система на Лоренц. Лоренц атрактор

Хаотичните, странни атрактори съответстват на непредвидимото поведение на системи, които нямат строго периодична динамика; това е математически образ на детерминирани непериодични процеси. Странните атрактори са структурирани и могат да имат много сложни и необичайни конфигурации в триизмерно пространство.

Ориз. един.

и фазови портрети (долен ред) за три различни системи

(Gleick, 2001)

Въпреки че в трудовете на някои математици възможността за съществуването на странни атрактори е била предварително установена, за първи път конструирането на странен атрактор (фиг. 2) като решение на система от диференциални уравнения е извършено в работа по компютърно моделиране на термоконвекция и турбуленция в атмосферата от американския метеоролог Е. Лоренц (E. Lorentz, 1963). Крайното състояние на системата на Лоренц е изключително чувствително към първоначалното състояние. Самият термин "странен атрактор" се появява по-късно, в работата на Д. Руел и Ф. Такенс (D. Ruelle, F. Takens, 1971: виж Ruelle, 2001) за природата на турбулентността във флуид; авторите отбелязват, че размерността на странен атрактор е различна от обичайната или топологична.По-късно Б. Манделброт идентифицира странни атрактори, чиито траектории при последователни компютърни изчисления са безкрайно стратифицирани, разделени, с фрактали.

Ориз. 2. (Хаотични траектории в системата на Лоренц). Атрактор Лоренц (Кроновер, 2000 г.)

Лоренц (1963) открива, че дори проста система от три нелинейни диференциални уравнения може да доведе до хаотични траектории. -втори хармоници:

където s, r и b са някои положителни числа, параметри на системата. Обикновено изследванията на системата на Лоренц се извършват при s =10, r =28 и b =8/3 (стойности на параметрите).

Така системите, чието поведение се определя от правила, които не включват случайност, показват непредсказуемост във времето поради растеж, усилване, усилване на малки несигурности, флуктуации. Визуален образ на система с нарастваща неопределеност е т. нар. билярд от Я.Г. Синай: достатъчно голяма последователност от сблъсъци на топки неизбежно води до увеличаване на малките отклонения от изчислените траектории (поради неидеално сферичната повърхност на истинските топки, неидеално равномерната повърхност на плата) и непредсказуемостта на системата поведение.

В такива системи „случайността се създава по същия начин, по който се смесва тестото или се разбърква тесте карти“ (Crutchfield et al., 1987). Така наречената „пекарска трансформация” с последователно разтягане и сгъване, безкрайно сгъване е един от моделите за възникване на прехода от ред към хаос; в този случай броят на трансформациите може да служи като мярка за хаос. Има атрактор Айзава, който е специален случай на атрактора Лоренц.

където a = 0,95, B = 0,7, c = 0,6, d = 3,5, e = 0,25, F = 0,1. Всяка предходна координата се въвежда в уравненията, като получената стойност се умножава по стойностите на времето.

Примери за други странни атрактори

Атрактор WangSun

Тук a, b, d, e?R, c> 0 и f< 0 являются константами, cf ? 0, и x, y, z а это переменные состояния.

Атрактор на Рьослер

Където a,b,c= положителни константи. Със стойности на параметрите a=b=0,2 и

абстрактно

По дисциплина: Математика

„ Лоренц атрактор“

Лоренц атрактор

решение на системата приr =0,3

решение на системата приr =1,8

решение на системата приr =3,7

решение на системата приr =10

решение на системата приr =16

решение на системата приr =24,06

решение на системата приr =28 — всъщност това е атракторът на Лоренц

решение на системата приr =100 - се вижда режимът на автоколебанията в системата

Лоренц атрактор (от английски.да привлекат - привличане) е инвариантно множество в триизмерен гладък , който има определена сложна топологична структура и е асимптотично стабилен, той и всички траектории от някакъв квартал са склонни да в (оттук и името).

Атракторът на Лоренц е открит при числени експерименти, изследващи поведението на траекториите на нелинейна система:

със следните стойности на параметрите: σ=10,r =28, б =8/3. Тази система за първи път е въведена като първата нетривиална за проблема с морската вода в плосък слой, което мотивира избора на стойностите на σ,r иб , но възниква и при други физически въпроси и модели:

конвекция в затворен контур;

въртене на водното колело;

едномодов модел;

дисипативен с инерционна нелинейност.

Първоначална хидродинамична система от уравнения:

където - скорост на потока, - температура на течността, - температура на горната граница (на долната, ), - плътност, - налягане, - земно притегляне, - съответно и кинематични.

В проблема с конвекцията моделът възниква при разлагане на скоростта и температурата на потока на двумерни и последващите им „разрязвания“ до първи-втори хармоници. В допълнение, дадената пълна система от уравнения е написана на . Подрязването на редовете е оправдано до известна степен, тъй като Солцман в работата си демонстрира липсата на каквито и да било интересни характеристики в поведението на повечето хармоници.

Приложимост и съответствие с реалността

Нека обозначим физическия смисъл на променливите и параметрите в системата от уравнения във връзка с посочените проблеми.

Конвекция в плосък слой. Тукх отговорен за скоростта на въртене на водните валове,г иz - за хоризонтално и вертикално разпределение на температурата,r - нормализиран , σ - (отношението на кинематичния коефициент към коефициента ),б съдържа информация за геометрията на конвективната клетка.

Конвекция в затворен цикъл. Тукх - скорост на потока,г - температурно отклонение от средната в точка на 90 ° от долната точка на контура,z - същото, но в долната точка. Топлината се подава в най-ниската точка.

Въртене на водното колело. Разгледан е проблемът с колело, върху чийто ръб са фиксирани кошници с дупки в дъното. Горната част на колелотосиметрично непрекъснат поток от вода тече около оста на въртене. Задачата е еквивалентна на предишната, обърната „с главата надолу“, със замяна на температурата с плътността на разпределение на масата вода в кошниците по ръба.

едномодов лазер. Тукх - амплитудата на вълните в лазера,г - , z - инверсия на населението,б и σ са съотношенията на коефициентите на инверсия и полето към коефициента на релаксация на поляризацията,r - интензивност.

Струва си да се отбележи, че приложен към проблема с конвекцията, моделът на Лоренц е много грубо приближение, много далеч от реалността. Повече или по-малко адекватно съответствие съществува в областта на регулярните режими, където стабилните решения отразяват качествено експериментално наблюдаваната картина на равномерно въртящи се конвективни ролки (). Хаотичният режим, присъщ на модела, не описва турбулентна конвекция поради значителното подрязване на оригиналната тригонометрична серия.

Интерес представлява значително по-високата точност на модела с някои негови модификации, който се използва по-специално за описване на конвекция в слой, подложен на вибрации във вертикална посока или на променливи топлинни ефекти. Такива промени във външните условия водят до модулиране на коефициентите в уравненията. В този случай високочестотните компоненти на Фурие на температурата и скоростта са значително потиснати, подобрявайки съгласието между модела на Лоренц и реалната система.

