(тоест, който има следните свойства: всеки елемент от множеството е еквивалентен на себе си; ако хеквивалентно на г, тогава геквивалентно на х; ако хеквивалентно на г, а геквивалентно на z, тогава хеквивалентно на z ).

Тогава се извиква множеството от всички класове на еквивалентност набор фактори се обозначава. Разделянето на множество на класове от еквивалентни елементи се нарича негово факторизация.

Показване от хв набора от класове за еквивалентност се извиква факторно картографиране.

Примери

Разумно е да се използва факторизация на множество за получаване на нормирани пространства от полунормирани пространства, пространства с вътрешно произведение от пространства с почти вътрешно произведение и т.н. За това се въвежда нормата на клас, съответно равна на нормата на произволен елемент от него и скаларното произведение на класовете като скаларен продукт на произволни елементи от класове. От своя страна релацията на еквивалентност се въвежда по следния начин (например за образуване на нормирано коефициентно пространство): въвежда се подмножество от оригиналното полунормирано пространство, състоящо се от елементи с нулева полунорма (между другото, то е линейно , тоест е подпространство) и се счита, че два елемента са еквивалентни, ако разликата им принадлежи на същото подпространство.

Ако за факторизацията на линейно пространство се въведат някои от неговите подпространства и се приеме, че ако разликата на два елемента от оригиналното пространство принадлежи на това подпространство, тогава тези елементи са еквивалентни, тогава факторният набор е линейно пространство и е наречено факторно пространство.

Примери

Вижте също

Фондация Уикимедия. 2010 г.

Вижте какво е "Factorset" в други речници:

Логическият принцип, който стои в основата на дефинициите чрез абстракция (вижте Дефиниция чрез абстракция): всяка връзка от типа на равенство, дефинирана върху някакъв първоначален набор от елементи, разделя (разделя, класифицира) оригинала ... ...

Форма на мислене, която отразява съществените свойства, връзки и взаимоотношения на предметите и явленията в тяхното противоречие и развитие; мисъл или система от мисли, която обобщава, отделя обекти от определен клас според определени общи и в съвкупност ... ... Голяма съветска енциклопедия

Когомологията на групата Галоа. Ако M е абелова група и група на Галоа на разширение, действащо върху M, тогава когомологията на Галоа е когомологията на групата, дефинирана от комплекса, състояща се от всички отображения, а d е кограничен оператор (виж кохомологията на групата). Математическа енциклопедия

Конструкцията на rai за първи път се появява в теорията на множествата, а след това става широко използвана в алгебрата, топологията и други области на математиката. Важен частен случай на I.P. е I.P. на насочено семейство от математически структури от същия тип. Нека бъде… Математическа енциклопедия

Точки по отношение на група G, действаща върху множество X (вляво), множество A е подгрупа на G и се нарича. стабилизатор, или стационарна подгрупа на точка по отношение на G. Преобразуването предизвиква биекция между G/Gx и орбитата G(x). О.…… Математическа енциклопедия

Тази статия има много кратко въведение. Моля, попълнете въвеждащ раздел, описващ накратко темата на статията и обобщавайки нейното съдържание ... Wikipedia

Тази статия е за алгебричната система. За клона на математическата логика, който изучава предложения и операции върху тях, вижте Алгебра на логиката. Булева алгебра е непразен набор A с две бинарни операции (аналогично на конюнкция), ... ... Wikipedia

Нека на множеството е дадено отношение на еквивалентност. Тогава множеството от всички класове на еквивалентност се нарича факторно множество и се обозначава. Разделянето на множество на класове от еквивалентни елементи се нарича негово факторизиране. Показване от до ... ... Уикипедия

Насочен сегмент в геометрията се разбира като подредена двойка точки, първата от които точка A се нарича нейно начало, а втората B се нарича нейно край. Съдържание 1 Определение ... Уикипедия

В различни клонове на математиката, ядрото на картата е някакъв набор от просечки, който в известен смисъл характеризира разликата между f и инжективна карта. Специфичната дефиниция може да варира обаче за инжективно картографиране f ... ... Wikipedia

Могат да се докажат следните теореми.

