Геометрично представяне на комплексни числа и операции с тях. Тригонометрична форма на комплексно число

разгледайте множеството R2 от всички възможни подредени двойки (x» Y) реални числа xxy € R. За такива двойки (a, b) = (c, d) тогава и само ако a = c и b - d. Нека въведем върху това множество R2 вътрешните закони на композицията под формата на операции събиране и умножение. Дефинираме събирането чрез равенството £faa операцията е асоциативна и комутативна; той има (съгласно дефиниция 4.5) неутрален елемент (0, 0) и, съгласно дефиниция 4.6, за всяка двойка (a, 6) може да се посочи симетричен (противоположен) елемент (-a, -6). Наистина, V(a, 6) £ R2 Освен това, или Полето на комплексните числа. Ние дефинираме умножението по равенство. Лесно е да се провери, че въведената по този начин операция е асоциативна, комутативна и разпределителна по отношение на събирането. Тази операция има неутрален елемент, който е двойката (1, 0), тъй като по отношение на въведените операции събиране и умножение, множеството R2 е абелов пръстен с единица (виж Таблица 4.1). u* Между множеството от двойки (x, 0) € R2 и множеството от реални числа x G R е лесно да се установи едно към едно съответствие (x, 0) x), от което следва, че Полето на комплексни числа. тези. събирането и умножението на такива двойки се извършват по същия начин, както при реалните числа. Нека заменим двойки от вида (x, 0) с реални числа, т.е. вместо (x, 0) просто ще напишем x, по-специално вместо (1, 0), просто ще напишем 1. Двойката (0, 1) заема специално място в множеството R2. Съгласно (4.3) той притежава свойствата и е получил специално обозначение i, и тогава, с оглед на (4.2) и (4.3), всяка двойка (x, y) ∈ R2 може да бъде представена като поле от комплексни числа . Означете z. Елементът z се нарича комплексно конюгат на елемента z. Като се вземе предвид (4.3) z-z = x2 -by2. Ако z не съвпада с неутралния елемент (0, 0), т.е. ако x и y не са равни на 0 едновременно (те означават 2^0), тогава x2 + + y2 φ 0. Тогава обратното (симетрично, противоположно по отношение на операцията на умножение - виж 4.1) на елемента z \u003d x + iy ще бъде такъв елемент r "1, че zz~l = 1 или zzz~l = z, т.е. (x2 + y2)z~l = x - y Следователно -1_ X 2 Y \ Следователно, всеки елемент от gf O има обратен на svb по отношение на операцията умножение и множеството R2 с операциите събиране и умножение, обединени върху него в съответствие с (4.1) и (4.3), следователно е поле (виж Таблица 4.1 ) Нарича се полето (или множество) от комплексни числа и се обозначава C. B По силата на горното едно към едно съответствие (r, 0) € R2 ++ x € R на частта от комплексни числа е разширение на полето на реалните числа. Всеки елемент r в C се нарича комплексно число и неговото представяне във формата z = x + iy> където x, y £ R и i2 = -l, - представлява комплексното число в алгебрична форма. В този случай £ се нарича реална част от комплексното число и се означава с Re z, а y се нарича въображаема част и се означава с Imz (t се нарича въображаема единица). Имайте предвид, че въображаемата част на комплексното число е реално число. Името на y не е напълно сполучливо, но като почит към историческата традиция се е запазило и до днес. Терминът "комплексно число"44 е въведен през 1803 г. от френския математик JI. Карно (1753-1823), но К. Гаус започва да използва този термин систематично от 1828 г., за да замени по-малко успешното „въображаемо число”44. В руската математическа литература от XIX век. използва термина „съставно число“44. Още при Р. Декарт се противопоставят реалната и въображаемата част на комплексното число. По-късно първите букви на френските думи reele (реален) и imagimaire (въображаем) станаха обозначенията на тези части, въпреки че много математици смятаха същността на въображаемите количества неясна и дори мистериозна и мистична. И така, И. Нютон не ги е включил в понятието число, а Г. Лайбниц принадлежи към Фразата: „Въображаемите числа са прекрасно и прекрасно убежище на божествения дух, почти като земноводно на битието с не-битието44. Тъй като множеството R2 от всички възможни двойки реални числа може да бъде идентифицирано с точки от равнината, всяко комплексно число z =? x + iy съответства на точката y) (фиг. 4.1), което ни позволява да говорим за геометричната форма на представянето на комплексно число. Когато комплексните числа се идентифицират с точки от равнината, това се нарича комплексна равнина или равнината на комплексните числа. Реалните числа се поставят върху оста x, т.е. числа z, за които lmz = y = 0, а по оста Oy - числа z = iy, наречени чисто въображаеми, за които Re r = x = 0. Поето-фиг. 4.1, координатните оси в комплексната равнина се наричат ​​съответно реални и въображаеми. Точките от равнината, съответстващи на комплексно спрегнати елементи z и z (комплексно спрегнати числа), са симетрични спрямо реалната ос, а точките, представляващи z и -z, са симетрични спрямо началото. Разстояние Поле на комплексни числа. точка M(x, y), изобразяваща комплексно число z = x + iy в равнината, от началото се нарича модул на комплексното число и се обозначава \z\ или r. Ъгълът, който образува радиус вектора на точка M с положителна посока на оста Ox се нарича аргумент на комплексно число и означава Argz или (p (виж фиг. 4.1). Ъгълът се измерва както в тригонометрията: положителната посока на промяната на ъгъла се счита за посока обратно на часовниковата стрелка. Ясно е, че Arg z не е еднозначно дефиниран, но до член, кратен на 2n. z - 0, стойността на Args не е дефинирана. Точката, съответстваща на това число (началото) се характеризира само с условие \z\ = r = 0. Така на всяко комплексно число z в комплексната равнина съответства радиус вектор на точката M(x, y), който може да се зададе чрез полярни координати: полярният радиус r ^ 0 , равен на модула на комплексното число и полярния ъгъл, съвпадащ с главната стойност на аргумента на това комплексно число. Съгласно дефинициите на тригонометричните функции и техните инверси, известни от училищния курс по тригонометрия (виж точка z на комплексна равнина имаме x=rcosy>= X Като се вземат предвид ограниченията, наложени върху главната стойност на аргумента на комплексното число, получаваме, ако x > 0, ако x 0, ако x = 0 и y. От (4.6) следва, че пр нотацията + tsiny> е авомерна), (4.8) Нарича се тригонометрична форма на представяне на комплексно число. За прехода от алгебричната форма на представяне към тригонометричната форма използвайте (4.5) и (4.7) ”а за обратния преход - (4.6). Обърнете внимание, че две ненулеви комплексни числа са равни, ако и само ако модулите им са равни и аргументите се различават по членове, кратни на 2n. Съгласно (4.1), сборът на комплексните числа z \ и r2 ще бъде комплексно число и тяхната разлика - От тези формули следва, че събирането (или изваждането) на комплексни числа е подобно на събирането (или изваждане) на вектори в комплексната равнина по правилото на паралелограма (фиг. 4.2) (докато съответните координати на векторите се добавят или изваждат). Следователно за модули с комплексни числа триъгълните неравенства а са валидни във формата (дължината на която и да е страна на триъгълник не е по-голяма от сбора на дължините на другите две страни). Тук обаче свършва аналогията между комплексните числа и векторите. Сборът или разликата от комплексни числа може да бъде реално число (например сумата от комплексно спрегнати числа r-f z = = 2x, x = Rez e R). Съгласно (4.3) произведението на комплексните числа z\ и z2 е комплексно число. частното Z1/22 за V*2 φ 0 се разбира като комплексно число -r, отговарящо на равенството z^z = z\. След като умножим и двете части на това равенство по 22, получаваме Повишаването на комплексно число z на степен n ∈ N е умножение на z само по себе си n пъти, като се вземе предвид фактът, че за k 6 N е полето на комплексните числа. Тригонометричната нотация (4.8) позволява да се опрости умножението, деленето и степента на комплексни числа. И така, за z\ \u003d r\ (cos (p\ + isiny?i) и Z2 \u003d Г2 (co + -f isin no (4.3) може да се установи, че на комплексната равнина (фиг. 4.3)) умножението съответства до завъртане на отсечката OM на ъгъл (обратно на часовниковата стрелка при 0) и промяна в дължината му с r2 = \z2\ пъти; степенуване n £ N като умножаване на z само по себе си n пъти, полу-най В чест на английския математик А .de Moivre (1667-1754), тази връзка се нарича формула на Moivre за повдигане на комплексно число в положителна степен на цяло число. /n, q € Q, m € Z, n6N, е свързана с повишаване на това число до степен 1 /n, или, както се казва, извличане на n-ия корен от комплексно число. степен, т.е. = w, ако wn = z. Нека) Тогава от (4.13) имаме и, като вземем предвид равенството на комплексните числа, ние получаваме От израз (4.14), наричаме извлечена от формулата на Moivre за извличане на корена на положително цяло число от комплексно число) следва, че сред възможните стойности на y/z, n стойности, съответстващи на k = 0, n - 1, ще бъдат различни. Всички n различни стойности за $fz имат един и същ модул и техните аргументи се различават по ъгли, кратни на 2jr/n. Стойностите съответстват на точките на комплексната равнина във върховете на правилен n-ъгълник, вписан в окръжност с радиус 1/f с център в началото. В този случай радиус векторът на един от върховете образува ъгъл (p/n) с оста Ox. От (4.13) и (4.14) следва формулата за повишаване на комплексното число z /0 до рационална степен g € Q. Beli g = m/n, където m € Z и n € N, като се вземе предвид (4.7), получаваме (Следователно в тригонометричен вид. Съгласно (4.11) и (4.12) намираме: Използвайки (4.13) ), повишаваме z\ на степен n = 4, прилагайки (4.14), извличаме от z2 корена от степен n = 3 Резултатите от изчисленията са показани на фиг. 4.4 Три стойности на корена от трета степен от zi съответстват на върховете на правилен триъгълник ABC, вписан в кръг с радиус, и полярните ъгли на тези върхове \u003d i * / 18, 4\u003e v \u003d 13m / 18 и \u003d 25m / 18 (или \u003d - 11^/18).

