Gücün kökü n: temel tanımlar. Gücün kökü n: temel tanımlar Temel özellikler ve sınırlamalar

Tebrikler: Bugün 8. sınıfın en beyin gerektiren konularından biri olan kökleri inceleyeceğiz. :)

Birçoğunun kökler konusunda kafası karışık, karmaşık oldukları için değil (ki bu çok zor - birkaç tanım ve birkaç özellik), ancak çoğu okul ders kitabında kökler öyle bir ormanda belirleniyor ki, sadece ders kitaplarının yazarları kendileri bu karalamayı anlayabilirler. Ve o zaman bile sadece bir şişe iyi viskiyle. :)

Bu nedenle, şimdi kökün en doğru ve en yetkin tanımını vereceğim - gerçekten hatırlamanız gereken tek tanım. Ve ancak o zaman açıklayacağım: tüm bunların neden gerekli olduğunu ve pratikte nasıl uygulanacağını.

Ama önce, birçok ders kitabı derleyicisinin nedense "unuttuğu" önemli bir noktayı hatırlayın:

Kökler çift dereceli (sevgilimiz $\ sqrt (a) $'ın yanı sıra her türlü $ \ sqrt (a) $ ve hatta $ \ sqrt (a) $) ve tek dereceli (her türlü $ \ sqrt) olabilir. (a) $, $ \ sqrt (a) $ vb.). Ve tek dereceli bir kökün tanımı, çift olandan biraz farklıdır.

İşte bu lanet olası "biraz farklı" gizli, muhtemelen köklerle ilgili tüm hataların ve yanlış anlamaların% 95'i. Bu nedenle, terminolojiyi bir kez ve herkes için ele alalım:

Tanım. Hatta kök n$ a $'dan herhangi biri negatif olmayan$ ((b) ^ (n)) = bir $ olacak şekilde bir $ b $ sayısı. Ve aynı $ a $ sayısının tek kökü, genellikle aynı eşitliğin geçerli olduğu herhangi bir $ b $ sayısıdır: $ ((b) ^ (n)) = a $.

Her durumda, kök şu şekilde belirtilir:

\ (a) \]

Böyle bir kayıttaki $ n $ sayısına kökün üssü, $ a $ sayısına ise radikal ifade denir. Özellikle, $ n = 2 $ için "favori" karekökümüzü alırız (bu arada, bu bir çift köktür) ve $ n = 3 $ - kübik (tek derece) için de sıklıkla problemlerde bulunur ve denklemler.

Örnekler Klasik karekök örnekleri:

\ [\ başla (hizala) & \ sqrt (4) = 2; \\ & \ kare (81) = 9; \\ & \ kare (256) = 16. \\ \ bitiş (hizalama) \]

Bu arada, $ \ sqrt (0) = 0 $ ve $ \ sqrt (1) = 1 $. $ ((0) ^ (2)) = 0 $ ve $ ((1) ^ (2)) = 1 $ olduğundan bu oldukça mantıklıdır.

Kübik kökler de yaygındır - onlardan korkmayın:

\ [\ başla (hizala) & \ sqrt (27) = 3; \\ & \ kare (-64) = - 4; \\ & \ kare (343) = 7. \\ \ bitiş (hizalama) \]

Peki, ve birkaç "egzotik örnek":

\ [\ başla (hizala) & \ sqrt (81) = 3; \\ & \ sqrt (-32) = - 2. \\ \ bitiş (hizalama) \]

Çift ve tek derece arasındaki farkın ne olduğunu anlamadıysanız, tanımı tekrar okuyun. Bu çok önemli!

Bu arada, çift ve tek göstergeler için ayrı bir tanım getirmemiz gerektiğinden, köklerin hoş olmayan bir özelliğini ele alacağız.

Neden köklere ihtiyacımız var?

Tanımı okuduktan sonra birçok öğrenci, "Matematikçiler bunu bulduklarında ne içtiler?" diye soracaktır. Gerçekten de: neden tüm bu köklere ihtiyacımız var?

Bu soruyu cevaplamak için, bir dakikalığına ilkokul sınıflarına geri dönelim. Unutmayın: ağaçların daha yeşil ve köftelerin daha lezzetli olduğu o uzak zamanlarda, asıl meselemiz sayıları doğru bir şekilde çarpmaktı. Şey, "beşte beş - yirmi beş" gibi bir şey, hepsi bu. Ancak sonuçta, sayıları çiftler halinde değil, üçlü, dörtlü ve genel olarak tam kümeler halinde çarpabilirsiniz:

\ [\ başla (hizala) & 5 \ cdot 5 = 25; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 125; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 625; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 3125; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 15 \ 625. \ bitiş (hizalama) \]

Ancak, mesele bu değil. İşin püf noktası farklı: matematikçiler tembel insanlar, bu yüzden on beşin çarpımını şöyle yazmak zorunda kaldılar:

Böylece derecelerle geldiler. Neden uzun bir dize yerine faktör sayısını üstlenmiyorsunuz? Bunun gibi:

Bu çok uygun! Tüm hesaplamalar önemli ölçüde azaltılmıştır ve 5,183 not yazmak için defterlerde bir sürü parşömen yaprağı harcamanıza gerek yoktur. Böyle bir kayda sayının derecesi denildi, içinde bir sürü özellik buldular, ancak mutluluğun kısa ömürlü olduğu ortaya çıktı.

Derecelerin "keşfi" hakkında düzenlenen büyük bir içkiden sonra, özellikle inatçı bir matematikçi aniden sordu: "Ya bir sayının derecesini biliyorsak, ancak sayının kendisini bilmiyorsak?" Şimdi, gerçekten, eğer belirli bir $ b $ sayısının, örneğin 5. kuvvette 243 verdiğini biliyorsak, o zaman $ b $ sayısının neye eşit olduğunu nasıl tahmin edebiliriz?

Bu sorunun ilk bakışta göründüğünden çok daha küresel olduğu ortaya çıktı. Çünkü "hazır" derecelerin çoğunluğu için böyle bir "ilk" sayıların olmadığı ortaya çıktı. Kendiniz için yargıç:

\ [\ start (align) & ((b) ^ (3)) = 27 \ Rightarrow b = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ Rightarrow b = 3; \\ & ((b) ^ (3)) = 64 \ Rightarrow b = 4 \ cdot 4 \ cdot 4 \ Rightarrow b = 4. \\ \ bitiş (hizalama) \]

$ ((b) ^ (3)) = 50 $ ise ne olur? Üç kez çarpıldığında bize 50 verecek olan belirli bir sayıyı bulmanız gerektiği ortaya çıktı. Peki bu sayı nedir? 3 3 = 27 olduğundan açıkça 3'ten büyüktür.< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Yani. bu sayı üç ile dört arasında bir yerdedir, ancak neye eşittir - incir anlayacaksınız.

Bunun için matematikçiler $ n $ -th derecesinin köklerini icat ettiler. Bu nedenle $ \ sqrt (*) $ radikal sembolü tanıtıldı. Belirtilen dereceye kadar bize önceden bilinen bir değeri verecek olan $ b $ sayısını belirtmek için

\ [\ sqrt [n] (a) = b \ Sağ Ok ((b) ^ (n)) = a \]

Tartışmıyorum: bu kökler genellikle kolayca sayılır - yukarıda buna benzer birkaç örnek gördük. Yine de, çoğu durumda, rastgele bir sayı tahmin ederseniz ve ondan keyfi bir kök çıkarmaya çalışırsanız, acımasız bir serseri içindesiniz.

Oradaki ne! En basit ve en tanıdık $ \ sqrt (2) $ bile her zamanki formumuzla temsil edilemez - bir tamsayı veya kesir olarak. Ve bu numarayı hesap makinesine yazarsanız şunu göreceksiniz:

\ [\ kare (2) = 1.414213562 ... \]

Gördüğünüz gibi virgülden sonra hiçbir mantığa uymayan sonsuz bir sayı dizisi var. Elbette, diğer sayılarla hızlı bir şekilde karşılaştırmak için bu sayıyı yuvarlayabilirsiniz. Örneğin:

\ [\ sqrt (2) = 1.4142 ... \ yaklaşık 1,4 \ lt 1,5 \]

Veya işte başka bir örnek:

\ [\ kare (3) = 1.73205 ... \ yaklaşık 1.7 \ gt 1.5 \]

Ancak tüm bu yuvarlamalar, öncelikle oldukça kaba; ve ikincisi, yaklaşık değerlerle de çalışabilmeniz gerekir, aksi takdirde bir sürü açık olmayan hatayı yakalayabilirsiniz (bu arada, profil sınavında karşılaştırma ve yuvarlama becerisi zorunludur).

