Definícia sínusu a kosínusu. Sínus, kosínus, tangens a kotangens - všetko, čo potrebujete vedieť na skúške z matematiky (2020)

Učitelia sa domnievajú, že každý študent by mal byť schopný vykonávať výpočty, poznať trigonometrické vzorce, ale nie každý učiteľ vysvetľuje, čo sú sínus a kosínus. Aký je ich význam, kde sa používajú? Prečo hovoríme o trojuholníkoch, ale v učebnici je nakreslený kruh? Skúsme spojiť všetky fakty dokopy.

Školský predmet

Štúdium trigonometrie sa zvyčajne začína v 7. – 8. ročníku strednej školy. V tomto čase sa študentom vysvetľuje, čo sú sínus a kosínus, ponúka sa im riešenie geometrických úloh pomocou týchto funkcií. Neskôr sa objavujú zložitejšie vzorce a výrazy, ktoré je potrebné transformovať algebraickým spôsobom (dvojité a polovičné uhlové vzorce, mocninné funkcie), pracuje sa s trigonometrickým kruhom.

Učitelia však zďaleka nie vždy vedia jasne vysvetliť význam použitých pojmov a použiteľnosť vzorcov. Študent preto často v tomto predmete nevidí zmysel a naučené informácie rýchlo zabudne. Stredoškolákovi sa však oplatí raz vysvetliť napríklad súvislosť medzi funkciou a kmitavým pohybom a logickú súvislosť si zapamätá na dlhé roky a vtipy o zbytočnosti učiva sa stanú minulosťou. .

Použitie

Pre zaujímavosť sa pozrime na rôzne odvetvia fyziky. Chcete určiť dostrel strely? Alebo počítate treciu silu medzi predmetom a určitým povrchom? Hojdanie kyvadla, sledovanie lúčov prechádzajúcich sklom, výpočet indukcie? Trigonometrické pojmy sa vyskytujú takmer v každom vzorci. Čo sú teda sínus a kosínus?

Definície

Sínus uhla je pomer protiľahlej vetvy k prepone, kosínus je pomer susednej vetvy k tej istej prepone. Nie je tu absolútne nič zložité. Možno sú študenti zvyčajne zmätení hodnotami, ktoré vidia v trigonometrickej tabuľke, pretože sa tam objavujú odmocniny. Áno, nie je veľmi vhodné z nich získavať desatinné zlomky, ale kto povedal, že všetky čísla v matematike by sa mali rovnať?

V knihách o problémoch s trigonometriou môžete nájsť vtipnú nápovedu: väčšina odpovedí je tu párnych av najhoršom prípade obsahuje odmocninu z dvoch alebo troch. Záver je jednoduchý: ak vo svojej odpovedi dostanete „viacposchodový“ zlomok, dvakrát skontrolujte riešenie, či neobsahuje chyby vo výpočtoch alebo zdôvodňovaní. A s najväčšou pravdepodobnosťou ich nájdete.

Veci na zapamätanie

Ako každá veda, aj trigonometria má údaje, ktoré sa treba naučiť.

Najprv by ste si mali zapamätať číselné hodnoty sínusov, kosínusov pravouhlého trojuholníka 0 a 90, ako aj 30, 45 a 60 stupňov. Tieto ukazovatele sa nachádzajú v deviatich z desiatich školských problémov. Nakuknutím týchto hodnôt do učebnice stratíte veľa času a na test alebo skúšku už nebude vôbec miesto.

Malo by sa pamätať na to, že hodnota oboch funkcií nemôže presiahnuť jednu. Ak kdekoľvek vo výpočte získate hodnotu mimo rozsahu 0-1, zastavte a znova vyriešte problém.

Súčet druhých mocnín sínusu a kosínusu sa rovná jednej. Ak ste už našli jednu z hodnôt, použite tento vzorec na nájdenie ostatných.

Vety

V základnej trigonometrii existujú dve hlavné vety: sínus a kosínus.

Prvý hovorí, že pomer každej strany trojuholníka k sínusu opačného uhla je rovnaký. Druhým je, že druhú mocninu ktorejkoľvek strany možno získať sčítaním druhých mocnín dvoch zostávajúcich strán a odčítaním ich dvojitého súčinu, vynásobeného kosínusom uhla ležiaceho medzi nimi.

Ak teda dosadíme do kosínusovej vety hodnotu uhla 90 stupňov, dostaneme ... Pytagorovu vetu. Teraz, ak potrebujete vypočítať plochu obrazca, ktorý nie je pravouhlým trojuholníkom, už sa nemusíte obávať - ​​dve uvažované vety výrazne zjednodušia riešenie problému.

Ciele a ciele

Učenie trigonometrie bude oveľa jednoduchšie, keď si uvedomíte jeden jednoduchý fakt: všetky činnosti, ktoré vykonávate, sú zamerané na dosiahnutie len jedného cieľa. Akékoľvek parametre trojuholníka sa dajú nájsť, ak o ňom viete najmenej informácií – môže to byť hodnota jedného uhla a dĺžka dvoch strán, alebo napríklad troch strán.

Na určenie sínusu, kosínusu, dotyčnice akéhokoľvek uhla stačia tieto údaje, s ich pomocou môžete ľahko vypočítať plochu obrázku. Takmer vždy sa ako odpoveď vyžaduje jedna z uvedených hodnôt a môžete ich nájsť pomocou rovnakých vzorcov.