Заслужава да се отбележи късметът на Лоренц при избора на стойността на параметъра , тъй като системата идва само за стойности по-големи от 24,74, за по-малки стойности поведението е напълно различно.

Поведение на системното решение

Нека разгледаме промените в поведението на решението на системата на Лоренц за различни стойности на параметъра r. Илюстрациите към статията показват резултатите от числената симулация за точки с начални координати (10,10,10) и (-10,-10,10). Симулацията беше извършена с помощта на програмата по-долу, написана на езика, начертана върху получените таблици - поради слабите графични възможности на Fortran с помощта на Compaq Array Viewer.

r <1 - началото на координатите е атрактора, няма други стабилни точки.

1< r <13,927 - траекториите се приближават спирално (това съответства на наличието на затихнали трептения) до две точки, чието положение се определя от формулите:

Тези точки определят състоянията на режима на стационарна конвекция, когато в слоя се образува структура от въртящи се флуидни ролки.

r ≈13,927 - ако траекторията напусне началото, тогава, след като направи пълен оборот около една от стабилните точки, тя ще се върне обратно в началната точка - появяват се две хомоклинични бримки. концепцияхомоклинична траектория означава, че излиза и идва в същото положение на равновесие.

r >13,927 - В зависимост от посоката, траекторията стига до една от двете стабилни точки. Хомоклиничните бримки се регенерират в нестабилни гранични цикли и също така възниква семейство от сложно подредени траектории, което не е атрактор, а напротив, отблъсква траектории от себе си. Понякога, по аналогия, тази структура се нарича "странно отблъскващо устройство" (англ.да отблъсквам - отблъсквам).

r ≈24,06 - траекториите вече не водят до стабилни точки, а асимптотично се приближават до нестабилни гранични цикли - появява се действителният атрактор на Лоренц. Въпреки това и двете стабилни точки се запазват до стойноститеr ≈24,74.

При големи стойности на параметъра траекторията претърпява сериозни промени. Шилников и Каплан показаха това за много големиr системата преминава в режим на собствено трептене и ако параметърът се намали, ще се наблюдава преход към хаос чрез последователност от удвояване на периода на трептене.

Значение на модела

Моделът на Лоренц е реален физически пример с хаотично поведение, за разлика от различни изкуствено конструирани отображения ( и т.н.).

Програми, които симулират поведението на системата Лоренц

Борланд С

#включи

#включи

void main()

двойно x = 3,051522, y = 1,582542, z = 15,62388, x1, y1, z1;

двойно dt = 0,0001;

int a = 5, b = 15, c = 1;

int gd=ОТКРИВАНЕ, gm;

initgraph(&gd, &gm, "C:\\BORLANDC\\BGI");

правя (

X1 = x + a*(-x+y)*dt;

Y1 = y + (b*x-y-z*x)*dt;

Z1 = z + (-c*z+x*y)*dt;

X=x1; y=y1; z = z1;

Putpixel((int)(19.3*(y - x*0.292893) + 320),

(int)(-11*(z + x*0,292893) + 392), 9);

) докато (!kbhit());

closegraph();

Mathematica

данни = таблица[

С [(N = 1000, dt = 0,01, a = 5, b = 1 + j, c = 1),

NestList &,

(3.051522, 1.582542, 15.62388), N

(j, 0, 5)];

[защитен с имейл][(Hue], Point[#1]) &, data]

Борланд Паскал

Програма Лоренц;

Използва CRT, Graph;

Конст

dt = 0,0001;

а = 5;

b = 15;

c = 1;

Вар

gd, gm: цяло число;

x1, y1, z1, x, y, z: Реални;

Започнете

gd:=Откриване;

InitGraph(gd, gm, "c:\bp\bgi");

x:= 3,051522;

y:= 1,582542;

z:= 15,62388;

Докато не е натиснат, Започнете

x1:= x + a*(-x+y)*dt;

y1:= y + (b*x-y-z*x)*dt;

z1:= z + (-c*z+x*y)*dt;

x:= x1;

y:= y1;

z:= z1;

Поставете пиксел(Кръгла(19,3*(y - x*0,292893) + 320),

Кръгла(-11*(z + x*0,292893) + 392), 9);

край;

Затваряне на графиката;

ReadKey;

край.

ФОРТРАН

програма LorenzSystem

real,parameter::sigma=10

реален,параметър::r=28

реален,параметър::b=2.666666

real,parameter::dt=.01

цяло число,параметър::n=1000

реални x,y,z

open(1,file="result.txt",form="formatted",status="replace",action="write")

x=10.;y=10.;z=10.

doi=1,n,1

x1=x+сигма*(y-x)*dt

y1=y+(r*x-x*z-y)*dt

z1=z+(x*y-b*z)*dt

x=x1

y=y1

z=z1

напишете (1,*)x,y,z

край направи

печат *, "Готово"

затвори (1)

крайна програма LorenzSystem

QBASIC/FreeBASIC("fbc -lang qb")

DIM x, y, z, dt, x1, y1, z1 КАТО ЕДИНИЧНИ

DIM a, b, c КАТО ЦЯЛО ЧИСЛО

x = 3,051522: y = 1,582542: z = 15,62388: dt = 0,0001

a=5: b=15: c=1

ЕКРАН 12

ПЕЧАТ „Натиснете Esc, за да излезете“

WHILE INKEY$<>CHR$ (27)

x1 = x + a * (-x + y) * dt

y1 = y + (b * x - y - z * x) * dt

z1 = z + (-c * z + x * y) * dt

x=x1

y = y1

z = z1

PSET ((19,3 * (y - x * .292893) + 300), (-11 * (z + x * .292893) + 360)), 9

WEND

КРАЙ

JavaScript и HTML5

var cnv = document.getElementById("cnv");

var cx = cnv.getContext("2d");

var x = 3,051522, y = 1,582542, z = 15,62388, x1, y1, z1;

vardt = 0,0001;

var a = 5, b = 15, c = 1;

var h = parseInt(cnv.getAttribute("височина"));

var w = parseInt(cnv.getAttribute("width"));

var id = cx.createImageData(w, h);

varrd = Math.round;

var idx = 0;

i=1000000; докато аз--) (

x1 = x + a*(-x+y)*dt;

y1 = y + (b*x-y-z*x)*dt;

z1 = z + (-c*z+x*y)*dt;

x = x1; y=y1; z = z1;

idx=4*(rd(19.3*(y - x*0.292893) + 320) + rd(-11*(z + x*0.292893) + 392)*w);

id.data = 255;

cx.putImageData(id, 0, 0);

IDL

PRO Лоренц

n=1000000 & r=dblarr(n,3) & r= & a=5. &b=15. &c=1.

