Предмет: Теорема, обратна теорема. Питагора.

Цели Урок: 1) разгледа теоремата обратната питагора; използването му в процеса на решаване на проблеми; Фиксирайте теоремата на Pythagora и подобрете уменията за решаване на проблеми за неговото използване;

2) Разработване на логическо мислене, творческо търсене, когнитивен интерес;

3) Създайте ученици с отговорно отношение към ученията, културата на математическата реч.

Вид на урока. Урок засилване на нови знания.

По време на класовете

І. Организиране на времето

ІІ. Актуализация Знание

Урок меби билоискахзапочнете с Quatrain.

Да, пътят на знанието не се радва

Но ние знаем учебни години,

Загадки повече от въображението

И няма търсене на лимита!

Така че, в миналото, урокът научихте теоремата на Пиртагор. Въпроси:

Теоремата Pythagora е валидна за коя фигура?

Какъв триъгълник се нарича правоъгълна?

Формулирайте теоремата на Пиртагор.

Как ще бъде написана теоремата Pythagora за всеки триъгълник?

Какви триъгълници се наричат \u200b\u200bравни?

Думите на знаците на равенството на триъгълниците?

И сега ще прекарам малък независима работа:

Решаване на задачи според рисунките.

№1

(1 b.) Намерете: AV.

№2

(1 b.) Намерете: Sun.

№3

( 2 б.)Намерете: AC.

№4

(1 b.)Намерете: AC.

№5 Дано: ABC.Д. Ромб

(2 b.) AV \u003d 13 cm

AC \u003d 10 cm

Открий вД.

Самостоятелен номер 1. пет

№2. 5

№3. 16

№4. 13

№5. 24

ІІІ. Проучване Нов материал.

Древните египтяни построиха прави ъгли на земята по този начин: споделиха въжето за 12 равни частиТе свързват краищата й, след което въжето се простираше така на Земята, така че триъгълникът се образува с партита 3, 4 и 5 дивизии. Ъгълът на триъгълника, който лежеше срещу страната с 5 дивизии, беше прав.

Можете ли да обясните коректността на това решение?

В резултат на търсенето на отговор на въпроса, учениците трябва да разберат, че от математическа гледна точка въпросът е определен: дали триъгълникът е правоъгълен.

Ние поставяме проблема: как, без да правим измервания, определете дали триъгълникът с посочените страни е правоъгълен. Решението на този проблем е целта на урока.

Запишете урока за тема.

Теорема. Ако сумата на квадратите от двете страни на триъгълника е равна на квадрата на третата страна, тогава такъв триъгълник е правоъгълен.

Самостоятелно доказват теорема (компилирайте план за доказване на учебника).

От тази теорема следва, че триъгълникът със страните 3, 4, 5 е правоъгълен (египетски).

Като цяло, числата, за които се извършва равенство , Обадете се на Pythagora Troika. И триъгълниците, дължините на страните от които се изразяват от войските на Питагора (6, 8, 10), - триъгълници на Питагора.

Закрепване.

Като , след това триъгълникът със страните 12, 13, 5 не е правоъгълен.

Като , след това триъгълникът със страните 1, 5, 6 е правоъгълен.

№ 430 (A, B, B)

( - не е)

Цели Урок:

Образование: формулиране и доказване на теоремата на Питагора и теорема, обратната теорема за питагрео. Показват своето историческо и практическо значение.

Разработване: Разработване на внимание, памет, логично мислене на учениците, способността да се разсъждават, сравняват, да се правят заключения.

Нагряване: Да се \u200b\u200bобразоват интереса и любовта към темата, точността, способността да слушате другари и учители.

Оборудване: Портрет на Питагора, плакати със задачи за консолидация, учебник "Геометрия" 7-9 Класове (I.F. Sharygin).

План на урока:

I. Организационен момент - 1 мин.

II. Проверка на домашното - 7 мин.

III. Встъпителна дума на учителя, историческа справка - 4-5 минути.

IV. Текстът и доказателството за теоремата на Питагор е 7 минути.

V. Текстът и доказателството на теоремата, обратната теорема на Питагора - 5 мин.

Закрепване на нов материал:

а) орален - 5-6 минути.
б) Писане - 7-10 минути.

VII. Домашна работа - 1 минута.

VIII. Обобщаване на урока - 3 мин.

По време на класовете

I. Организационен момент.

II. Проверете домашното.

стр.7.1, № 3 (на дъските на готовия чертеж).