Аксиоми на полето. Полето на комплексните числа. Тригонометрично записване на комплексно число.

Комплексното число е число от вида , където и са реални числа, т.нар въображаема единица. Номерът се извиква реална част ( ) комплексно число, числото се нарича въображаема част ( ) комплексно число.

Няколкоедин и същ комплексни числаобикновено се обозначава с "удебелена" или удебелена буква

Комплексните числа се показват на сложна равнина:

Сложната равнина се състои от две оси:
– реална ос (x)
– въображаема ос (y)

Множеството от реални числа е подмножество от множеството комплексни числа

Операции с комплексни числа

За да добавите две комплексни числа, добавете техните реални и въображаеми части.

Изваждане на комплексни числа

Действието е подобно на събирането, единствената характеристика е, че изваждането трябва да се вземе в скоби и след това, като стандарт, отворете тези скоби с промяна на знака

Умножение на комплексни числа

отворени скоби според правилото за умножение на полиноми

Деление на комплексни числа

Извършва се разделянето на числата чрез умножаване на знаменателя и числителя по спрегнатия израз на знаменателя.

Комплексните числа притежават много от свойствата на реалните числа, от които отбелязваме следното, наречено главен.

1) (а + б) + ° С = а + (б + ° С) (асоциативност на добавяне);

2) а + б = б + а (комутативност на събирането);

3) а + 0 = 0 + а = а (наличие на неутрален елемент чрез добавяне);

4) а + (−а) = (−а) + а = 0 (наличието на противоположен елемент);

5) а(б + ° С) = аб + ac ();

6) (а + б)° С = ac + пр. н. е (разпределимост на умножението по отношение на събирането);

7) (аб)° С = а(пр. н. е) (асоциативност на умножение);

8) аб = б.а (комутативност на умножението);

9) а∙1 = 1∙а = а (съществуване на неутрален елемент чрез умножение);

10) за всеки а≠ 0 б, Какво аб = б.а = 1 (наличие на обратен елемент);

11) 0 ≠ 1 (без име).

Множеството от обекти с произволен характер, върху които са дефинирани операциите събиране и умножение, които имат посочените 11 свойства (които в случая са аксиоми), се нарича поле.

Полето на комплексните числа може да се разбира като разширение на полето на реалните числа, в което полиномът има корен

Всяко комплексно число (освен нула) може да бъде записано в тригонометрична форма:
, къде е модул на комплексно число, а - аргумент за комплексно число.

Модулът на комплексно числое разстоянието от началото до съответната точка в комплексната равнина. Просто казано, модулът е дължинатарадиус вектор, който е маркиран в червено на чертежа.

Модулът на комплексно число обикновено се означава с: или

С помощта на питагоровата теорема е лесно да се изведе формула за намиране на модула на комплексно число: . Тази формула е валидна за всякаквизначения "а" и "бъде".

Аргументът на комплексно числоНаречен инжекциямежду положителна осреалната ос и радиус вектора, изтеглени от началото до съответната точка. Аргументът не е дефиниран за единствено число: .

Аргументът на комплексно число обикновено се означава с: или

Нека и φ = arg z. Тогава, според дефиницията на аргумента, имаме:

Пръстен от матрици над полето на реалните числа. Основни операции с матрици. Свойства на операцията.

Матрицас размер m´n, където m е броят на редовете, n е броят на колоните, се нарича таблица с числа, подредени в определен ред. Тези числа се наричат ​​матрични елементи. Мястото на всеки елемент се определя еднозначно от номера на реда и колоната, в чието пресичане се намира. Матричните елементи се обозначават с ij , където i е номерът на реда и j е номерът на колоната.

Определение. Ако броят на колоните на матрицата е равен на броя на редовете (m=n), тогава матрицата се нарича квадрат.

Определение. Преглед на матрицата:

= Е,

Наречен матрица за идентичност.

Определение. Ако a mn = a nm, тогава матрицата се нарича симетрични.

Пример. - симетрична матрица

Определение. Квадратна матрица Наречен диагоналматрица.

