ЕСЕ

„Пълно изследване на функция и начертаването й“.

ВЪВЕДЕНИЕ

Изучаването на свойствата на функция и начертаването на нейната графика е едно от най-прекрасните приложения на производната. Този начин на изследване на функцията е многократно подложен на внимателен анализ. Основната причина е, че в приложенията на математиката е трябвало да се справят с все по-сложни функции, които се появяват при изучаване на нови явления. Появиха се изключения от правилата, разработени от математиката, появиха се случаи, когато създадените правила изобщо не бяха подходящи, появиха се функции, които нямат производна в нито един момент.

Целта на изучаването на курса по алгебра и началото на анализа в 10-11 клас е системното изучаване на функциите, разкриването на приложната стойност на общите методи на математиката, свързани с изучаването на функциите.

Развитието на функционални представяния в хода на изучаване на алгебра и началото на анализа на старши етап помага на учениците от гимназията да получат визуално представяне на непрекъснатостта и прекъсванията на функциите, да научат за непрекъснатостта на всяка елементарна функция в областта на ​​нейното приложение, научават как да изграждат своите графики и обобщават информация за основните елементарни функции и осъзнават ролята им в изучаването на явленията от реалността, в човешката практика.

Възходяща и намаляваща функция

Решаването на различни задачи от областта на математиката, физиката и техниката води до установяване на функционална връзка между променливите, участващи в това явление.

Ако такава функционална зависимост може да бъде изразена аналитично, тоест под формата на една или повече формули, тогава става възможно да се изследва с помощта на математически анализ.

Това се отнася до възможността за изясняване на поведението на функция при промяна на определена променлива (къде функцията се увеличава, къде намалява, къде достига максимум и т.н.).

Прилагането на диференциалното смятане за изучаване на функция се основава на много проста връзка, която съществува между поведението на функция и свойствата на нейната производна, предимно нейните първа и втора производни.

Помислете как можете да намерите интервалите на увеличаване или намаляване на функция, тоест интервалите на нейната монотонност. Въз основа на дефиницията на монотонно намаляваща и нарастваща функция, можем да формулираме теореми, които ни позволяват да свържем стойността на първата производна на дадена функция с естеството на нейната монотонност.

Теорема 1.1. Ако функцията г = е ( х ) , диференцируема на интервала( а , б ) , нараства монотонно на този интервал, след това във всяка точка
( х ) >0; ако монотонно намалява, то във всяка точка от интервала ( х )<0.

Доказателство. Нека функциятаг = е ( х ) нараства монотонно с( а , б ) , Това означава, че за всеки достатъчно малък > 0, важи следното неравенство:

е ( х - ) < е ( х ) < е ( х + ) (фиг. 1.1).

Ориз. 1.1

Помислете за границата

.

Ако > 0, тогава > 0 ако< 0, то

< 0.

И в двата случая изразът под знака за граница е положителен, което означава, че границата е положителна, т.е. ( х )>0 , което трябваше да се докаже. По подобен начин се доказва и втората част на теоремата, която е свързана с монотонното намаляване на функцията.

Теорема 1.2. Ако функцията г = е ( х ) , непрекъснат на сегмента[ а , б ] и диференциран във всичките си вътрешни точки, и освен това, ( х ) >0 за всеки х ϵ ( а , б ) , то тази функция се увеличава монотонно с( а , б ) ; ако

( х ) <0 за всеки xϵ ( а , б ), тогава тази функция намалява монотонно с( а , б ) .

Доказателство. Да вземем ϵ ( а , б ) и ϵ ( а , б ) , и< . По теоремата на Лагранж

( ° С ) = .

Но ( ° С )>0 и > 0, така че ( > 0, т.е.

(. Полученият резултат показва монотонно нарастване на функцията, което трябваше да се докаже. Втората част на теоремата се доказва по подобен начин.

Функционални крайности

При изследването на поведението на функция особена роля играят точките, които отделят интервалите на монотонно нарастване един от друг от интервалите на монотонното й намаляване.

