Коренът на уравнението tgx a се намира по формулата. Тригонометрични уравнения - формули, решения, примери

Вълново уравнение, диференциално уравнение с частни производни, описващо процеса на разпространение на смущения в определена среда Тихонов А. Н. и Самарски А. А., Уравнения на математическата физика, 3 изд., М., 1977. - с. 155....

Класификации на хиперболични частични диференциални уравнения

Уравнението на топлината е частично диференциално уравнение от параболичен тип, което описва процеса на разпространение на топлина в непрекъсната среда (газ...

Математически методи, използвани в теорията на системите за масово обслужване

Вероятностите на състоянията на системата могат да се намерят от системата от диференциални уравнения на Колмогоров, които се съставят по следното правило: От лявата страна на всяко от тях е производната на вероятността на i-тото състояние...

Нестационарно уравнение на Рикати

1. Общото уравнение на Рикати има формата: , (1.1) където P, Q, R са непрекъснати функции на x, когато x се променя в интервала. Уравнение (1.1) съдържа като специални случаи уравненията, които вече разгледахме: с получаваме a линейно уравнение, с -уравнение на Бернули...

Основи на научните изследвания и планиране на експерименти в транспорта

Нека получим функционалната зависимост Y = f(X) (регресионно уравнение) с помощта на метода на най-малките квадрати (LSM). Използвайте линейни (Y = a0 + a1X) и квадратични зависимости (Y = a0 + a1X + a2X2) като апроксимиращи функции. Използвайки метода на най-малките квадрати, стойностите на a0...

Нека поставим полюса на полярната координатна система в началото на правоъгълната координатна система, полярната ос е съвместима с положителната ос x (фиг. 3). Ориз. 3 Вземете уравнението на правата линия в нормална форма: (3.1) - дължината на перпендикуляра...

Полярна координатна система на равнина

Нека съставим уравнение в полярни координати за окръжност, минаваща през полюса, с център върху полярната ос и радиус R. От правоъгълния триъгълник OAA получаваме OA = OA (фиг. 4)...

Концепции на теорията на вземането на проби. Серия на разпространение. Корелационен и регресионен анализ

Изучете: а) концепцията за сдвоена линейна регресия; б) съставяне на система от нормални уравнения; в) свойства на оценките, използващи метода на най-малките квадрати; г) техника за намиране на уравнение на линейна регресия. Да приемем...

Построяване на решения на диференциални уравнения под формата на степенни редове

Като пример за приложението на изградената теория разгледайте уравнението на Бесел: (6.1) Къде. Особената точка z =0 е правилна. Няма други характеристики в крайната част на самолета. В уравнение (6.1), следователно, определящото уравнение има формата, Това е...

Решаване на матрични уравнения

Матричното уравнение XA=B също може да бъде решено по два начина: 1. Обратната матрица се изчислява по някой от известните методи. Тогава решението на матричното уравнение ще изглежда така: 2...

Решаване на матрични уравнения

Методите, описани по-горе, не са подходящи за решаване на уравнения от формата AX=XB, AX+XB=C. Те също не са подходящи за решаване на уравнения, в които поне един от факторите за неизвестна матрица X е сингулярна матрица...

Решаване на матрични уравнения

Уравнения от формата AX = HA се решават по същия начин, както в предишния случай, тоест елемент по елемент. Решението тук се свежда до намиране на матрицата на пермутация. Нека разгледаме по-отблизо един пример. Пример. Намери всички матрици...

Стационарна работа на мрежа за масово обслужване с ромбовиден контур

От състоянието може да премине в едно от следните състояния: - поради пристигане на приложение в опашката на първия възел с интензитет; - поради постъпване на обработено в него приложение от първия възел в опашката на третия възел с интензитет от...

Тригонометрични функции

Арктангенсът на число е число, чийто синус е равен на a: ако и. Всички корени на уравнението могат да бъдат намерени по формулата:...

