теоретичен материал. §6 Частни производни на комплексни функции на няколко променливи Решение на комплексни частни производни

1°. Случай на една независима променлива. Ако z=f(x,y) е диференцируема функция на аргументите x и y, които от своя страна са диференцируеми функции на независимата променлива т: , след това производната на комплексната функция може да се изчисли по формулата

Пример. Намерете дали, къде.

Решение. Съгласно формула (1) имаме:

Пример. Намерете частичната производна и общата производна, ако .

Решение. .

Въз основа на формула (2) получаваме .

2°. Случаят на няколко независими променливи.

Нека бъде z=f(х;y) -функция на две променливи хи y,всяка от които е функция на независимата променлива t : x =х (t), y =y (т).В този случай функцията z=f(х (т);y (т))е сложна функция на една независима променлива т;променливи x и y са междинни променливи.

Теорема. Ако z == е(х; y) -диференцируеми в дадена точка M(x; y)дфункция и х =х (т)и в =y (т) -диференцируеми функции на независимата променлива т,след това производната на комплексната функция z(т) == е(х (т);y (т))изчислено по формулата

Специален случай:z = f(х; y),където y = y(x),тези. z= f(х;y (х)) -комплексна функция на една независима променлива Х.Този случай се свежда до предишния и ролята на променливата тиграе Х.Съгласно формула (3) имаме:

.

Последната формула се нарича формули за общата производна.

общ случай:z = f(х;y),където х =х (u ;v),y=y (u ;v).Тогава z = f(х (u ;v);y (u ;v))-сложна функция на независими променливи ии v.Неговите частични производни и могат да бъдат намерени с помощта на формула (3), както следва. Поправяне v,заместваме в него със съответните частни производни

Така че производната на съставната функция (z) по отношение на всяка независима променлива (ии v)е равно на сумата от произведения на частични производни на тази функция (z) по отношение на нейните междинни променливи (x и y)на техните производни по отношение на съответната независима променлива (u и v).

Във всички разглеждани случаи, формулата

(свойство на инвариантност на общия диференциал).

Пример. Намерете и ако z = е(x,y), където x =uv, .

Решение. Прилагайки формули (4) и (5), получаваме:

Пример. Покажете, че функцията удовлетворява уравнението .

Решение. Функцията зависи от x и y чрез междинен аргумент, така че

Замествайки частните производни в лявата страна на уравнението, имаме:

Тоест, функцията z удовлетворява даденото уравнение.

Производна в дадена посока и градиент на функция

1°. Производна на функция в дадена посока. производнофункции z= е(x,y) в тази посокаНаречен , където и са стойностите на функцията в точките и . Ако функцията z е диференцируема, тогава формулата

къде са ъглите между посоката ли съответните координатни оси. Производната в дадена посока характеризира скоростта на промяна на функцията в тази посока.

Пример. Намерете производната на функцията z \u003d 2x 2 - Zu 2 в точката P (1; 0) в посоката, която прави ъгъл от 120 ° с оста OX.

Решение. Нека намерим частните производни на тази функция и техните стойности в точката P.

Пример. Намерете дали, къде.

Решение. Съгласно формула (1) имаме:

Пример. Намерете частичната производна и общата производна, ако .

Решение. .

Въз основа на формула (2) получаваме .

2°. Случаят на няколко независими променливи.

Нека бъде z = f(x;y) -функция на две променливи хи y,всяка от които е функция

независима променлива t: x = x(t), y = y(t).В този случай функцията z=f(x(t);y(t))е

комплексна функция на една независима променлива т;променливи x и y са междинни променливи.

Теорема. Ако z == е(х; y) -диференцируеми в дадена точка M(x; y) Dфункция

и x = x(t)и в =y(t) -диференцируеми функции на независимата променлива т,

след това производната на комплексната функция z(t) == е(x(t);y(t))изчислено по формулата

(3)

Специален случай: z = f(x; y),където y = y(x),тези. z= f(x;y(x)) -сложна функция на

независима променлива Х.Този случай се свежда до предишния и ролята на променливата

тиграе Х.Съгласно формула (3) имаме:

.