Определение 2.1. точка се нарича максимална точка на функцията

г = е ( х ) , ако има такъв, произволно малък , ( < 0 , а точка се нарича минимална точка, ако ( > 0.

Минималните и максималните точки имат общото име на точките на екстремум. Частично монотонна функция има краен брой такива точки на краен интервал (фиг. 2.1).

Ориз. 2.1

Теорема 2.1 (необходимо условие за съществуването на екстремум). Ако е диференцируем на интервала( а , б ) функцията има в точката от този интервал е максимумът, тогава неговата производна в тази точка е равна на нула. Същото може да се каже и за минималната точка .

Доказателството на тази теорема следва от теоремата на Рол, в която е показано, че в точките на минимум или максимум = 0, а допирателната, начертана към графиката на функцията в тези точки, е успоредна на остаOX .

Теорема 2.1 предполага, че ако функциятаг = е ( х ) има производна във всички точки, тогава може да достигне екстремум в тези точки, където = 0.

Това условие обаче не е достатъчно, тъй като има функции, за които определеното условие е изпълнено, но няма екстремум. Например функциятаг= в точката х = 0 производната е равна на нула, но в този момент няма екстремум. Освен това екстремумът може да бъде в онези точки, където производната не съществува. Например функциятаг = | х | има минимум в точкатах = 0 , въпреки че производната не съществува в този момент.

Определение 2.2. Точките, в които производната на функция изчезва или се прекъсва, се наричат ​​критични точки на дадената функция..

Следователно теорема 2.1 не е достатъчна за определяне на екстремални точки.

Теорема 2.2 (достатъчно условие за съществуването на екстремум). Нека функцията г = е ( х ) непрекъснато на интервала( а , б ) , която съдържа неговата критична точка , и е диференцируема във всички точки от този интервал, с възможно изключение на самата точка . Тогава, ако когато тази точка премине отляво надясно, знакът на производната се промени от плюс на минус, тогава това е максималната точка и, обратно, от минус до плюс, минималната точка.

Доказателство. Ако производната на функция промени знака си, когато точката премине от ляво на дясно от плюс до минус, след което функцията преминава от нарастваща към намаляваща, тоест достига до точката неговият максимум и обратно.

От горното схемата за изследване на функцията за екстремум следва:

1) намерете обхвата на функцията;

2) изчисляване на производната;

3) намиране на критични точки;

4) чрез промяна на знака на първата производна се определя тяхното естество.

Проблемът за изучаване на функция за екстремум не трябва да се бърка с проблема за определяне на минималните и максималните стойности на функция на сегмент. Във втория случай е необходимо да се намерят не само крайни точки на сегмента, но и да се сравнят със стойността на функцията в нейните краища.

Интервали на изпъкналост и вдлъбнатост на функция

Друга характеристика на графика на функциите, която може да бъде определена с помощта на производна, е нейната изпъкналост или вдлъбнатост.

Определение 3.1. Функция г = е ( х ) се нарича изпъкнал на интервала( а , б ) , ако неговата графика е разположена под всяка допирателна, начертана към нея на даден интервал, и обратно, се нарича вдлъбната, ако нейната графика е над всяка допирателна, начертана към нея на даден интервал.

Нека докажем теорема, която ни позволява да определим интервалите на изпъкналост и вдлъбнатост на функция.

Теорема 3.1. Ако във всички точки на интервала( а , б ) втора производна на функцията ( х ) е непрекъсната и отрицателна, тогава функциятаг = е ( х ) изпъкнала и обратно, ако втората производна е непрекъсната и положителна, тогава функцията е вдлъбната.

Извършваме доказателството за интервала на изпъкналост на функцията. Вземете произволна точкаϵ ( а , б ) и начертайте в тази точка допирателната към графиката на функциятаг = е ( х ) (фиг. 3.1).

Теоремата ще бъде доказана, ако се покаже, че всички точки от кривата на интервала( а , б ) лежат под тази допирателна. С други думи, необходимо е да се докаже, че за същите стойностих крива ординатиг = е ( х ) по-малко от ординатите на допирателната, проведена към него в точката .