Числени методи за решаване на математически задачи

Можете да поръчате подробно решение на вашия проблем!!!

Равенство, съдържащо неизвестно под знака на тригонометрична функция (`sin x, cos x, tan x` или `ctg x`), се нарича тригонометрично уравнение и по-нататък ще разгледаме неговите формули.

Най-простите уравнения са „sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a“, където „x“ е ъгълът, който трябва да се намери, „a“ е произволно число. Нека запишем коренните формули за всеки от тях.

1. Уравнение `sin x=a`.

За `|a|>1` няма решения.

Когато `|a| \leq 1` има безкраен брой решения.

Коренна формула: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Уравнение `cos x=a`

За `|a|>1` - както в случая със синус, той няма решения сред реални числа.

Когато `|a| \leq 1` има безкраен брой решения.

Основна формула: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Специални случаи за синус и косинус в графики.

3. Уравнение `tg x=a`

Има безкраен брой решения за всякакви стойности на `a`.

Основна формула: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Уравнение `ctg x=a`

Също така има безкраен брой решения за всякакви стойности на „a“.

Основна формула: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Формули за корените на тригонометричните уравнения в таблицата

За синус:
За косинус:
За тангенс и котангенс:
Формули за решаване на уравнения, съдържащи обратни тригонометрични функции:

Методи за решаване на тригонометрични уравнения

Решаването на всяко тригонометрично уравнение се състои от два етапа:

• с помощта на трансформирането му в най-простия;
• решаване на най-простото уравнение, получено с помощта на коренните формули и таблиците, написани по-горе.

Нека да разгледаме основните методи за решение, използвайки примери.

Алгебричен метод.

Този метод включва заместване на променлива и нейното заместване в равенство.

Пример. Решете уравнението: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

направете замяна: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, след това `2y^2-3y+1=0`,

намираме корените: `y_1=1, y_2=1/2`, от което следват два случая:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Отговор: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Факторизация.

Пример. Решете уравнението: `sin x+cos x=1`.

Решение. Нека преместим всички членове на равенството наляво: `sin x+cos x-1=0`. Използвайки, трансформираме и факторизираме лявата страна:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

„2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0“,

„2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0“,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Отговор: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Свеждане до хомогенно уравнение

Първо, трябва да намалите това тригонометрично уравнение до една от двете форми:

`a sin x+b cos x=0` (хомогенно уравнение от първа степен) или `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (хомогенно уравнение от втора степен).

След това разделете двете части на `cos x \ne 0` - за първия случай, и на `cos^2 x \ne 0` - за втория. Получаваме уравнения за `tg x`: `a tg x+b=0` и `a tg^2 x + b tg x +c =0`, които трябва да бъдат решени по известни методи.

Пример. Решете уравнението: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Решение. Нека запишем дясната страна като `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Това е хомогенно тригонометрично уравнение от втора степен, разделяме лявата и дясната му страна на `cos^2 x \ne 0`, получаваме:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

„tg^2 x+tg x — 2=0“. Нека въведем замяната `tg x=t`, което води до `t^2 + t - 2=0`. Корените на това уравнение са `t_1=-2` и `t_2=1`. Тогава:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Отговор. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Преминаване към половин ъгъл

Пример. Решете уравнението: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Решение. Нека приложим формулите за двоен ъгъл, което води до: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Прилагайки алгебричния метод, описан по-горе, получаваме:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Отговор. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Въвеждане на спомагателен ъгъл

В тригонометричното уравнение „a sin x + b cos x =c“, където a,b,c са коефициенти и x е променлива, разделете двете страни на „sqrt (a^2+b^2)“:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.

Коефициентите от лявата страна имат свойствата на синус и косинус, а именно сумата от техните квадрати е равна на 1 и техните модули не са по-големи от 1. Нека ги обозначим по следния начин: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, тогава:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Нека разгледаме по-отблизо следния пример:

Пример. Решете уравнението: `3 sin x+4 cos x=2`.

