Не е свързано с релационни функции. Раздел i

Упражнения.

1) Използване на биномната формула на Нютон за a = 1, b = iизчисли +++…, +++…, +++…, +++…

2) Използвайки формулата на Moivre, изчислете устно грях 4jи cos 5j .

Лекция 3

СЪОТВЕТСТВИЕ. ФУНКЦИИ. ОТНОШЕНИЯ. КОЕФИЦИЕНТ НА Еквивалентност

Определение.Това ще го кажем на снимачната площадка хдадено бинарна връзка R, ако " x, y О Xможем да определим (по някакво правило) тези елементи да са във връзка Рили не.

Нека дефинираме по-строго понятието отношение.

Представяме концепцията Декартово (директно) произведение A´Bпроизволни множества Аи б.

А-приорат A´B = ( (a, b), a О A , bО B).Декартовото произведение на 3, 4 и произволен брой множества се дефинира по подобен начин. А-приорат A´A´ …´A = A n .

Определения.

1. Сот много Ав множеството Бнаречено подмножество S Í A´B.Фактът, че елементите aО A, bО Bса на опашка С,ще пишем във формуляра (а, б) О Sили във формата aSb.

2. По естествен начин за кореспонденции S1и S2определени S1∩S2и S 1 U S 2– като пресичане и обединение на подмножества. Както за всички подмножества, понятието за включване на съответствия е дефинирано S1 Í S2. Така S1 Í S2 Û

от a S 1 b Þ a S 2 b.

3. За мачове S 1 H A´Bи S 2 H B´Cдефинирай композициякореспонденции S 1 *S 2 Í A´С.Ще приемем, че за елементите аО А, сО Са-приорат a S 1 *S 2 с Û $ bО Bтакъв, че a S 1 bи b S 2 s.

4. Да съвпадат S Í A´Bдефинирайте кореспонденцията

S -1 Í B´Aтака че: по дефиниция bS -1 a Û a S b.

5. Нека по дефиниция кореспонденцията D A Í A´A,

D A =((a,a), aн A).

6. Съответствие Фот много Ав множеството БНаречен функция,определен на А,със стойности в Б(или картографиранеот Ав Б), ако " aО A $! bО Bтакъв, че aFb.В този случай също ще пишем aF = bили, по-често, Fa = b.В това определение функция се идентифицира с нейната графика. В нашата нотация aF 1 *F 2 sможе да се запише във формата c \u003d (aF 1)F 2.Състав F 2 F 1функции означава по дефиниция, че (F 2 F 1) (a) = F 2 (F 1 (a)).По този начин, F 2 F 1 \u003d F 1 * F 2.

7. За дисплей Фот Ав Б начинподмножества A 1 H A

наречено подмножество F(A 1)= (F(a)| aн A 1 ) Н B,а прототипподмножества B 1 H Bнаречено подмножество

F -1 (B 1)= ( aн A | F(a) О B 1 ) Н A .

8. Дисплей Фот Ав БНаречен инжекцияако от

a 1 ¹ a 2 Þ Fa 1 ¹ Fa 2.

9. Дисплей Фот Ав БНаречен сюръекция, ако

" bО B $ aО Aтакъв, че Fa = b.

10. Дисплей Фот Ав БНаречен биекцияили едно към едно картографиране, ако Ф– инжектиране и инжекция едновременно.

11. Извиква се биекция на крайно (а понякога и безкрайно) множество заместване.

12. бинарна връзкана снимачната площадка хнаречено подмножество R Í X´X.Фактът, че елементите x, y О Xса във връзка R,ще пишем във формуляра (x, y) О Rили във формата xRy.

Човешките същества имат присъща нужда от комуникация и взаимодействие с други хора. Удовлетворявайки тази нужда, той проявява и осъзнава своите възможности.

Човешкият живот през цялото му времетраене се проявява преди всичко в общуването. И цялото разнообразие на живота се отразява в еднакво безкрайно разнообразие от общуване: в семейството, в училище, на работа, у дома, в компании и т.н.