Последната формула се нарича формули за общата производна.

Общ случай: z = f(x;y),където x = x(u;v), y=y(u;v).Тогава z = f(x(u;v);y(u;v)) -комплекс

функция на независими променливи ии v.Неговите частни производни могат да бъдат намерени

използвайки формула (3), както следва. Поправяне v,заменете в него

съответните частни производни

Така че производната на съставната функция (z) по отношение на всяка независима променлива (ии v)

е равна на сбора от произведения на частни производни на тази функция (z) по отношение на нейното междинно съединение

променливи (x и y)на техните производни по отношение на съответната независима променлива (u и v).

Във всички разглеждани случаи, формулата

(свойство на инвариантност на общия диференциал).

Пример. Намерете и ако z= е(x,y), където x=uv, .

§ 5. Частни производни на комплексни функции. диференциали на сложни функции

1. Частни производни на комплексна функция.

Нека е функция от две променливи, чиито аргументи и , сами по себе си са функции на две или повече променливи. Например, нека
,
.

Тогава ще сложна функция независими променливи и , променливи и ще бъде за него междинни променливи. В този случай как да намерите частните производни на функция по отношение на и ?

Човек, разбира се, може да се изрази директно чрез и :

и потърсете частични производни на получената функция. Но изразът може да бъде много сложен и намирането на частни производни , тогава ще са необходими много усилия.

Ако функции
,
,
са диференцируеми, след което намерете и може да се направи, без да се прибягва до пряк израз чрез и . В този случай формулите ще бъдат валидни

(5.1)

Наистина, ние даваме аргумента увеличение
, – конст. След това функциите
и ще получи увеличения

и функцията ще бъде увеличена

където , са безкрайно малки при
,
. Разделете всички условия на последното равенство на . Получаваме:

Тъй като функциите и са диференцируеми по предположение, те са непрекъснати. Следователно, ако
, след това и . И така, преминавайки в последното равенство до предела в, получаваме:

(тъй като , са безкрайно малки за , ).

Второто равенство в (5.1) се доказва по подобен начин.

ПРИМЕР. Нека бъде
, където
,
. Тогава е сложна функция от независими променливи и . За да намерим неговите частни производни, използваме формула (5.1). Ние имаме

Замествайки в (5.1), получаваме

,

Формулите (5.1) естествено се обобщават за случая на функция с по-голям брой независими и междинни аргументи. А именно, ако

………………………

и всички разглеждани функции са диференцируеми, тогава за всяка
има равенство

Възможно е също така аргументите на функцията да са функции само на една променлива, т.е.

,
.

Тогава ще бъде сложна функция само от една променлива и може да се постави въпросът за намиране на производната . Ако функциите
,
са диференцируеми, то може да се намери по формулата
(5.2)

ПРИМЕР. Нека бъде
, където
,
. Ето сложна функция на една независима променлива. Използвайки формула (5.2), получаваме

.

И накрая, случаят е възможен, когато ролята на независимата променлива се играе от , т.е. ,

където
.

След това от формула (5.2) получаваме

(5.3)

(като
). Производна , стоящ във формулата (5.3) вдясно е частната производна на функцията по отношение на . Изчислява се с фиксирана стойност от . Производна от лявата страна на формула (5.3) се извиква обща производна на функцията . При изчисляването му се взема предвид, че зависи по два начина: директно и чрез втория аргумент .

ПРИМЕР. Намерете и за функция
, където
.

Ние имаме
.

За намиране използваме формула (5.3). Вземи

.

И за да завършим този подраздел, отбелязваме, че формулите (5.2) и (5.3) могат лесно да бъдат обобщени за случая на функции с голям брой междинни аргументи.

2. Диференциал на комплексна функция.

Припомнете си, че ако

е диференцируема функция на две независими променливи, тогава по дефиниция

, (5.4)

или в друга форма
. (5.5)

Предимството на формула (5.5) е, че тя остава вярна дори когато е сложна функция.