Умножаване на матрица по число

Умножаване на матрица по число(нотация: ) е да се конструира матрица, чиито елементи се получават чрез умножаване на всеки елемент от матрицата по това число, тоест всеки елемент от матрицата е равен на

Свойства на умножение на матрици по число:

· единадесет А = А;

2. (λβ)A = λ(βA)

3. (λ+β)A = λA + βA

· 4. λ(A+B) = λA + λB

Добавяне на матрица

Добавяне на матрицае операцията за намиране на матрица, всички елементи на която са равни на двойната сума на всички съответни елементи на матриците и, тоест всеки елемент от матрицата е равен на

Свойства за добавяне на матрица:

1. комутативност: A+B = B+A;

2.асоциативност: (A+B)+C =A+(B+C);

3.събиране с нулева матрица: A + Θ = A;

4.съществуване на противоположната матрица: A+(-A)=Θ;

Всички свойства на линейните операции повтарят аксиомите на линейно пространство и следователно следната теорема е вярна:

Наборът от всички матрици с еднакъв размер мх нс елементи от полето П(поля на всички реални или комплексни числа) образува линейно пространство над полето P (всяка такава матрица е вектор на това пространство). Въпреки това, главно за да се избегне терминологично объркване, матриците в общи контексти се избягват без нужда (което не е в най-често срещаните стандартни приложения) и ясно уточняване на използването на термина за извикване на вектори.

Матрично умножение

Матрично умножение(обозначение: , рядко със знак за умножение) - има операция за изчисляване на матрица, всеки елемент от която е равен на сбора от произведенията на елементите в съответния ред на първия фактор и колоната на втория.

Броят на колоните в матрицата трябва да съвпада с броя на редовете в матрицата, с други думи, матрицата трябва да бъде съгласи сес матрица. Ако матрицата има размерност , - , тогава размерността на техния продукт е .

Свойства за умножение на матрица:

1.асоциативност (AB)C = A(BC);

2.некомутативност (обикновено): AB BA;

3. Произведението е комутативно в случай на умножение с идентична матрица: AI=IA;

4.разпределение: (A+B)C = AC + BC, A(B+C) = AB + AC;

5.асоциативност и комутативност по отношение на умножението по число: (λA)B = λ(AB) = A(λB);

Матрично транспониране.

Намиране на обратната матрица.

Квадратната матрица е обратима, ако и само ако е неособена, тоест детерминантата й не е равна на нула. За неквадратни матрици и изродени матрици няма обратни матрици.

Теорема за ранг на матрицата

Рангът на матрица A е максималният ред на ненулев минор

Минорът, който определя ранга на матрицата, се нарича Basis Minor. Редовете и колоните, които образуват BM, се наричат ​​основни редове и колони.

Обозначение: r(A), R(A), Rang A.

Коментирайте. Очевидно стойността на ранга на матрица не може да надвишава най-малката от нейните измерения.

За всяка матрица нейните второстепенни, редове и колони са еднакви.

Доказателство. Нека малкият ранг на матрицата А се равнява r . Нека покажем, че рангът на реда също е равен на r . За това можем да приемем, че обратимият минор М поръчка r е в първия r матрични редове А . От това следва, че първото r матрични редове А са линейно независими и множеството от второстепенни редове М линейно независими. Нека бъде а -- дължина низ r , съставен от елементи и -ти ред на матрицата, които са разположени в същите колони като второстепенния М . Тъй като минорните струни М формират основата на k r , тогава а -- линейна комбинация от минорни струни М . Извадете от и -ти ред А същата линейна комбинация от първата r матрични редове А . Ако резултатът е низ, съдържащ ненулев елемент в колоната с числото т , след това помислете за непълнолетното М 1 поръчка r+1 матрици А , добавяйки към редовете на минорния ред на матрицата А и към второстепенните колони -та колона на матрицата А (казват, че непълнолетен М 1 получено кант минор М чрез и -ти ред и т -та колона на матрицата А ). По наш избор т , този минор е обратим (достатъчно е да извадим от последния ред на този минор линейната комбинация от първия r редове и след това разширете детерминантата си върху последния ред, за да се уверите, че този детерминант, до ненулев скаларен фактор, съвпада с детерминантата на минор М . А-приорат r такава ситуация е невъзможна и следователно след трансформацията и -ти ред А ще стане нула. С други думи, оригиналът и -ти ред е линейна комбинация от първия r матрични редове А . Ние показахме, че първият r редове образуват основата на набора от матрични редове А , тоест ранг с малки букви А се равнява r . За да се докаже, че рангът на колоната е r , достатъчно е да размените "редове" и "колони" в горните разсъждения. Теоремата е доказана.

Тази теорема показва, че няма смисъл да се прави разлика между три ранга на матрица и по-нататък под ранг на матрица ще имаме предвид ранга на реда, като помним, че той е равен както на колоната, така и на второстепенния ранг (нотация r(А) -- матричен ранг А ). Отбелязваме също, че от доказателството на теоремата за ранговете следва, че рангът на матрица съвпада с размерността на който и да е обратим минор на матрицата, така че всички минорри около нея (ако изобщо съществуват) са изродени.

Теорема на Кронекер-Капели

Система от линейни алгебрични уравнения е последователна, ако и само ако рангът на нейната главна матрица е равен на ранга на нейната разширена матрица и системата има уникално решение, ако рангът е равен на броя на неизвестните и безкраен брой решения, ако рангът е по-малък от броя на неизвестните.

Трябва

Нека системата е последователна. Тогава има такива числа, че . Следователно колоната е линейна комбинация от колоните на матрицата. От факта, че рангът на една матрица няма да се промени, ако системата от нейните редове (колони) бъде изтрита или се присвои ред (колона), което е линейна комбинация от други редове (колони), следва, че .

Адекватност

Нека бъде . Нека вземем някакъв основен минор в матрицата. Тъй като , тогава той също ще бъде базисен минор на матрицата . Тогава, според основната минорна теорема, последната колона на матрицата ще бъде линейна комбинация от основните колони, тоест колоните на матрицата. Следователно колоната на свободните членове на системата е линейна комбинация от колоните на матрицата.

Последствия

· Броят на основните променливи на системата е равен на ранга на системата.

· Ще бъде дефинирана съвместна система (нейното решение е уникално), ако рангът на системата е равен на броя на всички нейни променливи.

Основна минорна теорема.

Теорема. В произволна матрица A всяка колона (ред) е линейна комбинация от колони (редове), в която се намира основният минор.

По този начин рангът на произволна матрица A е равен на максималния брой линейно независими редове (колони) в матрицата.

Ако A е квадратна матрица и detA = 0, тогава поне една от колоните е линейна комбинация от другите колони. Същото важи и за струните. Това твърдение следва от свойството на линейна зависимост с детерминанта, равна на нула.

7. SLU решение. Метод на Крамер, матричен метод, метод на Гаус.

Методът на Крамер.

Този метод е приложим и само в случай на системи от линейни уравнения, където броят на променливите съвпада с броя на уравненията. Освен това е необходимо да се въведат ограничения върху коефициентите на системата. Необходимо е всички уравнения да са линейно независими, т.е. нито едно уравнение не би било линейна комбинация от останалите.

