osovej osi bodu A 1 (x, y). Dĺžka ramena oproti rohu sa rovná ordinate bodu A 1 (x, y) a dĺžka prepony sa rovná jednej, pretože je to polomer jednotkovej kružnice.

Podľa definície z geometrie sa sínus uhla α rovná pomeru protiľahlej vetvy k prepone.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

To znamená, že určenie sínusu ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku pomocou pomeru strán je ekvivalentné určeniu sínusu uhla natočenia α, pričom alfa leží v rozsahu od 0 do 90 stupňov.

Podobne je možné ukázať zhodu definícií pre kosínus, tangens a kotangens.

Ak si všimnete chybu v texte, vyberte ju a stlačte Ctrl + Enter

1. Jedna z ramien pravouhlého trojuholníka má 25 cm. Vypočítajte dĺžku druhej vetvy, ak je uhol priľahlý k známej vetve 36º.
   

   Riešenie:

   Podľa definície sa dotyčnica ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku rovná pomeru protiľahlej vetvy k susednej vetve. Rameno a = 25 cm susedí s uhlom α = 36º a neznáme rameno b je opačné. potom:

   $$ tg (\ alpha) = \ frac (b) (a) $$, teda $$ b = a \ cdot tg (\ alpha) $$

   Urobme náhradu:

   $$ b = 25 \ cdot tg (36 ^ 0) = 25 \ cdot 0,727 = 18,175 cm $$

   odpoveď:

   $$ b = 18,175 cm $$

2. Vypočítajte hodnotu výrazu: $$ 2 + tg (12 ^ 0) - tg ^ 2 \ vľavo (\ frac (\ pi) (5) \ vpravo) $$
   

   Riešenie:

   Pri dosadzovaní berte do úvahy, že jeden z uhlov sa meria v stupňoch a druhý v radiánoch:

   $$ 2 + tg (12 ^ 0) - tg ^ 2 \ vľavo (\ frac (\ pi) (5) \ vpravo) = 2 + 0,213 - 0,727 ^ 2 \ približne 1,684 $$

   odpoveď:
3. Na výpočet výšky Cheopsovej pyramídy vedec počkal, kým sa Slnko z miesta, kde sa nachádza, nedotkne jej vrcholu. Potom zmeral uhlovú výšku Slnka nad horizontom, ukázalo sa, že je 21º a vzdialenosť od pyramídy bola 362 m. Aká je jej výška?
   

   Riešenie:

   Výška pyramídy H a vzdialenosť L k nej sú ramenami pravouhlého trojuholníka, ktorého preponou je slnečný lúč. Potom dotyčnica uhla, pod ktorým je Slnko vidieť na vrchole pyramídy, je:

   $$ tg \ alpha = \ frac (H) (L) $$, výšku vypočítame transformáciou vzorca:

   $$ H = L \ cdot tg (\ alpha) = 362 \ cdot tg (21 ^ 0) = 138,96 $$

   odpoveď:

   $$ H = 138,96 $$

4. Nájdite tg α, ak je protiľahlá noha 6 cm a susedná noha je 5 cm.
   

   Riešenie:

   A-priorstvo

   $$ tg \ alpha = \ frac (b) (a) $$

   $$ tg \ alpha = \ frac (6) (5) = 1,2 $$

   Takže uhol je $$ \ alfa = 50 ^ (\ circ) $$.

   odpoveď:

   $$ tg \ alfa = 1,2 $$

5. Nájdite tg α, ak je opačná noha 8 cm a prepona je 10 cm.
   

   Riešenie:

   Pomocou Pytagorovho vzorca nájdeme susednú vetvu trojuholníka:

   $$ a = \ sqrt ((c ^ 2 - b ^ 2)) $$

   $$ a = \ sqrt ((10 ^ 2 - 8 ^ 2)) = \ sqrt (36) = 6 \ cm $$

   A-priorstvo

   $$ tg \ \ alpha = \ frac (8) (6) = 1,333 $$

   Takže uhol je $$ \ alfa = 53 ^ (\ circ) $$.

   odpoveď:

   $$ tg \ alfa = 1,333 $$

6. Nájdite tg α, ak je susedná vetva 2-krát väčšia ako opačná a prepona je 5√5 cm.
   

   Riešenie:

   Pomocou Pytagorovho vzorca nájdeme nohy trojuholníka:

   $$ c = \ sqrt ((b ^ 2 + 4b ^ 2)) = \ sqrt ((5b ^ 2)) = b \ sqrt (5) $$

   $$ b = \ frac (c) (\ sqrt (5)) = \ frac (5 \ sqrt (5)) (\ sqrt (5)) = 5 \ cm $$

   $$ a = 5 \ cdot 2 = 10 \ cm $$

   A-priorstvo

   $$ tg \ \ alpha = \ frac (b) (a) $$

   $$ tg \ \ alpha = \ frac (5) (10) = 0,5 $$

   Preto uhol $$ \ alfa = 27 ^ (\ circ) $$.