Наистина, нека , къде , . Да приемем, че функциите , , са диференцируеми. Тогава комплексната функция също ще бъде диференцируема и общият й диференциал по формула (5.5) ще бъде равен на

.

Прилагайки формула (5.1) за изчисляване на частните производни на комплексна функция, получаваме

Тъй като общите диференциали на функциите и са в скоби, най-накрая имаме

И така, видяхме, че както в случай, когато и са независими променливи, така и в случай, когато и са зависими променливи, диференциалът на функцията може да бъде записан във формата (5.5). В тази връзка тази форма на запис на общия диференциал се нарича инвариантна . Формата на запис на диференциала, предложена в (5.4), няма да бъде инвариантна; ​​може да се използва само когато и са независими променливи. Формата на запис на диференциала също няма да бъде инвариантна -та поръчка. Припомнете си, че по-рано показахме, че диференциалът на реда функциите на две променливи могат да бъдат намерени по формулата

. (4.12)

Но ако и не са независими променливи, тогава формула (4.12) за
престава да е истина.

Очевидно е, че всички аргументи, извършени в този подраздел за функция от две променливи, могат да се повторят в случай на функция с повече аргументи. Следователно за функция диференциалът може да бъде записан и в две форми:

където втората нотация ще бъде инвариантна, т.е. справедливо дори и да
не са независими променливи, а междинни аргументи.

§ 6. Диференциране на имплицитни функции

Говорейки за методите за дефиниране на функция от една и няколко променливи, ние отбелязахме, че аналитичната дефиниция на функция може да бъде изрична или имплицитна. В първия случай стойността на функцията се намира от известните стойности на аргументите; във втория, стойността на функцията и нейните аргументи са свързани с някакво уравнение. Въпреки това, ние не уточнихме кога уравненията

и

дефинират имплицитно дефинирани функции и респ. Удобни достатъчни условия за съществуване на имплицитна функция променливи (
) се съдържат в следната теорема.

ТЕОРЕМА6.1 . (съществуването на имплицитна функция) Нека функцията
и неговите частни производни
са определени и непрекъснати в някаква околност на точката. Ако
и
, значи има такъв квартал точката, в която уравнението

дефинира непрекъсната функция и

1) Помислете за уравнението
. Условията на теоремата са изпълнени, например, във всяка околност на точката
. Следователно, в някакъв квартал на точката
това уравнение се дефинира като имплицитна функция на две променливи и . Ясен израз за тази функция е лесно да се получи чрез решаване на уравнението за:

2) Помислете за уравнението
. Той дефинира две функции на две променливи и . Всъщност условията на теоремата са изпълнени, например, във всяка околност на точката

, в която даденото уравнение дефинира непрекъсната функция, която приема стойността в точката
.

От друга страна, условията на теоремата са изпълнени във всяка околност на точката
. Следователно, в някаква околност на точката, уравнението дефинира непрекъсната функция, която приема стойността в точката
.

Тъй като функцията не може да приеме две стойности в една точка, това означава, че тук говорим за две различни функции.
и съответно. Нека намерим техните изрични изрази. За да направим това, ние решаваме оригиналното уравнение по отношение на . Вземи

3) Помислете за уравнението
. Очевидно е, че условията на теоремата са изпълнени във всяка околност на точката
. Следователно има такова съседство на точката
, в която уравнението се дефинира като имплицитна функция на променливата . Невъзможно е да се получи изричен израз за тази функция, тъй като уравнението не може да бъде решено по отношение на .

4) Уравнение
не дефинира никаква имплицитна функция, тъй като няма такива двойки реални числа и които я удовлетворяват.

Функция
, дадено от уравнението
, съгласно теорема 6.1, има непрекъснати частни производни по отношение на всички аргументи в съседство на точката. Нека разберем как можете да ги намерите, без да имате изрична дефиниция на функцията.

Нека функцията
удовлетворява условията на теорема 6.1. След това уравнението
непрекъсната функция
. Помислете за сложна функция
, където . Функцията е сложна функция на една променлива и if
, тогава

(6.1)

От друга страна, съгласно формула (5.3), да се изчисли общата производна
(6.2)

От (6.1) и (6.2) получаваме, че ако , тогава

(6.3)

Коментирайте.Разделете на е възможно, тъй като според теорема 6.1
във всяка точка в квартала.

ПРИМЕР. Намерете производната на неявната функция, дадена от уравнението и изчислете нейната стойност при
.

,
.

Замествайки частичните производни във формула (6.3), получаваме

.

Освен това, замествайки в оригиналното уравнение, намираме две стойности:
и
.

Следователно, в съседство на точка, уравнението дефинира две функции:
и
, където
,
. Техните производни при ще бъдат равни

и
.

Сега нека уравнението
дефинира в някаква околност на точката
функция . Да намерим. Припомнете си, че всъщност това е обикновената производна на функция, разглеждана като функция на променлива при постоянна стойност от . Следователно можем да приложим формула (6.3), за да го намерим, като го считаме за функция, - аргумент, - константа. Вземи

. (6.4)

По същия начин, като се има предвид функция, - аргумент, - константа, съгласно формулата (6.3) намираме

. (6.5)

ПРИМЕР. Намерете частните производни на функцията, дадена от уравнението
.

,
,
.

Използвайки формули (6.4) и (6.5), получаваме

,
.

И накрая, разгледайте общия случай, когато уравнението

дефинира функция от променливи в някаква околност на точката. Повтаряйки разсъжденията, извършени за имплицитно дадена функция от две променливи, получаваме

,
, …,
.

§ 7. Производна по посока

1. Производна по посока.

Нека функция от две променливи е дефинирана в някаква област
самолет
, е точката на областта , е вектор във всяка посока. Да отидем от точката
до точка в посоката на вектора. След това функцията ще бъде увеличена

Разделяме приращението на функцията
по дължината на изместения сегмент
. Получено съотношение
дава средната скорост на промяна на функцията на графика
. Тогава границата на това отношение при
(ако съществува и е краен) ще бъде скоростта на промяна на функцията в точката
в посока на вектора. Той е извикан производна на функция в точка в посоката на вектора и обозначават
или
.

В допълнение към стойността на скоростта на промяна на функцията, тя също така ви позволява да определите естеството на промяната във функцията в точка в посоката на вектора (възходящ или низходящ):

Тези твърдения се доказват по същия начин като подобни твърдения за функция от една променлива.

Забележете, че частните производни на функция са частен случай на производната по посока. а именно,
е производна на функцията спрямо посоката на вектора (посока на оста
), е производна на функцията спрямо посоката на вектора (посока на оста
).

Да приемем, че функцията е диференцируема в точката. Тогава

където е безкрайно малък при
.

) вече многократно сме срещали частични производни на сложни функции като и по-трудни примери. И така, какво друго можете да кажете? … И всичко е като в живота – няма такава сложност, която да не може да бъде сложна =) Но математиката е това, за което е предназначена математиката, за да вмести разнообразието на нашия свят в строги рамки. И понякога може да се направи с едно изречение:

Най-общо сложната функция има формата , където, поне единна буквите е функция, което може да зависи от произволенброя на променливите.

Най-малката и най-простата версия е добре познатата сложна функция на една променлива, чиято производна научихме се да намираме миналия семестър. Имате и уменията да разграничавате функциите (вижте същите функции ) .

Така че сега ще ни интересува точно този случай. Поради голямото разнообразие от сложни функции, общите формули за техните производни са много тромави и лошо смилаеми. В тази връзка ще се огранича до конкретни примери, от които можете да разберете общия принцип за намиране на тези производни:

Пример 1

Като се има предвид сложна функция , където . Задължително:
1) намерете нейната производна и запишете общия диференциал от 1-ви ред;
2) изчисляване на стойността на производната при .

Решение: Първо, нека се заемем със самата функция. Предлага ни се функция в зависимост от и , което от своя страна са функцииедна променлива:

Второ, нека обърнем голямо внимание на самата задача - от нас се изисква да намерим производно, тоест изобщо не говорим за частни производни, които сме свикнали да намираме! Тъй като функцията всъщност зависи само от една променлива, тогава думата "производна" означава обща производна. Как да го намеря?

