ENSAYO

"Investigación completa de una función y su trazado".

INTRODUCCIÓN

Estudiar las propiedades de una función y trazar su gráfica es una de las aplicaciones más maravillosas de la derivada. Esta forma de examinar la función ha sido repetidamente sujeta a un análisis cuidadoso. La razón principal es que en las aplicaciones de las matemáticas uno tenía que lidiar con funciones cada vez más complejas que aparecen al estudiar nuevos fenómenos. Aparecieron excepciones a las reglas desarrolladas por las matemáticas, aparecieron casos en los que las reglas creadas no servían para nada, aparecieron funciones que no tenían derivada en ningún punto.

El propósito de estudiar el curso de álgebra y el comienzo del análisis en los grados 10-11 es el estudio sistemático de funciones, la divulgación del valor aplicado de los métodos generales de matemáticas relacionados con el estudio de funciones.

El desarrollo de representaciones funcionales en el curso de estudio de álgebra y el comienzo del análisis en el nivel superior ayuda a los estudiantes de secundaria a obtener una representación visual de la continuidad y discontinuidad de funciones, aprender sobre la continuidad de cualquier función elemental en el área de ​su aplicación, aprender a construir sus gráficas y generalizar información sobre las funciones elementales básicas y realizar su papel en el estudio de los fenómenos de la realidad, en la práctica humana.

Función Ascendente y Decreciente

La solución de diversos problemas del campo de las matemáticas, la física y la tecnología lleva al establecimiento de una relación funcional entre las variables que intervienen en este fenómeno.

Si tal dependencia funcional puede expresarse analíticamente, es decir, en forma de una o más fórmulas, entonces es posible investigarla por medio del análisis matemático.

Esto se refiere a la posibilidad de aclarar el comportamiento de una función cuando cambia una determinada variable (dónde crece la función, dónde decrece, dónde alcanza un máximo, etc.).

La aplicación del cálculo diferencial al estudio de una función se basa en una conexión muy simple que existe entre el comportamiento de una función y las propiedades de su derivada, principalmente su primera y segunda derivada.

Considere cómo puede encontrar los intervalos de aumento o disminución de una función, es decir, los intervalos de su monotonicidad. A partir de la definición de una función monótonamente decreciente y creciente, podemos formular teoremas que nos permitan relacionar el valor de la primera derivada de una función dada con la naturaleza de su monotonicidad.

Teorema 1.1. Si la función y = F ( X ) , diferenciable en el intervalo( un , b ) , aumenta monótonamente en este intervalo, entonces en cualquier punto
( X ) >0; si decrece monótonamente, entonces en cualquier punto del intervalo ( X )<0.

Prueba. Deja que la funcióny = F ( X ) aumenta monótonamente por( un , b ) , Esto significa que para cualquier tamaño suficientemente pequeño > 0, se cumple la siguiente desigualdad:

F ( X - ) < F ( X ) < F ( X + ) (Figura 1.1).

Arroz. 1.1

Considere el límite

.

Si > 0, entonces > 0 si< 0, то

< 0.

En ambos casos, la expresión bajo el signo del límite es positiva, lo que significa que el límite es positivo, es decir, ( X )>0 , que debía probarse. La segunda parte del teorema, que se relaciona con la disminución monótona de la función, se demuestra de manera similar.

Teorema 1.2. Si la función y = F ( X ) , continua en el intervalo[ un , b ] y diferenciable en todos sus puntos interiores, y, además, ( X ) >0 para cualquiera X ϵ ( un , b ) , entonces esta función es monótonamente creciente en( un , b ) ; Si

( X ) <0 para cualquiera xϵ ( un , b ), entonces esta función decrece monótonamente en( un , b ) .

Prueba. Echemos ϵ ( un , b ) y ϵ ( un , b ) , y< . Por el teorema de Lagrange

( C ) = .

Pero ( C )>0 y > 0, entonces ( > 0, es decir

(. El resultado obtenido indica un aumento monótono de la función, lo que debía probarse. La segunda parte del teorema se demuestra de manera similar.

Extremos de función

Al estudiar el comportamiento de una función, juegan un papel especial los puntos que separan los intervalos de aumento monótono entre sí de los intervalos de su disminución monótona.