Решение. Разделяме двете страни на равенството на `sqrt (3^2+4^2)`, получаваме:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

„3/5 sin x+4/5 cos x=2/5“.

Нека означим `3/5 = cos \varphi`, `4/5=sin \varphi`. Тъй като `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, тогава ние приемаме `\varphi=arcsin 4/5` като спомагателен ъгъл. След това записваме нашето равенство във формата:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Прилагайки формулата за сбора на ъглите за синуса, записваме нашето равенство в следната форма:

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Отговор. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Дробни рационални тригонометрични уравнения

Това са равенства с дроби, чиито числители и знаменатели съдържат тригонометрични функции.

Пример. Решете уравнението. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Решение. Умножете и разделете дясната страна на равенството на „(1+cos x)“. В резултат получаваме:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Като се има предвид, че знаменателят не може да бъде равен на нула, получаваме `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Нека приравним числителя на дробта към нула: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. След това „sin x=0“ или „1-sin x=0“.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Като се има предвид, че ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, решенията са `x=2\pi n, n \in Z` и `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.

Отговор. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Тригонометрията и по-специално тригонометричните уравнения се използват в почти всички области на геометрията, физиката и инженерството. Ученето започва в 10 клас, винаги има задачи за Единния държавен изпит, така че се опитайте да запомните всички формули на тригонометричните уравнения - те определено ще ви бъдат полезни!

Въпреки това, дори не е необходимо да ги запомняте, основното е да разберете същността и да можете да я извлечете. Не е толкова трудно, колкото изглежда. Убедете се сами, като изгледате видеото.

За успешно решаване тригонометрични уравненияудобен за използване метод на намаляванекъм решени преди това проблеми. Нека да разберем каква е същността на този метод?

Във всеки предложен проблем трябва да видите решен преди това проблем и след това, като използвате последователни еквивалентни трансформации, опитайте да намалите дадения ви проблем до по-прост.

По този начин, когато решават тригонометрични уравнения, те обикновено създават определена крайна последователност от еквивалентни уравнения, чиято последна връзка е уравнение с очевидно решение. Важно е само да запомните, че ако не се развият уменията за решаване на най-простите тригонометрични уравнения, тогава решаването на по-сложни уравнения ще бъде трудно и неефективно.

Освен това, когато решавате тригонометрични уравнения, никога не трябва да забравяте, че има няколко възможни метода за решаване.

Пример 1. Намерете броя на корените на уравнението cos x = -1/2 върху интервала.

Решение:

Метод IНека начертаем функциите y = cos x и y = -1/2 и да намерим броя на техните общи точки на интервала (фиг. 1).

Тъй като графиките на функциите имат две общи точки на интервала, уравнението съдържа два корена на този интервал.

II метод.Използвайки тригонометричен кръг (фиг. 2), намираме броя на точките, принадлежащи на интервала, в който cos x = -1/2. Фигурата показва, че уравнението има два корена.

III метод.Използвайки формулата за корените на тригонометричното уравнение, решаваме уравнението cos x = -1/2.

x = ± arccos (-1/2) + 2πk, k – цяло число (k € Z);

x = ± (π – arccos 1/2) + 2πk, k – цяло число (k € Z);

x = ± (π – π/3) + 2πk, k – цяло число (k € Z);

x = ± 2π/3 + 2πk, k – цяло число (k € Z).

Интервалът съдържа корените 2π/3 и -2π/3 + 2π, k е цяло число. Така уравнението има два корена на даден интервал.

Отговор: 2.

В бъдеще тригонометричните уравнения ще се решават с помощта на един от предложените методи, което в много случаи не изключва използването на други методи.

Пример 2. Намерете броя на решенията на уравнението tg (x + π/4) = 1 на интервала [-2π; 2π].