Комуникация- една от универсалните форми на личностна дейност, проявяваща се в установяването и развитието на контакти между хората, във формирането на междуличностни отношения и породена от необходимостта от съвместни дейности.

Комуникацията изпълнява редица основни функции:

Информация - функцията за получаване, предаване на информация;
Контакт – установяване на контакт като състояние на взаимна готовност на хората за получаване и предаване на информация;
Стимул - функцията да стимулира активността към действие;
Координация - функцията на взаимна ориентация и координация на действията;
Разбиране – включва не само приемането на информация, но и разбирането на тази информация един от друг;
Амотивна - функцията на възбуждане в партньора на необходимите емоции, преживявания, чувства, включва емоционален обмен, промяна в емоционалното състояние;
Функцията на установяване на взаимоотношения е осъзнаването и фиксирането на своя социален статус, социална роля в определена социална общност.
Функцията за упражняване на влияние е промяна в състоянието, поведението, намеренията, идеите, нагласите, мненията, решенията, потребностите, действията и т.н.

Заедно с функциите, основните видовекомуникация.

По брой участници:

междуличностни;
група.

По начин на комуникация:

глаголен;
невербален.

Според позицията на говорителите:

контакт;
далечни.

Според условията за комуникация:

официален;
неофициален.

AT структураИма три тясно взаимосвързани, взаимозависими аспекта на комуникацията:

Перцептивната страна на комуникацията е процесът на възприемане един на друг.
Комуникативната страна на комуникацията включва предаването на информация. В същото време трябва да се има предвид, че човек изразява 80% от това, което иска да каже, слушателят възприема 70% и разбира 60% от казаното.
Интерактивната страна на комуникацията включва организацията на взаимодействието (съгласуваност на действията, разпределение на функции и т.н.).

При организиране на комуникацията трябва да се има предвид, че тя преминава през редица етапи, всеки от които влияе върху нейната ефективност.

Ако един от етапите на комуникация отпадне, ефективността на комуникацията рязко намалява и има възможност да не се постигнат целите, които са били поставени при организиране на комуникацията. Способността за ефективно постигане на целите в общуването се нарича общителност, комуникативна компетентност, социална интелигентност.

В този подраздел представяме декартови продукти, отношения, функции и графики. Изучаваме свойствата на тези математически модели и връзките между тях.

Декартово произведение и изброяване на неговите елементи

Декартов продукткомплекти Аи Бсе нарича набор, състоящ се от подредени двойки: А´ Б= {(а,б): (аÎ А) & (бÎ Б)}.

За комплекти А 1, …, A nДекартовото произведение се дефинира чрез индукция:

В случай на произволен набор от индекси аз декартов продукт семействакомплекти ( Ai} и Î азсе дефинира като набор, състоящ се от такива функции е:аз® а аз ,какво е за всеки иÎ азправо f(и)Î Ai .

Теорема 1

Нека бъде А иB са крайни множества. Тогава |А´ B| = |A|×| B|.

Доказателство

Нека бъде A = (а 1, …,съм), B=(b 1 , …,bn). Елементите на декартов продукт могат да бъдат подредени с помощта на таблица

(a 1 ,b 1), (a 1 ,b 2), …, (a 1 ,b n);

(a 2 ,b 1), (a 2 ,b 2), …, (a 2 ,b n);

(a m, b 1), (a m, b 2),…, (a m, b n),

състояща се от нколони, всяка от които се състои от мелементи. Оттук | А´ B|=мн.

Следствие 1

Доказателство

С помощта на индукция на н. Нека формулата е вярна за н. Тогава

Отношения

Нека бъде н³1е цяло положително число и А 1, …, A nса произволни множества. Връзката между елементите на множествата А 1, …, A nили n-арна връзкасе нарича произволно подмножество.

Бинарни отношения и функции

бинарна връзкамежду елементи от множества Аи Б(или, накратко, между Аи Б) се нарича подмножество РÍ А´ Б.