Първото нещо, което идва на ум, е директното заместване и по-нататъшното диференциране. Заместител във функция:
, след което няма проблеми с желаната производна:

И съответно общият диференциал:

Това решение е математически правилно, но малък нюанс е, че когато проблемът е формулиран така, както е формулиран, никой не очаква такова варварство от вас =) Но сериозно, тук наистина можете да намерите грешка. Представете си, че функцията описва полета на пчела, а вложените функции се променят в зависимост от температурата. Извършване на директна замяна , получаваме само лична информация, което характеризира полета, да речем, само в горещо време. Освен това, ако човек, който не е запознат с пчелите, бъде представен с завършен резултат и дори каже каква функция е, тогава той няма да научи нищо за основния закон на полета!

И така, съвсем неочаквано, нашият бръмчащ брат помогна да осъзнаем значението и значението на универсалната формула:

Свикнете с "двуетажната" нотация на производните - в разглежданата задача се използват именно те. В същото време трябва да бъде много подреденов записа: производни с преки знаци "де" са общи деривати, а производните със закръглени знаци са частични производни. Нека започнем с последното:

Е, с "опашките" като цяло всичко е елементарно:

Заместваме намерените производни в нашата формула:

Когато първоначално дадена функция е предложена по заплетен начин, тя ще бъде логична (и обяснено по-горе!)оставете резултатите такива, каквито са:

В същото време в „изящните“ отговори е по-добре да се въздържате дори от минимални опростявания. (тук например моли да премахнете 3 минуса)- и имате по-малко работа за вършене, а вашият космат приятел с удоволствие ще прегледа задачата по-лесно.

Въпреки това грубата проверка няма да е излишна. Заместител в намерената производна и извършете опростявания:


(в последната стъпка, която използвахме тригонометрични формули , )

В резултат на това се получава същият резултат, както при "варварския" метод на решение.

Нека изчислим производната в точката. Първо, удобно е да разберете "транзитните" стойности (функционални стойности ) :

Сега изготвяме окончателните изчисления, които в този случай могат да бъдат извършени по различни начини. Използвам интересна техника, при която 3 и 4 "етажа" са опростени не според обичайни правила, и се преобразуват като частно от две числа:

И, разбира се, е грях да не проверявате с помощта на по-компактна нотация :

Отговор:

Случва се задачата да бъде предложена в "полу-обща" форма:

„Намерете производната на функцията, където »

Тоест "главната" функция не е дадена, но нейните "вложки" са доста специфични. Отговорът трябва да бъде даден в същия стил:

Освен това условието може да бъде леко криптирано:

„Намерете производната на функция »

В този случай имате нужда самостоятелнообозначават вложени функции с някои подходящи букви, например чрез и използвайте същата формула:

Между другото, относно буквените обозначения. Многократно съм призовавал да не се „придържаме към буквите“ като спасителна линия и сега това е особено вярно! Анализирайки различни източници по темата, като цяло останах с впечатлението, че авторите „излязоха от пътя си“ и започнаха безмилостно да хвърлят студенти в бурната бездна на математиката =) Така че ме прощавайте :))

Пример 2

Намерете производната на функция , ако

Други обозначения не трябва да водят до объркване! Всеки път, когато срещнете задача като тази, трябва да отговорите на два прости въпроса:

1) От какво зависи „главната“ функция?В този случай функцията "z" зависи от две функции ("y" и "ve").

2) От какви променливи зависят вложените функции?В този случай и двете "вложки" зависят само от "x".

По този начин не би трябвало да имате затруднения при адаптирането на формулата към този проблем!

Кратко решение и отговор в края на урока.

Допълнителни примери от първия вид могат да бъдат намерени в проблемна книга Рябушко (IDZ 10.1), добре, ние се насочваме към функция на три променливи :

Пример 3

Дадена функция, където .
Изчислете производна в точка

Формулата за производната на сложна функция, както много хора предполагат, има свързана форма:

Решете дали сте го познали =)

За всеки случай ще дам общата формула за функцията:
, въпреки че на практика е малко вероятно да видите нещо по-дълго от Пример 3.

