Стаття присвячена розбору завдань 15 з профільного ЄДІз математики за 2017 рік. У цьому завданні школярам пропонують для вирішення нерівності, найчастіше логарифмічні. Хоча можуть бути і показові. У даній статті наводиться розбір прикладів логарифмічних нерівностей, В тому числі що містять змінну в підставі логарифма. Всі приклади взяті з відкритого банкузавдань ЄДІ з математики (профіль), так що подібні нерівності з великою ймовірністю можуть попастися вам на іспиті в якості завдання 15. Ідеально для тих, хто за коротких проміжок часу хоче навчитися вирішувати завдання 15 з другої частини профільного ЄДІ з математики, щоб отримати більше балів на іспиті.

Розбір завдань 15 з профільного ЄДІ з математики

У завданнях 15 ЄДІ з математики (профіль) часто зустрічаються логарифмічні нерівності. Рішення логарифмічних нерівностей починається з визначення області допустимих значень. В даному випадку в основі обох логарифмів немає змінної, є тільки число 11, що істотно спрощує завдання. Тому єдине обмеження, яке у нас тут є, полягає в тому, що обидва вирази, які стоять під знаком логарифма, позитивні:

Title = "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Перше нерівність в системі - це квадратне нерівність. Щоб його вирішити, нам би дуже не завадило розкласти ліву частинуна множники. Я думаю, ви знаєте, що будь-який квадратний тричлен виду розкладається на множники таким чином:

де і - корені рівняння. В даному випадку коефіцієнт дорівнює 1 (це числовий коефіцієнт, що стоїть перед). Коефіцієнт теж дорівнює 1, а коефіцієнт - це вільний член, він дорівнює -20. Коріння тричлена найпростіше визначити за теоремою Вієта. Рівняння у нас наведене, значить сума коренів і буде дорівнює коефіцієнту з протилежним знаком, тобто -1, а твір цих коренів дорівнюватиме коефіцієнту, тобто -20. Легко здогадатися, що коріння будуть -5 і 4.

Тепер ліву частину нерівності можна розкласти на множники: title = "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="163" style="vertical-align: -5px;"> Решаем это неравенство. График соответствующей функции — это парабола, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось !} Xв точках -5 і 4. Значить, дані рішення нерівності - це проміжок. Для тих, кому не зрозуміло, що тут написано, подробиці ви можете подивитися у відеоролику, починаючи з цього моменту. Там же ви знайдете докладне пояснення, як вирішується друга нерівність системи. Воно вирішується. Причому відповідь виходить точно таким же, як і для першого нерівності системи. Тобто записане вище безліч - це і є область допустимих значень нерівності.

Отже, з урахуванням розкладання на множники, вихідне нерівність набуває вигляду:

Використовуючи формулу, внесемо 11 в ступінь виразу, що стоїть під знаком першого логарифма, і перенесемо другий логарифм в ліву сторону нерівності, змінивши при цьому його знак на протилежний:

Після скорочення отримуємо:

Остання нерівність, в силу зростання функції, еквівалентно нерівності , Рішенням якого є проміжок . Залишилося перетнути його з областю допустимих значень нерівності, і це вийде відповідь до всього завданням.

Отже, шуканий відповідь до завдання має вигляд:

З цим завданням ми розібралися, тепер переходимо до наступного прикладу завдання 15 ЄДІ з математики (профіль).

Рішення починаємо з визначення області допустимих значень даного нерівності. В основі кожного логарифма повинно знаходитися додатне число, Яке не дорівнює 1. Всі висловлювання, які стоять під знаком логарифма повинні бути позитивними. У знаменнику дробу не повинно виявитися нуля. Остання умова еквівалентно тому, що, оскільки лише в іншому випадку обидва логарифма в знаменнику звертаються в нуль. Всі ці умови визначають область допустимих значень цієї нерівності, задано наступне системою нерівностей:

Title = "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com">!}

В області допустимих значень ми можемо використовувати формули перетворення логарифмів для того, щоб спростити ліву частину нерівності. За допомогою формули позбавляємося від знаменника:

Тепер у нас вийшли тільки логарифми з основою. Це вже зручніше. Далі використовуємо формулу, в також формулу для того, щоб привести вираз, що стоїть слава, до наступного вигляду:

При обчисленнях ми використовували те, що в області допустимих значень. Використовуючи заміну, приходимо до виразу:

Використовуємо ще одну заміну:. В результаті чого приходимо до наступного результату:

Отже, поступово повертаємося до вихідних змінним. Спершу до змінної:

ЄДІ з математики профільний рівень

Робота складається з 19 завдань.
Частина 1:
8 завдань з короткою відповіддю базового рівня складності.
Частина 2:
4 завдання з короткою відповіддю
7 завдань з розгорнутою відповіддю високого рівняскладності.

Час виконання - 3 години 55 хвилин.

Приклади завдань ЄДІ

Рішення завдань ЄДІ з математики.

Для самостійного рішення:

1 кіловат-годину електроенергії коштує 1 рубль 80 копійок.
Лічильник електроенергiї 1 листопада показував 12625 кіловат-годин, а 1 грудня показував 12802 кіловат-години.
Яку суму потрібно заплатити за електроенергію за листопад?
Відповідь дайте у рублях.

В обмінному пункті 1 гривня коштує 3 рубля 70 копійок.
Відпочиваючі обміняли рублі на гривні і купили 3 кг помідорів за ціною 4 гривні за 1 кг.
У скільки рублів обійшлася їм ця покупка? Відповідь округлите до цілого числа.

Маша відправила SMS-повідомлення з новорічними привітаннями своїм 16 друзям.
Вартість одного SMS-повідомлення 1 рубль 30 копійок. Перед відправкою повідомлення на рахунку у Маші було 30 рублів.
Скільки рублів залишиться у Маші після відправлення всіх повідомлень?

У школі є тримісні туристичні намети.
Яке найменше число наметів потрібно взяти в похід, в якому бере участь 20 осіб?

Поїзд Новосибірськ-Красноярськ відправляється о 15:20, а прибуває о 4:20 наступного дня (час московський).
Скільки годин потяг знаходиться в дорозі?

А чи знаєте ви, що?

Серед усіх фігур, з однаковим периметром, у кола буде сама велика площа. І навпаки, серед всіх фігур з однаковою площею, у кола буде найменший периметр.

Леонардо да Вінчі вивів правило, згідно з яким квадрат діаметра стовбура дерева дорівнює суміквадратів діаметрів гілок, взятих на загальну фіксовану висоті. Пізніші дослідження підтвердили його з однією лише відмінністю - ступінь у формулі необов'язково дорівнює 2, а лежить в межах від 1,8 до 2,3. Традиційно вважалося, що ця закономірність пояснюється тим, що у дерева з такою структурою оптимальний механізм постачання гілок поживними речовинами. Однак в 2010 році американський фізик Крістоф Еллою знайшов більш просте механічне пояснення феномену: якщо розглядати дерево як фрактал, то закон Леонардо мінімізує ймовірність зламу гілок під впливом вітру.

Лабораторні дослідження показали, що бджоли вміють вибирати оптимальний маршрут. Після локалізації розставлених в різних місцях квіток бджола робить обліт і повертається назад таким чином, що підсумковий шлях виявляється найкоротшим. Таким чином, ці комахи ефективно справляються з класичної «завданням комівояжера» з інформатики, на вирішення якої сучасні комп'ютери, в залежності від кількості точок, можуть витрачати не один день.

Одна знайома дама просила Ейнштейна подзвонити їй, але попередила, що номер її телефону дуже складно запам'ятати: - 24-361. Запам'ятали? Повторіть! Здивований Ейнштейн відповів: - Звичайно, запам'ятав! Дві дюжини і 19 в квадраті.

Стівен Хокінг - один з найбільших фізиків-теоретиків і популяризатор науки. В оповіданні про себе Хокінг згадав, що став професором математики, не отримуючи ніякого математичної освіти з часів середньої школи. Коли Хокінг почав викладати математику в Оксфорді, він читав підручник, випереджаючи власних студентів на два тижні.

Максимальне число, яке можна записати римськими цифрами, не порушуючи правил Шварцмана (правил запису римських цифр) - 3999 (MMMCMXCIX) - більше трьох цифр підряд писати не можна.

