Принципът на възможните премествания е теоретична механика от нулата. Изчисляване на реакцията на опората според принципа на възможните премествания

Както е известно от курса на теоретичната механика, равновесното състояние на обект може да има формулировка на сила или енергия. Първият вариант е условието за равенство на нула на главния вектор и основния момент на всички сили и реакции, действащи върху тялото. Вторият подход (вариационен), наречен принцип на възможните премествания, се оказва много полезен за решаване на редица задачи в структурната механика.

За система от абсолютно твърди тела принципът на възможните премествания се формулира по следния начин: ако система от абсолютно твърди тела е в равновесие, тогава сумата от работата на всички външни сили върху всяко възможно безкрайно малко преместване е равна на нула. Нарича се възможно (или виртуално) движение, което не нарушава кинематичните връзки и непрекъснатостта на телата. За системата на фиг. 3.1 е възможно само завъртане на пръта спрямо опората. При завъртане през произволен малък ъгъл, сили и вършете работа Според принципа на възможните премествания, ако системата е в равновесие, тогава трябва да има . Замествайки тук геометричните отношения получаваме условието за равновесие в формулировката на силата

Принципът на възможните премествания за еластични тела е формулиран по следния начин: ако система от еластични тела е в равновесие, тогава сумата от работата на всички външни и вътрешни сили върху всяко възможно безкрайно малко преместване е равна на нула. Този принцип се основава на концепцията за общата енергия на еластична деформирана система P. Ако конструкцията е натоварена статично, тогава тази енергия е равна на работата, извършена от външни U и вътрешни W сили, когато системата се прехвърля от деформирано състояние към първоначалния:

При тази транслация външните сили не променят стойността си и извършват отрицателна работа U= -F . В този случай вътрешните сили намаляват до нула и извършват положителна работа, тъй като това са силите на сцепление на частиците на материала и са насочени в посока, противоположна на външното натоварване:

където - специфична потенциална енергия на еластична деформация; V е обемът на тялото. За линейна система , където . Според теоремата на Лагранж-Дирихле, състоянието на стабилно равновесие съответства на минимума от общата потенциална енергия на еластичната система, т.е.

Последното равенство напълно отговаря на формулировката на принципа на възможните премествания. Енергийните инкременти dU и dW могат да бъдат изчислени за всякакви възможни премествания (отклонения) на еластичната система от равновесното състояние. За да се изчислят конструкции, които отговарят на изискванията за линейност, безкрайно малкото възможно преместване d може да бъде заменено с много малко крайно изместване, което може да бъде всяко деформирано състояние на структурата, създадено от произволно избрана система от сили. Имайки това предвид, полученото равновесно условие трябва да се запише като

Работата на външни сили

Помислете за метода за изчисляване на работата на външните сили върху действителното и възможно преместване. Пръчковата система се натоварва със сили и (фиг. 3.2, а), които действат едновременно, като по всяко време съотношението остава постоянно. Ако вземем предвид обобщената сила, тогава по стойността по всяко време можете да изчислите всички други натоварвания (в този случай, ). Пунктираната линия показва действителното еластично изместване, произтичащо от тези сили. Нека означим това състояние с индекс 1. Нека означим преместването на точките на приложение на силите и по посока на тези сили в състояние 1 и .

В процеса на натоварване на линейна система със сили и, силите се увеличават и преместванията и нарастват пропорционално на тях (фиг. 3.2, в). Действителната работа на силите и върху преместванията, които създават, е равна на сбора от площите на графиките, т.е. . Като напишеш този израз като , получаваме произведението на обобщената сила и обобщеното преместване . В този формуляр можете да подадете

работата на силите при всяко натоварване, ако всички натоварвания се променят синхронно, т.е. съотношението на техните стойности остава постоянно.

След това разгледайте работата на външни сили върху възможно изместване. Като възможно преместване ще вземем например деформираното състояние на системата в резултат на прилагането на сила в определена точка (фиг. 3.2, б). Това състояние, съответстващо на допълнителното преместване на точките на приложение на силите и с разстояние и , ще бъде обозначено с 2. Силите и , без да променят стойността си, извършват виртуална работа върху премествания и (фиг. 3.2, в):

Както можете да видите, в нотацията за изместване първият индекс показва състоянието, в което са посочени точките и посоките на тези премествания. Вторият индекс показва състоянието, в което действат силите, които причиняват това движение.

Работата на единична сила F 2 върху действителното преместване

Ако разгледаме състояние 1 като възможно изместване за силата F 2, тогава нейната виртуална работа върху преместването

Работата на вътрешните сили

Нека намерим работата на вътрешните сили от състояние 1, т.е. от силите и , върху виртуалните премествания на състояние 2, т.е. в резултат на прилагането на натоварването F 2 . За да направите това, изберете елемент на прът с дължина dx (фиг. 3.2 и 3.3, а). Тъй като разглежданата система е плоска, в сеченията на елемента действат само две сили S и Q z и огъващ момент Mu. Тези сили за отрязания елемент са външни. Вътрешните сили са кохезионни сили, които осигуряват здравина на материала. Те са равни на външните по стойност, но са насочени в посока, противоположна на деформацията, поради което работата им при натоварване е отрицателна (фиг. 3.3, б-г, показана в сиво). Нека последователно изчислим работата, извършена от всеки фактор на силата.