Definición 2.1. Punto se llama el punto máximo de la función

y = F ( X ) , en su caso, arbitrariamente pequeño , ( < 0 , а точка se llama punto mínimo si ( > 0.

Los puntos mínimo y máximo tienen el nombre común de puntos extremos. Una función monótona por partes tiene un número finito de tales puntos en un intervalo finito (Fig. 2.1).

Arroz. 2.1

Teorema 2.1 (condición necesaria para la existencia de un extremo). Si es diferenciable en el intervalo( un , b ) la función tiene en el punto de este intervalo es el máximo, entonces su derivada en este punto es igual a cero. Lo mismo puede decirse del punto mínimo .

La demostración de este teorema se sigue del teorema de Rolle, en el que se demostró que en los puntos de mínimo o máximo = 0, y la tangente trazada a la gráfica de la función en estos puntos es paralela al ejeBUEY .

El teorema 2.1 implica que si la funcióny = F ( X ) tiene una derivada en todos los puntos, entonces puede alcanzar un extremo en aquellos puntos donde = 0.

Sin embargo, esta condición no es suficiente, ya que hay funciones para las que se cumple la condición especificada, pero no hay un extremo. Por ejemplo, la funcióny= en el punto X = 0 la derivada es igual a cero, pero no hay extremo en este punto. Además, el extremo puede estar en aquellos puntos donde la derivada no existe. Por ejemplo, la funcióny = | X | hay un mínimo en el puntoX = 0 , aunque la derivada no existe en este punto.

Definición 2.2. Los puntos en los que la derivada de una función se anula o se rompe se denominan puntos críticos de la función dada..

Por tanto, el Teorema 2.1 no es suficiente para determinar los puntos extremos.

Teorema 2.2 (condición suficiente para la existencia de un extremo). Deja que la función y = F ( X ) continuo en el intervalo( un , b ) , que contiene su punto crítico , y es diferenciable en todos los puntos de este intervalo, con la posible excepción del punto mismo . Entonces, si cuando este punto pasa de izquierda a derecha, el signo de la derivada cambia de más a menos, entonces este es el punto máximo y, a la inversa, de menos a más, el punto mínimo..

Prueba. Si la derivada de una función cambia de signo cuando el punto pasa de izquierda a derecha de más a menos, entonces la función va de creciente a decreciente, es decir, llega al punto su máximo y viceversa.

De lo anterior, se sigue el esquema para estudiar la función para un extremo:

1) encontrar el alcance de la función;

2) calcular la derivada;

3) encontrar puntos críticos;

4) cambiando el signo de la primera derivada, se determina su naturaleza.

El problema de estudiar una función para un extremo no debe confundirse con el problema de determinar los valores mínimo y máximo de una función en un segmento. En el segundo caso, es necesario encontrar no solo los puntos extremos del segmento, sino también compararlos con el valor de la función en sus extremos.

Intervalos de convexidad y concavidad de una función

Otra característica de la gráfica de una función que se puede determinar usando una derivada es su convexidad o concavidad.

Definición 3.1. Función y = F ( X ) se llama convexo en el intervalo( un , b ) , si su gráfica está ubicada debajo de cualquier tangente trazada hacia él en un intervalo dado, y viceversa, se llama cóncava si su gráfica está sobre cualquier tangente dibujada hacia él en un intervalo dado.

Demostremos un teorema que nos permita determinar los intervalos de convexidad y concavidad de una función.

Teorema 3.1. Si en todos los puntos del intervalo( un , b ) segunda derivada de la función ( X ) es continua y negativa, entonces la funcióny = F ( X ) convexa y viceversa, si la segunda derivada es continua y positiva, entonces la función es cóncava.

Realizamos la prueba para el intervalo de convexidad de la función. Tomar un punto arbitrarioϵ ( un , b ) y trazar en este punto la tangente a la gráfica de la funcióny = F ( X ) (Figura 3.1).

El teorema se demostrará si se demuestra que todos los puntos de la curva en el intervalo( un , b ) se encuentran bajo esta tangente. En otras palabras, es necesario probar que para los mismos valoresX ordenadas curvasy = F ( X ) menor que las ordenadas de la tangente trazada hacia él en el punto .

