Намерете уравнението на права линия, дадена от пресечната точка на две равнини. Пресичане на равнината

ЪГЪЛ МЕЖДУ РАВНОСТИ

Нека разгледаме две равнини α 1 и α 2, дадени съответно от уравненията:

Под ъгълмежду две равнини имаме предвид един от двугранните ъгли, образувани от тези равнини. Очевидно е, че ъгълът между нормалните вектори и равнините α 1 и α 2 е равен на един от посочените съседни двугранни ъгли или . Така . Защото и , тогава

Пример.Определете ъгъла между равнините х+2г-3z+4=0 и 2 х+3г+z+8=0.

Условие за успоредност на две равнини.

Две равнини α 1 и α 2 са успоредни, ако и само ако техните нормални вектори и са успоредни, и следователно .

И така, две равнини са успоредни една на друга, ако и само ако коефициентите в съответните координати са пропорционални:

или

Условие на перпендикулярност на равнините.

Ясно е, че две равнини са перпендикулярни, ако и само ако техните нормални вектори са перпендикулярни и следователно, или .

По този начин, .

Примери.

ДИРЕКТНО В КОСМОСА.

ВЕКТОРНО УРАВНЕНИЕ ДИРЕКТНО.

ПАРАМЕТРИЧНИ УРАВНЕНИЯ ДИРЕКТНО

Положението на права линия в пространството се определя напълно чрез посочване на някоя от нейните неподвижни точки М 1 и вектор, успореден на тази права.

Нарича се вектор, успореден на права линия насочваневектора на тази линия.

Така че нека направо лпреминава през точка М 1 (х 1 , г 1 , z 1) лежаща на права линия, успоредна на вектора.

Помислете за произволна точка M(x,y,z)по права линия. От фигурата се вижда, че .

Векторите и са колинеарни, така че има такова число т, какво , къде е множителя тможе да приеме произволна числова стойност в зависимост от позицията на точката Мпо права линия. Фактор тсе нарича параметър. Обозначаване на радиус векторите на точките М 1 и Мсъответно, чрез и , Получаваме . Това уравнение се нарича векторуравнение на права линия. Показва, че стойността на всеки параметър тсъответства на радиус вектора на дадена точка Млежаща на права линия.

Записваме това уравнение в координатна форма. Забележи това , и от тук

Получените уравнения се наричат параметриченуравнения на права линия.

При промяна на параметъра тпромяна на координатите х, ги zи точка Мсе движи по права линия.

ДИРЕКТНИ КАНОНИЧНИ УРАВНЕНИЯ

Нека бъде М 1 (х 1 , г 1 , z 1) - точка, лежаща на права линия л, и е неговият вектор на посоката. Отново вземете произволна точка на права линия M(x,y,z)и разгледайте вектора.

Ясно е, че векторите и са колинеарни, така че съответните им координати трябва да са пропорционални, следователно

– канониченуравнения на права линия.

Забележка 1.Имайте предвид, че каноничните уравнения на линията могат да бъдат получени от параметричните уравнения чрез елиминиране на параметъра т. Наистина от параметричните уравнения получаваме или .

Пример.Напишете уравнението на права линия по параметричен начин.

Означете , следователно х = 2 + 3т, г = –1 + 2т, z = 1 –т.

Забележка 2.Нека линията е перпендикулярна на една от координатните оси, например оста вол. Тогава векторът на посоката на линията е перпендикулярен вол, следователно, м=0. Следователно параметричните уравнения на правата линия приемат формата

Елиминиране на параметъра от уравненията т, получаваме уравненията на правата линия във формата

Но и в този случай се съгласяваме да запишем официално каноничните уравнения на правата във формата . По този начин, ако знаменателят на една от дробите е нула, това означава, че правата е перпендикулярна на съответната координатна ос.

По същия начин, каноничните уравнения съответства на права линия, перпендикулярна на осите воли ойили успоредна ос Оз.