Работата на надлъжните сили върху преместването, която се създава от силите S 2, възникнали в резултат на прилагането на натоварването F 2 (фиг. 3.2, b, 3.3, b),

Откриваме удължението на пръчка с дължина dx по добре познатата формула

където A е площта на сечението на пръта. Замествайки този израз в предишната формула, намираме

По същия начин ние дефинираме работата, която огъващият момент извършва върху ъгловото преместване, създадено от момента (фиг. 3.3, в):

Намираме ъгъла на въртене като

където J е инерционният момент на сечението на пръта спрямо оста y. След замяна получаваме

Да намерим работата на напречната сила при преместване (фиг. 3.3, г). Тангенциалните напрежения и изместванията от силата на срязване Q z не се разпределят линейно върху сечението на пръта (за разлика от нормалните напрежения и удължения в предишните случаи на натоварване). Следователно, за да се определи работата на срязване, е необходимо да се вземе предвид работата, извършена от напреженията на срязване в слоевете на пръта.

Тангенциалните напрежения от силата Q z, които действат в слой, лежащ на разстояние z от неутралната ос (фиг. 3.3, д), се изчисляват по формулата на Журавски

където Su е статичният момент на частта от площта на напречното сечение, лежаща над този слой, взета спрямо оста y; b е ширината на секцията на нивото на разглеждания слой. Тези напрежения създават срязване на слоя под ъгъл, който според закона на Хук се определя като - модул на срязване. В резултат на това краят на слоя се измества от

Общата работа на напреженията на срязване на първото състояние, действащи върху края на този слой, върху преместванията на второто състояние се изчислява чрез интегриране на продукта по площта на напречното сечение

След като заменим тук изразите за и получаваме

Изваждаме от под интегралните стойности, които не зависят от z, умножаваме и разделяме този израз на A, получаваме

Тук се въвежда безразмерният коефициент,

в зависимост само от конфигурацията и съотношението на размерите на секциите. За правоъгълник \u003d 1.2, за I-лъч и секции на кутия (A c - площ на сечението на стената или в сечение на кутия - две стени).

Тъй като работата на всеки от разглежданите компоненти на натоварване (S, Q, M) върху премествания, причинени от други компоненти, е равна на нула, тогава общата работа на всички вътрешни сили за разглеждания елемент на пръта с дължина dx

(3.3)

Общата работа на вътрешните сили от състояние 1 върху преместванията на състояние 2 за система с плосък прът се получава чрез интегриране на получения израз върху секции с дължина 1 Z, в рамките на които диаграмите са интегрируеми функции, и сумиране по всички секции:

В сечението на елемент от пространствена пръчкова система действат шест вътрешни сили (S, Q, Q z, M x, Mu, M 2), следователно за него изразът за общата работа на вътрешните сили ще изглежда така ,

Тук M x - въртящ момент в пръта; J T е моментът на инерция на пръта при свободно усукване (геометрична твърдост на усукване). В интегралната функция индексите "и" са пропуснати.

Във формули (3.3) и (3.4) S v Q yV Q zl , M x1 , M y1 , M g1 означават аналитичните изрази на диаграмите на вътрешните сили от действието на силите F (и F (, aS 2 , Q y 2 , Q z 2 , M x2 , M y2 , M r2 - описания на диаграми на вътрешни сили от силата F 2 .

Теореми за еластичните системи

Структурата на формулите (3.3) и (3.4) показва, че те са „симетрични“ по отношение на състояния 1 и 2, т.е. работата на вътрешните сили от състояние 1 върху преместванията на състояние 2 е равна на работата на вътрешните сили на състояние 2 върху изместванията на състояние 1 Но според (3.2)

Следователно, ако работата на вътрешните сили е равна, тогава работата на външните сили е равна - Това твърдение се нарича теорема за реципрочност (теорема на Бети, 1872).

За прътова система, натоварена със сила F 1 (фиг. 3.4, а), приемаме като възможно изместване деформираното състояние, възникнало при натоварването му със сила F 2 (фиг. 3.4, б). За тази система, според теоремата на Бети 1- Ако поставим , тогава получаваме

(3.5)

Тази формула изразява теоремата на Максуел (1864) за реципрочността на преместванията: изместването на точката на приложение на първата единична сила в нейната посока, причинено от действието на втората единична сила, е равно на изместването на точката на приложение на втората единична сила в нейната посока, причинена от действието на първата единична сила. Тази теорема може да се приложи и към системата на фиг. 3.2. Ако зададем = 1 N (раздел 3.1.2), тогава получаваме равенството на обобщените премествания .

Да разгледаме статично неопределена система с опори, на които може да се даде необходимото изместване, взето възможно най-добре (фиг. 3.4, c, d). В първото състояние изместваме опората 1 към и във второто - задаваме завъртането на вграждането под ъгъл - В този случай реакциите ще възникнат в първото състояние и , а във второто - i . Според теоремата за реципрочността на работата пишем Ако зададем (тук размерността = m, а стойността е безразмерна), тогава получаваме

Това равенство е числово, тъй като размерът на реакцията = H, a = N-m. По този начин, реакцията R 12 във фиксирана връзка 1, която възниква, когато връзка 2 се премести с единица, е числено равна на реакцията, която протича във връзка 2 с единично изместване на връзка 1. Това твърдение се нарича теорема за реципрочността на реакцията.

Теоремите, представени в този раздел, се използват за аналитичните изчисления на статично неопределени системи.

Определение на преместванията

Обща формула за изместване

За да се изчислят преместванията, които възникват в системата на пръта под действието на даден товар (състояние 1), е необходимо да се формира допълнително състояние на системата, в която действа една единица сила, извършваща работа върху необходимото преместване (състояние 2) . Това означава, че при определяне на линейното преместване е необходимо да се посочи единична сила F 2 = 1 N, приложена в същата точка и в същата посока, в която трябва да се определи преместването. Ако е необходимо да се определи ъгълът на въртене на която и да е секция, тогава в този участък се прилага единичен момент F 2 = 1 N m. След това се съставя енергийното уравнение (3.2), в което състояние 2 се приема за основната, и деформираната

състояние 1 се третира като виртуален ход. От това уравнение се изчислява желаното изместване.

Нека намерим хоризонталното изместване на точка B за системата на фиг. 3.5, а. За да попадне желаното преместване D 21 в уравнението на произведенията (3.2), приемаме за основно състояние изместването на системата под действието на единична сила F 2 - 1 N (състояние 2, фиг. 3.5, б). Ще разглеждаме действителното деформирано състояние на конструкцията като възможно изместване (фиг. 3.5, а).

Работата на външните сили от състояние 2 върху преместванията на състояние 1 се намира като Съгласно (3.2),

следователно, желаното изместване

Тъй като (раздел 3.1.4), работата на вътрешните сили от състояние 2 върху преместванията на състояние 1 се изчислява по формула (3.3) или (3.4). Замествайки в (3.7) израз (3.3) за работата на вътрешните сили на система с плосък прът, намираме

За по-нататъшно използване на този израз е препоръчително да се въведе концепцията за единични диаграми на вътрешните силови фактори, т.е. от които първите две са безразмерни, а измерението . Резултатът ще бъде

Тези интеграли трябва да се заменят с изрази за диаграмите на разпределението на съответните вътрешни сили от действащото натоварване и и отсили F 2 = 1. Полученият израз се нарича формула на Мор (1881).

При изчисляване на системите с пространствени ленти трябва да се използва формула (3.4) за изчисляване на общата работа на вътрешните сили, тогава ще се окаже

Съвсем очевидно е, че изразите за диаграми на вътрешни сили S, Q y , Q z , M x, M y, M g и стойностите на геометричните характеристики на сеченията A, J t, Jy, J, за съответните n-ти участъци се заместват в интегралите. За да се съкрати обозначението в обозначението на тези величини, индексът "i" се пропуска.

3.2.2. Конкретни случаи на определяне на премествания

Формула (3.8) се използва в общия случай на плоска пръчкова система, но в някои случаи може да бъде значително опростена. Помислете за специални случаи на неговото прилагане.

1. Ако деформациите от надлъжни сили могат да бъдат пренебрегнати, което е характерно за системите на греди, тогава формула (3.8) ще бъде записана като

2. Ако плоската система се състои само от огънати тънкостенни греди със съотношение l / h> 5 за конзоли или l / h> 10 за участъци (I и h са дължината на гредата и височината на сечението), тогава като правило , енергията на деформация на огъване значително надвишава енергията на деформация от надлъжни и напречни сили, така че те могат да бъдат игнорирани при изчисляването на преместванията. Тогава формула (3.8) приема формата

3. За ферми, чиито пръти при възлово натоварване изпитват предимно надлъжни сили, можем да приемем M = 0 и Q = 0. Тогава изместването на възела се изчислява по формулата

Интегрирането се извършва по дължината на всеки прът, а сумирането се извършва върху всички пръчки. Имайки предвид, че силата S u в i-тия прът и площта на напречното сечение не се променят по дължината му, можем да опростим този израз:

При цялата привидна простота на тази формула, аналитичното изчисляване на преместванията в фермите е много трудоемко, тъй като изисква определяне на силите във всички пръти на ферми от действащото натоварване () и от единична сила (), приложена в точката, чието изместване е необходимо да бъде намерен.