Arroz. 3.1

Por definición, denotamos la ecuación de la curva: = F ( X ) , y la ecuación de la tangente a él en el punto :

- F ( ) = ( )( X - )

o

= F ( ) + ( )( X - ) .

Componer la diferencia y :

- = f(x) – f( ) - ( )(X- ).

Aplicar a la diferenciaF ( X ) – F ( ) Teorema de la media de Lagrange:

- = ( )( X - ) - ( )( X - ) = ( X - )[ ( ) - ( )] ,

donde ϵ ( , X ).

Apliquemos ahora el teorema de Lagrange a la expresión entre corchetes:

- = ( )( - )( X - ) , donde ϵ ( , ).

Como se puede ver en la figura,X > , entonces X - > 0 y - > 0 . Además, por la hipótesis del teorema, ( )<0.

Multiplicando estos tres factores, obtenemos que , que debía probarse.

Definición 3.2. El punto que separa el intervalo de convexidad del intervalo de concavidad se llama punto de inflexión..

De la Definición 3.1 se deduce que en un punto dado la tangente interseca a la curva, es decir, por un lado, la curva se sitúa por debajo de la tangente, y por otro, por encima.

Teorema 3.2. Si en el punto segunda derivada de la función

y = F ( X ) es igual a cero o no existe, y al pasar por un punto el signo de la segunda derivada cambia al contrario, entonces este punto es el punto de inflexión.

La demostración de este teorema se sigue del hecho de que los signos ( X ) en lados opuestos del punto diferente. Esto significa que la función es convexa en un lado del punto y cóncava en el otro. En este caso, según la Definición 3.2, el punto es el punto de inflexión.

El estudio de la función para convexidad y concavidad se realiza según el mismo esquema que el estudio para el extremo.

4. Asíntotas de función

En los párrafos anteriores se consideraron métodos para estudiar el comportamiento de una función con la ayuda de una derivada. Sin embargo, entre las cuestiones relativas al estudio completo de la función, existen aquellas que no están relacionadas con la derivada.

Así, por ejemplo, es necesario saber cómo se comporta la función cuando el punto de su gráfica está infinitamente alejado del origen. Tal problema puede surgir en dos casos: cuando el argumento de la función tiende al infinito, y cuando la función misma tiende al infinito en la ruptura del segundo tipo en el punto final. En ambos casos, puede surgir una situación en la que la función tiende a una línea recta, llamada su asíntota.

Definición . Asíntota de la gráfica de una funcióny = F ( X ) se llama línea recta, la cual tiene la propiedad de que la distancia de la gráfica a esta línea recta tiende a cero con una remoción ilimitada del punto de la gráfica desde el origen.

Hay dos tipos de asíntotas: verticales y oblicuas.

Las asíntotas verticales son líneas rectas.X = , que tienen la propiedad de que la gráfica de la función en su vecindad tiende al infinito, es decir, se cumple la condición: .

Es obvio que aquí se cumple el requisito de la definición indicada: la distancia de la gráfica de la curva a la rectaX = tiende a cero, mientras que la propia curva tiende a infinito. Entonces, en los puntos de discontinuidad del segundo tipo, las funciones tienen asíntotas verticales, por ejemplo,y= en el punto X = 0 . Por tanto, la definición de las asíntotas verticales de una función coincide con la búsqueda de los puntos de discontinuidad de segunda especie.

Las asíntotas oblicuas se describen mediante la ecuación general de una línea recta en un plano, es deciry = kx + b . Por lo tanto, en contraste con las asíntotas verticales, aquí es necesario determinar los númerosk y b .

Así que deja la curva = F ( X ) tiene una asíntota oblicua, es decir, cuandoX los puntos de la curva están lo más cerca posible de la línea = kx + b (Figura 4.1). Permitir METRO ( X , y ) es un punto en la curva. Su distancia a la asíntota estará caracterizada por la longitud de la perpendicular| Minnesota | .

¿Cómo investigar una función y trazar su gráfica?

Parece que empiezo a comprender el rostro conmovedor del líder del proletariado mundial, autor de obras completas en 55 volúmenes... El largo viaje comenzó con información elemental sobre funciones y graficas, y ahora trabajar en un tema laborioso termina con un resultado natural: un artículo sobre el estudio de función completa. La tan esperada tarea se formula de la siguiente manera:

Investigar la función por métodos de cálculo diferencial y, con base en los resultados del estudio, construir su gráfico.