В допълнение, понякога е необходимо да се разграничи "съкратена" версия - като правило, функция на формата или . Оставям този въпрос да изучавате сами – измислете няколко прости примера, помислете, експериментирайте и изведете съкратени формули за производни.

Ако има нещо, което не разбирате, моля, отделете време, за да прочетете отново и разберете първата част на урока, защото сега задачата ще стане по-трудна:

Пример 4

Намерете частични производни на комплексна функция , където

Решение: тази функция има формата и след директно заместване получаваме обичайната функция на две променливи:

Но такъв страх не е нещо, което не се приема, но човек дори не иска да се разграничи =) Затова ще използваме готови формули. За да можете бързо да хванете шаблона, ще направя някои бележки:

Погледнете внимателно снимката отгоре надолу и отляво надясно...

Първо, нека намерим частичните производни на "главната" функция:

Сега намираме производните на "X" на "вложките":

и напишете крайната производна на "X":

По същия начин с "играта":

и

Можете да се придържате към друг стил - веднага намерете всички "опашки" и след това напишете и двете производни.

Отговор:

Относно заместването някак си изобщо не мисля =) =), но можете да срешете малко резултатите. Но отново защо? - просто затруднете проверката на учителя.

Ако е необходимо, тогава тотален диференциал тук е написано по обичайната формула и, между другото, точно на тази стъпка, леката козметика става подходяща:


Това е ... .... ковчег на колела.

С оглед на популярността на разглежданото разнообразие от сложна функция, няколко задачи за независимо решение. По-прост пример в "полуобща" форма - за разбиране на самата формула ;-):

Пример 5

Намерете частните производни на функцията , където

И по-трудно - с свързването на техники за диференциране:

Пример 6

Намерете пълния диференциал на функция , където

Не, изобщо не се опитвам да те „изпратя на дъното“ – всички примери са взети от реална работа, а „в открито море“ можеш да попаднеш на всякакви букви, които ти харесват. Във всеки случай трябва да анализирате функцията (след като сте отговорили на 2 въпроса - вижте по-горе), представете го в общ вид и внимателно модифицирайте формулите за частични производни. Сега може да сте малко объркани, но ще разберете самия принцип на тяхното проектиране! Защото истинската работа тепърва започва :)

Пример 7

Намерете частични производни и съставете общия диференциал на комплексна функция
, където

Решение: "главната" функция има формата и все още зависи от две променливи - "x" и "y". Но в сравнение с пример 4 е добавена още една вложена функция и следователно формулите за частични производни също са удължени. Както в този пример, за по-добро виждане на шаблона, ще подчертая „основните“ частични производни в различни цветове:

И отново - внимателно проучете записа отгоре надолу и отляво надясно.

Тъй като проблемът е формулиран в „полуобща“ форма, цялата ни работа по същество се ограничава до намирането на частични производни на вложени функции:

Един първокласник ще направи:

И дори пълният диференциал се оказа доста хубав:

Нарочно не ви предложих никаква конкретна функция - за да не пречат ненужните купчини на доброто разбиране на концепцията на проблема.

Отговор:

Доста често можете да намерите "различни" инвестиции, например:

Тук „главната“ функция, въпреки че има формата , все още зависи както от „x“, така и от „y“. Следователно, същите формули работят - само някои частни производни ще бъдат равни на нула. Освен това, това важи и за функции като , в който всяко "вмъкване" зависи от някаква променлива.

Подобна ситуация се случва в двата последни примера от урока:

Пример 8

Намерете общия диференциал на съставна функция в точка

Решение: условието е формулирано по "бюджетен" начин и ние трябва сами да обозначим вложените функции. Мисля, че е добър избор:

Във "вложките" има ( ВНИМАНИЕ!) ТРИ букви са доброто старо “x-y-z”, което означава, че “главната” функция всъщност зависи от три променливи. Тя може да бъде официално пренаписана като , а частичните производни в този случай се дефинират със следните формули:

Сканираме, ровим, хващаме....

В нашата задача: