Fonksiyonun x0 noktasındaki türevinin değerini bulun. Fonksiyonun x0 noktasındaki türevinin değerini bulun Fonksiyonun grafiğine teğetin denklemi

Problem B9, aşağıdaki niceliklerden birini belirlemek istediğiniz bir fonksiyon veya türevin grafiğini verir:

1. x 0 noktasındaki türevin değeri,
2. Yüksek veya düşük noktalar (aşırı noktalar),
3. Fonksiyonun artan ve azalan aralıkları (monotonluk aralıkları).

Bu problemde sunulan fonksiyonlar ve türevler her zaman süreklidir, bu da çözümü büyük ölçüde basitleştirir. Görevin matematiksel analiz bölümüne ait olmasına rağmen, burada derin bir teorik bilgi gerekmediğinden, en zayıf öğrencilerin bile gücü dahilindedir.

Türev, uç noktalar ve monotonluk aralıklarının değerini bulmak için basit ve evrensel algoritmalar vardır - hepsi aşağıda tartışılacaktır.

Aptalca hatalardan kaçınmak için B9 sorununun durumunu dikkatlice okuyun: bazen oldukça uzun metinlerle karşılaşıyorsunuz, ancak çözümün gidişatını etkileyen çok fazla önemli koşul yok.

Türevin değerinin hesaplanması. İki nokta yöntemi

Problemde f(x) fonksiyonunun grafiği bu grafiğe x 0 noktasında teğet verilmişse ve bu noktada türevin değerinin bulunması isteniyorsa, aşağıdaki algoritma uygulanır:

1. Teğet grafiğinde iki "yeterli" nokta bulun: koordinatları tamsayı olmalıdır. Bu noktaları A (x 1; y 1) ve B (x 2; y 2) ile gösterelim. Koordinatları doğru yazın - bu, çözümdeki kilit noktadır ve buradaki herhangi bir hata, yanlış cevaba yol açar.
2. Koordinatları bilerek, Δx = x 2 - x 1 argümanının artışını ve Δy = y 2 - y 1 fonksiyonunun artışını hesaplamak kolaydır.
3. Son olarak, D = Δy / Δx türevinin değerini buluyoruz. Başka bir deyişle, fonksiyon artışını argüman artışına bölmeniz gerekir - ve cevap bu olacaktır.

Bir kez daha not edin: A ve B noktaları, çoğu zaman olduğu gibi, f (x) fonksiyonunun grafiğinde değil, tam olarak teğet doğru üzerinde aranmalıdır. Teğet çizgi mutlaka bu tür en az iki nokta içerecektir - aksi takdirde sorun doğru yazılmamıştır.

A (−3; 2) ve B (−1; 6) noktalarını göz önünde bulundurun ve artışları bulun:
Δx = x 2 - x 1 = -1 - (−3) = 2; Δy = y 2 - y 1 = 6 - 2 = 4.

Türevin değerini bulun: D = Δy / Δx = 4/2 = 2.

Görev. Şekil, y = f (x) fonksiyonunun grafiğini ve ona apsis x 0 olan noktada teğetini göstermektedir. f(x) fonksiyonunun x 0 noktasındaki türevinin değerini bulun.

A (0; 3) ve B (3; 0) noktalarını göz önünde bulundurun, artışları bulun:
Δx = x 2 - x 1 = 3 - 0 = 3; Δy = y 2 - y 1 = 0 - 3 = -3.

Şimdi türevin değerini buluyoruz: D = Δy / Δx = -3/3 = -1.

Görev. Şekil, y = f (x) fonksiyonunun grafiğini ve ona apsis x 0 olan noktada teğetini göstermektedir. f(x) fonksiyonunun x 0 noktasındaki türevinin değerini bulun.

A (0; 2) ve B (5; 2) noktalarını göz önünde bulundurun ve artışları bulun:
Δx = x 2 - x 1 = 5 - 0 = 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

Geriye türevin değerini bulmak kalıyor: D = Δy / Δx = 0/5 = 0.