ЗА i=0.,n-2. DO r=r + [ a*(r-r), b*r-r-r*r, r*r-c*r ]*0,0001

графика, 19.3*(r[*,1]-r[*,0]*0.292893)+320.,-11*(r[*,2]+r[*,0]*0.292893)+392.

КРАЙ

литература

Кузнецов S.P. , Лекция 3. Система на Лоренц; Лекция 4. Динамика на системата на Лоренц. // - М.: Физматлит, 2001.

Залцман Б . Конвекция без крайна амплитуда като проблем с начална стойност. // Списание за атмосферна наука, № 7, 1962 - с. 329-341.

Лоренц Е . Детерминирано непериодично движение // Странни атрактори. - М., 1981. - С. 88-116.

Обикновено така казват хаосе по-висша форма на ред, но е по-правилно да се разглежда хаоса като друга форма на ред – неизбежно във всяка динамична система редът в обичайния му смисъл е последван от хаос, а редът следва хаоса. Ако определим хаоса като безпорядък, тогава в такъв безпорядък определено ще можем да видим нашата собствена, специална форма на ред. Например, дим от цигариотначало се издига под формата на подредена колона под въздействието на външната среда, придобива все по-странни очертания, а движенията й стават хаотични. Друг пример за случайност в природата е лист от всяко дърво. Може да се твърди, че ще намерите много подобни листа, като дъб, но нито един чифт еднакви букви. Разликата се определя от температура, вятър, влажност и много други външни фактори освен чисто вътрешни причини (напр. генетична разлика).

Теория на хаоса

Движението от ред към хаос и обратно, очевидно е същността на Вселената, ние не сме изучавали нейните проявления. Дори в човешкия мозък съществуват едновременно подредени и хаотични принципи. Първият съответства на лявото полукълбо на мозъка, а вторият - на дясното. Лявото полукълбо е отговорно за съзнателното поведение на човек, за развитието на линейни правила и стратегии в човешкото поведение, където "ако ... тогава ..." е ясно дефинирано. В дясното полукълбо цари нелинейност и хаос. Интуицията е една от проявите на дясното полукълбо на мозъка. Теория на хаосаизучава реда на хаотична система, която изглежда произволна, безпорядъчна. В същото време теорията на хаоса помага да се изгради модел на такава система, без да се поставя задачата за точно прогнозиране на поведението на хаотичната система в бъдеще.

История на теорията на хаоса

Първите елементи на теорията на хаоса се появяват през 19-ти век, но тази теория получава истинско научно развитие през втората половина на 20-ти век, заедно с произведенията Едуард Лоренц(Едуард Лоренц) от Масачузетския технологичен институт и френско-американският математик Беноа Б. Манделброт (Benoit B. Mandelbrot). Едуард Лоренц по едно време (началото на 60-те години на XX век, работа, публикувана през 1963 г.) обмисля каква е трудността при прогнозирането на времето. От работата на Лоренц две мнения доминираха в света на науката относно възможността за точна прогноза за времето за безкрайно дълъг период от време. Първи подходформулиран през 1776 г. от френски математик Пиер Симон Лаплас. Лаплас заяви, че „...ако си представим ум, който в даден момент разбира всички връзки между обекти във Вселената, тогава той би бил в състояние да установи съответните позиции, движения и общи ефекти на всички тези обекти по всяко време в или минало в бъдещето." Този негов подход много приличаше на известните думи на Архимед: „Дайте ми опорна точка и аз ще обърна целия свят с главата надолу“. Така Лаплас и неговите поддръжници казаха, че за да се предскаже точно времето, е необходимо само да се събере повече информация за всички частици във Вселената, тяхното местоположение, скорост, маса, посока на движение, ускорение и т.н. Лаплас вярвал, че колкото повече човек знае, толкова по-точна ще бъде неговата прогноза за бъдещето. Втори подходдо възможността за прогноза за времето е най-ясно формулирана от друг френски математик, Жул Анри Поанкаре. През 1903 г. той казва: „Ако знаехме точно законите на природата и положението на Вселената в началния момент, бихме могли да предвидим точно позицията на същата Вселена в следващ момент. Но дори и природните закони да ни разкрият всички свои тайни, дори тогава бихме могли да знаем първоначалното положение само приблизително. Ако това ни позволи да предвидим последващата позиция със същото приближение, това би било всичко, от което се нуждаехме и бихме могли да кажем, че явлението е предсказано, че се управлява от закони. Но не винаги е така, че малките разлики в първоначалните условия причиняват много големи различия в крайното явление. Малка грешка в първата ще доведе до огромна грешка във втората. Предсказанието става невъзможно и ние имаме работа с явление, което се развива случайно.” В тези думи на Поанкаре откриваме постулата на теорията на хаоса за зависимостта от началните условия. Последващото развитие на науката, особено на квантовата механика, опровергава детерминизма на Лаплас. През 1927 г. немски физик Вернер Хайзенберготкрити и формулирани принцип на несигурност. Този принцип обяснява защо някои случайни явления не се подчиняват на лапласовия детерминизъм. Хайзенберг демонстрира принципа на неопределеността, използвайки радиоактивния разпад на ядрото като пример. Така че за много малкия размер на ядрото е невъзможно да се знаят всички процеси, протичащи вътре в него. Следователно, независимо колко информация събираме за ядрото, е невъзможно да се предвиди точно кога ще се разпадне това ядро.

Инструменти на теорията на хаоса

Какви инструменти има теорията на хаоса? На първо място, това са атрактори и фрактали. Атрактор (от англ. да привличам - привличам) - геометрична структура, която характеризира поведението във фазовото пространство в края на дълго време. т.е атрактор- това е, което системата се стреми да постигне, към което е привлечена. Най-простият тип атрактор е точка. Такъв атрактор е типичен за махало при наличие на триене. Независимо от първоначалната скорост и положение, такова махало винаги ще се спира, т.е. точно. Следващият тип атрактор е граничният цикъл, който има формата на затворена крива линия. Пример за такъв атрактор е махало, което не се влияе от силата на триене. Друг пример за лимитиран цикъл е сърдечният ритъм. Честотата на ударите може да намалява и да се увеличава, но тя винаги се стреми към своя атрактор, своята затворена крива. Третият тип атрактор е тор. На фигура 1 торът е показан в горния десен ъгъл.
Фигура 1 - Основни типове атрактори Показани в горната част са три предвидими, прости атрактори. По-долу са три хаотични атрактора. Въпреки сложността на поведението на хаотичните атрактори, понякога наричани странни атрактори, познаването на фазовото пространство позволява да се представи поведението на системата в геометрична форма и съответно да се предскаже. И въпреки че престоят на системата в определен момент от време в определена точка от фазовото пространство е практически невъзможен, зоната, където се намира обектът, и неговата тенденция към атрактора са предвидими.