За да направите това, е необходимо детерминантата на матрицата на системата да не е равна на 0.

Всъщност, ако някое уравнение на системата е линейна комбинация от останалите, тогава ако елементите на всеки ред се добавят към елементите на друг, умножени по някакво число, използвайки линейни трансформации, можете да получите нулев ред. Детерминантът в този случай ще бъде равен на нула.

Теорема. (правилото на Крамър):

Теорема. Система от n уравнения с n неизвестни

ако детерминантата на матрицата на системата не е равна на нула, тя има уникално решение и това решение се намира по формулите:

x i = D i /D, където

D = det A, а D i е детерминантата на матрицата, получена от матрицата на системата чрез замяна на колона i с колона от свободни членове b i .

D i =

Матричен метод за решаване на системи от линейни уравнения.

Матричният метод е приложим за решаване на системи от уравнения, където броят на уравненията е равен на броя на неизвестните.

Методът е удобен за решаване на системи от нисък ред.

Методът се основава на прилагане на свойствата на матричното умножение.

Нека е дадена системата от уравнения:

Съставяне на матрици: A = ; B = ; X = .

Системата от уравнения може да се запише: A×X = B.

Нека направим следната трансформация: A -1 ×A×X = A -1 ×B, защото A -1 × A = E, тогава E × X = A -1 × B

X \u003d A -1 × B

За да се приложи този метод, е необходимо да се намери обратната матрица, която може да бъде свързана с изчислителни трудности при решаване на системи от висок порядък.

Определение. Системата от m уравнения с n неизвестни обикновено се записва, както следва:

, (1)

където a ij са коефициенти и b i са константи. Решенията на системата са n числа, които, когато се заменят в системата, превръщат всяко от нейните уравнения в тъждество.

Определение. Ако една система има поне едно решение, то се нарича става. Ако системата няма решение, тогава тя се извиква несъвместими.

Определение. Системата се нарича сигуренако има само едно решение и несигуренако повече от един.

Определение. За система от линейни уравнения от вида (1), матрицата

А = се нарича матрица на системата, а матрицата

A*=
се нарича разширена матрица на системата

Определение. Ако b 1 , b 2 , …,b m = 0, тогава системата се извиква хомогенна. хомогенната система винаги е съвместима.

Елементарни трансформации на системи.

Елементарните трансформации са:

1) Добавянето към двете части на едното уравнение на съответните части на другото, умножено по едно и също число, което не е равно на нула.

2) Пермутация на уравнения по места.

3) Премахване от системата на уравненията, които са тъждества за всички x.

Методът на Гаус е класически метод за решаване на система от линейни алгебрични уравнения (SLAE). Това е метод за последователно елиминиране на променливи, когато с помощта на елементарни трансформации системата от уравнения се свежда до еквивалентна система с триъгълна форма, от която всички останали променливи се намират последователно, като се започне от последната (по номер ) променливи

Нека оригиналната система изглежда така

Матрицата се нарича основна матрица на системата - колоната на свободните членове.

След това, според свойството на елементарни трансформации върху редове, основната матрица на тази система може да бъде сведена до стъпаловидна форма (същите трансформации трябва да бъдат приложени към колоната от свободни членове):

След това се извикват променливите основни променливи. Всички останали се наричат Безплатно.

Ако поне едно число , където , тогава разглежданата система е непоследователна, т.е. тя няма решение.

Нека за всеки .

Прехвърляме свободните променливи отвъд знаците за равенство и разделяме всяко от уравненията на системата на неговия коефициент най-ляво ( , където е номерът на реда):

Ако присвоим всички възможни стойности на свободните променливи на системата (2) и решим новата система по отношение на основните неизвестни отдолу нагоре (тоест от долното уравнение към горното), тогава ще получим всички решения на това SLAE. Тъй като тази система е получена чрез елементарни трансформации върху оригиналната система (1), то по теоремата за еквивалентност при елементарни трансформации системите (1) и (2) са еквивалентни, тоест множествата от техните решения съвпадат.

Последствия:
1: Ако в съвместна система всички променливи са главни, тогава такава система е определена.

2: Ако броят на променливите в системата надвишава броя на уравненията, тогава такава система е или неопределена, или непоследователна.

Алгоритъм

Алгоритъмът за решаване на SLAE по метода на Гаус е разделен на два етапа.

На първия етап се извършва т. нар. директно преместване, когато чрез елементарни трансформации по редове системата се привежда в стъпаловидна или триъгълна форма или се установява, че системата е непоследователна. А именно, измежду елементите на първата колона на матрицата се избира ненулева единица, премества се в най-горната позиция чрез пермутиране на редовете, а първият ред, получен след пермутацията, се изважда от останалите редове, като се умножава със стойност, равна на съотношението на първия елемент от всеки от тези редове към първия елемент от първия ред, като по този начин се нулира колоната под него. След като са направени посочените трансформации, първият ред и първата колона се зачертават мислено и продължават, докато остане матрица с нулев размер. Ако при някои от итерациите сред елементите на първата колона не се намери ненулева единица, тогава преминете към следващата колона и извършете подобна операция.

На втория етап се извършва така нареченото обратно движение, чиято същност е да се изразят всички получени основни променливи чрез неосновни и да се изгради фундаментална система от решения или, ако всички променливи са основни, след това се изразява числено единственото решение на системата от линейни уравнения. Тази процедура започва с последното уравнение, от което се изразява съответната основна променлива (а там има само една) и се заменя с предишните уравнения и така нататък, изкачвайки се по „стълбите“. Всеки ред съответства точно на една основна променлива, така че на всяка стъпка, с изключение на последната (най-горната), ситуацията точно повтаря случая на последния ред.

вектори. Основни понятия. Скаларен продукт, неговите свойства.

векторсе нарича насочен сегмент (подредена двойка точки). Отнася се и за векторите. нулавектор, чието начало и край са еднакви.

Дължина (модул)вектор е разстоянието между началото и края на вектора.

Векторите се наричат колинеарнаако са разположени на еднакви или успоредни прави. Нулевият вектор е колинеарен на всеки вектор.

Векторите се наричат компланаренако съществува равнина, на която те са успоредни.

Колинеарните вектори винаги са копланарни, но не всички копланарни вектори са колинеарни.

Векторите се наричат равниако са колинеарни, имат една и съща посока и имат същата абсолютна стойност.

Всички вектори могат да бъдат сведени до общ произход, т.е. конструирайте вектори, съответно равни на данните и имащи общ произход. От дефиницията на векторното равенство следва, че всеки вектор има безкрайно много вектори, равни на него.

Линейни операциивърху вектори се нарича събиране и умножение по число.

Сборът от вектори е векторът -

работа - , докато е колинеарен.

Векторът е съпосочен с вектора ( ), ако a > 0.

Векторът е противоположен на вектора ( ¯ ), ако a< 0.

Векторни свойства.

1) + = + - комутативност.

2) + ( + ) = ( + )+

5) (a×b) = a(b) – асоциативност

6) (a + b) = a + b - дистрибутивност

7) a( + ) = a + a

1) Основав пространството се наричат ​​произволни 3 некомпланарни вектора, взети в определен ред.