Bu nedenle, ciddi matematikte, kökler olmadan yapamazsınız - bunlar, uzun zamandır bize aşina olan kesirler ve tam sayıların yanı sıra, $ \ mathbb (R) $ tüm gerçek sayılar kümesinin aynı eşit temsilcileridir.

Bir kökü $ \ frac (p) (q) $ formunun bir kesri olarak temsil etmenin imkansızlığı, bu kökün rasyonel bir sayı olmadığı anlamına gelir. Bu tür sayılara irrasyonel denir ve bir radikalin veya özel olarak tasarlanmış diğer yapıların (logaritmalar, dereceler, sınırlar vb.) Ama bunun hakkında başka bir zaman.

Tüm hesaplamalardan sonra irrasyonel sayıların hala cevapta kalacağı birkaç örnek düşünün.

\ [\ başla (hizala) & \ sqrt (2+ \ sqrt (27)) = \ sqrt (2 + 3) = \ sqrt (5) \ yaklaşık 2.236 ... \\ & \ sqrt (\ sqrt (-32) )) = \ sqrt (-2) \ yaklaşık -1.2599 ... \\ \ bitiş (hizalama) \]

Doğal olarak, kökün görünümü ile, ondalık noktadan sonra hangi sayıların geleceğini tahmin etmek neredeyse imkansızdır. Bununla birlikte, bir hesap makinesine güvenebilirsiniz, ancak en mükemmel tarih hesaplayıcı bile bize bir irrasyonel sayının yalnızca ilk birkaç basamağını verir. Bu nedenle cevapları $\sqrt (5)$ ve $\sqrt(-2)$ şeklinde yazmak çok daha doğrudur.

Bu yüzden icat edildiler. Cevapları rahatça kaydetmek için.

Neden iki tanım gerekli?

Dikkatli okuyucu, örneklerde verilen tüm kareköklerin pozitif sayılardan türetildiğini muhtemelen fark etmiştir. Eh, sıfırdan son çare olarak. Ancak küp kökleri, pozitif veya negatif olsun, kesinlikle herhangi bir sayıdan sakince çıkarılır.

Bu neden oluyor? $ y = ((x) ^ (2)) $ fonksiyonunun grafiğine bir göz atın:

İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiği iki kök verir: pozitif ve negatif

Bu grafiği kullanarak $\sqrt (4) $ hesaplamaya çalışalım. Bunu yapmak için, grafikte (kırmızı ile işaretlenmiş) yatay bir çizgi $ y = 4 $ çizilir, bu parabol ile iki noktada kesişir: $ ((x) _ (1)) = 2 $ ve $ ((x) ) _ (2)) = -2 $. Bu oldukça mantıklı, çünkü

İlk sayı ile her şey açıktır - pozitiftir, bu nedenle köktür:

Ama sonra ikinci nokta ile ne yapmalı? Dördünün aynı anda iki kökü olması gibi mi? Sonuçta, −2 sayısının karesini alırsak 4 de elde ederiz. Neden $ \ sqrt (4) = - 2 $ yazmıyorsunuz? Ve öğretmenler neden bu tür kayıtlara sizi yutmak istiyorlarmış gibi bakıyorlar? :)

Sorun şu ki, herhangi bir ek koşul empoze edilmezse, dördünün iki karekökü olacak - pozitif ve negatif. Ve herhangi bir pozitif sayı da iki tane olacaktır. Ancak negatif sayıların hiçbir kökü olmayacaktır - bu aynı grafikten görülebilir, çünkü parabol asla eksenin altına düşmez. y, yani negatif değerleri kabul etmez.

Eşit üslü tüm kökler için benzer bir sorun oluşur:

Kesin olarak söylemek gerekirse, her pozitif sayının çift üssü $ n $ olan iki kökü olacaktır;
Negatif sayılardan $ n $ bile olan kök hiç çıkarılmaz.

Bu nedenle $ n $ 'ın çift kuvvetinin kökü tanımında cevabın negatif olmayan bir sayı olması gerektiği özellikle şart koşulmuştur. Böylece belirsizlikten kurtuluruz.

Ancak tek $ n $ için böyle bir sorun yoktur. Bunu doğrulamak için $ y = ((x) ^ (3)) $ fonksiyonunun grafiğine bir göz atalım:

Kübik bir parabol herhangi bir değeri alır, bu nedenle küp kökü herhangi bir sayıdan çıkarılır.

Bu grafikten iki sonuç çıkarılabilir:

Kübik bir parabolün dalları, alışılmışın aksine, her iki yönde de sonsuza gider - hem yukarı hem de aşağı. Bu nedenle, hangi yükseklikte yatay bir çizgi çizersek çizelim, bu çizgi mutlaka grafiğimizle kesişecektir. Sonuç olarak, küp kökü her zaman kesinlikle herhangi bir sayıdan çıkarılabilir;
Ek olarak, böyle bir kesişme her zaman tek olacaktır, bu nedenle hangi sayının "doğru" kökü dikkate alınacağını ve hangi sayının puanlanacağını düşünmeye gerek yoktur. Bu nedenle, tek bir derece için köklerin tanımı, çift bir dereceye göre daha basittir (negatif olmama şartı yoktur).

Bu basit şeylerin çoğu ders kitabında açıklanmaması üzücü. Bunun yerine, beyin her türlü aritmetik kök ve özellikleriyle bize doğru yüzmeye başlar.

Evet, tartışmıyorum: aritmetik kök nedir - ayrıca bilmeniz gerekir. Ve bunu ayrı bir eğitimde ayrıntılı olarak ele alacağım. Bugün bunun hakkında da konuşacağız, çünkü onsuz $ n $ -th çokluğunun kökleri hakkındaki tüm düşünceler eksik olurdu.

Ama önce yukarıda verdiğim tanımı net bir şekilde anlamanız gerekiyor. Aksi takdirde, terimlerin bolluğu nedeniyle kafanızda öyle bir karmaşa başlar ki sonunda hiçbir şey anlamazsınız.

Tek yapmanız gereken, çift ve tek göstergeler arasındaki farkı anlamaktır. Öyleyse bir kez daha, kökler hakkında gerçekten bilmeniz gereken her şeyi bir araya getirelim:

Bir çift kök yalnızca negatif olmayan bir sayıdan bulunur ve kendisi her zaman negatif olmayan bir sayıdır. Negatif sayılar için böyle bir kök tanımsızdır.

Ama tek derecenin kökü herhangi bir sayıdan gelir ve kendisi de herhangi bir sayı olabilir: pozitif sayılar için pozitiftir ve negatif olanlar için, üst sınırın ima ettiği gibi, negatiftir.

Zor mu? Hayır, zor değil. Temizlemek? Evet, genel olarak, açıktır! Şimdi bazı hesaplamalar yapacağız.

Temel özellikler ve sınırlamalar

Köklerin birçok garip özelliği ve sınırlaması vardır - bununla ilgili ayrı bir ders olacak. Bu nedenle, şimdi yalnızca eşit üslü kökler için geçerli olan yalnızca en önemli "numarayı" ele alacağız. Bu özelliği bir formül şeklinde yazalım:

\ [\ sqrt (((x) ^ (2n))) = \ sol | x \ sağ | \]

Başka bir deyişle, bir sayıyı eşit bir kuvvete yükseltirseniz ve daha sonra bundan aynı gücün kökünü çıkarırsanız, orijinal sayıyı değil, modülünü elde ederiz. Bu, kolayca kanıtlanabilen basit bir teoremdir (negatif olmayan $ x $'ı ayrı ayrı ve ardından negatif olanları ayrı ayrı düşünmek yeterlidir). Öğretmenler sürekli bunun hakkında konuşurlar, her okul ders kitabında verirler. Ancak, irrasyonel denklemleri (yani, kök işaretini içeren denklemleri) çözmeye gelir gelmez, öğrenciler bu formülü dostane bir şekilde unuturlar.

Soruyu detaylı anlamak için tüm formülleri bir dakikalığına unutalım ve iki sayıyı dümdüz saymaya çalışalım:

\ [\ sqrt (((3) ^ (4))) =? \ dörtlü \ sqrt (((\ sol (-3 \ sağ)) ^ (4))) =? \]

Bunlar çok basit örnekler. İlk örnek çoğu kişi tarafından çözülecek, ancak ikincisinde çoğu kişi kalacak. Bu tür saçmalıkları sorunsuz bir şekilde çözmek için, her zaman eylem sırasını göz önünde bulundurun:

İlk olarak, sayı dördüncü güce yükseltilir. Bu biraz kolay. Çarpım tablosunda bile bulunabilecek yeni bir sayı alacaksınız;
Ve şimdi bu yeni sayıdan dördüncü kökü çıkarmak gerekiyor. Şunlar. köklerde ve derecelerde "indirgenme" olmaz - bunlar sıralı eylemlerdir.

