Doğrudan paralel ambalajın üssü, çapraz bir eşkenar dörtnüzedir. Geometrik rakamlar

ya (eşdeğeri), paralelkenar olan altı yüzlü bir polihedron. Altıgen.

Paralelpiped'in olduğu paralelogramlar vatandaşlarbu paraleleptepeda, bu paralelogramların partileri perbrallepiped kaburgave paralelogramların üst kısımları - verterler paralelepipeda. Parlepipeda her yüzüne sahip paralelkenar.

Kural olarak, herhangi bir 2nd karşısında yüzler ayırt edilir ve aradılar paraleleptepeda tabanlarıve kalan yüzler - paralelpipeda'nın yan kenarları. Topraklara ait olmayan paralelpipli kaburgalardır. yan kaburga.

Ortak bir kenarı olan paralelpiped'in 2 yüzleri bitişikve ortak kaburgalara sahip olmayanlar - karşısında.

1 yüze ait olmayan 2 köşeyi birbirine bağlayan bir segment paralelepipeda'nın diyagonal.

Paralel olmayan dikdörtgen paralelpipli kaburgaların uzunluğu doğrusal boyutlar (Ölçümler) Pollolepipeda. Dikdörtgen Parallelepipli 3 Doğrusal Boyutlar.

Paralelpipli türleri.

Birkaç çeşit paralelpiped vardır:

Doğrudan Vakıf düzlemine dik bir kenara sahip bir paraleldir.

Dikdörtgen paralelpiped3 ölçümün tümü eşit bir değere sahiptir, küba . Küpün yüzlerinin her biri eşittir kareler .

Keyfi paralelpiped.Hacim ve İlişkiler eğimli paralelpiped Temel olarak vektör cebiri tarafından belirlenir. Paralelefedin miktarı, paralellemenin 3 tarafı (bir köşeden gelen) tarafından belirlenen 3 vektörün karma ürününün büyüklüğüdür. Paralelpipli tarafın uzunlukları ile aralarındaki köşeler arasındaki oran, 3 vektörün gramının belirleyicisinin, karışık ürünlerinin karesine eşit olduğu iddiasını göstermektedir.

Paralelefed özellikleri.

Paralelepipit, bunun ortasında köşegen olduğu için simetriktir.
Paralellemenin yüzeyine ait olan ve bunun ortasından geçen uçları olan her segment çapraz olarak iki eşit parçaya ayrılmıştır. Parallelepipli'nin tüm köşegenleri 1. noktada kesişir ve iki eşit parçaya göre paylaşır.
Paralel olarak paralel paralelin karşıt yüzleri ve eşit boyutlara sahiptir.
Dikdörtgen paralelpiplenmiş köşegen uzunluğunun karesi eşittir

Bu derste, herkes "dikdörtgen paralelepçe" temasını keşfedebilecektir. Dersin başlangıcında, keyfi ve doğrudan paraleleptepeda'nın ne olduğunu, karşıt yüzlerinin özelliklerini ve paralellemenin köşegenlerinin özelliklerini hatırlayacağız. Ardından dikdörtgen paralellemenin ne olduğunu düşünün ve temel özelliklerini tartışın.

Konu: Düz ve Uçakların Dikeyliği

Ders: Dikdörtgen Parallelefon

Yüzey, ABSB'nin iki eşit paralel paralelogramından ve A 1'de 1 C 1 D 1 ve dört paralelogramdan oluşan ABV 1 A 1, ASC 1, CDD 1 Cı, DAA 1 D 1, paralel (Şek. 1).

İncir. 1 paralelpiped

Yani: AbsD'nin iki eşit paralel olarak paralel programı ve 1 C 1 D 1 (baz) 'in eşit paralel düzimize sahibiz, paralel düzlemlerde yatar, böylece yanal kaburgalar AA 1, BB 1, DD 1, SS 1 paraleldir. Böylece, paralelkenar yüzeyinden oluşur. paralel.

Böylece, paralellemenin yüzeyi paralelpiped'in derlendiği tüm paralelogramların toplamıdır.

1. Paralellemenin karşı yüzleri paralel ve eşittir.

(Şekiller eşittir, yani, dayatılması ile birleştirilebilir)

Örneğin:

AVD \u003d A 1 in 1 C 1 D 1 (tanımına göre eşit paralelogramlar),

AA 1'de 1 V \u003d DD 1 Cı 1 C (1 V ve DD 1 olarak, paralellemenin karşı yüzleri ile 1 V ve DD 1 olarak),

AA 1 D 1 D \u003d BB 1 C 1 C (AA 1 D 1 D ve BB 1 C1 S, paralelpipedin zıt yüzleri olduğundan).

2. Paralellemenin köşegenleri bir noktada kesişir ve bu noktaya bölünmüştür.

Paralelepiplenmiş AC 1'in, 1 D ve 1 C, D 1'inin bir noktada bir noktada köşegen ve her diyagonal bu noktaya bölünmüştür (Şekil 2).