2) Основана равнината са произволни 2 неколинеарни вектора, взети в определен ред.

3)Основавсеки ненулев вектор се извиква на линията.

Ако е основа в пространството и , Тогава числата a, b и g се наричат компоненти или координативектори в тази основа.

В тази връзка можем да напишем следното Имоти:

равни вектори имат едни и същи координати,

когато вектор се умножи по число, неговите компоненти също се умножават по това число,

когато се добавят вектори, се добавят съответните им компоненти.

;
;

Линейна зависимост на векторите.

Определение. вектори Наречен линейно зависими, ако има такава линейна комбинация , ако a i не е равно на нула едновременно, т.е. .

Ако само когато a i = 0 е изпълнено, тогава векторите се наричат ​​линейно независими.

Свойство 1. Ако сред векторите има нулев вектор, тогава тези вектори са линейно зависими.

Свойство 2. Ако един или повече вектори се добавят към системата от линейно зависими вектори, тогава получената система също ще бъде линейно зависима.

Свойство 3. Система от вектори е линейно зависима, ако и само ако един от векторите е разложен на линейна комбинация от другите вектори.

Свойство 4. Всички 2 колинеарни вектора са линейно зависими и обратно, всеки 2 линейно зависими вектора са колинеарни.

Свойство 5. Всички 3 компланарни вектора са линейно зависими и, обратно, всеки 3 линейно зависими вектора са компланарни.

Свойство 6. Всички 4 вектора са линейно зависими.

Дължина на вектора в координатидефинирано като разстоянието между началната и крайната точки на вектора. Ако две точки са дадени в пространството A(x 1, y 1, z 1), B(x 2, y 2, z 2), тогава .

Ако точката M(x, y, z) разделя сегмента AB в съотношение l / m, тогава координатите на тази точка се дефинират като:

В конкретен случай координатите средата на сегментаса разположени като:

x \u003d (x 1 + x 2) / 2; y = (y 1 + y 2)/2; z = (z 1 + z 2)/2.

Линейни операции върху вектори в координати.

Въртене на координатни оси

Под завъртетеПод координатни оси се разбира такава координатна трансформация, при която и двете оси се завъртат на един и същ ъгъл, докато началото и мащабът остават непроменени.

Нека се получи нова система O 1 x 1 y 1 чрез завъртане на Oxy системата на ъгъл α.

Нека Μ е произволна точка от равнината, (x; y) - нейните координати в старата система и (x"; y") - в новата система.

Въвеждаме две полярни координатни системи с общ полюс O и полярни оси Ox и Οx 1 (мащабът е същият). Полярният радиус r е еднакъв и в двете системи, а полярните ъгли са съответно α + j и φ, където φ е полярният ъгъл в новата полярна система.

Според формулите за прехода от полярни към правоъгълни координати имаме

Но rcosj = x" и rsinφ = y". Така

Получените формули се извикват формули за въртене на оста . Те позволяват да се определят старите координати (x; y) на произволна точка M по отношение на новите координати (x"; y") на същата точка M и обратно.

Ако новата координатна система O 1 x 1 y 1 се получи от старата Oxy чрез паралелно прехвърляне на координатните оси и последващо завъртане на осите на ъгъл α (виж фиг. 30), то чрез въвеждане на спомагателна система е лесно за получаване на формулите

изразяващи старите координати x и y на произволна точка по отношение на нейните нови координати x" и y".

Елипса

Елипсата е набор от точки в равнина, сумата от разстоянията от всяка от тях

до две дадени точки е постоянна. Тези точки се наричат ​​фокуси и

са обозначени F1и F2, разстоянието между тях 2s,и сумата от разстоянията от всяка точка до

трикове - 2а(по условие 2а>2в). Изграждаме декартова координатна система, така че F1и F2бяха на оста x, а началото съвпадаше със средата на сегмента F1F2. Нека изведем уравнението на елипсата. За да направите това, помислете за произволна точка M(x, y)елипса. А-приоритет: | F1M |+| F2M |=2а. F1M =(x+c; y);F2M =(x-c; y).

|F1M|=(х+ ° С)2 + г 2 ; |F2M| = (х- ° С)2 + г 2

(х+ ° С)2 + г 2 + (х- ° С)2 + г 2 =2а(5)

x2+2cx+c2+y2=4a2-4a(х- ° С)2 + г 2 +x2-2cx+c2+y2

4cx-4a2=4a(х- ° С)2 + г 2

a2-cx=a(х- ° С)2 + г 2

a4-2a2cx+c2x2=a2(x-c)2+a2y2

a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2

x2(a2-c2)+a2y2=a2(a2-c2)

като 2а>2в(сумата от двете страни на триъгълник е по-голяма от третата страна), тогава a2-c2>0.

Нека бъде a2-c2=b2

Точките с координати (a, 0), (−a, 0), (b, 0) и (−b, 0) се наричат ​​върхове на елипсата, стойността a е главната полуос на елипсата, а стойността b е неговата малка полуос. Точките F1(c, 0) и F2(−c, 0) се наричат ​​фокуси

елипса, а фокусът F1 се нарича десен, а фокусът F2 се нарича ляв. Ако точката M принадлежи на елипсата, тогава разстоянията |F1M| и |F2M| се наричат ​​фокални радиуси и се означават съответно с r1 и r2. Стойността e \u003d c / a се нарича ексцентриситет на елипсата. Прави с уравнения x =a/e

и x = −a/e се наричат ​​директриси на елипсата (за e = 0 няма директриси на елипсата).

Общо уравнение на равнината

Помислете за общо уравнение от първа степен с три променливи x, y и z:

Ако приемем, че поне един от коефициентите A, B или C не е равен на нула, например, ние пренаписваме уравнение (12.4) във вида

Определения . Нека бъде а, бса реални числа, ие някакъв символ. Комплексното число е запис на формата а+би.

Добавянеи умножение числа в множеството комплексни числа: (а+би)+(° С+ди)=(а+° С)+(б+г) аз,

(а+би)(в+ди)=(ак–бд)+(реклама+bc)i. .

Теорема 1 . Набор от комплексни числа Сс операциите събиране и умножение образува поле. Допълнителни свойства

1) комутативност б: (а+би)+(° С+ди)=(а+° С)+(б+г) i=(° С+ди)+(а+би).

2) Асоциативност :[(а+би)+(° С+ди)]+(напр+фи)=(а+° С+д)+(б+д+е) i=(а+би)+[(° С+ди)+(напр+fi)].

3) Съществуване неутрален елемент :(а+би)+(0 +0i)=(а+би). номер 0 +0 и ще наречем нула и ще обозначим 0 .

4) Съществуване противоположен елемент : (а+би)+(–а–би)=0 +0i=0 .

5) Комутативност на умножението : (а+би)(в+ди)=(ак–бд)+(пр.н.е+ad) i=(° С+ди)(а+би).

6) Асоциативност на умножението : ако z1=а+би, z2=° С+ди, z3=д+fi, тогава (z 1 z 2) z 3=z 1 (z 2 z 3).