Nezrovnalosti v učení trigonometrie

Jednou z nepochopiteľných otázok, ktorej sa študenti radšej vyhýbajú, je hľadanie súvislostí medzi rôznymi pojmami v trigonometrii. Zdá sa, že trojuholníky sa používajú na štúdium sínusov a kosínusov uhlov, ale z nejakého dôvodu sa označenia často nachádzajú na obrázku s kruhom. Okrem toho existuje úplne nepochopiteľný vlnový graf nazývaný sínusoida, ktorý nemá vonkajšiu podobnosť ani s kruhom, ani s trojuholníkmi.

Okrem toho sa uhly merajú v stupňoch, potom v radiánoch a vo vzorcoch sa z nejakého dôvodu objavuje číslo Pi, zapísané jednoducho ako 3,14 (bez jednotiek merania), čo zodpovedá 180 stupňom. Ako to všetko spolu súvisí?

Jednotky

Prečo je Pi presne 3,14? Pamätáte si, aký je tento význam? Toto je počet polomerov, ktoré sa zmestia do oblúka na polovici kruhu. Ak je priemer kruhu 2 centimetre, obvod je 3,14 * 2 alebo 6,28.

Druhý bod: možno ste si všimli podobnosť medzi slovami „radián“ a „polomer“. Faktom je, že jeden radián sa číselne rovná hodnote uhla vyneseného zo stredu kruhu na oblúk s dĺžkou jedného polomeru.

Teraz skombinujme získané poznatky a pochopíme, prečo je vrchol na súradnicovej osi v trigonometrii napísaný "Pi na polovicu" a vľavo - "Pi". Toto je uhlová hodnota meraná v radiánoch, pretože polkruh má 180 stupňov alebo 3,14 radiánov. A kde sú stupne, tam sú sínusy a kosínusy. Trojuholník sa dá ľahko nakresliť z požadovaného bodu, pričom sa segmenty odložia do stredu a na súradnicovú os.

Pozrime sa do budúcnosti

Trigonometria, vyštudovaná v škole, sa zaoberá priamočiarym súradnicovým systémom, kde, akokoľvek zvláštne to môže znieť, priamka je priamka.

Existujú však aj zložitejšie spôsoby práce s priestorom: súčet uhlov trojuholníka tu bude viac ako 180 stupňov a priamka z nášho pohľadu bude vyzerať ako skutočný oblúk.

Prejdime od slov k činom! Vezmite si jablko. Nožom urobte tri zárezy, aby ste pri pohľade zhora vytvorili trojuholník. Vyberte výsledný plátok jablka a pozrite sa na "rebrá", kde končí kôra. Vôbec nie sú rovné. Ovocie vo vašich rukách možno podmienečne nazvať okrúhle a teraz si predstavte, aké zložité musia byť vzorce, pomocou ktorých môžete nájsť oblasť vyrezaného kusu. Niektorí špecialisti však takéto problémy riešia denne.

Goniometrické funkcie v živote

Všimli ste si, že najkratšia rovina cesta z bodu A do bodu B na povrchu našej planéty má výrazný oblúkový tvar? Dôvod je jednoduchý: Zem má tvar gule, čo znamená, že pomocou trojuholníkov toho veľa nevypočítate – tu musíte použiť zložitejšie vzorce.

Sínus / kosínus ostrého uhla nie je možné vynechať v žiadnej záležitosti súvisiacej s priestorom. Je zaujímavé, že sa tu zbieha celá paleta faktorov: goniometrické funkcie sú potrebné pri výpočte pohybu planét po kružniciach, elipsách a rôznych trajektóriách zložitejších tvarov; proces odpaľovania rakiet, satelitov, raketoplánov, odpájania výskumných vozidiel; pozorovanie vzdialených hviezd a štúdium galaxií, ku ktorým sa ľudia v dohľadnej dobe nedostanú.

Vo všeobecnosti je pole pre činnosť osoby, ktorá vlastní trigonometriu, veľmi široké a zrejme sa bude časom rozširovať.

Záver

Dnes sme sa dozvedeli, alebo aspoň zopakovali, čo je sínus a kosínus. Sú to pojmy, ktorých sa netreba báť – len chcete a pochopíte ich význam. Pamätajte, že trigonometria nie je cieľom, ale iba nástrojom, ktorý možno použiť na uspokojenie skutočných ľudských potrieb: stavať domy, zaisťovať bezpečnosť premávky, dokonca skúmať rozľahlosť vesmíru.

Skutočne, samotná veda sa môže zdať nudná, ale akonáhle v nej nájdete spôsob, ako dosiahnuť svoje vlastné ciele, sebarealizáciu, proces učenia sa stane zaujímavým a vaša osobná motivácia sa zvýši.

Ako domácu úlohu sa pokúste nájsť spôsoby, ako použiť trigonometrické funkcie na oblasť činnosti, ktorá vás osobne zaujíma. Predstavte si, zapnite svoju predstavivosť a potom sa pravdepodobne ukáže, že nové poznatky sa vám budú v budúcnosti hodiť. A okrem toho je matematika užitočná pre všeobecný rozvoj myslenia.

| BD |- dĺžka oblúka kružnice so stredom v bode A.
α je uhol vyjadrený v radiánoch.

Sinus ( hriech α) je goniometrická funkcia závislá od uhla α medzi preponou a ramenom pravouhlého trojuholníka, ktorý sa rovná pomeru dĺžky protiľahlého ramena | BC | na dĺžku prepony | AC |.
kosínus ( čos α) je goniometrická funkcia závislá od uhla α medzi preponou a ramenom pravouhlého trojuholníka, ktorý sa rovná pomeru dĺžky susedného ramena | AB | na dĺžku prepony | AC |.