3.2.3. Методика и примери за определяне на премествания

Помислете за изчисляването на интеграла на Мор по метода на A. N. Vereshchagin (1925). Интегралът на Мор има формата (3.8), където като D 1 , D 2 могат да се появят диаграми на огъващи моменти, надлъжни или напречни сили. Поне една от диаграмите () в интегралната функция е линейна или линейна на парче, тъй като е изградена от един товар. Следователно, за

решение на интеграла може да се приложи следният трик. Да приемем, че в разглеждания участък с дължина I първата диаграма D 1 е с произволна форма, а втората е линейна: (фиг. 3.6). Замествайки това в интеграла на Мор, намираме

Първият от интегралите е числено равен на площта на подграфа (защрихована на фиг. 3.6), а вторият е статичният момент на тази област спрямо оста. Статичният момент може да се запише като , където е координатата на положението на центъра на тежестта на областта (точка А). С оглед на казаното получаваме

(3.13)

Правилото на Верещагин е формулирано, както следва: ако поне една от диаграмите е линейна на графика, тогава интегралът на Мор се изчислява като произведение на площта на произволно

парцел върху ординатата на линейния парцел, разположен под центъра на тежестта на тази област. Ако и двете диаграми са разположени от една и съща страна на оста, тогава продуктът е положителен, ако от различни страни, тогава е отрицателен. Този метод може да се приложи за изчисляване на всеки от интегралите в изрази (3.8) и (3.9).

При изчисляване на структури в средата на Mathcad не е необходимо да използвате правилото на Верещагин, тъй като можете да изчислите интеграла чрез числено интегриране.

Пример 3.1(фиг. 3.7, а). Гредата се натоварва с две симетрично разположени сили. Намерете преместванията на точките на приложение на силите.

1. Да построим диаграма на огъващи моменти M 1 от сили F 1 . Подкрепящи реакции Максимален момент на огъване под сила

2. Тъй като системата е симетрична, отклоненията под силите ще бъдат еднакви. Като помощно състояние приемаме натоварването на гредата от две единични сили F 2 = 1 N, приложени в същите точки като силите F 1

(фиг. 3.7, б). Диаграмата на моментите на огъване за това натоварване е подобна на предишната, а максималният момент на огъване M 2max = 0,5 (L-b).

3. Натоварването на системата от две сили на второто състояние се характеризира с обобщената сила F 2 и обобщеното преместване , които създават работата на външни сили върху изместването на състояние 1, равна на . Нека изчислим изместването по формулата (3.11). Умножавайки диаграмите по секции според правилото на Верещагин, намираме

След заместване на стойностите получаваме

Пример 3.2.Намерете хоризонталното изместване на подвижната опора на U-образната рамка, натоварена със силата F x (фиг. 3.8, а).

1. Да построим диаграма на огъващи моменти от силата F 1 Опорни реакции . Максимален огъващ момент под сила F 1

2. Като помощно състояние приемаме натоварването на гредата с единична хоризонтална сила F 2, приложена в точка B (фиг. 3.8, б). Изграждаме диаграма на моментите на огъване за този случай на натоварване. Подпорни реакции A 2y = B 2y = 0, A 2x = 1. Максимален момент на огъване.

3. Изчисляваме преместването по формулата (3.11). При вертикални секции продуктът е нула. На хоризонтален участък графикът M 1 не е линеен, но графикът е линеен. Умножавайки диаграмите по метода на Верещагин, получаваме

Продуктът е отрицателен, тъй като диаграмите лежат от противоположните страни. Получената отрицателна стойност на преместване показва, че действителната му посока е противоположна на посоката на единичната сила.

Пример 3.3(фиг. 3.9). Намерете ъгъла на завъртане на сечението на двуносната греда под силата и намерете позицията на силата, при която този ъгъл ще бъде максимален.

1. Нека построим диаграма на огъващите моменти M 1 от силата F 1. За да направим това, ще намерим опорната реакция A 1. От уравнението на равновесието за системата като цяло максималният огъващ момент под силата Fj

2. Като спомагателно състояние приемаме натоварването на гредата с единичен момент F 2 = 1 Nm в участъка, чието въртене трябва да се определи (фиг. 3.9, б). Изграждаме диаграма на моментите на огъване за този случай на натоварване. Поддържащи реакции A 2 \u003d -B 2 \u003d 1 / L, моменти на огъване

И двата момента са отрицателни, тъй като са насочени по посока на часовниковата стрелка. Диаграмите са изградени върху опънато влакно.

3. Изчисляваме ъгъла на въртене по формулата (3.11), като извършваме умножението върху две секции,

Означавайки , можете да получите този израз в по-удобна форма:

Графиката на зависимостта на ъгъла на въртене от положението на силата F 1 е показана на фиг. 3.9, c. Диференцирайки този израз, от условието намираме позицията на силата, при която ъгълът на наклон на гредата под него ще бъде най-голям по абсолютна стойност. Това ще се случи при стойности, равни на 0,21 и 0,79.