Ориз. 3.1

За яснота обозначаваме уравнението на кривата: = е ( х ) , и уравнението на допирателната към него в точката :

- е ( ) = ( )( х - )

или

= е ( ) + ( )( х - ) .

Съставете разликатаи :

- = f(x) – f( ) - ( )(х- ).

Приложете към разликатае ( х ) – е ( ) Средната теорема на Лагранж:

- = ( )( х - ) - ( )( х - ) = ( х - )[ ( ) - ( )] ,

където ϵ ( , х ).

Нека сега приложим теоремата на Лагранж към израза в квадратни скоби:

- = ( )( - )( х - ) , където ϵ ( , ).

Както се вижда от фигурата,х > , тогава х - > 0 и - > 0 . Освен това, според хипотезата на теоремата, ( )<0.

Умножавайки тези три фактора, получаваме това , което трябваше да се докаже.

Определение 3.2. Точката, разделяща интервала на изпъкналост от интервала на вдлъбнатината, се нарича точка на прегъване..

От дефиниция 3.1 следва, че в дадена точка допирателната пресича кривата, тоест, от една страна, кривата се намира под допирателната, а от друга, отгоре.

Теорема 3.2. Ако в точката втора производна на функцията

г = е ( х ) е равно на нула или не съществува и при преминаване през точка знакът на втората производна се променя на противоположния, тогава тази точка е точката на прегъване.

Доказателството на тази теорема следва от факта, че знаците ( х ) от противоположните страни на точката различен. Това означава, че функцията е изпъкнала от едната страна на точката и вдлъбната от другата. В този случай, съгласно дефиниция 3.2, точката е точката на огъване.

Изследването на функцията за изпъкналост и вдлъбнатост се извършва по същата схема като изследването за екстремума.

4. Функционални асимптоти

В предишните параграфи бяха разгледани методи за изследване на поведението на функция с помощта на производна. Въпреки това, сред въпросите, отнасящи се до пълното изследване на функцията, има такива, които не са свързани с производната.

Така например е необходимо да се знае как се държи функцията, когато точката на нейната графика е безкрайно отстранена от началото. Такъв проблем може да възникне в два случая: когато аргументът на функцията отива до безкрайност и когато самата функция отива в безкрайност при прекъсването на втория вид в крайната точка. И в двата случая може да възникне ситуация, когато функцията клони към някаква права линия, наречена нейна асимптота.

Определение . Асимптота на графиката на функцияг = е ( х ) се нарича права линия, която има свойството, че разстоянието от графиката до тази права линия клони към нула с неограничено отстраняване на точката на графиката от началото.

Има два вида асимптоти: вертикални и наклонени.

Вертикалните асимптоти са правих = , които имат свойството графиката на функцията в тяхната околност да отива до безкрайност, тоест условието е изпълнено: .

Очевидно е, че тук е изпълнено изискването на посочената дефиниция: разстоянието от графиката на кривата до правата линиях = клони към нула, докато самата крива отива към безкрайност. Така че в точките на прекъсване от втория вид функциите имат вертикални асимптоти, напр.г= в точката х = 0 . Следователно дефинирането на вертикалните асимптоти на функция съвпада с намирането на точките на прекъсване от втория вид.

Наклонените асимптоти се описват с общото уравнение на права линия в равнина, т.е.г = kx + б . Следователно, за разлика от вертикалните асимптоти, тук е необходимо да се определят числатак и б .

Така че нека кривата = е ( х ) има наклонена асимптота, тоест когах точките на кривата са възможно най-близо до линията = kx + б (фиг. 4.1). Нека бъде М ( х , г ) е точка от кривата. Неговото разстояние от асимптотата ще се характеризира с дължината на перпендикуляра| MN | .

Как да изследваме функция и да начертаем нейната графика?

Изглежда, че започвам да разбирам душевното лице на лидера на световния пролетариат, автор на събрани произведения в 55 тома .... Дългото пътуване започна с елементарна информация за функции и графики, а сега работата по трудоемка тема завършва с естествен резултат - статия относно пълното изследване на функциите. Дългоочакваната задача е формулирана по следния начин:

Изследвайте функцията чрез методи на диференциалното смятане и въз основа на резултатите от изследването постройте нейната графика

Или накратко: разгледайте функцията и я начертайте.