Решение:

Използвайки формулата за корените на тригонометрично уравнение, получаваме:

x + π/4 = arctan 1 + πk, k – цяло число (k € Z);

x + π/4 = π/4 + πk, k – цяло число (k € Z);

x = πk, k – цяло число (k € Z);

Интервалът [-2π; 2π] принадлежат на числата -2π; -π; 0; π; 2π. И така, уравнението има пет корена на даден интервал.

Отговор: 5.

Пример 3. Намерете броя на корените на уравнението cos 2 x + sin x · cos x = 1 на интервала [-π; π].

Решение:

Тъй като 1 = sin 2 x + cos 2 x (основната тригонометрична идентичност), оригиналното уравнение приема формата:

cos 2 x + sin x · cos x = sin 2 x + cos 2 x;

sin 2 x – sin x cos x = 0;

sin x(sin x – cos x) = 0. Продуктът е равен на нула, което означава, че поне един от факторите трябва да е равен на нула, следователно:

sin x = 0 или sin x – cos x = 0.

Тъй като стойностите на променливата, при която cos x = 0, не са корените на второто уравнение (синусът и косинусът на едно и също число не могат да бъдат равни на нула едновременно), ние разделяме двете страни на второто уравнение по cos x:

sin x = 0 или sin x / cos x - 1 = 0.

Във второто уравнение използваме факта, че tg x = sin x / cos x, тогава:

sin x = 0 или tan x = 1. Използвайки формули, имаме:

x = πk или x = π/4 + πk, k – цяло число (k € Z).

От първата поредица от корени до интервала [-π; π] принадлежат на числата -π; 0; π. От втората серия: (π/4 – π) и π/4.

Така петте корена на първоначалното уравнение принадлежат на интервала [-π; π].

Отговор: 5.

Пример 4. Намерете сумата от корените на уравнението tg 2 x + сtg 2 x + 3tg x + 3сtgx + 4 = 0 на интервала [-π; 1.1π].

Решение:

Нека пренапишем уравнението, както следва:

tg 2 x + сtg 2 x + 3(tg x + сtgx) + 4 = 0 и направете замяна.

Нека tg x + сtgx = a. Нека повдигнем на квадрат двете страни на уравнението:

(tg x + сtg x) 2 = a 2. Нека разширим скобите:

tg 2 x + 2tg x · сtgx + сtg 2 x = a 2.

Тъй като tg x · сtgx = 1, то tg 2 x + 2 + сtg 2 x = a 2, което означава

tg 2 x + сtg 2 x = a 2 – 2.

Сега оригиналното уравнение изглежда така:

a 2 – 2 + 3a + 4 = 0;

a 2 + 3a + 2 = 0. Използвайки теоремата на Vieta, намираме, че a = -1 или a = -2.

Нека направим обратното заместване, имаме:

tg x + сtgx = -1 или tg x + сtgx = -2. Нека решим получените уравнения.

tg x + 1/tgx = -1 или tg x + 1/tgx = -2.

По свойството на две взаимно обратни числа определяме, че първото уравнение няма корени, а от второто уравнение имаме:

tg x = -1, т.е. x = -π/4 + πk, k – цяло число (k € Z).

Интервал [-π; 1,1π] принадлежат на корените: -π/4; -π/4 + π. Тяхната сума:

-π/4 + (-π/4 + π) = -π/2 + π = π/2.

Отговор: π/2.

Пример 5. Намерете средноаритметичната стойност на корените на уравнението sin 3x + sin x = sin 2x на интервала [-π; 0,5π].

Решение:

Нека използваме формулата sin α + sin β = 2sin ((α + β)/2) cos ((α – β)/2), тогава

sin 3x + sin x = 2sin ((3x + x)/2) cos ((3x – x)/2) = 2sin 2x cos x и уравнението става

2sin 2x cos x = sin 2x;

2sin 2x · cos x – sin 2x = 0. Нека извадим общия множител sin 2x извън скобите

sin 2x(2cos x – 1) = 0. Решете полученото уравнение:

sin 2x = 0 или 2cos x – 1 = 0;

sin 2x = 0 или cos x = 1/2;

2x = πk или x = ±π/3 + 2πk, k – цяло число (k € Z).