Да преминем към разглеждането на друг принцип на механиката, който установява общо условие за равновесието на механична система. Под равновесие (вж. § 1) разбираме състоянието на системата, при което всички нейни точки под действието на приложените сили са в покой по отношение на инерциалната система на отчитане (разглеждаме т. нар. „абсолютно“ равновесие). В същото време ще считаме, че всички комуникации, насложени върху системата, са стационарни и няма да предвиждаме това изрично всеки път в бъдеще.

Нека представим концепцията за възможна работа като елементарна работа, която силата, действаща върху материална точка, би могла да извърши при преместване, което съвпада с възможното преместване на тази точка. Ще обозначим възможната работа на активната сила със символа , а възможната работа на реакцията на връзката N със символа

Нека сега дадем обща дефиниция на концепцията за идеални връзки, която вече използвахме (виж § 123): връзките се наричат идеални, ако сумата от елементарните произведения на техните реакции при всяко възможно изместване на системата е равна на нула , т.е.

Дадено в § 123 и изразено с равенство (52), условието за идеалност на връзките, когато те са едновременно неподвижни, съответства на определението (98), тъй като при стационарни връзки всяко реално изместване съвпада с едно от възможните . Следователно, примери за идеални връзки ще бъдат всички примери, дадени в § 123.

За да определим необходимото условие на равновесие, ние доказваме, че ако механична система с идеални ограничения е в равновесие от действието на приложените сили, тогава за всяко възможно изместване на системата, равенството

където е ъгълът между силата и възможното преместване.

Нека обозначим резултантите на всички (както външни, така и вътрешни) активни сили и реакции на връзките, действащи в дадена точка от системата, съответно чрез . Тогава, тъй като всяка от точките на системата е в равновесие, и следователно, сумата от работата на тези сили за всяко движение на точката също ще бъде равна на нула, т.е. Събирайки такива равенства за всички точки от системата и добавяйки член по член, получаваме

Но тъй като връзките са идеални, те представляват възможни премествания на точките на системата, тогава втората сума според условието (98) ще бъде равна на нула. Тогава първата сума също е равна на нула, т.е. равенството (99) е в сила. Така доказахме, че равенството (99) изразява необходимото условие за равновесието на системата.

Нека покажем, че това условие също е достатъчно, т.е. ако активните сили, удовлетворяващи уравнение (99), се приложат към точките на механична система в покой, тогава системата ще остане в покой. Да приемем обратното, т.е., че системата ще започне да се движи и някои от нейните точки ще направят реални премествания. Тогава силите ще свършат работа върху тези премествания и според теоремата за промяната в кинетичната енергия тя ще бъде:

където, очевидно, тъй като системата първоначално е била в покой; следователно и . Но при стационарни връзки действителните премествания съвпадат с някои от възможните премествания и тези премествания също трябва да имат нещо, което противоречи на условие (99). По този начин, когато приложените сили удовлетворяват условие (99), системата не може да напусне състоянието на покой и това условие е достатъчно условие за равновесие.

От доказаното следва следният принцип на възможните премествания: за равновесието на механична система с идеални ограничения е необходимо и достатъчно сумата от елементарните работи на всички действащи върху нея активни сили за всяко възможно преместване на системата да бъде равна до нула. Математически формулираното условие за равновесие се изразява с равенство (99), което също се нарича уравнение на възможните работни места. Това равенство може да бъде представено и в аналитична форма (вижте § 87):

Принципът на възможните премествания установява общо условие за равновесието на механична система, което не изисква отчитане на равновесието на отделни части (тела) на тази система и позволява с идеални връзки да се изключат от разглеждането всички досега неизвестни реакции на облигации.

Необходимо е и достатъчно сумата от работата , от всички активни сили, приложени към системата при всяко възможно преместване на системата, да бъде равна на нула.

Броят на уравненията, които могат да се съставят за една механична система, на базата на принципа на възможните премествания, е равен на броя на степените на свобода на тази механична система.

литература

Targ S. M. Кратък курс по теоретична механика. Proc. за технически колежи - 10-то изд., преработено. и допълнителни - М.: По-високо. училище, 1986.- 416 с., ил.
Основният курс по теоретична механика (първа част) Н. Н. Бухголц, издателство "Наука", Главна редакция на физико-математическа литература, Москва, 1972 г., 468 стр.

Фондация Уикимедия. 2010 г.

