Комплектът се затваря при операция. Отворени и затворени множества Видове множества на реалната линия

Английски:Уикипедия прави сайта по-сигурен. Използвате стар уеб браузър, който няма да може да се свърже с Wikipedia в бъдеще. Моля, актуализирайте устройството си или се свържете с вашия ИТ администратор.

中文: 维基 百科 正在 使 网站 更加 安全 您 正在 使用 旧 的 ， 这 在 将来 无法 连接 维基百科。 更新 您 的 设备 或 您 的 的 管理员。 提供 更 长 ， 具 技术性 的 更新 仅 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语Здрасти).

испански: Wikipedia е haciendo el sitio más seguro. Използвате уеб сайт, който не се свързва с Wikipedia в бъдещето. Актуализирайте диспозитивно или се свържете с информационния администратор. Más abajo hay una actualizacion más larga y más técnica en inglés.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

Francais:Уикипедия е допълнителен елемент на защитения сайт. Можете да използвате actuellement un navigateur web ancien, qui ne pourra plus se connecter à Wikipédia lorsque ce sera fait. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. Допълнителна информация плюс техники и английска достъпна информация.

日本語: ウィキペディア で は サイト の セキュリティ を て い ます ます。 利用 の は バージョン バージョン が 古く 、 、 今後 、 接続 でき なく なる 可能 性 が。 技術 面 する 、 、 管理 者 ご ご ご ください。 技術 面 の 更新 更新.更新 更新 更新 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい HIP情報は以下に英語で提下に英語で提仁

Немски: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du benutzt einen alten webbrowser, der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät ili sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.

италиански: Wikipedia sta rendendo il sito più sicuro. Използвайте уеб браузъра, който не е свързан с уикипедия в бъдеще. Per favore, aggiorna il tuo dispositivo o contatta il tuo amministratore informatico. Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato e technico на английски.

маджар: Biztonságosabb lesz a Wikipedia. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problemát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a reszletesebb magyarázatot (angolul).

Швеция:Уикипедия се намира в сайта. Добавяте и други уеб сайтове като инте коммер и книгата в Wikipedia и Framtiden. Актуализирайте актуализацията или контактите на ИТ администратора. Det finns en längre и mer technisk förklaring på engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

Премахваме поддръжката за несигурни версии на протокола TLS, по-специално TLSv1.0 и TLSv1.1, на които софтуерът на вашия браузър разчита, за да се свърже с нашите сайтове. Това обикновено се причинява от остарели браузъри или по-стари смартфони с Android. Или може да е намеса от корпоративен или личен софтуер "Web Security", който всъщност понижава сигурността на връзката.

Трябва да надстроите своя уеб браузър или по друг начин да коригирате този проблем, за да получите достъп до нашите сайтове. Това съобщение ще остане до 1 януари 2020 г. След тази дата вашият браузър няма да може да установи връзка с нашите сървъри.

Отворени и затворени комплекти

Приложение 1 . Отворени и затворени комплекти

Няколко Мпо права линия се нарича отворен, ако всяка негова точка се съдържа в това множество заедно с някакъв интервал. Затворенсе нарича набор, съдържащ всичките му гранични точки (т.е. такъв, че всеки интервал, съдържащ тази точка, се пресича с множеството поне още една точка). Например, сегментът е затворено множество, но не е отворено, а интервалът, напротив, е отворен набор, но не е затворен. Има набори, които не са нито отворени, нито затворени (например полуинтервал). Има два комплекта, които са едновременно затворени и отворени - това е празно и всичко З(докаже, че няма други). Лесно е да се види, че ако Мотворете, след това [` М] (или З \ М- допълнение към комплекта Мпреди З) затворено е. Наистина, ако [` М] не е затворен, то не съдържа някои от своите гранични точки м. Но след това мО Ми всеки интервал, съдържащ м, се пресича с множеството [` М], тоест има точка, която не лежи в М, което противоречи на факта, че М- отворени. По същия начин, също директно от определението, се доказва, че ако Мзатворен, след това [` М] отворете (проверете!).

Сега доказваме следната важна теорема.

Теорема. Всеки отворен комплект Мможе да се представи като обединение от интервали с рационални краища (тоест с краища в рационални точки).