Така имаме корени

x = πk/2, x = π/3 + 2πk, x = -π/3 + 2πk, k – цяло число (k € Z).

Интервал [-π; 0,5π] принадлежат на корените -π; -π/2; 0; π/2 (от първата поредица от корени); π/3 (от втората серия); -π/3 (от трета серия). Тяхното средно аритметично е:

(-π – π/2 + 0 + π/2 + π/3 – π/3)/6 = -π/6.

Отговор: -π/6.

Пример 6. Намерете броя на корените на уравнението sin x + cos x = 0 на интервала [-1,25π; 2π].

Решение:

Това уравнение е хомогенно уравнение от първа степен. Нека разделим двете му части на cosx (стойностите на променливата, при която cos x = 0, не са корените на това уравнение, тъй като синусът и косинусът на едно и също число не могат да бъдат равни на нула едновременно). Оригиналното уравнение е:

x = -π/4 + πk, k – цяло число (k € Z).

Интервалът [-1.25π; 2π] принадлежат на корените -π/4; (-π/4 + π); и (-π/4 + 2π).

Така даденият интервал съдържа три корена на уравнението.

Отговор: 3.

Научете се да правите най-важното - ясно да си представите план за решаване на проблем и тогава всяко тригонометрично уравнение ще бъде в ръцете ви.

Все още имате въпроси? Не знаете как да решавате тригонометрични уравнения?
За да получите помощ от преподавател, регистрирайте се.

уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.

>> Арктангенс и арккотангенс. Решаване на уравненията tgx = a, ctgx = a

§ 19. Арктангенс и арккотангенс. Решаване на уравненията tgx = a, ctgx = a

В пример 2 от §16 не успяхме да решим три уравнения:

Вече решихме две от тях - първата в § 17 и втората в § 18, за целта трябваше да въведем понятията аркосинуси арксинус. Разгледайте третото уравнение x = 2.
Графиките на функциите y=tg x и y=2 имат безкрайно много общи точки, като абсцисите на всички тези точки имат формата - абсцисата на пресечната точка на правата линия y = 2 с главния клон на тангентоида (фиг. 90). За числото x1 математиците излязоха с обозначението acrtg 2 (да се чете „арктангенс на две“). Тогава всички корени на уравнението x=2 могат да бъдат описани с формулата x=arctg 2 + pk.
Какво е agctg 2? Това е числото допирателнакоето е равно на 2 и което принадлежи на интервала
Нека сега разгледаме уравнението tg x = -2.
Функционални графики имат безкрайно много общи точки, абсцисите на всички тези точки имат формата абсцисата на пресечната точка на правата линия y = -2 с главния клон на тангентоида. За числото x 2 математиците измислиха обозначението arctg(-2). Тогава всички корени на уравнението x = -2 могат да бъдат описани с формулата

Какво е acrtg(-2)? Това е число, чийто тангенс е -2 и което принадлежи на интервала. Моля, обърнете внимание (вижте Фиг. 90): x 2 = -x 2. Това означава, че arctg(-2) = - arctg 2.
Нека формулираме определението за арктангенс в общ вид.