Son örnekten bir kural formüle edebiliriz: tanjant OX eksenine paralel ise, fonksiyonun teğet noktasındaki türevi sıfırdır. Bu durumda, hiçbir şey saymanıza bile gerek yok - sadece tabloya bakın.

Maksimum ve minimum puanların hesaplanması

Bazen B9 Probleminde bir fonksiyonun grafiği yerine türevin grafiği veriliyor ve fonksiyonun maksimum veya minimum noktasının bulunması isteniyor. Bu durumda, iki nokta yöntemi işe yaramaz, ancak daha basit bir algoritma daha var. Önce terminolojiyi tanımlayalım:

1. x 0 noktasına f (x) fonksiyonunun maksimum noktası denir, eğer bu noktanın bazı komşuluklarında aşağıdaki eşitsizlik geçerliyse: f (x 0) ≥ f (x).
2. Bu noktanın bir komşuluğunda aşağıdaki eşitsizlik geçerliyse, x 0 noktasına f (x) fonksiyonunun minimum noktası denir: f (x 0) ≤ f (x).

Türevin grafiğinde maksimum ve minimum noktaları bulmak için aşağıdaki adımların gerçekleştirilmesi yeterlidir:

1. Tüm gereksiz bilgileri kaldırarak türevin grafiğini yeniden çizin. Uygulamanın gösterdiği gibi, gereksiz veriler yalnızca çözüme müdahale eder. Bu nedenle, türevin sıfırlarını koordinat ekseninde işaretliyoruz - hepsi bu.
2. Sıfırlar arasındaki aralıklarda türevin işaretlerini bulun. Bir x 0 noktası için f '(x 0) ≠ 0 olduğu biliniyorsa, o zaman sadece iki seçenek mümkündür: f' (x 0) ≥ 0 veya f '(x 0) ≤ 0. Türevin işareti ilk çizimden kolayca belirlenebilir: türevin grafiği OX ekseninin üzerindeyse, o zaman f '(x) ≥ 0. Ve tersi, türevin grafiği OX ekseninin altındaysa, o zaman f' (x) ) ≤ 0.
3. Türevin sıfırlarını ve işaretlerini tekrar kontrol edin. İşaretin eksiden artıya değiştiği yerde bir minimum nokta vardır. Tersine, türevin işareti artıdan eksiye değişirse, bu maksimum noktadır. Sayma her zaman soldan sağa yapılır.

Bu şema yalnızca sürekli işlevler için çalışır - B9 sorununda başka yoktur.

Görev. Şekil, [−5; 5]. Bu doğru parçasında f(x) fonksiyonunun minimum noktasını bulun.

Gereksiz bilgilerden kurtulalım - sadece [-5; 5] ve x = -3 ve x = 2.5 türevinin sıfırları. Ayrıca işaretleri not edin:

Açıkçası, x = −3 noktasında türevin işareti eksiden artıya değişir. Bu minimum noktadır.

Görev. Şekil, [−3; 7]. Bu doğru parçasında f(x) fonksiyonunun maksimum noktasını bulun.

Grafiği yeniden çizelim, sadece [−3; 7] ve x = −1.7 ve x = 5 türevinin sıfırları. Elde edilen grafikte türevin işaretlerini not edin. Sahibiz:

Açıkçası, x = 5 noktasında türevin işareti artıdan eksiye değişir - bu maksimum noktadır.

Görev. Şekil [−6; segmentinde tanımlanan f (x) fonksiyonunun türevinin grafiğini göstermektedir; 4]. f(x) fonksiyonunun [−4; 3].

Problem ifadesinden, grafiğin sadece [-4; 3]. Bu nedenle, üzerinde yalnızca [-4; 3] ve içindeki türevin sıfırları. Yani, x = −3,5 ve x = 2 noktaları elde ederiz:

Bu grafiğin yalnızca bir maksimum noktası vardır x = 2. Bu noktada türevin işareti artıdan eksiye değişir.