Теорема 1.4. Функция f има обратна функция f -1, ако и само ако f е биективна.

Теорема 1.5. Съставът на биективните функции е биективна функция.

Ориз. 1.12 показват различни връзки, всички освен първата са функции.

отношение, но

инжекция, но

сюръкция, но

не е функция

не сюръкция

не инжекция

Нека f : A→ B е функция, а множествата A и B са крайни множества, нека A = n , B = m . Принципът на Дирихле гласи, че ако n > m, тогава поне една стойност на f се среща повече от веднъж. С други думи, има двойка елементи a i ≠ a j , a i , a j A, за които f(a i )= f(a j ).

Принципът на Дирихле е лесен за доказване, затова го оставяме на читателя като тривиално упражнение. Помислете за пример. Нека в групата има повече от 12 ученици. Тогава е очевидно, че поне двама от тях имат рожден ден в един и същи месец.

§ 7. Отношение на еквивалентност. Набор на факторите

Бинарна релация R върху множество A се нарича релация на еквивалентност, ако R е рефлексивна, симетрична и преходна.

Отношението на равенство върху множеството от числа има посочените свойства, следователно е отношение на еквивалентност.

Отношението на подобието на триъгълника очевидно е отношение на еквивалентност.

Отношението на нестрого неравенство (≤ ) върху множеството от реални числа няма да бъде релация на еквивалентност, тъй като не е симетрично: от 3 ≤ 5 не следва, че 5 ≤ 3.

Клас на еквивалентност (косет), генериран от елемент a за дадено отношение на еквивалентност R, е подмножеството на тези x A, които са във връзка R с a. Посоченият клас на еквивалентност се обозначава с [a] R, следователно имаме:

[a] R = (x A: a, x R).

Помислете за пример. Въвежда се отношение на подобие върху множеството от триъгълници. Ясно е, че всички равностранни триъгълници попадат в един класет, тъй като всеки от тях е подобен, например, на триъгълник, всички страни на който имат единична дължина.

Теорема 1.6. Нека R е релация на еквивалентност върху множество A и [a] R е смежна група, т.е. [a] R = (x A: a, x R), тогава:

1) за всеки a A : [a] R ≠, по-специално, a [a] R;

2) различни класети не се пресичат;

3) обединението на всички класети съвпада с цялото множество A;

4) множеството от различни класети образуват дял на множеството A.

Доказателство. 1) Поради рефлексивността на R получаваме, че за всяко a, a A имаме a, a R , следователно a [a] R и [a] R ≠ ;

2) да предположим, че [a] R ∩ [b] R ≠ , т.е. има елемент c от A и c [a] R ∩ [b] R . Тогава от (cRa)&(cRb), поради симетрията на R, получаваме (aR c)&(cRb), а от транзитивността на R имаме aRb.

За всяко х [а] R имаме: (хRa)&(аRb) , то поради транзитивността на R получаваме хRb, т.е. x[b]R, така че [a]R[b]R. По същия начин, за всяко y, y [b] R , имаме: (уRb)&(aRb) , и поради симетрията на R получаваме, че (уRb)&(bR а), тогава, поради транзитивността на R , получаваме, че уR а , т.е. y[a]r и

така че [b] R [a] R . От [a] R [b] R и [b] R [a] R получаваме [a] R = [b] R, т.е.

3) за всяко a, a A, както е доказано, имаме [a] R , тогава е очевидно, че обединението на всички класове съвпада с множеството A.

Твърдение 4) от теорема 1.6 следва от 1)–3). Теоремата е доказана. Можем да докажем следната теорема.

Теорема 1.7. Различните отношения на еквивалентност на множество A генерират различни дялове на A.

Теорема 1.8. Всеки дял от множеството A генерира релация на еквивалентност на множеството A, а различните дялове генерират различни отношения на еквивалентност.