Определение 1. arсtg a (арктангенс a) е число от интервала, чийто тангенс е равен на a. Така,

Сега сме в състояние да направим общо заключение за решението уравнения x=a: уравнението x = a има решения

По-горе отбелязахме, че arctg(-2) = -arctg 2. Като цяло, за всяка стойност на a формулата е валидна

Пример 1.Изчисли:

Пример 2.Решете уравнения:

A) Нека създадем формула за решение:

В този случай не можем да изчислим стойността на аркутангенса, затова ще оставим решението на уравнението в получения вид.
Отговор:
Пример 3.Решаване на неравенства:
Неравенствата на формата могат да бъдат решени графично, като се придържат към следните планове
1) конструирайте допирателна y = tan x и права линия y = a;
2) изберете за главен клон на тангеисоида интервала на оста x, на който е изпълнено даденото неравенство;
3) като вземете предвид периодичността на функцията y = tan x, напишете отговора в обща форма.
Нека приложим този план за решаване на дадените неравенства.

: а) Да построим графики на функциите y = tgх и y = 1. На главния клон на тангенсоида те се пресичат в т.

Нека изберем интервала на оста x, на който главният клон на тангентоида е разположен под правата линия y = 1 - това е интервалът
Отчитайки периодичността на функцията y = tgх, заключаваме, че даденото неравенство е изпълнено на всеки интервал от вида:

Обединението на всички такива интервали представлява общото решение на даденото неравенство.
Отговорът може да се напише и по друг начин:

б) Нека построим графики на функциите y = tan x и y = -2. На главния клон на тангентоида (фиг. 92) те се пресичат в точката x = arctg(-2).

Нека изберем интервала на оста x, върху който е основният клон на тангентоида

Разгледайте уравнението с tan x=a, където a>0. Графиките на функциите y=ctg x и y =a имат безкрайно много общи точки, абсцисите на всички тези точки имат формата: x = x 1 + pk, където x 1 =arccstg a е абсцисата на пресечната точка на правата y=a с главния клон на тангентоида (фиг. 93). Това означава, че arcstg a е число, чийто котангенс е равен на a и което принадлежи на интервала (0, n); на този интервал се построява основният клон на графиката на функцията y = сtg x.

На фиг. 93 е представена и графична илюстрация на решението на уравнението c1tg = -a. Графиките на функциите y = сtg x и y = -а имат безкрайно много общи точки, като абсцисите на всички тези точки имат формата x = x 2 + pk, където x 2 = agsstg (- а) е абсцисата на точка на пресичане на правата y = -а с тангентоидния клон на основната линия. Това означава, че arcstg(-a) е число, чийто котангенс е равен на -a и което принадлежи на интервала (O, n); на този интервал се построява основният клон на графиката на функцията Y = сtg x.

Определение 2. arccstg a (аркотангенс a) е число от интервала (0, n), чийто котангенс е равен на a.
Така,

Сега можем да направим общо заключение за решението на уравнението ctg x = a: уравнението ctg x = a има решения:

Моля, обърнете внимание (вижте Фиг. 93): x 2 = n-x 1. Означава, че

Пример 4.Изчисли:

А) Да речем

Уравнението сtg x=а почти винаги може да се преобразува във вида Изключение прави уравнението сtg x =0. Но в този случай, като се възползвате от факта, че можете да отидете на
уравнение cos x=0. По този начин уравнение от формата x = a не представлява независим интерес.

А.Г. Мордкович алгебра 10 клас

Календарно-тематично планиране по математика, видеопо математика онлайн, Математика в училище изтегляне

Съдържание на урока бележки към уроцитеподдържаща рамка презентация урок методи ускорение интерактивни технологии Практикувайте задачи и упражнения самопроверка работилници, обучения, казуси, куестове домашна работа въпроси за дискусия риторични въпроси от ученици Илюстрации аудио, видео клипове и мултимедияснимки, картинки, графики, таблици, диаграми, хумор, анекдоти, вицове, комикси, притчи, поговорки, кръстословици, цитати Добавки резюметастатии трикове за любознателните ясли учебници основен и допълнителен речник на термините други Подобряване на учебниците и уроцитекоригиране на грешки в учебникаактуализиране на фрагмент в учебник, елементи на иновация в урока, замяна на остарели знания с нови Само за учители перфектни уроцикалендарен план за годината методически препоръки програми за дискусии Интегрирани уроци

В този урок ще продължим да изучаваме арктангенса и ще решаваме уравнения от вида tg x = a за всяко a. В началото на урока ще решим уравнение с таблична стойност и ще илюстрираме решението върху графика, а след това върху кръг. След това решаваме уравнението tgx = a в общ вид и извеждаме общата формула за отговора. Нека илюстрираме изчисленията върху графика и кръг и разгледаме различните форми на отговора. В края на урока ще решим няколко задачи с решения, илюстрирани върху графика и кръг.