Определение 1

Функцияили картографиранесе нарича тройка, състояща се от множества Аи Би подмножества еÍ А´ Б(функционална графика) удовлетворяване на следните две условия;

1) за всеки хÎ Аима такъв гÎ е, Какво (х,y)Î е;

2) ако (х,y)Î еи (х,z)Î е, тогава y=z.

Лесно е да се види това еÍ А´ Бще дефинира функция, ако и само ако за всяка хÎ Аима само един гÎ е, Какво ( х,г) Î е. Това гозначават с е(х).

Функцията се извиква инжекция, ако има такива х,х'Î А, такъв Какво х¹ х', се провежда f(х)¹ f(х'). Функцията се извиква сюръекцияако за всеки гÎ Бима такъв хÎ А, Какво е(х) = г. Ако функцията е инжекция и сюръекция, тогава тя се извиква биекция.

Теорема 2

За да бъде функцията биекция, е необходимо и достатъчно да съществува функция, такава че fg =ID Bи gf =ID A.

Доказателство

Нека бъде е- биекция. Заради сюрективността еза всеки гÎ Бможете да изберете елемент хÎ А, за което е(х) = г. Поради инжективността е, този елемент ще бъде единственият и ще го обозначим с ж(г) = х. Да вземем функция.

По конструкция на функцията ж, има равенства е(ж(г)) = ги ж(е(х)) = х. Така че точно така fg =ID Bи gf =ID A. Обратното е очевидно: ако fg =ID Bи gf =ID A,тогава е– сюръекция в сила е(ж(г)) = г, за всеки гÎ Б. В този случай ще последва от , което означава . следователно, е- инжекция. Оттук следва, че е- биекция.

Изображение и прототип

Нека е функция. начин подмножества хÍ Анаречено подмножество f(X) = (f(х):хÎ х)Í б.За ЙÍ Бподмножество f - -1 (Y) =(хÎ A:f(х)Î Y)Наречен прототип подмножестваЙ.

Връзки и графики

Бинарните връзки могат да бъдат визуализирани с помощта на насочени графики.

Определение 2

насочена графикасе нарича двойка множества (E,v)заедно с няколко дисплея с,т:Е® V. Задайте елементи Vса представени от точки на равнина и се наричат върхове. Артикули от E се наричат насочени ръбовеили стрелки. Всеки елемент дÎ Еизобразен като стрелка (евентуално криволинейна), свързваща върха с(д)Горна част т(д).

Произволно бинарно отношение РÍ V´ Vсъответства на насочен граф с върхове vÎ V, чиито стрелки са подредени двойки (ти,v)Î Р. Дисплеи с,т:Р® Vсе определят по формулите:

с(ти,v) =uи т(ти,v) =v.

Пример 1

Нека бъде V = (1,2,3,4).

Помислете за връзката

R = ((1.1), (1.3), (1.4), (2.2), (2.3), (2.4), (3.3), (4.4)).

Тя ще съответства на насочена графика (фиг. 1.2). Стрелките на тази графика ще бъдат двойки (аз,й)Î Р.

Ориз. 1.2. Насочена двоична релационна графика

В получената насочена графа всяка двойка върхове е свързана с най-много една стрелка. Такива насочени графи се наричат просто. Ако не вземем предвид посоката на стрелките, стигаме до следното определение:

Определение 3

Проста (ненасочена) графика G = (V,д)се нарича двойка, състояща се от множество Vи много Е, състояща се от някои неподредени двойки ( v 1 ,v2) елементи v 1 ,v2Î Vтакъв, че v1¹ v2. Тези двойки се наричат ребраи елементи от V – върхове.

Ориз. 1.3. Прост неориентиран граф К 4

Няколко Едефинира бинарна симетрична антирефлексивна връзка, състояща се от двойки ( v 1 ,v2), за което ( v 1 ,v2} Î Е. Върховете на обикновена графика са показани като точки, а ръбовете като отсечки. На фиг. 1.3 показва проста графика с много върхове

V ={1, 2, 3, 4}

и много ребра

E= {{1,2}, {1,3},{1,4}, {2,3}, {2,4}, {3, 4}}.