Примери.

ОБЩИ УРАВНЕНИЯ ПРЯКА ЛИНИЯ КАТО ЛИНИЯ НА ЗАСЕЧВАНЕ НА ДВЕ РАВНИНИ

През всяка права линия в пространството минава безкраен брой равнини. Всякакви две от тях, пресичащи се, го определят в пространството. Следователно, уравненията на всякакви две такива равнини, разгледани заедно, са уравненията на тази права.

Най-общо, всякакви две неуспоредни равнини, дадени от общите уравнения

определят тяхната пресечна линия. Тези уравнения се наричат общи уравненияправ.

Примери.

Построете права линия, дадена от уравнения

За да се построи права, е достатъчно да се намерят всякакви две от нейните точки. Най-лесният начин е да изберете точките на пресичане на правата с координатните равнини. Например пресечната точка с равнината xOyполучаваме от уравненията на права линия, като приемем z= 0:

Решавайки тази система, намираме точката М 1 (1;2;0).

По същия начин, ако приемем г= 0, получаваме точката на пресичане на правата с равнината xOz:

От общите уравнения на права линия може да се премине към нейните канонични или параметрични уравнения. За да направите това, трябва да намерите някаква точка М 1 на линията и вектора на посоката на линията.

Координати на точки М 1 получаваме от тази система от уравнения, давайки на една от координатите произволна стойност. За да намерите вектора на посоката, обърнете внимание, че този вектор трябва да е перпендикулярен на двата нормални вектора и . Следователно за вектора на посоката на правата линия лможете да вземете кръстосаното произведение на нормалните вектори:

Пример.Дайте общите уравнения на правата линия към каноничната форма.

Намерете точка на права линия. За да направите това, избираме произволно една от координатите, напр. г= 0 и решете системата от уравнения:

Нормалните вектори на равнините, определящи линията, имат координати Следователно векторът на посоката ще бъде прав

. следователно, л: .

ЪГЪЛ МЕЖДУ ПРЕС

ъгълмежду прави линии в пространството ще наречем всеки от съседните ъгли, образувани от две прави линии, начертани през произволна точка, успоредна на данните.

Нека в пространството са дадени две прави:

Очевидно ъгълът φ между линиите може да се приеме като ъгъл между техните вектори на посоката и . Тъй като , Тогава според формулата за косинуса на ъгъла между векторите получаваме

Най-общо, всякакви две неуспоредни равнини, дадени от общите уравнения

определят тяхната пресечна линия. Тези уравнения се наричат общи уравненияправ

Билет 6Запишете израз за ъгъла между права и равнина, условието за успоредност и перпендикулярност на права и равнина.

ъгълмежду права и равнина ще наречем ъгъла, образуван от правата линия и нейната проекция върху равнината. Нека равнината е дадена от уравненията

Помислете за вектори и . Ако ъгълът между тях е остър, тогава той ще бъде , където φ е ъгълът между правата и равнината. Тогава .

Ако ъгълът между векторите и е тъп, тогава той е равен на . Следователно . Следователно, във всеки случай. Спомняйки си формулата за изчисляване на косинуса на ъгъла между векторите, получаваме .

Условието за перпендикулярност на права и равнина.Правата и равнината са перпендикулярни, ако и само ако векторът на посоката на правата и нормалният вектор на равнината са колинеарни, т.е. .

Условие за успоредност на права и равнина.Права и равнина са успоредни, ако и само ако векторите и са перпендикулярни.

Билет 7. Определете елипса. Напишете уравнението на елипсата в канонична форма. Върхове, фокуси, оси и ексцентриситет на елипсата.

определение:Елипса е местоположението на точките в равнина, за всяка от които сборът от разстоянията до две дадени точки от една и съща равнина, наречени фокуси на елипсата, е постоянна стойност.