İlk ifadeyle çalışıyoruz: $ \ sqrt (((3) ^ (4))) $. Açıkçası, önce kök altındaki ifadeyi hesaplamanız gerekir:

\ [((3) ^ (4)) = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3 = 81 \]

Ardından 81 sayısının dördüncü kökünü çıkarın:

Şimdi aynısını ikinci ifadeyle yapalım. İlk olarak, -3 sayısını, 4 kez kendisiyle çarpmamız gereken dördüncü güce yükseltiyoruz:

\ [((\ sol (-3 \ sağ)) ^ (4)) = \ sol (-3 \ sağ) \ cdot \ sol (-3 \ sağ) \ cdot \ sol (-3 \ sağ) \ cdot \ sol (-3 \ sağ) = 81 \]

Çalışmadaki toplam eksi sayısı 4 parça olduğu için pozitif bir sayı aldık ve hepsi karşılıklı olarak yok edilecek (sonuçta eksi eksi artı bir artı verir). Sonra kökü tekrar çıkarıyoruz:

Prensipte bu satır yazılamazdı, çünkü cevabın aynı olması hiç de kolay değil. Şunlar. aynı çift gücün çift kökü eksileri “yakıp gider” ve bu anlamda sonuç olağan modülden ayırt edilemez:

\ [\ başla (hizala) & \ sqrt (((3) ^ (4))) = \ sol | 3 \ sağ | = 3; \\ & \ sqrt (((\ sol (-3 \ sağ)) ^ (4))) = \ sol | -3 \ sağ | = 3. \\ \ bitiş (hizalama) \]

Bu hesaplamalar, bir çift kökün tanımıyla iyi bir uyum içindedir: sonuç her zaman negatif değildir ve kök işaretinin altında her zaman negatif olmayan bir sayı vardır. Aksi takdirde, kök tanımsızdır.

Prosedür notu

$ \ sqrt (((a) ^ (2))) $ gösterimi, önce $ a $ sayısının karesini almamız ve ardından elde edilen değerden karekökü çıkarmamız anlamına gelir. Bu nedenle, her durumda $ ((a) ^ (2)) \ ge 0 $ olduğundan, negatif olmayan bir sayının her zaman kök işaretinin altında olduğundan emin olabiliriz;
Ancak $ ((\ left (\ sqrt (a) \ right)) ^ (2)) $ kaydı, aksine, önce belirli bir $ a $ sayısından kökü çıkardığımız ve ancak daha sonra sonucun karesini aldığımız anlamına gelir. Bu nedenle, $ a $ sayısı hiçbir durumda negatif olamaz - bu tanımda zorunlu bir gerekliliktir.

Bu nedenle, hiçbir durumda kökleri ve dereceleri düşüncesizce azaltmamalısınız, böylece orijinal ifadeyi sözde "basitleştirmemelisiniz". Çünkü kökün altında negatif bir sayı varsa ve üssü çift ise, bir sürü sorunla karşılaşırız.

Ancak, tüm bu problemler sadece göstergeler için geçerlidir.

Kök işaretinden eksi kaldırma

Doğal olarak, tek göstergeli köklerin, prensipte çiftler için mevcut olmayan kendi sayaçları da vardır. Yani:

\ [\ sqrt (-a) = - \ sqrt (a) \]

Kısacası, eksiyi tek dereceli köklerin işaretinin altından çıkarabilirsiniz. Bu, tüm eksileri "atmanıza" izin veren çok kullanışlı bir özelliktir:

\ [\ başla (hizala) & \ sqrt (-8) = - \ sqrt (8) = - 2; \\ & \ sqrt (-27) \ cdot \ sqrt (-32) = - \ sqrt (27) \ cdot \ sol (- \ sqrt (32) \ sağ) = \\ & = \ sqrt (27) \ cdot \ sqrt (32) = \\ & = 3 \ cdot 2 = 6. \ bitiş (hizalama) \]

Bu basit özellik, birçok hesaplamayı büyük ölçüde basitleştirir. Şimdi endişelenmeye gerek yok: aniden kökün altına olumsuz bir ifade girdi ve kökteki derece eşit mi? Köklerin dışındaki tüm eksileri "atmak" yeterlidir, bundan sonra birbirleriyle çarpılabilir, bölünebilir ve genellikle "klasik" kökler söz konusu olduğunda bizi yönlendirmesi garanti edilen birçok şüpheli şey yapabilir. bir hataya.

Ve burada başka bir tanım devreye giriyor - çoğu okulda irrasyonel ifadelerin incelenmesinin başladığı tanım. Ve bunlar olmadan akıl yürütmemiz eksik kalır. Lütfen hoş geldiniz!

aritmetik kök

Bir an için kök işaretinin altında yalnızca pozitif sayıların veya en fazla sıfır olabileceğini varsayalım. Çift / tek göstergelerini unutalım, yukarıda verilen tüm tanımları unutalım - sadece negatif olmayan sayılarla çalışacağız. Sonra ne?

Sonra aritmetik kökü alıyoruz - kısmen "standart" tanımlarımızla örtüşüyor, ancak yine de onlardan farklı.

Tanım. Negatif olmayan bir $ a $ sayısının $ n $ inci derecesinin aritmetik kökü, $ ((b) ^ (n)) = a $ olacak şekilde negatif olmayan bir $ b $ sayısıdır.

Gördüğünüz gibi artık parite ile ilgilenmiyoruz. Bunun yerine yeni bir kısıtlama ortaya çıktı: radikal ifade artık her zaman negatif değildir ve kökün kendisi de negatif değildir.

Aritmetik kökün normalden nasıl farklı olduğunu daha iyi anlamak için, zaten bilinen kare ve kübik parabol grafiklerine bir göz atın:

Aritmetik kök arama alanı - negatif olmayan sayılar

Gördüğünüz gibi, şu andan itibaren grafiklerin yalnızca birinci koordinat çeyreğinde yer alan kısımlarıyla ilgileniyoruz - burada $ x $ ve $ y $ koordinatları pozitif (veya en az sıfır). Negatif bir sayıyı köklendirme hakkımız olup olmadığını anlamak için artık göstergeye bakmanıza gerek yok. Çünkü negatif sayılar artık prensipte dikkate alınmamaktadır.

Şunu sorabilirsiniz: "Peki, neden böyle hadım edilmiş bir tanıma ihtiyacımız var?" Veya: "Neden yukarıda verilen standart tanımla anlaşamıyorsunuz?"

Pekala, yeni tanımın uygun hale geldiği için sadece bir özellik vereceğim. Örneğin, üs alma kuralı:

\ [\ sqrt [n] (a) = \ sqrt (((a) ^ (k))) \]

Lütfen dikkat: radikal ifadeyi herhangi bir güce yükseltebiliriz ve aynı zamanda kök üssü aynı güçle çarpabiliriz - ve sonuç aynı sayı olacaktır! İşte bazı örnekler:

\ [\ start (hizalama) & \ sqrt (5) = \ sqrt (((5) ^ (2))) = \ sqrt (25) \\ & \ sqrt (2) = \ sqrt (((2) ^ (4))) = \ sqrt (16) \\ \ bitiş (hizalama) \]

Önemli olan ne? Bunu neden daha önce yapamadık? İşte neden. Basit bir ifade düşünün: $ \ sqrt (-2) $ - bu sayı klasik anlamda oldukça normaldir, ancak aritmetik kök açısından kesinlikle kabul edilemez. Onu dönüştürmeye çalışalım:

$ \ start (hizalama) & \ sqrt (-2) = - \ sqrt (2) = - \ sqrt (((2) ^ (2))) = - \ sqrt (4) \ lt 0; \\ & \ sqrt (-2) = \ sqrt (((\ sol (-2 \ sağ)) ^ (2))) = \ sqrt (4) \ gt 0. \\ \ bitiş (hiza) $

Gördüğünüz gibi, ilk durumda, eksiyi radikalin altından çıkardık (gösterge tek olduğu için her hakkımız var) ve ikincisinde yukarıdaki formülü kullandık. Şunlar. matematik açısından her şey kurallara göre yapılır.

O NE LAN ?! Aynı sayı nasıl hem pozitif hem de negatif olabilir? Mümkün değil. Sadece pozitif sayılar ve sıfır için harika çalışan üs formülü, negatif sayılar söz konusu olduğunda sapkın olmaya başlar.