Вижте какво представлява "Принципът на възможните движения" в други речници:

принцип на възможни движения

Един от вариационните принципи на механиката, който установява общото условие за равновесие на механично системи. Според В. п. п., за равновесието на механичното. системи с идеални ограничения (вижте МЕХАНИЧНИ ВРЪЗКИ) е необходимо и достатъчно, че сборът от работи dAi… … Физическа енциклопедия

Голям енциклопедичен речник

ПРИНЦИП НА ВЪЗМОЖНИ ДВИЖЕНИЯ, за равновесието на механична система е необходимо и достатъчно сумата от работата на всички действащи върху системата сили за всяко възможно преместване на системата да бъде равна на нула. Принципът на възможното изместване се прилага, когато ... ... енциклопедичен речник

Един от вариационните принципи на механиката (виж Вариационни принципи на механиката), който установява общо условие за равновесието на механична система. Според V. p. p., за равновесието на механична система с идеални връзки (виж Връзки ... ... Голяма съветска енциклопедия

Принципът на виртуалните скорости, диференциалният вариационен принцип на класическата механика, който изразява най-общите условия за равновесието на механичните системи, ограничени от идеални връзки. Според В. п. п. механ. системата е в равновесие... Математическа енциклопедия

За равновесието на механична система е необходимо и достатъчно сумата от работата на всички действащи върху системата сили за всяко възможно преместване на системата да бъде равна на нула. Принципът на възможните премествания се прилага при изследване на равновесните условия ... ... енциклопедичен речник

За механичен баланс система е необходимо и достатъчно сумата от работата на всички сили, действащи върху системата за всяко възможно преместване на системата, да е равна на нула. В. п. п. се използва при изследване на равновесните условия за сложна механ. системи…… Естествени науки. енциклопедичен речник

принцип на виртуални премествания- virtualiųjų poslinkių principas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. принцип на виртуално изместване вок. Prinzip der virtuellen Verschiebungen, n rus. принципът на виртуалните премествания, m; принцип на възможни движения, m pranc. principe des … Fizikos terminų žodynas

Един от вариационните принципи на механиката, според ромите за даден клас механични движения, сравнени едно с друго. система е валидна за коя физ. стойност, наречена действие, има най-малкото (по-точно неподвижно) ... ... Физическа енциклопедия

Книги

Теоретична механика. В 4 тома. Том 3: Динамика. Аналитична механика. Текстове от лекции. Лешояд от Министерството на отбраната на Руската федерация, Богомаз Ирина Владимировна. Учебникът съдържа две части от един курс по теоретична механика: динамика и аналитична механика. В първата част първият и вторият проблем на динамиката са разгледани подробно, също така ...

Принципът на възможните движения: за равновесието на механична система с идеални връзки е необходимо и достатъчно сумата от елементарните работи на всички действащи върху нея активни сили за всяко възможно преместване да бъде равна на нула. или в проекции: .

Принципът на възможните премествания дава в общ вид условията на равновесие за всяка механична система, дава общ метод за решаване на задачи на статиката.

Ако системата има няколко степени на свобода, тогава уравнението на принципа на възможните премествания се съставя за всяко от независимите премествания поотделно, т.е. ще има толкова уравнения, колкото системата има степени на свобода.

Принципът на възможните премествания е удобен, тъй като при разглеждане на система с идеални връзки техните реакции не се вземат предвид и е необходимо да се работи само с активни сили.

Принципът на възможните движения е формулиран, както следва:

На майката. системата, подложена на идеални ограничения, е била в покой, необходимо е и достатъчно сумата от елементарни работи, извършени от активни сили върху възможни премествания на точките на системата, да бъде положителна

Общо уравнение на динамиката- когато една система се движи с идеални връзки във всеки даден момент от време, сумата от елементарните работи на всички приложени активни сили и всички инерционни сили при всяко възможно движение на системата ще бъде равна на нула. Уравнението използва принципа на възможните премествания и принципа на д'Аламбер и позволява да се съставят диференциални уравнения на движението за всяка механична система. Дава общ метод за решаване на задачи на динамиката.

Последователност на компилация:

а) определените сили, действащи върху него, се прилагат към всяко тяло, а също така се прилагат условно силите и моментите на двойки инерционни сили;

б) информира системата за възможни движения;

в) съставете уравненията на принципа на възможните премествания, като се има предвид, че системата е в равновесие.

Трябва да се отбележи, че общото уравнение на динамиката може да се приложи и към системи с неидеални връзки, само че в този случай реакциите на неидеалните връзки, като например силата на триене или моментът на триене при търкаляне, трябва да бъдат класифицирани като активни сили.

Работата върху възможното преместване както на активните, така и на инерционните сили се търси по същия начин като елементарната работа върху действителното преместване:

Възможна работа на сила: .

Възможна работа на момента (двойка сили): .

Обобщените координати на механична система са взаимно независими параметри q 1 , q 2 , ..., q S от произволно измерение, които еднозначно определят позицията на системата във всеки един момент.

Броят на обобщените координати е С - броят на степените на свобода на механичната система. Позицията на всяка ν-та точка от системата, тоест нейният радиус вектор, в общия случай, винаги може да бъде изразена като функция на обобщени координати:

Общото уравнение на динамиката в обобщени координати изглежда като система от S уравнения, както следва:

……..………. ;

………..……. ;

ето обобщената сила, съответстваща на обобщената координата:

a е обобщената инерционна сила, съответстваща на обобщената координата:

Броят на независимите възможни премествания на системата се нарича брой на степените на свобода на тази система. Например. топката в равнината може да се движи във всяка посока, но всяко възможно движение може да се получи като геометрична сума от две движения по две взаимно перпендикулярни оси. Свободното твърдо тяло има 6 степени на свобода.

Обобщени сили.За всяка обобщена координата може да се изчисли съответната обобщена сила Q k.

Изчислението се извършва по това правило.

За определяне на обобщената сила Q kсъответстваща на обобщената координата q k, трябва да дадете на тази координата увеличение (увеличете координатата с това количество), оставяйки всички други координати непроменени, да изчислите сумата от работата на всички сили, приложени към системата върху съответните премествания на точките, и да я разделите на приращение на координатата:

къде е изместването и-тази точка от системата, получена чрез промяна к-та обобщена координата.

Обобщената сила се определя с помощта на елементарна работа. Следователно тази сила може да се изчисли по различен начин:

И тъй като има увеличение на радиус вектора поради увеличаване на координатите с оставащите координати и времето непроменени т, съотношението може да се дефинира като частична производна на . Тогава

където координатите на точките са функции на обобщените координати (5).

Ако системата е консервативна, тоест движението се осъществява под действието на потенциални полеви сили, чиито проекции са , където , а координатите на точките са функции на обобщени координати, тогава

Обобщената сила на консервативна система е частична производна на потенциалната енергия спрямо съответната обобщена координата със знак минус.

Разбира се, когато се изчислява тази обобщена сила, потенциалната енергия трябва да се дефинира като функция на обобщените координати

P = P( q 1 , q 2 , q 3 ,…,qs).

Забележки.

Първо. При изчисляване на обобщените сили на реакция идеалните връзки не се вземат предвид.

Второ. Размерността на обобщената сила зависи от размерността на обобщената координата.

Уравнения на Лагранж от 2-ри видса изведени от общото уравнение на динамиката в обобщени координати. Броят на уравненията съответства на броя на степените на свобода:

За съставянето на уравнението на Лагранж от 2-ри вид се избират обобщени координати и се намират обобщени скорости . Открива се кинетичната енергия на системата, която е функция от обобщените скорости , и в някои случаи обобщени координати. Извършват се операциите по диференциране на кинетичната енергия, предвидени от лявата страна на уравненията на Лагранж. Получените изрази се приравняват на обобщени сили, за които освен формули (26) често се използват следните, когато разрешаване на проблеми:

В числителя от дясната страна на формулата - сумата от елементарната работа на всички активни сили върху възможното изместване на системата, съответстваща на вариацията на i-та обобщена координата - . При това възможно преместване всички други обобщени координати не се променят. Получените уравнения са диференциални уравнения на движението на механична система с С степени на свобода.

Елементи на аналитичната механика

В опитите си да познае заобикалящия свят човешката природа се стреми да сведе системата от знания в дадена област до най-малкия брой изходни позиции. Това се отнася преди всичко за научните области. В механиката това желание е довело до създаването на фундаментални принципи, от които следват основните диференциални уравнения на движението за различни механични системи. Този раздел от урока има за цел да запознае читателя с някои от тези принципи.

Нека започнем изучаването на елементите на аналитичната механика с разглеждане на проблема за класификацията на връзките, които се срещат не само в статиката, но и в динамиката.

Класификация на взаимоотношенията

Връзка – всякакъв вид ограничения, наложени върху позициите и скоростите на точките на механична система.

Връзките се класифицират:

По промяна във времето:

- нестационарни връзки, тези. променящ се с течение на времето. Подпора, движеща се в пространството, е пример за нестационарна връзка.

- фиксирани комуникации, тези. не се променя с времето.Стационарните връзки включват всички връзки, обсъждани в раздела "Статика".

По вида на наложените кинематични ограничения:

- геометрични връзки налагат ограничения върху позициите на точките в системата;

- кинематичен, или диференциални връзки налагат ограничения върху скоростта на точките в системата. Ако е възможно, намалете един тип връзка към друг:

- интегрируеми, или холономна(просто) Връзка, ако кинематичната (диференциална) връзка може да се представи като геометрична. При такива връзки зависимостите между скоростите могат да се сведат до зависимостта между координатите. Цилиндър, който се търкаля без приплъзване, е пример за интегрирана диференциална връзка: скоростта на оста на цилиндъра е свързана с неговата ъглова скорост съгласно добре познатата формула , или , и след интегриране тя се свежда до геометрична връзка между преместването на оста и ъгъла на въртене на цилиндъра във формата

- неинтегрируеми, или неголономна връзка– ако кинематичната (диференциална) връзка не може да се представи като геометрична. Пример е търкалянето на топка без подхлъзване по време на нейното неправолинейно движение.

Ако е възможно, "освободете" от комуникацията:

- държане на връзки, при които винаги се запазват наложените от тях ограничения,например махало, окачено от твърд прът;

- незадържащи връзки - ограниченията могат да бъдат нарушени за определен тип движение на системата, например, махало, окачено върху смачкана нишка.

Нека представим няколко определения.