7) Дистрибутивност: ако z1=а+би, z2=° С+ди, z3=д+fi, тогава z 1 (z 2+z3)=z 1 z 2+z 1 z 3.

8) Неутрален елемент за умножение :(а+би)(1+0i)=(а 1–б 0)+(а 0+б 1)i=а+би.

9) Номер 1 +0i=1 - мерна единица.

9) Съществуване обратен елемент : "z¹ 0 $z –1 :zz –1 =1 .

Нека бъде z=а+би. Реални числа а, Наречен валиден, а б - въображаеми части комплексно число z. Използват се нотации: а=Rez, б=imz.

Ако б=0 , тогава z=а+ 0i=ае реално число. Следователно, множеството от реални числа Ре част от множеството комплексни числа ° С: R Í C.

Забележка:аз 2=(0 +1i)(0+1i)=–1 +0i=–1 . Използване на това свойство число и, както и свойствата на операциите, доказани в теорема 1, могат да се извършват операции с комплексни числа по обичайните правила, като се заменят аз 2на - 1 .

Коментирайте. Отношенията £, ³ („по-малко от”, „по-голямо от”) за комплексни числа не са дефинирани.

2 Тригонометрична нотация .

Извиква се обозначението z = a+bi алгебричнизапис на комплексно число . Да разгледаме равнина с избрана декартова координатна система. Нека представим числото zточка с координати (а, б). След това реалните числа а=а+0iще бъдат представени от точки на ос OX- нарича се валиден ос. ос OYНаречен въображаем ос, нейните точки съответстват на числата от формата би, които понякога се наричат чисто въображаемо . Целият самолет се нарича сложна равнина .Номерът е извикан модул числа z: ,

полярен ъгъл jНаречен аргумент числа z: j=argz.

Аргументът се определя до срока 2kp; стойност, за която - стр< j £ p , е наречен основно значение аргумент. Числа r, jса полярните координати на точката z. Това е ясно а=r cosj, б=r sinj, и получаваме: z=а+b i=r (cosj+аз синдж). тригонометрична форма запис на комплексно число.

Конюгирани числа . Комплексното число се нарича спрегнато число.z = а + би . Ясно е че . Имоти : .

Коментирайте. Сборът и произведението на спрегнатите числа са реални числа:

Def.Системата от комплексни числа е min-то поле, което е разширение на полето на реалните числа и в което има елемент i (i 2 -1 = 0)

Def.алгебра<ℂ, +, ∙, 0, 1, ℝ, ⊕, ⊙, i>наречени sys-th comp-th числа, ако издадете следните условия (аксиоми):

1. a,b∊ℂ∃!m∊ℂ: a+b=m

2. a,b,c∊ℂ (a+b)+c=a+(b+c)

3. a,b∊ℂa+b=b+a

4. ∃ 0∊ℂ a∊ℂ a+0=a

5. a∊ℂ ∃(-a)∊ℂ a+(-a)=0

6. a,b∊ℂ ∃! n∊ℂa∙b=n

7. a,b,c∊ℂ (a∙b)∙c=a∙(b∙c)

8. a,b∊ℂa∙b=b∙a

9. ∃1∊ℂ a∊ℂ a∙1=a

10. a∊ℂ ∃a -1 ∊ℂ a∙a -1 =1

11. a,b,c∊ℂ (a+b)c=ac+bc

12. - поле за действие числа

13. Rєℂ, a,b∊R a⊕b=a+b, a⊙b=a∙b

14. ∃i∊ℂ:i 2 +1=0

15. ℳ≠⌀ 1)ℳ⊂ℂ,R⊂ℳ 2) α,β∊ℳ⇒(α+β)∊ℳ и (α∙β)∊ℳ)⇒ℳ=ℂ

St. va ℂ числа:

1. α∊ℂ∃! (a,b) ∊ R:α=a+b∙i

2. Полето на comp числата не може да бъде линейно подредено, т.е. α∊ℂ, α≥0 |+1, α 2 +1≥1, i 2 +1=0, 0≥1-невъзможно.

3. Основната теорема на алгебрата: Полето ℂ от числа е алгебрично затворено, т.е. произволно pl. градуса над полето ℂ от числа има поне един набор. корен

Следващият от главния. теореми алг.: Всяка позиция за множествено число. степени над полето на комплексните числа може да се разложи в произведение ... от първа степен с положителен коефициент.

Следващо: всеки квадрат ur-e има 2 корена: 1) D>0 2-a diff. действие корен 2)D=0 2-a реално. съвпадащ-x корен 3)D<0 2-а компл-х корня.

4. Аксиоми. теорията на комплексните числа е категорична и последователна

Методология.

В общообразователните класове понятието комплексно число не се разглежда, те се ограничават само до изучаването на реални числа. Но в по-горните класове учениците вече имат доста зряло математическо образование и са в състояние да разберат необходимостта от разширяване на понятието число. От гледна точка на общото развитие знанията за комплексните числа се използват в природните науки и технологиите, което е важно за ученика в процеса на избор на бъдеща професия. Авторите на някои учебници включват изучаването на тази тема като задължително в своите учебници по алгебра и принципите на математическия анализ за специализирани нива, което е предвидено от държавния стандарт.

От методическа гледна точка темата „Комплексни числа“ развива и задълбочава представите за полиномите и числата, заложени в основния курс по математика, в известен смисъл завършвайки развитието на понятието число в гимназията.

Въпреки това, дори в гимназията, много ученици имат слабо развито абстрактно мислене или е много трудно да си представят „въображаема, въображаема“ единица, за да разберат разликите между координатните и сложните равнини. Или обратното, ученикът оперира с абстрактни понятия в изолация от тяхното реално съдържание.

След изучаване на темата „Комплексни числа“, учениците трябва да имат ясна представа за комплексните числа, да знаят алгебричните, геометричните и тригонометричните форми на комплексното число. Учениците трябва да могат да извършват събиране, умножение, изваждане, деление, повишаване на степен, извличане на корен от комплексно число върху комплексни числа; превеждайте комплексни числа от алгебрична форма в тригонометрична, имайте представа за геометричния модел на комплексните числа

В учебника за математически часове от Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд „Алгебра и началото на математическия анализ“ е въведена темата „Комплексни числа“ в 11. клас. Изучаването на темата се предлага във втората половина на 11. клас след като в 10. клас е изучаван раздел тригонометрия, а в 11. клас - интегрални и диференциални уравнения, степенни, логаритмични и степенни функции, полиноми. В учебника темата „Комплексни числа и операции над тях” е разделена на два раздела: Комплексни числа в алгебрична форма; Тригонометрична форма на комплексни числа. Разглеждането на темата "Комплексни числа и операции върху тях" започва с разглеждане на въпроса за решаването на квадратни уравнения, уравнения от трета и четвърта степен и в резултат на това се разкрива необходимостта от въвеждане на "ново число i". Незабавно са дадени понятията за комплексните числа и операциите с тях: намиране на сбора, произведението и частното на комплексните числа. След това се дава строго определение на понятието комплексно число, свойствата на операциите събиране и умножение, изваждане и деление. Следващият подраздел се занимава със спрегнатите комплексни числа и някои от техните свойства. След това разглеждаме въпроса за извличане на квадратни корени от комплексни числа и решаване на квадратни уравнения с комплексни коефициенти. Следващият параграф се занимава с: геометрично представяне на комплексни числа; полярна координатна система и тригонометрична форма на комплексни числа; умножение, степенуване и деление на комплексни числа в тригонометричен вид; формулата на дьо Моавър, прилагането на комплексни числа за доказване на тригонометрични идентичности; извличане на корен от комплексно число; основната теорема на полиномната алгебра; комплексни числа и геометрични трансформации, функции на комплексна променлива.

В учебника С.М. Николски, М.К. Потапова, Н.Н. Решетникова, A.V. Шевкин „Алгебрата и началото на математическия анализ”, темата „Комплексните числа се разглеждат в 11. клас след изучаване на всички теми, т.е. в края на училищния курс по алгебра. Темата е разделена на три раздела: Алгебрична форма и геометрична интерпретация на комплексни числа; Тригонометрична форма на комплексни числа; Корени на полиноми, експоненциална форма на комплексни числа. Съдържанието на параграфите е доста обемно, съдържа много понятия, определения, теореми. Параграфът „Алгебрична форма и геометрична интерпретация на комплексни числа“ съдържа три раздела: алгебричната форма на комплексното число; спрегнати комплексни числа; геометрична интерпретация на комплексно число. Параграфът „Тригонометрична форма на комплексно число“ съдържа определения и понятия, необходими за въвеждане на понятието тригонометрична форма на комплексно число, както и алгоритъм за преминаване от алгебрична форма на запис към тригонометрична форма на комплексно число. В последния параграф „Корени на полиноми. Експоненциалната форма на комплексните числа” съдържа три раздела: корени от комплексни числа и техните свойства; корени на полиноми; експоненциална форма на комплексно число.

Материалът на учебника е представен в малък обем, но напълно достатъчен, за да могат учениците да разберат същността на комплексните числа и да овладеят минималните знания за тях. Учебникът има малък брой упражнения и не разглежда въпроса за издигането на комплексно число на степен и формулата на Де Моавр

В учебника A.G. Мордкович, П.В. Семенов "Алгебрата и началото на математическия анализ", профилно ниво, 10 клас, темата "Комплексни числа" се въвежда във втората половина на 10 клас веднага след изучаване на темите "Реални числа" и "Тригонометрия". Това разположение не е случайно: както числовият кръг, така и тригонометричните формули се използват активно при изследването на тригонометричната форма на комплексно число, формулата на Moivre, при извличане на квадратни и кубични корени от комплексно число. Темата "Комплексни числа" е представена в 6-та глава и е разделена на 5 раздела: комплексни числа и аритметични действия върху тях; комплексни числа и координатна равнина; тригонометрична форма на запис на комплексно число; комплексни числа и квадратни уравнения; повдигане на комплексно число в степен, извличане на кубичния корен на комплексно число.

Понятието комплексно число се въвежда като разширение на понятието число и невъзможността за извършване на определени операции в реални числа. Учебникът съдържа таблица с основните числови множества и разрешените операции в тях. Изброяват се минималните условия, на които трябва да отговарят комплексните числа, а след това се въвеждат понятието за въображаема единица, дефиницията на комплексно число, равенството на комплексните числа, тяхната сума, разлика, произведение и частно.

От геометричния модел на множеството от реални числа те преминават към геометричния модел на множеството от комплексни числа. Разглеждането на темата "Тригонометрична форма на записване на комплексно число" започва с дефиницията и свойствата на модула на комплексно число. След това разглеждаме тригонометричната форма на записване на комплексно число, дефиницията на аргумента на комплексно число и стандартната тригонометрична форма на комплексно число.

След това изучаваме извличането на квадратния корен от комплексно число, решението на квадратни уравнения. И в последния параграф е въведена формулата на Moivre и е изведен алгоритъм за извличане на кубичен корен от комплексно число.

Също така в разглеждания учебник във всеки параграф, успоредно с теоретичната част, се разглеждат няколко примера, които илюстрират теорията и дават по-смислено възприемане на темата. Дадени са кратки исторически факти.

комплексно число z Наречен израз , къде аи в- реални числа, ие въображаема единица или специален знак.

Следват се следните споразумения:

1) с израза a + bi аритметичните операции могат да се извършват според правилата, които са приети за буквални изрази в алгебрата;

5) равенството a+bi=c+di, където a, b, c, d са реални числа, се осъществява тогава и само ако a=c и b=d.

Извиква се числото 0+bi=bi въображаемили чисто въображаемо.

Всяко реално число a е частен случай на комплексно число, защото може да се запише като a=a+ 0i. По-специално, 0=0+0i, но тогава ако a+bi=0, тогава a+bi=0+0i, следователно a=b=0.

По този начин, комплексно число a+bi=0, ако и само ако a=0 и b=0.

Законите за преобразуване на комплексни числа следват от конвенциите:

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;

(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;

(a+bi)+(c+di)=ac+bci+adi-bd=(ac-bd)+(bc+ad)i;

Виждаме, че сборът, разликата, произведението и частното (където делителят не е равен на нула) на комплексните числа от своя страна е комплексно число.

номер аНаречен реална част от комплексно число z(означено) ве въображаемата част от комплексното число z (означено с ).

Извиква се комплексно число z с нулева реална част. чисто въображаемо, с нула въображаемо - чисто реални.

Извикват се две комплексни числа. равен,ако имат еднакви реални и въображаеми части.

Извикват се две комплексни числа. конюгираниако имат вещества. части съвпадат, а въображаемите се различават по знаци. , след това спрегнатото към него .

Сборът от спрегнатите числа е броят на веществата, а разликата е чисто въображаемо число. В множеството от комплексни числа операциите по умножение и събиране на числа са естествено дефинирани. А именно, ако и са две комплексни числа, тогава сумата е: ; работа:.

Сега дефинираме операциите на изваждане и деление.

Обърнете внимание, че произведението на две комплексни числа е броят на веществата.

(тъй като i=-1). Този номер се нарича модул квадратчисла. По този начин, ако е число, тогава неговият модул е ​​реално число.

За разлика от реалните числа, за комплексните числа не се въвежда понятието "повече", "по-малко".

Геометрично представяне на комплексни числа. Реалните числа са представени с точки на числовата права:

Тук е смисълът Аозначава число -3, точка Бе числото 2 и О- нула. За разлика от тях, комплексните числа са представени от точки в координатната равнина. За това избираме правоъгълни (декартови) координати със същите мащаби и на двете оси. След това комплексното число a + biще бъде представена с точка P с абсцис а и ордината b(ориз.). Тази координатна система се нарича сложна равнина.

модулкомплексното число се нарича дължина на вектора ОП, изобразяващ комплексно число върху координатата ( интегриран) самолет. Комплексен числов модул a + biозначено с | a + bi| или писмо rи е равно на:

Конюгираните комплексни числа имат същия модул. __

Аргументкомплексното число е ъгълът между оста OXи вектор ОПпредставляващи това комплексно число. Следователно, тен = б / а .