O en resumen: examinar la función y trazarla.

¿Por qué explorar? En casos sencillos, no nos será difícil tratar con funciones elementales, dibujar una gráfica obtenida usando transformaciones geométricas elementales etc. Sin embargo, las propiedades y representaciones gráficas de funciones más complejas están lejos de ser obvias, por lo que se necesita un estudio completo.

Los pasos principales de la solución se resumen en el material de referencia Esquema de estudio de funciones, esta es tu guía de secciones. Los tontos necesitan una explicación paso a paso del tema, algunos lectores no saben por dónde empezar y cómo organizar el estudio, y los estudiantes avanzados pueden estar interesados ​​solo en algunos puntos. Pero, sea quien sea, querido visitante, el resumen propuesto con indicaciones para varias lecciones lo orientará y dirigirá en la dirección de su interés en el menor tiempo posible. Los robots derramaron una lágrima =) El manual se compuso en forma de archivo pdf y ocupó el lugar que le corresponde en la página Fórmulas y tablas matemáticas..

Solía ​​dividir el estudio de la función en 5-6 puntos:

6) Puntos adicionales y gráfica basada en los resultados del estudio.

En cuanto a la acción final, creo que todos entienden todo: será muy decepcionante si en cuestión de segundos se tacha y se devuelve la tarea para su revisión. ¡UN DIBUJO CORRECTO Y PRECISO es el principal resultado de la solución! Es muy probable que "cubra" los descuidos analíticos, mientras que un cronograma incorrecto y/o descuidado causará problemas incluso con un estudio perfectamente realizado.

Cabe señalar que en otras fuentes, la cantidad de elementos de investigación, el orden de su implementación y el estilo de diseño pueden diferir significativamente del esquema propuesto por mí, pero en la mayoría de los casos es suficiente. La versión más simple del problema consta de solo 2 o 3 pasos y está formulada de la siguiente manera: "explora la función usando la derivada y grafica" o "explora la función usando la 1ra y 2da derivada, grafica".

Naturalmente, si otro algoritmo se analiza en detalle en su manual de capacitación o si su maestro requiere estrictamente que se adhiera a sus conferencias, entonces tendrá que hacer algunos ajustes a la solución. No es más difícil que reemplazar un tenedor con una cuchara de motosierra.

Verifiquemos la función para pares / impares:

A esto le sigue una plantilla para darse de baja:
, por lo que esta función no es ni par ni impar.

Como la función es continua en , no hay asíntotas verticales.

Tampoco hay asíntotas oblicuas.

Nota : Te recuerdo que cuanto más alto orden de crecimiento que , por lo que el límite final es exactamente " más infinito."

Veamos cómo se comporta la función en el infinito:

En otras palabras, si vamos a la derecha, entonces la gráfica sube infinitamente, si vamos a la izquierda, infinitamente abajo. Sí, también hay dos límites bajo una sola entrada. Si tiene dificultades para descifrar los signos, visite la lección sobre funciones infinitesimales.

Entonces la función no limitado desde arriba y no limitado desde abajo. Teniendo en cuenta que no tenemos puntos de quiebre, queda claro y rango de función: es también cualquier número real.

TÉCNICA ÚTIL

Cada paso de la tarea trae nueva información sobre el gráfico de la función., por lo que en el transcurso de la solución es conveniente utilizar una especie de LAYOUT. Dibujemos un sistema de coordenadas cartesianas en el borrador. ¿Qué se sabe con certeza? En primer lugar, el gráfico no tiene asíntotas, por lo tanto, no es necesario dibujar líneas rectas. Segundo, sabemos cómo se comporta la función en el infinito. Según el análisis, sacamos la primera aproximación:

Nótese que en efecto continuidad función on y el hecho de que , la gráfica debe cruzar el eje al menos una vez. ¿O tal vez hay varios puntos de intersección?

3) Ceros de la función e intervalos de signo constante.

Primero, encuentra el punto de intersección de la gráfica con el eje y. Es sencillo. Es necesario calcular el valor de la función cuando:

La mitad sobre el nivel del mar.