· Възможен(или виртуален) движещ се(означено) е елементарен (безкрайно малък) и е такъв, че не нарушава ограниченията, наложени на системата.

Пример: точка, намираща се на повърхността, е възможно да има набор от елементарни премествания във всяка посока по референтната повърхност, без да се откъсва от нея. Движението на точка, водещо до нейното откъсване от повърхността, прекъсва връзката и, в съответствие с определението, не е възможно движение.

За стационарните системи обичайното реално (реално) елементарно преместване се включва в набора от възможни премествания.

· Брой степени на свобода на механична система – е броят на неговите независими възможни премествания.

И така, когато една точка се движи по равнина, всяко възможно нейно движение се изразява чрез нейните две ортогонални (и следователно независими) компоненти.

За механична система с геометрични ограничения броят на независимите координати, които определят позицията на системата, съвпада с броя на нейните степени на свобода.

Така една точка в равнина има две степени на свобода. Свободна материална точка - три степени на свобода. Свободното тяло има шест (добавят се завои при ъгли на Ойлер) и т.н.

· Възможна работа – е елементарната работа на сила върху възможно преместване.

Принципът на възможните движения

Ако системата е в равновесие, тогава за която и да е от нейните точки е валидно равенството, където са резултантите на активните сили и силите на реакция, действащи върху точката. Тогава сумата от работата на тези сили за всяко преместване също е равна на нула . Обобщавайки всички точки, получаваме: . Вторият член за идеални връзки е равен на нула, откъдето формулираме принцип на възможни движения :

(3.82)

При условия на равновесие на механична система с идеални връзки сумата от елементарните работи на всички действащи върху нея активни сили за всяко възможно изместване на системата е равна на нула.

Стойността на принципа на възможните премествания се крие във формулирането на условия на равновесие за механична система (3.81), в която не се появяват неизвестни реакции на ограничения.

ВЪПРОСИ ЗА САМОПРОВЕРКА

1. Какво движение на точка се нарича възможно?

2. Как се нарича възможна работа на силата?

3. Формулирайте и запишете принципа на възможните движения.

принцип на д'Аламбер

Нека пренапишем уравнението на динамиката да сета точка на механичната система (3.27), прехвърляйки лявата страна на дясната. Нека представим под внимание количеството

Силите в уравнение (3.83) образуват балансирана система от сили.

Разширявайки това заключение до всички точки на механичната система, стигаме до формулировката принцип на д'Аламбер, кръстен на френския математик и механик Жан Лерон Д'Аламбер (1717–1783), фиг. 3.13:

Фиг.3.13

Ако всички сили на инерцията се добавят към всички сили, действащи в дадена механична система, получената система от сили ще бъде балансирана и всички уравнения на статиката могат да бъдат приложени към нея.

Всъщност това означава, че от динамична система чрез добавяне на инерционни сили (силите на Даламбер) се преминава към псевдостатична (почти статична) система.

Използвайки принципа на д'Аламбер, може да се получи оценката главен вектор на инерционните силии основен момент на инерция около центъракато:

Динамични реакции, действащи върху оста на въртящо се тяло

Помислете за твърдо тяло, въртящо се равномерно с ъглова скорост ω около оста, фиксирани в лагери A и B (фиг. 3.14). Нека свържем с тялото осите Axyz, въртящи се с него; предимството на такива оси е, че спрямо тях координатите на центъра на масата и инерционните моменти на тялото ще бъдат постоянни стойности. Нека дадените сили действат върху тялото. Нека обозначим проекциите на главния вектор на всички тези сили върху оста Axyz чрез ( и др.), а основните им моменти около същите оси - през ( и др.); междувременно, тъй като ω = const, тогава = 0.

Фиг.3.14

За определяне на динамични реакции X A, Y A, Z A, X B, Y Bлагери, т.е. реакции, които възникват по време на въртенето на тялото, ние добавяме към всички дадени сили, действащи върху тялото, и реакциите на връзките на силата на инерцията на всички частици на тялото, като ги привеждаме в центъра A. Тогава силите на инерцията ще бъде представена от една сила, равна на и се прилага в точка А , и двойка сили с момент, равен на . Проекции на този момент върху оста да сеи вще бъде: , ; тук отново , като ω = const.

Сега, съставяйки уравнения (3.86) в съответствие с принципа на д’Аламбер в проекции по оста Axyz и задавайки AB =b,получаваме

(3.87)

Последно уравнение се удовлетворява идентично, тъй като .

Основният вектор на инерционните сили , където т -телесно тегло (3,85). В ω =const центърът на масата C има само нормално ускорение , където е разстоянието на точка C от оста на въртене. Следователно посоката на вектора съвпадат с посоката на ОС . Изчисляване на прогнози по координатните оси и като се вземе предвид, че , къде - координати на центъра на масата, намираме:

За да определите и , Помислете за някаква частица от тялото с маса м k , отдалечени от оста на разстояние h k .За нея при ω =const силата на инерцията също има само центробежен компонент , чиито проекции, както и вектори R",са равни.