Тригонометрична форма на комплексно число. Наред с записването на комплексно число в алгебрична форма се използва и друго, наречено тригонометричен.

Нека комплексното число z=a+bi е представено от вектора ОА с координати (a,b). Нека да обозначим дължината на вектора OA като r: r=|OA| и ъгъла, който той образува с положителната посока на оста Ox през ъгъла φ.

Използвайки дефинициите на функциите sinφ=b/r, cosφ=a/r, комплексното число z=a+bi може да се запише като z=r(cosφ+i*sinφ), където , а ъгълът φ се определя от условията

тригонометрична формакомплексното число z е неговото представяне във формата z=r(cosφ+i*sinφ), където r и φ са реални числа и r≥0.

Наистина, числото r се нарича модулкомплексно число и се означава с |z|, а ъгълът φ се означава с аргумента на комплексното число z. Аргументът φ на комплексно число z се означава с Arg z.

Операции с комплексни числа, представени в тригонометрична форма:

Известно е Moivre формула.

8 .Векторно пространство. Примери и прости свойства на векторни пространства. Линейна зависимост и независимост на системата от вектори. Базис и ранг на крайна система от вектори

Векторно пространство -математическа концепция, която обобщава концепцията за съвкупността от всички (свободни) вектори на обикновеното триизмерно пространство.

За вектори в триизмерно пространство са дадени правилата за добавяне на вектори и умножаването им по реални числа. Прилага се към всякакви вектори x, y, zи всякакви числа α, β тези правила удовлетворяват следните условия:

1) х+в=в+х(комутативност на събирането);

2)(х+в)+z=х+(г+z) (асоциативност на събирането);

3) има нулев вектор 0 (или нулев вектор), удовлетворяващ условието х+0 =х:за всеки вектор х;

4) за всеки вектор хима противоположен вектор втакъв, че х+в =0 ,

5) 1 х=Х,където 1 е полевата единица

6) α (βx)=(αβ )х(асоциативност на умножението), където произведението αβ е продукт на скаларите

7) (α +β )х=αх+βx(разпределително свойство по отношение на числов фактор);

8) α (х+в)=αх+αy(разпределително свойство по отношение на векторния фактор).

Векторно (или линейно) пространство е множество R,състоящ се от елементи от всякакво естество (наречени вектори), който дефинира операциите по добавяне на елементи и умножаване на елементи по реални числа, които удовлетворяват условия 1-8.

Примери за такива пространства са множеството от реални числа, множеството от вектори на равнината и в пространството, матрици и др.

Теорема „Най-простите свойства на векторните пространства“

1. Има само един нулев вектор във векторно пространство.

2. Във векторно пространство всеки вектор има уникална противоположност на него.

4. .

Док-в

Нека 0 е нулевият вектор на векторното пространство V. Тогава . Нека е друг нулев вектор. Тогава . Да вземем в първия случай , а във втория - . Тогава и , откъдето следва, че п.т.д.

Първо доказваме, че произведението на нулев скалар и всеки вектор е равно на нулев вектор.

Нека бъде . След това, прилагайки аксиомите на векторното пространство, получаваме:

По отношение на събирането, векторното пространство е абелева група и законът за отмяна е валиден във всяка група. Прилагайки закона за редукция, следва от последното равенство 0 * x \u003d 0

Сега доказваме твърдение 4). Нека е произволен вектор. Тогава

Това веднага означава, че векторът (-1)x е противоположен на вектора x.

Нека сега x=0. След това, прилагайки аксиомите на векторното пространство, получаваме:

Да предположим, че. Тъй като , където K е поле, съществува . Нека умножим равенството отляво по: , което означава или 1*x=0, или x=0

Линейна зависимост и независимост на системата от вектори.Набор от вектори се нарича векторна система.

Система от вектори се нарича линейно зависима, ако има числа, които не са равни на нула по едно и също време, така че (1)

Система от k вектори се нарича линейно независима, ако равенството (1) е възможно само за , т.е. когато линейната комбинация от лявата страна на равенството (1) е тривиална.

бележки:

1. Един вектор също образува система: за линейно зависими и за линейно независими.

2. Всяка част от система от вектори се нарича подсистема.

Свойства на линейно зависими и линейно независими вектори:

1. Ако системата от вектори включва нулев вектор, тогава той е линейно зависим.

2. Ако има два равни вектора в система от вектори, тогава тя е линейно зависима.

3. Ако в системата от вектори има два пропорционални вектора, то тя е линейно зависима.

4. Система от k>1 вектори е линейно зависима тогава и само ако поне един от векторите е линейна комбинация от останалите.

5. Всички вектори, включени в линейно независима система, образуват линейно независима подсистема.

6. Система от вектори, съдържаща линейно зависима подсистема, е линейно зависима.

7. Ако системата от вектори е линейно независима и след добавяне на вектор към нея се окаже, че е линейно зависима, тогава векторът може да бъде разширен във вектори , и освен това по уникален начин, т.е. коефициентите на разширение се намират уникално.

Нека докажем, например, последното свойство. Тъй като системата от вектори е линейно зависима, има числа, които не всички са равни на 0, което е. в това равенство. Наистина, ако , тогава. Това означава, че една нетривиална линейна комбинация от вектори е равна на нулевия вектор, което противоречи на линейната независимост на системата. Следователно и тогава, т.е. векторът е линейна комбинация от вектори. Остава да се покаже уникалността на такова представяне. Да предположим обратното. Нека има две разширения и , и не всички коефициенти на разширение са съответно равни един на друг (например, ).

Тогава от равенството получаваме .

Следователно линейната комбинация от вектори е равна на нулевия вектор. Тъй като не всички негови коефициенти са равни на нула (поне ), тази комбинация е нетривиална, което противоречи на условието за линейна независимост на векторите . Полученото противоречие потвърждава уникалността на разлагането.

Ранг и основа на системата от вектори.Рангът на система от вектори е максималният брой линейно независими вектори на системата.

Основата на системата от векторие максималната линейно независима подсистема на дадена система от вектори.

Теорема. Всеки системен вектор може да бъде представен като линейна комбинация от вектори на системата. (Всеки вектор на системата може да бъде разложен на базисни вектори.) Коефициентите на разширение се определят еднозначно за даден вектор и дадена база.

Док-в:

Нека системата има основа.

1 случай.Вектор - от основата. Следователно, той е равен на един от основните вектори, да кажем . Тогава = .

2-ри случай.Векторът не е от основата. Тогава r>k.

Да разгледаме система от вектори. Тази система е линейно зависима, тъй като е основа, т.е. максимално линейно независима подсистема. Следователно има числа с 1 , с 2 , ..., с k , с, не всички равни на нула, така че

Очевидно е, че (ако c=0, тогава основата на системата е линейно зависима).

Нека докажем, че разширяването на вектор по база е уникално. Да приемем обратното: има две разширения на вектора по отношение на основата.

Като извадим тези равенства, получаваме

Като се вземе предвид линейната независимост на базисните вектори, получаваме

Следователно разширяването на вектор по отношение на базата е уникално.

Броят на векторите във всяка база на системата е еднакъв и е равен на ранга на системата от вектори.