Нека бъде Ф 1 и Ф 2 - фокуси на елипсата. Започнете Окоординатните системи са разположени в средата на сегмента Ф 1 Ф 2. ос волдиректно по този сегмент, оста ой- перпендикулярно на този сегмент (фиг.).

определение:Точките на пресичане на една елипса с нейните оси на симетрия се наричат връхна елипсаа, центърът на симетрията е центъра на елипсата, се нарича сегментът между два върха, съдържащи фокуси голяма ос на елипсата, половината от дължината му голяма полуос на елипса. Сегментът между върховете на оста на симетрия, който не съдържа фокуси, се нарича малка ос на елипсата, половината от дължината му е малката полуос. Стойността се извиква ексцентриситет на елипса.

Ако елипсата е дадена от канонични уравнения, тогава нейните върхове имат координати (- а;0), (а;0),(0; –б), (0;б), голямата полуос е а, малката полуос е равна на б. Стойност ° С, което е половината от разстоянието между фокусите, се определя от формулата ° С 2 = а 2 – б 2 .

Ексцентриситетът на елипсата характеризира степента на удължаване на елипсата. Колкото по-близо е ексцентриситетът до нула, толкова повече елипсата изглежда като кръг. Колкото по-близо е ексцентриситетът до 1, толкова повече се разтяга елипсата. Имайте предвид, че по дефиниция за елипса 0< <1.

Уравнението се нарича каноничното уравнение на елипсата.

Билет 8Определете хипербола. Напишете уравнението на хиперболата в канонична форма. Върхове, фокуси, оси, асимптоти и ексцентриситет на хиперболата,

определение:Хиперболата е локус от точки в равнина, за всяка от които абсолютната стойност на разликата в разстоянията до две неподвижни точки от една и съща равнина, наречени фокуси на хиперболата, е постоянна стойност.

Точно както в случая на елипса, за да получим уравнението на хипербола, ние избираме подходяща координатна система. Началото на координатите се намира в средата на сегмента между фокусите, оста волдиректно по протежение на този сегмент, а оста y е перпендикулярна на него.

Уравнението се нарича канонично уравнениехипербола.

Хиперболата има две взаимно перпендикулярни оси на симетрия, едната от които съдържа фокусите на хиперболата и център на симетрия. Ако хипербола е дадена от канонично уравнение, тогава нейните оси на симетрия са координатните оси воли ой, а началото е центърът на симетрия на хиперболата.

определение:Пресечни точки на хиперболата, дадени от каноничното уравнение с оста волНаречен върховете на хиперболата, отсечката между тях се нарича реалната ос на хиперболата. Сегментът на оста y между точките (0;– б) и (0; б) се нарича въображаема ос. Числа аи бсе наричат съответно реална и въображаема полуос на хиперболата. Началото на координатите се нарича негов център. Стойността се извиква ексцентричностхипербола.

коментар:От равенство б 2 = ° С 2 – а 2 следва, че ° С>а, тоест хиперболата >1. Ексцентриситетът характеризира ъгъла между асимптотите, колкото по-близо до 1, толкова по-малък е този ъгъл.

Билет 9.Определете парабола. Напишете уравнението на параболата в канонична форма. Директриса, фокус на парабола

Параболата е мястото на точките в равнина, които са на еднакво разстояние от дадена точка F и дадена права d, която не минава през дадена точка. Тази геометрична дефиниция изразява свойство на директория парабола.

Свойството на дирекцията на параболата Точката F се нарича фокус на параболата, правата d се нарича директриса на параболата, средната точка O на перпендикуляра, изпуснат от фокуса към директрисата, е връхът на параболата, разстоянието p от фокуса до директрисата е параметърът на параболата, а разстоянието p2 от върха на параболата до нейния фокус е фокусното разстояние (фиг. а). Правата линия, перпендикулярна на директрисата и минаваща през фокуса, се нарича ос на параболата (фокалната ос на параболата). Отсечката FM, свързваща произволна точка M на параболата с нейния фокус, се нарича фокален радиус на точка M. Отсечката, свързваща две точки на параболата, се нарича хорда на параболата.