Para encontrar los puntos de intersección con el eje (ceros de la función), es necesario resolver la ecuación, y aquí nos espera una desagradable sorpresa:

Al final, acecha un miembro libre, lo que complica significativamente la tarea.

Tal ecuación tiene al menos una raíz real, y la mayoría de las veces esta raíz es irracional. En el peor cuento de hadas, nos esperan tres cerditos. La ecuación se puede resolver usando el llamado fórmulas de cardano, pero el daño del papel es comparable a casi todo el estudio. En este sentido, es más prudente oralmente o en borrador tratar de recoger al menos una todo raíz. Comprobemos si estos números son:
- no se ajusta;
- ¡hay!

Es suerte aquí. En caso de falla, también puede probar y, y si estos números no encajan, me temo que hay muy pocas posibilidades de una solución rentable para la ecuación. Entonces es mejor omitir el punto de investigación por completo; tal vez algo se aclare en el paso final, cuando surjan puntos adicionales. Y si la raíz (raíces) es claramente "mala", entonces es mejor permanecer modestamente en silencio sobre los intervalos de constancia de los signos y completar el dibujo con mayor precisión.

Sin embargo, tenemos una hermosa raíz, entonces dividimos el polinomio sin resto:

El algoritmo para dividir un polinomio entre un polinomio se analiza en detalle en el primer ejemplo de la lección. Límites complejos.

Como resultado, el lado izquierdo de la ecuación original se expande en un producto:

Y ahora un poco sobre un estilo de vida saludable. claro que lo entiendo ecuaciones cuadráticas deben resolverse todos los días, pero hoy haremos una excepción: la ecuación tiene dos raíces reales.

En la recta numérica, trazamos los valores encontrados y método de intervalo Defina los signos de la función:


og Así, en los intervalos gráfico ubicado
debajo del eje x, y a intervalos - por encima de este eje.

Los hallazgos resultantes nos permiten refinar nuestro diseño, y la segunda aproximación del gráfico se ve así:

Tenga en cuenta que la función debe tener al menos un máximo en el intervalo y al menos un mínimo en el intervalo. Pero no sabemos cuántas veces, dónde y cuándo el cronograma "va a dar vueltas". Por cierto, una función puede tener infinitas extremos.

4) Crecientes, decrecientes y extremos de la función.

Encontremos los puntos críticos:

Esta ecuación tiene dos raíces reales. Pongámoslos en la recta numérica y determinemos los signos de la derivada:


Por lo tanto, la función aumenta en y disminuye en .
En el punto en que la función alcanza su máximo: .
En el punto en que la función alcanza su mínimo: .

Los hechos establecidos conducen nuestra plantilla a un marco bastante rígido:

No hace falta decir que el cálculo diferencial es algo poderoso. Finalmente, tratemos con la forma del gráfico:

5) Convexidad, concavidad y puntos de inflexión.

Encuentre los puntos críticos de la segunda derivada:

Definamos signos:


La gráfica de la función es convexa en y cóncava en . Calculemos la ordenada del punto de inflexión: .

Casi todo se aclaró.

6) Queda por encontrar puntos adicionales que ayudarán a construir un gráfico con mayor precisión y realizar una autocomprobación. En este caso, son pocos, pero no los vamos a descuidar:

Ejecutemos el dibujo:

El punto de inflexión está marcado en verde, los puntos adicionales están marcados con cruces. La gráfica de una función cúbica es simétrica respecto a su punto de inflexión, que siempre se encuentra exactamente en el medio entre el máximo y el mínimo.

En el transcurso de la tarea, entregué tres dibujos intermedios hipotéticos. En la práctica, es suficiente dibujar un sistema de coordenadas, marcar los puntos encontrados y, después de cada punto del estudio, imaginar mentalmente cómo se vería el gráfico de la función. No será difícil para los estudiantes con un buen nivel de preparación llevar a cabo tal análisis únicamente en sus mentes sin involucrar un borrador.

Para una solución independiente:

Ejemplo 2

Explora la función y construye un gráfico.

Aquí todo es más rápido y divertido, un ejemplo aproximado de finalización al final de la lección.