Tamsayı olmayan koordinatlara sahip noktalar hakkında kısa bir not. Örneğin, son problemde nokta x = −3,5 olarak kabul edildi, ancak x = −3.4'ü de alabilirsiniz. Sorun doğru formüle edilirse, "belirli bir ikametgahı olmayan" noktalar sorunun çözümüne doğrudan katılmadığından, bu tür değişiklikler cevabı etkilememelidir. Elbette bu hile tamsayı puanlarla çalışmayacaktır.

Artan ve azalan fonksiyonların aralıklarını bulma

Böyle bir problemde, maksimum ve minimum noktalar gibi, fonksiyonun kendisinin arttığı veya azaldığı bölgelerin türev grafiğinden bulunması önerilmektedir. İlk olarak, artan ve azalan ne olduğunu tanımlayalım:

1. Bu segmentteki herhangi iki x 1 ve x 2 noktası için aşağıdaki ifade doğruysa, bir segmentte f (x) fonksiyonuna artan denir: x 1 ≤ x 2 ⇒ f (x 1) ≤ f (x 2). Başka bir deyişle, argüman değeri ne kadar büyükse, fonksiyon değeri de o kadar büyük olur.
2. Bu segmentteki herhangi iki x 1 ve x 2 noktası için aşağıdaki ifade doğruysa, bir segmentte f (x) fonksiyonuna azalan denir: x 1 ≤ x 2 ⇒ f (x 1) ≥ f (x 2). Şunlar. argümanın değeri ne kadar büyükse, fonksiyonun değeri o kadar küçük olur.

Artış ve azalış için yeterli koşulları formüle edelim:

1. Sürekli bir f (x) fonksiyonunun bir segmentte artması için segment içindeki türevinin pozitif olması yeterlidir, yani. f '(x) ≥ 0.
2. Sürekli bir f (x) fonksiyonunun bir segmentte azalması için segment içindeki türevinin negatif olması yeterlidir, yani. f '(x) ≤ 0.

Bu ifadeleri kanıtsız kabul edelim. Böylece, birçok yönden ekstremum noktalarını hesaplama algoritmasına benzeyen artış ve azalma aralıklarını bulmak için bir şema elde ederiz:

1. Gereksiz tüm bilgileri kaldırın. Türevin orijinal grafiğinde, öncelikle fonksiyonun sıfırları ile ilgileniyoruz, bu yüzden sadece onları bırakacağız.
2. Sıfırlar arasındaki aralıklarda türevin işaretlerini not edin. f '(x) ≥ 0 olduğunda fonksiyon artar ve f' (x) ≤ 0 olduğunda azalır. Problemin x değişkeni üzerinde kısıtlamaları varsa, bunları ek olarak yeni grafikte işaretleriz.
3. Artık fonksiyonun davranışını ve kısıtlamayı bildiğimize göre, problemde gereken değeri hesaplamak kalıyor.

Görev. Şekil, [−3; 7.5]. f(x) fonksiyonunun azalma aralıklarını bulunuz. Cevabınızda bu aralıklarda bulunan tam sayıların toplamını belirtiniz.

Her zamanki gibi grafiği yeniden çizin ve sınırları [−3; 7.5], ayrıca x = −1.5 ve x = 5.3 türevinin sıfırları. Sonra türevin işaretlerini işaretliyoruz. Sahibiz:

(-1.5) aralığında türev negatif olduğundan, bu azalan fonksiyonun aralığıdır. Geriye bu aralıktaki tüm tam sayıları toplamak kalıyor:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Görev. Şekil, [−10; 4]. f(x) fonksiyonunun artış aralıklarını bulunuz. Cevapta, en uzun olanın uzunluğunu belirtin.

Gereksiz bilgilerden kurtulalım. Yalnızca kenarlıkları bırakın [−10; 4] ve bu sefer dört olduğu ortaya çıkan türevin sıfırları: x = -8, x = -6, x = -3 ve x = 2. Türevin işaretlerini not edin ve aşağıdaki resmi elde edin:

Fonksiyonu artırma aralıklarıyla ilgileniyoruz, yani. böyle, burada f '(x) ≥ 0. Grafikte bu tür iki aralık vardır: (−8; −6) ve (−3; 2). uzunluklarını hesaplayalım:
l 1 = - 6 - (−8) = 2;
l 2 = 2 - (−3) = 5.

Aralıkların en büyüğünün uzunluğunu bulmak gerektiğinden, cevapta l 2 = 5 değerini yazıyoruz.

örnek 1

Referans: Bir işlevi belirtmenin aşağıdaki yolları eşdeğerdir: Bazı görevlerde işlevi "igrokom" ve bazılarında "ff'den x" olarak atamak uygundur.

İlk önce türevi buluyoruz:

Örnek 2

Bir noktada bir fonksiyonun türevini hesaplayın

, , tam fonksiyon çalışması ve benzeri.

Örnek 3

Bir fonksiyonun bir noktada türevini hesaplayın. İlk önce türevi bulalım:

Bu tamamen farklı bir konu. Noktadaki türevin değerini hesaplayalım:

Türevin nasıl bulunduğunu anlamadıysanız konunun ilk iki dersine dönün. Arktanjant ve anlamlarında zorluk (yanlış anlama) yaşıyorsanız, mutlaka öğretim materyalini incelemek Temel fonksiyonların grafikleri ve özellikleri- en son paragraf. Çünkü öğrenci yaşı için hala yeterli arktanjant var.

Örnek 4

Bir fonksiyonun bir noktada türevini hesaplayın.

Bir fonksiyonun grafiğine teğet denklemi

Önceki bölümü pekiştirmek için, teğet bulma problemini düşünün. fonksiyon grafikleri Bu noktada. Bu görevle okulda tanıştık ve aynı zamanda yüksek matematik dersinde de bulunur.

En basit bir "demo" örneğini ele alalım.

Apsisin olduğu noktada fonksiyonun grafiğine teğetin denklemini yazın. Soruna hemen hazır bir grafik çözüm vereceğim (pratikte çoğu durumda bu gerekli değildir):

Bir teğetin katı bir tanımı şu şekilde verilmektedir: bir fonksiyonun türevinin tanımı, ancak şimdilik sorunun teknik kısmında uzmanlaşacağız. Elbette hemen hemen herkes teğetin ne olduğunu sezgisel olarak anlar. "Parmaklarda" açıklarsanız, fonksiyonun grafiğine teğet Düz hangi fonksiyonun grafiği ile ilgilidir tek bir nokta. Bu durumda, düz çizginin yakındaki tüm noktaları, fonksiyonun grafiğine mümkün olduğunca yakın yerleştirilir.

Bizim durumumuza uygulandığı gibi: at, tanjant (standart gösterim), fonksiyonun grafiğine tek bir noktada dokunur.

Ve görevimiz doğrunun denklemini bulmak.

Bir noktada bir fonksiyonun türevi

Bir fonksiyonun bir noktada türevi nasıl bulunur? Bu atamanın iki bariz noktası şu ifadeden kaynaklanmaktadır:

1) Türevi bulmak gerekir.

2) Verilen bir noktada türevin değerini hesaplamak gerekir.

örnek 1

Bir noktada bir fonksiyonun türevini hesaplayın

Yardım: Bir işlevi belirtmenin aşağıdaki yolları eşdeğerdir:


Bazı görevlerde işlevi "igrokom" ve bazılarında "ff'den x" olarak atamak uygundur.

İlk önce türevi buluyoruz:

Umarım birçok kişi bu tür türevleri sözlü olarak bulmaya çoktan alışmıştır.

İkinci adımda, türevin noktadaki değerini hesaplıyoruz:

Bağımsız bir çözüm için küçük bir ısınma örneği:

Örnek 2

Bir noktada bir fonksiyonun türevini hesaplayın

Çözümü tamamlayın ve öğreticinin sonunda yanıtlayın.