Bu belirsizlikten kurtulmak için aritmetik kökler buldular. Tüm özelliklerini ayrıntılı olarak ele aldığımız onlara ayrı bir büyük ders ayrılmıştır. Şimdi onlar üzerinde durmayacağız - ders zaten çok uzun çıktı.

Cebirsel kök: daha fazlasını bilmek isteyenler için

Bu konuyu ayrı bir paragrafa alıp almama konusunda uzun süre düşündüm. Sonunda buradan ayrılmaya karar verdim. Bu materyal, kökleri daha da iyi anlamak isteyenler için tasarlanmıştır - ortalama bir "okul" düzeyinde değil, Olimpiyat düzeyine yakın bir düzeyde.

Yani: bir sayının $ n $ -th kökünün "klasik" tanımına ve bununla ilişkili çift ve tek göstergelere bölünmesine ek olarak, pariteye ve diğer inceliklere hiç bağlı olmayan daha "yetişkin" bir tanım vardır. . Buna cebirsel kök denir.

Tanım. Herhangi bir $ a $'ın $ n $ inci derecesinin cebirsel kökü, $ ((b) ^ (n)) = a $ olacak şekilde tüm $ b $ sayılarının kümesidir. Bu tür kökler için yerleşik bir tanım yoktur, bu yüzden üstüne bir tire koyduk:

\ [\ üst çizgi (\ sqrt [n] (a)) = \ sol \ (b \ sol | b \ in \ mathbb (R); ((b) ^ (n)) = a \ sağ. \ sağ \) \]

Dersin başında verilen standart tanımdan temel farkı, bir cebir kökünün belirli bir sayı değil, bir küme olmasıdır. Gerçek sayılarla çalıştığımız için bu kümenin yalnızca üç türü vardır:

Boş küme. Negatif bir sayıdan çift dereceli bir cebirsel kök bulmak gerektiğinde ortaya çıkar;
Tek bir elemandan oluşan bir küme. Tek derecelerin tüm kökleri ve sıfırdan çift derecelerin kökleri bu kategoriye girer;
Son olarak, küme iki sayı içerebilir - üzerinde gördüğümüz aynı $ ((x) _ (1)) $ ve $ ((x) _ (2)) = - ((x) _ (1)) $ grafik ikinci dereceden fonksiyon. Buna göre, böyle bir hizalama, yalnızca pozitif bir sayıdan çift bir kök çıkarıldığında mümkündür.

İkinci durum daha ayrıntılı bir değerlendirmeyi hak ediyor. Farkı anlamak için birkaç örnek sayalım.

Örnek. İfadeleri değerlendirin:

\ [\ üst çizgi (\ sqrt (4)); \ dörtlü \ üst çizgi (\ sqrt (-27)); \ dörtlü \ üst çizgi (\ sqrt (-16)). \]

Çözüm. İlk ifade basittir:

\ [\ üst çizgi (\ sqrt (4)) = \ sol \ (2; -2 \ sağ \) \]

Kümeyi oluşturan iki sayıdır. Çünkü her biri karede dört veriyor.

\ [\ üst çizgi (\ sqrt (-27)) = \ sol \ (-3 \ sağ \) \]

Burada sadece bir sayıdan oluşan bir küme görüyoruz. Kök üs tek olduğu için bu oldukça mantıklı.

Son olarak, son ifade:

\ [\ üst çizgi (\ sqrt (-16)) = \ varnothing \]

Boş bir setimiz var. Çünkü dördüncü (yani hatta!) Dereceye yükseltildiğinde bize eksi -16 verecek olan tek bir gerçek sayı yoktur.

Son açıklama. Lütfen dikkat: Gerçek sayılarla çalıştığımızı her yerde belirtmem tesadüf değildi. Karmaşık sayılar da olduğu için - orada $ \ sqrt (-16) $ ve diğer birçok garip şeyi saymak oldukça mümkündür.

Ancak, modern okul matematik dersinde karmaşık sayılar neredeyse hiç bulunmaz. Yetkililerimiz bu konuyu "anlaşılması çok zor" bulduğu için çoğu ders kitabından silindiler.

Bu kadar. Bir sonraki derste, köklerin tüm temel özelliklerine bakacağız ve sonunda irrasyonel ifadeleri nasıl sadeleştireceğimizi öğreneceğiz. :)

Bölüm ilk.

Tek terimli cebirsel ifadelerin karesinin uzantısı.

152. Derecenin belirlenmesi.İki özdeş sayının çarpımı olduğunu hatırlayın. aa sayının ikinci kuvveti (veya karesi) denir a , üç özdeş sayının çarpımı ahh sayının üçüncü kuvveti (veya küpü) denir a ; Genel çalışma n özdeş sayılar bir... bir aranan n sayının gücü a ... Belirli bir sayının derecesini bulma işlemine bir dereceye yükseltme (ikinci, üçüncü vb.) denir. Tekrar eden faktöre gücün tabanı denir ve aynı faktörlerin sayısına üs denir.

Kısaltılmış dereceler aşağıdaki gibi gösterilir: bir 2, bir 3, bir 4 ... vb.

İlk önce bir güce yükselmenin en basit örneğinden bahsedeceğiz, yani kareye yükselme; ve sonra başka derecelere yüceltmeyi ele alalım.

153. Bir kareye yükseltirken işaretlerin kuralı. Göreceli sayıları çarpma kuralından şunu çıkar:

(+2) 2 =(+2) (+2) = + 4; (+ 1 / 3) 2 =(+ 1 / 3)(+ 1 / 3) = + 1 / 9 ;

(-2) 2 =(-2) (-2) = + 4; (- 1 / 3) 2 =(- 1 / 3)(- 1 / 3) = + 1 / 9

(+ a) 2 = (+ a) (+ a) = + a 2

(-a) 2 = (- a) (-a) = + bir 2

Bu, herhangi bir göreli sayının karesinin pozitif bir sayı olduğu anlamına gelir.

154. Çarpımın karesindeki artış, derece ve kesir.

a)Örneğin, birkaç faktörün çarpımının karesini almak istensin. ABC ... Bu, gerekli olduğu anlamına gelir ABC ile çarpmak ABC ... Ama ürünle çarpmak ABC , çarpanı ile çarpabilirsiniz a , sonuç ile çarpılır B ve neyle çarparsın İle .

(abc) 2 = (abc) (abc) = (abc) abc = abcabc

(ifadenin anlamını değiştirmeyeceği için son parantezleri kaldırdık). Şimdi, çarpmanın birleşik özelliğini kullanarak (Bölüm 1 § 34, b), çarpanları aşağıdaki gibi gruplandırıyoruz:

(aa) (bb) (cc),

kısaca şöyle yazılabilir: a 2 b 2 c 2.

Anlamına geliyor, çarpımı karelemek için her faktörü ayrı ayrı kareleyebilirsiniz
(Konuşmayı kısaltmak için, bu kural, bir sonraki gibi tam olarak ifade edilmemiştir; ayrıca şunu eklemek gerekir: "ve elde edilen sonuçları çarpın."

Böylece:

(3/4 xy) 2 = 9/16 x 2 y2; (- 0.5mn) 2 = + 0.25m 2 n 2; vb.

B)Örneğin, bir dereceye kadar gerekli olsun. a 3 , kareye. Bu şu şekilde yapılabilir:

(a 3) 2 = a 3 a 3 = a 3 + 3 = a 6.

Bunun gibi: (x 4) 2 = x 4 x 4 = x 4 + 4 = x 8

Anlamına geliyor, üssün karesini almak için üssü 2 ile çarpabilirsiniz. .

Böylece, bu iki kuralı uygulayarak, örneğin:

(- 3 3/4 a x 2 y 3) 2 = (- 3 3/4) 2 a 2 (x 2) 2 (y 3) 2 = 225/2 a 2 x 4 y 6

v) Bir kesrin karesini almak istediğinizi varsayalım. a / B ... Ardından, bir kesri bir kesirle çarpma kuralını uygulayarak şunu elde ederiz:

Anlamına geliyor, bir kesrin karesini almak için pay ve paydanın karesini ayrı ayrı alabilirsiniz.

Örnek.

İkinci bölüm.

Kare polinom.

