Как да изчислим 2-ра производна на функция в Excel. Числова диференциация в Excel

Графичното диференциране започва с начертаване на графика на функциите за дадени стойности. При експериментално изследване такава графика се получава с помощта на самозаписващи инструменти. След това допирателните се изтеглят към кривата във фиксирани позиции и стойностите на производната се изчисляват по отношение на тангенса на ъгъла, образуван от допирателната към оста на абсцисата.

На фиг. 5.8, ае показана кривата, получена експериментално на инсталацията (фиг. 5.6). Определянето на ъгловото ускорение (желаната функция) се извършва чрез графично диференциране според съотношението:

(5.19)

Допирателната на наклона на допирателната към кривата в дадена точка и са представени като съотношение на сегменти , където Да се- избраният сегмент на интеграция (фиг. 5.8, б)

След като заместим тази връзка с релация (5.19), получаваме

където е ордината на графиката на претенцията на ъгловото ускорение;

Мащабът на желаната графика; SI единици: = mm; \u003d mm / (rad с -2).

Графиката на функцията се изгражда според намерените стойности на ординатите за редица позиции. Точките на кривата се свързват на ръка с гладка линия и след това се заобикалят с шаблон.

Графичното диференциране по разглеждания метод на допирателните има относително ниска точност. По-висока точност се получава при графично диференциране по метода на акордите (фиг. 5.8, ви г).

На дадена крива са отбелязани няколко точки 1 ", 2 ", 3" , които са свързани с акорди, т.е. заменете дадената крива с прекъсната линия. Прави се следното предположение: ъгълът на наклона на допирателните в точките, разположени в средата на всеки участък от кривата, е равен на ъгъла на наклона на съответната хорда. Това предположение въвежда известна грешка, но то се отнася само за този момент. Тези грешки не се сумират, което гарантира приемлива точност на метода.

Останалите конструкции са подобни на описаните по-рано за графично диференциране по метода на допирателната. Изберете сегмент (mm); провеждат греди, наклонени под ъгли до пресечната точка с оста y в точки 1 ", 2 ", 3 " ... , които се прехвърлят към ординатите, начертани в средата на всеки от интервалите. Получените точки 1 *, 2 *, 3 * са точките на желаната функция .

Мащабите по координатните оси с този метод на конструиране са свързани чрез същата връзка (5.21), която е получена за случая на графично диференциране по метода на допирателната.

Функционална диференциация f(x), дадено (или изчислено) като масив от числа, се извършва по метода на числово диференциране с помощта на компютър.

Колкото по-малка е стъпката в масива от числа, толкова по-точно можете да изчислите стойността на производната на функцията в този интервал

Много инженерни проблеми често изискват изчисляване на производни. Когато има формула, която описва процеса, няма трудности: вземаме формулата и изчисляваме производната, както учехме в училище, намираме стойностите на производната в различни точки и това е всичко. Трудността може би се крие само в това, за да запомните как да изчислявате производните. Но какво ще стане, ако имаме само няколко стотици или хиляди реда данни и няма формула? През повечето време точно това се случва на практика. Предлагам два начина.

Първият е, че приближаваме нашия набор от точки със стандартна функция на Excel, тоест избираме функция, която най-добре пасва на нашите точки (в Excel това е линейна функция, логаритмична, експоненциална, полиномна и степенна). Вторият начин е числово диференциране, за което ще ни трябва само възможността да въвеждаме формули.

Припомнете си какво е производната по принцип:

Производната на функцията f (x) в точката x е границата на съотношението на приращение Δf на функцията в точка x към приращение Δx на аргумента, когато последният клони към нула:

Така че нека използваме това знание: просто ще вземем много малки стойности на приращението на аргумента, за да изчислим производната, т.е. Δx.

За да намерите приблизителната стойност на производната в точките, от които се нуждаем (а нашите точки са различни стойности на степента на деформация ε), можете да направите следното. Нека отново да разгледаме дефиницията на производната и да видим, че когато използваме малки увеличения на аргумента Δε (тоест малки увеличения на степента на деформация, които се записват по време на тестването), можем да заменим стойността на реалната производна в точката x 0 (f'(x 0)=dy/dx (x 0)) към съотношението Δy / Δx \u003d (f (x 0 + Δx) - f (x 0)) / Δx.

Тоест, това се случва:

f'(x 0) ≈(f (x 0 + Δx) - f (x 0)) / Δx (1)

За да изчислим тази производна във всяка точка, извършваме изчисления, използвайки две съседни точки: първата с координата ε 0 по хоризонталната ос, а втората с координата x 0 + Δx, т.е. едно - производната, в която изчисляваме и тази, която е по-правилна. Изчислената по този начин производна се нарича разлика производна вдясно (напред) със стъпкаΔ х.

Можем да направим обратното, като вземем другите две съседни точки: x 0 - Δx и x 0, тоест тази, която ни интересува, и тази вляво. Получаваме формулата за изчисление разлика производна вляво (отзад) със стъпка -Δ х.

f'(x 0) ≈(f (x 0) - f (x 0 - Δx)) / Δx (2)

Предишните формули бяха "ляво" и "дясно", а има и друга формула, която ви позволява да изчислите производна на централната разликасъс стъпка 2 Δx, и която най-често се използва за числово диференциране:

f'(x 0) ≈(f (x 0 + Δx) - f (x 0 - Δx)) / 2Δx (3)

За да проверите формулата, разгледайте прост пример с известната функция y=x 3 . Ще изградим таблица в Excel с две колони: x и y и след това ще изградим графика, използвайки наличните точки.