Защо да изследвам?В прости случаи няма да ни е трудно да се справим с елементарни функции, начертайте графика, получена с помощта елементарни геометрични трансформациии т.н. Свойствата и графичните изображения на по-сложните функции обаче далеч не са очевидни, поради което е необходимо цялостно изследване.

Основните стъпки на решението са обобщени в референтния материал Схема за изследване на функциите, това е вашето ръководство за раздели. Манекените се нуждаят от поетапно обяснение на темата, някои читатели не знаят откъде да започнат и как да организират изследването, а напредналите студенти може да се интересуват само от няколко точки. Но който и да сте, скъпи посетителю, предложеното резюме с насоки към различни уроци ще ви ориентира и насочи в посоката, която ви интересува в най-кратки срокове. Роботите пророниха сълза =) Ръководството беше съставено под формата на pdf файл и зае достойното си място на страницата Математически формули и таблици.

Преди разбивах изучаването на функцията на 5-6 точки:

6) Допълнителни точки и графика въз основа на резултатите от изследването.

Що се отнася до крайното действие, мисля, че всички разбират всичко - ще бъде много разочароващо, ако след секунди то бъде зачертано и задачата бъде върната за преразглеждане. ПРАВИЛЕН И ТОЧЕН ЧЕРТЕЖ е основният резултат от решението! Много е вероятно да „прикрие“ аналитични пропуски, докато неправилен и/или небрежен график ще създаде проблеми дори при перфектно проведено проучване.

Трябва да се отбележи, че в други източници броят на изследователските елементи, редът на тяхното изпълнение и стилът на проектиране може да се различават значително от предложената от мен схема, но в повечето случаи това е напълно достатъчно. Най-простата версия на проблема се състои само от 2-3 стъпки и е формулирана по следния начин: „изследване на функцията с помощта на производната и графика“ или „изследване на функцията с помощта на 1-ва и 2-ра производна, графика“.

Естествено, ако друг алгоритъм е анализиран подробно във вашето учебно ръководство или вашият учител стриктно изисква да се придържате към неговите лекции, тогава ще трябва да направите някои корекции в решението. Не е по-трудно от смяната на вилица с лъжица за верижен трион.

Нека проверим функцията за четно/нечетно:

Това е последвано от шаблон за отписване:
, така че тази функция не е нито четна, нито нечетна.

Тъй като функцията е непрекъсната на , няма вертикални асимптоти.

Няма и наклонени асимптоти.

Забележка : Напомням ви, че по-високото ред на растежотколкото , така че крайната граница е точно " плюсбезкрайност."

Нека разберем как се държи функцията в безкрайност:

С други думи, ако отидем надясно, тогава графиката отива безкрайно много нагоре, ако отидем наляво, безкрайно много надолу. Да, има и две ограничения за едно вписване. Ако имате затруднения при дешифрирането на знаците, моля, посетете урока за безкрайно малки функции.

Така че функцията не се ограничава отгореи не се ограничава отдолу. Като се има предвид, че нямаме точки на прекъсване, става ясно и функционален диапазон: също е всяко реално число.

ПОЛЕЗНА ТЕХНИКА

Всяка стъпка от задачата носи нова информация за графиката на функцията, така че в хода на решението е удобно да се използва един вид Оформление. Нека начертаем декартова координатна система върху черновата. Какво се знае със сигурност? Първо, графиката няма асимптоти, следователно няма нужда да се чертаят прави линии. Второ, знаем как се държи функцията в безкрайност. Според анализа правим първото приближение:

Имайте предвид, че на практика приемственоствключена функция и факта, че графиката трябва да пресича оста поне веднъж. Или може би има няколко пресечни точки?

3) Нули на функцията и интервали с постоянен знак.