Akceptované označenia

;
;
.

;
;
.

Graf sínusovej funkcie, y = sin x

Graf kosínusovej funkcie, y = cos x

Sínusové a kosínusové vlastnosti

Periodicita

Funkcie y = hriech x a y = cos x periodický s bodkou 2 π.

Parita

Funkcia sínus je nepárna. Kosínusová funkcia je párna.

Rozsah definície a hodnôt, extrémy, zvýšenie, zníženie

Funkcie sínus a kosínus sú spojité vo svojej oblasti definície, teda pre všetky x (pozri dôkaz spojitosti). Ich hlavné vlastnosti sú uvedené v tabuľke (n je celé číslo).

	y = hriech x	y = cos x
Oblasť definície a kontinuity	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Rozsah hodnôt	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Vzostupne
Zostupne
Maxima, y ​​= 1
Minimum, y = - 1
Nuly, y = 0
Priesečníky s osou y, x = 0	y = 0	y = 1

Základné vzorce

Súčet druhých mocnín sínusu a kosínusu

Sínusové a kosínusové vzorce pre súčet a rozdiel

;
;

Vzorce na súčin sínusov a kosínusov

Vzorce súčtu a rozdielu

Vyjadrenie sínusu pomocou kosínusu

;
;
;
.

Kosínusové vyjadrenie v zmysle sínusu

;
;
;
.

Dotykový výraz

; .

Pre, máme:
; .

na :
; .

Tabuľka sínusov a kosínusov, tangens a kotangens

Táto tabuľka zobrazuje hodnoty sínusov a kosínusov pre niektoré hodnoty argumentu.

Výrazy využívajúce komplexné premenné

;

Eulerov vzorec

Výrazy z hľadiska hyperbolických funkcií

;
;

Deriváty

; ... Odvodenie vzorcov>>>

Deriváty n-tého rádu:
{ -∞ < x < +∞ }

Sekant, kosekant

Inverzné funkcie

Inverzné funkcie sínus a kosínus sú inverzný sínus a inverzný kosínus.

Arcsin, arcsin

Arccosine, arccos

Referencie:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Príručka matematiky pre inžinierov a študentov technických inštitúcií, "Lan", 2009.

Pozri aj: Na vyriešenie niektorých problémov bude užitočná tabuľka goniometrických identít, ktorá výrazne uľahčí vykonávanie transformácií funkcií:

Najjednoduchšie trigonometrické identity

Podiel delenia sínusu uhla alfa kosínusom rovnakého uhla sa rovná tangente tohto uhla (vzorec 1). Pozri aj dôkaz o správnosti transformácie najjednoduchších goniometrických identít.
Podiel delenia kosínusu uhla alfa sínusom toho istého uhla sa rovná kotangensu toho istého uhla (vzorec 2)
Sekans uhla sa rovná jednému vydelenému kosínusom toho istého uhla (vzorec 3)
Súčet druhých mocnín sínusu a kosínusu rovnakého uhla sa rovná jednej (vzorec 4). pozri aj dôkaz súčtu druhých mocnín kosínusu a sínusu.
Súčet jednotky a dotyčnice uhla sa rovná pomeru jednotky ku druhej mocnine kosínusu tohto uhla (vzorec 5)
Jednotka plus kotangens uhla sa rovná podielu delenia jedna druhou mocninou tohto uhla (vzorec 6)
Súčin tangenty a kotangensu rovnakého uhla sa rovná jednej (vzorec 7).

Previesť záporné uhly goniometrických funkcií (párne a nepárne)

Aby ste sa pri výpočte sínusu, kosínusu alebo tangensu zbavili zápornej hodnoty mierky uhla, môžete použiť nasledujúce trigonometrické transformácie (identity) založené na princípoch párnosti alebo nepárnosti goniometrických funkcií.

Ako je vidieť, kosínus a sekanta je dokonca funkciu, sínus, dotyčnica a kotangens - nepárne funkcie.

Sínus záporného uhla sa rovná zápornému sínusu rovnakého kladného uhla (mínus sínus alfa).
Kosínus "mínus alfa" poskytne rovnakú hodnotu ako kosínus uhla alfa.
Dotyčnica mínus alfa sa rovná mínus dotyčnica alfa.

Vzorce redukcie dvojitého uhla (sínus, kosínus, tangens a kotangens dvojitého uhla)

Ak potrebujete rozdeliť uhol na polovicu alebo naopak, prejsť z dvojitého uhla na jeden uhol, môžete použiť nasledujúce trigonometrické identity:

Konverzia dvojitého uhla (sínus dvojitého uhla, kosínus dvojitého uhla a tangens dvojitého uhla) do jedného prebieha podľa nasledujúcich pravidiel:

Dvojitý sínusový uhol rovná dvojnásobku súčinu sínusu a kosínusu jedného uhla

Dvojitý uhol kosínusu sa rovná rozdielu medzi druhou mocninou kosínusu jednoduchého uhla a druhou mocninou sínusu tohto uhla

Dvojitý uhol kosínusu rovná dvojnásobku druhej mocniny kosínusu jedného uhla mínus jedna

Dvojitý uhol kosínusu rovná jednej mínus dvojitej sínusovej štvorci jedného uhla

Dvojitý uhol tangens sa rovná zlomku, ktorého čitateľ je dvojitý tangens jednoduchého uhla a menovateľ sa rovná jednej mínus dotyčnica druhej mocniny jednoduchého uhla.