El estudio de las funciones racionales fraccionarias revela muchos secretos:

Ejemplo 3

Usando los métodos de cálculo diferencial, investigue la función y, con base en los resultados del estudio, construya su gráfico.

Decisión: la primera etapa del estudio no difiere en nada destacable, a excepción de un agujero en el área de definición:

1) La función es definida y continua en toda la recta numérica excepto por el punto , dominio: .

, por lo que esta función no es ni par ni impar.

Obviamente, la función no es periódica.

El gráfico de la función consta de dos ramas continuas ubicadas en el semiplano izquierdo y derecho; esta es quizás la conclusión más importante del primer párrafo.

2) Asíntotas, el comportamiento de una función en el infinito.

a) Con la ayuda de los límites laterales, estudiamos el comportamiento de la función cerca del punto sospechoso, donde la asíntota vertical debe estar claramente:

De hecho, las funciones perduran brecha sin fin en el punto
y la recta (eje) es asíntota vertical Artes graficas .

b) Comprobar si existen asíntotas oblicuas:

si, la linea es asíntota oblicua gráficos si.

No tiene sentido analizar los límites, pues ya está claro que la función en un abrazo con su asíntota oblicua no limitado desde arriba y no limitado desde abajo.

El segundo punto del estudio trajo mucha información importante sobre la función. Hagamos un boceto aproximado:

La conclusión número 1 se refiere a los intervalos de constancia de los signos. En "menos infinito" la gráfica de la función se ubica únicamente debajo del eje x, y en "más infinito" está arriba de este eje. Además, los límites unilaterales nos dijeron que tanto a la izquierda como a la derecha del punto, la función también es mayor que cero. Tenga en cuenta que en el semiplano izquierdo, el gráfico debe cruzar el eje x al menos una vez. En el semiplano derecho, puede que no haya ceros de la función.

La conclusión No. 2 es que la función crece sobre ya la izquierda del punto (va “de abajo hacia arriba”). A la derecha de este punto, la función decrece (va “de arriba hacia abajo”). La rama derecha del gráfico ciertamente debe tener al menos un mínimo. A la izquierda, los extremos no están garantizados.

La conclusión No. 3 brinda información confiable sobre la concavidad del gráfico en la vecindad del punto. Todavía no podemos decir nada sobre convexidad/concavidad en el infinito, ya que la línea puede presionarse contra su asíntota tanto desde arriba como desde abajo. En términos generales, hay una forma analítica de resolver esto ahora mismo, pero la forma del gráfico "por nada" se aclarará en una etapa posterior.

¿Por qué tantas palabras? ¡Para controlar puntos de investigación posteriores y evitar errores! Los cálculos posteriores no deben contradecir las conclusiones extraídas.

3) Puntos de intersección de la gráfica con los ejes de coordenadas, intervalos de signo constante de la función.

La gráfica de la función no cruza el eje.

Usando el método de intervalo, determinamos los signos:

, Si ;
, Si .

Los resultados del párrafo son totalmente consistentes con la Conclusión No. 1. Después de cada paso, mire el borrador, refiérase mentalmente al estudio y termine de dibujar el gráfico de la función.

En este ejemplo, el numerador se divide término a término por el denominador, lo cual es muy beneficioso para la diferenciación:

En realidad, esto ya se ha hecho al encontrar asíntotas.

- punto crítico.

Definamos signos:

aumenta en y disminuye a

En el punto en que la función alcanza su mínimo: .

Tampoco hubo discrepancias con la Conclusión No. 2 y, muy probablemente, estamos en el camino correcto.

Esto significa que la gráfica de la función es cóncava en todo el dominio de definición.

Excelente, y no necesitas dibujar nada.

No hay puntos de inflexión.

La concavidad es consistente con la Conclusión No. 3, además, indica que en el infinito (tanto allí como allí) se ubica la gráfica de la función más alto su asíntota oblicua.

6) Fijaremos concienzudamente la tarea con puntos adicionales. Aquí tenemos que trabajar duro, porque solo conocemos dos puntos del estudio.