155. Formülün türetilmesi. Formülü kullanarak (Bölüm 2 Bölüm 3 § 61):

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ,

üç terimlinin karesini alabiliriz a + b + c bunu bir binom olarak kabul etmek (a + b) + c :

(a + b + c) 2 = [(a + b) + c] 2 = (a + b) 2 + 2 (a + b) c + c 2 = a 2 + 2ab + b 2 + 2 (a + b) c + c 2

Böylece, iki terimlinin eklenmesiyle bir + b üçüncü dönem İle yükseltmeden sonra kareye 2 terim eklendi: 1) üçüncü terimin ilk iki terimin toplamının çift çarpımı ve 2) üçüncü terimin karesi. Şimdi üç terimliye başvuruyoruz a + b + c başka bir dördüncü dönem D ve dört terimi yükseltmek a + b + c + D karesi alınır, toplamı alınır a + b + c bir dönem için.

(a + b + c + d) 2 = [(a + b + c) + d] 2 = (a + b + c) 2 + 2 (a + b + c) d + d 2

yerine ikame (a + b + c) 2 yukarıda aldığımız ifadeyi bulacağız:

(a + b + c + d) 2 = a 2 + 2ab + b 2 + 2 (a + b) c + c 2 + 2 (a + b + c) d + d 2

Yine yeni bir terimin eklenmesiyle yükseltilmiş polinomun karesine 2 terim eklendiğini görüyoruz: 1) yeni terimin önceki terimlerin toplamının çift çarpımı ve 2) yeni terimin karesi. Açıktır ki, yükseltilmiş polinoma yeni terimler eklendikçe iki terimin bu şekilde eklenmesi devam edecektir. Anlamına geliyor:

Polinomun karesi şuna eşittir: 1. terimin karesi, artı 1. terimin 2. ile çarpımının iki katı, artı 2. terimin karesi, artı ilk iki terimin toplamının çarpımının iki katı. 3., artı 3. terimin karesi, artı ilk üç terimin toplamının 4. terimin çarpımının iki katı, artı 4. terimin karesi, vb. Tabii ki, polinomun terimleri de negatif olabilir.

156. İşaretler hakkında bir not. Artı işaretli nihai sonuç, ilk olarak, polinomun tüm terimlerinin kareleri ve ikinci olarak, aynı işaretlerle terimlerin çarpılmasından ortaya çıkan iki katına çıkmış ürünler olacaktır.

Örnek.

157. Tam Sayıların Karesinin Kısaltılmış Yüksekliği... Bir polinomun karesi formülünü kullanarak, herhangi bir tam sayının karesini normal çarpmadan farklı şekilde alabilirsiniz. Örneğin, kare yapmak istiyorsunuz 86 ... Bu sayıyı rakamlara ayıralım:

86 = 80 + 6 = 8 aralık + 6 adet.

Şimdi, iki sayının toplamının karesi formülünü kullanarak şunu yazabiliriz:

(8 Aralık + 6 Adet) 2 = (8 Aralık) 2 + 2 (8 Aralık) (6 Adet) + (6 Adet) 2.

Bu miktarı daha hızlı hesaplamak için onlarcaların karesinin yüzlerce olduğunu (fakat binler de olabilir) hesaba katalım; eski. 8 ara... kare formu 64 yüz, Çünkü 80 2 = b400; örneğin onlarca birimin çarpımı onlarcadır (ancak yüzlerce olabilir). 3 Aralık 5 adet = 15 de, 30 5 = 150'den beri; ve birimlerin karesi birdir (ancak onlarca olabilir), örneğin. 9 adet kare = 81 birim. Bu nedenle, hesaplamayı aşağıdaki gibi düzenlemek en uygunudur:

yani önce ilk basamağın (yüzlerce) karesini yazıyoruz; bu sayının altına ikinci (onlar) ile birinci basamağın çift çarpımını yazıyoruz, bu çarpımın son basamağının üst sayının son basamağının bir basamak sağında olduğunu gözlemliyoruz; sonra yine son haneden bir basamak sağa geri adım atarak ikinci hanenin (birim) karesini koyarız; ve tüm yazılı sayıları tek bir toplama ekleyin. Elbette, bu sayılar uygun sayıda sıfırla tamamlanabilir, yani şöyle yazılabilir:

ancak her defasında (son rakamla) bir sağa doğru geri giderek sayıları alt alta doğru bir şekilde imzalarsak bu hiçbir işe yaramaz.

Hala kare alınması gerektiğini varsayalım 238 ... Çünkü:

238 = 2 hücre. + 3 aralık + 8 adet, sonra

Ama bir karede yüzlerce onbinleri verir (örneğin, 5 yüz. Bir karede 25 on bin olur, çünkü 500 2 = 250.000), yüzlerin onlarca çarpımı binlerce verir (örneğin, 500 30 = 15.000), vb...

Örnekler

Üçüncü bölüm.

y = x 2 ve y = ah 2 .

158. Bir fonksiyonun grafiği y = x 2 ... Yükseltilmiş sayının ne zaman değiştiğini izleyelim x karesi değişir x 2 (örneğin, bir karenin kenarını değiştirirken alanı nasıl değişir). Bunun için öncelikle fonksiyonun aşağıdaki özelliklerine dikkat ediyoruz. y = x 2 .

a) herhangi bir anlamı ile x bir işlev her zaman mümkündür ve her zaman yalnızca belirli bir değer alır. örneğin, x = - 10 fonksiyon olacak (-10) 2 = 100 ,
x =1000 fonksiyon olacak 1000 2 =1 000 000 , vb.

B)Çünkü (- x ) 2 = x 2 , ardından iki değer için x sadece işaretlerde farklılık gösteren iki özdeş pozitif değer elde edilir de ; örneğin, x = - 2 ve x = + 2 anlam de aynı olacak yani 4 ... için negatif değerler de asla çalışmaz.

v) Mutlak değer x süresiz olarak artarsa, o zaman de süresiz olarak artar. Yani, eğer için x sonsuz artan bir dizi pozitif değer vereceğiz: 1, 2, 3, 4 ... veya sonsuz azalan bir dizi negatif değer: -1, -2, -3, -4 ..., o zaman için de bir dizi sonsuz artan değer elde ederiz: 1, 4, 9, 16, 25 ... x = + ∞ ve x = - ∞ işlev de bitti + ∞ .

G) x de ... Yani, eğer değer x = 2 , bir artış verelim, koy, 0,1 (yani yerine x = 2 almak x = 2.1 ), sonra de onun yerine 2 2 = 4 eşit olacak

(2 + 0,1) 2 = = 2 2 + 2 2 0,1 + 0,1 2 .

Anlamına geliyor, de ile artacak 2 2 0,1 + 0,1 2 = 0,41 ... Eğer aynı değer x daha da küçük bir artış vereceğiz, 0,01 , o zaman y eşittir

(2 + 0,01) 2 = = 2 2 + 2 2 0,01 + 0,01 2 . .

Bu, o zaman y'nin artacağı anlamına gelir 2 2 0,01 + 0,01 2 = 0,0401 yani eskisinden daha az artacaktır. Genel olarak, daha küçük bir kesirden daha fazla artıracağız x , sayı ne kadar küçük olursa o kadar artacaktır de ... Yani, bunu hayal edersek x sürekli artar (2 değerinden ayarlanır), 2'den büyük tüm değerlerden geçer, sonra de 4'ten büyük tüm değerlerden geçerek de sürekli artacaktır.

Tüm bu özelliklere dikkat ederek bir fonksiyon değerleri tablosu oluşturalım. y = x 2 , örneğin, bu:

Şimdi bu değerleri çizimde apsisleri yazılı değerler olacak noktalar şeklinde gösterelim. x , ve ordinatlar karşılık gelen değerlerdir de (çizimde uzunluk birimi olarak bir santimetre aldık); ortaya çıkan noktalar bir eğri ile çevrelenecektir. Bu eğriye parabol denir.

Bazı özelliklerini ele alalım.

a) Parabol sürekli bir eğridir, çünkü apsiste sürekli bir değişiklik vardır. x (hem pozitif hem de negatif yönde) şimdi gördüğümüz gibi, ordinat da sürekli değişir.

B) Tüm eğri eksenin bir tarafında x -ov, tam olarak koordinatların pozitif değerlerinin bulunduğu tarafta.

v) Parabol eksene bölünür de -ov iki parçaya (dallara) bölünür. Nokta Ö bu dalların birleştiği yere parabolün tepesi denir. Bu nokta, parabol ve eksen için tek ortak noktadır. x -ov; bu nedenle, bu noktada parabol eksene dokunur. x -ov.