Операции върху бинарни отношения

бинарна връзкамежду елементи от множества Аи Бнаречено произволно подмножество РÍ А´ Б. Записване aRb(при аÎ А, бÎ Б) означава, че (а,б)Î Р.

Дефинирани са следните релационни операции РÍ А´ А:

· R-1= ((a,b): (b,a)Î R);

· Р° S = ((a, b): ($ хÎ A)(a, x)Î R & (x,b)Î R);

· R n =Р°(Rn-1);

Нека бъде Id A = ((а,а):аÎ а)- идентична връзка. Поведение Р Í х´ хНаречен:

1) отразяващ, ако (а,а)Î Рза всички аÎ х;

2) антирефлексен, ако (а,а)Ï Рза всички аÎ х;

3) симетричниако за всичко а,бÎ хвнушението е правилно aRbÞ bRa;

4) антисиметрични, ако aRb &bRaÞ a=б;

5) преходенако за всичко а,б,° СÎ хвнушението е правилно aRb &bRcÞ дъга;

6) линеен, за всички а,бÎ хвнушението е правилно а¹ бÞ aRbÚ bRa.

Означете ID Aпрез документ за самоличност. Лесно е да се види, че важи следното.

Предложение 1

Поведение РÍ х´ х:

1) рефлексивно Û документ за самоличностÍ Р;

2) антирефлексно Û РÇ Id=Æ ;

3) симетрично Û R=R-1;

4) антисиметрично Û РÇ R-1Í документ за самоличност;

5) преходно Û Р° РÍ Р;

6) линейно Û РÈ документ за самоличностÈ R-1=X´ х.

матрица на бинарни отношения

Нека бъде А= {а 1, а 2, …, а м) и Б= {б 1, б 2, …, b n) са крайни множества. матрица на бинарни отношения Р Í А ´ Бсе нарича матрица с коефициенти:

Нека бъде Ае крайно множество, | А| = ни Б= А. Помислете за алгоритъма за изчисляване на матрицата на състава т= Р° Сотношения Р, С Í А´ А. Означете коефициентите на матриците на отношенията Р, Си тсъответно чрез rij, sijи tij.

Тъй като имотът ( а и,а к)Î те равносилно на съществуването на такъв айÎ А, Какво ( а и,ай)Î Ри ( ай,а к) Î С, след това коефициентът тикще бъде равно на 1, ако и само ако такъв индекс съществува j, Какво rij= 1 и sjk= 1. В други случаи тикравно на 0. Следователно, тик= 1, ако и само ако .

Това означава, че за да се намери композиционната матрица на релациите, е необходимо тези матрици да се умножат и в получения продукт на матриците да се заменят ненулевите коефициенти с единици. Следващият пример показва как матрицата на състава се изчислява по този начин.

Пример 2

Помислете за бинарна връзка на A = (1,2,3)равна на R = ((1,2),(2,3)). Нека напишем матрицата на релациите Р. По дефиниция се състои от коефициентите р 12 = 1, r23 = 1 и други rij= 0. Оттук и релационната матрица Ре равно на:

Нека намерим връзката Р° Р. За тази цел умножаваме матрицата на съотношенията Рна себе си:

Получаваме матрицата на релациите:

следователно, Р° Р= {(1,2),(1,3),(2,3)}.

Предложение 1 предполага следното следствие.

Последствие 2

Ако А= Б, след това съотношението Рна А:

1) рефлексивно, ако и само ако всички елементи на главния диагонал на матрицата на релациите Рса равни на 1;

2) антирефлексивно, ако и само ако всички елементи на главния диагонал на матрицата на отношенията Рса 0;

3) симетрично, ако и само ако релационната матрица Рсиметрично;

4) транзитивно, ако и само ако всеки коефициент на матрицата на релациите Р° Рне по-голям от съответния коефициент на матрицата на съотношението Р.