Відомо багато притч про те, як одна людина пропонує іншому розплатитися з ним за деяку послугу наступним чином: на першу клітку шахівниці той покладе одне рисове зернятко, на другу - два і так далі: на кожну наступну клітину вдвічі більше, ніж на попередню. В результаті той, хто розплачується таким чином, неодмінно розоряється. Це не дивно: підраховано, що загальна вага рису складе понад 460 мільярдів тонн.

У багатьох джерелах зустрічається твердження, що Ейнштейн завалив в школі математику або, більш того, взагалі вчився з рук геть погано з усіх предметів. Насправді все було не так: Альберт ще в ранньому віці почав проявляти талант в математиці і знав її далеко за межами шкільної програми.

ЄДІ 2020 по математиці завдання 15 з рішенням

демонстраційний варіант ЄДІ 2020 по математиці

ЄДІ з математики 2020 на форматі pdfБазовий рівень | профільний рівень

Завдання для підготовки до ЄДІ з математики: базовий і профільний рівень з відповідями і рішенням.

Математика: базовий | профільний 1-12 | | | | | | | | Головна

ЄДІ 2020 по математиці завдання 15

ЄДІ 2020 по математиці профільний рівень завдання 15 з рішенням

ЄДІ з математики завдання 15

Умова:

Вирішити нерівність:
log 2 ((7 -x 2 - 3) (7 -x 2 +16 -1)) + log 2 ((7 -x 2 -3) / (7 -x 2 +16 - 1))> log 2 ( 7 7-x 2 - 2) 2

Рішення:

Розбираємося з ОДЗ:
1. Вираз під першим знаком логарифма повинно бути більше нуля:
(7 (- (x 2)) - 3) (7 (- (x 2) + 16) -1)> 0

X 2 завжди менше або дорівнює нулю, отже,
7 (-x 2)< = 1, следовательно,
7 (-x 2) - 3< = -2 < 0

Значить, щоб перша умова на ОДЗ виконувалося, потрібно, щоб
7 (- (x 2) +16) - 1< 0
7 (- (x 2) +16)< 1 = 7 0
- (x 2) +16< 0
x 2> 16
x належить (до нескінченності; -4) U (4, + нескінченність)

2. Вираз під другим знаком логарифма повинно бути більше нуля. Але там результат буде такий же, як і в першому пункті, оскільки в дужках стоять однакові вирази.

3. Вираз під третім знаком логарифма повинно бути більше нуля.
(7 (7-x 2) -2) 2> 0
Це нерівність завжди справедливо, за винятком випадку, коли
7 (7-x 2) -2 = 0
7 (7-x 2) = 7 (log_7 (2))
7-x 2 = log_7 (2)
x 2 = 7 - log_7 (2)
x = (+ -) sqrt (7-log_7 (x))

Оцінимо, чому приблизно дорівнює sqrt (7-log_7 (x)).
1/3 = log_8 (2)< log_7(2) < log_4(2) = 1/2
2 = sqrt (4)< sqrt(7-1/2) < sqrt(7-log_7(2)) < sqrt(7-1/3) < sqrt(9) = 3

Тобто, умова x не дорівнює (+ -) sqrt (7-log_7 (x)) вже зайве, оскільки в п. (1) ми вже викинули з ОДЗ включає ці точки інтервал.

Отже, ще раз ОДЗ:
x належить (- нескінченність; -4) U (4, + нескінченність)

4. Тепер, користуючись властивостями логарифма, вихідне нерівність можна перетворити ось так:
log_2 ((7 (-x 2) - 3) 2)> log_2 ((7 (7 - x 2) - 2) 2)

Log_2 (x) - функція зростаюча, тому позбавляємося від логарифма, не змінюючи знак:
(7 (-x 2) -3) 2> (7 (7-x 2) -2) 2

Оцінимо зверху і знизу вираження (7 (-x 2) -3) 2і (7 (7-x 2) -2) 2, Беручи до уваги ОДЗ:

X 2< -16
0 < 7 (-x 2) < 1
-3 < 7 (-x 2) -3 < -2
4 < (7 (-x 2) -3) 2 < 9

X 2< -16
0 < 7 (7-x 2) < 1
-2 < 7 (-x 2) -2 < -1
1 < (7 (-x 2) -3) 2 < 4

Значить, нерівність виконується для будь-яких x, що належать ОДЗ.