Доказателство . Помислете за съюза Увсички интервали с рационални краища, които са подмножества на нашето множество. Нека докажем, че този съюз съвпада с цялото множество. Наистина, ако м- точка от М, тогава има интервал ( м 1 , м 2) М М, съдържаща м(това следва от факта, че М- отворен). Възможно е да се намери рационална точка на всеки интервал. Нека ( м 1 , м) - Това м 3 , на ( м, м 2) е м 4 . Тогава точката мобхванати от съюз У, а именно интервалът ( м 3 , м 4). Така доказахме, че всяка точка мот Мобхванати от съюз У. Освен това, както е видно от конструкцията У, няма смисъл, който не се съдържа в М, не е покрита У. означава, Уи Мсъвпада.

Важно следствие от тази теорема е фактът, че всяко отворено множество е броимкомбиниране на интервали.

Никъде плътни множества и набори от мярка ~ нула. Кантор набор>

Приложение 2 . Никъде плътни множества и множества с мярка нула. Канторски комплект

Няколко АНаречен никъде плътно, ако за различни точки аи бима сегмент [ ° С, д] М [ а, б], не се пресича с А. Например наборът от точки в последователността а н = [ 1/(н)] никъде не е плътен, но наборът от рационални числа не е.

Теорема на Баер. Сегментът не може да бъде представен като изброимо обединение от никъде плътни множества.

Доказателство . Да предположим, че има последователност А кникъде гъсти групи такива, че и А и = [а, б]. Нека построим следната последователност от сегменти. Нека бъде аз 1 е някакъв сегмент, вложен в [ а, б] и не се пресича с Аедин . По дефиниция, никъде плътно множество на интервала аз 1 има отсечка, която не се пресича с множеството А 2. Да го наречем аз 2. След това на сегмента аз 2 вземете по подобен начин сегмента аз 3 , не се пресича с А 3 и т.н. Последователността има аз квложените сегменти имат обща точка (това е едно от основните свойства на реалните числа). Тази точка по конструкция не лежи в нито едно от множествата А к, така че тези набори не покриват целия сегмент [ а, б].

Да наречем комплекта М с мярка нула, ако за всяко положително e има последователност аз кинтервали с обща дължина по-малка от e, покриващи М. Очевидно всяко преброимо множество има мярка нула. Има обаче и неизброими множества, които имат мярка нула. Нека построим един такъв, много известен, наречен Кантор.

Да отрежем. Нека го разделим на три равни части. Изхвърлете средния сегмент (фиг. 11, а). Ще има два сегмента от общата дължина [ 2/3]. С всеки от тях ще извършим точно същата операция (фиг. 11, б). Ще има четири сегмента с обща дължина [ 4/9] = ([ 2/3]) \ B 2 . Продължавайки така нататък (фиг. 11, в–д) до безкрайност, получаваме множество, което има мярка, по-малка от всяка дадена положителна мярка, т.е. мярка нула. Може да се установи съответствие едно към едно между точките от това множество и безкрайните поредици от нули и единици. Ако по време на първото "изхвърляне" нашата точка попадне в десния сегмент, поставяме 1 в началото на последователността, ако вляво - 0 (фиг. 11, а). Освен това, след първото "изхвърляне", получаваме малко копие на големия сегмент, с което правим същото: ако нашата точка след изхвърляне падна в десния сегмент, поставяме 1, ако в левия - 0, и др. (проверете взаимната уникалност) , ориз. единадесет, б, в. Тъй като множеството от поредици от нули и единици има мощността на континуума, множеството на Кантор също има мощността на континуума. Освен това е лесно да се докаже, че никъде не е плътно. Не е вярно обаче, че има строга мярка нула (виж дефиницията на строга мярка). Идеята зад доказателството на този факт е следната: вземете последователността а н, стремящи се към нула много бързо. За това, например, последователността а н = [ 1/(2 2 н)]. След това доказваме, че тази последователност не може да покрие множеството на Кантор (направи го!).

Приложение 3 . Задачи

Операции върху множества

Комплекти Аи БНаречен равниако всеки елемент от множеството Апринадлежи към комплекта Б, и обратно. Обозначаване: А = Б.

Няколко АНаречен подмножествокомплекти Бако всеки елемент от множеството Апринадлежи към комплекта Б. Обозначаване: АМ Б.

1. За всеки от следните два набора посочете дали едното е подмножество на другото:

2. Докажете, че множеството Аако и само тогава е подмножество на множеството Бкогато всеки елемент не принадлежи Б, не принадлежат А.

3. Докажете това за произволни множества А, Би ° С

а) АМ А; б) ако АМ Би БМ ° С, тогава АМ ° С;

в) А = Б, ако и само ако АМ Би БМ А.

Комплектът се нарича празенако не съдържа никакви елементи. Обозначение: Ж.