Kotangens dvojitého uhla sa rovná zlomku, ktorého čitateľ je druhá mocnina kotangensu jedného uhla mínus jedna a menovateľ sa rovná dvojnásobku kotangensu jedného uhla

Univerzálne trigonometrické substitučné vzorce

Nižšie uvedené prevodné vzorce môžu byť užitočné, keď potrebujete vydeliť argument goniometrickej funkcie (sin α, cos α, tan α) dvomi a zmenšiť výraz na polovicu uhla. Z hodnoty α dostaneme α / 2.

Tieto vzorce sú tzv univerzálne goniometrické substitučné vzorce... Ich hodnota spočíva v tom, že goniometrický výraz sa s ich pomocou redukuje na vyjadrenie tangens polovice uhla, bez ohľadu na to, ktoré goniometrické funkcie (sin cos tg ctg) boli pôvodne vo výraze. Potom je oveľa jednoduchšie vyriešiť rovnicu s dotyčnicou polovice uhla.

Goniometrické transformácie polovičného uhla

Nasledujú vzorce na trigonometrický prevod polovice uhla na celočíselné hodnoty.
Hodnota argumentu goniometrickej funkcie α / 2 sa redukuje na hodnotu argumentu goniometrickej funkcie α.

Trigonometrické vzorce na sčítanie uhlov

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α

sin (α - β) = sin α cos β - sin β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

Tangent a kotangens súčtu uhlov alfa a beta možno konvertovať pomocou nasledujúcich pravidiel konverzie trigonometrických funkcií:

Tangent súčtu uhlov sa rovná zlomku, ktorého čitateľ je súčtom tangens prvého uhla a tangens druhého uhla a menovateľ je jedna mínus súčin tangens prvého uhla a tangens druhého uhla .

Tangenta rozdielu uhla sa rovná zlomku, ktorého čitateľ sa rovná rozdielu medzi dotyčnicou zmenšeného uhla a dotyčnicou odčítaného uhla a menovateľ sa rovná jednej plus súčin dotyčníc týchto uhlov.

Kotangens súčtu uhlov sa rovná zlomku, ktorého čitateľ sa rovná súčinu kotangens týchto uhlov plus jedna a menovateľ sa rovná rozdielu kotangensu druhého uhla a kotangensu prvého uhla.

Kotangens rozdielu uhla sa rovná zlomku, ktorého čitateľ je súčinom kotangens týchto uhlov mínus jedna a menovateľ sa rovná súčtu kotangens týchto uhlov.

Tieto trigonometrické identity sú vhodné na použitie, keď potrebujete vypočítať napríklad tangens 105 stupňov (tg 105). Ak to predstavíte ako tg (45 + 60), môžete použiť dané identické transformácie tangens súčtu uhlov a potom jednoducho nahradiť tabuľkové hodnoty tangens 45 a tangens 60 stupňov.

Vzorce na prevod súčtu alebo rozdielu pre goniometrické funkcie

Výrazy predstavujúce súčet tvaru sin α + sin β možno transformovať pomocou nasledujúcich vzorcov:

Vzorce s trojitým uhlom – previesť sin3α cos3α tg3α na sinα cosα tgα

Niekedy je potrebné transformovať trojitú hodnotu uhla tak, aby sa uhol α stal argumentom goniometrickej funkcie namiesto 3α.
V tomto prípade môžete použiť vzorce transformácie troch uhlov (identít):

Transformačné vzorce pre súčin goniometrických funkcií

Ak je potrebné transformovať súčin sínusov rôznych uhlov kosínusov rôznych uhlov alebo dokonca súčin sínusov a kosínusov, môžete použiť nasledujúce trigonometrické identity:


V tomto prípade sa súčin funkcií sínus, kosínus alebo tangens rôznych uhlov prevedie na súčet alebo rozdiel.

Vzorce na zníženie goniometrickej funkcie

Odlievací stôl musíte použiť nasledovne. V riadku vyberte funkciu, ktorá nás zaujíma. Stĺpec obsahuje roh. Napríklad sínus uhla (α + 90) v priesečníku prvého riadku a prvého stĺpca zistíme, že sin (α + 90) = cos α.

Trigonometria je časť matematiky, ktorá študuje goniometrické funkcie a ich využitie v geometrii. Vývoj trigonometrie sa začal v časoch starovekého Grécka. Počas stredoveku vedci z Blízkeho východu a Indie významne prispeli k rozvoju tejto vedy.

Tento článok je venovaný základným pojmom a definíciám trigonometrie. Rozoberá definície hlavných goniometrických funkcií: sínus, kosínus, tangens a kotangens. Ich význam je vysvetlený a znázornený v kontexte geometrie.

Pôvodne boli definície goniometrických funkcií, ktorých argumentom je uhol, vyjadrené ako pomery strán pravouhlého trojuholníka.

Definície goniometrických funkcií

Sínus uhla (sin α) je pomer nohy oproti tomuto uhlu k prepone.

Kosínus uhla (cos α) je pomer priľahlého ramena k prepone.

Tangenta uhla (t g α) je pomer protiľahlého ramena k susednému.

Kotangens uhla (c t g α) - pomer susednej vetvy k opačnej.

Tieto definície sú uvedené pre ostrý uhol pravouhlého trojuholníka!

Tu je ilustrácia.

V trojuholníku ABC s pravým uhlom C sa sínus uhla A rovná pomeru ramena BC k prepone AB.

Definície sínus, kosínus, tangens a kotangens vám umožňujú vypočítať hodnoty týchto funkcií zo známych dĺžok strán trojuholníka.