Производната на функцията y=x 3 е y=3x 2 , графиката на която, т.е. парабола, трябва да получим с помощта на нашите формули.

Нека се опитаме да изчислим стойностите на производната на централната разлика в точките x. За това. В клетката на втория ред на нашата таблица попълваме нашата формула (3), т.е. следната формула в Excel:

Сега изграждаме графика, използвайки вече съществуващите стойности на x и получените стойности на производната на централната разлика:

А ето и нашата малка червена парабола! Така че формулата работи!

Е, сега можем да преминем към конкретен инженерен проблем, който беше обсъден в началото на статията - към намиране на промяната в dσ/dε с нарастващо напрежение. Първата производна на кривата „стрес-деформация” σ=f (ε) в чуждата литература се нарича „скорост на втвърдяване” (strain hardening rate), а в нашата – „коефициент на втвърдяване”. И така, в резултат на тестването имаме масив от данни, който се състои от две колони: едната със стойности на деформация ε, а другата със стойности на напрежение σ в MPa. Да вземем студената деформация на стомана 1035 или нашия 40G (вижте таблицата с аналозите на стоманите) при 20°C.

° С	Мн	П	С	Si	н
0.36	0.69	0.025	0.032	0.27	0.004

Ето нашата крива в координатите "истинско напрежение - истинско напрежение" σ-ε:

Действаме по същия начин, както в предишния пример и получаваме следната крива:

Това е промяната в скоростта на втвърдяване в хода на деформацията. Какво да правя с него е отделен въпрос.

В допълнение към форматирането на елементи, редове и колони на клетката, често е полезно да използвате множество работни листа на Excel. За организиране и търсене на информация в книгата е удобно да зададете собствени имена на заглавията на листовете, отразяващи тяхното семантично съдържание. Например „първоначални данни“, „резултати от изчисленията“, „графики“ и др. Удобно е да направите това с контекстно меню. Натиснете десния бутон на мишката върху раздела за лист, Преименувайте листа и щракнете .

За да добавите един или повече нови листа, изберете Лист от менюто Вмъкване. За да вмъкнете няколко листа наведнъж, изберете разделите за необходимия брой листове, като задържите , след което от менюто Вмъкване изпълнете командата Лист. Обратната операция за премахване на листове се извършва по подобен начин. През контекстно меню, където е избрана командата Изтриване.

Полезна операция за преместване на листове е да вземете раздела на листа с левия бутон на мишката и да го преместите на желаното място. Ако в същото време натиснете , копие на листа ще бъде преместено и числото 2 ще бъде добавено към името на листа.

Задача 7 . Променете формата на цялата клетка B2 на: шрифт - Arial 11; местоположение - в центъра, по долния ръб; една дума на ред; числов формат – “0.00”; граница на клетката - двойна линия

2.3. Вградени функции

Excel съдържа повече от 150 вградени функции за опростяване на изчисленията и обработката на данни. Пример за съдържанието на клетка с функция: =B2+SIN(C7) , където B2 и C7 са адресите на клетки, съдържащи числа, а SIN() е името на функцията. Най-използваните функции на Excel:

SQRT(25) = 5 - Изчислява квадратния корен от (25) RADIANS(30) = 0,5 - Преобразува 30 градуса в радиани INT(8,7) = 8 - Закръгля до най-близкото цяло число MOD(-3;2) = 1 - оставя остатъка от деленето на числото (-3) с

делител (2). Резултатът има знак за делител. IF(E4>0,2;”допълнително”;”грешка”)- ако числото в клетка E4 е по-малко от 0,2,

тогава Excel връща "additional" (true), в противен случай - "error" (false).

Във формула функциите могат да бъдат вложени една в друга, но не повече от 8 пъти.

Когато използвате функция, основното нещо е да дефинирате самата функция и нейния аргумент. Като аргумент по правило се посочва адресът на клетката, в която е записана информацията.

Можете да дефинирате функция, като напишете текст (икони, цифри и т.н.) в желаната клетка или да използвате Съветник за функции. Тук, за удобство на търсенето, всички функции са разделени на категории: математически, статистически, логически и други. Във всяка категория те са подредени по азбучен ред.

Съветник за функции извиква се от командата на менютоВмъкване, функция

или чрез натискане на иконата (f x ). В първия прозорец, който се появява на Съветника за функции (фиг. 4), дефинираме категорията и името на конкретна функция, щракнете върху . Във втория прозорец (фиг. 5) е необходимо да се определи Аргументи на функцията. За да направите това, като щракнете върху бутона вдясно от първия диапазон от клетки (Номер 1), „покрийте“ прозореца. Избираме клетките, въз основа на които ще се извърши изчислението. След това избраните клетки ще бъдат въведени в първия прозорец за диапазон. Натиснете отново десния клавиш. Ако аргументът е няколко диапазона от клетки, тогава действието се повтаря. След това натиснете, за да завършите работата. . Изходната клетка ще съдържа резултата от изчислението.