За произволна точка на параболата отношението на разстоянието до фокуса към разстоянието до директрисата е равно на единица. Сравнявайки свойствата на директорията на елипсата, хиперболата и параболата, стигаме до това ексцентриситет на параболатапо дефиниция е равно на единица

.Геометрична дефиниция на парабола , изразяващо неговото свойство на директория, е еквивалентно на аналитичното му определение - линията, дадена от каноничното уравнение на параболата:

Билет 10. Какво е квадратна, идентична, симетрична, ортогонална матрица. Дефиниране на транспонирани и обратни матрици.

Определение 1.Матрицасе нарича правоъгълна таблица с числа, съдържаща - редове и - колони. .

Определение 2.Номера и се наричат Матрични поръчки(или кажете, че матрицата има размер)

Определение 3.Числата, които съставляват тази матрица, се наричат нейни елементи.

1. Определение 4. Матрицата се нарича Квадрат ако броят на редовете е равен на броя на колоните. В случай на квадратна матрица, понятията основен диагонал(това са числа - ) и Страничен диагонал(това са числа - ).

2.Симетрична(Симетрична) матрица е квадратна матрица, чиито елементи са симетрични по отношение на главния диагонал. По-формално, матрицата се нарича симетрична, ако .

Това означава, че е равно на нейната транспонирана матрица:

3. Идентичност матрица се нарича диагонална матрица, в която всички диагонални елементи са равни на единица. Например матрицата за идентичност от трети порядък е матрицата

ортогонална матрица

квадратна матрица А, за което A -1 = A TНаречен ортогонална матрица. Основни свойства на ортогонална матрица:Модулът на детерминанта на ортогонална матрица е равен на единица. Това свойство следва от свойствата на детерминантите:

Сумата от квадратите на елементите на която и да е колона на ортогонална матрица е равна на единица.

Скаларното произведение на ред и себе си е равно на 1, а на всеки друг ред е 0. Същото важи и за колоните.

Сумата от произведенията на елементите на всеки ред от ортогонална матрица от съответните елементи на друг ред е равна на нула.

обратна матрица е матрица, която, когато се умножи както отдясно, така и отляво по дадена матрица, дава идентичната матрица. Обозначете обратното на матрицата НОпрез , тогава според дефиницията получаваме: където Ее матрицата на идентичността.

Обратната матрица не съществува за всички матрици. Необходимо и достатъчно условие за неизраждане е

дет( А) ≠ 0 или ранг( А) = н.

Свойства на обратните матрици

· , където означава детерминантата.

· за всякакви две обратими матрици и .

· , където означава транспонираната матрица.

· за произволен коефициент.

· Ако е необходимо да се реши система от линейни уравнения , (b е ненулев вектор), където е желаният вектор и ако съществува, тогава . В противен случай или размерността на пространството за решение е по-голяма от нула, или изобщо няма такива.

Транспонирана матрица- матрица, получена от оригиналната матрица чрез замяна на редове с колони.

Формално матрицата за транспониране за матрицата на размера е матрицата на размера, дефинирана като .

Билет 11.Какво представляват еквивалентните матрици. Избройте елементарни трансформации на матрици. Какво може да се каже за редиците на еквивалентните матрици.

Определение. Матриците, получени в резултат на елементарна трансформация, се наричат еквивалентен.

Елементарни трансформации върху редове от матрицисе извикват следните трансформации на низове:

1. умножаване на низ по ненулево число;

2. пермутация на две прави;

3. добавяне към един ред от матрицата на другия й ред, умножено по някакво ненулево число.

4. Ако матрица се предава от матрица на матрица с помощта на еквивалентни трансформации върху редове, тогава такива матрици се наричат еквивалентени означават .