Атрактор на Лоренц

Първият хаотичен атрактор е атракторът на Лоренц.
Фигура 2 - Хаотичен атрактор на Лоренц Лоренц атракторизчислено на базата само на три степени на свобода - три обикновени диференциални уравнения, три константи и три начални условия. Въпреки това, въпреки своята простота, системата на Лоренц се държи по псевдослучаен (хаотичен) начин. След като симулира системата си на компютър, Лоренц идентифицира причината за нейното хаотично поведение - разликата в първоначалните условия. Дори едно микроскопично отклонение на две системи в самото начало в процеса на еволюция доведе до експоненциално натрупване на грешки и съответно до тяхното стохастично несъгласие. В същото време всеки атрактор има гранични размери, така че експоненциалната дивергенция на две траектории на различни системи не може да продължи безкрайно. Рано или късно орбитите ще се сближат отново и ще преминат една до друга или дори ще съвпаднат, въпреки че последното е много малко вероятно. Между другото, съвпадението на траекториите е правилото за поведението на простите предвидими атрактори. конвергенция-дивергенция(наричано съответно комбиниране и разтягане) на хаотичен атрактор систематично премахва първоначалната информация и я заменя с нова информация. При изкачване траекториите се приближават една към друга и започва да се проявява ефектът на късогледство – несигурността на широкомащабната информация се увеличава. Когато траекториите се разминават, напротив, те се разминават и ефектът на далекогледство се появява при увеличаване на несигурността на дребномащабната информация. В резултат на постоянната конвергенция-дивергенция на хаотичния атрактор, неопределеността нараства бързо, което прави невъзможно да правим точни прогнози за всеки момент от време. Това, с което науката се гордее - способността да установява връзки между причините и следствията - е невъзможно в хаотичните системи. Няма причинно-следствена връзка между миналото и бъдещето в хаоса. Тук също трябва да се отбележи, че скоростта на конвергенция-дивергенция е мярка за хаос, т.е. числов израз на това колко хаотична е системата. Друга статистическа мярка за хаоса е измерението на атрактора. По този начин може да се отбележи, че основното свойство на хаотичните атрактори е конвергенцията-разминаването на траекториите на различни системи, които произволно постепенно и безкрайно се смесват.

Изв. университети "ПНД", т. 15, № 1, 2007 г. УДК 517.9

АТРАКТОР НА ЛОРЕНЦ ПРИ СРЕЖАЩИ ПОТОЦИ

А.М. Мухамедов

В рамките на предложения по-горе модел на хаотична динамика на непрекъсната среда се получава реализация на триизмерния режим на флуктуации на скоростта на потока, съответстващ на атрактор от типа Лоренц. Решението е набор от структури, които определят геометрията на слоестия колектор, редуциран до триизмерния случай, образуван от пулсации на скоростите на средния поток. Самата динамика на атрактора на Лоренц се проявява под формата на времева зависимост на флуктуациите на скоростта по линиите на тока на средния поток.

Както е известно, един от класическите примери за детерминиран хаос, атракторът на Лоренц, открит в резултат на приложни хидродинамични изследвания, все още не е възпроизведен адекватно във формализма на съществуващата турбулентна механика. В трудовете на автора е изразена хипотеза, че класическото хидродинамично решение на този проблем не може да бъде получено по принцип и е предложено обосновка за такъв извод. Тя се основава на разбирането, че атракторните модели на хаотичната динамика влияят на мезоскопичното ниво на движение на непрекъсната среда и че това ниво не е представено в класическите уравнения на Навие-Стокс. Това доведе до предложението за разширяване на възможностите за решаване на проблема за атрактора на Лоренц чрез изрично включване на допълнителни мезоструктури в математическия формализъм на хидродинамиката, които извеждат апарата на тази теория извън рамките на класическите операции с уравненията на Навие-Стокс.

Понастоящем атракторните режими на динамиката на непрекъсната среда се изграждат в рамките на модели, които са далечни абстракции на движението на непрекъсната среда, почти без да се използва концепцията за механични взаимодействия на частиците на средата помежду си . В някои случаи тези абстракции отразяват свойствата на операторите от еволюционен тип, действащи в йерархия от вложени хилбертови пространства. В други случаи те отразяват динамиката на крайномерни системи, които възпроизвеждат промени в състоянията на околната среда, но в този случай всяко от състоянията всъщност е представено само от точка от съответното фазово многообразие. Такова моделиране не отговаря на приложната цел на хидромеханиката, която изисква възпроизвеждане на всички основни структури директно, тоест в пространството, заето от непрекъсната среда. Ако вземем предвид аргументите на теоретичните и експерименталните данни в полза на

съществуването на такова представяне, то възпроизвеждането на атрактори в контекста на динамиката на пространствено-времеви характеристики на средата изглежда неотложна необходимост.

В тази статия атракторът на Лоренц е конструиран в рамките на предложената в модела турбулентна динамика. Според този модел фазовите пространства на турбулентните режими са стратификации от струи на флуктуации на хидродинамични величини. Геометрията на флуктуиращите снопове се приема за априори произволна, определена от моделираните характеристики на съответните хаотични режими. Основният обект на моделиране е хаотична структура, която представлява комплекс от нестабилни траектории на движение на точки в средата. Предполага се, че всеки установен турбулентен режим съответства на добре дефинирана хаотична структура. В траекторията на хаотична структура те бяха идентифицирани с набора от интегрални криви на неинтегрируемо (нехолономно) разпределение от тип Pfaff, дефинирано върху пакет от флуктуации от динамични променливи.

Характерна особеност на предложения модел е методът на Лагранж за описване на движението на среда, който в общия случай не се свежда до описване на движението чрез променливите на Ойлер. В същото време се оказа, че описанието на Лагранж е чудесно адаптирано, за да отразява динамиката на системите със странни атрактори. Вместо строгите ограничения на парадигмата на Ойлер, описанието на Лагранж налага много по-меки условия, които служат за дефиниране на геометричните обекти на съответните неголономни разпределения. Такава промяна в акцента на моделирането прави възможно възпроизвеждането на различни атрактори в динамиката на снопове от частици в континуална среда.

1. Да зададем уравненията за динамиката на пулсациите на трирежимния режим

(yi + 4 (x, y!) (xk = Ar(x, y^)(U (1,3,k = 1,2,3), (1)

където xk и yz образуват множествата от пространствени и динамични координати на стратификацията на пулсациите, а обектите mkk(x, yt)(xk и Ar(x, yt)M определят естеството на интермодовите взаимодействия на режима. Тези обекти и самото уравнение (1) може да се разглежда като правила за образуване на производни на динамични координати по отношение на пространствените координати и времето, определени от реалната турбулентна еволюция. Инвариантният геометричен смисъл на тези обекти е, че в снопа от пулсации те определят обектът на вътрешна връзка и съответно вертикалното векторно поле.