Доказателство. Нека е дадено дял В= (B i ) от множеството A. Нека дефинираме релацията R : a,b R тогава и само ако съществува a B i, така че a и b и двете принадлежат на това B i . Очевидно е, че въведената връзка е рефлексивна, симетрична и транзитивна, следователно R е релация на еквивалентност. Може да се покаже, че ако дяловете са различни, тогава генерираните от тях отношения на еквивалентност също са различни.

Множеството от всички класове на множество A по отношение на дадено отношение на еквивалентност R се нарича частно множество и се означава с A/R . Елементите на факторния набор са класети. Сместният клас [a] R, както знаете, се състои от елементи A, които са във връзка един с друг R.

Да разгледаме пример за релация на еквивалентност върху множество цели числа Z = (…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …).

Две цели числа a и b се наричат ​​сравними (конгруентни) по модул m, ако m е делител на числото a-b, т.е. ако имаме:

a=b+km , k=…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ….

В този случай напишете a≡ b(mod m) .

Теорема 1.9. За произволни числа a , b , c и m>0 имаме:

1) a ≡ a(mod m) ;

2) ако a ≡ b(mod m), тогава b ≡ a(mod m);

3) ако a ≡ b(mod m) и b ≡ c(mod m), тогава a ≡ c(mod m).

Доказателство. Твърденията 1) и 2) са очевидни. Нека докажем 3). Нека a=b+k 1 m , b=c+k 2 m , тогава a=c+(k 1 +k 2 )m , т.е. a ≡ c(mod m) . Теоремата е доказана.

По този начин релацията на съпоставимост по модул m е релация на еквивалентност и разделя множеството от цели числа на неприпокриващи се класове числа.

Нека построим безкрайно развиваща се спирала, която на фиг. 1.13 е изобразена с плътна линия и безкрайно въртяща се спирала, изобразена с пунктирана линия. Нека е дадено неотрицателно цяло число m. Поставяме всички цели числа (елементи от множеството Z) в пресечните точки на тези спирали с m лъчи, както е показано на фиг. 1.13.

За отношението на съпоставимост по модул m (в частност, за m = 8) класът на еквивалентност са числата, лежащи върху лъча. Очевидно всяко число попада в един и само един клас. Може да се получи, че за m= 8 имаме:

[ 0] ={…, -8, 0, 8, 16, …};
[ 1] ={…, -7, 1, 9, 17, …};
[ 2] ={…, -6, 2, 10, 18, …};
[ 7] ={…, -9, -1, 7, 15, …}.

Коефициентът на множество на множество Z по отношение на сравнението по модул m се означава като Z/m или като Z m . За разглеждания случай m =8

получаваме, че Z/8 = Z8 = ( , , , …, ) .

Теорема 1.10. За всякакви цели числа a, b, a *, b *, k и m:

1) ако a ≡ b(mod m), тогава ka ≡ kb(mod m);

2) ако a ≡ b(mod m) и a* ≡ b* (mod m), тогава:

а) a + a * ≡ b + b * (mod m); б) aa * ≡ bb* (mod m).

Представяме доказателството за случай 2б). Нека a ≡ b(mod m) и a * ≡ b * (mod m) , тогава a=b+sm и a * =b * +tm за някои цели числа s и t . умножаване,

получаваме: aa* =bb* + btm+ b* sm+ stm2 =bb* +(bt+ b* s+ stm)m. следователно,

aa* ≡ bb* (mod m).

По този начин сравненията по модул могат да се добавят и умножават член по член, т.е. действат точно по същия начин, както с равенствата. Например,

∼ (\displaystyle \sim). Тогава се извиква множеството от всички класове на еквивалентност набор фактори се обозначава. Разделянето на множество на класове от еквивалентни елементи се нарича негово факторизация.

Показване от X (\displaystyle X)в набора от класове за еквивалентност X / ∼ (\displaystyle X/\!\sim)Наречен факторно картографиране. Поради свойствата на релацията на еквивалентност, разделянето на множества е уникално. Това означава, че класовете, съдържащи ∀ x , y ∈ X (\displaystyle \forall x,\;y\in X)или не се пресичат, или съвпадат напълно. За всеки елемент x ∈ X (\displaystyle x\in X)някой клас е еднозначно дефиниран от X / ∼ (\displaystyle X/\!\sim), с други думи, съществува сюръективно картографиране от X (\displaystyle X)в X / ∼ (\displaystyle X/\!\sim). Класът, съдържащ x (\displaystyle x), понякога се обозначава [ x ] (\displaystyle [x]).

Ако наборът е снабден със структура, тогава често картографирането X → X / ∼ (\displaystyle X\to X/\!\sim )може да се използва за предоставяне на набор от фактори X / ∼ (\displaystyle X/\!\sim)същата структура, като топология. В този случай комплектът X / ∼ (\displaystyle X/\!\sim)с индуцираната структура се нарича коефициентно пространство.

Енциклопедичен YouTube

1 / 4

✪ 3. Еквивалентни класове

✪ Теория на множествата Лекция 3, част 1

✪ Теория на множествата Лекция 3, част 2

✪ Теория на множествата Лекция 3 Част 3

Субтитри

Факторно пространство по подпространство

Често отношението на еквивалентност се въвежда, както следва. Нека бъде X (\displaystyle X)- линейно пространство и L (\displaystyle L)е някакво линейно подпространство. След това два елемента x , y ∈ X (\displaystyle x,\;y\in X)такъв, че x − y ∈ L (\displaystyle x-y\in L), са наречени еквивалентен. Това е обозначено x ∼ L y (\displaystyle x\,(\overset (L)(\sim))\,y). Пространството, получено в резултат на факторизация, се нарича коефициентно пространство по подпространство L (\displaystyle L). Ако X (\displaystyle X)се разширява в пряка сума X = L ⊕ M (\displaystyle X=L\oplus M), тогава има изоморфизъм от M (\displaystyle M)в X / ∼ L (\displaystyle X/\,(\overset (L)(\sim ))). Ако X (\displaystyle X)е крайномерно  пространство, тогава частното пространство X / ∼ L (\displaystyle X/\,(\overset (L)(\sim )))също е крайномерна и dim ⁡ X / ∼ L = dim ⁡ X − dim ⁡ L (\displaystyle \dim X/\,(\overset (L)(\sim))=\dim X-\dim L).

Примери

. Можем да разгледаме факторния набор X / ∼ (\displaystyle X/\!\sim). Функция f (\displaystyle f)задава естествено съответствие едно към едно между X / ∼ (\displaystyle X/\!\sim)и Y (\displaystyle Y).

Разумно е да се използва факторизация на множество за получаване на нормирани пространства от полунормирани пространства, пространства с вътрешно произведение от пространства с почти вътрешно произведение и т.н. За това се въвежда нормата на клас, съответно равна на нормата на произволен елемент от него и скаларното произведение на класовете като скаларен продукт на произволни елементи от класове. От своя страна релацията на еквивалентност се въвежда по следния начин (например за образуване на нормирано коефициентно пространство): въвежда се подмножество от оригиналното полунормирано пространство, състоящо се от елементи с нулева полунорма (между другото, то е линейно , тоест е подпространство) и се счита, че два елемента са еквивалентни, ако разликата им принадлежи на същото подпространство.

Ако за факторизацията на линейно пространство се въведат някои от неговите подпространства и се приеме, че ако разликата на два елемента от оригиналното пространство принадлежи на това подпространство, тогава тези елементи са еквивалентни, тогава факторният набор е линейно пространство и е наречено факторно пространство.