Dôležité mať na pamäti!

Rozsah hodnôt sínusu a kosínusu: od -1 do 1. Inými slovami, sínus a kosínus nadobúdajú hodnoty od -1 do 1. Rozsah hodnôt dotyčnice a kotangens je celé číslo riadok, to znamená, že tieto funkcie môžu nadobúdať ľubovoľné hodnoty.

Vyššie uvedené definície platia pre ostré rohy. V trigonometrii sa zavádza pojem uhla natočenia, ktorého hodnota na rozdiel od ostrého uhla nie je obmedzená na rámec od 0 do 90 stupňov. Uhol natočenia v stupňoch alebo radiánoch je vyjadrený ľubovoľným reálnym číslom od - ∞ až + ∞.

V tomto kontexte môžete zadať definíciu sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu uhla ľubovoľnej veľkosti. Predstavte si jednotkový kruh so stredom v počiatku karteziánskeho súradnicového systému.

Počiatočný bod A so súradnicami (1, 0) sa otočí okolo stredu jednotkovej kružnice o určitý uhol α a prejde do bodu A 1. Definícia je daná prostredníctvom súradníc bodu A 1 (x, y).

Sínus (sin) uhla natočenia

Sínus uhla natočenia α je ordináta bodu A 1 (x, y). hriech α = y

Kosínus (cos) uhla natočenia

Kosínus uhla natočenia α je úsečka bodu A 1 (x, y). cos α = x

Tangenta (tg) uhol natočenia

Tangenta uhla natočenia α je pomerom ordináty bodu A 1 (x, y) k jeho os. t g α = y x

Kotangens (ctg) uhla natočenia

Kotangens uhla natočenia α je pomer úsečky bodu A 1 (x, y) k jeho ordinate. c t g α = x y

Sínus a kosínus sú definované pre akýkoľvek uhol natočenia. Je to logické, pretože úsečka a ordináta bodu po otočení sa dajú určiť v akomkoľvek uhle. Iná situácia je pri tangente a kotangens. Dotyčnica nie je definovaná, keď bod po otočení ide do bodu s nulovou úsečkou (0, 1) a (0, - 1). V takýchto prípadoch výraz pre dotyčnicu t g α = y x jednoducho nedáva zmysel, pretože obsahuje delenie nulou. Podobná situácia je aj s kotangensom. Rozdiel je v tom, že kotangens nie je definovaný, keď ordináta bodu zmizne.

Dôležité mať na pamäti!

Sínus a kosínus sú definované pre akýkoľvek uhol α.

Dotyčnica je definovaná pre všetky uhly okrem α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

Kotangens je definovaný pre všetky uhly okrem α = 180 ° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Pri riešení praktických príkladov nehovorte „sínus uhla natočenia α“. Slová "uhol natočenia" sú jednoducho vynechané, čo znamená, že z kontextu je jasné, o čo ide.

čísla

A čo definícia sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu čísla a nie uhla natočenia?

Sínus, kosínus, tangens, kotangens čísla

Sínus, kosínus, tangens a kotangens čísla t je číslo, ktoré sa rovná sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu v t radián.

Napríklad sínus 10 π sa rovná sínusu uhla natočenia 10 π rad.

Existuje ďalší prístup k určovaniu sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu čísla. Pozrime sa na to podrobnejšie.

Akékoľvek skutočné číslo t priradí sa bod na jednotkovej kružnici so stredom v počiatku pravouhlého karteziánskeho súradnicového systému. Sínus, kosínus, dotyčnica a kotangens sú definované súradnicami tohto bodu.

Počiatočný bod na kružnici je bod A so súradnicami (1, 0).

Kladné číslo t

Záporné číslo t zodpovedá bodu, do ktorého pôjde začiatočný bod, ak sa bude pohybovať proti smeru hodinových ručičiek po kružnici a prejde dráhu t.

Teraz, keď je vytvorené spojenie medzi číslom a bodom na kružnici, pristúpime k definícii sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu.

Sínus (hriech) t

Sínus čísla t je ordináta bodu jednotkovej kružnice zodpovedajúcej číslu t. hriech t = y

Kosínus (cos) čísla t

Kosínusové číslo t je úsečka bodu jednotkovej kružnice zodpovedajúcej číslu t. cos t = x

Dotyčnica (tg) čísla t

Tangenta čísla t- pomer zvislej osi k osovej osi bodu jednotkovej kružnice zodpovedajúcej číslu t. t g t = y x = sin t cos t

Posledné uvedené definície sú v súlade s definíciou uvedenou na začiatku tohto článku a nie sú v rozpore s ňou. Bod na kruhu zodpovedajúci číslu t, sa zhoduje s bodom, do ktorého ide počiatočný bod po otočení o uhol t radián.

Goniometrické funkcie uhlového a číselného argumentu

Každá hodnota uhla α zodpovedá určitej hodnote sínusu a kosínusu tohto uhla. Rovnako ako všetky uhly α iné ako α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) zodpovedá určitá hodnota dotyčnice. Kotangens, ako je uvedené vyššie, je definovaný pre všetky α, okrem α = 180 ° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).

Môžeme povedať, že sin α, cos α, t g α, c t g α sú funkcie uhla alfa, alebo funkcie uhlového argumentu.

Podobne môžete hovoriť o sínus, kosínus, tangens a kotangens ako funkcie číselného argumentu. Ku každému reálnemu číslu t zodpovedá konkrétnej hodnote sínusu alebo kosínusu čísla t... Všetky čísla iné ako π 2 + π · k, k ∈ Z zodpovedajú hodnote dotyčnice. Kotangens je podobne definovaný pre všetky čísla okrem π k, k ∈ Z.