İncir. Parallelepiped'in 2 köşegeni kesişti ve kesişme noktasını ikiye bölün.

3. Paralelpiped'in üç dördüncü eşit ve paralel kenar vardır.: 1 - AB, 1, D 1 C1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B1 Cı, BC, 3 - AA 1, BB 1, SS 1, DD 1.

Tanım. Paralelpiped, yan kaburgaları gerekçesiyle dikse doğrudan denir.

AA 1'in lateral kenarının tabana dik (Şekil 3) olmasına izin verin (Şek. 3). Bu, düz AA 1'in, taban düzleminde yatan doğrudan AD ve AB'ye dik olduğu anlamına gelir. Ve, dikdörtgenlerin kenarların yanında yattığı anlamına gelir. Ve bazlarda keyfi paralelogramlardır. ∠bad \u003d φ tarafından belirtir, φ Açı herhangi bir olabilir.

İncir. 3 düz paralelpiped

Bu nedenle, doğrudan paraleleptif, yan kaburgaların paralellemenin bazlarına dik olduğu paralel birdir.

Tanım. Paralelepipli dikdörtgen denir, Yan kaburgaları tabana dik ise. Havzalar dikdörtgenlerdir.

ParalelEppiped AVDA 1'de 1 C 1 D 1 - dikdörtgen (Şek. 4),:

1. AA 1 ⊥ AVD (Vakıf düzlemine dik, yani, yani doğrudan paralel olarak).

2. ∠VD \u003d 90 °, yani, tabanda bir dikdörtgendir.

İncir. 4 dikdörtgen paralelpiped

Dikdörtgen paralelpiped, keyfi paralellemenin tüm özelliklerine sahiptir. Ama orada ek özelliklerdikdörtgen bir paralellemenin tanımından türetilir.

Yani, dikdörtgen paralelpiped - Bu, yan kaburgaların tabana dik olan bir paralelepipittir. Dikdörtgen paralelepipeda'nın tabanı bir dikdörtgendir.

1. Dikdörtgen bir paralellemede, altı dikdörtgenlerin tümü yüzleri.

ABSD ve 1 1 C 1 D 1 olarak 1 - dikdörtgenler tanımına göre.

2. Tabana dik yan kenarlar. Böylece, dikdörtgen paralellemenin tüm yan yüzleri dikdörtgenlerdir.

3. Doğrudan dikdörtgen paralellemenin tüm kanatlı köşeleri.

Örneğin, AVB, yani AVB 1 ve ABS uçakları arasındaki dihedral açı olan bir dikdörtgen paralelleştirilmiş bir dihedral köşeyi düşünün.

AV - Kenar, 1, aynı düzlemde, Abv 1 düzleminde ve d başka bir diğerinde D noktasında, 1 S11 D 1'de 1 düzlemde. Ardından, dihedral açı komplektifi hala aşağıdaki gibi gösterilebilir: ∠A 1 AVD.

A'nın kenarındaki A'yı alın. AA 1 - Abv-1 düzleminde AV'nin kenarına dik, ABC düzleminde AB'nin kenarına dik olarak reklam. Böylece, ∠A 1 reklam bu dihedral açısının doğrusal açısıdır. ∠A 1 AD \u003d 90 °, bu, AV'nin kenarındaki cüce açısının 90 ° olduğu anlamına gelir.

∠ (AVB 1, ABC) \u003d ∠ (AV) \u003d ∠A 1 AVD \u003d ∠A 1 AD \u003d 90 °.

Benzer şekilde, dikdörtgen paralellemenin köşelerinde herhangi bir kazık olduğu kanıtlanmıştır.

Dikdörtgen paralelpipli kare köşegen toplama eşit Üç boyutunun kareleri.

Not. Dikdörtgen paralelpiplenmiş bir tepeden yayılan üç kaburga uzunluğu, dikdörtgen bir paralellemenin ölçümleridir. Bazen uzunluk, genişlik, yükseklik olarak adlandırılır.

Verilir: AVDA 1'de 1 C 1 D 1 - dikdörtgen paralelefed (Şek. 5).

Kanıtlamak:

İncir. 5 dikdörtgen paralelpiped

Kanıt:

Abc düzlemine dik olarak doğrudan SS 1 ve dolayısıyla düz hoparlör. Böylece, SS üçgeni 1 A dikdörtgendir. Pythagore teoremine göre:

Düşünmek sağ üçgen ABC. Pythagore teoremine göre:

Ancak güneş ve reklam dikdörtgenin zıt yönleridir. SO, SUN \u003d AD. Sonra:

Gibi , fakat sonra. SS 1 \u003d AA 1'den bu yana, o zaman kanıtlamak için ne gerekiyordu.

Dikdörtgen paralellemenin köşegenleri eşittir.

ParalelEpped ABC'nin A, B, C olarak ölçülmesiyle belirtir (bkz. Şekil 6), sonra AU 1 \u003d CA 1 \u003d 1 D \u003d DB 1 \u003d

PartiallePiped denir dörtgen prizma, bazlarında paralelogramlardır. Paralellemenin yüksekliği, bazlarının düzlemleri arasındaki mesafe denir. Şekilde, yükseklik bir segmentle gösterilir. . İki tür paralelpiped vardır: düz ve eğimli. Kural olarak, matematik öğretmen ilk önce prizma için karşılık gelen tanımları verir ve ardından bunları paralellemeye aktarır. Biz de yapacağız.

Size, prizmanın düz olarak adlandırıldığını, eğer yan kaburgaları gerekliyse, eğer dikey yoksa - prizma eğimlidir. Bu terminoloji paralellemeyi devralır. Düz paralelepipli - hiçbir şey dışında hiçbir şey, yanal kenarı yüksekliği ile çakışır. Bu tür kavramların kenarı, kenar ve terapi olarak tanımları, tüm Polyhedra ailesi için ortak olan korunur. Zıt yüzler kavramı görünür. Par Allepipeda, 3 çift zıt yüze sahip, Ti 12 kaburga 8 köşesi vardır.

Paralelepipli (prizmanın diyagonal) köşegeni, polihedronun iki köşesini birbirine bağlayan ve yüzlerinden herhangi birinde yalan söylemez bir segmenttir.

Çapraz bölüm - paralellemenin bir enine kesiti, köşegeninden geçen ve tabanının bir diyagonalından geçer.

Eğimli Paralelepipeda'nın Özellikleri:
1) Tüm yüzleri paralelogramlardır ve karşı yüzler eşit paralelogramlardır.
2) Paralellemenin köşegenleri bir noktada kesişir ve bu noktaya bölünmüştür.
3) Her paraleleptif, üçgen piramitlerin hacminde altı eşittir. Öğrencilerinin matematikte bir öğretmen göstermek için, yarım diyagonal bir kesitin paralel desteğinden kesilmeli ve 3 piramit üzerinde ayrı ayrı kırılmalıdır. Temelleri, ilk parallepiped'in farklı tesislerinde yatmalıdır. Matematik öğretmen, bu mülkün kullanımını analitik geometride bulacaksınız. Piramit hacmini karma vektörlerin bir ürününden çıkarmak için kullanılır.

Parallelepiped Hacim Formülleri:
1), nerede - temel alan, H yüksekliktir.
2) Parallelepipli hacmi, yan kenardaki enine kesit alanın ürününe eşittir.
Matematikte öğretmen: Bildiğiniz gibi, formül tüm prizmalar için yaygındır ve öğretmen zaten kanıtlanmışsa, paralel olarak aynı şeyi tekrarlamak mantıklı değildir. Bununla birlikte, orta seviye öğrencisi (zayıf formül yararlı değildir) öğretmene, tersine doğru davranmanız önerilir. Prizma tek başına bırakılmalı ve düzgün bir kanıtı yapmak için paralellemeler için.
3), bunların altı üçgen piramitlerinden birinin paralellemesinden oluşur.
4) Eğer öyleyse

Paralellemenin yan yüzeyinin alanı, tüm yüzlerinin alanlarının toplamıdır:
Paralellemenin tam yüzeyi, tüm yüzlerinin alanlarının toplamıdır, yani tabanın + iki alanın iki alanıdır :.

Eğimli paralelepipli bir öğretmenin çalışması hakkında:
Matematikte eğimli paralelpipli öğretmendeki görevler genellikle yapmaz. Sınavdaki görünümlerinin olasılığı oldukça küçüktür ve didaktik, hatalı bir şekilde fakir. Eğimli paralellemelerin hacminde az ya da çok iyi bir görev, H noktasının konumu ile ilişkili ciddi problemlere - yüksekliğinin tabanına neden olur. Bu durumda, matematiğin öğretici, paralellemeyi altı piramitten (3 numaralı mülkte tartışılan), hacmini bulmaya ve 6'ya çarpmayı deneyin.

Paralelpiped'in yan kenarı varsa eşit açılar Bazın kenarlarıyla NU, Abcd tabanının açısının bisektöründe yer almaktadır. Ve örneğin, ABCD - eşkenar dörtgen, sonra

Matematikte Görev Öğretmen:
1) Paralelleştirilmiş eşit yüzeylerin yüzleri, bir yandan 2 cm ve keskin bir açı ile. Parallelefed'in hacmini bulun.
2) Eğimli paralellemelerde, yan kenar 5 cm'dir. Buna dik olan kesit, 6 cm ve 8 cm uzunluğa sahip karşılıklı dik köşegenleri olan bir dörtgendir. Parallepipeda hacmini hesaplayın.
3) Eğimli paralellemelerde, ve sıkıntıdaki ABCD'de 2 cm ve açı olan bir eşkenar dörtgen olduğu bilinmektedir. Paralelpiped'in hacmini belirler.

Matematikte Öğretmen, Alexander Kolpakov