Състояние: Височина правоъгълен триъгълник Доставя хипотенузата на сегментите с дължина 1 и 2. Намерете катетите на този триъгълник.

BC \u003d A; Ca \u003d B; Ba \u003d C; BD \u003d a 1; Da \u003d B 1; CD \u003d H c

Допълнителен въпрос: Напишете връзки в правоъгълен триъгълник.

стр.7.1, № 5. Нарежете правоъгълния триъгълник до три подобни триъгълника.

Обяснете.

Asn ~ abc ~ sn

(насочете вниманието на учениците до коректността на записа на съответните върхове на такива триъгълници)

Постоянната истина ще бъде, веднага щом слаб човек я знае!

И сега теоремата на Питагора е вярна, както в далечната си възраст.

Не случайно започнах урока си от думите на германския писател-писател Шамиса. Нашият урок днес е посветен на теоремата Pythagora. Пишем темата на урока.

Пред вас, портрет на великия питагорейски. Роден в 576 г. пр. Хр. Като е живял 80 години, умира през 496 до нашата епоха. Известен като древен гръцки философ и учител. Той беше син на търговец на менарх, който го взе често на пътуванията си, благодарение на който момчето имаше любознание и желанието да знаят новия. Питагор е прякор, даден за красноречието ("Питагор" означава "Аз съм убедителна реч"). Самият той не пише нищо. Всичките му мисли записаха учениците си. В резултат на първата лекция Питагора придоби 2000 студенти, които заедно със съпругите и децата си са формирали огромно училище и създадоха държава, наречена "голяма Гърция", която се основава на законите и правилата на Питагора, почитани като божествени Заповеди. Той беше първият, който извика разсъжденията му за смисъла на живота на философията (Любоматрий). Беше склонен към мистификация и демонстрация в поведение. Веднъж, Питагор се крие под земята и всичко се случваше от майката. След това изсъхна като скелет, той заяви в събранието на народа, което беше в Аида и показа невероятно осъзнаване на земните събития. Защото този засегнат жители го познаха от Бога. Питагор никога не плака и обикновено не е достъпен от страсти и вълнение. Вярваше, че идва от семето, най-доброто сравнително с човека. Целият живот на Питагора е легенда, която дойде в нашето време и ни разказа за талантливия човек на древния свят.

Формулирането на теоремата Pythagore ви е известно от хода на алгебра. Нека го помним.

В правоъгълен триъгълник квадрат хипотенуза равен на сумата Квадрати от катетри.

Въпреки това, тази теорема знаеше много години преди Питагора. В продължение на 1500 години преди Питагора, древните египтяни знаеха, че триъгълникът със страните 3, 4 и 5 е правоъгълен и използвал този имот за изграждане на директни ъгли при планиране парцели и изграждане на сгради. В най-древните времена за нас, китайското математическо-астрономическо есе на "Zhiu-Bi", написано през 600 години преди Питагора, наред с други предложения, свързани с правоъгълния триъгълник, съдържа теоремата на Питагора. По-рано, този теореем е известен на индус. Така Питагор не е отворил това свойство на правоъгълен триъгълник, той вероятно е успял да го обобщи и да го докаже, да го преведе от практиката на практикуване на науката.

С дълбока античност на математиката се откриват все повече доказателства за теоремата Pythagoreo. Те са известни повече от една и половина сто. Нека си спомним алгебричното доказателство за теоремата Pythagora, известно ни от хода на алгебра. ("Математика. Algebra. Функции. Анализ на данни" G.V. Dorofeev, M., "Drop", 2000 g).

Предложете на учениците да си спомнят доказателство до чертежа и да го напишат на дъската.

(a + b) 2 \u003d 4 · 1/2 a * b + c 2 b a

a 2 + 2A * B + B 2 \u003d 2A * B + C 2

a 2 + b 2 \u003d c 2 a a b

Древните индианци, които притежават това разсъждение, обикновено не са записани и придружават чертежа само с една дума: "Виж".

Помислете за съвременното представяне едно от доказателствата, принадлежащи към Питагора. В началото на урока си спомнихме теоремата за съотношенията в правоъгълен триъгълник:

h 2 \u003d A 1 * B 1 A 2 \u003d A 1 * с B 2 \u003d B 1 *

Преместване на скорошното ново равенство:

b 2 + A 2 \u003d B 1 * C + A 1 * C \u003d (В1 + А1) * С1 \u003d С * С \u003d С2; 2 + B 2 \u003d C 2

Въпреки привидната простота на тези доказателства, тя далеч от най-простите. В края на краищата, за това беше необходимо да се прекара височина в правоъгълен триъгълник и да се разгледа такива триъгълници. Запишете, моля, това е доказателство в тетрадката.