Ориз. 4. Изглед на прозореца на Съветника за функции

Ориз. 5. Прозорец за задаване на аргументите на избраната функция

Задача 8. Намерете средната стойност на поредица от числа: 2,5; 2.9; 1,8; 3.4; 6.1;

1,0; 4,4.

Решение . В клетките въвеждаме числа, например C2:C8. Изберете клетка C9, в която пишем функцията = AVERAGE (C2: C8), натиснете , в C9 получаваме средната стойност на посочените числа - 3,15.

Задача 9. С помощта на условната логическа функция IF направете формула за преименуване на нечетни числа в "есен", четни - "пролет".

Решение . Избираме колона за въвеждане на първоначалните данни - четни (нечетни) числа, например A . В клетка B3 напишете формулата =IF(MOD(A3,2)=0,"тегло","ос"). Чрез копиране на клетка B3 по колона B получаваме резултатите от анализа на числата, записани в колона A. Резултатите от решаването на проблема са показани на фиг. 6.

Ориз. 6. Решение на задача No9

Задача 10. Изчислете стойността на функцията y = x3 + sinx - 4ex за x = 1,58.

Решение . Нека поставим данните в клетки A2 - x, B2 -y. Решението на задачата е показано на фиг. 7 в цифров вид вляво и във формулен вид отдясно. Когато решавате този проблем, трябва да обърнете внимание на извикването на функциите SIN и експонента за въвеждане на аргумент (вижте фиг. 8).

Фиг.7. Решение на задача номер 10

Фиг.8. Windows за въвеждане на аргумента на функцията SIN и EXP

Задача 11 . Направете математически модел на задачата в Excel, за да изчислите функцията y= 1/ ((x- 3) (x+ 4)), за стойностите x= 3 и y= -4, покажете "недефинирано", числовата стойности на функцията - в други случаи.

Задача 12 . Направете математически модел на задачата в Excel: 12.1. за изчисляване с корени

а) √ x3 y2 z / √ x z ; б) (z √ z)2 ; в) 3 √ x2 3 √ x ; г) √ 5 x5 3-1 / √ 20 x 3-1

12.2. за геометрични изчисления а) определете ъглите на правоъгълен триъгълник, ако x е катета, y е хипотенузата;

б) определете разстоянието между две точки в декартовата координатна система XYZ с помощта на формулата

d = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2

в) определете разстоянието от точката (x 0 ,y 0 ) до правата a x + b y + c = 0 с помощта на формулата

d = ax0 +b y0 +c / √ (a2 +b2 )

г) определете площта на триъгълник от координатите на върховете с помощта на формулата

S = 1 2 [ (x1 − x3 )(y2 − y3 ) − (x2 − x3 )(y1 − y3 )]

3. Решаване на задачи с помощта на формули и функции

Всъщност има много задачи, които могат да бъдат успешно решени с помощта на формули и функции на Excel. Помислете за задачите, които на практика най-често се решават с помощта на електронни таблици: линейни уравнения и техните системи, изчисляване на числени стойности на производни и определени интеграли.

Производната на функция y = f(x) е съотношението на нейното увеличение ∆y към съответното увеличение ∆x на аргумента, когато

∆x→ 0

y = f (x + x) − f (x)

Проблем .13 . Намерете производната на функцията y = 2x 3 + x 2 в точката x=3 .

Решение. Изчислената по аналитичния метод производна е 60 . Ще изчислим производната в Excel по формула (1). За да направите това, изпълнете следната последователност от действия:

· Да начертаем обозначението на колоните: Х – аргументи на функцията, Y – стойности на функцията, Y ` – производна на функцията (фиг. 9).

· Табулираме функцията в съседство на точката x \u003d 3 с малка стъпка, например 0,001, резултатите се въвеждат в колона X.

Ориз. 9. Таблица за изчисляване на производната на функция

· В клетка B2 въведете формулата за изчисляване на функцията =2*A2^3+A2^2 .

· Копирайте формулата до реда 7, получаваме стойностите на функцията в табулаторните точки на аргумента.

· В клетка C2 въведете формулата за изчисляване на производната =(B3-B2)/ (A3-A2) .

· Копирайте формулата до реда 6, получаваме стойностите на производните в табулаторните точки на аргумента.

За стойността x = 3, производната на функцията е равна на стойността 60,019, която е близка до стойността, изчислена аналитично.

трапецовиден метод. При метода на трапец зоната на интегриране се разделя на сегменти с определена стъпка, а площта под графиката на функцията на всеки сегмент се счита за равна на площта на трапеца. Тогава формулата за изчисление приема следната форма

S N = ∫ f (u) du ≈ h N ∑ − 1 [ f (a + h i) + f (a + h (i + 1)) ] (2),
	2 i = 0

където h= (b-a)/ N е стъпката на разделяне; N е броят на точките на разделяне.