4. Колко елемента има всеки от следните набори:

5. Колко подмножества има набор от три елемента?

6. Може ли набор да има точно а) 0; б*) 7; в) 16 подмножества?

Асоциациякомплекти Аи Б х, Какво хО Аили хО Б. Обозначаване: АИ Б.

пресичанекомплекти Аи Бсе нарича множество, състоящо се от такива х, Какво хО Аи хО Б. Обозначаване: АУ Б.

разликакомплекти Аи Бсе нарича множество, състоящо се от такива х, Какво хО Аи хП Б. Обозначаване: А \ Б.

7. Дават се комплекти А = {1,3,7,137}, Б = {3,7,23}, ° С = {0,1,3, 23}, д= (0,7,23,1998). Намерете комплекти:

8. Нека бъде Ае набор от четни числа и Бе множеството от числа, делими на 3. Намерете АУ Б.

9. Докажете това за всякакви множества А, Б, ° С

а) АИ Б = БИ А, АУ Б = БУ А;

б) АИ ( БИ ° С) = (АИ Б)И ° С, А Z ( БУ ° С) = (АУ Б)Z ° С;

в) А Z ( БИ ° С) = (АУ Б)И ( АУ ° С), АИ ( БУ ° С) = (АИ Б)Z ( АИ ° С);

ж) А \ (БИ ° С) = (А \ Б)Z ( А \ ° С), А \ (БУ ° С) = (А \ Б)И ( А \ ° С).

10. Вярно ли е, че за всеки комплект А, Б, ° С

Задайте картографии

Ако всеки елемент хкомплекти хкартографиран точно на един елемент е(х) комплекти Й, тогава те казват, че дадено дисплей еот много хв множеството Й. В същото време, ако е(х) = г, след това елементът гНаречен начинелемент хкогато се показва е, и елементът хНаречен прототипелемент гкогато се показва е. Обозначаване: е: х ® Й.

11. Начертайте всички възможни отображения от множеството (7,8,9) към множеството (0,1).

Нека бъде е: х ® Й, гО Й, АМ х, БМ Й. Пълен прообраз на елемент г когато се показва есе нарича набор ( хО х | е(х) = г). Обозначаване: е - 1 (г). Изображението на комплекта АМ х когато се показва есе нарича набор ( е(х) | хО А). Обозначаване: е(А). Прототипът на комплекта БМ Й се нарича набор ( хО х | е(х) О Б). Обозначаване: е - 1 (Б).

12. За показване е: (0,1,3,4) ® (2,5,7,18) дадено от снимката, намерете е({0,3}), е({1,3,4}), е - 1 (2), е - 1 ({2,5}), е - 1 ({5,18}).

13. Нека бъде е: х ® Й, А 1 , А 2 м х, Б 1 , Б 2 м Й. Винаги ли е вярно, че

а) е(х) = Й;

б) е - 1 (Й) = х;

в) е(А 1 и А 2) = е(А 1) И е(А 2);

ж) е(А 1 Z А 2) = е(А 1) Z е(А 2);

д) е - 1 (Б 1 и Б 2) = е - 1 (Б 1) И е - 1 (Б 2);

д) е - 1 (Б 1 Z Б 2) = е - 1 (Б 1) Z е - 1 (Б 2);

ж) ако е(А 1 м е(А 2), тогава А 1 м А 2 ;

з) ако е - 1 (Б 1 м е - 1 (Б 2), тогава Б 1 м Б 2 ?

Съставкартографии е: х ® Йи ж: Й ® Зсе нарича съпоставяне, което се съпоставя с елемент хкомплекти хелемент ж(е(х)) комплекти З. Обозначаване: ж° е.

14. Докажете това за произволни отображения е: х ® Й, ж: Й ® Зи з: З ® Усе прави следното: з° ( ж° е) = (з° ж)° е.

15. Нека бъде е: (1,2,3,5) ® (0,1,2), ж: (0,1,2) ® (3,7,37,137), з: (3,7,37,137) ® (1,2,3,5) – съпоставяния, показани на фигурата:

Начертайте картини за следните дисплеи:

а) ж° е; б) з° ж; в) е° з° ж; ж) ж° з° е.

Дисплей е: х ® ЙНаречен биективенако за всеки гО Йима точно един хО хтакъв, че е(х) = г.

16. Нека бъде е: х ® Й, ж: Й ® З. Вярно ли е, че ако еи жтогава са биективни ж° ебиективно?