И какъв теорем се нарича обратното на това? (... ако състоянието и заключението се променят местата.)

Нека сега се опитаме да формулираме теорема, обратната теорема за Pythagoreo.

Ако триъгълникът със страните А, В и С се извършва с равенството С2 \u003d А2 + В2, тогава този триъгълник е правоъгълен и правият ъгъл се противопоставя на страната с.

(Доказателство за обратната теорема на плаката)

ABC, Sun \u003d A,

AC \u003d b, Va \u003d s.

2 + B 2 \u003d C 2

Докажи

ABC - правоъгълна,

Доказателство:

Помислете за правоъгълен триъгълник А 1 в 1 С1,

където от 1 \u003d 90 °, и 1 s 1 \u003d А, и 1 s 1 \u003d b.

След това, според теоремата Pytagora в 1 A 1 2 \u003d A 2 + B 2 \u003d С2.

Това е, в 1 A 1 \u003d С 1 в 1 C 1 \u003d ABC за три партии ABC - правоъгълна

C \u003d 90 °, което се изискваше да докаже.

1. На плакат с готови чертежи.

Фиг.1: Намерете рекламата IF CD \u003d 8, Va \u003d 30 °.

Фиг.2: Намерете компактдиска, ако ние \u003d 5, Way \u003d 45 °.

Фиг.3: Намерете Vd, ако SUN \u003d 17, AD \u003d 16.

2. Дали триъгълникът е израснал, ако страните са изразени по брой:

Какви са първите трима числа в последните два случая? (Pythagoras).

№ 9. Страната на равностранения триъгълник е равна на a. Намерете височината на този триъгълник, описаният радиус на кръга, радиусът на вписания кръг.

№ 14. Докажете, че в правоъгълен триъгълник радиусът на описаната обиколка е равен на медианата, проведена в хипотенузата и е равна на половината хипотенуза.

Параграф 7.1, стр. 175-177, разглобяват теорема 7.4 (обобщена Pythagora теорема), № 1 (орално), № 2, № 4.

Какво ново знаехте днес в урока? ............

Питагор е преди всичко философ. Сега искам да прочета няколко от неговите проверки, подходящи и в нашето време за нас с вас.

• Не отглеждайте прах върху живота път.
• Направете точно това по-късно не ви разстройва и няма да се побере.
• Не правете това, което не знаете, но научете какво трябва да знаете, и тогава ще доведете тиха живот.
• Не затваряйте очите си, когато искам да спя, не повдигайте всичките ви действия последния ден.
• Вземете да живеете само и без лукс.

Питагорова теорема - една от основните теореми на евклидовата геометрия, създаваща съотношението

между страните на правоъгълия триъгълник.

Смята се, че се доказва от гръцкия математик Питагор, в чест и наречен.

Геометрична формулировка на питагоровата теорема.

Първоначално теоремата е формулирана, както следва:

В правоъгълен триъгълник квадратът на квадрата, изграден върху хипотенузата, е равен на сумата на квадратите на квадратите,

построени върху кетеши.

Алгебрична формулировка на питагоровата теорема.

В правоъгълен триъгълник, квадрата на дължината на хипотенузата е равна на сумата на квадратите на дължината на каретата.

Т.е. обозначава дължината на триъгълника хипотенза ° С.и дължината на катетите а. и б.:

И двете формулировки pythagora Теоремиеквивалент, но втората формулировка е по-елементарна, тя не е така

изисква концепцията за района. Това означава, че второто твърдение може да бъде проверено, нищо не знае за района и

измерване само на дължината на страните на правоъгълния триъгълник.

Pythagorean обратна теорема.

Ако квадрата от едната страна на триъгълника е равна на сумата на квадратите от другите две страни, тогава

триъгълникът е правоъгълен.

Или, с други думи:

За цялата тройка положителни номера а., б. и ° С., такова

има правоъгълен триъгълник с митниците а. и б.и хипотенуза ° С..

Pythagora теорема за уравнителен триъгълник.

Теорема Pythagora за равностранен триъгълник.

Доказателство за питагоровата теорема.

В момента научна литература Фиксирани 367 доказателства за тази теорема. Вероятно теорема

Питагора е единствената теорема с такъв впечатляващ брой доказателства. Такъв сорт

може да се обясни само по фундаменталната стойност на теоремата на геометрията.