   odpoveď:

   $$ tg \ alfa = 0,5 $$

7. Nájdite tan α, ak je prepona 12 cm a uhol β = 30 °.
   

   Riešenie:

   Nájdime nohu susediacu s požadovaným uhlom. Je známe, že noha ležiaca oproti uhlu 30 ° sa rovná polovici prepony. znamená,

   $$ a = 6 \ cm $$

   Podľa Pytagorovej vety nájdeme nohu opačnú k požadovanému uhlu:

   $$ b = \ sqrt ((c ^ 2 + a ^ 2)) $$

   $$ b = \ sqrt ((144-36)) = \ sqrt (108) = 6 \ sqrt (3) $$

   A-priorstvo

   $$ tg \ \ alpha = \ frac (b) (a) $$

   $$ tg \ \ alpha = \ frac (6 \ sqrt (3)) (6) = \ sqrt (3) = 1,732 $$

   Takže uhol je $$ \ alfa = 60 ^ (\ circ) $$.

   odpoveď:

   $$ tg \ alfa = 1,732 $$

8. Nájdite tg α, ak sú protiľahlé a susedné ramená rovnaké a prepona je 6√2 cm.
   

   Riešenie:

   A-priorstvo

   $$ tg \ \ alpha = \ frac (b) (a) $$

   $$ tg \ \ alfa = 1 $$

   Takže uhol je $$ \ alfa = 45 ^ (\ circ) $$.

   odpoveď:

   Prednáška: Sínus, kosínus, tangens, kotangens ľubovoľného uhla

   Sínus, kosínus ľubovoľného uhla

   
   

   Aby sme pochopili, čo sú goniometrické funkcie, obráťme sa na kruh s jednotkovým polomerom. Tento kruh je vycentrovaný v počiatku v rovine súradníc. Na určenie daných funkcií použijeme rádiusový vektor ALEBO ktorý začína v strede kruhu a bodu R je bod kruhu. Tento vektor polomeru tvorí s osou uhol alfa OH... Pretože kruh má polomer rovný jednej OP = R = 1.

   

   Ak z bodu R znížte kolmicu na os OH, potom dostaneme pravouhlý trojuholník s preponou rovnajúcou sa jednej.

   
   

   Ak sa vektor polomeru pohybuje v smere hodinových ručičiek, potom sa tento smer nazýva negatívne, ak sa pohybuje proti smeru hodinových ručičiek - pozitívne.

   

   
   

   Sínusový uhol ALEBO, je ordináta bodu R vektory na kruhu.

   To znamená, že na získanie sínusovej hodnoty daného uhla alfa je potrebné určiť súradnicu Mať na povrchu.

   Ako bola táto hodnota získaná? Keďže vieme, že sínus ľubovoľného uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer protiľahlej vetvy k prepone, dostaneme, že

   

   A odvtedy R = 1, potom hriech (α) = y 0 .

   
   

   V jednotkovom kruhu nemôže byť hodnota ordináty menšia ako -1 a väčšia ako 1, čo znamená, že

   

   

   Sínus je kladný v prvej a druhej štvrtine kruhu jednotiek a záporný v tretej a štvrtej.

   Kosínusový uhol daný kruh tvorený vektorom polomeru ALEBO, je úsečka bodu R vektory na kruhu.

   To znamená, že na získanie hodnoty kosínusu daného uhla alfa je potrebné určiť súradnicu NS na povrchu.

   
   

   Kosínus ľubovoľného uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer priľahlej vetvy k prepone, dostaneme, že

   
   

   A odvtedy R = 1, potom cos (α) = x 0 .

   V jednotkovej kružnici nemôže byť hodnota úsečky menšia ako -1 a väčšia ako 1, čo znamená, že

   

   

   Kosínus je kladný v prvej a štvrtej štvrtine jednotkového kruhu a záporný v druhej a tretej štvrtine.

   Tangentaľubovoľný uhol uvažuje sa pomer sínusu ku kosínusu.

   Ak vezmeme do úvahy pravouhlý trojuholník, potom je to pomer protiľahlej nohy k susednej. Ak hovoríme o jednotkovej kružnici, potom je to pomer ordináty k úsečke.

   

   Súdiac podľa týchto pomerov možno pochopiť, že dotyčnica nemôže existovať, ak je hodnota úsečky nula, to znamená v uhle 90 stupňov. Tangenta môže nadobúdať všetky ostatné hodnoty.

   

   Tangenta je kladná v prvej a tretej štvrtine jednotkového kruhu a záporná v druhej a štvrtej.