5. Метод на елементарни трансформации

6. Рангът на матрица е равен на броя на ненулевите редове в матрицата, след като е била редуцирана до стъпаловидна форма с помощта на елементарни трансформации върху редовете на матрицата.

Билет 12Какво е основна минор. Посочете основната малка теорема.

Определение. Рангът на матрицата A е максималният ред на ненулевия минор (минорът е детерминантата на квадратна матрица). Определени .

Определение. Минорът, който определя ранга на матрицата, се нарича Basis Minor. Редовете и колоните, които образуват BM, се наричат основни редове и колони.

Определение. Колонна система се нарича линейно зависими числа, не всички равни на нула и такива, че:

Основна минорна теорема

Колоните на матрицата, включени в базисния минор, образуват линейно независима система. Всяка колона на матрицата се изразява линейно по отношение на останалите колони от основния минор.

В матрицата на размера се казва, че минорът от -ти ред е основен, ако е различен от нула и всички минорни -ro ред са равни на нула или изобщо не съществуват.

Последствие.Ако всички колони на матрица са линейно изразени чрез колони, които образуват линейно независима система, тогава рангът на матрицата е .

Билет 13Какво е хомогенна и нехомогенна система от уравнения. Това, което се нарича решение на система от уравнения. Обяснете термините: съвместима система от уравнения, несъвместима система от уравнения. Кои системи от уравнения се наричат еквивалентни?

Определение 1.Ако всички свободни членове са равни на нула, тогава системата се нарича хомогенна, а хетерогенна - в противен случай.

Определение 2.Решението на системата е множеството от нчисла с 1 , с 2 , …, с n , при заместване в системата, вместо неизвестни, мчислови идентичности.

Определение 3.Една система се нарича съвместима (несъвместима), ако има поне едно решение (няма решения).

Определение 4.Съвместна система от линейни алгебрични уравнения се нарича определена (неопределена), ако има уникално решение (набор от решения).

Определение.

Наричат се две системи от линейни уравнения еквивалентен (еквивалентен), ако имат едни и същи решения.

Еквивалентни системи се получават по-специално чрез елементарни трансформации на системата, при условие че трансформациите се извършват само върху низовете на системата.

Билет 14Каква е основната система от решения на хомогенна система от уравнения. Това, което се нарича общо решение на хомогенна система от уравнения.

Определение.Основата на пространството за решения на система от линейни хомогенни уравнения се нарича нейна основна система за вземане на решения.

Теорема за структурата на общото решение на хомогенна система от уравнения:

Всяко решение на хомогенна система от линейни уравнения се дефинира от формулата

където х 1 , х 2 , … , X n − r- фундаментална система от решения на хомогенна система от линейни уравнения и ° С 1 , ° С 2 , … , C n − rса произволни константи.

Свойства на общото решение на хомогенна система от уравнения:

1. За всякакви стойности ° С 1 , ° С 2 , … , C n − r х, дефиниран с формула (3), е решение на система (1).

2. Каквото и да е решението х 0 , има числа ° С 1 0 , … , C n − r 0 такъв, че

заключение:За да намерим основната система и общото решение на хомогенната система, трябва да намерим основата на ядрото на съответния линеен оператор.

Билет 16. Дайте определение на линейно пространство и формулирайте неговите свойства.

Няколко Л Наречен линеен или векторно пространство , ако за всички елементи (вектори) от това множество са дефинирани операциите събиране и умножение по число и е вярно:

1. Всяка двойка елементи хи гот Л отговаря на елемент х + гот Л , Наречен сумахи г, и:

х + г = y+x− събирането е комутативно;

х + (г + z) = (x + y) + z− събирането е асоциативно;

х +0 = х− има само един нулаелемент 0 (х +0 = хза всеки хот Л );

х + (− х)= 0 − за всеки елемент хот Л има само един противоположноелемент −x (x + (−x) = 0за всеки хот Л) .