Тема: Тригонометрични уравнения

Урок: Арктангенс и решаване на уравнението tgx=a (продължение)

1. Тема на урока, въведение

В този урок ще разгледаме решаването на уравнението за всяко реално число

2. Решение на уравнението tgx=√3

Задача 1. Решете уравнението

Нека намерим решението с помощта на функционални графики (Фиг. 1).

Да разгледаме интервала.На този интервал функцията е монотонна, което означава, че се постига само за една стойност на функцията.

Отговор:

Нека решим същото уравнение с помощта на числовата окръжност (фиг. 2).

Отговор:

3. Решение на уравнението tgx=a в общ вид

Нека решим уравнението в общ вид (фиг. 3).

На интервала уравнението има единствено решение

Най-малък положителен период

Нека илюстрираме върху числовия кръг (фиг. 4).

4. Разрешаване на проблеми

Задача 2. Решете уравнението

Нека променим променливата

Задача 3. Решете системата:

Решение (фиг. 5):

В даден момент стойността е следователно решението на системата е само точката

Отговор:

Задача 4. Решете уравнението

Нека решим с помощта на метода за промяна на променлива:

Задача 5. Намерете броя на решенията на уравнението на интервала

Нека решим задачата с помощта на графика (фиг. 6).

Уравнението има три решения на даден интервал.

Нека го илюстрираме върху числова окръжност (фиг. 7), въпреки че не е толкова ясно, колкото на графиката.

Отговор: Три решения.

5. Заключение, заключение

Решихме уравнението за всяко реално, използвайки концепцията за арктангенс. В следващия урок ще въведем понятието арктангенс.

Библиография

1. Алгебра и начало на анализа, 10 клас (в две части). Учебник за общообразователни институции (ниво на профил), изд. А. Г. Мордкович. -М .: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начало на анализа, 10 клас (в две части). Проблемна книга за образователни институции (ниво на профил), изд. А. Г. Мордкович. -М .: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математически анализ за 10 клас (учебник за ученици от училища и класове с разширено изучаване на математика) - М.: Просвещение, 1996.

4. Галицки М. Л., Мошкович М. М., Шварцбурд С. И. Задълбочено изучаване на алгебра и математически анализ.- М.: Просвещение, 1997.

5. Колекция от задачи по математика за кандидати за висши учебни заведения (под редакцията на М. И. Сканави) - М.: Висше училище, 1992 г.

6. Мерзляк А.Г., Полонски В.Б., Якир М.С. Алгебричен симулатор.-К .: A.S.K., 1997.

7. Саакян С. М., Голдман А. М., Денисов Д. В. Проблеми по алгебра и принципи на анализа (наръчник за ученици от 10-11 клас на общообразователните институции) - М.: Просвещение, 2003.

8. Карп А. П. Колекция от проблеми по алгебра и принципи на анализа: учебник. помощ за 10-11 клас. с дълбочина изучавани Математика.-М .: Образование, 2006.

Домашна работа

Алгебра и начало на анализа, 10 клас (в две части). Проблемна книга за образователни институции (ниво на профил), изд. А. Г. Мордкович. -М .: Мнемозина, 2007.

№№ 22.18, 22.21.

Допълнителни уеб ресурси

1. Математика.

2. Интернет портал Проблеми. ru.

3. Образователен портал за подготовка за изпити.