Y una imagen que, probablemente, muchos han presentado durante mucho tiempo:

En el curso de la asignación, se debe tener cuidado para garantizar que no haya contradicciones entre las etapas del estudio, pero a veces la situación es urgente o incluso un callejón sin salida. Aquí el análisis "no converge", y eso es todo. En este caso, recomiendo una técnica de emergencia: buscamos tantos puntos pertenecientes a la gráfica como sea posible (cuánta paciencia es suficiente), y los marcamos en el plano de coordenadas. El análisis gráfico de los valores encontrados en la mayoría de los casos le dirá dónde está la verdad y dónde está la mentira. Además, el gráfico se puede preconstruir usando algún programa, por ejemplo, en el mismo Excel (claro que esto requiere habilidades).

Ejemplo 4

Usando los métodos de cálculo diferencial, investigue la función y construya su gráfico.

Este es un ejemplo de bricolaje. En él, el autocontrol se ve reforzado por la uniformidad de la función: el gráfico es simétrico con respecto al eje, y si algo en su estudio contradice este hecho, busque un error.

Una función par o impar solo se puede investigar para , y luego se puede usar la simetría de la gráfica. Esta solución es óptima, pero parece, en mi opinión, muy inusual. Personalmente, considero todo el eje numérico, pero todavía encuentro puntos adicionales solo a la derecha:

Ejemplo 5

Realiza un estudio completo de la función y traza su gráfica.

Decisión: apresurado:

1) La función es definida y continua en toda la recta real: .

Esto quiere decir que esta función es impar, su gráfica es simétrica con respecto al origen.

Obviamente, la función no es periódica.

2) Asíntotas, el comportamiento de una función en el infinito.

Como la función es continua en , no hay asíntotas verticales

Para una función que contiene un exponente, típicamente separado el estudio de "más" y "menos infinito", sin embargo, nuestra vida se ve facilitada solo por la simetría del gráfico: o hay una asíntota a la izquierda y a la derecha, o no la hay. Por lo tanto, ambos límites infinitos pueden organizarse bajo una sola entrada. En el curso de la solución, usamos Regla de L´Hopital:

La línea recta (eje) es la asíntota horizontal de la gráfica en .

Preste atención a cómo evité inteligentemente el algoritmo completo para encontrar la asíntota oblicua: el límite es bastante legal y aclara el comportamiento de la función en el infinito, y la asíntota horizontal se encontró "como si fuera al mismo tiempo".

De la continuidad en adelante y de la existencia de una asíntota horizontal se sigue que la función limitado desde arriba y limitado desde abajo.

3) Puntos de intersección de la gráfica con los ejes de coordenadas, intervalos de constancia.

Aquí también acortamos la solución:
La gráfica pasa por el origen.

No hay otros puntos de intersección con los ejes de coordenadas. Además, los intervalos de constancia son obvios y el eje no se puede dibujar: , lo que significa que el signo de la función depende solo de la "x":
, Si ;
, Si .

4) Extremos crecientes, decrecientes de la función.


son puntos críticos.

Los puntos son simétricos alrededor de cero, como debería ser.

Definamos los signos de la derivada:


La función crece en el intervalo y decrece en los intervalos

En el punto en que la función alcanza su máximo: .

Debido a la propiedad (rareza de la función) se puede omitir el mínimo:

Dado que la función decrece en el intervalo , entonces, obviamente, la gráfica se ubica en "menos infinito" por debajo con su asíntota. En el intervalo, la función también disminuye, pero aquí ocurre lo contrario: después de pasar por el punto máximo, la línea se acerca al eje desde arriba.

También se deduce de lo anterior que la gráfica de la función es convexa en "menos infinito" y cóncava en "más infinito".

Luego de este punto del estudio, también se dibujó el área de valores de la función:

Si tiene un malentendido de algún punto, una vez más lo insto a que dibuje ejes de coordenadas en su cuaderno y, con un lápiz en sus manos, vuelva a analizar cada conclusión de la tarea.

5) Convexidad, concavidad, inflexiones de la gráfica.

son puntos críticos.

La simetría de los puntos se conserva y, lo más probable, no nos equivocamos.

Definamos signos:


La gráfica de la función es convexa en y cóncava en .

Se confirmó la convexidad/concavidad a intervalos extremos.

En todos los puntos críticos hay inflexiones en el gráfico. Encontremos las ordenadas de los puntos de inflexión, mientras reducimos nuevamente el número de cálculos, usando la imparidad de la función: