Matrislerin çalışmalarına nasıl geri dönelim. Ters bir matris nasıl bulunur

Matris A -1, Matris A ile ilgili olarak ters matris olarak adlandırılır, eğer bir Matris N-Sipariştir. Ters matris sadece kare matrisler için mevcut olabilir.

Hizmetin atanması. Bu hizmetle çevrimiçi modda, cebirsel takviyeler, aktarılmış bir matris, müttefik matris ve ters bir matris bulabilirsiniz. Karar doğrudan sitede (çevrimiçi modda) yapılır ve ücretsizdir. Hesaplamaların sonuçları, kelime raporunda ve Excel formatında yapılır (yani, çözümü kontrol etmek mümkündür). Kayıt örneğine bakınız.

Talimat. Bir çözüm elde etmek için, matrisin boyutunu belirtmelisiniz. Daha sonra, yeni iletişim kutusunda, Matris'i doldurun.

Ayrıca Jordan-Gauss tarafından Ters Matrix'e bakınız

İade matrisi için algoritma

1. Tartışlı bir matris bulmak.
2. Cebirsel eklemelerin tanımı. Matrisin her bir elemanını cebirsel ekle ile değiştirin.
3. Derleme ters matris Cebirsel Eklemelerden: Elde edilen matrisin her bir elemanı, orijinal matrisin belirleyicisine ayrılır. Elde edilen matris orijinal matris için terstir.

Takip etme İade matrisi için algoritma Bazı adımlar dışında önceki öncekine benzer: önce cebirsel eklemeler hesaplanır ve ardından Müttefik matris C belirlenir.

1. Kare matris olup olmadığını belirleyin. Değilse, ters matris bunun için mevcut değildir.
2. Matrisin belirleyicisinin hesaplanması a. Sıfıra eşit değilse, çözüme devam ediyoruz, aksi takdirde ters matris yoktur.
3. Cebirsel eklemelerin tanımı.
4. Birliği doldurma (karşılıklı ekli) matris C.
5. Cebirsel eklemelerin ters bir matrisini çizme: Ekli matris C'nin her bir elemanı, orijinal matrisin belirleyicisine ayrılır. Elde edilen matris orijinal matris için terstir.
6. Kontrol: Orijinali hareket ettirin ve elde edilen matris yapın. Sonuç olarak, tek bir matris elde edilmelidir.

Örnek numara 1. Matrisini formda yazıyoruz:

Cebirsel eklemeler. Δ 1.2 \u003d - (2 · 4 - (- 2 · (-2))) \u003d -4 Δ 2.1 \u003d - (2 · 4-5 · 3) \u003d 7 Δ 2,3 \u003d - (- 1 · 5 - (- 2 · 2)) \u003d 1 Δ 3.2 \u003d - (- 1 · (-2) -2 · 3) \u003d 4

A -1 \u003d.

0,6 -0,4 0,8 0,7 0,2 0,1 -0,1 0,4 -0,3

Ters bir matris bulmak için başka bir algoritma

İade matrisini bulmak için başka bir diyagram veriyoruz.

1. Bu kare matrisin belirleyicisini buluyoruz.
2. Matrisin tüm unsurlarına cebirsel eklemeler buluyoruz.
3. Sütundaki satır elementlerinin cebirsel takviyelerini kaydedin (Transpozisyon).
4. Elde edilen matrisin her bir elemanını Matris A'nın belirleyicisine böleriz.

Gördüğümüz gibi, transpoze işlemi hem başlangıçta, ilk matrisin üstünde hem de sonunda, elde edilen cebirsel eklemeler üzerinde kullanılabilir.

Özel bir durum: Ters, tek bir matris E ile ilgili olarak, tek bir matris E'dir.

N-Siparişin kare matrisi olmasına izin verin

Matris A -1 denilen ters matris Matris A ile ilgili olarak, eğer * a -1 \u003d e ise, E, N-TH sırasının tek bir matrisidir.

Tek matris - Sol üst köşeden sağ alt köşeye geçen ana çapraz geçiş üzerindeki tüm elemanların bir ünitelerdir ve gerisi sıfırlardır, örneğin:

ters matris var olabilir Sadece kare matrisler şunlar. Bu matrisler için, satır ve sütunların sayısının çakışmasıdır.

Teorem bir dönüş matrisinin varlığının koşulları

Matrisinin ters bir matris olması için, gereklidir ve nondenerat olacaktır.

Matris A \u003d (A1, A2, ... ve N) yozlaşmamışSütunlar vektörleri doğrusal olarak bağımsız ise. Doğrusal olarak bağımsız sütun sütun matrisinin sayısı matrisin bezine denir. Bu nedenle, ters matris'in var olduğu için, matris halkasının boyutuna eşit olması için gerekli olduğunu ve yeterli olduğunu söyleyebiliriz. R \u003d n.

İade matrisi için algoritma

1. Gauss Matrix A ve sağda (denklemlerin sağ kısımlarının yerine) denklem sistemlerini çözmek için bir tabloya kaydedin E. Matrix'e özgü
2. Ürdün dönüşümlerini kullanarak, matris A'nın tek sütunlardan oluşan matrise yönlendirin; Aynı zamanda, E. Matrix tarafından eşzamanlı olarak dönüştürmek gerekir.
3. Gerekirse, son tablonun dizelerini (denklemini) yeniden düzenleyin, böylece tek bir matris E matris A ve kaynak tablosu altında elde edilir.
4. Kaynak tablonun matrisi E'nin altındaki son tabloda bulunan bir ters matris A -1 yazın.

Örnek 1.

Matris için ve ters bir matris a -1 bulmak

Çözüm: Matris a ve sağdaki tek bir matris E olarak kaydedin. Ürdün'in dönüşümünü kullanarak, Matris A'yı ünite matrisine yönlendirin. Hesaplamalar Tablo 31.1'de gösterilir.

İlk matris A ve dönüş matrisi A -1'i çarparak hesaplamaların doğruluğunu doğrulayacağız.

Matrislerin çoğalması sonucu, tek bir matris elde edildi. Sonuç olarak, hesaplamalar doğru yapılır.

Cevap:

Matris denklemlerinin çözümü

Matris denklemleri görünebilir:

Ah \u003d in, ha \u003d in, agv \u003d s,

a, B, C, istenen matris olan belirtilen matrislerdir.

Matris denklemleri, ters matrisler için denklemin çarpılmasıyla çözülür.

Örneğin, denklemden bir matris bulmak için, bu denklemi sola çarpmanız gerekir.

Sonuç olarak, denklemin çözümünü bulmak için, bir ters matris bulmanız ve denklemin sağ kısmında duran matris'e çarpmanız gerekir.

Benzer şekilde, diğer denklemler çözülür.

Örnek 2.

Denklemi çözün ah \u003d eğer

Karar: Ters matris eşit olduğundan (bkz. Örnek 1)

Ekonomik analizde matris yöntemi

Başkalarıyla birlikte, aynı zamanda kullanırlar matris Yöntemleri. Bu yöntemler doğrusal ve vektör-matris cebirine dayanmaktadır. Bu tür yöntemler, karmaşık ve çok boyutlu ekonomik fenomenleri analiz etmek amacıyla kullanılır. En sık, bu yöntemler gerektiğinde, kuruluşların işleyişinin ve yapısal bölümlerinin karşılaştırmalı olarak değerlendirilmesi durumunda kullanılır.

Matris analiz yöntemlerini uygulama sürecinde, birkaç adım ayırt edilebilir.

İlk aşamada Ekonomik göstergelerin sistemi üretilir ve ilk veri matrisi, sistem numaralarının ayrı çizgilerinde gösterildiği bir tablo olan buna dayanır. (i \u003d 1,2, ...., n)ve dikey grafikler - gösterge sayısı (J \u003d 1,2, ...., m).

İkinci aşamada Her dikey sütun için, birim başına alınan göstergelerin mevcut değerlerinin en büyüğü tespit edilir.

Bundan sonra, bu grafiğe yansıyan tüm miktarlar ayrılmıştır. en büyük değer Ve standartlaştırılmış katsayıların matrisi oluşur.

Üçüncü aşamada Matrisin tüm bileşenleri bir karede yükseltilir. Farklı bir önem taşırlarsa, her matris göstergesi belirli bir ağırlık katsayısı atanır. k.. İkincisinin büyüklüğü uzman tarafından belirlenir.

İkincil dördüncü aşama Bulunan değerler derecelendirme değerleri R j. Onları artırmak veya azaltmak için onları öğütün.

Özetlenen matris yöntemleri, örneğin, ne zaman kullanılmalıdır. karşılaştırmalı analiz Çeşitli yatırım projeleri, ayrıca organizasyonların diğer ekonomik göstergelerinin değerlendirilmesinde.

Matrix Cebir - Ters Matris

ters matris

Ters matris Hem sağda hem de solda çarpıldığında, bu matris için tek bir matris verdiği bir matris.
İade matrisini matris'e belirtir FAKAT Sonra, sonra elde ettiğimiz tanıma göre:

nerede E. - Tek matris.
Kare matris aranan tekil olmayan (yozlaşmamış) Belirleyici sıfır değilse. Aksi takdirde denir özel (dejenere) veya tekil.

Bir teorem var: tekil olmayan bir matrisin ters matrisine sahiptir.

İade matrisini bulma işlemi denir temyiz Matris. Matrisin çekiciliği için algoritmayı düşünün. Tekil olmayan bir matris yapsın n.-O sipariş:

burada δ \u003d det A. ≠ 0.

Cebirsel Takviye Elemanımatristörler n. sipariş FAKAT belirli bir işaret ile alınan matrisin belirleyicisi olarak adlandırılır ( n. -1) geçişle elde edilen sipariş bEN.Satır I. j.- matrisin sütununa FAKAT:

Sözde bir şey yapalım ekli Matris:

karşılık gelen elemanlara cebirsel eklemeler FAKAT.
Matris dizelerinin unsurlarının cebirsel takviyelerinin FAKAT Matrisin karşılık gelen sütunlarına yerleştirilir à Yani, aynı anda matrisi transpozer.
Matrisin tüm unsurlarını paylaşma Ã Δ - matrisin belirleyicisinin değeri FAKAT, Ters bir matris ile sonuçlanacağım:

İade matrisinin bir dizi özel özelliklerini not ediyoruz:
1) Bu matris için FAKAT Ters matrisi tek kişidir;
2) Ters bir matris varsa, o zaman sağ öğleden sonra ve sol arka Matriyallar onunla çakışıyor;
3) Özel (dejenere) kare matrisin bir geri dönüş matrisi yoktur.

İade matrisinin ana özellikleri:
1) Ters matrisin belirleyicisi ve ilk matrisin belirleyicisi ters değerlerdir;
2) Kare matris ürününün ters matrisi, ters sırayla alınan faktörlerin çalışma matrislerine eşittir:

3) Transposed ters matris, bu transposedat matrisin geri dönüş matrisine eşittir:

Pri mers Matris tersini hesaplayın.

Bu konu en nefret edilen öğrencilerden biridir. Daha da kötüsü, muhtemelen, sadece belirleyiciler.

Çip, zıt elemanın konsepti (ve şimdi sadece matrisler hakkında değil) bizi çarpma işlemine atıfta bulunur. Hatta okul programı Çarpma karmaşık bir işlem olarak kabul edilir ve matrislerin çarpılması genellikle tüm paragrafın ve video eğitiminin bana adanmış olduğu ayrı bir konudur.

Bugün matris hesaplamalarının ayrıntılarına girmeyeceğiz. Sadece hatırla: Matrisler, çarptığında ve ondan neyin peşinde oldukları için belirlenir.

Tekrarlama: Matrislerin çoğaltılması

Her şeyden önce, gösterimi kabul edeceğiz. $ A $ \\ Sol [m \\ Times n \\ right] $, tam olarak $ M $ 'ya satır ve $ n $ Sütunlar:

\\ \u003d \\ underbrace (\\ sola [\\ başlar (matris) (((a) _ (11)) & ((a) _ (12)) & ... А ((a) _ (1n)) \\\\ (( a) _ (21)) & ((a) _ (22)) & ... & ((a) _ (2n)) \\\\ ... & ... & ... & ... \\\\ ((a) _ (m1)) & ((a) _ (m2)) & ... _ ((a) _ (mn)) \\\\ _ (Matrix) \\ sağ]) _ (n) \\]

Yanlışlıkla satırları ve sütunları bazı yerlerde karıştırmamak için (bana inan, sınavda bir tane karıştırabilirsin - bazı satırlar hakkında ne söyleyebilirim), sadece resme bakın:

Matrisin hücreleri için indekslerin tanımı

Ne oluyor? Standart koordinat sistemini sol üst köşeye yerleştirin ve ekseni gönderirseniz, tüm matrisin tamamını kapsayacak şekilde ekseni gönderirseniz, bu matrisin her bir hücresi benzersiz bir şekilde $ \\ sol koordinatları karşılaştırabilir (X; Y \\ sağ) $ - Bu, satır numarası ve sütun numarası olacaktır.

Koordinat sistemi neden sol üst köşeye yerleştirilir? Evet, çünkü oradan herhangi bir metin okumaya başlıyoruz. Hatırlanması çok kolaydır.

Ve NEDEN AXIS $ x $ tam olarak aşağı yönlü, doğru değil mi? Yine her şey basit: Standart koordinat sistemini alın ($ x $ eksen sağa doğru giderse, $ y $ ekseni) ve matrisi kapsayacak şekilde çevirin. Bu dönüş saat yönünde 90 derecedir - sonucu resimde görülür.

Genel olarak, Matrisin unsurlarından dizinleri nasıl tanımlayacağız, çözdük. Şimdi çarpma ile uğraşalım.

Tanım. Matrisler A \u003d \\ \\ LOFT] $ ve $ B \u003d \\ LOFT] $ ve $ B \u003d \\ LOFT] $ ve $ B \u003d \\ LOFT] $, ikincildeki satır sayısına sahip olan sütunların sayısı koordineli olarak adlandırılır.

Bu sırayla. Sakinleyebilir ve söyleyebilir, söylerler, Matrix $ ve $ B $, sipariş edilen bir $ \\ sol (A; B \\ sağ) $ (A; B \\ Right) $: eğer bu sırayla tutarlı ise, o zaman kesinlikle isteğe bağlıdır. B $ ve $ a $. $ \\ Sola (b; a \\ right) $ kabul edildi.

Sadece kararlaştırılan matrisleri çarpabilirsiniz.

Tanım. Kararlaştırılan Matrislerin Ürünü $ A \u003d \\ Sol [M \\ Times N \\ Right] $ ve $ B \u003d \\ Sol [n \\ time k \\ right] $ yeni bir matris $ c \u003d \\ sol [m \\ tims k \\ sağ ] $ 'Dan $ ((c) _ (ij))' nın formül tarafından değerlendirildiği unsurlar:

\\ [((c) _ (ij)) \u003d \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) ((((A) _ (IK))) \\ CDOT ((B) _ (KJ)) \\]

Başka bir deyişle: bir öğe almak için $ ((c) _ (ij)) $ Matrix $ c \u003d a \\ cdot b $, ilk Matrix, $ J $ -d Sütunu'nun $ -start değerini almanız gerekir. İkinci matris ve sonra çarpma elemanlarını bu satırdan ve sütundan çarpın. Katlanır.

Evet, işte sert bir tanım. Hemen birkaç gerçeği takip eder:

1. Matrislerin çarpılması, genellikle konuşursak, ticari olmayan: $ A \\ CDOT B \\ NE B \\ CDOT A $;
2. Bununla birlikte, çarpma ilişkiseldir: $ \\ sol (a \\ cdot b \\ sağ) \\ CDOT C \u003d a \\ CDOT \\ Sol (B \\ CDOT C \\ sağ) $;
3. Ve hatta dağıtım: $ \\ Sol (A + B \\ sağ) \\ CDOT C \u003d A \\ CDOT C + B \\ CDOT C $;
4. Ve bir kez daha dağıtım: $ A \\ CDOT \\ Sol (B + C \\ sağ) \u003d A \\ CDOT B + A \\ CDOT C $.

Çarpmanın dağılımı, çarpma işleminin tutumsuzluğu nedeniyle tam ve sağ faktör-toplam için ayrı ayrı tarif edilmelidir.

Yine de, $ A \\ CDOT B \u003d B \\ CDOT A $ 'a çıkmazsa, bu matrislerin permütasyon denir.

Orada çarpılan tüm matrisler arasında, özel var - $ bir $ Matrix'te çarpanlar $ A $ verir:

Tanım. $ E $ Matrix, $ A \\ CDOT E \u003d A $ veya $ e \\ CDOT A \u003d A $ 'a TEK A.Ş. Kare matris durumunda $ A $ yazabiliriz:

Tek matris - matris denklemlerini çözmede sık bir misafir. Genel olarak, matris dünyasında sık görülen bir misafir. :)

Ve bu $ e $ birisi, yazılacak olan tüm oyunu icat etti.

Ters bir matris nedir

Matrislerin çarpılması çok emek yoğun bir işlem olduğundan (bir sürü çizgileri ve sütunları çarpmak gerekir), ters matris kavramı da en önemsiz değildir. Ve bazı açıklamalar gerektirir.

Anahtar tanımı

Peki, gerçeği bilme zamanı.

Tanım. Matrix $ B $, eğer $ bir $ Matrix'e geri denirse

Ters matris $ ((a) ^ (- 1)) $ (((a) ^ (- 1)) $ (bir derece ile karıştırılmamalıdır!), Bu nedenle, tanım aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir:

Her şeyin son derece basit ve net olduğu görülüyor. Ancak böyle bir tanımı analiz ederken, hemen birkaç soru ortaya çıkıyor:

1. Her zaman ters bir matris var mı? Ve her zaman değilse, nasıl belirlenir: Var olduğunda ve ne zaman değil?
2. Ve kim böyle bir matrisin tam olarak yalnız olduğunu söyledi? Birdenbire, bazı kaynak matris için $ A $, bir tam tersi kalabalık var mı?
3. Bütün bunlar "geri" neye benziyor? Ve aslında, onları nasıl sayar?

Peki ya hesaplama algoritmaları - biraz sonra konuşacağız. Ancak şu anda soruların geri kalanına cevap verecekler. Onları ayrı açıklamalar-lemmas şeklinde vereceğiz.

Temel özellikler

Prensipte Nasıl Bir $ Matrix'in nasıl olması gerektiğini, böylece $ ((a) ^ (- 1)) bunun için var oldu. Şimdi, bu matrislerin her ikisinin de kare olması gerektiğinden ve aynı boyutta olduğundan emin olacağız: $ \\ Sol [n \\ Times n \\ right] $.

Lemma 1. Dana Matrix $ A $ ve Ters $ (((a) ^ (- 1)) $. Sonra bu matrislerin her ikisi de karedir ve $ n $ aynıdır.

Kanıt. Her şey basit. Matrisin A \u003d \\ Sol [m \\ Times n \\ right] $, $ (((((((a) ^ (- 1)) \u003d \\ Sol [A \\ Times B \\ Right] $. Ürün $ a \\ cdot ((a) ^ (- 1)) \u003d E $, tanım gereği, var olan, Matris, $ ve $ ((a) ^ (- 1)) $ belirtilen sırada kabul edildi:

\\ [\\ başlar (hizalayın) \\ sol [m \\ tims n \\ right] \\ CDOT \\ Sol [a \\ tims B \\ sağ] \u003d \\ sol [M \\ Times B \\ Right] \\\\ & n \u003d a \\ ucu (hizalayın) ) \\]

Bu, matris çarpma algoritmasının doğrudan bir sonucudur: $ n $ ve $ $ 'lık katsayılar "transit" ve eşit olmalıdır.

Aynı zamanda, ters çarpımı belirlenir: $ ((a) ^ (- 1)) \\ CDOT A \u003d e $, bu nedenle Matris $ ((a) ^ (- 1)) $ ve $ a $ belirtilen sırada kabul edilir:

\\ [\\ BACAK (HIGNIGN) \\ Sol [A \\ Times B \\ Right] \\ CDOT \\ Sol [M \\ Times n \\ right] \u003d \\ sol [A \\ Times n \\ right] \\\\ & b \u003d m \\ end (Hizala) ) \\]

Böylece, sınırlama olmadan, $ a \u003d \\ \\ tooth [m \\ tims n \\ right] $, $ (((((((((a) ^ (- 1) \u003d \\ terk ettik ki [n \\ tims m \\ right] $. Bununla birlikte, $ A \\ CDOT'un tanımına göre ((a) ^ ((- 1)) \u003d ((a) ^ (- 1)) \\ CDOT A $, böylece matrislerin boyutları kesinlikle çakışır:

\\ [\\ Başlar (hizalayın) \\ sola [m \\ tims n \\ right] \u003d \\ LOFT] \\\\ & m \u003d n \\ end (hizala) \\]

Böylece, her üç matrisin de bir $, $ ((a) ^ (- 1)) $ ve $ E $ - kare boyutlu $ \\ sol [n \\ tims n \\ right] $ 'dır. Lemma kanıtlandı.

İyi, fena değil. Sadece kare matrislerin geri dönüşümlü olduğunu görüyoruz. Şimdi, ters matrisinin her zaman yalnız olduğundan emin olun.

Lemma 2. Dana Matrix $ A $ ve Ters $ (((a) ^ (- 1)) $. Sonra bu ters matris tek kişidir.

Kanıt. Hadi pisliğe gidelim: $ bir $ Matrix'in en az iki kopyasına sahip olsun - $ B $ ve $ C $. Ardından, tanımına göre, aşağıdaki eşitlikler doğrudur:

\\ [\\ Başlar (Hizala) & A \\ CDOT B \u003d B \\ CDOT A \u003d E; \\\\ & a \\ CDOT C \u003d C \\ CDOT A \u003d E. \\\\ \\ end (hizala) \\]

Lemma 1'den, dört matrisin tümünün $ A $, $ B $, $ C $ ve $ E $ aynı siparişten daha kare olduğu sonucuna vardık: $ \\ sol [n \\ times n \\ right] $. Bu nedenle, iş belirlenir:

Matrislerin çoğalması ilişkili olduğundan (ancak taşınmaz!), Yazabiliriz:

\\ [\\ BACAK (HIGN) \\ B \\ CDOT A \\ CDOT C \u003d \\ Sol (B \\ CDOT A \\ Right) \\ CDOT C \u003d E \\ CDOT C \u003d C; \\\\ & b \\ cdot a \\ cdot c \u003d b \\ cdot \\ sol (a \\ cdot c \\ sağ) \u003d B \\ CDOT E \u003d B; \\\\ & b \\ CDOT A \\ CDOT C \u003d C \u003d B \\ RIADARROW B \u003d C. \\\\ \\ end (hizala) \\]

Tek kişiyi aldı olası değişken: Ters matrisin iki kopyası eşittir. Lemma kanıtlandı.

Yukarıdaki argümanlar neredeyse tam anlamıyla, tüm geçerli numaralar için ters elemanın kanıt benzerliğini tekrarlar. 0 $. Tek önemli ekleme, matrislerin boyutunun muhasebesidir.

Ancak, herhangi bir kare matrisin geri dönüşümlü olup olmadığı hakkında hala hiçbir şey bilmiyoruz. Belirleyici bize yardımcı olacak - bu, tüm kare matrisler için önemli bir özelliktir.

Lemma 3. Dana Matrix $ A $. Ters matris $ ((a) ^ (- 1)) $ var olursa, ilk matrisin belirleyicisi sıfırdan farklıdır:

\\ [\\ Sol | A \\ sağ | \\ n 0 \\]

Kanıt. $ 'Lık $ ve $ ((a) ^ (- 1)) $ - \\ Sol [n \\ Times N \\ Right] $' ın boyutunun kare matrisi olduğunu zaten biliyoruz. Bu nedenle, her biri için belirleyiciyi hesaplayabilirsiniz: $ \\ Sol | A \\ sağ | $ ve $ \\ Sol | ((A) ^ (- 1)) \\ sağ | $. Bununla birlikte, işin belirleyicisi belirleyicilerin ürününe eşittir:

\\ [\\ Sol | A \\ CDOT B \\ Right | \u003d \\ Sol | A \\ sağ | \\ CDOT \\ Sol | B \\ sağ | \\ raularrow \\ Sol | A \\ CDOT ((A) ^ (- 1)) \\ sağ | \u003d \\ Sol | A \\ sağ | \\ CDOT \\ Sol | ((A) ^ (- 1)) \\ sağ | \\]

Ancak $ A \\ CDOT'un tanımına göre ((a) ^ (- 1)) \u003d E $ ve $ E $ tanımlayıcı her zaman 1'e eşittir

\\ [\\ Başlar (Hizala) ve A \\ CDOT ((A) ^ (- 1)) \u003d E; \\\\ & \\ Sol | A \\ CDOT ((A) ^ (- 1)) \\ sağ | \u003d \\ Sol | E \\ sağ |; \\\\ & \\ Sol | A \\ sağ | \\ CDOT \\ Sol | ((A) ^ (- 1)) \\ sağ | \u003d 1. \\\\ \\ end (hizala) \\]

İki sayının ürünü sadece bu sayıların her biri sıfırdan farklı olduğunda birine eşittir:

\\ [\\ Sol | Bir \\ sağ | \\ n (0; \\ \\ \\ \\ sol | ((A) ^ (- 1)) \\ sağ | \\ n 0. \\]

Bu yüzden $ \\ sola döner | A \\ sağ | \\ n 0 $. Lemma kanıtlandı.

Aslında, bu gereksinim oldukça mantıklı. Şimdi, ters matrisi bulmak için algoritmayı analiz edeceğiz - ve sıfır belirleyiciyle, ilke olarak hiçbir dönüş matrisi olamayacağının nedeni oldukça açık hale geleceğiz.

Ancak bir başlangıç \u200b\u200biçin, bir "yardımcı" tanım oluştururuz:

Tanım. Dejenere matrisi, belirleyicisi sıfır olan $ \\ sol [n \\ tims n \\ right] $ 'ın kare matrisidir.

Böylece, herhangi bir geri dönüşümlü matrisin nondenerat olduğunu iddia edebiliriz.

Ters bir matris nasıl bulunur

Şimdi iade matrisleri için evrensel bir algoritmayı düşüneceğiz. Genel olarak, genel olarak kabul edilen iki algoritma vardır ve bugün de ikinci olduğunu düşüneceğiz.

Şimdi dikkate alınacak olan, $ \\ sola [2 \\ times 2 \\ right] $ ve - kısmen büyüklükteki $ \\ sol [3 \\ Times 3 \\ Right] $ 'nın matrisleri için çok etkilidir. Ancak $ \\ sola [4 \\ times 4 \\ right] boyutundan bu yana, uygulamak daha iyidir. Neden - şimdi her şeyi kendin anlayacaksın.

Cebirsel eklentiler

Hazırlanmak. Şimdi acı olacak. Hayır, endişelenmeyin: bir etekte güzel bir hemşireniz yok, dantelli çoraplar ve kalçaya bir kök yapmaz. Her şey belirgindir: cebirsel eklentiler size ve Majesteleri "Union Matrix" e gidiyor.

Ana ile başlayalım. Elementlerin $ (((((A) _ (IJ)) $ olarak adlandırılan ((((((((((((((((a) _ (IJ)) $ değerinde belirtilen A \u003d \\ Sol [n \\ tims n \\ right] $ 'ın kare matrisi olmasına izin verin. Ardından, her bir element için, cebirsel bir ekleme tanımlayabilirsiniz:

Tanım. Cebirsel takviyesi $ ((((a) _ (ij)) $ 'a to Element $ ((a) _ (ij)) $ $ и и дрист ve $ j $ -M sütun Matrix $ a \u003d \\ sol [n \\ tims n \\ Right] $ türün tasarımıdır

\\ [(((A) _ (ij)) \u003d ((\\ sol (-1 \\ sağ)) ^ (i + j)) \\ CDOT M_ (IJ) ^ (*) \\]

NEREDE $ M_ (IJ) ^ (*) $, $ A $ 'den elde edilen matrisin belirleyicisidir, $-И $ string ve $-J $-j Sütun miktarını deneyin.

Tekrar. Koordinatları olan matris elemanına cebirsel ekleme, $ \\ sol (i; j \\ sağ) $ 'lık $ ((a) _ (IJ)) $ olarak belirtilir ve şemaya göre değerlendirilir:

1. İlk önce, $ I $'yi orijinal matris ve $ j $ sütunundan bitiririz. Yeni bir kare matris alıyoruz ve $ M_ (IJ) ^ (*) $ olarak adlandırıyoruz.
2. Sonra bu belirleyiciyi $ ile çarptık ((\\ sol (-1 \\ \\ sağ)) ^ (i + j)) $ - İlk başta bu ifade beyin fırtınası gibi görünebilir, ancak aslında sadece M_'yu ( ij) ^ (*) $.
3. Düşünüyoruz - belirli bir numarayı alıyoruz. Şunlar. Cebirsel takviyesi tam olarak sayıdır ve bir tür yeni matris, vb.

$ M_ (IJ) ^ (*) $ matrisi, $ bir öğeye ek bir küçük adlandırılır ((a) _ (IJ)) $. Ve bu anlamda, cebirsel bir eklemenin yukarıdaki tanımı, daha karmaşık bir tanımın özel bir vakasıdır - belirleyici hakkında ders içinde düşündüklerimiz.

Önemli bir açıklama. Aslında, "yetişkin" matematiğinde cebirsel eklemeler aşağıdaki gibi belirlenir:

1. $ K $ LINK ve $ K $ Sütun Matrisini alıyoruz. Kavşaklarında, $ \\ sola [K \\ Times k \\ right] $ 'nın matrisi elde edildi - determinant, $ K $' ın sırasına göre denir ve $ ((m) _ (k)) $ anlamına gelir.
2. Sonra bu "favori" $ k $ satırları ve $ k $ sütunları vurguluyoruz. Yine, kare matris açılır - belirleyicisi ek küçük denir ve $ M_ (K) ^ (*) $ anlamına gelir.
3. $ M_ (k) ^ (*) $ ile çarpın $ $ ((\\ sol (-1 \\ sağ)) ^ (t)) $, burada $ t $ (şimdi dikkat!) Seçilen tüm satırların ve sütunların sayısının sayısı . Bu bir cebirsel ek olacaktır.

Üçüncü adıma bir göz atın: Genelde 2K $ Koşullar Tutarı Var! Başka bir şey, $ k \u003d 1 $ için sadece 2 terim alacağız - bu aynı $ i + j $ olacak - "Koordinatlar" nın $ ((a) _ (ij)) aradığımız $ cebirsel bir ekleme için.

Böylece, bugün biraz basitleştirilmiş bir tanım kullanıyoruz. Ancak gelecekte göreceğimiz gibi, fazlasıyla yeterli olacaktır. Çok daha önemli aşağıdaki şeydir:

Tanım. Müttefik matris $ S $ kare matris $ a \u003d \\ to [n \\ tims n \\ right] $, $ 'dan bir $ değiştirme elde edilen $ \\ sol [n \\ tims n \\ right] $ matrisidir. $ (((a) _ (ij)) $ cebirsel takviyeleri $ (((a) _ (ij)) $:

\\\\ rightarrow s \u003d \\ sol [\\ başlar (matris) ((a) _ (11)) & ((a) _ (12)) & ... ε (a) _ (1n)) \\\\ ( ) _ (21)) & ((a) _ (22)) & ... & ((a) _ (2n)) \\\\ ... & ... & ... & ... \\\\ (A) _ (n1)) & ((a) _ (n2)) & ... _ ((a) _ (nn)) \\\\\\ ucu (matris) \\ sağ] \\]

Bu tanımın farkındalığı zamanında ortaya çıkan ilk fikir - "Bu, her şeyi ne kadar düşünmelisiniz!" Sakin ol: saymak gerekiyor, ama çok değil. :)

Bütün bunlar çok güzel, ama neden ihtiyacın var? Ama neden.

Temel teorem

Biraz geri dönelim. Unutmayın, Lemma 3'te, geri dönüşümlü matrisin birincisinin her zaman dejenere olmadığı iddia edildi (yani, belirleyicisi sıfırdan farklıdır: $ \\ Sol | A \\ sağ | \\ NE 0 $).

Yani, doğru ve tersi: Matris $ A $ dejenere değilse, her zaman geri dönüşümlüdür. Ve hatta bir arama şeması $ ((a) ^ (- 1)) $. Ödeme:

Theorem ters matris üzerinde. $ A \u003d \\ to sol [n \\ tims n \\ right] $ 'ın kare matrisine izin verin ve belirleyicisi sıfırdan farklıdır: $ \\ Sol | A \\ sağ | \\ n 0 $. Sonra ters matris $ ((a) ^ (- 1)) $ var ve formül tarafından değerlendirilir:

\\ [(((A) ^ (- 1)) \u003d \\ frac (1) (\\ Sol | a \\ sağ |) \\ CDOT ((S) ^ (t)) \\]

Ve şimdi - hepsi aynı, ancak kırık bir el yazısıyla. Ters bir matris bulmak için ihtiyacınız var:

1. Determinant $ \\ sola hesaplar | Bir \\ sağ | $ ve sıfırdan farklı olduğundan emin olun.
2. Müttefik bir matris olun $ S $, yani. 100.500 cebirsel eklemeleri hesaplayın $ (((a) _ (ij)) $ ((((((a) _ (ij)) $ 'a yerleştirin.
3. Bu matrisin $ S'yi devreye sokun ve sonra onu belirli bir numaraya çarpın $ q \u003d (1) / (\\ sol | a \\ sağ |) \\; $.

Ve hepsi bu! Ters Matrisi $ ((a) ^ (- 1)) $ bulundu. Örnelere bakalım:

\\ [\\ Sol [\\ başlar (matris) 3 & 1 \\\\ 5 & 2 \\ \\ ucu (matris) \\ sağ] \\]

Karar. Ters çevrilebilirliği kontrol edin. Belirleyiciyi hesaplayın:

\\ [\\ Sol | A \\ sağ | \u003d \\ Sol | \\ BAŞLAT (MATRIX) 3 & 1 \\\\ 5 & 2 \\ \\ end (MATRIX) \\ sağ | \u003d 3 \\ CDOT 2-1 \\ CDOT 5 \u003d 6-5 \u003d 1 \\]

Belirleyici sıfırdan farklıdır. Böylece matris geri dönüşümlüdür. Müttefik bir matris yapalım:

Cebirsel eklemeleri düşünün:

\\ [\\ başlar (hizalama) & ((a) _ (11)) \u003d ((Sol (-1 \\ sağ)) ^ (1 + 1)) \\ CDOT \\ Sol | 2 \\ sağ | \u003d 2; \\\\ & ((a) _ (12)) \u003d ((\\ sol (-1 \\ sağ)) ^ (1 + 2)) \\ CDOT \\ Sol | 5 \\ sağ | \u003d -5; \\\\ & ((a) _ (21)) \u003d ((\\ sol (-1 \\ sağ)) ^ (2 + 1)) \\ CDOT \\ Sol | 1 \\ sağ | \u003d -1; \\\\ ve ((a) _ (22)) \u003d ((\\ sol (-1 \\ sağ)) ^ (2 + 2)) \\ CDOT \\ Sol | 3 \\ sağ | \u003d 3. \\\\ \\ end (hizala) \\]

Lütfen Dikkat: Deterpetes | 2 |, | 5 |, | 1 | ve | 3 | - Bunlar, $ \\ Sol [1 \\ Times 1 \\ Right] $ 'ın boyutunun matrislerinin belirleyicileridir ve modülleri değil. Şunlar. Belirleyicilerde durursa negatif sayılar, "eksi" temizlemek gerekli değildir.

Toplam, sendika matrisi şöyle görünüyor:

\\ [(((A) ^ (- 1)) \u003d \\ frac (1) (\\ Sol | a \\ sağ |) \\ CDOT ((ler) ^ (t)) \u003d \\ frac (1) (1) \\ CDOT ( (\\ Sola [\\ başlar (dizi) (* (35) (r)) 2 & -5 \\\\ -1 ve 3 \\\\ \\ ucu (dizi) \\ sağ]) ^ (t)) \u003d \\ sol [\\ başlar (Dizi) (* (35) (R)) 2 & -1 \\\\ -5 ve 3 \\ \\ ucu (dizi) \\ sağ] \\]

Bu kadar. Görev çözüldü.

Cevap. $ \\ Sol [\\ BACE (dizi) (* (35) (R)) 2 & -1 \\\\ -5 ve 3 \\\\ \\ ucu (dizi) \\ sağ] $

Bir görev. Ters bir matris bulun:

\\ [\\ Sol [\\ BACAK (Dizi) (* (35) (R)) 1 & -1 ve 2 \\\\ 0 ve 2 & -1 \\\\ 1 ve 0 ve 1 \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ sağ] \\ ]

Karar. Tekrar belirleyiciyi düşünüyoruz:

\\ [\\ BACAK (HIGN) & \\ Sol | \\ BACAK (dizi) (* (35) (R)) 1 & -1 ve 2 \\\\ 0 & 2 & -1 \\\\ 1 ve 0 ve 1 \\ \\ ucu (dizi) \\ sağ | \u003d \\ BAŞLAT (MATRIX) \\ Sol (1 \\ CDOT 2 \\ CDOT 1+ \\ Sol (-1 \\ Right) \\ CDOT \\ Sol (-1 \\ sağ) \\ CDOT 1 + 2 \\ CDOT 0 \\ CDOT 0 \\ Right) - \\\\ - \\ Sol ( 2 \\ CDOT 2 \\ CDOT 1+ \\ Sol (-1 \\ sağ) \\ CDOT 0 \\ CDOT 1 + 1 \\ CDOT \\ Sol (-1 \\ sağ) \\ CDOT 0 \\ sağ) \\\\ \\ ucu (matris) \u003d \\ & \u003d \\ sol (2 + 1 + 0 \\ sağ) - \\ Sol (4 + 0 + 0 \\ sağ) \u003d - 1 \\ n0 0. \\\\ \\ ucu (hizala) \\]

Belirleyici sıfırdan farklıdır - matris geri dönüşümlüdür. Ancak şimdi en kalay olacak: 9 (dokuz, annesi!) Cebirik eklentileri kadar saymalıyım. Ve her biri belirleyici $ \\ Sol [2 \\ Times 2 \\ Right] $ içerecektir. Uçan:

\\ [\\ başlar (matris) ((a) _ (11)) \u003d ((\\ sol (-1 \\ sağ)) ^ (1 + 1)) \\ CDOT \\ Sol | \\ BACAK (MATRIX) 2 & -1 \\\\ 0 & 1 \\\\ end (MATRIX) \\ sağ | \u003d 2; \\\\ ((a) _ (12)) \u003d ((\\ sol (-1 \\ sağ)) ^ (1 + 2)) \\ CDOT \\ Sol | \\ BACAK (MATRIX) 0 & -1 \\\\ 1 ve 1 \\\\ end (MATRIX) \\ sağ | \u003d -1; \\\\ ((a) _ (13)) \u003d ((\\ sol (-1 \\ sağ)) ^ (1 + 3)) \\ CDOT \\ Sol | \\ BAŞLAT (MATRIX) 0 & 2 \\\\ 1 & 0 \\\\ end (MATRIX) \\ sağ | \u003d -2; \\\\ ... \\\\ ((a) _ (33)) \u003d ((\\ sol (-1 \\ sağ)) ^ (3 + 3)) \\ CDOT \\ Sol | \\ BACAK (MATRIX) 1 & -1 \\\\ 0 & 2 \\\\ \\ end (MATRIX) \\ sağ | \u003d 2; \\\\ \\ end (matrix) \\]

Kısacası, Müttefik matris şöyle görünecek:

Sonuç olarak, iade matrisi böyle olacak:

\\ [((A) ^ (- 1)) \u003d \\ Frac (1) (- 1) \\ CDOT \\ Sol [\\ BACE (MATRIX) 2 & -1 \\\\ 1 -3 ve 1 ve 2 \\ \\ ucu (matris) \\ sağ] \u003d \\ sol [\\ BACE (dizi) (* (35) (R)) - 2 & -1 & 3 \\\\ 1 & 1 & -1 \\ \\ 2 & 1 & -2 \\\\\\ end (dizi) \\ sağ] \\]

Hepsi bu. Cevap bu.

Cevap. $ \\ Sol [\\ BACE (Dizi) (* (35) (R)) -2 & -1 & 3 \\\\ 1 ve 1 ve -1 \\\\ 2 & 1 & -2 \\\\ end (dizi) \\ sağ] Dolar

Gördüğünüz gibi, her bir örneğin sonunda test edildi. Bu bağlamda, önemli bir not:

Kontrol etmek için tembel olmayın. İlk matrisin bulunduğu yere çarpın - $ e $ değeriniz.

Bu kontrolü daha kolay ve daha hızlı hale getirin, örneğin Matris denklemini çözdüğünüzde daha fazla hesaplamada bir hata araştırmak için.

Alternatif yol

Dediğim gibi, ters matris teoremi $ \\ sola [2 \\ times 2 \\ right] $ ve $ \\ sola [3 \\ Times 3 \\ Right] $ (in son durumda "Çok" güzel değil "değil), ancak büyük boyutların matrisleri için düz üzüntü başlar.

Ancak endişelenmeyin: en azından matris $ \\ sol [10 \\ Times 10 \\ Right] $ için sırtını sakince bulabileceğiniz bir alternatif algoritma var. Ancak, genellikle olduğu gibi, bu algoritmayı göz önünde bulundurmak için küçük bir teorik tanıtım sürecektir.

İlköğretim dönüşümleri

Her tür dönüşüm arasında, matrisin birkaç özelliğine sahiptir - temel olarak adlandırılır. Bu tür dönüşümler tam olarak üçdür:

1. Çarpma işlemi. $ İ $ satır (sütun) alabilir ve herhangi bir numaraya çarpabilirsiniz K \\ NE 0 $;
2. İlave. $ İ $ $ -river (sütun) adresine ekleyin Herhangi bir sayı $ J $ string (sütun), $ K \\ NE 0 $ (elbette ve $ k \u003d 0 $ olabilir, ama nokta ne? değişecek).
3. Permütasyon. $ -3 ve $ J $ -un satırları (sütunlar) alın ve yerleri takas edin.

Bu dönüşümlerin neden temel olarak adlandırılır (büyük matrisler için böyle bir temelde bakmazlar) ve neden sadece üçü var - bu sorular bugünün dersinin ötesine geçiyor. Bu nedenle, ayrıntılara girmeyeceğiz.

Başka bir şey önemlidir: tüm bu sapkınlıklar ekli matrisin üzerinde gerçekleştirilecektir. Evet, evet: Duymadın. Şimdi başka bir tanım olacak - bugünün dersinde son.

Ekli matris

Elbette okulda denklem sistemini ekleyerek çözdünüz. Orada, bir satırdan düşen, bir satırdan bir miktar satırın sayıya çarpın - bu hepsi budur.

Böylece: Şimdi her şey aynı olacak, ama zaten "yetişkin". Hazır?

Tanım. $ A \u003d \\ to stol [n \\ right] $ ve aynı büyüklükteki $ n $ değerinde tek bir matris matrisine izin verin. Sonra ekli matris $ \\ sola [a \\ Sol | E \\ sağ. \\ Right] $, buna benzeyen $ \\ sol [n \\ tims 2n \\ right] $ 'nın yeni bir matrisidir:

\\ [\\ Sol [a \\ Sol | E \\ sağ. \\ Sağ] \u003d \\ sol [\\ başlar (dizi) (rrrr | rrrr) ((a) _ (11)) & ((a) _ (12)) & ... & ((a) _ (1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\\\ ((a) _ (21)) ve ((a) _ (22)) & ... & ((a) _ (2N)) ve 0 ve 1 ve ... & 0 \\\\ ... & ... & ... & ... \\\\ ((a) _ (n1)) ve ((a) _ (n2)) & .. . _ ((a) _ (nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\ ucu (dizi) \\ sağ] \\]

Kısacası, Matrisi $ A $ alıyoruz, doğru boyutta, doğru büyüklüğün tek bir matrisini tek bir matris, güzellik için dikey bir özellik ile ayırıyoruz - eklediğiniz şey bu. :)

Amaç ne? Ama ne:

Teorem. Matrisin $ geri döndürmesine izin verin. Ekli matrisin $ \\ sola gelin [a \\ Sol | E \\ sağ. \\ Right] $. Yardıma göre İlköğretim Row Dönüşümleri type $ \\ sola [e \\ sola getirin | B \\ sağ. \\ Right] $, yani Bir $ Matrix $ E $ sağda bir $ Matrix $ e $ almak için dizeleri çarparak, çıkararak ve bastırarak, solda elde edilen $ B $ MATRIX $ A $:

\\ [\\ Sol [a \\ Sol | E \\ sağ. \\ Sağ] \\ to \\ sol [e \\ sol | B \\ sağ. \\ Right] \\ rurdenRrow b \u003d ((a) ^ (- 1)) \\]

Yani her şey basit! Kısacası, ters bir matris bulmak için algoritma şöyle görünür:

1. Ekli bir matris yazın $ \\ Sol [a \\ Sol | E \\ sağ. \\ Right] $;
2. Temel Dize Dönüştürülmesi, $ E $ $ A $ yerine, $
3. Tabii ki, solda, bir şey görünecek - bazı matris $ B $. Bu ters olacaktır;
4. KAR! :)

Tabii ki, yapılmadan çok daha kolay demek. Öyleyse birkaç örnek olduğunu düşünelim: $ \\ Sol [3 \\ Times 3 \\ Right] $ ve $ \\ Sol [4 \\ Times 4 \\ Right] $ 'dır.

Bir görev. Ters bir matris bulun:

\\ [\\ Sol [\\ BACAK (Dizi) (* (35) (R)) 1 & 5 ve 1 \\\\ 3 ve 2 ve 1 \\\\ 6 & -2 & 1 \\ \\ \\ \\ \\ 6 & -2 & 1 \\ \\]

Karar. Ekli bir matris yapın:

\\ [\\ Sol [\\ BACAK (Dizi) (RRR | RRR) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\\\ 3 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \\ Ucu (dizi) \\ sağ] \\]

Orijinal matrisin ikinci sütunu birimlerle doldurulduğundan, ilk dizgiyi diğerlerinden okuyun:

\\ [\\ BACAK (HIGNIGN) & \\ Sol [\\ BACAK (Dizi) (RRR | RRR) 1 & 5 & 1 ve 1 ve 0 & 0 \\\\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\\ \\ ucu (dizi) \\ sağ] \\ başlar (matris) \\ downarrow \\\\ -1 \\\\ -1 \\\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ to \\ to \\ to \\ to \\ [\\ BACE (Dizi) (RRR | RRR) 1 & 5 & 1 ve 0 & 0 & 0 \\\\ 2 & 0 \\ 3 & 0 & -7 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\\\ UN (dizi ) \\ Sağ] \\\\ \\ end (hizala) \\]

İlk satırdan başka birim yok. Ancak ona dokunmuyoruz, aksi halde üçüncü sütun birimleri "çarpmaya" başlayacak.

Ancak ikinci dizeyi en son iki kez çıkarabiliriz - sol alt köşedeki bir birim alıyoruz:

\\ [\\ BACAK (HIGNIGN) & \\ Sol [\\ BACAK (Dizi) (RRR | RRR) 1 & 5 & 1 & 0 & 0 \\\\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\\\ 5 & - 7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\ \\ ucu (dizi) \\ right] \\ BAŞLAT (MATRIX) \\\\\\\\ \\ Endarrow \\\\ -2 \\\\\\ end (matris) \\ \\ \\ \\ to \\ Başlangıç \u200b\u200b(dizi) (dizi) (RRR | RRR) 1 & 5 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\\\\ end (dizi) \\ sağ] \\\\ \\ end (hizala) \\]

Şimdi son satırı ikinci ve iki kez ikinciden çıkarabilirsiniz - bu yüzden ilk sütunu "ZAE" yapacağız:

\\ [\\ BACAK (HIGN) & \\ Sol [\\ BACAK (Dizi) (RRR | RRR) 1 & 5 & 1 ve 1 ve 0 & 0 \\\\ 2 & -3 ve 0 & -1 & 1 & 0 \\\\ 1 -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\ \\ ucu (dizi) \\ sağ] \\ başlar (Matrix) -1 \\\\ -2 \\\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ to \\\\ & \\ \\ Sol [\\ BACAK (Dizi) (RRR | RRR) 0 & 6 & 1 & 0 & 0 & -3 & 5 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & 1 ve -2 ve 1 \\ \\ ucu (dizi) \\ sağ] \\\\ \\ ucu (hizala) \\]

İkinci çizgiyi -1'e çarpacağım ve ardından ilkten 6 kez çıkaracağım ve sonuncuya 1 kez ekleyeceğim:

\\ [\\ BACAK (HIGN) & \\ Sol [\\ BACE (Dizi) (RRR | RRR) 0 & 6 & 1 & 0 & 0 & -1 \\\\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\\\\ end (dizi) \\ sağ] \\ BACAK (MATRIX) \\ \\ \\ Sol | \\ CDOT \\ Sol (-1 \\ sağ) \\ sağ. \\\\ \\ \\\\\\ \\ \\ \\ to \\ to \\ to \\ sol [\\ BACAK (dizi) (RRR | RRR) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\\\ 0 & 1 & 0 ve 3 & -5 & 2 \\\\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\ \\ ucu (dizi) \\ right] \\ BACAK (MATRIX) -6 \\\\ \\ upnownArow \\\\ +1 \\\\ \\ ucu ( Matrix) \\ to \\\\ & \\ to \\ to \\ to \\ to \\ to \\ to (dizi) (dizi) (dizi) (RRR | RRR) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\\\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\\ ucu (dizi) \\ \\ \\ end (hizala) \\]

Sadece satırları 1 ve 3 yer değiştirmek için kalır:

\\ [\\ Sol [\\ BACAK (Dizi) (RRR | RRR) 1 & 0 & 0 & 4 & 0 & 3 \\ 5 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 & - 18 ve 32 & -13 \\ ucu ( Dizi) \\ sağ] \\]

Hazır! Sağ - istenen ters matris.

Cevap. $ \\ sola [\\ başlar (dizi) (* (35) (R)) 4 & -7 & 3 \\\\ 3 ve -5 ve 2 \\\\ -18 ve 32 ve -13 \\ \\ \\ \\ -18 ve 32 Dolar

Bir görev. Ters bir matris bulun:

\\ [\\ Sol [\\ BACE (MATRIX) 1 & 4 & 2 & 3 \\\\ 1 & -2 & 1 & -2 \\\\ 1 ve -1 & 1 & 1 \\\\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\\ ucu (matris) \\ sağ] \\]

Karar. Tekrar ekli derlemiyoruz:

\\ [\\ Sol [\\ BACAK (Dizi) (RRRR | RRRR) 1 & 4 & 2 & 3 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \\ 1 & -1 & 1 & 1 ve 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ UN (dizi) \\ sağ] \\]

Biraz saldız, düşünmek için ne kadar gerekli olacağını ve saymaya başlayacağız. Başlamak için, ilk sütunu "sıfırlayın", satırın 1 ve 3'ün satırını çıkarma:

\\ [\\ BACAK (HIGN) & \\ Sol [\\ BACAK (Dizi) (RRRR | RRRR) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 ve 1 & 0 & 0 \\\\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\\\\ end (dizi) \\ Right] \\ BACAK (MATRIX) \\ SUFTARROW \\\\ -1 \\\\ -1 \\\\ \\ \\\\ \\ \\ \\ to \\ to \\ to \\ to \\ to \\ to \\ to \\ to \\ to \\ to \\ to \\ to \\ to \\ to \\ 4 & 0 \\\\ 0 & -6 & 0 & 0 \\ 5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & -1 & -2 & -1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 5 & 0 & 0 & 1 \\\\ \\ ucu (dizi) \\ sağ] \\ ucu (hizalama) \\]

2-4 satırlarında çok fazla "eksi" gözlemliyoruz. Üç satırın her üç satırını -1'de çarpın ve ardından üçüncü sütunu "puan", geri kalanından 3 olan bir dizgeyi sülfat eder:

\\ [\\ BACAK (HIGNIGN) & \\ Sol [\\ BACAK (Dizi) (RRRR | RRRR) 1 & 4 & 2 & 3 ve 1 ve 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 5 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ \\ \\ \\ \\ BACAK (MATRIX ) \\\\\\ \\ Sol | \\ CDOT \\ Sol (-1 \\ sağ) \\ sağ. \\\\ \\ Sol | \\ CDOT \\ Sol (-1 \\ sağ) \\ sağ. \\\\ \\ Sol | \\ CDOT \\ Sol (-1 \\ sağ) \\ sağ. \\\\ ucu (matris) \\ to \\\\ & \\ to \\ to \\ to \\ to \\ sol [\\ başlar (dizi) (dizi) (rrrr | rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 ve 1 ve 0 ve 0 \\\\ 0 ve 6 & 1 ve 5 & \u200b\u200b1 & -1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\\\ End (dizi) \\ sağ] \\ BACAK (MATRIX) -2 \\\\ -1 \\\\ \\ upownOrrow \\\\ -2 \\\\ \\ \\ \\ \\ to \\ to \\ to \\ to \\ to \\ to \\ to \\ to \\ to \\ to \\ to \\ to \\ to \\ to \\ to \\ to \\ to \\ to \\ & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 0 & -1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\\ end (dizi) \\ sağ] \\ ucu (hizala) \\]

Şimdi orijinal matrisin son sütununu "kızartma" zamanı: Hat 4'ü geri kalanından çıkardık:

\\ [\\ BACAK (HIGNIGN) & \\ Sol [\\ BACAK (Dizi) (RRRR | RRRR) 1 & -6 ve 0 ve -1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 -1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 ucu (dizi) \\ \\ \\ \\ \\ başlar (matris) +1 \\\\ -3 \\\\ -2 \\\\ \\ \\ \\ \\ \\\\ \\ \\ \\ -2 \\ \\ \\\\ & \\ to \\ to \\ to \\ to \\ to \\ to \\ to for [\\ BACAK (dizi) (RRRR | RRRR) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 0 & 3 \\\\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\\ end (dizi) \\ sağ] \\\\ \\ ucu (hizala) \\]

Son Atma: İkinci sütunu "yanmak", bir dize 2 satırından 1 ve 3'ten sülfat:

\\ [\\ Başlar (Hizala) & \\ Sol [\\ BACAK (Dizi) (RRRR | RRRR) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\\\ 0 & -5 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ \\ ucu (dizi) \\ sağ] \\ Başla (Matrix) 6 \\\\ \\ upownArrow \\\\ -5 \\\\ \\ \\\\ upownWarrow \\\\ -5 \\\\ \\ \\ \\ \\ \\ to \\ to \\ to \\ to \\ to \\ to \\ to \\ to \\ to \\ to \\ to \\ to \\ to \\ to \\ to \\ to \\ to \\ to \\ to \\ be 17 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 & 3 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 0 & 20 & 0 & 1 & -2 & 0 & 0 1 \\ \\ ucu (dizi) \\ sağ] \\ end (hizala) \\]

Ve tekrar solda, tek bir matris, sağa doğru demektir - tersi. :)

Cevap. $ \\ Sol [\\ BACAK (MATRIX) 33 & -6 & -26 & 17 \\\\ 6 & -1 & -5 & 3 \\\\ -25 ve 0 & 20 & -13 \\\\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\\\\ end (matrix) \\ right] $

Bu kadar. Kontrol et Kendini Yap - Hurdayım. :)

Dejeneratif olmayan herhangi bir matris için ve ayrıca tek bir matris A -1 de öyle

A * a -1 \u003d a -1 * a \u003d e,

e, e, A. Matris A -1'in tam olarak Matris A'ya çağrıldığı siparişlerin tek bir matrisidir.

Birisi unuttuysa, tek bir matriste, birimlerle dolu diyagonal hariç, diğer tüm pozisyonlar, tek bir matris örneği olan sıfırlarla doldurulur:

Ekli bir matris yöntemiyle ters matrisi bulma

Ters matris, formülle belirlenir:

nerede bir IJ - bir ij elementleri.

Şunlar. Ters matrisi hesaplamak için, bu matrisin belirleyicisini hesaplamanız gerekir. Daha sonra tüm elemanları için cebirsel takviyeler bulun ve yeni bir matris oluşturun. Sonra bu matrisi taşımanız gerekir. Ve yeni matrisin her bir elemanı, ilk matrisin belirleyicisine ayrılmıştır.

Birkaç örnek düşünün.

Matris için bir -1 bulun

R e n e e. ekli bir matris yöntemiyle bir -1 bulun. A \u003d 2 dedimiz var. Matrisin A elementlerinin cebirsel takviyelerini buluyoruz. Bu durumda, matris elemanlarının cebirsel ilaveleri, formüle göre bir işaretle birlikte alınan matrisin kendisinin karşılık gelen elemanları olacaktır.

11 \u003d 3, A 12 \u003d -4, A 21 \u003d -1, A 22 \u003d 2 var. Ekteki matris oluşturur

Matrisi A *:

Formül tarafından ters bir matris buluruz:

Alıyoruz:

A -1'i bulmak için ekli matrisin kullanılması

İlk önce, ters matrisin bulunduğundan emin olmak için bu matrisin tanımını hesaplarız. Sahip olmak

Burada, üçüncü çizginin ikinci satır elemanlarının unsurlarına ekledik, ön-açık (-1) ile çarpılır ve daha sonra determinant'u ikinci sıra üzerinden açıklar. Bu matrisin sıfırdan farklı olduğuna karar verdiğimizden, matrisin geri döndüğü için var. Ekli bir matris oluşturmak için, bu matrisin elemanlarına cebirsel eklemeler buluruz. Sahip olmak

Formüle göre

matrisi A *:

Sonra formüle göre

İlköğretim dönüşümleriyle ters matrisi bulma

Formül (bağlı bir matrisin yöntemi) oluşan bir ters matris bulma yöntemine ek olarak, temel dönüşümler olarak adlandırılan bir ters matrisi bulma yöntemi vardır.

İlköğretim dönüşüm matrisi

Matrisin temel dönüşümleri aşağıdaki dönüşümlerdir:

1) Dizelerin (sütunların) permütasyonu;

2) Dizenin (sütunun) çarpılması sıfırdan başka bir sayı ile;

3) Başka bir satırın (sütun) karşılık gelen elemanlarının (sütun), bir sayı ile çarpılmasını önleyen satır (sütun) öğelerine ekleyin.

Matrisini bulmak için bir -1 inşa ediyoruz dikdörtgen matris B \u003d (A | E) Siparişler (n; 2N), matrise ve sağ taraftaki matris E bir ayırma hattından atfedilen siparişler:

Bir örnek düşünün.

İlköğretim dönüşümleri yöntemi bir -1 bulmak için

Matrix B'yi oluşturan b:

Matris'in b dizesini α 1, α 2, α 3 ile belirtir. Matris dizeleri üzerinden aşağıdaki dönüşümü üretiyoruz.