Základné funkcie trigonometrie

Sínus, kosínus, tangens a kotangens sú základné goniometrické funkcie.

Z kontextu je zvyčajne jasné, s ktorým argumentom goniometrickej funkcie (argument uhla alebo číselný argument) máme do činenia.

Vráťme sa k údajom na samom začiatku definícií a uhlu alfa, ležiaceho v rozsahu od 0 do 90 stupňov. Trigonometrické definície sínusu, kosínusu, dotyčnice a kotangens sú úplne v súlade s geometrickými definíciami danými pomocou pomerov strán pravouhlého trojuholníka. Ukážme to.

Vezmite jednotkový kruh vycentrovaný v pravouhlom karteziánskom súradnicovom systéme. Otočme počiatočný bod A (1, 0) o uhol až 90 stupňov a z výsledného bodu A 1 (x, y) nakreslime kolmicu na os x. Vo výslednom pravouhlom trojuholníku sa uhol A 1 O H rovná uhlu natočenia α, dĺžka ramena O H sa rovná osovej osi bodu A 1 (x, y). Dĺžka ramena oproti rohu sa rovná ordinate bodu A 1 (x, y) a dĺžka prepony sa rovná jednej, pretože je to polomer jednotkovej kružnice.

Podľa definície z geometrie sa sínus uhla α rovná pomeru protiľahlej vetvy k prepone.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

To znamená, že určenie sínusu ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku pomocou pomeru strán je ekvivalentné určeniu sínusu uhla natočenia α, pričom alfa leží v rozsahu od 0 do 90 stupňov.

Podobne je možné ukázať zhodu definícií pre kosínus, tangens a kotangens.

Ak si všimnete chybu v texte, vyberte ju a stlačte Ctrl + Enter

Pojmy sínus, kosínus, tangens a kotangens sú hlavnými kategóriami trigonometrie - odvetvia matematiky a sú neoddeliteľne spojené s definíciou uhla. Ovládanie tejto matematickej vedy si vyžaduje zapamätanie a pochopenie vzorcov a teorémov, ako aj rozvinuté priestorové myslenie. Preto trigonometrické výpočty často spôsobujú ťažkosti školákom a študentom. Aby ste ich prekonali, mali by ste sa podrobnejšie zoznámiť s goniometrickými funkciami a vzorcami.

Pojmy v trigonometrii

Aby ste pochopili základné pojmy trigonometrie, musíte najprv určiť, čo je pravouhlý trojuholník a uhol v kruhu a prečo sú s nimi spojené všetky základné trigonometrické výpočty. Trojuholník, v ktorom má jeden z rohov uhol 90 stupňov, je pravouhlý. Historicky túto postavu často používali ľudia v architektúre, navigácii, umení, astronómii. V súlade s tým ľudia pri štúdiu a analýze vlastností tohto čísla dospeli k výpočtu zodpovedajúcich pomerov jeho parametrov.

Hlavné kategórie spojené s pravouhlými trojuholníkmi sú prepona a nohy. Prepona je strana trojuholníka oproti pravému uhlu. Nohy sú ďalšie dve strany. Súčet uhlov ľubovoľných trojuholníkov je vždy 180 stupňov.

Sférická trigonometria je časť trigonometrie, ktorá sa v škole neštuduje, ale v aplikovaných vedách ako astronómia a geodézia ju vedci využívajú. Zvláštnosťou trojuholníka v sférickej trigonometrii je, že má vždy súčet uhlov väčší ako 180 stupňov.

Uhly trojuholníka

V pravouhlom trojuholníku je sínus uhla pomer opačnej nohy k požadovanému uhlu k prepone trojuholníka. V súlade s tým je kosínus pomerom susednej vetvy a prepony. Obe tieto hodnoty sú vždy menšie ako jedna, pretože prepona je vždy dlhšia ako noha.

Tangenta uhla je hodnota rovnajúca sa pomeru protiľahlej vetvy k susednej vetve požadovaného uhla alebo sínusu ku kosínusu. Kotangens je zase pomer priľahlého ramena požadovaného uhla k protiľahlému ramenu. Kotangens uhla možno získať aj delením jedného hodnotou dotyčnice.

Jednotkový kruh

Jednotková kružnica v geometrii je kružnica, ktorej polomer sa rovná jednej. Takáto kružnica je zostrojená v karteziánskom súradnicovom systéme, pričom stred kružnice sa zhoduje s počiatočným bodom a počiatočná poloha vektora polomeru je určená pozdĺž kladného smeru osi X (abscisa). Každý bod kruhu má dve súradnice: XX a YY, teda súradnice úsečiek a ordinát. Výberom ľubovoľného bodu na kružnici v rovine XX a presunutím kolmice z nej na os x získame pravouhlý trojuholník tvorený polomerom k vybranému bodu (označený písmenom C), kolmicou nakreslenou k os X (priesečník je označený písmenom G) a úsečka os x medzi počiatkom (bod je označený písmenom A) a priesečníkom G. Výsledný trojuholník ACG je pravouhlý trojuholník vpísaný do kruhu, kde AG je prepona a AC a GC sú nohy. Uhol medzi polomerom kružnice AC a segmentom osi x s označením AG definujeme ako α (alfa). Takže cos α = AG / AC. Ak vezmeme do úvahy, že AC je polomer jednotkovej kružnice a rovná sa jednej, ukáže sa, že cos α = AG. Podobne sin α = CG.