2. Всяка двойка хи α, където α − номер, и хелемент от Л , съответства на елемента α х, Наречен работаα их, и:

α·(β · х) = (α·β) · х− умножението по число е асоциативно: ;

1· х = х− за всеки елемент хот Л .

3. Операциите събиране и умножение с число са свързани с отношенията:

α·( х + г) = α· х + α· г− умножението по число е разпределително по отношение на събирането на елементи;

(α + β )· х = α· х + β · х− умножението по вектор е разпределително по отношение на събирането на числа.

Билет 17. Подпространство на линейно пространство. Неговите свойства. Линейна обвивка.

Дефиниция на линейно подпространство

Извиква се непразно подмножество L на линейно пространство V линейно подпространство пространство V ако

1) u+v∈L ∀u,v∈L (подпространството е затворено по отношение на операцията за събиране);

2) λv∈L ∀v∈L и произволно число λ (подпространството е затворено по отношение на операцията за умножение на вектор по число).

Свойство 1Всяко подпространство на линейно пространство R е линейно пространство.

Свойство 2 dim M ≤ dim Rn.

Имот 3 (при завършване на основата). Ако (ep)k е база в подпространство M на линейно пространство Rn, и k< n, то можно так выбрать элементы в Rn ek+1, ek+2, . . . , en, что (ep)n будет базисом в Rn.

Определение. Линейна обвивкае набор от вектори, които дефинират линейно подпространство. Строго погледнато, линейният диапазон е набор от всички линейни комбинации от дадени вектори. Нека също така подчертаем характеристиките:

Билет 18. Определете евклидовото пространство. Обяснете операцията за нормализиране на вектора.

ОпределениеНека V е векторно пространство. Казваме, че на V е даден вътрешен продукт, ако всеки два вектора x, y ∈ V са свързани с реално число, наречено вътрешно произведение на тези вектори и означено с xy или (x, y), така че да са изпълнени следните условия (тук x, y, z са произволни вектори от V и

t е произволно реално число):

1) xy = yx (скаларното произведение е комутативно);

2) (tx)y = t(xy);

3) (x + y)z = xz + yz (скаларното произведение е разпределително по отношение на събирането);

4) xx >=0 и xx = 0, ако и само ако x = 0.

Векторното пространство, в което е дадено скаларното произведение, се нарича евклидово. Свойства 1)–4) се наричат аксиоми на евклидовото пространство.

Векторно обаждане нормализирано или единичноако дължината му е равна на единица. Да нормализирате произволен ненулев вектор означава да го разделите на неговата дължина. Резултатът е единичен вектор, съвместно насочен към оригиналния.
Скаларното произведение на произволен вектор от единица ще даде точната дължина на проекцията на този вектор върху посоката на единицата. За да получим не само дължината, но и самия проекционен вектор, трябва да умножим тази дължина по нашия единичен вектор:

Билет 19Какво е ортонормална основа. Обяснете процеса на ортогонализиране на Грам-Шмид, като използвате двуизмерна основа като пример.

Ортонормална система, състояща се от нвектори н-мерно евклидово пространство, формира основата на това пространство. Такава основа се нарича ортонормалнооснова.

Ако д 1 , д 2 , ..., eн -ортонормалнооснова н-мерно евклидово пространство и

х = х 1 д 1 + х 2 д 2 + ... + х н д н - векторно разлагане хвърху тази основа, след това координатите хи вектор хв ортонормирана основа се изчисляват по формулите хи =(x, напри ), и= 1, 2, ..., н.

ГРАМА-ШМИДТ,Дадена е линейно независима система от вектори b 1 , b 2 , …, b l , a l+1 , …, a n l ≥ 1(1) Означаваме частта, към която е ортогонална b l+1ортогонална компонента на вектора и l+1по отношение на ортогоналната система b 1 , b 2 , …, bл Тогава 1. Векторна система b 1 , b 2 , …, b l , b l+1 , a l+2 , …, a n(2) е еквивалентно на (1).