За да се подобри точността, броят на точките на разделяне се удвоява, интегралът се изчислява отново. Разделянето на оригиналния интервал се спира, когато се достигне необходимата точност:

интеграл, направете следното:

– изберете N= 5, в клетка F2 изчислете h-стъпката на дяла (фиг. 10);

Ориз. 10. Изчисляване на определен интеграл

· В първата колонаИ записваме номера на интервала i;

· В клетка B2 напишете формулата =3*(2+F2*A2)^2, за да изчислите първия член на формула (2);

· В клетка C2 напишете формулата =3*(2+F2*(A2+1))^2, за да изчислите втория член;

· „Разтягайте“ клетки с включени формули 4 реда надолу колони;

Записваме формулата в клетка C7 и изчисляваме сумата от членовете,

В клетка C8 записваме формулата и изчисляваме SN желаната стойност на определения интеграл 19.02 (стойността на S N, получена аналитично

19).

Задача. 15. Изчислете определен интеграл:

1. Y = ∫ 2 x d x	2. Y = ∫ 2 x3 dx
	−1

2 пи

Y = ∫ 2sin(x )dx

Y = ∫ x2 dx

−2

Y = ∫

Y = ∫

3x − 2

(2x + 1) 3

х + 3

Y = ∫ cos

Y = ∫

х 2 + 4

3.2. Решаване на линейни уравнения

Линейни уравненияв Excel може да се реши с помощта на функцията Избор на параметър.При избор на параметър, стойността на влияещата клетка (параметър) се променя, докато формулата, която зависи от тази клетка, върне посочената стойност.

Помислете за процедурата за търсене на параметър, като използвате прост пример за решаване на линейно уравнение с едно неизвестно.

Задача 16 . Решете уравнението 10 x - 10 / x = 15 .

Решение. За желаната стойност на параметъра - x изберете клетка A3. Нека въведем в тази клетка всяко число, което се крие в дефиницията на функцията (в нашия пример това число не може да бъде равно на нула). Нека бъде 3. Тази стойност ще се използва като начална стойност. В клетка, например, B3, в съответствие с горното уравнение, въведете формулата =10*A3-10/A3. В резултат на серия от изчисления, използващи тази формула, ще бъде избрана желаната стойност на параметъра. Сега в менюто Инструменти, като изберете командата Избор на параметър,стартирайте функцията за търсене на параметри (фиг. 11, а) . Нека да въведете параметрите за търсене:

· На полето Задайте в клетканека въведете абсолютна препратка към клетката $B$3, съдържаща формулата.

· В полето Стойност въведете желания резултат 15 .

· На полето Промяна на стойността на клеткавъведете връзка към клетка A3, съдържаща избраната стойност, и щракнете .

В края на функцията Избор на параметърна екрана ще се появи прозорец Резултат от избора на параметърВ който ще се покажат резултатите от търсенето. Намереният параметър 2.000025 ще се появи в клетка A3, която е запазена за него.

Обърнете внимание на факта, че в нашия пример уравнението има две решения, а параметърът е избран само едно. Това е така, защото параметърът се променя само докато се върне необходимата стойност. Първият намерен по този начин аргумент ни се връща като резултат от търсенето. Ако като

В нашия пример посочете първоначалната стойност -3, след което ще бъде намерено второто решение на уравнението: -0,5.

Фиг.11. Решение на уравнение: a - въвеждане на данни, b - резултат от решението

	Задача 17. Решете уравненията
	5x/ 9- 8= 747x/ 12		(2x+ 2)/ 0,5= 6x
	0,5 (2x- 1)+x/ 3= 1/6		7(4x-6)+ 3(7-8x)= 1
	Линейна система	уравнения		може да се реши с различни

начини: заместване, събиране и изваждане на уравнения, като се използват матрици. Да разгледаме метод за решаване на каноничната система от линейни уравнения (3) с помощта на матрици.

a1 x + a2 y + b1 = 0

a3 x + a4 y + b2 =0

Известно е, че системата от линейни уравнения в матричното представяне се записва като:

където A е матрица от коефициенти, X е вектор - колона от неизвестни,

B е вектор колона от свободни членове. Решението на такава система

се записва във формата

X=A-1 B,

където A -1 е матрицата, обратна спрямо A . Това следва от факта, че при решаване на матрични уравнения за X, идентичната матрица E трябва да остане. Умножавайки отляво двете страни на уравнението AX = B по A -1, получаваме решението на линейна система от уравнения.

Задача 18. Решете система от линейни уравнения

Решение. За дадена система от линейни уравнения стойностите на съответната матрица и вектор колона имат формата:

За да разрешите проблема, изпълнете следните действия:

· A2:B3 и запишете в него елементите на матрицата A.

· Изберете блок от клетки, напр. C2:C3 и запишете в него елементите на матрицата B.

· Изберете блок от клетки, напр. D2:D3 да постави резултата от решаването на системата от уравнения.

В клетка D2 въведете формулата = MULTIPLE(MOBR(A2:B3),C2:C3).

Библиотеката на Excel в раздела за математически функции съдържа функции за извършване на операции върху матрици. По-специално, това са функциите:

Параметрите на тези функции могат да бъдат адресни препратки към масиви, съдържащи стойности на матрици или имена на диапазони и изрази.

Например MOBR (A1: B2) или MOBR (матрица_1).