17. Нека бъде е: (1,2,3) ® (1,2,3), ж: (1,2,3) ® (1,2,3), са съпоставянията, показани на фигурата:

18. За всеки два от следните набора разберете дали има биекция от първото към второто (да приемем, че нулата е естествено число):

а) множеството естествени числа;

б) множеството от четни естествени числа;

в) множеството естествени числа без числото 3.

метрично пространствонаречен комплект хс даденост метрични r : х× х ® З

1) " х,гО х r( х,г) i 0 и r ( х,г) = 0, ако и само ако х = г (неотрицателност ); 2) " х,гО х r( х,г) = r ( г,х) (симетрия ); 3) " х,г,zО х r( х,г) + r ( г,z) и r ( х,z) (неравенство на триъгълник ). 19 19. х

а) х = З, r ( х,г) = | х - г| ;

б) х = З 2 , r 2 (( х 1 ,г 1),(х 2 ,г 2)) = C (( х 1 - х 2) 2 + (г 1 - г 2) 2 };

в) х = ° С[а,ба,б] функции,

отворен(съответно, затворен) радиус топка rв космоса хцентрирано в точка хсе нарича набор У r (х) = {гО х:r( х,г) < r) (съответно, Б r (х) = {гО х:r( х,г) Ј r}).

вътрешна точкакомплекти УМ х У

отворен кварталтази точка.

гранична точкакомплекти ФМ х Ф.

затворен

20. Докажи това

21. Докажи това

б) обединение на множество А закриване А

Дисплей е: х ® ЙНаречен непрекъснато

22.

23. Докажи това

Ф (х) = инф гО Ф r( х,г

Ф.

24. Нека бъде е: х ® Й– . Вярно ли е, че обратното му е непрекъснато?

Непрекъснато едно към едно картографиране е: х ® Й хомеоморфизъм. пространства х, Йхомеоморфен.

25.

26. За кои двойки х, Й е: х ® Й, който не се слепваточки (т.е. е(х) № е(г) при х № г инвестиции)?

27*. локален хомеоморфизъм(т.е. всяка точка хсамолет и е(х) на тора, има махали Уи V, Какво екартографира хомеоморфно Уна V).

Метрични пространства и непрекъснати отображения

метрично пространствонаречен комплект хс даденост метрични r : х× х ® З, удовлетворяващи следните аксиоми:

1) " х,гО х r( х,г) i 0 и r ( х,г) = 0, ако и само ако х = г (неотрицателност ); 2) " х,гО х r( х,г) = r ( г,х) (симетрия ); 3) " х,г,zО х r( х,г) + r ( г,z) и r ( х,z) (неравенство на триъгълник ). 28. Докажете, че следните двойки ( х,r ) са метрични пространства:

а) х = З, r ( х,г) = | х - г| ;

б) х = З 2 , r 2 (( х 1 ,г 1),(х 2 ,г 2)) = C (( х 1 - х 2) 2 + (г 1 - г 2) 2 };

в) х = ° С[а,б] е множеството от непрекъснати на [ а,б] функции,

отворен(съответно, затворен) радиус топка rв космоса хцентрирано в точка хсе нарича набор У r (х) = {гО х:r( х,г) < r) (съответно, Б r (х) = {гО х:r( х,г) Ј r}).

вътрешна точкакомплекти УМ хе точка, която се съдържа в Узаедно с някаква топка с ненулев радиус.

Извиква се множество, чиито точки са вътрешни отворен. Извиква се отворено множество, съдържащо дадена точка кварталтази точка.

гранична точкакомплекти ФМ хточка се нарича такава, във всяка околност на която има безкрайно много точки от множеството Ф.

Извиква се набор, който съдържа всичките си гранични точки затворен(сравнете това определение с даденото в допълнение 1).

29. Докажи това

а) множеството е отворено, ако и само ако неговото допълнение е затворено;

б) краен съюз и изброимо пресичане на затворени множества е затворено;

в) изброимо обединение и крайно пресичане на отворени множества са отворени.

30. Докажи това

а) множеството от гранични точки на всяко множество е затворено множество;

б) обединение на множество Аи множеството от неговите гранични точки ( закриване А) е затворено множество.

Дисплей е: х ® ЙНаречен непрекъснатоако прообразът на всяко отворено множество е отворен.

31. Докажете, че това определение е в съответствие с определението за непрекъснатост на функциите на правата.

32. Докажи това

а) разстояние до множеството r Ф (х) = инф гО Ф r( х,г) е непрекъсната функция;

б) множеството от нули на функцията на точка а) съвпада със затварянето Ф.

33. Нека бъде е: х ® Й

Непрекъснато едно към едно картографиране е: х ® Й, обратното на което също е непрекъснато, се нарича хомеоморфизъм. пространства х, Й, за които съществува такова картографиране, се наричат хомеоморфен.

34. За всяка двойка от следните множества определете дали са хомеоморфни:

35. За кои двойки х, Йпространства от предишния проблем има непрекъснато картографиране е: х ® Й, който не се слепваточки (т.е. е(х) № е(г) при х № гТакива дисплеи се наричат инвестиции)?

36*. Помислете за непрекъснато картографиране равнина-тор, което би било локален хомеоморфизъм(т.е. всяка точка хсамолет и е(х) на тора, има махали Уи V, Какво екартографира хомеоморфно Уна V).

Пълнота. Теорема на Баер

Нека бъде хе метрично пространство. Подпоследователност х ннейните елементи се наричат фундаментален, ако

37. Докажете, че конвергентната последователност е фундаментална. Вярно ли е обратното?

Метричното пространство се нарича завършенако всяка фундаментална последователност се сближава в нея.

38. Вярно ли е, че пространство, хомеоморфно на пълно пространство, е пълно?

39. Докажете, че затворено подпространство на пълно пространство само по себе си е пълно; в него е затворено пълно подпространство на произволно пространство.

40. Докажете, че в пълно метрично пространство поредица от вложени затворени топки с радиуси, стремящи се към нула, има общ елемент.

41. Възможно ли е в предишния проблем да се премахне условието за пълнота на пространството или за радиусите на топките, стремящи се към нула?

Дисплей еметрично пространство хсамо по себе си се нарича натиск, ако

42. Докажете, че картата на свиването е непрекъсната.

43. а) Докажете, че свиващото отображение на пълно метрично пространство в себе си има точно една неподвижна точка.

б) Карта на Русия в мащаб 1:20 000 000 е поставена върху карта на Русия в мащаб 1:5 000 000. Докажете, че има точка, чиито изображения на двете карти съвпадат.

44*. Съществува ли непълно метрично пространство, в което постановката на проблема е вярна, а?

Извиква се подмножество на метрично пространство гъсто навсякъдеако затварянето му съвпада с цялото пространство; никъде плътно– ако неговото затваряне няма непразни отворени подмножества (сравнете тази дефиниция с тази, дадена в допълнение 2).

45. а) Нека а, б, a , b О Зи а < a < b < б. Докажете, че наборът от непрекъснати функции на [ а,б], които са монотонни на , не е никъде плътен в пространството на всички непрекъснати функции на [ а,б] с еднаква метрика.

б) Нека а, б, ° С, и О Зи а < б, ° С> 0, e > 0. Тогава множеството непрекъснати функции на [ а,б], така че

46. (Обобщена теорема на Бейр .) Докажете, че пълно метрично пространство не може да бъде представено като обединение от изброим брой от никъде плътни множества.

47. Докажете, че множеството от непрекъснати, немонотонни на всеки непразен интервал и никъде диференцируеми функции, дефинирани на интервала, е навсякъде плътно в пространството на всички непрекъснати функции на с еднаква метрика.

48*. Нека бъде ее диференцируема функция на сегмента . Докажете, че нейната производна е непрекъсната върху навсякъде плътно множество от точки. Това определение Лебегмерки нула. Ако преброимият брой интервали се замени с краен, тогава получаваме определението йорданскимерки нула.

Нека сега докажем някои специални свойства на затворени и отворени множества.

Теорема 1. Сборът от краен или изброим брой отворени множества е отворено множество. Произведението на краен брой отворени множества е отворено множество,

Помислете за сумата от краен или изброим брой отворени множества:

Ако , тогава P принадлежи на поне един от Нека Тъй като е отворено множество, тогава някои - квартал на P също принадлежи на Същата - квартал на P също принадлежи на сумата g, откъдето следва, че g е отворено множество. Помислете сега за крайния продукт

и нека P принадлежи на g. Нека докажем, както по-горе, че някаква -махала P принадлежи на g. Тъй като P принадлежи на g, тогава P принадлежи на всички . Тъй като са отворени множества, тогава за всеки има някои -neighborhood на точката, принадлежаща на . Ако числото се вземе равно на най-малкото от числото, което е крайно, тогава -околността на точката P ще принадлежи на всички и, следователно, на g. Забележете, че е невъзможно да се твърди, че произведението на преброим брой отворени множества е отворено множество.

Теорема 2. Множеството CF е отворено, а множеството CO е затворено.

Нека докажем първото твърдение. Нека P принадлежи на CF. Необходимо е да се докаже, че някоя махала P принадлежи на CF. Това следва от факта, че ако имаше точки F в която и да е - квартал P, точката P, която не принадлежи по условие, би била гранична точка за F и поради своята затвореност би трябвало да принадлежи, което води до противоречие.

Теорема 3. Произведението на краен или изброим брой затворени множества е затворено множество. Сборът от краен брой затворени множества е затворено множество.

Нека докажем, например, че множеството

затворен. Преминавайки към допълнителни набори, можем да пишем

По теоремата отворени множества, а по теорема 1 множеството също е отворено и по този начин допълващото множество g е затворено. Обърнете внимание, че сумата от преброим брой затворени множества може също да бъде незатворено множество.

Теорема 4. Множество е отворено и затворено множество.

Лесно е да се проверят следните равенства:

От тях, по силата на предходните теореми, следва теорема 4.

Ще кажем, че множество g се покрива от система M от някои множества, ако всяка точка g е включена в поне едно от множествата на системата M.

Теорема 5 (Борел). Ако затворено ограничено множество F е покрито от безкрайна система a от отворени множества O, тогава от тази безкрайна система може да се извлече краен брой отворени множества, които също покриват F.

Доказваме тази теорема от обратното. Да приемем, че няма краен брой отворени множества от системата a и да сведем това до противоречие. Тъй като F е ограничено множество, тогава всички точки на F принадлежат на някакъв краен двумерен интервал. Нека разделим този затворен интервал на четири равни части, като разделим интервалите наполовина. Всеки от получените четири интервала ще се счита за затворен. Тези точки от F, които попадат в един от тези четири затворени интервала, по силата на теорема 2 ще представляват затворено множество и поне едно от тези затворени множества не може да бъде покрито от краен брой отворени множества от системата a. Вземаме един от горните четири затворени интервала, където се случва това обстоятелство. Отново разделяме този интервал на четири равни части и спорим по същия начин, както по-горе. Така получаваме система от вложени интервали, от които всеки следващ е четвъртата част от предишния, и се получава следното обстоятелство: множеството точки F, принадлежащи на произволно k, не може да бъде покрито от краен брой отворени множества от системата а. С безкрайно увеличаване на k пропуските ще се свиват за неопределено време до някаква точка P, която принадлежи на всички пролуки. Тъй като за всяко k те съдържат неизброимо множество от точки, точката P е гранична точка за и следователно принадлежи на F, тъй като F е затворено множество. Така точката P е покрита от някакво отворено множество, принадлежащо на системата a. Някаква -околност на точка P също ще принадлежи на отвореното множество O. За достатъчно големи стойности на k, интервалите D ще попаднат вътре в горната -околност на точката P. Така те ще бъдат напълно покрити само от един отворено множество O на системата a, и това противоречи на факта, че точките, принадлежащи на за всяко k, не могат да бъдат покрити от краен брой отворени множества, принадлежащи на a. Така теоремата е доказана.

Теорема 6. Отвореното множество може да се представи като сума от преброим брой полуотворени пролуки по двойки без общи точки.

Припомнете си, че полуотворена празнина в равнината е крайна празнина, дефинирана от неравенства от вида .

Нека поставим на равнината решетка от квадрати със страни, успоредни на осите, и с дължина на страната, равна на единица. Множеството от тези квадрати е изброимо множество. Избираме от тези квадрати онези квадрати, чиито точки принадлежат на дадено отворено множество O. Броят на тези квадрати може да бъде краен или изброим, или може да няма изобщо такива квадрати. Разделяме всеки от останалите квадратчета от мрежата на четири еднакви квадрата и от новополучените квадратчета отново избираме тези, чиито всички точки принадлежат на O. Отново разделяме всеки от останалите квадрати на четири равни части и избираме онези квадрати, чиито всички точки принадлежат на O и т.н. Нека покажем, че всяка точка P от множеството O ще попадне в един от избраните квадрати, чиито всички точки принадлежат на O. Наистина, нека d е положително разстояние от P до границата на O. Когато достигнем квадрати, чийто диагонал е по-малък от , тогава можем очевидно да твърдим, че точката P вече е попаднала в квадрат, всички от чиито обеми принадлежат на O. Ако избраните квадрати се считат за полуотворени, тогава те няма да имат по двойки общи точки и теоремата е доказана. Броят на избраните квадратчета непременно ще бъде преброим, тъй като крайната сума от полуотворени празнини очевидно не е отворено множество. Означавайки с DL онези полуотворени квадрати, които получихме в резултат на горната конструкция, можем да запишем

Нека са дадени две множества X и Y, съвпадащи или не.

Определение. Наборът от подредени двойки елементи, от които първият принадлежи на X, а вторият на Y, се нарича Декартово произведение от множестваи се обозначава.

Пример. Нека бъде
,
, тогава

.

Ако
,
, тогава
.

Пример. Нека бъде
, където R е множеството от всички реални числа. Тогава
е множеството от всички декартови координати на точки в равнината.

Пример. Нека бъде
е семейство множества, то декартовото произведение на тези множества е множеството от всички подредени низове с дължина n:

Ако, тогава. Артикули от
са вектори-редове с дължина n.

Алгебрични структури с една двоична операция

1 Двоични алгебрични операции

Нека бъде
е произволно крайно или безкрайно множество.

Определение. двоичен алгебричниоперация ( вътрешен закон за композицията) на
се нарича произволно, но фиксирано отображение на декартов квадрат
в
, т.е.

(1)

(2)

По този начин всяка поръчана двойка

. Фактът че
, се изписва символично като
.

По правило двоичните операции се обозначават със символи
и т.н. Както и преди, операцията
означава "събиране", а операцията "" означава "умножение". Те се различават по формата на нотация и може би по аксиоми, което ще стане ясно от контекста. Изразяване
ще се нарича продукт и
- сума от елементи и .

Определение. Няколко
се нарича затворен под операцията, ако има .

Пример. Помислете за множеството от неотрицателни цели числа
. Като бинарни операции върху
ще разгледаме обичайните операции на събиране
и умножения. След това комплектите
,
ще бъдат затворени при тези операции.

Коментирайте. Както следва от дефиницията, присвояването на алгебричната операция * на
, е еквивалентна на затвореността на множеството
относно тази операция. Ако се окаже, че комплектът
не е затворено по отношение на дадената операция *, то в този случай казваме, че операцията * не е алгебрична. Например, операцията на изваждане върху множество естествени числа не е алгебрична.

Нека бъде
и
два комплекта.

Определение. Външен закон композициина снимачната площадка се нарича картографиране

, (3)

тези. законът, по който всеки елемент
и всеки елемент
елементът е назначен
. Фактът че
, обозначен със символа
или
.

Пример. Матрично умножение
на брой
е външен закон за композицията на множеството
. Умножение на числа в
може да се разглежда както като вътрешен закон на състава, така и като външен.

разпределителенотносно вътрешния закон на състава * в
, ако

Външният закон за композицията се нарича разпределителенпо отношение на вътрешния закон на състава * в Y, ако

Пример. Матрично умножение
на брой
е разпределителен както по отношение на събирането на матрица, така и по отношение на събирането на числа, тъй като,.

1. Свойства на бинарните операции

Двоична алгебрична операция  върху множество
Наречен:

Коментирайте. Свойствата на комутативността и асоциативността са независими.

Пример. Помислете за набора от цели числа. Операция включена дефинирайте според правилото
. Да изберем числа
и извършете операцията на тези числа:

тези. Операцията  е комутативна, но не и асоциативна.

Пример. Помислете за комплекта
са квадратни матрици с размерност
с реални коефициенти. Като двоична операция * on
Нека разгледаме операциите на умножение на матрици. Нека бъде
, тогава
, но
, т.е. Операцията на умножение върху набор от квадратни матрици е асоциативна, но не е комутативна.

Определение. елемент
Наречен единиченили неутраленотносно въпросната операция  на
, ако

Лема. Ако е идентификационният елемент на множеството
затворен под операция *, тогава е уникален.

Доказателство . Нека бъде е идентификационният елемент на множеството
, затворен по операция *. Да предположим, че в
има още един елемент
, тогава
, като е единичен елемент и
, като е единичен елемент. следователно,
е единственият елемент на идентичност на набора
.

Определение. елемент
Наречен обратенили симетричникъм елемент
, ако

Пример. Помислете за набора от цели числа с операция по добавяне
. елемент
, след това симетричният елемент
ще има елемент
. Наистина ли,.

Една от основните задачи на теорията на точковите множества е изследването на свойствата на различните видове точкови множества. Нека се запознаем с тази теория на два примера и да проучим свойствата на така наречените затворени и отворени множества.

Комплектът се нарича затворен ако съдържа всичките си гранични точки. Ако даден набор няма гранични точки, тогава той също се счита за затворен. В допълнение към своите гранични точки, затвореното множество може да съдържа и изолирани точки. Комплектът се нарича отворен ако всяка негова точка е вътрешна за нея.

Да донесем примери за затворени и отворени множества .

Всеки сегмент е затворено множество, а всеки интервал (a, b) е отворено множество. Неправилни полуинтервали и затворен, и неправилни интервали и отворен. Цялата линия е както затворен, така и отворен комплект. Удобно е да мислим за празния комплект като затворен и отворен едновременно. Всяко ограничено множество от точки на една права е затворено, тъй като няма гранични точки.

Комплект, състоящ се от точки:

затворен; този набор има единична гранична точка x=0, която принадлежи на множеството.

Основната задача е да разберете как работи произволно затворено или отворено множество. За да направим това, ни трябват редица спомагателни факти, които ще приемем без доказателства.

• 1. Пресечната точка на произволен брой затворени множества е затворена.
• 2. Сборът от произволен брой отворени множества е отворен набор.
• 3. Ако едно затворено множество е ограничено отгоре, то съдържа своята горна граница. По същия начин, ако затворено множество е ограничено отдолу, то съдържа своята долна граница.

Нека E е произволен набор от точки на правата. Наричаме допълнението на множеството E и означаваме с CE множеството от всички точки на правата, които не принадлежат на множеството E. Ясно е, че ако x е външна точка за E, то това е вътрешна точка за задайте CE и обратно.

4. Ако множеството F е затворено, то неговото допълнение CF е отворено и обратно.

Предложение 4 показва, че съществува много тясна връзка между затворените и отворените множества: едното е допълнение към другото. Поради това е достатъчно да се проучи само един затворен или един отворен набор. Познаването на свойствата на множества от един тип ви позволява незабавно да разберете свойствата на набори от друг тип. Например всяко отворено множество се получава чрез премахване на затворено множество от линия.

Пристъпваме към изследването на свойствата на затворените множества. Представяме едно определение. Нека F е затворено множество. Интервал (a, b) със свойството, че никоя от неговите точки не принадлежи на множеството F, докато точките a и b принадлежат на F, се нарича съседен интервал на множеството F.

Сред съседните интервали ще включим и неправилни интервали или, ако точката a или точка b принадлежи на множеството F, а самите интервали не се пресичат с F. Нека покажем, че ако точка x не принадлежи на затворено множество F, то тя принадлежи на един от съседните й интервали.

Означаваме с частта от множеството F, разположена вдясно от точката x. Тъй като самата точка x не принадлежи на множеството F, тя може да бъде представена под формата на пресичане:

Всяко от множествата F и е затворено. Следователно по предложение 1 множеството е затворено. Ако множеството е празно, тогава целият полуинтервал не принадлежи на множеството F. Нека сега приемем, че множеството не е празно. Тъй като това множество лежи изцяло на полуинтервала, то е ограничено отдолу. Означете с b долната му граница. Според предложение 3, което означава Освен това, тъй като b е инфимумът на множеството, тогава полуинтервалът (x, b), лежащ вляво от точката b, не съдържа точки от множеството и следователно не съдържа точки от множеството F. Така , ние сме построили полуинтервал (x, b), който не съдържа точки от множеството F и или, или точката b принадлежи на множеството F. По същия начин се конструира полуинтервал (a, x), че не съдържа точки от множеството F и или, или. Сега е ясно, че интервалът (a, b) съдържа точката x и е съседен интервал на множеството F. Лесно е да се види, че ако и са два съседни интервала от множеството F, тогава тези интервали или съвпадат, или правят не се пресичат.

От горното следва, че всяко затворено множество на правата се получава чрез премахване на определен брой интервали от линията, а именно съседни интервали от множеството F. Тъй като всеки интервал съдържа поне една рационална точка и всички рационални точки на линията са преброим набор, лесно е да се уверите, че броят на всички съседни интервали е най-много преброим. От тук получаваме окончателното заключение. Всяко затворено множество на линия се получава чрез премахване от линията най-много на изброим набор от непреходни интервали.

Съгласно предложение 4, това веднага означава, че всяко отворено множество на правата е най-много броим сбор от непреходни интервали. По силата на твърдения 1 и 2 също е ясно, че всяко множество, подредено, както е посочено по-горе, наистина е затворено (отворено).

Както може да се види от следващия пример, затворените множества могат да имат много сложна структура.