Нека G=(p 0 =e, p 1 , …, p r ) е някаква пермутационна група, дефинирана върху множеството X = (1, 2, …, n) с идентичност e=p 0 от идентичната пермутация. Ние дефинираме отношението x~y, като задаваме x~y, което е еквивалентно на това да кажем, че съществува p, принадлежащо на G(p(x)=y). Въведената релация е релация на еквивалентност, тоест удовлетворява три аксиоми:

1) x~x;
2) x~y→y~x;
3) x~y&y~z→x~z;

Нека A е произволно множество.
Определение: Бинарна релация δ=A*A е релация на еквивалентност (означена a ~ b), ако те удовлетворяват следните аксиоми:
∀ a, b, c ∈ A
1) a ~ a - рефлексивност;
2) a ~ b ⇒ b ~ a - комутативност;
3) a ~ b & b ~ c → a ~ c - транзитивност

означено с a ~ b, σ(a,b), (a,b) ∈ σ, a σ b

Определение: Разделянето на множество A е семейство от несвързани по двойки подмножества от A, в обединение (в сума), даващи цялото A.
А= ∪А i , А i ∩А j = ∅, ∀i ≠ j.

Подмножествата A i се наричат ​​подмножества на дяла.

Теорема: всяка релация на еквивалентност, дефинирана на A, съответства на някакво дял от множеството A. Всяко дял от множеството A съответства на някакво отношение на еквивалентност в множеството A.

Накратко: има съответствие едно към едно между класовете на всички отношения на еквивалентност, дефинирани в множеството A, и класа на всички дялове на множеството A.

Доказателство: нека σ е релация на еквивалентност на множество A. Нека a ∈ A.

Да построим множество: К a =(x ∈ A,: x~a ) – всички елементи, еквивалентни на a. Множеството (нотация) се нарича клас на еквивалентност по отношение на еквивалентността σ. Забележете, че ако b принадлежи на K a , тогава b~a. Нека покажем, че a~b⇔K a =K b . Наистина, нека a~b. Вземете произволен елемент c принадлежи на K a . Тогава c~a, a~b, c~b, c принадлежи на K b и следователно K b принадлежи на K a . Фактът, че K a принадлежи на K b, е показан по подобен начин. Следователно K b =K a .
Нека сега K b =K a . Тогава a принадлежи на K a = K b , a принадлежи на K b , a~b. Което трябваше да се покаже.

Ако 2 класа K a и K b имат общ елемент c, тогава K a = K b . Всъщност, ако c принадлежи на K a и K b , тогава b~c, c~a, b~a => K a = K b .

Следователно различните класове на еквивалентност или не се пресичат, или се пресичат и след това съвпадат. Всеки елемент c от A принадлежи само на един клас на еквивалентност K c. Следователно системата от неприпокриващи се класове на еквивалентност в пресечната точка дава цялото множество A. И следователно тази система е разделяне на множеството A на класове на еквивалентност.

Обратно: Нека A = sum over или A i е дял на A. Нека въведем отношението a~b върху A, тъй като a~b ⇔ a,b принадлежат към същия клас на дялове. Тази връзка удовлетворява следните аксиоми:

1) a ~ a (са в един и същи клас);
2) a ~ b → b ~ a;
3) a ~ b & b ~ c → a ~ c, т.е. въведената релация ~ е релация на еквивалентност.

Коментирайте:
1) разделянето на множеството A на едноелементни подмножества и разделянето на A, състоящо се само от множеството A, се нарича тривиално (неправилно) разделяне.

2) Разделянето на A на едноелементни подмножества съответства на отношението на еквивалентност, което е равенство.

3) Раздел A, състоящ се от един клас A, съответства на релация на еквивалентност, съдържаща A x A.

4) a σ b → [a] σ = [b] σ — всяка релация на еквивалентност, дефинирана в някакво множество, разделя това множество на двойно несвързани класове, наречени класове на еквивалентност.

Определение: Множеството от класове на еквивалентност на множеството A се нарича факторна група A/σ на множеството A чрез еквивалентност σ.

Определение: Преобразуване p:A→A/σ, такова, че p(A)=[a] σ, се нарича канонично (естествено) отображение.

Всяка релация на еквивалентност, дефинирана в множество, разделя този набор на двойно непреходни класове, наречени класове на еквивалентност.

Нека R е бинарна релация на множество X. Връзката R се нарича отразяващ , ако (x, x) О R за всички x О X; симетрични – ако (x, y) О R означава (y, x) О R; преходното число 23 съответства на вариант 24, ако (x, y) Î R и (y, z) Î R означават (x, z) Î R.

Пример 1

Ще кажем, че x Î X има общо с елемент y н X, ако множеството
x ‡ y не е празно. Общото отношение ще бъде рефлексивно и симетрично, но не и преходно.

Отношение на еквивалентностна X се нарича рефлексивна, преходна и симетрична връзка. Лесно е да се види, че R Н X ´ X ще бъде релация на еквивалентност, ако и само ако включванията се извършват:

Id X Í R (рефлексивност),

R -1 Í R (симетрия),

R ° R Í R (преходност).

Всъщност тези три условия са еквивалентни на следното:

Id X Í R, R -1 = R, R ° R = R.

разделянемножество X е множество A от двойно непреходни подмножества a Î X, такива че UA = X. С всяко разделение на A можем да свържем еквивалентна връзка ~ на X, като зададем x ~ y, ако x и y са елементи от някои a Î A .

На всяко отношение на еквивалентност ~ на X съответства дял A, чиито елементи са подмножества, всяко от които се състои от тези в отношението ~. Тези подмножества се наричат класове на еквивалентност . Този дял A се нарича фактор набор на множеството X по отношение на ~ и се означава: X/~.

Нека дефинираме отношението ~ на множеството w от естествени числа, като зададем x ~ y, ако остатъците след разделяне на x и y на 3 са равни. Тогава w/~ се състои от три класа на еквивалентност, съответстващи на остатъци 0, 1 и 2.

Връзка на поръчката

Извиква се двоична връзка R върху множество X антисиметрични , ако от x R y и y R x следва: x = y. Извиква се двоична връзка R върху множество X отношение на поръчката , ако е рефлексивен, антисиметричен и преходен. Лесно е да се види, че това е еквивалентно на следните условия:

1) Id X Í R (рефлексивност),

2) R Ç R -1 (антисиметрия),

3) R ° R Í R (преходност).

Извиква се подредена двойка (X, R), състояща се от множество X и отношение на ред R върху X частично поръчан комплект .

Пример 1

Нека X = (0, 1, 2, 3), R = ((0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 1), (1, 2 ), (1, 3), (2, 2), (3, 3)).

Тъй като R удовлетворява условия 1–3, тогава (X, R) е частично подредено множество. За елементи x = 2, y = 3, нито x R y, нито y R x са верни. Такива елементи се наричат несравнимо . Обикновено отношението на поръчката се обозначава с £. В примера по-горе, 0 £ 1 и 2 £ 2, но не е вярно, че 2 £ 3.

Пример 2

Нека бъде< – бинарное отношение строгого неравенства на множестве w натуральных чисел, рассмотренное в разд. 1.2. Тогда объединение отношений = и < является отношением порядка £ на w и превращает w в частично упорядоченное множество.

Извикват се елементи x, y О X от частично подредено множество (X, £). сравними , ако x £ y или y £ x.

Извиква се частично подреденото множество (X, £). линейно подредени или верига ако всеки два от неговите елемента са сравними. Наборът в пример 2 ще бъде линейно подреден, но наборът в пример 1 не.

Извиква се подмножество A Í X от частично подредено множество (X, £). ограничен отгоре , ако съществува елемент x н X такъв, че a £ x за всички a н A. Елемент x н X се нарича най велик в X, ако y £ x за всички y О X. Елемент x О X се нарича максимален, ако няма елементи y О X различни от x, за които x £ y. В пример 1 елементите 2 и 3 ще бъдат максималните, но не и най-големите. В долно ограничение подмножества, най-малки и минимални елементи. В пример 1 елемент 0 би бил както най-малкият, така и минималният. В пример 2 0 също има тези свойства, но (w, t) няма нито най-големия, нито максималния елемент.