Кажете на Excel, че се извършва операция върху масиви, като натиснете клавишната комбинация + + , в клетки D2 и D3 резултатът ще бъде x = 2,16667 ; y= - 1,33333 .

4. Решаване на оптимизационни проблеми

Много проблеми на прогнозиране, проектиране и производство се свеждат до широк клас оптимизационни проблеми. Такива задачи са например: максимизиране на производството на стоки с ограничения върху суровините за производството на тези стоки; осигуряване на персонал за постигане на най-добри резултати при най-ниски разходи; минимизиране на разходите за транспортиране на стоки; постигане на определеното качество на сплавта; определяне на размерите на определен контейнер, като се вземе предвид цената на материала за постигане на максимален обем; различни

проблеми, които включват случайни променливи и други проблеми за оптимално разпределение на ресурсите и оптимален дизайн.

Решаването на проблеми от този вид може да се извърши в EXCEL с помощта на инструмента Solver, който се намира в менюто Инструменти. Формулирането на такива задачи може да бъде система от уравнения с няколко неизвестни и набор от ограничения за решенията. Следователно решаването на проблема трябва да започне с конструирането на подходящ модел. Нека да разгледаме тези команди с пример.

Задача 20. Да предположим, че сме решили да произвеждаме два типа лещи A и B. Лещата тип A се състои от 3 компонента на лещи, тип B - от 4. За една седмица могат да бъдат направени не повече от 1800 лещи. Сглобяването на обектив тип A отнема 15 минути, а за обектив тип B – 30 минути. Работната седмица за 4 служители е 160 часа. Колко лещи A и B трябва да бъдат направени, за да получите максимална печалба, ако леща от тип A струва 3500 рубли, а от тип B - 4800 рубли.

Решение. За да се реши този проблем, е необходимо да се състави и попълни таблицата в съответствие с фиг. 12:

· Преименувайте клетка B2 в x , броят на изглед A лещи.

· Нека законно преименуваме клетка B3 на y .

целева функция Печалба = 3500*x+4800*yвъведете в клетка B5. · Разходите за бране са равни на =3*x+4*y въведете в клетка B7.

· Разходите за време са =0,25*x+0,5*y въведете в клетка B8.

	име
	пълен комплект
	Разход във времето

Фиг.12. Попълване на таблицата с изходни данни

· Изберете клетка B5 и изберете менюто Данни, след което активирайте командата Търсене на решение. Нека попълним клетките на този прозорец в съответствие с фиг.13.

· Натиснете<Выполнить >; ако всичко е направено правилно, тогава решението ще бъде както е посочено по-долу.

Пример 3: Използвайки автофилтъра, изберете ученици, обучаващи се в група № 5433 с фамилно име, започващо с буквата C.

Последователност

1. Копирайте базата данни (фиг. 30) в лист 3.

2. Фамилия.

3. Изберете елемент от списъкаТекстови филтри → Персонализиран филтър. В прозореца, който се показва Персонализиран автофилтъризберете критерия за избор започва с , в полето отсреща въведете желаната буква (проверете дали оформлението е на руски). Натиснете OK.

4. Отворете падащия списък в колонаномер на групата.

5. Изберете желания номер.

Филтриране на записи в база данни с усъвършенстван филтър

Разширен филтърви позволява да търсите редове, използвайки по-сложни критерии от персонализирани автофилтри. Разширеният филтър използва интервал от критерии за филтриране на данните.

Когато използвате разширен филтър, имената на колоните, за които са посочени условия, се копират под таблицата на източника. Критериите за избор се въвеждат под имената на колоните. След прилагане на филтъра, само онези редове, които отговарят на посочените критерии, могат да бъдат показани на екрана, а филтрираните данни могат да бъдат копирани в друг лист или в друга област на същия работен лист.

Пример 4: Изберете всички ученици от група № 5433, чийто среден успех е по-голям или равен на 4,5.

Последователност

1. Копирайте базата данни (фиг. 30) в лист 4.

2. Копирайте имената на колонитеНомер на групата и среден резултат

до областта под оригиналната таблица. Въведете необходимите критерии за избор под имената на колоните (фиг. 32)

Ориз. 32. Прозорец на Excel с разширен филтър

2. В раздела Данни на лентата с инструменти Сортиране

и филтрирайте изберете Разширени. Ще се появи диалогов прозорец (Фигура 33), в който са посочени диапазоните от данни.

Ориз. 33. Прозорец за разширен филтър

В полето за въвеждане оригинална гамаопределя интервала, съдържащ изходната база данни. В нашия случай се избира диапазонът от клетки от A1 до I9.

В полето за въвеждане Обхват от условиясе избира интервал от клетки в работния лист, който съдържа необходимите критерии (C12:D13).

В полето за въвеждане Поставете резултата в диапазона обозначава интервала, в който се копират редовете, които отговарят на критериите

теории. В нашия случай под зоната на критериите е посочена клетка, например A16. Това поле е достъпно само когато е избран радио бутонът. Копирайте резултата на друго място.

Квадрат за отметка Само уникални записие проектиран да показва само неповтарящи се редове.

Получената таблица, която удовлетворява критериите за филтриране, е показана на фиг. 34.