Okrem toho, ak poznáme tieto údaje, je možné určiť súradnicu bodu C na kružnici, pretože cos α = AG a sin α = CG, čo znamená, že bod C má dané súradnice (cos α; sin α). Keď vieme, že dotyčnica sa rovná pomeru sínusu ku kosínusu, môžeme určiť, že tg α = y / x a ctg α = x / y. Vzhľadom na uhly v zápornom súradnicovom systéme môžete vypočítať, že hodnoty sínusu a kosínusu niektorých uhlov môžu byť záporné.

Výpočty a základné vzorce

Hodnoty goniometrických funkcií

Po zvážení podstaty goniometrických funkcií cez jednotkový kruh môžete odvodiť hodnoty týchto funkcií pre niektoré uhly. Hodnoty sú uvedené v tabuľke nižšie.

Najjednoduchšie trigonometrické identity

Rovnice, v ktorých sa pod znamienkom goniometrickej funkcie nachádza neznáma hodnota, sa nazývajú trigonometrické. Totožnosti s hodnotou sin х = α, k je ľubovoľné celé číslo:

1. sin x = 0, x = πk.
2. 2.sin x = 1, x = π / 2 + 2πk.
3. sin x = -1, x = -π / 2 + 2πk.
4. sin x = a, | a | > 1, žiadne riešenia.
5. sin x = a, | a | ≦ 1, x = (-1) ^ k * arcsin α + πk.

Totožnosti s hodnotou cos x = a, kde k je ľubovoľné celé číslo:

1. cos x = 0, x = π / 2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x = -1, x = π + 2πk.
4. cos x = a, | a | > 1, žiadne riešenia.
5. cos x = a, | a | ≦ 1, x = ± arccos α + 2πk.

Totožnosti s hodnotou tg x = a, kde k je ľubovoľné celé číslo:

1. tg x = 0, x = π / 2 + πk.
2. tg x = a, x = arktan α + πk.

Totožnosti s hodnotou ctg x = a, kde k je ľubovoľné celé číslo:

1. ctg x = 0, x = π / 2 + πk.
2. ctg x = a, x = arcctg α + πk.

Odlievacie vzorce

Táto kategória konštantných vzorcov označuje metódy, ktoré možno použiť na prepnutie z goniometrických funkcií tvaru na funkcie argumentu, to znamená na privedenie sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu uhla ľubovoľnej hodnoty k zodpovedajúcim ukazovateľom uhol intervalu od 0 do 90 stupňov pre väčšie pohodlie pri výpočtoch.

Vzorce na prevod funkcií pre sínus uhla vyzerajú takto:

• sin (900 - α) = α;
• sin (900 + α) = cos α;
• sin (1800 - α) = hriech α;
• sin (1800 + α) = -sin α;
• sin (2700 - α) = -cos α;
• sin (2700 + α) = -cos α;
• sin (3600 - α) = -sin α;
• hriech (3600 + α) = hriech α.

Pre kosínus uhla:

• cos (900 - α) = sin α;
• cos (900 + α) = -sin α;
• cos (1800 - α) = -cos α;
• cos (1800 + a) = -cos a;
• cos (2700 - α) = -sin α;
• cos (2700 + α) = sin α;
• cos (3600 - α) = cos α;
• cos (3600 + α) = cos α.

Použitie vyššie uvedených vzorcov je možné pri dodržaní dvoch pravidiel. Po prvé, ak možno uhol znázorniť ako hodnotu (π / 2 ± a) alebo (3π / 2 ± a), hodnota funkcie sa zmení:

• od hriechu k cos;
• od cos k hriechu;
• od tg do ctg;
• z ctg do tg.

Hodnota funkcie zostáva nezmenená, ak možno uhol znázorniť ako (π ± a) alebo (2π ± a).

Po druhé, znamienko zníženej funkcie sa nemení: ak bolo pôvodne pozitívne, tak to zostane. Podobne aj s negatívnymi funkciami.

Sčítacie vzorce

Tieto vzorce vyjadrujú hodnoty sínus, kosínus, tangens a kotangens súčtu a rozdielu dvoch uhlov natočenia z hľadiska ich trigonometrických funkcií. Uhly sa bežne označujú ako α a β.

Vzorce vyzerajú takto:

1. sin (α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos (α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tan (α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg (α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Tieto vzorce platia pre ľubovoľné hodnoty uhlov α a β.

Vzorce dvojitého a trojitého uhla

Goniometrické vzorce s dvojitým a trojitým uhlom sú vzorce, ktoré spájajú funkcie uhlov 2α a 3α s goniometrickými funkciami uhla α. Odvodené zo sčítacích vzorcov:

1. sin2α = 2sinα * cosα.
2. cos2α = 1 - 2 sin ^ 2 α.
3. tg2α = 2tgα / (1 - tg^ 2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin ^ 3 α.
5. cos3α = 4cos ^ 3 α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tan ^ 3 α) / (1-tan ^ 2 α).

Prechod od sumy k produktu

Ak vezmeme do úvahy, že 2sinx * útulný = sin (x + y) + sin (x-y), zjednodušením tohto vzorca dostaneme identitu sinα + sinβ = 2sin (α + β) / 2 * cos (α - β) / 2. Podobne sinα - sinβ = 2sin (α - β) / 2 * cos (α + β) / 2; cosα + cosβ = 2cos (α + β) / 2 * cos (α - β) / 2; cosα - cosβ = 2sin (α + β) / 2 * sin (α - β) / 2; tgα + tgβ = sin (α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin (α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin (π / 4 ∓ α) = √2cos (π / 4 ± α).

