Задайте затваряния. Затворени и отворени комплекти

Нека сега докажем някои специални свойства на затворени и отворени множества.

Теорема 1. Сборът от краен или изброим брой отворени множества е отворено множество. Произведението на краен брой отворени множества е отворено множество,

Помислете за сумата от краен или изброим брой отворени множества:

Ако , тогава P принадлежи на поне един от Нека Тъй като е отворено множество, тогава някои - квартал на P също принадлежи на Същата - квартал на P също принадлежи на сумата g, откъдето следва, че g е отворено множество. Помислете сега за крайния продукт

и нека P принадлежи на g. Нека докажем, както по-горе, че някаква -махала P принадлежи на g. Тъй като P принадлежи на g, тогава P принадлежи на всички . Тъй като са отворени множества, тогава за всеки има някои -neighborhood на точката, принадлежаща на . Ако числото се вземе равно на най-малкото от числото, което е крайно, тогава -околността на точката P ще принадлежи на всички и, следователно, на g. Забележете, че е невъзможно да се твърди, че произведението на преброим брой отворени множества е отворено множество.

Теорема 2. Множеството CF е отворено, а множеството CO е затворено.

Нека докажем първото твърдение. Нека P принадлежи на CF. Необходимо е да се докаже, че някоя махала P принадлежи на CF. Това следва от факта, че ако имаше точки F в която и да е - квартал P, точката P, която не принадлежи по условие, би била гранична точка за F и поради своята затвореност би трябвало да принадлежи, което води до противоречие.

Теорема 3. Произведението на краен или изброим брой затворени множества е затворено множество. Сборът от краен брой затворени множества е затворено множество.

Нека докажем, например, че множеството

затворен. Преминавайки към допълнителни набори, можем да пишем

По теоремата отворени множества, а по теорема 1 множеството също е отворено и по този начин допълващото множество g е затворено. Обърнете внимание, че сумата от преброим брой затворени множества може също да бъде незатворено множество.

Теорема 4. Множество е отворено и затворено множество.

Лесно е да се проверят следните равенства:

От тях, по силата на предходните теореми, следва теорема 4.

Ще кажем, че множество g се покрива от система M от някои множества, ако всяка точка g е включена в поне едно от множествата на системата M.

Теорема 5 (Борел). Ако затворено ограничено множество F е покрито от безкрайна система a от отворени множества O, тогава от тази безкрайна система може да се извлече краен брой отворени множества, които също покриват F.

Доказваме тази теорема от обратното. Да приемем, че няма краен брой отворени множества от системата a и да сведем това до противоречие. Тъй като F е ограничено множество, тогава всички точки на F принадлежат на някакъв краен двумерен интервал. Нека разделим този затворен интервал на четири равни части, като разделим интервалите наполовина. Всеки от получените четири интервала ще се счита за затворен. Тези точки от F, които попадат в един от тези четири затворени интервала, по силата на теорема 2 ще представляват затворено множество и поне едно от тези затворени множества не може да бъде покрито от краен брой отворени множества от системата a. Вземаме един от горните четири затворени интервала, където се случва това обстоятелство. Отново разделяме този интервал на четири равни части и спорим по същия начин, както по-горе. Така получаваме система от вложени интервали, от които всеки следващ е четвъртата част от предишния, и се получава следното обстоятелство: множеството точки F, принадлежащи на произволно k, не може да бъде покрито от краен брой отворени множества от системата а. С безкрайно увеличаване на k пропуските ще се свиват за неопределено време до някаква точка P, която принадлежи на всички пролуки. Тъй като за всяко k те съдържат неизброимо множество от точки, точката P е гранична точка за и следователно принадлежи на F, тъй като F е затворено множество. Така точката P е покрита от някакво отворено множество, принадлежащо на системата a. Някаква -околност на точка P също ще принадлежи на отвореното множество O. За достатъчно големи стойности на k, интервалите D ще попаднат вътре в горната -околност на точката P. Така те ще бъдат напълно покрити само от един отворено множество O на системата a, и това противоречи на факта, че точките, принадлежащи на за всяко k, не могат да бъдат покрити от краен брой отворени множества, принадлежащи на a. Така теоремата е доказана.

Теорема 6. Отвореното множество може да се представи като сума от преброим брой полуотворени пролуки по двойки без общи точки.

Припомнете си, че полуотворена празнина в равнината е крайна празнина, дефинирана от неравенства от вида .