Ориз. 34. Прозорец на Excel с резултати от филтриране

1. Създайте своя собствена база данни, броят на записите в която трябва да бъде най-малко 15, а броят на колоните трябва да е поне 6. Например базата данниСписък с клиенти (фиг. 35).

2. Приложете три автофилтъра към базата данни (на отделни листове). Броят на критериите трябва да бъде най-малко два.

3. Приложете три разширени филтъра към записи в базата данни, всеки от които съдържа поне два критерия. Поставете всички разширени филтри на един лист под оригиналната таблица.

Ориз. 35. Прозорец на Excel с база данни Списък на клиенти

ЛАБОРАТОРИЯ № 5

Числово диференциране и прост анализ на функции

Цел на работата: Изследване на функцията до екстремум, научете се да определяте критичната точка.

От курса по математика е известно, че формулата на производната като цяло изглежда така:

f "(x)= lim
∆x0

където Δx е приращението на аргумента; x е число, стремящо се към нула. С помощта на производната можете да определите критичните точки на функцията - минимуми, максимуми или инфлексии. Ако стойността на производната на функция за някаква стойност на x е равна на нула, тогава за тази стойност на x функцията има критична точка.

Пример 1: Функцията f x = x 2 + 2x 3 е дефинирана на интервала x 5;5. Разгледайте поведението на функцията f(x) .

Последователност

1. Нека Δx = 0,00001. В клетка A1 въведете: šDx=Ÿ (фиг. 36). Изберете буквата D, щракнете с десния бутон върху избраната буква, изберете Форматиране на клетки. В раздела Шрифт изберете шрифта Символ. Буквата D ще стане гръцката буква ѓў. Подравняването в клетка може да се извърши отдясно. В клетка B1 въведете стойността 0,00001.

2. В клетки от A2 до F2 подредете заглавка за таблицата, както е показано на фиг. 36

3. Колона A , започвайки от третия ред, ще съдържа x стойности. В клетки от A3 до A13 въведете стойности от -5 до 5.

4. В клетка B3 напишете формулата =A3^2+2*A3-3 и я разширете до крайната стойност x (до 13-ия ред).

5. За да се определи производната на функция и да се изчислят нейните стойности за даден интервал, е необходимо да се направи междинно

точни изчисления. В клетка C3 въведете формулата за сумата на аргумента x и неговото увеличение Δx. Формулата е: =A3+$B$1. Разтегнете стойността му до крайната стойност на аргумента x.

Ориз. 36. Прозорец на Excel с изследване на поведението на функцията

6. В клетка D3 напишете формулата =C3^2+2*C3-3 , която изчислява стойността на функцията f от аргумента x Δx . Разтегнете получената стойност до крайната стойност на аргумента.

7. В клетка E3 напишете производната формула (1), като се има предвид, че стойностите на f x са в B3, а стойностите на f x + Δx са в D3.

Формулата ще изглежда така: =(D3-B3)/$B$1 .

8. Определете поведението на функцията на даден интервал (нараства, намалява или има критична точка). За да направите това, трябва да напишете формула в клетка F3, за да определите поведението на функцията. Формулата съдържа три условия:

		е" (x)< 0	- функцията намалява;
		f" (x) > 0	- функцията се увеличава;
		f"(x)=0	– има критична точка* .

9. Конструирайте графики за стойностите f x и f "(x). Графиката (фиг. 37) показва, че ако стойността на производната на функцията е нула, тогава функцията има критична точка на това място.

* Поради твърде голяма грешка в изчислението, стойността на f "(x) може да не е равна на 0. Но все пак е необходимо да се опише тази ситуация.

Ориз. 37. Диаграма на изследването на поведението на функция

Задачи за самостоятелна работа

Функцията f(x) е дефинирана на интервала x. Разгледайте поведението на функцията f(x) . Изграждане на диаграми.

			2x2						X [4;4]
								X [ 5 ; 5 ]
			2x+2
	f(x)=x3		3x2		2 , x [ 2 ;4 ]
	f(x)= x					X [ 2 ; 3 ]
				х 2 + 7

ЛАБОРАТОРИЯ № 6

Построяване на допирателна към графиката на функция

Цел на работата: Да се ​​овладее изчисляването на стойностите на уравнението на допирателната към графиката на функцията в точката x 0.

Уравнението на допирателната към графиката на функцията y = f(x) в точката

Пример 1: Функцията y = x 2 + 2x 3 е дефинирана на интервала x [ 5; 5 ] . Построете допирателна към графиката на тази функция в точката x 0 = 1.

Последователност:

1. Разграничете тази функция числено (виж Лабораторна работа № 5). Таблицата с първоначалните данни е показана на фиг. 38

Ориз. 38. Таблица с изходни данни

2. Определете местоположението в таблицата x , x 0 , f (x 0 ) и f "(x 0 ) . Очевидно x ще бъдат стойности от

колона А, като се започне от третия ред (фиг. 38). Ако x 0 = 1, тогава клетка A9 ще действа като x 0 . Съответно, стойността на функцията f в точката x 0 е в клетка B9, а стойността на f" (x 0 )

- в клетка E9.