Първо, намерете пресечната точка на графиката с оста y. Просто е. Необходимо е да се изчисли стойността на функцията, когато:

Наполовина над морското равнище.

За да намерите точките на пресичане с оста (нулите на функцията), трябва да решите уравнението и тук ни очаква неприятна изненада:

Накрая дебне свободен член, което значително усложнява задачата.

Такова уравнение има поне един реален корен и най-често този корен е ирационален. В най-лошата приказка ни очакват три малки прасенца. Уравнението е разрешимо с помощта на т.нар Формулите на Кардано, но увреждането на хартията е сравнимо с почти цялото изследване. В това отношение е по-разумно устно или на чернова да се опитате да вземете поне един цялакорен. Нека проверим дали тези числа са:
- не пасва;
- има!

Тук е късмет. В случай на неуспех, можете също да тествате и, и ако тези числа не отговарят, тогава се опасявам, че има много малко шансове за печелившо решение на уравнението. Тогава е по-добре напълно да пропуснете точката на изследване - може би нещо ще стане по-ясно на последната стъпка, когато ще пробият допълнителни точки. И ако коренът (корените) са очевидно „лоши“, тогава е по-добре да мълчите за интервалите на постоянство на знаците и по-точно да завършите чертежа.

Имаме обаче красив корен, така че разделяме полинома без остатък:

Алгоритъмът за разделяне на полином на полином е разгледан подробно в първия пример от урока. Сложни граници.

В резултат на това лявата страна на оригиналното уравнение се разширява в продукт:

А сега малко за здравословния начин на живот. Разбира се, че разбирам това квадратни уравнениятрябва да се решава всеки ден, но днес ще направим изключение: уравнението има два реални корена.

На числовата права изобразяваме намерените стойности и интервален методдефинирайте знаците на функцията:


og По този начин на интервалите диаграма разположена
под оста x и на интервали - над тази ос.

Получените констатации ни позволяват да прецизираме нашето оформление, а второто приближение на графиката изглежда така:

Моля, имайте предвид, че функцията трябва да има поне един максимум на интервала и поне един минимум на интервала. Но не знаем колко пъти, къде и кога ще се „навие“ графикът. Между другото, една функция може да има безкрайно много крайности.

4) Увеличаване, намаляване и екстремуми на функцията.

Нека намерим критичните точки:

Това уравнение има два реални корена. Нека ги поставим на числовата права и да определим знаците на производната:


Следователно функцията се увеличава с и намалява с .
В момента, в който функцията достигне своя максимум: .
В момента, в който функцията достигне своя минимум: .

Установените факти въвеждат нашия шаблон в доста твърда рамка:

Излишно е да казвам, че диференциалното смятане е мощно нещо. Нека най-накрая се заемем с формата на графиката:

5) Изпъкналост, вдлъбнатост и точки на огъване.

Намерете критичните точки на втората производна:

Нека дефинираме знаците:


Графиката на функциите е изпъкнала на и вдлъбната на . Нека изчислим ординатата на точката на огъване: .

Почти всичко се изясни.

6) Остава да се намерят допълнителни точки, които ще помогнат за по-точното изграждане на графика и извършване на самотест. В този случай те са малко, но няма да пренебрегнем:

Нека изпълним чертежа:

Точката на прегъване е маркирана в зелено, допълнителните точки са маркирани с кръстчета. Графиката на кубичната функция е симетрична спрямо нейната точка на прегъване, която винаги се намира точно в средата между максимума и минимума.

В хода на заданието дадох три хипотетични междинни чертежи. На практика е достатъчно да начертаете координатна система, да маркирате намерените точки и след всяка точка от изследването мислено да разберете как може да изглежда графиката на функцията. Няма да е трудно за студенти с добро ниво на подготовка да извършат такъв анализ само в ума си, без да включват чернова.

За самостоятелно решение:

Пример 2

Разгледайте функцията и изградете графика.

Тук всичко е по-бързо и по-забавно, приблизителен пример за завършване в края на урока.

Много тайни се разкриват от изучаването на дробни рационални функции:

Пример 3

Използвайки методите на диференциалното смятане, изследвайте функцията и въз основа на резултатите от изследването постройте нейната графика.

Решение: първият етап на изследването не се различава по нищо забележително, с изключение на дупка в областта на дефиницията:

1) Функцията е дефинирана и непрекъсната на цялата числова права с изключение на точката, домейн: .

, така че тази функция не е нито четна, нито нечетна.

Очевидно функцията е непериодична.

Графиката на функцията се състои от два непрекъснати клона, разположени в лявата и дясната полуравнина - това е може би най-важното заключение на 1-ви параграф.

2) Асимптоти, поведението на функция в безкрайност.

а) С помощта на едностранни граници изучаваме поведението на функцията близо до подозрителната точка, където вертикалната асимптота трябва ясно да бъде:

Всъщност функциите издържат безкрайна празнинав точката
а правата линия (ос) е вертикална асимптотаграфични изкуства.

б) Проверете дали съществуват наклонени асимптоти:

Да, линията е наклонена асимптотаграфики, ако .

Няма смисъл да се анализират границите, тъй като вече е ясно, че функцията в прегръдка със своята наклонена асимптота не се ограничава отгореи не се ограничава отдолу.

Втората точка от изследването донесе много важна информация за функцията. Нека направим груба скица:

Заключение № 1 се отнася до интервали на постоянство на знака. При "минус безкрайност" графиката на функцията е уникално разположена под оста x, а при "плюс безкрайност" е над тази ос. В допълнение, едностранните граници ни казаха, че както отляво, така и отдясно на точката, функцията също е по-голяма от нула. Моля, имайте предвид, че в лявата полуравнина графиката трябва да пресече оста x поне веднъж. В дясната полуравнина може да няма нули на функцията.

Заключение № 2 е, че функцията се увеличава на и вляво от точката (върви „отдолу нагоре“). Вдясно от тази точка функцията намалява (върви „отгоре надолу“). Десният клон на графиката със сигурност трябва да има поне един минимум. Отляво крайностите не са гарантирани.

Заключение № 3 дава достоверна информация за вдлъбнатината на графиката в близост до точката. Засега не можем да кажем нищо за изпъкналост/вдлъбнатост в безкрайност, тъй като линията може да бъде притисната към своята асимптота както отгоре, така и отдолу. Най-общо казано, има аналитичен начин да разберете това точно сега, но формата на „безплатната“ графика ще стане по-ясна на по-късен етап.

Защо толкова много думи? За да контролирате следващите точки на изследване и да избегнете грешки! По-нататъшните изчисления не трябва да противоречат на направените заключения.

3) Точки на пресичане на графиката с координатните оси, интервали с постоянен знак на функцията.

Графиката на функцията не пресича оста.

Използвайки интервалния метод, ние определяме знаците:

, ако ;
, ако .

Резултатите от параграфа са в пълно съответствие със Заключение №1. След всяка стъпка погледнете черновата, мислено се обърнете към изследването и завършете изчертаването на графиката на функцията.

В този пример числителят е разделен член по член от знаменателя, което е много полезно за диференциране:

Всъщност това вече е направено при намирането на асимптоти.

- критична точка.

Нека дефинираме знаците:

увеличава с и намалява до

В момента, в който функцията достигне своя минимум: .

Нямаше разминавания и със Заключение № 2 и най-вероятно сме на прав път.

Това означава, че графиката на функцията е вдлъбната в цялата област на дефиниране.

Отлично - и не е нужно да рисувате нищо.

Няма преклонни точки.

Вдлъбнатината е в съответствие със Заключение № 3, освен това показва, че в безкрайност (и там, и там) графиката на функцията се намира по-високнеговата наклонена асимптота.

6) Съвестно ще закрепим задачата с допълнителни точки. Тук трябва да се потрудим, защото знаем само две точки от изследването.