Нека поставим на равнината решетка от квадрати със страни, успоредни на осите, и с дължина на страната, равна на единица. Множеството от тези квадрати е изброимо множество. Избираме от тези квадрати онези квадрати, чиито точки принадлежат на дадено отворено множество O. Броят на тези квадрати може да бъде краен или изброим, или може да няма изобщо такива квадрати. Разделяме всеки от останалите квадратчета от мрежата на четири еднакви квадрата и от новополучените квадратчета отново избираме тези, чиито всички точки принадлежат на O. Отново разделяме всеки от останалите квадрати на четири равни части и избираме онези квадрати, чиито всички точки принадлежат на O и т.н. Нека покажем, че всяка точка P от множеството O ще попадне в един от избраните квадрати, чиито всички точки принадлежат на O. Наистина, нека d е положително разстояние от P до границата на O. Когато достигнем квадрати, чийто диагонал е по-малък от , тогава можем очевидно да твърдим, че точката P вече е попаднала в квадрат, всички от чиито обеми принадлежат на O. Ако избраните квадрати се считат за полуотворени, тогава те няма да имат по двойки общи точки и теоремата е доказана. Броят на избраните квадратчета непременно ще бъде преброим, тъй като крайната сума от полуотворени празнини очевидно не е отворено множество. Означавайки с DL онези полуотворени квадрати, които получихме в резултат на горната конструкция, можем да запишем

Английски:Уикипедия прави сайта по-сигурен. Използвате стар уеб браузър, който няма да може да се свърже с Wikipedia в бъдеще. Моля, актуализирайте устройството си или се свържете с вашия ИТ администратор.

中文: 维基 百科 正在 使 网站 更加 安全 您 正在 使用 旧 的 ， 这 在 将来 无法 连接 维基百科。 更新 您 的 设备 或 您 的 的 管理员。 提供 更 长 ， 具 技术性 的 更新 仅 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语Здрасти).

испански: Wikipedia е haciendo el sitio más seguro. Използвате уеб сайт, който не се свързва с Wikipedia в бъдещето. Актуализирайте диспозитивно или се свържете с информационния администратор. Más abajo hay una actualizacion más larga y más técnica en inglés.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

Francais:Уикипедия е допълнителен елемент на защитения сайт. Можете да използвате actuellement un navigateur web ancien, qui ne pourra plus se connecter à Wikipédia lorsque ce sera fait. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. Допълнителна информация плюс техники и английска достъпна информация.

日本語: ウィキペディア で は サイト の セキュリティ を て い ます ます。 利用 の は バージョン バージョン が 古く 、 、 今後 、 接続 でき なく なる 可能 性 が。 技術 面 する 、 、 管理 者 ご ご ご ください。 技術 面 の 更新 更新.更新 更新 更新 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい HIP情報は以下に英語で提下に英語で提仁

Немски: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du benutzt einen alten webbrowser, der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät ili sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.

италиански: Wikipedia sta rendendo il sito più sicuro. Използвайте уеб браузъра, който не е свързан с уикипедия в бъдеще. Per favore, aggiorna il tuo dispositivo o contatta il tuo amministratore informatico. Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato e technico на английски.

маджар: Biztonságosabb lesz a Wikipedia. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problemát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a reszletesebb magyarázatot (angolul).

Швеция:Уикипедия се намира в сайта. Добавяте и други уеб сайтове като инте коммер и книгата в Wikipedia и Framtiden. Актуализирайте актуализацията или контактите на ИТ администратора. Det finns en längre и mer technisk förklaring på engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

Премахваме поддръжката за несигурни версии на протокола TLS, по-специално TLSv1.0 и TLSv1.1, на които софтуерът на вашия браузър разчита, за да се свърже с нашите сайтове. Това обикновено се причинява от остарели браузъри или по-стари смартфони с Android. Или може да е намеса от корпоративен или личен софтуер "Web Security", който всъщност понижава сигурността на връзката.

Трябва да надстроите своя уеб браузър или по друг начин да коригирате този проблем, за да получите достъп до нашите сайтове. Това съобщение ще остане до 1 януари 2020 г. След тази дата вашият браузър няма да може да установи връзка с нашите сървъри.

Преброимо множество е безкраен набор от елементи, чиито елементи могат да бъдат номерирани с естествени числа, или това е множество, което е еквивалентно на множеството от естествени числа.

Понякога преброими множества се наричат ​​множества, които са еквивалентни на всяко подмножество от множество естествени числа, тоест всички крайни множества също се считат за изброими.

Преброимо множество е "най-малкото" безкрайно множество, тоест всяко безкрайно множество има изброимо подмножество.

Имоти:

1. Всяко подмножество на изброимо множество е най-много изброимо.

2. Обединението на краен или изброим брой изброими множества е изброимо.

3. Прякото произведение на краен брой изброими множества е изброимо.

4. Множеството от всички крайни подмножества на изброимо множество е изброимо.

5. Множеството от всички подмножества на изброимо множество е непрекъснато и по-специално не е изброимо.

Примери за изброими множества:

Прости числа Естествени числа, Цели числа, Рационални числа, Алгебрични числа, Пръстен от периоди, Изчислими числа, Аритметични числа.

Теория на реалните числа.

(Истински = истински - напомняне за нас, момчета.)

Множеството R съдържа рационални и ирационални числа.

Реалните числа, които не са рационални, се наричат ​​ирационални.

Теорема: Няма рационално число, чийто квадрат е равен на числото 2

Рационални числа: ½, 1/3, 0,5, 0,333.

Ирационални числа: корен от 2=1,4142356…, π=3,1415926…

Множеството R от реални числа има следните свойства:

1. Поръчва се: за произволни две различни числа а и бсе осъществява едно от двете отношения а или а>б