3. В колона F се изчислява уравнението на допирателната към графиката на функцията f(x). При изчисляване на уравнение (1) е необходимо стойностите x 0, f (x 0) и f "(x 0) да не се променят. Следователно, писмено

За да адресирате клетки A9, B9 и E9, трябва да използвате абсолютни препратки към тези клетки. Клетките се фиксират с помощта на знака š$Ÿ. Клетките ще изглеждат така: $A$9, $B$9 и $E$9.

Ориз. 39. Графика на функцията f(x) и допирателната към графиката в точката x=1

Задачи за самостоятелна работа

Функцията f(x) е дефинирана на интервала x. Изчислете уравнението на допирателната. Конструирайте допирателна към графиката на функцията в дадена точка.

			2x2						X [4;4], x0 = 1
								X [5;5], x0
			2x+2
	f(x)=x3		3x2		2 , x [ 2 ;4 ] , x0 = 0
	f(x)= x					X [2;3], x0
				х 2 + 7

1. Веденеева, Е. А. Функции и формули на Excel 2007. Потребителска библиотека / Е. А. Веденеева. – СПб.: Петър, 2008. – 384 с.

2. Свиридова, М. Ю. Електронни таблици Excel / М. Ю. Свиридова. - М.: Академия, 2008. - 144 с.

3. Серогодски, В. В. Графики, изчисления и анализ на данни

в Excel 2007 / В. В. Серогодски, Р. Г. Прокди, Д. А. Козлов, А. Ю. Дружинин. - М.: Наука и технологии, 2009. - 336 с.

Как Excel може да помогне при изчисляването на производната на функция? Ако функцията е дадена от уравнение, тогава след аналитично диференциране и получаване на формула, Excel ще ви помогне бързо да изчислите стойностите на производната за всякакви стойности на аргумента, които представляват интерес за потребителя.

Ако функцията е получена чрез практически измервания и е дадена в таблични стойности, тогава Excel може да окаже по-значителна помощ в този случай при извършване на числено диференциране и последваща обработка и анализ на резултатите.

На практика проблемът с изчисляването на производната по метода на численото диференциране може да възникне и в механиката (при определяне на скоростта и ускорението на обект от наличните измервания на пътя и времето) и в топлотехниката (при изчисляване на топлопреминаването през време). Това също може да се наложи, например, при пробиване на кладенци за анализиране на плътността на почвения слой, преминаващ от сондажа, при решаване на редица балистични проблеми и др.

Подобна ситуация се случва в "обратната" задача за изчисляване на сложно натоварени греди, когато има желание да се намерят стойностите на действащите натоварвания от отклонения.

Във втората част на статията, използвайки пример „на живо“, ще разгледаме изчисляването на производната по приблизителната формула за числово диференциране, използвайки изрази в крайни разлики и ще разберем въпроса - възможно ли еизползвайки приближения на производни чрез крайни разлики за определяне на натоварванията, действащи в участъците от отклоненията на гредата?

Минимална теория.

Производната определя скоростта на промяна на функция, която описва процес във времето или пространството.

Границата на съотношението на промяна в точка на функция към промяна в променлива, тъй като промяната в променливата клони към нула, се нарича производна на непрекъсната функция.

y ' (x) \u003d lim (Δy / Δx)в ∆x→0

Геометричното значение на производната на функция в дадена точка е допирателната на наклона към оста x на допирателната към графиката на функцията в тази точка.

tg (α)=Δy /Δx

Ако функцията е дискретна (таблична), тогава приблизителната стойност на нейната производна в точка се намира с помощта на крайни разлики.

y' (x ) i ≈(Δy /Δx )и=(y i +1 -y i -1 )/(x i +1 -x i -1 )

Крайните разлики се наричат, защото имат специфична, измерима, крайна стойност, за разлика от количествата, стремящи се към нула или безкрайност.

Таблицата по-долу представя редица формули, които ще бъдат полезни при численото диференциране на табличните функции.

Формулите за централна разлика обикновено дават по-точни резултати, но често не могат да бъдат приложени в ръбовете на диапазоните на стойностите. За тези случаи са полезни апроксимациите чрез леви и десни крайни разлики.

Изчисляване на производна от втори ред с помощта на примера за изчисляване на моменти в сечения на гредата от известни отклонения.

дадено:

На греда с дължина 8 метра с шарнирни опори по ръбовете, изработена от две сдвоени стоманени (St3) I-греди 30M, се поддържат 7 трасета със стъпка от 1 метър. Към централната част на гредата е прикрепена платформа с оборудване. Предполага се, че силата от покритието, предавана през гредите към гредата, е еднаква във всички точки и е равна на F1. Окачената платформа има тежест 2*F2и е прикрепен към гредата в две точки.

Предполага се, че гредата преди прилагането на натоварвания е била абсолютно права, а след натоварването е в зоната на еластични деформации.

Фигурата по-долу показва схемата за изчисление на проблема и общия изглед на диаграмите.

Следната екранна снимка показва оригиналните данни.