G) Her iki dal da sonsuzdur x ve de sonsuza kadar artabilir. Dallar eksenden yükselir x -ov sınırsız olarak yukarı doğru, aynı zamanda eksenden süresiz olarak uzaklaşıyor y -ov sağa ve sola.

e) eksen y - ov simetri ekseni ile parabol için hizmet eder, böylece çizimi bu eksen boyunca bükerek çizimin sol yarısı sağa düşerse, her iki dalın da birleştirileceğini göreceğiz; Örneğin, apsisi - 2 ve ordinatı 4 olan bir nokta, apsisi +2 ve aynı ordinatı 4 olan bir nokta ile uyumludur.

e) saat x = 0 ordinat da 0'a eşittir. Dolayısıyla, x = 0 fonksiyon mümkün olan en küçük değere sahiptir. Eğrinin koordinatları sonsuza kadar arttığı için fonksiyon en büyük değere sahip değildir.

159. Formun bir fonksiyonunun grafiğiy = ah 2 ... önce varsayalım ki a pozitif bir sayı var. Örneğin, şu 2 işlevi alın:

1) y = 1 1 / 2 x 2 ; 2) y = 1 / 3 x 2

Bu işlevlerin değerlerinin tablolarını oluşturalım, örneğin aşağıdakiler:

Tüm bu değerleri çizimin üzerine koyalım ve eğriler çizelim. Karşılaştırma için, aynı çizime (kesik çizgi) fonksiyonun başka bir grafiğini yerleştirdik:

3) y =x 2

Çizimden aynı apsis için 1. eğrinin koordinatının 1 1 / 2 , kat daha fazla ve 2. eğrinin koordinatı 3 3. eğrinin koordinatından kat daha az. Sonuç olarak, tüm bu eğrilerin genel bir karakteri vardır: sonsuz sürekli dallar, bir simetri ekseni, vb. bir> 1 eğrinin dalları daha fazla yukarı kaldırılır ve a< 1 eğriden daha aşağı doğru bükülürler y =x 2 ... Tüm bu eğrilere parabolam denir.

Şimdi katsayının olduğunu varsayalım a negatif bir sayı olacaktır. Örneğin, y = - 1 / 3 x 2 ... Bu işlevi bununla karşılaştırmak: y = + 1 / 3 x 2 aynı değer için unutmayın x her iki fonksiyon da aynı mutlak değere sahiptir, ancak zıt işaretlidir. Bu nedenle, fonksiyon çiziminde y = - 1 / 3 x 2 fonksiyonla aynı parabolü elde edersiniz y = 1 / 3 x 2 sadece aks altında x -ov simetrik olarak bir parabol ile y = 1 / 3 x 2 ... Bu durumda, fonksiyonun tüm değerleri, sıfıra eşit olan biri hariç, negatiftir. x = 0 ; bu son değer, hepsinin en büyüğüdür.

Yorum Yap. İki değişken arasındaki ilişki ise de ve x eşitlikle ifade edilir: y = ah 2 , nerede a bir sabit sayı, o zaman değerin olduğunu söyleyebiliriz de miktarın karesi ile orantılı x , çünkü bir artış veya azalma ile x 2 kat, 3 kat vb. değer de 4 kat, 9 kat, 16 kat vb. artar veya azalır. Örneğin, bir dairenin alanı π R 2 , nerede r bir dairenin yarıçapı var ve π sabit sayı (yaklaşık 3.14'e eşittir); bu nedenle, bir dairenin alanının yarıçapının karesiyle orantılı olduğunu söyleyebiliriz.

Bölüm dört.

Küpe ve tek terimli cebirsel ifadelerin diğer güçlerine yükselme.

160. Bir dereceye kadar yükseltirken işaretlerin kuralı. Göreli sayıların çarpma kuralından şu sonuç çıkar:

(-5) 3 = (-5)(-5)(-5) = -125;

(- 1 / 2 ) 4 = (- 1 / 2 ) (- 1 / 2 ) (- 1 / 2 ) (- 1 / 2 )=+ 1 / 16 ;

(- 1) 5 = (- 1) (- 1) (- l) (-1) (-1) = - l;

(- 1) 6 = (- 1) (- 1) (- l) (-1) (-1) (-1) = + l; vb.

Anlamına geliyor, Negatif bir sayıyı üslü bir kuvvete yükseltmekten pozitif bir sayı, tek üslü bir kuvvete yükseltmekten negatif bir sayı elde edilir.

161. Bir ürünün derecesini, derecesini ve kesirini yükseltme. Bir kuvvet ve kesrin çarpımını bir dereceye kadar yükseltirken, kareye () yükseltirken olduğu gibi davranabiliriz. Böyle:

(abc) 3 = (abc) (abc) (abc) = abc abc abc = (aaa) (bbb) (ccc) = a 3 b 3 c 3;

Beşinci Bölüm.

Fonksiyonların grafik gösterimi: y = x 3 ve y = ah 3 .

162. Bir fonksiyonun grafiği y = x 3 ... Yükseltilmiş sayı değiştiğinde küpünün nasıl değiştiğini düşünün (örneğin, küpün kenarı değiştiğinde hacminin nasıl değiştiğini). Bunun için öncelikle fonksiyonun aşağıdaki özelliklerini belirtiyoruz. y = x 3 (fonksiyonun özelliklerine benzeyen y = x 2 bizim tarafımızdan daha önce değerlendirildi):

a) herhangi bir anlamı ile x işlev y = x 3 mümkün ve tek anlamı var; yani (+ 5) 3 = +125 ve + 5'in küpü başka bir sayıya eşit olamaz. Benzer şekilde (- 0.1) 3 = - 0.001 ve -0.1'in küpü başka bir sayıya eşit olamaz.

B) iki değerle x sadece işaretlerde farklılık gösteren fonksiyon x 3 sadece işaretlerde birbirinden farklı değerler alır; için böylece x = 2 işlev x 3 eşittir 8, ve x = - 2 eşittir - 8 .

v) x arttıkça, fonksiyon x 3 artar ve dahası, daha hızlı x , ve hatta daha hızlı x 2 ; yani

x = - 2, -1, 0, +1, + 2, +3, + 4. .. x 3 olacak = -8, - 1, 0, +1, + 8, +27, + 64 ...

G) Değişken sayıların çok küçük artışları x ayrıca fonksiyonda çok küçük bir artış var x 3 ... Yani eğer değer x = 2 kesirli artış 0,01 , yani, eğer yerine x = 2 almak x = 2,01 , ardından fonksiyon de olmayacak 2 3 (yani değil 8 ), a 2,01 3 , olacak 8,120601 ... Dolayısıyla, bu fonksiyon daha sonra artacaktır. 0,120601 ... eğer değer x = 2 daha da az artırın, örneğin 0,001 , sonra x 3 eşit olacak 2,001 3 , olacak 8,012006001 , ve bu nedenle, de sadece artacak 0,012006001 ... Böylece görüyoruz ki, değişken sayısının artması durumunda x giderek daha az olacak, ardından artış x 3 giderek daha az olacaktır.

Fonksiyonun bu özelliğinin fark edilmesi y = x 3 , onun programını çizelim. Bunu yapmak için önce bu işlevin değerlerinin bir tablosunu oluşturuyoruz, örneğin aşağıdakiler:

163. Fonksiyon grafiği y = eksen 3 ... Bu iki işlevi alalım:

1) y = 1 / 2 x 3 ; 2) y = 2 x 3

Bu işlevleri daha basit bir işlevle karşılaştırırsak: y = x 3 , sonra aynı değer için x ilk fonksiyon, değerlerin yarısı kadar, ikincisi ise fonksiyonun iki katı kadar büyük değerler alır. y = eksen 3 , diğer tüm açılardan bu üç işlev birbirine benzer. Grafikleri aynı çizimde karşılaştırma için gösterilmiştir. Bu eğriler denir 3. dereceden paraboller.

Altıncı bölüm.

Kök çıkarmanın temel özellikleri.

164. Görevler.

a) Alanı 16 cm ve yüksekliği 4 cm olan bir dikdörtgenin alanına eşit olan bir karenin kenarını bulun.

Harf ile gerekli karenin kenarını belirleme x (cm), aşağıdaki denklemi elde ederiz:

x 2 = 16 4, yani x 2 = 64.

bu şekilde görüyoruz x ikinci kuvvetine yükseltildiğinde 64 veren bir sayıdır. Bu sayı 64'ün ikinci kuvvetinin kökü olarak adlandırılır. + 8 veya - 8'e eşittir, çünkü (+ 8) 2 = 64 ve (- 8 ) 2 = 64. Negatif bir sayı - 8 problemimiz için uygun değildir, çünkü karenin kenarı sıradan bir aritmetik sayı ile ifade edilmelidir.

B) 1 kg 375 gr (1375 gr) ağırlığındaki bir kurşun parçası küp şeklindedir. 1 küp olduğu biliniyorsa bu küpün kenarı ne kadar büyüktür. cm kurşun 11 gram mı?

Küpün kenar uzunluğu olsun x cm.Sonra hacmi eşit olacak x 3 yavru. cm ve ağırlığı 11 olacak x 3 G.

11x 3= 1375; x 3 = 1375: 11 = 125.

bu şekilde görüyoruz x öyle bir sayı var ki, üçüncü dereceye yükseltildiğinde, 125 ... Bu numara denir üçüncü derecenin kökü 125. Tahmin edebileceğiniz gibi 5'e eşittir, çünkü 5 3 = 5 5 5 = 125. Bu, problemde bahsedilen küpün kenarının 5 cm uzunluğunda olduğu anlamına gelir.

165. Kökün belirlenmesi. Sayının ikinci derecesinin (veya karesinin) köküne göre a karesi eşit olan sayıya denir a ... Böylece, 49'un karekökü 7'dir ve ayrıca - 7'dir, çünkü 7 2 = 49 ve (- 7) 2 = 49'dur. Sayının üçüncü kökü (kübik) a küpün eşit olduğu böyle bir sayı denir a ... Yani (- 5) 3 = (- 5) (- 5) (- 5) = -125 olduğundan -125'in küp kökü - 5'tir.

Genel olarak kök n-arasından derece a böyle bir sayı denir, hangi n-inci derece a.

Numara n , kökün ne dereceye kadar bulunduğu anlamına gelir kök üs.

Kök, √ işaretiyle gösterilir (radikalin işareti, yani kökün işareti). Latince kelime sayı tabanı kök demektir. İşaret√ ilk 15. yüzyılda tanıtıldı.... Yatay çizginin altına kökün bulunduğu sayıyı (kök numarası) yazarlar ve kök göstergesi köşenin deliğinin üzerine yerleştirilir. Böyle:

27'nin kübik kökü ..... ile gösterilir 3 √27;

32'nin dördüncü kökü gösterilir ... 3 √32.

Örneğin, karekök göstergesini hiç yazmamak gelenekseldir.

2 √16 yerine √16 yazarlar.

Kökün bulunma işlemine kök çıkarma denir; bir dereceye kadar yükselmenin tersidir, çünkü bu eylem aracılığıyla bir dereceye yükselmede verilen, yani inlemenin temeli aranır ve verilen, bir dereceye yükseltildiğinde aranan şeydir, tam olarak derecenin kendisidir. . Bu nedenle, kökün çıkarılmasının doğruluğunu bir dereceye kadar yükselterek her zaman doğrulayabiliriz. ör. kontrol etmek

eşitlik: 3 √125 = 5, 5'i bir kübe yükseltmek yeterlidir: 125 radikal sayısını aldıktan sonra, 125'in küp kökünün doğru şekilde çıkarıldığı sonucuna varırız.

166. Aritmetik kök. Bir kök pozitif bir sayıdan çıkarılırsa ve kendisi de pozitif bir sayıysa aritmetik olarak adlandırılır. Örneğin, 49'un aritmetik karekökü 7 iken, aynı zamanda 49'un karekökü olan 7 sayısı aritmetik olarak adlandırılamaz.

Aritmetik kökün aşağıdaki iki özelliğini belirtiyoruz.

a) Diyelim ki √49 aritmetiğini bulmamız gerekiyor. 7 2 = 49 olduğu için böyle bir kök 7 olacaktır. Kendimize bir soru soralım, başka bir pozitif sayı bulmak mümkün mü? x , bu da √49 olur. Diyelim ki böyle bir sayı var. O zaman ya 7'den küçük ya da 7'den büyük olmalıdır. x < 7, то тогда и x 2 < 49 (с уменьшением множимого и множителя произведение уменьшается); если же допустим, что x > 7, o zaman x 2 > 49. Bu, ne 7'den küçük ne de 7'den büyük hiçbir pozitif sayının √49'a eşit olamayacağı anlamına gelir. Bu nedenle, belirli bir sayıdan belirli bir derecenin yalnızca bir aritmetik kökü olabilir.

Kökün olumlu anlamından değil de bazılarından bahsetseydik farklı bir sonuca varırdık; yani, √49, hem 7 2 = 49 hem de (- 7) 2 = 49 olduğundan, hem 7 sayısına hem de - 7 sayısına eşittir.

B)Örneğin, eşit olmayan iki pozitif sayıyı alalım. 49 ve 56. 49 olduğu gerçeğinden< 56, мы можем заключить, что и √49 < √56 (если только знаком √ будем обозначать арифметический квадратный корень). Действительно: 7 < 8. Подобно этому из того, что 64 < l25, мы можем заключить, что и 3 √64 < 3 √125

Gerçekten: 3 √64 = 4 ve 3 √125 = 5 ve 4< 5. Вообще daha küçük bir pozitif sayı, daha küçük bir aritmetik köke karşılık gelir (aynı derecede).

167. Cebirsel kök. Bir kök, pozitif bir sayıdan çıkarılması ve kendisinin pozitif olması gerekmiyorsa cebirsel olarak adlandırılır. Böylece, eğer ifadenin altında n √a elbette cebirsel bir kök n -inci derece, bu sayının a hem olumlu hem de olumsuz olabilir ve kökün kendisi hem olumlu hem de olumsuz olabilir.

Bir cebirsel kökün aşağıdaki 4 özelliğini gösterelim.

a) Pozitif bir sayının tek kökü pozitif bir sayıdır .

Böyle, 3 √8 pozitif bir sayı olmalıdır (2'ye eşittir), çünkü tek bir üsse yükseltilmiş negatif bir sayı negatif bir sayı verir.

B) Negatif bir sayının tek kökü negatif bir sayıdır.

Böyle, 3 √-8 negatif bir sayı olmalıdır (-2'dir), çünkü herhangi bir dereceye yükseltilmiş pozitif bir sayı, negatif değil, pozitif bir sayı verir.

v) Pozitif bir sayının çift kökü, zıt işaretli ve aynı mutlak değere sahip iki anlama sahiptir.

Yani, √ +4 = + 2 ve √ +4 = - 2 çünkü (+ 2 ) 2 = + 4 ve (- 2 ) 2 = + 4 ; benzer 4 √+81 = + 3 ve 4 √+81 = - 3 çünkü her iki derece (+3) 4 ve (-3) 4 aynı sayıya eşittir. Bir kökün çift anlamı genellikle kökün mutlak değerinin önüne iki işaret konmasıyla belirtilir; bu yüzden yazıyorlar:

√4 = ± 2 ; √a 2 = ± a ;

G) Negatif bir sayının çift kökü, herhangi bir pozitif veya negatif sayıya eşit olamaz , çünkü her ikisi de çift üslü bir kuvvete yükselttikten sonra negatif değil pozitif bir sayı verir. ör. √ -9 +3, -3 veya başka bir sayı değildir.

Negatif bir sayının çift köküne genellikle hayali sayı denir; göreli sayılara gerçek denir veya geçerli, sayılar.

168. Bir işten, bir dereceden ve bir kesirden kök çıkarma.

a)Ürünün karekökünü çıkarmak gerekli olsun ABC ... Çarpımı bir kareye yükseltmek gerekirse, gördüğümüz gibi (), her faktörü ayrı ayrı kareye yükseltebilirsiniz. Bir kök çıkarmak, bir güce yükseltmenin zıt eylemi olduğundan, bir üründen bir kök çıkarmak için, her faktörden ayrı ayrı çıkarılabileceğini, yani

√ABC = √a √B √C .

Bu eşitliğin doğru olduğundan emin olmak için sağ tarafını bir kare yükseltelim (teoreme göre: çarpımı bir kuvvete yükseltmek için...):

(√a √B √C ) 2 = (√a ) 2 (√B ) 2 (√C ) 2

Ama kökün tanımına göre,

(√a ) 2 = a, (√B ) 2 = B, (√C ) 2 = C

Buradan

(√a √B √C ) 2 = ABC .

Ürünün karesi ise √ a √B √C eşittir ABC , o zaman bu, ürünün kareköküne eşit olduğu anlamına gelir. ABC .

Bunun gibi:

3 √ABC = 3 √a 3 √B 3 √C,

(3 √a 3 √B 3 √C ) 3 = (3 √a ) 3 (3 √B ) 3 (3 √C ) 3 = ABC

Anlamına geliyor, üründen kökü çıkarmak için her faktörden ayrı ayrı çıkarmak yeterlidir.

B) Aşağıdaki eşitliklerin doğru olduğunu doğrulamak kolaydır:

√a 4 = a 2 Çünkü 2 ) 2 = a 4 ;

3 √x 12 = x 4 , „ (x 4 ) 3 = x 12 ; vb.

Anlamına geliyor, Üssün kökünün kök üsse bölünmesini sağlamak için, üssü kök üsse bölebilirsiniz.

v) Aşağıdaki eşitlikler de doğru olacaktır:

Anlamına geliyor, kesirden kök çıkarmak için pay ve paydayı ayrı ayrı değiştirebilirsiniz.

Bu gerçeklerde aritmetiğin köklerinden bahsettiğimizin varsayıldığına dikkat edin.

Örnekleri.

1) √9a 4 B 6 = √9 √a 4 √B 6 = 3a 2 B 3 ;

2) 3 √125 bir 6 x 9 = 3 √125 3 √a 6 3 √x 9 = 5a 2 x 3

Açıklama Çift derecenin istenen kökünün cebirsel olduğu varsayılırsa, bulunan sonucun önüne bir çift işaret koymak gerekir ± Yani,

√9x 4 = ± 3x 2 .

169. En basit radikal dönüşümler,

a) Radikal işaret için faktörleri yürütmek. Köklü ifade, bazılarından bir kök çıkarılabilecek şekilde faktörlere ayrıştırılırsa, bu tür faktörler, onlardan kök çıkarıldıktan sonra kök işaretinden önce yazılabilir (kök işaretinin dışına alınabilirler).

1) √a 3 = √a 2 a = √a 2 √a = a √a .

2) √24 bir 4 x 3 = √4 6 bir 4 x 2 x = 2a 2x √6x

3) 3 √16 x 4 = 3 √8 2x 3 x = 2 kere 3 √2 x

B) Radikal işareti altındaki faktörleri özetlemek. Bazen tam tersine, önündeki faktörleri radikal işareti altına getirmekte fayda var; Bunu yapmak için, bu tür faktörleri, üssü kökün üssüne eşit olan dereceye yükseltmek ve ardından faktörleri kök işaretinin altına yazmak yeterlidir.

Örnekler

1) a 2 √a = √(a 2 ) 2 a = √a 4 a = √a 5 .

2) 2 kere 3 √x = 3 √(2 kere ) 3 x = 3 √8x 3 x = 3 √8x 4 .

v) Radikal ifadenin paydalardan kurtuluşu. Bunu aşağıdaki örneklerle gösterelim:

1) Kesri, paydadan karekök elde edilebilecek şekilde dönüştürüyoruz. Bunu yapmak için, kesrin her iki terimini de 5 ile çarpın:

2) Kesrin her iki terimini de ile çarpın 2 , üzerinde a ve üzerinde x , yani 2Ey :

Yorum Yap. Cebirsel toplamdan bir kök çıkarmak istiyorsanız, onu her terimden ayrı ayrı çıkarmak yanlış olur. ör. √ 9 + 16 = √25 = 5 , Halbuki
√9 + √16 = 3 + 4 = 7 ; dolayısıyla toplama (ve çıkarma) ile ilgili olarak bir kök alma eylemi dağıtım özelliği yok(ayrıca yüceltme, bölüm 2 bölüm 3 § 61, açıklama).

Örnekler:

\ (\ sqrt (16) = 2 \) çünkü \ (2 ^ 4 = 16 \)
\ (\ sqrt (- \ frac (1) (125)) \) \ (= \) \ (- \ frac (1) (5) \), çünkü \ ((- \ frac (1) (5) ) ^ 3 \) \ (= \) \ (- \ frak (1) (125) \)

nth kökü nasıl hesaplanır?

\ (n \) - inci derecenin kökünü hesaplamak için kendinize şu soruyu sormanız gerekir: kök altında \ (n \) - th gücünde hangi sayı verilecek?

Örneğin... Kökü hesaplayın \ (n \) - inci derece: a) \ (\ sqrt (16) \); b) \ (\ sqrt (-64) \); c) \ (\ sqrt (0.00001) \); d) \ (\ kare (8000) \); e) \ (\ sqrt (\ frac (1) (81)) \).

a) \ (4 \) - inci dereceden hangi sayı \ (16 \) verir? Açıkçası, \ (2 \). Böyle:

b) \ (3 \) -. dereceden hangi sayı \ (- 64 \) verir?

\ (\ kare (-64) = - 4 \)

c) \ (5 \) - inci derecede hangi sayı \ (0.00001 \) verecek?

\ (\ sqrt (0.00001) = 0.1 \)

d) \ (3 \) -. dereceden hangi sayı \ (8000 \) verir?

\ (\ kare (8000) = 20 \)

e) \ (4 \) - inci derecede \ (\ frac (1) (81) \) hangi sayıyı verecek?

\ (\ sqrt (\ frak (1) (81)) = \ frak (1) (3) \)

Kök \ (n \) - th derecesi ile en basit örnekleri düşündük. Köklerle daha karmaşık problemleri çözmek için \ (n \) - inci derece - onları bilmek hayati önem taşır.

Örnek. Hesaplamak:

\ (\ kare 3 \ cdot \ kare (-3) \ cdot \ kare (27) \ cdot \ kare (9) - \) \ (= \)		Şu anda, köklerin hiçbiri hesaplanamaz. Bu nedenle, \ (n \) - inci derece kökünün özelliklerini uygular ve ifadeyi dönüştürürüz. \ (\ frak (\ sqrt (-64)) (\ sqrt (2)) \)\ (= \) \ (\ sqrt (\ frac (-64) (2)) \) \ (= \) \ (\ sqrt (-32) \) çünkü \ (\ frac (\ sqrt [n] (a)) (\ sqrt [n] (b)) \)\ (= \) \ (\ sqrt [n] (\ frac (a) (b)) \)
\ (= \ kare (3) \ cdot \ kare (-3) \ cdot \ kare (27) \ cdot \ kare (9) - \ kare (-32) = \)		Birinci terimdeki çarpanları, karekök ve $n$ -inci kök yan yana gelecek şekilde yeniden düzenleyelim. Bu, özelliklerin şu şekilde uygulanmasını kolaylaştıracaktır: \ (n \) -th köklerinin özelliklerinin çoğu yalnızca aynı dereceden köklerle çalışır. Ve 5. derecenin kökünü hesaplıyoruz.
\ (= \ kare (3) \ cdot \ kare (27) \ cdot \ kare (-3) \ cdot \ kare (9) - (- 5) = \)		\ (\ sqrt [n] (a) \ cdot \ sqrt [n] (b) = \ sqrt [n] (a \ cdot b) \) özelliğini uygulayın ve köşeli ayracı genişletin
\ (= \ kare (81) \ cdot \ kare (-27) + 5 = \)		\ (\ sqrt (81) \) ve \ (\ sqrt (-27) \) hesaplayın
\ (= 9 \ cdot (-3) +5 = -27 + 5 = -22 \)

n'inci kök ve karekök ilişkili mi?

Her durumda, herhangi bir dereceden herhangi bir kök, alışılmadık bir biçimde yazılmış olsa da, yalnızca bir sayıdır.

n. derecenin kökünün özelliği

Kök \ (n \) - tek \ (n \) ile th gücü, negatif bile olsa herhangi bir sayıdan çıkarılabilir (başlangıçtaki örneklere bakın). Ancak \ (n \) çift ise (\ (\ sqrt (a) \), \ (\ sqrt (a) \), \ (\ sqrt (a) \) ...), o zaman böyle bir kök çıkarılır sadece \ ( a ≥ 0 \) ise (bu arada, karekök aynıdır). Bunun nedeni, kök çıkarmanın üs almanın tersi olmasıdır.

Ve eşit bir güce yükseltmek, negatif bir sayıyı bile pozitif yapar. Nitekim, \ ((- 2) ^ 6 = (- 2) \ cdot (-2) \ cdot (-2) \ cdot (-2) \ cdot (-2) \ cdot (-2) = 64 \). Bu nedenle, kök altında negatif bir sayının çift kuvvetini alamayız. Bu, negatif bir sayıdan böyle bir kök çıkaramayacağımız anlamına gelir.

Bu tür kısıtlamaların tek derecesi yoktur - tek dereceye yükseltilmiş negatif bir sayı negatif kalacaktır: \ ((- 2) ^ 5 = (- 2) \ cdot (-2) \ cdot (-2) \ cdot ( -2) \ cdot (-2) = - 32 \). Bu nedenle, tek bir derecenin kökü altında negatif bir sayı elde edebilirsiniz. Bu, onu negatif bir sayıdan da çıkarabileceğiniz anlamına gelir.