Presun od práce k sume

Tieto vzorce vyplývajú z identít prechodu súčtu na súčin:

• sinα * sinβ = 1/2 *;
• cosα * cosβ = 1/2 *;
• sinα * cosβ = 1/2 *.

Vzorce na zníženie stupňa

V týchto identitách môžu byť druhé mocniny a kubické mocniny sínusu a kosínusu vyjadrené ako sínus a kosínus prvej mocniny viacnásobného uhla:

• sin ^ 2 α = (1 - cos2α) / 2;
• cos ^ 2 α = (1 + cos2α) / 2;
• sin ^ 3 α = (3 * sinα - sin3α) / 4;
• cos ^ 3 α = (3 * cosα + cos3α) / 4;
• sin ^ 4 α = (3 - 4cos2α + cos4α) / 8;
• cos ^ 4 α = (3 + 4cos2α + cos4α) / 8.

Univerzálna náhrada

Univerzálne goniometrické substitučné vzorce vyjadrujú goniometrické funkcie v zmysle tangens polovičného uhla.

• sin x = (2tgx / 2) * (1 + tan ^ 2 x / 2), zatiaľ čo x = π + 2πn;
• cos x = (1 - tan ^ 2 x / 2) / (1 + tan ^ 2 x / 2), kde x = π + 2πn;
• tan x = (2tgx / 2) / (1 - tan ^ 2 x / 2), kde x = π + 2πn;
• ctg x = (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), zatiaľ čo x = π + 2πn.

Špeciálne prípady

Konkrétne prípady najjednoduchších goniometrických rovníc sú uvedené nižšie (k je akékoľvek celé číslo).

Súkromné ​​pre sínus:

Hodnota hriechu x	hodnota X
0	πk
1	π / 2 + 2πk
-1	-π / 2 + 2πk
1/2	π / 6 + 2πk alebo 5π / 6 + 2πk
-1/2	-π / 6 + 2πk alebo -5π / 6 + 2πk
√2/2	π / 4 + 2πk alebo 3π / 4 + 2πk
-√2/2	-π / 4 + 2πk alebo -3π / 4 + 2πk
√3/2	π / 3 + 2πk alebo 2π / 3 + 2πk
-√3/2	-π / 3 + 2πk alebo -2π / 3 + 2πk

Kvocienty pre kosínus sú:

Hodnota cos x	hodnota X
0	π / 2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	± π / 3 + 2πk
-1/2	± 2π / 3 + 2πk
√2/2	± π / 4 + 2πk
-√2/2	± 3π / 4 + 2πk
√3/2	± π / 6 + 2πk
-√3/2	± 5π / 6 + 2πk

Súkromné ​​pre dotyčnicu:

Hodnota Tg x	hodnota X
0	πk
1	π / 4 + πk
-1	-π / 4 + πk
√3/3	π / 6 + πk
-√3/3	-π / 6 + πk
√3	π / 3 + πk
-√3	-π / 3 + πk

Súkromné ​​pre kotangens:

Hodnota Ctg x	hodnota X
0	π / 2 + πk
1	π / 4 + πk
-1	-π / 4 + πk
√3	π / 6 + πk
-√3	-π / 3 + πk
√3/3	π / 3 + πk
-√3/3	-π / 3 + πk

Vety

Sínusová veta

Existujú dve verzie vety - jednoduchá a rozšírená. Jednoduchá veta o sínusoch: a / sin α = b / sin β = c / sin γ. V tomto prípade sú a, b, c strany trojuholníka a α, β, γ sú opačné uhly.

Rozšírená sínusová veta pre ľubovoľný trojuholník: a / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2R. V tejto identite R označuje polomer kružnice, do ktorej je daný trojuholník vpísaný.

Kosínusová veta

Identita sa zobrazí nasledovne: a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2 * b * c * cos α. Vo vzorci sú a, b, c strany trojuholníka a α je uhol opačný k strane a.

Tangentová veta

Vzorec vyjadruje vzťah medzi dotyčnicami dvoch uhlov a dĺžkou strán oproti nim. Strany sú označené ako a, b, c a zodpovedajúce opačné uhly sú α, β, γ. Vzorec tangentovej vety je: (a - b) / (a ​​​​+ b) = tan ((α - β) / 2) / tan ((α + β) / 2).

Kotangensová veta

Spája polomer kruhu vpísaného do trojuholníka s dĺžkou jeho strán. Ak a, b, c sú strany trojuholníka a A, B, C sú opačné uhly, r je polomer vpísanej kružnice a p je polovica obvodu trojuholníka, nasledujúce identity sú platné:

• ctg A/2 = (p-a)/r;
• ctg B/2 = (p-b)/r;
• ctg C/2 = (p-c)/r.

Aplikovaná aplikácia

Trigonometria nie je len teoretická veda súvisiaca s matematickými vzorcami. Jeho vlastnosti, vety a pravidlá využívajú v praxi rôzne odvetvia ľudskej činnosti – astronómia, letecká a námorná navigácia, hudobná teória, geodézia, chémia, akustika, optika, elektronika, architektúra, ekonómia, strojárstvo, meračské práce, počítačová grafika, kartografia, oceánografia a mnohé iné.

Sínus, kosínus, tangens a kotangens sú základné pojmy trigonometrie, pomocou ktorých môžete matematicky vyjadriť vzťah medzi uhlami a dĺžkami strán v trojuholníku a pomocou identít, teorémov a pravidiel nájsť potrebné veličiny.