Bir noktada türevi bulma ihtiyacı aşağıdaki problemlerde ortaya çıkar: bir fonksiyonun grafiğine teğet oluşturma (sonraki paragraf), ekstremum fonksiyon çalışması , bir grafik fonksiyonunun bükülmesi , tam fonksiyon çalışması ve benzeri.

Ancak söz konusu görev, testlerde ve kendi başına bulunur. Ve kural olarak, bu gibi durumlarda işleve oldukça karmaşık verilir. Bu bağlamda, iki örnek daha düşünün.

Örnek 3

Bir fonksiyonun türevini hesaplayın noktada.
İlk önce türevi bulalım:

Türev, prensipte bulundu ve gerekli değer ikame edilebilir. Ama gerçekten yapmak istemiyorum. İfade çok uzun ve "x" değeri kesirli. Bu nedenle türevimizi mümkün olduğunca basitleştirmeye çalışıyoruz. Bu durumda son üç terimi ortak bir paydada toplamaya çalışalım: noktada.

Bu, kendin yap çözümüne bir örnektir.

F(x) fonksiyonunun Xo noktasındaki türevinin değeri nasıl bulunur? Bunu genel olarak nasıl çözebilirim?

Formül verilmişse, türevi bulun ve X yerine X-sıfırın yerine koyun. Hesaplamak
B-8 KULLANIM, grafik hakkında konuşuyorsak, o zaman X ekseni ile bir teğet oluşturan açının tanjantını (dar veya geniş) bulmanız gerekir (dik açılı bir üçgenin zihinsel yapısını kullanarak ve açının tanjantı)

Timur adilkhodzhaev

İlk önce, işarete karar vermelisiniz. x0 noktası koordinat düzleminin alt kısmındaysa, cevaptaki işaret eksi, daha yüksekse + olacaktır.
İkinci olarak, dikdörtgen bir dikdörtgende hangi şeritlerin olduğunu bilmeniz gerekir. Ve bu, karşı tarafın (bacak) bitişik tarafa (aynı zamanda bacak) oranıdır. Genellikle resimde bazı siyah işaretler vardır. Bu işaretlerden dik açılı bir üçgen yapar ve tangaları bulursunuz.

f x fonksiyonunun x0 noktasındaki türevinin değeri nasıl bulunur?

Genel olarak, herhangi bir fonksiyonun herhangi bir noktada bir değişkene göre türevinin değerini bulmak için, verilen fonksiyonu bu değişkene göre türevini almanız gerekir. Sizin durumunuzda, X değişkeni ile. Ortaya çıkan ifadede, X yerine, türevin değerini bulmanız gereken noktaya x değerini koyun, yani. sizin durumunuzda, sıfır X'i değiştirin ve elde edilen ifadeyi hesaplayın.

Pekala, bu konuyu anlama arzunuz, bence, şüphesiz, açık bir vicdanla koyduğum + 'yı hak ediyor.

Türev bulma sorununun bu formülasyonu, genellikle malzemeyi türevin geometrik anlamı üzerine sabitlemek için ortaya çıkar. Belirli bir fonksiyonun grafiği, tamamen keyfi ve bir denklem tarafından verilmemiş olarak önerilmiştir ve türevin değerini (türevin kendisinin değil, not edin!) Belirtilen X0 noktasında bulmak gerekir. Bunun için verilen bir fonksiyona teğet bir doğru oluşturulur ve koordinat eksenleriyle kesiştiği nokta bulunur. Daha sonra bu teğet doğrunun denklemi y = kx + b şeklinde çizilir.

Bu denklemde k katsayısı ve türevinin değeri olacaktır. sadece b katsayısının değerini bulmak için kalır. Bunu yapmak için, x = o'daki y değerini buluyoruz, 3'e eşit olmasına izin verin - bu, b katsayısının değeridir. X0 ve Y0 değerlerini orijinal denklemde yerine koyarız ve bu noktada türevimizin değeri olan k'yi buluruz.