функция ". Нека започнем с конкретен, но важен случай на функции, действащи от до .

Ако разберем какво е релация, тогава е доста лесно да разберем какво е функция. Функцията е специален случай на релация. Всяка функция е релация, но не всяка релация е функция. Какви отношения са функции? Какво допълнително условие трябва да бъде изпълнено, за да бъде релация функция?

Нека се върнем към разглеждането на релацията, действаща от областта на дефиницията към областта на стойностите. Помислете за елемент от . Този елемент съответства на елемент, такъв, че двойката принадлежи на , което често се записва като: (например, ). Други двойки също могат да принадлежат към релацията, чийто първи елемент може да бъде елементът . За функциите тази ситуация е невъзможна.

Функцията е връзка, при която елемент от областта на дефиниция съответства на един елемент от областта на стойностите.

Връзката "да имаш брат", показана на фигура 1, не е функция. От точка в областта на дефиницията две дъги отиват в различни точки в областта на стойностите, следователно тази връзка не е функция. По същество Елена има двама братя, така че няма съответствие едно към едно между елемента от и елемента от.

Ако разглеждаме отношението "да има по-голям брат" на същите множества, тогава такова отношение е функция. Всеки човек може да има много братя, но само един от тях е по-големият брат. Функции са и такива родствени отношения като "баща" и "майка".

Обикновено, когато става въпрос за функции, буквата се използва за общото означение на функцията, а не, както в случая на отношенията, а общата нотация има обичайната форма: .

Помислете за добре познатата функция . Обхватът на тази функция е цялата реална ос: . Обхватът на функцията е затворен интервал по реалната ос: . Графиката на тази функция е синусоида, всяка точка на оста съответства на една точка от графиката .

Функция едно към едно

Нека релацията дефинира функцията. Какво може да се каже за обратното? Това също ли е функция? Изобщо не е необходимо. Помислете за примери за отношения, които са функции.

За връзката „има по-голям брат“, обратната връзка е връзката „има брат или сестра“. Разбира се, тази връзка не е функция. По-голям брат може да има много сестри и братя.

За връзката "баща" и "майка" обратното отношение е връзката "син или дъщеря", която също не е функция, тъй като може да има много деца.

Ако разгледаме функцията , след това обратното отношение не е функция, тъй като една стойност съответства на произволно много стойности. Да обмисли

Същност и класификация на икономическите отношения

От момента на отделянето си от света на дивата природа човек се развива като биосоциално същество. Това определя условията за неговото развитие и формиране. Потребностите са основният стимул за развитието на човека и обществото. За да отговори на тези нужди, човек трябва да работи.

Трудът е съзнателната дейност на човек за създаване на стоки с цел задоволяване на потребности или получаване на ползи.

Колкото повече се увеличаваха нуждите, толкова по-труден ставаше трудовият процес. Това изискваше все повече ресурси и все по-координирани действия на всички членове на обществото. Благодарение на труда се формират както основните черти на външния вид на съвременния човек, така и чертите на човека като социално същество. Трудът навлезе във фазата на икономическа активност.

Икономическа дейност се нарича човешка дейност при създаването, преразпределението, обмена и използването на материални и духовни богатства.

Икономическата дейност е свързана с необходимостта от влизане в някаква връзка между всички участници в този процес. Тези взаимоотношения се наричат икономически.

Определение 1

Икономическите отношения са система от взаимоотношения между физически и юридически лица, които се формират в производствения процес. преразпределение, размяна и потребление на всякакви стоки.

Тези взаимоотношения имат различни форми и продължителност. Следователно има няколко варианта за тяхната класификация. Всичко зависи от избрания критерий. Критерият може да бъде време, периодичност (редовност), степен на полза, характеристики на участниците в тези отношения и др. най-често се споменават следните видове икономически отношения:

международни и вътрешни;
взаимноизгодни и дискриминационни (изгодни за едната страна и накърняващи интересите на другата);
доброволни и задължителни;
стабилни редовни и епизодични (краткосрочни);
кредитни, финансови и инвестиционни;
отношения за покупко-продажба;
имуществени отношения и др.