2. Системата от вектори (2) е линейно независима и частта й b 1 , b 2 , …, b l , b l+1– ортогонална Използвайки концепцията за ортогонален компонент, ние описваме процеса на трансформация на линейно независима система a 1 , a 2 , …, a nв ортогонална система b 1 , b 2 , …, b nненулеви вектори, което се нарича ортогонализиране на системата a 1 , a 2 , …, a n.Този процес се състои от n стъпки, n е броят на векторите в оригиналната система a 1 , a 2 , …, a n.

1 стъпка. Ние вярваме b 1 \u003d a 1и вземете системата b 1 , a 2 , …, a n

2 стъпка. Нека заменим вектора в система (3) а 2ортогонален компонент по отношение на б 1, и получаваме системата: b 1 , b 2 , a 3 ,…, a n (4)

Съгласно стъпките на ортогонализиране, системата (4) е линейно независима и нейната част б 1, б 2-ортогонална.

Да приемем, че вече сме изградили линейно независима система b 1 , b 2 , …, b k-1 , a k ,…, a n, (5)

в който b 1 , b 2 , …, b k-1са ортогонални.

На k-тата стъпка k = 3, n заменяме вектора в система (5) а кнеговата ортогонална компонента спрямо системата b 1 , b 2 , …, b k-1и вземете системата b 1 , …,b k , a k+1 , …, a n.

След извършване на n-та стъпка получаваме линейно независима и ортогонална система от вектори b 1 , b 2 , …, b n.

Билет 20.Определете оператор в линейно пространство. Кой оператор се нарича линеен.

Операторнаречено правилото, според което всеки елемент х х един елемент е съпоставен гнякакъв непразен набор Й . Казва се, че операторът действа от х в Й .

Действието на оператора е обозначено г = А (х), г- изображение х, х- прототип г.

Ако всеки елемент гот Й има един-единствен предобраз х от х , г= А (х), се извиква операторът едно към едно картографиране х в Й или трансформация х , х - обхват на дефиниране на оператора.

Нека бъде х и Й две линейни пространства. Оператор А действащ от х в Й , е наречен линеен оператор, ако за всеки два елемента uи vот х и всяко число α е валидно:

А(u+ v) = А (u) + А (v) , А (α· u) = α· А (u).

Билет 21.Дайте пример за линеен оператор. Какви операции с линейни оператори знаете?

Канонични уравнения на правата линия

Формулиране на проблема. Намерете каноничните уравнения на права линия, дефинирана като пресечна линия на две равнини (общи уравнения)

План за решение. Канонични уравнения на права линия с вектор на посоката преминавайки през тази точка , имат формата

. (1)

Следователно, за да се напишат каноничните уравнения на права линия, е необходимо да се намери нейния насочващ вектор и някаква точка от правата линия.

1. Тъй като правата принадлежи и на двете равнини едновременно, векторът на нейната посока е ортогонален на нормалните вектори на двете равнини, т.е. според определението за векторно произведение имаме

. (2)

2. Изберете точка от линията. Тъй като насочващият вектор на правата не е успореден на поне една от координатните равнини, правата пресича тази координатна равнина. Следователно като точка на права може да се вземе точката на нейното пресичане с тази координатна равнина.

3. Заместваме намерените координати на насочващия вектор и точка в каноничните уравнения на правата линия (1).

Коментирайте. Ако векторното произведение (2) е равно на нула, тогава равнините не се пресичат (успоредни) и не е възможно да се запишат каноничните уравнения на правата линия.

Задача 12.Напишете каноничните уравнения на правата.

Канонични уравнения на права линия:

където са координатите на всяка точка от правата, е неговият вектор на посоката.

Намерете произволна точка от правата . Нека тогава

следователно, са координатите на точка, принадлежаща на правата.