Да приемем, че въведените по-горе динамични координати имат значението на флуктуации в скоростта на потока на средата, тоест действителната скорост на средата може да бъде разширена в полето на скоростта на средния поток и флуктуациите по формулата

u (x, y) = u0 (x) + y. (2)

Ще вземем уравненията за баланса на масата и импулса под формата на стандартното уравнение за непрекъснатост и уравнението на Навие-Стокс

Chr + udi. (4)

Тази система от уравнения все още не е завършена, тъй като уравнение (4) включва налягане, което е термодинамична променлива, чиято динамика в общия случай излиза извън обхвата на кинематиката. За да се опишат флуктуациите на налягането, са необходими нови динамични координати, което увеличава броя на необходимите степени на свобода за описване на съответния режим на турбулентно движение. Въвеждаме нова динамична променлива, която има значението на флуктуации на налягането, тоест вземаме

p(x,y)= po(x) + y4. (5)

По този начин първоначалният набор от необходими динамични координати за изобразяване на движението на непрекъсната среда е четириизмерен.

Възможността за редукция до триизмерна система с динамика, подобна на динамиката на системата на Лоренц, се крие във факта, че налягането влиза в уравнение (4) под формата на градиент. Оттук следва, че свеждането до триизмерната динамика на флуктуациите на скоростта може да се извърши, ако градиентът на налягането, влизащ в уравнение (4), съдържа само първите три динамични координати. За да направите това, достатъчно е да се изисква в уравненията на динамиката за четвъртата координата

dy4 + wj (x, y)dxk = A4 (x, y)dt (6)

коефициентите на свързващите форми w4(x,yj)dxk зависят само от първите три динамични координати. Имайте предвид, че триизмерният режим може да се окаже нестабилен от гледна точка на по-пълно описание, което включва разглеждане на всички възбудени степени на свобода. Ние обаче ще се ограничим до моделиране именно на тази априори възможна динамика.

Нека разгледаме условията, наложени от балансовите уравнения (3), (4) на изразите за неизвестните величини wk(x,yj)dxk и Ai(x,yj)dt, включени в динамичното уравнение (1). За да направим това, заместваме (2) и (5) в (3) и (4) и използваме уравнения (1) и (6). За да опростим получените изрази, приемаме, че пространствените координати xk са декартови. В този случай не можете да правите разлика между горни и долни индекси, като ги повишавате и намалявате, ако е необходимо, за да напишете ковариантни изрази. Тогава получаваме следните уравнения за коефициентите на уравнение (1)

dkuk - wj = 0, (7)

Ai + (uk + yk)(djuk - wj) = -(dipo - w4i) - vDjwik. (осем)

където се въвежда обозначението Dj = dj - wk^y.

За това, което следва, ние конкретизираме формулировката на проблема. Ще разгледаме режим, чието средно поле на скоростта описва потока на обикновено срязване

uk = Ax3à\. (девет)

В допълнение, ние правим предположения за геометрията на пространството за пулсиране на влакна. Ще приемем, че снопчето е свързано като линейна функция в динамични координати, тоест w^ = waj (x)yj (a = 1,..., 4). В този случай от уравнение (8) непосредствено следва, че вторият обект придобива структура, която е полиномна в динамичните координати. А именно, вертикалното векторно поле се превръща в полином от втори ред по динамични координати, т.е.

Ai = Ak (x) + Aj (x)yk + j (x)yj yk.

Така неизвестните функции, които определят уравнението за динамиката на пулсациите на разглеждания тримодов режим, са коефициентите waak(x), Ar0(x), Ark(x) и A3k(x), за които имаме уравнения (3) и (4). Забележете, че уравнение (4) по същество се свежда до определяне на коефициентите на вертикалното векторно поле, докато изборът на коефициенти на свързване ограничава само уравнението за непрекъснатост (3). Това уравнение оставя значителен произвол при определяне на коефициентите на свързаност, като по този начин оставя широчината на моделиране на пространствената структура на динамиката на флуктуацията в съответствие с избрания среден поток.

2. Помислете за възможността за получаване на атрактор от типа Лоренц в тази задача. За тази цел на първо място ще обсъдим разширяването на действителните стойности на скоростта в средната скорост и колебанията около средната.

Според значението на пулсациите, тяхното средно време трябва да е равно на нула, т.е.

(y)t - 0. (10)

В същото време пулсациите се определят като отклонения на действителните стойности на скоростта от средната стойност. Ако се приеме, че средният поток е даден, тогава отбелязаното обстоятелство не ни позволява да изберем произволна система от уравнения с хаотична динамика като моделно уравнение на хаоса. За да се разглеждат променливите на моделната система от уравнения като пулсации на реални хидромеханични величини, трябва да са изпълнени условия (10). Ако (10) не е изпълнено, това означава наличието на неотчетен дрейф в динамиката на пулсациите. Съответно възприетата моделна система се оказва несъвместима нито с взетите предвид действащите фактори, нито със структурата на позволения среден поток.

Освен това, уравнение (1) в общия случай е не напълно интегрируема система от тип Pfaff. Свойството на неинтегрируемост на това уравнение е фундаментално важно, съответстващо на характеристика, характерна за турбулентното движение. А именно в процеса на движение всякакви макроскопски малки турбулентни образувания, частици, молци, глобули губят своята индивидуалност. Тази особеност се взема предвид от неинтегрируемостта на уравнение (1). По същество (1) описва съвкупност от възможни траектории на движение на точките на континуум, образуван от непрекъсната среда. Тези траектории са определени в пакета от колебания. Техните проекции върху пространството, заето от непрекъсната среда, определят динамиката на развитието на флуктуациите по съответните пространствени криви. Имайте предвид, че последното може да бъде избрано произволно, определяйки възможността за разглеждане на динамиката на флуктуациите по всяка пространствена крива.

Нека разгледаме за определеност динамиката на флуктуациите по линиите на тока на средния поток. Тогава имаме следните динамични уравнения:

xr = u0, (11)

y + w) k y3 4 \u003d Ar. (12)

Преди да разгледаме тази система, ние я трансформираме в безразмерни променливи. За да направите това, в първоначалното уравнение (4), вместо коефициента на вискозитет, ние въвеждаме

Числото на Рейнолдс. След това премахнете изричната зависимост от това число, като замените

<сг = 1_<юг, ю4 = со4, х = х^Иё, у = у^Кё, и0 = и0^Иё, рг = Иер0. (13)

Пропускайки долната черта над променливите, от (12) получаваме

y \u003d DiO - и! kdkiO - dgro + y3 (-dziO +<г - дкюЗ^ + ю\кю*к) + у3ук<3к. (14)

Нека анализираме (13). Имайте предвид, че използвания модел предполага развита турбулентност, тоест числото на Рейнолдс трябва да се счита за достатъчно голямо. Тогава, ако безразмерните величини имат стойности от порядъка на единица, тогава реалните размерни величини в съответствие с (13) ще показват мащаба на проявлението на динамиката. По-специално, от (13) следва, че пространствените мащаби се оказват малки. Следователно използваният модел трябва да се разглежда преди всичко като модел на турбулентни процеси на смесване на мезоскопско ниво на разделителна способност на непрекъсната среда.

Нека сега се обърнем към анализа на (11) и (12). Лесно е да се види, че за избрания среден поток уравнение (11) има прости интеграли. Съответните уравнения на средния ток са прави линии, успоредни на координатната ос x1. Елиминирайки пространствените координати, от (12) получаваме в общия случай система от неавтономни диференциални уравнения. В този случай, ако коефициентите на свързаност и градиента на налягането не зависят от координатата x1, тогава системата (14) става автономна, съдържаща останалите пространствени координати x2 и x3 като параметри. В този случай се открива реален път за директно моделиране на пространствено нехомогенната квазистационарна пулсационна динамика. По-долу ще бъде даден пример за такава симулация.

В заключение на този параграф отбелязваме, че появата на неголономно разпределение, дадено от системата на Pfaff (1), (6), е следствие от предположението, че в състояние на устойчива силна турбулентност класът на възможните траектории на движение на частиците на средата е стабилна формация. Необходимо условие за тази нова стабилност е изискването за нестабилност на траекториите на движение на точките, което от своя страна предполага големи стойности на числото на Рейнолдс. Опитът за разширяване на подхода до малки стойности на числото Re е неоснователен.

3. Нека се обърнем към конструирането на пример, в който флуктуациите на скоростта по траекториите на средния поток се описват от канонична система от типа Лоренц. За простота ще приемем, че всички коефициенти на свързване са постоянни. В този случай получаваме динамика, която е пространствено хомогенна по линиите на тока на средния поток, но въпреки това по произволни линии не е пространствено хомогенна. Ще наречем това предположение квазихомогенно приближение.

Нашата задача е да придадем на уравнение (14) формата на каноничната система на Лоренц. Първата видима пречка за това е несигурността при идентифициране на динамичните координати и съответните променливи

от каноничната система. Ако приемем, че различни видове механизми на интермодови взаимодействия ще направят възможно симулирането на някоя от тези идентификации, ще изберем следната опция. Нека структурата на уравнение (14) има следния вид:

y1 = a(-y1 + y2), (15)

y2 = (r - (r))y1 - y2 - y1y3, (16)

y3 = -y(y3 + (r)) + y1y2, (17)

където изрично е обособен редовният член, който в съответствие с казаното в раздел 2 трябва да бъде изключен от израза за пулсации.

x \u003d o (-x + y), y = rx - y - xr, r \u003d -y r + xy. (осемнадесет)

За това приемаме, че съществуват средни времеви стойности за променливите от система (18). Въз основа на инвариантността на тази система по отношение на трансформациите

x ^ -x, y ^ -y, z ^ z (19)

естествено е да се очаква, че средните стойности за първите две променливи трябва да са нула. След това замяната

x ⩽ x, y ⩽ y, z ⩽ z + (z) (20)

в (18) дава системата от уравнения (15) - (17).

В тази връзка отбелязваме, че за различни стойности на параметрите на системата на Лоренц са възможни решения както с нулеви, така и с ненулеви средни стойности на първите две променливи. Имайки това предвид, ние ограничаваме нашето последващо разглеждане до първата от тези възможности. Освен това отбелязваме, че заместване (20) може да се извърши и в случай, когато терминът в третия израз (20) няма значението на средната стойност за времето. В този случай може да се наложи нова дефиниция на процедурата на осредняване за последваща интерпретация. В общия случай подходяща дефиниция ще изисква прецизиране на времевите мащаби на разглежданите явления. Ясно е, че подобни предефинирания ще изискват по-подробно разглеждане както на първоначалните данни, така и на вариациите в параметрите на системата. Добре известният ефект от взаимодействието на хаотичните атрактори показва как могат да възникнат неясноти при определянето на средните стойности за малки вариации в параметрите на движение.

Да се ​​върнем към нашето разглеждане. Сравнявайки коефициентите на системата (15) -(17) и (14), получаваме

(DiO - u£dki0 - c/ro) =

(-3]u0 + - dkyu] + u^) =

V -U (r)) (-o

g - (g) -1 0 V 0 0 -y

Освен това от (7) имаме

dk u0 = 0, 0.

Помислете за (21) и (24). Замествайки израза (9), е лесно да се види, че (24) се изпълнява идентично, а (21) се свежда само до определянето на средния градиент на налягането. В този случай градиентът се оказва перпендикулярен на средната скорост на потока, което е следствие от избраната идентификация на променливите на каноничната система на Лоренц и компонентите на флуктуацията на скоростта.

Нека се обърнем към уравнения (23) и (25). От (23) получаваме еднозначни изрази за симетризираните в индекса компоненти на обекта на свързване. Антисиметричната част се определя от (25) с известен произвол. Общото решение на тези уравнения се дава от следния израз:

/ ae,x2 - bxx - aix1 + sd,x3 bx1 - cx2 \

eix2 - /dix3 -eix1 + bix3 (/ - 1)dix1 - bix2 V ra1x2 - eix3 (-p + 1)dix1 + aix3 eix1 - aix2)

Нека се обърнем към останалото уравнение (22). Това матрично уравнение е система от 9 квадратни алгебрични уравнения

b2 - c(p + /) +

ae - bp + Yur \u003d r - (r),

eb - a/ + o43 = 0,

ae - bp + b + 1021 = o,

C/ + e2 + b2 - (1 - /) (1 - p) + o42 \u003d -1,

Ec + ab + u43 = 0,

A/ + eb + a - A + u31 = 0,

Ec + ab + u42 = 0,

Cp - (1 - /) (1 - p) + e2 + a2 + u33 \u003d -y.

Неизвестните в него са 6 коефициента на свързаност (26), 9 компонента на тензора на налягането, 1 коефициент, който определя стойността на средната скорост и 3 параметъра на системата на Лоренц. Оттук следва, че решението на тази система се определя със значителен параметричен произвол. В разглеждания триизмерен режим тензорът на градиента на налягането ω > 4r е произволен и поради неговата конкретизация е възможно да се симулира желаната динамика за произволен, предварително фиксиран, избор на коефициенти на свързаност. За многомерни режими компонентите на тензора на налягането са включени в по-пълна система от уравнения, които отчитат динамиката на всички възбудени степени на свобода. В този случай тензорът на налягането вече не може да бъде произволен. В тази връзка е интересно да се разгледат различни конкретни варианти за определяне на тензора на налягането, като се приеме, че физически разумните предположения трябва да намерят своето представяне в по-пълни уравнения, които отчитат многомерната динамика. Ще приемем, че тензорът на градиента на налягането е диагонал с нулева компонента, съответстваща на координатата y2. В този случай (22) има следното точно аналитично решение:

o!1 = .1 - a, o43 = .1 - y + 1, .1 = (K - a) a - A2, K = r - (r), (27)

K - a t Ka, K - a AK

a = A, b = a - K, c = - - .1, p = -, f = - K, e = - - -. (28)

Разгледайте полученото решение (27), (28). В него останаха произволни величините A, r, a, y, които определят големината на градиента на средната скорост на тока, и три параметъра на моделната система на Лоренц. Всички други характеристики на движението се изразяват като функции на горния набор от величини. Поради избора на определени стойности на тези количества е възможно да се променя динамиката на флуктуациите и с помощта на формули (26), (27) да се намерят съответните стойности на компонентите на обекта на свързване. Ако вземем предвид, че всеки обект определя естеството на взаимодействията на пулсациите, тогава става възможно да варират самите различни видове взаимодействия. По-специално, за промяна на величината на компонентите на тензора на налягането. Трябва да се отбележи, че в някои случаи тези компоненти могат да бъдат обърнати идентично на нула. Характеристика на решенията (27), (28) е, че се оказва невъзможно да се обърнат компонентите на тензора на налягането до нула, като остават в областта на тези стойности на параметрите на системата, за които възниква динамиката на Лоренц . (Това обаче е напълно възможно в областта на тези стойности на параметрите, за които динамиката на пулсацията е редовна.)

Нека направим някои оценки. Нека параметрите на моделната система съответстват на атрактора на Лоренц с параметри a = 10, r = 28, y = 8/3. В този случай изчисленията показват, че пулсациите имат характерно време t ~ 0,7. В рамките на изчисления интервал от време b = 0 + 50, стойностите на пулсациите принадлежат на интервалите y1 = -17,3 + 19,8, y2 = -22,8 + 27,2 и y3 = -23,2 + 23,7.

Нека сравним абсолютните стойности на флуктуациите на скоростта и средния градиент на скоростта. От (13) следва, че пулсациите се получават чрез разделяне на относителните стойности на числото l/d, докато средният градиент на скоростта остава непроменен. Тогава нека вземем за градиента на скоростта стойност, равна на единица по порядък на величината

е A ~ 1. Тогава при стойността на Re = 2000, тоест при по-ниската критична стойност на , за пулсации получаваме порядък, равен на 50% от стойността на градиента. За случая на Re=40000 флуктуациите на скоростта достигат само 10%% от приетата стойност на средния градиент на скоростта. Това показва, че разумни пропорции между средната скорост и пулсациите могат да бъдат осигурени само в определен диапазон от числа Re.

4. Нови данни се разкриват при разглеждане на движението на точките в средата. За динамиката на Лоренц в квазихомогенното приближение уравненията на движението на точките имат вида

r -(z) -l 0 0 0 -Y

Aox3 -A(r - (z))x3

Тази система се оказва линейна с постоянни коефициенти. Неговото общо решение може лесно да се получи чрез елементарно интегриране. Следователно отбелязваме само качествените особености на траекториите на движение на точките. От характеристичното уравнение за скоростите на движение откриваме, че има два отрицателни и един положителен корена. Така във всяка точка в пространството се разграничават две посоки на натиск и една на опън. Тези характеристики на динамиката са инвариантни характеристики, които могат да се използват за класифициране на атрактори, съответстващи на потоци със същата средна скорост.

Както следва от общото решение на системата (29) и (30), възможните премествания на средните точки в посоки, напречни на средните линии на потока, не са ограничени. А именно, в проекцията върху оста x3 възниква редовен дрейф. В този случай точките, движещи се перпендикулярно на линиите на тока на средния ток, попадат в областта на високите скорости. В този случай числото Re нараства, което води до намаляване на относителната величина на флуктуациите. В рамките на направеното квазихомогенно приближение този ефект води до относително намаляване на флуктуациите и в крайна сметка до тяхното израждане във флуктуации.

Библиографски списък

1. Мухамедов A.M. Турбулентни модели: проблеми и решения //17 IMACS Congress, Документ T4-1-103-0846, http://imacs2005.ec-lille.fr.

2. Мухамедов A.M. Към измерителна теория на турбулентността // Хаос, солитони и фрактали. 2006 Vol. 29. С. 253.

3. Ruelle D., Takens F. За природата на турбуленцията // Commun. математика физ. 1971 Vol. 20. С. 167.

4. Бабин А.В., Вишик М.И. Атрактори на еволюционни уравнения. М.: Наука, 1989. 296 с.

5. Манделброт Б. Фракталната геометрия на природата. свободен човек. Сан Франциско, 1982 г.

6. Бензи Р. Паладин Г., Паризи Г., Вулпиани А. За мултифракталната природа на напълно развитите турбулентност и хаотични системи // J. Phys. А. 1984. Т.17. P.3521.

7 Elnaschie M.S. Интегралите по пътя на Фейнман и теорията на E-Infinity от експеримента Gedanken с два процепа // Международно списание за нелинейни науки и числени симулации. 2005 Vol. 6(4). стр. 335.

8. Мухамедов A.M. Ансамбъл режими на турбулентност в срязващи потоци // Бюлетин на KSTU im. А. Н. Туполев. 2003, № 3. С. 36.

9. Юдович V.I. Асимптотика на пределните цикли на системата на Лоренц за големи числа на Релей // ВИНИТИ. 31.07.78г. No 2611-78.

10. Anishchenko V.S. Сложни трептения в прости системи. М.: Наука, 1990. 312 с.

11. Loitsyansky L.G. Механика на течности и газ. М.: Наука, 1987. 840 с.

Казанския държавен университет Постъпил на 23 януари 2006 г

Технически университет Ревизиран на 15.08.2006 г

АТРАКТОР LORENZ В ПОТОЦИ ОТ ПРОСТО ИЗМЕНЕНИЕ

В рамките на даден по-горе модел за симулация на хаотична динамика на континуална среда е представен атракторът на Лоренц. Симулацията е дадена с помощта на структурите, които определят геометрията на сноп влакна, свързан с 3-измерен режим на пулсации на скоростта. Динамиката на Лоренц се проявява като времева зависимост на пулсациите по линиите на средния поток.

Мухамедов Алфарид Мавиевич - роден в Казан (1953 г.). Завършва Физическия факултет на Казанския държавен университет в катедра „Гравитация и теория на относителността“ (1976 г.). Докторант на катедрата по теоретична и приложна механика на Казанския държавен технически университет на името на V.I. А. Н. Туполев. Автор на 12 доклада по тази тема, както и на монографията "Научно търсене и методология на математиката" (Казан: Издателство KSTU, 2005, в съавторство с G.D. Тарзиманова). Област на научни интереси - математически модели на хаотичната динамика, геометрия на влакнести многообразия, методология на съвременната математика.

СИСТЕМА ЛОРЕНЦ

СИСТЕМА ЛОРЕНЦ

Системата от три нелинейни диференциала. ур-ции от първи ред:

решения за рой в широк диапазон от параметри са неправилни функции на времето и много други. техните характеристики са неразличими от случайни. Л. с. е получен от Е. Лоренц от уравненията на хидродинамиката като модел за описване на термична конвекция в хоризонтален слой течност, нагрята отдолу ( R r - число на Прандтл, - намален R e -ley номер, b- се определя от избора в разширението на Фурие на полето за скорост и температура).

Ориз. 1. Илюстрация на последователни бифуркации в системата на Лоренц с нарастващ параметър r: а) ; б) ; в) г) д) е)

L. s. е един от примерите динамична система,като има прост физически смисъл; демонстрира стохастичност. поведение на системата. AT фазово пространствотази система в диапазона от параметри, показани на фиг. 1 съществува странен атрактор,движението на представителната точка на krom съответства на "случаен" - турбулентен поток на флуид по време на термична конвекция.

Ориз. 2. Конвективен контур – физически модел, за който се извеждат уравненията на Лоренц.

Л. с. (при б=l) описва по-специално движението на флуид в конвективен контур, разположен във вертикална равнина в хомогенна гравитационна тороидална кухина, пълна с течност (фиг. 2). На стените на кухината се поддържа независима от времето (но зависима от ъгъла) температура. Т(); нисък част от цикъла е по-топла от горната. Уравненията за движение на флуид в конвективен контур се свеждат до L. s., където x(t] -скорост на течността, y(t) -темп-па в точката н, а z(t) -темп-па в точката Мна свобода т.С растеж гестеството на движението на течността се променя: първо (при r<1) неподвижна, далее (при ) устанавливается циркуляция с пост. скоростью (либо по часовой стрелке, либо против); при ещё больших rцелият поток става чувствителен към малки промени в началото. условия, скоростта на циркулация на течността се променя вече неравномерно: течността се върти понякога по посока на часовниковата стрелка, понякога обратно на часовниковата стрелка.

При често използвани стойности Пр=10, b= 8/3 HP има . свойства: ур-ция Л. с. трансформационни инварианти , фазовият обем се намалява от пост. скорост

за единица време обемът се намалява с 10 6 пъти. С нарастването на g в L. s. се случват следните. главен бифуркации. 1) Кога единственото равновесно състояние е стабилният възел в началото О(О, О, 0). 2) В , къде r 1 \u003d 13,92, L. s. с изключение на споменатите тривиални ( О) има още две равновесия , . Състояние на баланса Ое седло с двумерна стабилна и едномерна нестабилна, състояща се от О и две сепаратриси и стремяща се към и (фиг. 1, а). 3) Кога r=r 1 всяка от сепаратрисите става двойно асимптотична спрямо седлото О(фиг. 1, б). По време на прехода rпрез r 1 от затворени контури на сепаратриси се раждат нестабилни (седловидни) периодични. движения - гранични цикли Л 1 и Л 2 . Заедно с тези нестабилни цикли се ражда една много сложно организирана граница; той обаче не е привлекателен (атрактор), а при (фиг. 1, в),където r 2 = 24,06, всички траектории все още клонят към . Тази ситуация се различава от предишната по това, че сега сепаратрисите _ и отиват в "не свои" равновесни състояния и съответно. 4) At, където = 24,74, в L. s. наред със стабилните равновесни състояния съществува и привличащо множество, характеризиращо се със сложно поведение на траектории, атракторът на Лоренц (фиг. 1 , дИрис. 3). 5) При цикли на седлото Л 1 и Л 2 се свиват до равновесни състояния и , които губят стабилността си при

жестът на Л. с. е атракторът на Лоренц. По този начин, ако се стремим към k от страната на по-малките стойности, тогава стохастичността в L. s. възниква незабавно, внезапно, т.е. има твърдо начало на стохастичност.

Ориз. 3. Траектория, възпроизвеждаща атрактора на Лоренц (напускане на началото); хоризонталната равнина съответства r = = 27, r=28.

До Л. с. намалява не само ур-ция, описваща конвективното движение на флуида, но и други физически. модели (тристепенни, дискови динамо и др.).

Литература: Лоренц Е., Детерминистичен непериодичен поток, "J. Atmos. Sci.", 1963, v. 20, стр. 130; на руски прев., в кн.: Странни атрактори, М., 1981, с. 88; Гапонов - Грехов А. В., Рабинович М. И., Хаотични прости системи, "Природа", 1981, № 2, с. 54; Афраимович В. С., Биков В. В., Шилников Л. П., За привличането на негруби гранични множества от типа атрактор на Лоренц, Известия на Московското математическо общество, 1982 г., т. 44, стр. 150; Рабинович М. И., Трубецков Д. И., Въведение в теорията на трептенията и вълните, М., 1984. В. Г. Шехов.

Физическа енциклопедия. В 5 тома. - М.: Съветска енциклопедия. Главен редактор А. М. Прохоров. 1988 .

Вижте какво представлява "LOrentz SYSTEM" в други речници:

Фундамент. урния класически. електродинамика, определяща микроскоп. електронна поща магн. полета, създадени от индивидуално заплащане. частици. Л. М. у. лежат в основата на електронната теория (класическа микроскопична електродинамика), изградена от X. A. Lorentz в кон. деветнадесет… … Физическа енциклопедия

Референтна система инерционна- референтна система, в която е валиден законът за инерцията: материална точка, когато върху нея не действат сили (или действат взаимно уравновесени сили), е в покой или равномерно праволинейно движение. Всяка система... Концепции на съвременното естествознание. Речник на основните термини

- (по физика) - система от тела, по отношение на рояка, се определят позициите на изследваното тяло (или места на събития) и се отбелязват моментите във времето, съответстващи на тези позиции. За тази цел обикновено смятането се свързва с избраната система от тела. система… … Философска енциклопедия

СИСТЕМА ЗА ДОЗИРАНЕ- устройство между анода и екрана на катодното лъчево устройство, което служи за отклоняване на електронния лъч на милиони от движението му през екрана (виж) в съответствие с определен закон. За управление на електронния лъч, магнитен, ... ... Голяма политехническа енциклопедия

Преобразуванията на Лоренц във физиката, по-специално в специалната теория на относителността (STR), са трансформациите, които претърпяват пространствено-времеви координати (x, y, z, t) на всяко събитие, когато се движат от една инерциална система ... .. Уикипедия

В специалната теория на относителността, преобразуването на координатите и времето на всяко събитие по време на прехода от една инерциална референтна система (виж Инерциална референтна система) към друга. Получено през 1904 г. от H. A. Lorentz като трансформации на ... Голяма съветска енциклопедия

Компактно инвариантно множество L в триизмерното фазово пространство на гладък поток (St), което има сложната топологична структура, посочена по-долу. структура и е асимптотично стабилна (т.е. стабилна е по Ляпунов и всички траектории от някои ... ... Математическа енциклопедия

Сила (f), действаща върху заредена частица, движеща се в електромагнитно поле; изразен от Х. А. Лоренц, създаден в края на 19 век. формула: (в CGS системата от единици), където e, v е зарядът и скоростта на частицата, E е силата на електрическото поле, B ... енциклопедичен речник