В процеса на икономическа дейност всеки от участниците във връзката може да изпълнява няколко роли. Условно се разграничават три групи носители на икономически отношения. Това са:

производители и потребители на икономически стоки;
продавачи и купувачи на икономически стоки;
собственици и потребители на стоки.

Понякога се обособява отделна категория посредници. Но от друга страна, посредниците просто се случват едновременно в няколко образа. Следователно системата на икономическите отношения се характеризира с голямо разнообразие от форми и проявления.

Има и друга класификация на икономическите отношения. Критерият са характеристиките на протичащите процеси и целите на всеки тип взаимоотношения. Тези видове са организацията на трудовата дейност, организацията на стопанската дейност и управлението на стопанската дейност.

Основата за формиране на икономически отношения на всички нива и видове е собствеността върху ресурси и средства за производство. Те определят собствеността на произведените стоки. Следващият системообразуващ фактор са принципите на разпределение на произведените стоки. Тези две точки формират основата за формирането на видовете икономически системи.

Функции на организационните и икономическите отношения

Определение 2

Организационни и икономически отношения се наричат отношения за създаване на условия за най-ефективно използване на ресурсите и намаляване на разходите чрез организация на производствените форми.

Функцията на тази форма на икономически отношения е максималното използване на относителните икономически предимства и рационалното използване на очевидните възможности. Основните форми на организационни и икономически отношения включват концентрация (разширяване) на производството, комбиниране (съчетаване на производство на различни отрасли в едно предприятие), специализация и коопериране (за повишаване на производителността). Крайната форма на организационни и икономически отношения е формирането на териториално-производствени комплекси. Допълнителен икономически ефект се получава благодарение на успешното териториално разположение на предприятията и рационалното използване на инфраструктурата.

Съветските руски икономисти и икономически географи в средата на 20-ти век разработват теорията за циклите на производство на енергия (EPC). Те предложиха производствените процеси на определена територия да се организират по такъв начин, че да се използва един единствен поток от суровини и енергия за производството на цяла гама продукти. Това ще намали драстично производствените разходи и ще намали производството на отпадъци. Организационно-икономическите отношения са пряко свързани с управлението на икономиката.

Функции на социално-икономическите отношения

Определение 3

Социално-икономическите отношения се наричат отношения между икономически агенти, които се основават на правото на собственост.

Собствеността е система от отношения между хората, проявяващи се в отношението им към нещата – правото да се разпореждат с тях.

Функцията на социално-икономическите отношения е регулирането на имуществените отношения в съответствие с нормите на дадено общество. В крайна сметка правоотношенията се изграждат, от една страна, на основата на правата на собственост, а от друга страна, на основата на волеви имуществени отношения. Тези взаимодействия между двете страни приемат формата както на морални норми, така и на законодателни (законово закрепени).

Социално-икономическите отношения зависят от обществената формация, в която се развиват. Те служат на интересите на управляващата класа в това конкретно общество. Социално-икономическите отношения осигуряват прехвърляне на собствеността от едно лице на друго (размяна, покупко-продажба и др.).

Функции на международните икономически отношения

Международните икономически отношения изпълняват функцията на координиране на икономическата дейност на страните по света. Те носят характера и на трите основни форми на икономически отношения – икономическо управление, организационно-икономически и социално-икономически. Това е особено актуално в момента поради разнообразието от модели на смесена икономическа система.

Организационно-икономическата страна на международните отношения е отговорна за разширяването на международното сътрудничество на основата на интеграционните процеси. Социално-икономическият аспект на международните отношения е желанието за общо повишаване на нивото на благосъстоянието на населението на всички страни по света и намаляване на социалното напрежение в световната икономика. Управлението на световната икономика е насочено към намаляване на противоречията между националните икономики и намаляване на въздействието на глобалните инфлационни и кризисни явления.