Очаквани първоначални данни:

3. Работно тегло на I-лъч 30M:

γ =50,2 kg/m

Секцията на гредата се състои от две I-образни греди:

n=2

Специфично тегло на гредата:

q = γ * n * g = 50,2 * 2 * 9,81 / 1000 \u003d 0,985 N / mm

5. Инерционен момент на I-лъча секция 30M:

I x1 =95 000 000 mm 4

Моментът на инерция на съставния участък на гредата:

I x = I x 1 * n = 95 000 000 * 2 = 190 000 000 mm 4

10. Тъй като гредата е натоварена симетрично около средата си, реакциите на двете опори са еднакви и равни на всяка половина от общото натоварване:

R = (q * z max + 8 * F 1 + 2 * F 2) / 2 = (0,985 * 8000 + 8 * 9000 + 2 * 50000) / 2 \u003d 85 440 N

Изчислението взема предвид собственото тегло на гредата!

задача:

Намерете стойности на огъващия момент Mxiв сечения на лъча аналитично по формулите за съпротивлението на материалите и по метода на числено диференциране на изчислената отклонителна линия. Сравнете и анализирайте получените резултати.

решение:

Първото нещо, което ще направим, е да изчислим силите на срязване в Excel. Q у, огъващи моменти М х, ъгли на завъртане U xоси на греда и отклонение Vxпо класическите формули на якост на материалите във всички секции със стъпка з. (Въпреки че по принцип няма да имаме нужда от стойностите на силите и ъглите в това, което следва.)

Резултатите от изчисленията са в клетки I5-L54. Екранната снимка по-долу показва половината от таблицата, тъй като стойностите във втората част са огледални или подобни на показаните стойности.

Формулите, използвани в изчисленията, могат да бъдат разгледани.

И така, ние знаем точните стойности на моментите и отклоненията.

От теорията знаем, че:

Ъгълът на въртене е първата производна на отклонението U=V'.

Моментът е втората производна на отклонението M=V''.

Силата е третата производна на отклонението Q=V''.

Да приемем, че колоната с точни отклонения не се получава чрез аналитични изчисления, а чрез измервания върху реален лъч и вече нямаме никакви други данни. Изчисляваме вторите производни на точните стойности на отклоненията, използвайки формула (6) от таблицата на предишния раздел на статията и намираме стойностите на моментите по метода на числено диференциране.

M xi \u003d V y ’’ ≈ ((V i +1 -2 * V i + V i -1 ) / h 2) * E * I x

Виждаме резултата от изчисленията в клетки M5-M54.

Точните стойности на моментите, изчислени по аналитичните формули на якостта на материала, като се вземе предвид теглото на самата греда, се различават леко от тези, открити от приблизителните формули за изчисляване на производните. Моментите са определени много точно, ако се съди по относителните грешки, изчислени като процент в клетки N5-N54.

ε \u003d (M x -V y '') / M x * 100%

Задачата е решена. Изчислихме втората производна по приблизителна формула, използвайки централни крайни разлики и получихме отличен резултат.

знаейки точенстойностите на отклоненията могат да се намерят чрез числено диференциране с висока точност в моментите, действащи в секциите и да се определи степента на натоварване на гредата!

Въпреки това...

Уви, не бива да се мисли така на практика лесно се получаванеобходими високопрецизни измервания на отклонения на сложно натоварени греди!

Факт е, че измерванията на отклонението трябва да се извършват с точност от ~1 µm и да се опитате да сведете до минимум стъпката на измерване з, "насочвайки го към нула", въпреки че това може да не помогне да се избегнат грешки.

Често намаляването на стъпката на измерване със значителни грешки в измерванията на отклонението може да доведе до абсурдни резултати. Човек трябва да бъде много внимателен при цифровото диференциране, за да се избегнат фатални грешки.

Днес има устройства - лазерни интерферометри, които осигуряват висока скорост, стабилност и точност на измерване до 1 микрон, програмно филтрират шума и много други неща, които могат да бъдат програмирани, но цената им е повече от 300 000 долара ...

Нека видим какво ще се случи, ако просто закръглим точните стойности на отклонение от нашия пример до два знака след десетичната запетая - тоест до стотни от милиметъра и преизчислим моментите в секции, използвайки същата формула за изчисляване на производната.

Ако по-рано максималната грешка не надвишава 0,7%, сега (в раздела и=4) надвишава 23%, въпреки че остава приемлив в най-опасния участък ( ε 21=1,813%).

В допълнение към разглеждания числен метод за изчисляване на производни с помощта на крайни разлики е възможно (и често е необходимо) да се приложи друг метод - измервания със степенен полином и да се намерят производните аналитично, след което да се сравнят получените резултати по различни начини. Но трябва да се разбере, че диференцирането на апроксимиращ полином на степента също е в крайна сметка приблизителен метод, който по същество зависи от степента на точност на апроксимацията.

Първоначалните данни - резултатите от измерванията - в повечето случаи, преди да бъдат използвани в изчисленията, трябва да бъдат обработени, като се премахнат стойности, които са извън логическия ред.

Изчисляването на производната чрез числени методи винаги трябва да се извършва много внимателно!

Уважаеми читатели, моля, поставете отзиви и коментари към статията в специален блок под статията.

За да получавате информация за пускането на нови статии в блога, абонирайте се за съобщения в прозореца, разположен в горната част на страницата или веднага след статията.

питам УВАЖЕНИЕ работата на автора изтеглете файл с пример СЛЕД АБОНАМЕНТ за съобщения за статии.