Разбира се, концептуално всички те могат да бъдат разделени на малък брой часове. Най-известните от тях:

доказателство за метод на космоса, аксиоматични и екзотични доказателства (например,

без значение диференциални уравнения).

1. Доказателство за теоремата на Пиртагор чрез такива триъгълници.

Следните доказателства за алгебрична формулировка са най-простите доказателства в строеж.

директно от аксиома. По-специално, той не използва концепцията за фигурата на фигурата.

Нека бъде АВС Има правоъгълен триъгълник с прав ъгъл ° С.. Да прекараме височината на ° С. И означават

неговата фондация чрез Х..

Триъгълник ACH. Като триъгълник AB.В за два ъгъла. По същия начин, триъгълник CBH. като АВС.

Въвеждане на нотация:

получаваме:

,

какво отговаря на -

Съчетаване а. 2 I. б. 2, получаваме:

или, което се изискваше да докаже.

2. Доказателство за теоремата Pythagore от областта на района.

По-долу, доказателствата, въпреки тяхната привидната простота, не е толкова проста. Всички тях

използвайте свойствата на района, доказателствата за които е по-сложно от доказателството на самата теорема на Pythagora.

• Доказателство чрез равнодука.

Поставете четири равни правоъгълни

триъгълник, както е показано на снимката

на дясно.

Quadril със страни ° С. - Квадрат,

тъй като сумата от два остри ъгли от 90 ° и

разположен ъгъл - 180 °.

Площта на цялата фигура е равна на едната ръка,

квадратна площ със страна ( a + B.), а от друга страна, сумата на площта на четири триъгълника и

Q.E.D.

3. Доказателство за теоремата Pythagore по метода на безкрайно малък.

​

Като се има предвид рисунката, показана на фигурата и

наблюдение на смяна на странатаа., ние можем

запишете следното съотношение за безкрайно

малък стъпки от странаот и а. (Използване на подобие

триъгълници):

Използване на метода за разделяне на променливите, намираме:

| Повече ▼ общ израз Да променят хипотенузата в случай на увеличаване на двете катети:

Интегриране това уравнение и използване на първоначалните условия, получаваме:

Така стигаме до желания отговор:

Тъй като не е трудно да се види, квадратичната зависимост в крайната формула се появява поради линейното

пропорционалност между страните на триъгълника и стъпки, докато сумата е свързана с независима

депозити от увеличаването на различни катетри.

Може да се получи по-просто доказателство, ако приемем, че един от катедрите не изпитва увеличение

(в този случай catat б.). След това, за постоянната интеграция, получаваме:

Забележително е, че имотът, посочен в теоремата Pythagora, е характерната собственост на правоъгълен триъгълник. Това следва от теоремата, питагорейската обратна теорема.

Теорема: Ако квадрата от едната страна на триъгълника е равна на сумата на квадратите на другите други страни, тогава триъгълникът е правоъгълен.

Формула Gerona.

Извличаме формулата, която изразява равнината на триъгълника през дължините на страните му. Тази формула е свързана с името на Gerona Alexandrian - древна гръцка математика и механика, която е живяла, вероятно в 1 v.n. Герон обърна много внимание на практическите приложения на геометрията.

Теорема. Районът S е триъгълник, страните на които са равни на A, B, C, се изчисляват по формулата S \u003d, където P е наполовина версии на триъгълника.

Доказателства.

Danched :? ABC, AB \u003d C, Sun \u003d A, AC \u003d B.GLONS A и B, SHARP. Ch - височина.

Докажи

Доказателство:

Помислете за триъгълника на ABC, в който AB \u003d C, BC \u003d A, AC \u003d B. Във всеки триъгълник най-малко два ъгъла са остри. Нека a и b са остри ъгли на арката на ABC. Основата на H височината CH триъгълник е на AB страна. Въвеждаме нотацията: ch \u003d h, ah \u003d y, hb \u003d x. Съгласно Pythagorea theorem a 2 - x 2 \u003d h2 \u003d b 2 -yy2, от където

Y 2 - X 2 \u003d B 2 - А2, или (Y - X) (Y + X) \u003d B 2 - А2, и след Y + X \u003d C, след това Y- x \u003d (B2 - A2).

Сгъване на последните две равенство, n Olchache:

2y \u003d + c, откъде

y \u003d, и следователно, h 2 \u003d b 2 -yy2 \u003d (b - y) (b + y) \u003d