И снимка, която вероятно мнозина отдавна са изпратили:

В хода на заданието трябва да се внимава да няма противоречия между етапите на изследването, но понякога ситуацията е спешна или дори отчаяно задънена. Тук анализите "не се сближават" - и това е всичко. В този случай препоръчвам аварийна техника: намираме възможно най-много точки, принадлежащи на графиката (колко търпение е достатъчно), и ги маркираме в координатната равнина. Графичният анализ на намерените стойности в повечето случаи ще ви каже къде е истината и къде е лъжата. Освен това графиката може да бъде предварително изградена с помощта на някаква програма, например в същия Excel (ясно е, че това изисква умения).

Пример 4

Използвайки методите на диференциалното смятане, изследвайте функцията и изградете нейната графика.

Това е пример "направи си сам". При него самоконтролът се засилва от равномерността на функцията – графиката е симетрична спрямо оста и ако нещо във вашето изследване противоречи на този факт, потърсете грешка.

Четна или нечетна функция може да бъде изследвана само за , и след това може да се използва симетрията на графиката. Това решение е оптимално, но според мен изглежда много необичайно. Лично аз разглеждам цялата числова ос, но все още намирам допълнителни точки само вдясно:

Пример 5

Направете цялостно проучване на функцията и начертайте нейната графика.

Решение: втурна се силно:

1) Функцията е дефинирана и непрекъсната на цялата реална линия: .

Това означава, че тази функция е нечетна, нейната графика е симетрична по отношение на началото.

Очевидно функцията е непериодична.

2) Асимптоти, поведението на функция в безкрайност.

Тъй като функцията е непрекъсната на , няма вертикални асимптоти

За функция, съдържаща експонента, обикновено отделноизучаването на "плюс" и "минус безкрайност", обаче животът ни се улеснява само от симетрията на графиката - или има асимптота отляво и отдясно, или не е. Следователно и двете безкрайни граници могат да бъдат подредени под един запис. В хода на решението използваме Правилото на L'Hopital:

Правата линия (ос) е хоризонталната асимптота на графиката при .

Обърнете внимание как умело избегнах пълния алгоритъм за намиране на наклонената асимптота: границата е съвсем законна и изяснява поведението на функцията в безкрайност, а хоризонталната асимптота беше намерена „като ли по едно и също време“.

От непрекъснатостта нататък и наличието на хоризонтална асимптота следва, че функцията ограничен отгореи ограничени отдолу.

3) Точки на пресичане на графиката с координатните оси, интервали на постоянство.

Тук също съкращаваме решението:
Графиката минава през началото.

Няма други пресечни точки с координатните оси. Освен това интервалите на постоянство са очевидни и оста не може да бъде начертана: , което означава, че знакът на функцията зависи само от „x“:
, ако ;
, ако .

4) Увеличаване, намаляване, екстремуми на функцията.


са критични точки.

Точките са симетрични около нулата, както трябва да бъде.

Нека дефинираме знаците на производната:


Функцията се увеличава на интервала и намалява на интервалите

В момента, в който функцията достигне своя максимум: .

Поради имота (странност на функцията) минимумът може да бъде пропуснат:

Тъй като функцията намалява на интервала , тогава, очевидно, графиката се намира на "минус безкрайност" подсъс своята асимптота. На интервала функцията също намалява, но тук е обратното - след преминаване през максималната точка, линията се приближава към оста отгоре.

От горното следва също, че графиката на функцията е изпъкнала при „минус безкрайност” и вдлъбната при „плюс безкрайност”.

След тази точка от изследването е начертана и площта на стойностите на функцията:

Ако имате погрешно разбиране по някакви точки, още веднъж ви призовавам да начертаете координатни оси в тетрадката си и с молив в ръцете си да анализирате повторно всеки извод от заданието.

5) Изпъкналост, вдлъбнатост, флексия на графиката.

са критични точки.

Симетрията на точките е запазена и най-вероятно не грешим.

Нека дефинираме знаците:


Графиката на функцията е изпъкнала на и вдлъбнат на .

Потвърдена е изпъкналост/вдлъбнатост на екстремни интервали.

Във всички критични точки има изкривявания в графиката. Нека намерим ординатите на точките на прегъване, като отново намаляваме броя на изчисленията, използвайки нечетността на функцията: